Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные положения методологии АСФ 13
1.1 Множество производственных возможностей 13
1.2 Модель ВСС 15
1.3 Обобщенная модель ВСС 19
1.4 Оптимальность по Парето применительно к методологии АСФ 22
Глава 2. Визуализация множества производственных возможностей модели ВСС 24
2.1 Построение двумерных сечений эффективного фронта 26
2.1.1 Алгоритм построения обобщенной производственной функции 28
2.1.2 Алгоритм построения произвольного двумерного сечения многомерного эффективной гиперповерхности. 40
2.2 Построение трехмерных сечений эффективного фронта 46
2.2.1 Алгоритм изменения границы выпуклого многогранного множества в трехмерном пространстве при добавлении новой точки 47
2.2.2 Алгоритм построения трехмерного сечения по двух входным и одному выходному параметрам 51
Глава 3. Построение сечений эффективного фронта обобщенной модели ВСС аффинными подпространствами произвольной размерности ..55
3.1 Алгоритм построения выпуклой оболочки конечного набора точек и векторов направлений в многомерном пространстве 57
3.2 Алгоритм построения сечения политопа аффинным подпространством произвольной размерности 64
3.2.1 Определение базисных точек и размерности сечения 66
3.2.2 Уточнение граней искомого сечения 70
3.3 Алгоритм построения сечения выпуклого многогранного множества аффинным подпространством произвольной размерности 77
3.4 Сложность вычислений 85
Глава 4. Применение сечений эффективного фронта для социально-экономической диагностики субъектов Южного Федерального округа 88
4.1 Выбор агрегированных параметров и построение модели АСФ 89
4.2 Анализ результатов моделирования 101
Заключение 117
Библиографический список использованной литературы 118
- Множество производственных возможностей
- Построение двумерных сечений эффективного фронта
- Алгоритм построения выпуклой оболочки конечного набора точек и векторов направлений в многомерном пространстве
- Выбор агрегированных параметров и построение модели АСФ
Введение к работе
Методология Анализа Среды Функционирования (АСФ)1 возникла как обобщение простых коэффициентов анализа деятельности объектов [1-5] на многомерный случай, т.е. когда деятельность сложного объекта описывается набором входных параметров (xi,...,xm) и набором выходных параметров (уь...,уг). Для корректности и содержательности такой постановки рассматривается множество подобных сложных объектов. Тогда математически такой подход сведется к решению большого семейства оптимизационных задач. Основоположниками данного подхода были известные американские ученые А.Чарнес и В.Купер [6-8].
В последнее время начался настоящий бум по применению методологии АСФ для анализа деятельности отраслей экономики, регионов, крупных компаний и муниципальных организаций. Число публикаций' по данной тематике в международных журналах составляет несколько тысяч единиц (см., например, ссылки в [8]). Мировые конгрессы и конференции проводят по вопросам методологии АСФ отдельные секции, данному подходу посвящаются специальные конференции.
Подход методологии АСФ к анализу деятельности сложных систем оказался плодотворным и конструктивным. В настоящее время методология, АСФ охватывает гораздо более широкий спектр понятий и возможностей, чем просто вычисление и анализ эффективности сложных объектов. Она позволяет строить многомерное пространство множества производственных возможностей, находить оптимальные пути развития в нем, вычислять важнейшие количественные и качественные характеристики поведения объектов, моделировать
1 Англоязычное название методологии - Data Envelopment Analysis (DEA)
различные ситуации. При реализации данной методологии используются современные достижения в области математического программирования, теории и методов решения задач оптимизации большой размерности, многокритериальной оптимизации, выпуклого анализа, а также компьютерного моделирования [9-34].
Актуальность проблемы. В работах многих классиков [6-8, 35-59] утверждалось, что в рамках методологии Анализа Среды Функционирования (АСФ) необходимо развивать методы представления и визуализации рассчитанных результатов. Это не только дает возможность лицу, принимающему решения, лучше ориентироваться в многомерном пространстве параметров, но и помогает в создании и модификации самих моделей методологии АСФ. Так, например, обобщенную модель, предложенную в? статьях [36-38], было бы сложно применить на практике, если бы не существовало средств визуального представления множества производственных возможностей.
Многомерное множество производственных возможностей можно визуально представить единственных способом - при помощи двумерных и трехмерных сечений, поскольку человеческий глаз воспринимает пространства именно такой размерности. Такое представление позволяет свести анализ сложных систем в рамках методологии АСФ к изучению хорошо известных функций в математической экономике: производственная функция, изокванта по входным параметрам, изокванта по выходным параметрам, изокоста, изопрофита. [60-67]. Тем самым построение сечений множества производственных возможностей в рамках методологии АСФ вносит существенный вклад и в развитие анализа деятельности сложных социальных и экономических систем.
В научной литературе рассматривались методы визуализации многомерных выпуклых множеств [63-64, 68-71], но все они носили исключительно теоретический характер или были применимы для узкого множества задач с жесткими ограничениями на размерность сечения, форму множества производственных возможностей и относительного положения плоскости сечения.
В работе [68] предложен алгоритм построения сечения наоснове описания всех граней эффективного фронта в исходном многомерном пространстве параметров. Но в большинстве случаев размерность множества производственных возможностей значительно больше, чем размерность сечения, поэтому предложенный алгоритм является неэффективным. Это связано с тем, что сложность алгоритма описания всех граней зависит экспоненциально от размерности множества производственных возможностей [69]. По этим причинам не.подходят для решения поставленной задачи и прямое использование алгоритмов построения выпуклых оболочек, применяемых в вычислительной геометрии [69-70], а также методы визуализации Парето эффективных границ [71].
Параметрические алгоритмы построения двумерных сечений [63] были реализованы на практике, но эти алгоритмы обладают низкой производительностью и не достаточной точностью вычисления. Поэтому развитие данных алгоритмов для построения трехмерных сечений [64] сталкиваются со значительными трудностями при практической реализации. Кроме того, предложенные параметрические методы не имеют достаточной гибкости. Они привязаны к определенному виду множества производственных возможностей и типу сечения. Поэтому их применение для обобщенных моделей методологии АСФ становится затруднительным.
Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что необходим новый подход к визуализации множества производственных возможностей. Такой подход должен быть надежным, гибким и практически применимым.
Основной целью работы является разработка математического аппарата, позволяющего строить сечения множества производственных возможностей в моделях методологии АСФ при помощи аффинных подпространств произвольной размерности.
Задачи работы:
усовершенствовать алгоритмы построения двумерных сечений многомерного эффективного фронта для модели ВСС;
разработать алгоритмы построения трехмерных сечений многомерного эффективного фронта для модели ВСС;
обобщить алгоритмы построения двумерных и трехмерных сечений эффективного фронта на случай сечений произвольной размерности;
развить алгоритмы построения сечений для модели ВСС на случай обобщенной модели методологии АСФ.
Научная новизна диссертации состоит в реализации качественно нового подхода к построению алгоритмов сечений эффективного фронта в моделях методологии АСФ:
предложены новые алгоритмы построения двумерных сечений
множества производственных возможностей для модели ВСС в
методологии АСФ, превосходящие существующие алгоритмы в
скорости и точности вычислений;
впервые разработан алгоритм построения трехмерных сечений множества производственных возможностей для модели ВСС в методологии АСФ, который реализован на практике;
предложенные методы построения сечений обобщены для сечения эффективного фронта аффинными подпространствами произвольной размерности;
впервые созданы алгоритмы построения сечений множества, производственных возможностей для обобщенной модели методологии АСФ;
все предложенные алгоритмы реализованы в программном комплексе «EffiVision» и применяются на практике
Предложенный в диссертационной работе подход позволяет избежать большинства недостатков существующих параметрических алгоритмов построения сечений. Суть предлагаемых алгоритмов заключается в объединении идей построения сечений при помощи параметрических алгоритмов [63-64], упомянутых выше, и методов построения выпуклой оболочки произвольной размерности, развиваемых в выпуклом анализе и вычислительной геометрии. Это позволило эффективно работать с любыми выпуклыми многогранными множествами и с сечениями произвольной размерности, повысить точность и скорость вычислений.
Практическая ценность работы состоит в реализации предложенных алгоритмов в программном комплексе «EffiVision» [72], который применяется в управлении, сложными техническими, экономическими и социальными системами. Программный комплекс «EffiVision» используется для анализа банковской, деятельности Центральным банком РФ, для анализа регионов и муниципальных
образований страны Счетной Палатой РФ, для анализа тарифной политики и экологической деятельности в РАО «ЕЭС России» и его смежных предприятий.
Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях «4th International Symposium of DEA» (Англия, 2004), «The Ninth European Workshop on Efficiency and Productivity Analysis (EWEPA IX)» (Бельгия, 2005), «Системный анализ и информационные технологии» (Переславль-Залесский, 2005), «5th International Symposium on DEA and Performance Management» (Индия, 2007), «22nd European Conference on Operational Research» (Чехия, 2007), на семинарах кафедры «Нелинейных динамических систем и процессов управления» факультета вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ [36-38,72-79].
Структура и объем работы: диссертационнаяфабота состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Содержит 128 страницы текста, 35 рисунков, 4 таблицы. Список использованной литературы содержит 96 наименования. В данной диссертации формулы, теоремы, рисунки и т.д. нумеруются по главам.
В первой главе работы даются і основные положения методологии АСФ. Формулируются базовые постулаты и условия, лежащие в основе методологии АСФ. Устанавливается4 связь между множеством производственных возможностей и задачами линейного программирования. Приводятся условия соответствия между оптимальностью в моделях методологии- АСФ, оптимальностью по
Парето и границей множества производственных возможностей. Вводится обобщенная модель методологии АСФ.
Во второй главе излагаются алгоритмы визуализации эффективного фронта для модели ВСС (Банкер, Чарнес, Купер) [8]. Предлагается алгоритм построения двумерного сечения - обобщенная производственная функция, который превосходит существующие алгоритмы [63-64] в скорости и точности вычислений. Алгоритмы построения двумерных сечений, рассматриваемые другими авторами, обладали недостаточной точностью вычисления при большом расстоянии между вершинами сечения. Эта неточность не является существенной при определении двумерного сечения, но не позволял развить алгоритмы для построения сечений большей размерности. Метод построения двумерных сечений, предложенный в диссертационной работе, позволяет избежать этого недостатка. Во второй главе описан алгоритм построения трехмерного сечения -обобщенная производственная функция^ по двум входным и одному выходному показателя. Этот алгоритм основан на базовой идее построения двумерного сечения. Помимо алгоритмов построения двумерных и трехмерных сечений, обладающих изначально известной формой, описывается способ построения произвольного двумерного сечения. Сложность построения произвольного сечения заключается в определении векторов направлений, принадлежащих сечению. Во второй главе приводится способ преодоления этой трудности при помощи нахождения границ сечения в заданном «большом» квадрате, который, по предположению, содержит все вершины сечения.
В' третьей1 главе предложенные алгоритмы развиваются для построения сечений произвольной размерности обобщенной модели методологии АСФ. Приводятся основные принципы алгоритма построения выпуклой оболочки для конечного множества точек и
алгоритмы построения трехмерного сечения по двум входным и одному выходному показателю в модели ВСС;
алгоритмы построения сечений многомерной эффективной гиперповерхности при помощи аффинных подпространств произвольной размерности в обобщенной модели методологии АСФ;
применение разработанных алгоритмов для анализа эффективности технических, социальных и экономических систем.
Множество производственных возможностей
Методология АСФ является математической моделью оценки эффективности функционирования производственных объектов (ПО). Модели методологии АСФ описываются при помощи большого семейства оптимизационных задач. Предполагается, что все производственные объекты работают в одной и той же производственной среде (т.е. в одинаковых производственных условиях). Сама среда определяется на основе производственных характеристик всех исследуемых производственных объектов. Стоит отметить, что в методологии АСФ производственный объект понимается в самом широком смысле этого слова. В качестве ПО может выступать любой технический, социальный или экономический объект, у которого можно выделить входные (затратные) параметры и выходные параметры (собственно производимый продукт). Это может быть не только реальное производство (такое как завод, нефтяная компания, банк и т.д.), но и бюджетные организации (такие как учебные заведения, больницы, библиотеки и т.д.), где выходной продукт обычно не связан с прибылью и реально произведенной продукцией. Анализ по методологии АСФ позволяет получить количественную характеристику эффективности функционирования каждого ПО и тем самым выделить эффективно и неэффективно работающие производства. Перейдем теперь к формальному описанию основ методологии АСФ.
Рассмотрим множество из п наблюдаемых производственных объектов, деятельность которых необходимо оценить. Каждый ПО потребляет т входных продуктов и производит г выходных продуктов. Таким образом, пусть Xj = (ху,..., xmj) 0 является вектором входных параметров (затрат), a Yj = (у/у,..., yrJ) 0,j=l,...,n, будет вектором выходных параметров (выпуска). Предполагается, что каждый ПО имеет, по крайней мере, один положительный вход и один положительный выход.
Множество производственных возможностей Т определяется как множество таких векторов (X,Y), что вектор выпуска Y может быть произведен при векторе затрат X, т.е. T={(X,Y) / выходной вектор Y О может быть получен при входном векторе Х 0}. На основе наблюдаемых векторов (XpYj), j=1,..., п, множество производственных возможностей Т эмпирически задается следующими постулатами. Постулат 1 (Выпуклость). Если (X,Y)GTR {X J) T, тогда (ЛХ+ (1 -Я)Х: AY+ (\-X)Y)eT для всех Лє[0,1]. Постулат 2 (Монотонность). Если (X,Y) є ТяХ Х, Y Y, тогда (Я , Г) є Г. Постулат 3 (Минимальная экстраполяция). Множество Т является пересечением всех множеств Т\ удовлетворяющих Постулатам 1 и 2, при условии, что (Xj,Yj)eT для всеху-7,..., п.
Таким образом, множество Т строится как расширение по наблюдаемым производственным векторам (XJ,YJ), j=l, ... ,п, и определяет возможные, экономически допустимые векторы выпуска Y по векторам затрат X.
Параметр є в задаче (1.4) представляет собой бесконечно малую величину. Первоначально модели методологии АСФ формулировались в виде нелинейных задач оптимизации. Поэтому параметр є играет важную роль, как для теоретического обоснования перехода от нелинейных задач оптимизации с особыми точками к линейным задачам, так и при практическом решении задачи (1.4) для определения меры эффективности конкретного объекта. При моделировании, однако, оперирование с бесконечно малой величиной є можно исключить, но тогда задачу (1.4) потребуется решать в два этапа. В дальнейшем будем считать, что решение задачи происходит именно таким образом.
Оптимальное значение в" задачи (1.4) дает меру производственной эффективности для исследуемого ПО по входной модели ВСС. Из вида задачи следует, что в 1. Процесс решения задач повторяется для всех исследуемых производств. ПО, для которого получилось в 1, является неэффективным.
Построение двумерных сечений эффективного фронта
Для анализа множества производственных возможностей принято использовать следующие построения: производственная функция, изокванта, изокоста и т.д. Они позволяют оценить ситуацию в целом, рассмотреть все множество возможностей развития. Наибольшее применение получили двумерные функции, однако существуют и трехмерные аналоги (например, производственная функция Кобба-Дугласа).
Методология АСФ, по существу, обобщает все эти построения на многомерный случай и предоставляет исследователю гораздо больший объем информации о функционировании объекта. Двумерные и трехмерные сечения многомерного пространства обладают большой наглядностью, так как дают возможность анализа данных в привычных для человека измерениях.
В данной работе предлагается совместить содержательность методологии АСФ и наглядность устоявшихся построений в экономике. Суть подхода состоит в том, что мы строим сечения многомерного эффективного фронта двумерной плоскостью или трехмерной гиперплоскостью, проходящей через исследуемую точку и заданной двумя или тремя неколлинеарными векторами. Направления этих векторов отражают смысл сечения, которое мы хотим построить. В результате выполнения предложенных алгоритмов построения получаются двумерные или трехмерные сечения, которые удобны для анализа. Варьируя направляющие векторы (и, возможно, исследуемую точку) молено выяснить характеристики многомерного эффективного фронта.
В научной литературе по методологии АСФ рассматривались различные методы идентификации эффективных граней. В частности, в статье [85] исследуется пример трехмерной модели в рамках методологии АСФ, на нем анализируются линейные производственные функции с помощью двойственных переменных. В статье нет никакой теории и алгоритма, только анализируется простая трехмерная модель. Однако, во-первых, перебирать все двойственные решения - задача не простая, а, во-вторых, большинство задач методологии АСФ имеют размерность значительно превышающую три.
В статье [86] предлагается метод и его модификации для нахождения Парето эффективных граней в моделях методологии АСФ. Данный метод не дает возможности вычислить все грани, это отмечают и сами авторы. Более того, авторы никак не обосновывают, что их метод находит Парето эффективные грани, они просто утверждают, что их модель похожа на задачу по проверке условий на Парето эффективность.
В работе [68] подробно рассматривается алгоритм построения всех эффективных граней в моделях методологии АСФ. Однако алгоритм фактически перебирает различные комбинации вершин и проверяет их на принадлежность к одной грани с помощью решения оптимизационных задач. Поэтому алгоритм имеет экспоненциальную сложность вычислений и имеет, скорее всего, теоретический характер.
Разработанный алгоритм построения выпуклой оболочки множества точек в многомерном пространстве [70] применим к методологии АСФ, но он эффективно работает лишь на задачах довольно малой размерности и не дает ответа на вопрос, как построить сечение произвольной размерности без потери точности.
В отечественной литературе рассматривались построения двумерных сечений на основе методов множеств достижимости для исследования экономических систем и в многокритериальной оптимизации, см., например, [31-33]. А также были предложены алгоритмы для построения графиков сечения эффективного фронта различными двумерными плоскостями на основе семейства параметрических оптимизационных алгоритмов [60-67]. Однако для построения трехмерных сечений необходимо было значительно повысить точность и скорость вычислений двумерных алгоритмов.
В данной главе подробно излагаются алгоритмы построения двумерных и трехмерных сечений многомерной эффективной поверхности, которые являются симбиозом параметрических оптимизационных алгоритмов и алгоритмов построения выпуклой оболочки множества точек в многомерном пространстве.
Все алгоритмы, предлагаемые в данной главе, описываются для модели ВСС, поскольку данная модель является основной в. методологии АСФ. Кроме того, вид многих сечений данной модели заранее известен, что существенно упрощает процедуру описания всех граней искомого сечения.
Алгоритм построения выпуклой оболочки конечного набора точек и векторов направлений в многомерном пространстве
Прежде чем перейти к описанию алгоритма построения сечения выпуклого многогранного множества аффинным подпространством, нам понадобятся знания о методах построении выпуклой оболочки конечного набора точек и векторов направлений в многомерном пространстве. Построение выпуклой оболочки является фундаментальной и неотъемлемой частью при построении сечений, поскольку вид самих сечений представляет собой не что иное, как выпуклое многогранное множество.
Вспомним, что выпуклая оболочка конечного множества точек и векторов направлений в Е? является выпуклым многогранным множеством. Наоборот, каждый выпуклое многогранное множество является выпуклой оболочкой некоторого конечного множества точек и векторов направлений [87]. Выпуклое многогранное множество задается описанием всех его граней. Каждая грань выпуклого многогранного множества является выпуклым множеством (т.е. выпуклым многогранным множеством более низкой размерности); к-грань обозначает Аг-мерную грань (т.е. грань, аффинная оболочка которой имеет размерность к). Если многогранное множество М имеет размерность d, то его (с/-1)-грани называются гипергранями, (с/-2)-грани - подгранями, 1-грани - ребрами, а 0-грани - вершинами. Ясно, что ребра и вершины сохраняют свое привычное значение в пространстве любой размерности. Для трехмерного выпуклого многогранного множества гиперграни являются плоскими многоугольными фигурами, а подграни и ребра совпадают.
Описание всех граней выпуклого многогранного множества является сутью алгоритмов построения выпуклой оболочки. В настоящее время известно несколько алгоритмов построения выпуклой оболочки конечного набора точек в пространстве произвольной размерности (см. алгоритмы в [69]). Но для построения выпуклой оболочки конечного набора точек и векторов направлений, все эти алгоритмы требуют развития и модификации.
Наиболее подходящим для задачи построения сечения выпуклого многогранного множества наиболее подходящим является алгоритм «под-над», основной вклад в развитие которого внес Келли [88].
Опишем основные идеи метода «под-над». На содержательном уровне этот метод последовательно обрабатывает по одной точке, назовем ее р, и если р - внешняя точка по отношению к текущей оболочке Р, то из точки р строится опорный «конус» к Р и удаляется часть оболочки Р, затеняемая этим конусом. Рассматриваемый метод для случая выпуклой оболочки конечного набора точек основан на следующей теореме Грюнбаума [89]:
Теорема 3.1. Пусть Р - политоп, ар- точка в пространстве Е?. Введем обозначение F=Conv(Pv р). Тогда для каждой грани F справедливо одно из двух утверждений: 1) Грань / политопа Р является также гранью F тогда и только тогда, когда существует гипергрань F политопа Р такая, что fczFnp находится под F; 2) Если /- грань политопа Р, то f =Conv(f \J р)является гранью /"тогда и только тогда, когда либо a) среди гиперграней политопа Р, содержащих / имеется по крайней мере одна такая, что р находится под ней, и по крайней мере одна такая, что/? находится над ней, либо b) paaff(f).
Интуитивно понятно, что случай (1) относится к гиперграням политопа Р, незатеняемым конусом и которые становятся гипергранями Р, представляющего измененную выпуклую оболочку (см. рис. 3.1, на котором показаны все случаи на примере простого, но вместе с тем не теряющего общности двумерного пространства). Случай (2) относится к гиперграням конуса. В частности, пункт (а) случая (2) определяет грани, на которые «опирается» конус, а пункт (Ь) определяет вырожденный вариант ситуации, определяемой в пункте (а).
Метод «под-над» требует развитие на случай построения выпуклой оболочки конечного набора точек и векторов направлений. Развитие требуется потому, что, во-первых, выпуклой оболочкой является выпуклое многогранное множество, а не политоп и, во-вторых, добавлять к выпуклой оболочке надо не только точки, но и вектора направлений.
Выбор агрегированных параметров и построение модели АСФ
В состав Южного Федерального Округа входят 13 регионов. Всем 13 регионам были присвоены названия согласно буквам латинского алфавита. В работе сознательно избегается прямого указания на название регионов, поскольку целью диссертационной работы не является глубокий и всесторонний экономический анализ, а лишь демонстрация возможностей методологии АСФ и программного продукта «EffiVision». Для апробации моделей на примере Южного Федерального Округа была выбрана Модель 1. Все входящие в эту модель параметры приведены на душу населения региона. Модель 1
Входные параметры: Ху (вход 1) - [Объем произведенной промышленной продукции] + [Объём продукции сельского хозяйства] + [Объем выполненных подрядных работ], рублей на душу населения; X2j (вход 2) - [Оборот розничной торговли] + [Оборот оптовой торговли] + [Объём платных услуг], рублей на душу населения; Ху (вход 3) - [Грузооборот транспорта], тонно-километры на душу населения; X4j (вход 4) — [Денежные доходы населения], рублей. Выходные параметры: Yy (выход 1) - [Доходы, собранные на территории], рублей на душу населения. Для краткости введем сокращенные названия для составных параметров: Ху (вход 1) - [Объем произведенной промышленной продукции], + [Объём продукции сельского хозяйства] + [Объем выполненных подрядных работ] будем называть реальным сектором, Ху (вход 2) - [Оборот розничной торговли] + [Оборот оптовой торговли] + [Объём платных услуг] - торговым сектором.
В модели исследуется уровень собираемых доходов в зависимости от уровня доходов населения, товарооборота, объема произведенной промышленной и сельскохозяйственной продукции и грузооборота транспорта. Эта модель отражает влияние реального сектора, сектора торговли, транспорта и доходов населения, на доходы, собираемые с территории. Такая модель достаточно полно -характеризует состояние экономики в регионе.
Количество регионов в Южном Федеральном Округе мало, поэтому будем считать регионы за различные года различными объектами, а так же включим в рассмотрение Южный Федеральный Округ целиком. Таким образом, должно получиться 56 объектов, но вследствие отсутствия данных необходимых для расчетов из рассмотрения были исключены 9 объектов.
Рассчитаем меру эффективности регионов для выбранной модели по выходу. Мера эффективности обладает наглядной интерпретацией, она показывает расстояние в относительных единицах до эффективной гиперповерхности (множества регионов, функционирующих оптимально, при заданных условиях) вдоль вектора выпуска (для входной модели) изучаемого региона. Или, другими словами, мера эффективности определяет долю реального выпуска от максимально возможного в заданных социально-экономических условиях.
Построим гистограмму распределения эффективностей, рисунок 4.1. На рисунке по горизонтальной оси отложены диапазоны меры эффективности, по вертикальной оси - количество регионов попавших в соответствующий диапазон.
Как видно из приведенной гистограммы всего 15 объектов имеют эффективность больше 50%, а подавляющее большинство меньше 50%. Установим причину такого распределения эффективностей, для этого рассмотрим 9 объектов, эффективность которых больше 90%, таблица 4.1. В первом столбце таблицы приведены зашифрованные названия регионов и год, за который взяты данные по этому региону. Во втором столбце приведена эффективность региона в процентах. В эту группу попали 3 региона: Регион А, Регион В и Регион С за различные периоды.
Производственная функция - двумерное сечение эффективной гиперповерхности, проходящее через объект вдоль его вектора ресурсов и вдоль вектора выпуска. На рисунке буква А обозначает Регион В за 2003 год. Горизонтальная ось направлена вдоль вектора ресурсов (входных параметров) Региона В, а вертикальная ось идет вдоль вектора выпуска (выходного параметра) исследуемого объекта. Точками обозначены проекции регионов на плоскость сечения.
Из рисунка видно, что Регион В сильно влияет на характер производственной функции, а значит и всей эффективной гиперповерхности. Регион В значительно поднимает гиперповерхность вверх, делая все остальные регионы не эффективными. В результате детального исследования этого региона выяснилось, что основной причиной 100%-ной является созданная на его территории оффшорная зона. В период с 2000 по 2003 года в Регионе В минимизировало налогообложение большое количество предприятий из городов других регионов России.
Из теоретической части ясно, что участвующие в анализе объекты должны быть однородными. Регион В, как следует из вышесказанного, условию однородности не удовлетворяет (значительная часть доходов с его территории формируется за счет организаций, которые ведут свою деятельность в других регионах Российской Федерации), поэтому этот регион за весь рассматриваемый период следует исключить из рассмотрения и дальнейшие расчеты проводить без него.
Рассчитаем эффективность для 43 объектов (без Региона В) и построим гистограмму распределения эффективностей, рисунок 4.3. На рисунке по горизонтальной оси отложены диапазоны коэффициента эффективности, по вертикальной оси - количество регионов попавших в соответствующий диапазон.
