Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задач прямого синтеза ИСУ 20
1.1 Импульсные системы управления 20
1.2 Методы исследования ИСУ в непрерывном времени (обзор) 30
1.3 Детерминированные задачи 41
1.4 Стохастическая задача 49
1.5 Минимаксная задача 55
1.6 Выводы 60
2 Полиномиальное решение задач квадратичной оптимизации 62
2.1 Полиномиальные методы в теории управления 62
2.2 Стабилизация замкнутого контура 65
2.3 Полиномиальное решение квадратичной задачи 69
2.4 Взвешенная квадратичная задача 82
2.5 Выводы 86
3 Полиномиальное решение Шоо-задачи 88
3.1 Предварительные результаты 88
3.2 Нелинейные полиномиальные уравнения 92
3.3 Оптимальная функция-параметр 95
3.4 Прямой синтез регулятора 100
3.5 Смешанная ^/ЛН^ задача для ИСУ 104
3.6 Выводы 109
4 Оптимизация ИСУ при детерминированных входных сигналах 111
4.1 Оптимальная следящая ИСУ 111
4.2 Д^оо-оптимальпые следящие ИСУ 120
4.3 Оптимальные ИСУ с упреждением входного сигнала . 125
4.4 Оптимальные ИСУ с двумя степенями свободы 13G
4.5 Слежение при незатухающем входном сигнале 148
4.6 Задача переоборудования 158
4.7 Выводы 163
5 Оптимизация ИСУ при случайных входных сигналах 166
5.1 Т^-онтимальиые ИСУ 166
5.2 Л^оо-оптимальные ИСУ 178
5.3 Оптимальные ИСУ с упреждением входного сигнала . 183
5.4 Выводы 189
6 Синтез квазиоптимальных цифровых регуляторов 190
6.1 Введение 190
6.2 Двухуровневый алгоритм оптимизации 193
6.3 Параметризация множества допустимых характеристических полиномов 197
6.4 Полиномиальный метод минимизации квадратичных функционалов 208
6.5 Синтез регуляторов специальной структуры 215
6.6 Примеры 220
6.7 Выводы 225
7 Пакет DIRECTSD 3.0 для среды MATLAB 227
7.1 Общее описание 227
7.2 Операции с полиномами и квазиполиномами 228
7.3 Анализ и оптимальный синтез ИСУ 233
7.4 Выводы 240
8 Технические приложения 241
8.1 Регулятор курса для фрегата пр. 11356 241
8.2 Регулятор курса для судна ГС-439 248
8.3 Регулятор курса для аппарата "Тор-НП" 263
8.4 Выводы 271
Заключение 273
Новые результаты 273
Дальнейшие исследования 276
- Детерминированные задачи
- Взвешенная квадратичная задача
- Прямой синтез регулятора
- Слежение при незатухающем входном сигнале
Введение к работе
Актуальность проблемы
В современных условиях большинство систем управления техническими средствами (судами, самолетами и т.д.) строится на базе компьютерной техники. Важнейшим этапом проектирования таких систем является разработка цифровых законов управления непрерывными объектами. Для решения этой задачи в литературе предложено три подхода (см. рисунок 0.1) [73,97]:
переоборудование, которое сводится к замене непрерывного регулятора его дискретной моделью в результате аппроксимации;
дискретизация объекта - построение дискретной модели непрерывного объекта и последующий синтез регулятора методами теории дискретных систем;
прямой синтез цифрового регулятора для непрерывного объекта без каких-либо упрощений и аппроксимаций.
синтез
непрерывный объект
дискретизация объекта
непрерывный регулятор
переоборудование
дискретная модель
синтез
дискретный регулятор
Рисунок 0.1 - Три подхода к синтезу цифровых регуляторов
Первые два подхода являются приближенными и фактически предполагают замену одной задачи другой с целью применить известные результаты теории стационарных (непрерывных или дискретных) систем. В
первом случае игнорируется наличие цифровой части (импульсного элемента, дискретного регулятора и экстраполятора). При этом иногда дискретизация полученного аналогового регулятора не позволяет добиться желаемого эффекта [105].
При использовании второго подхода не учитывается поведение системы в промежутках между моментами квантования, что может привести к принципиально неверным результатам, например, к скрытым колебаниям [40]. В работах [88,172,267-269,295,320,321] приводятся примеры задач синтеза ИСУ, в которых оптимизация по дискретной модели объекта приводит к неработоспособной системе, и выполнен теоретический анализ причин этого явления. Другой недосталок метода дискретизации объекта состоит в том, что требования к системе, сформулированные в непрерывном времени, не всегда легко перевести в соответствующие дис-кретизированные показатели качества.
На современном этапе в теории импульсных систем управления (ИСУ) основное внимание уделяется точным методам анализа и синтеза. Во многом это связано с тем, что приближенные методы проектирования могут приводить к неработоспособным решениям.
Рассмотрим простейшую структурную схему, изображенную на рисунке 0.2.
(t)
r{t) e(t) і
—О—Ч ЦВМ
u(t) ..
Рисунок 0.2 Простейшая импульсная система управления
Объект управления моделируется как двойной интегратор с передаточной функцией F(s) = 1/s2, возмущающее воздействие w(t) единичный центрированный белый шум. Требуется минимизировать взвешен-
ную сумму средних дисперсий сигналов ошибки e(t) и управления u(t), используя линейный цифровой регулятор на базе цифровой вычислительной машины (ЦВМ). Применение трех указанных подходов приводит к трем различным регуляторам1, качество работы которых иллюстрируется на рисунке 0.3.
у Переоборудование
і .0 I
О 5
ш Дискретизация
1.5|
О 5
0.5
vi/ Прямой синтез
1.5і
Рисунок 0.3 Сравнение трех подходов
Два верхних графика показывают переходные процессы в системе, построенной по методу переоборудования. Следующая пара графиков соответствует методу дискретизации объекта, а графики в нижнем ряду -прямому методу синтеза. Во всех случаях интервал квантования равен 0,1 с. По этим графикам хорошо видно, что применение приближенных методов в данной задаче приводит к существенным колебаниям управляющего сигнала, фактически система находится на границе устойчивости.
1 Здесь мы намеренно останавливаемся только на качественных результатах на избегаем подробных выкладок, которые были опубликованы в [88,295].
Более того, этот эффект сохраняется и даже усиливается при уменьшении интервала квантования. В то же время регулятор, полученный прямым методом синтеза, обеспечивает качественные переходные процессы. Таким образом, использование точных методов оптимального синтеза -насущная необходимость, вызванная потребностями практики.
В последние годы были разработаны две группы методов прямого синтеза оптимальных ИСУ: временные методы, использующие модели в пространстве состояний, и частотные методы. Методы первой группы оказались эффективными для численного решения некоторых стандартных задач, однако попытки распространить их па более широкие классы систем, например, па системы с запаздыванием, пока не увенчались успехом. Кроме того, при использовании этого подхода оказалось практически невозможно получить качественные результаты: выявить структурные особенности оптимального регулятора, сокращения в его передаточной функции, определить порядок минимальной реализации.
Среди частотных методов наибольшими теоретическими возможностями обладает конечномерная частотная теория цифрового управления (теория ППФ). Разработанные на ее основе методы прямого синтеза ИСУ позволили значительно расширить класс решаемых задач в сравнении с временными методами. Однако соответствующие вычислительные алгоритмы, использующие операции с передаточными функциями и параметризацию множества стабилизирующих регуляторов, оказались негрубыми и малопригодными для автоматизированного проектирования. Это связано с двухступенчатой процедурой оптимизации, в ходе которой сначала строится оптимальная функция-параметр, а затем с помощью нее вычисляется дискретная передаточная функция (ДПФ) оптимального регулятора.
Таким образом, в теории импульсных систем можно выделить серьезную проблему, которая до настоящего времени не получила удовлетворительного решения: необходимость разработки прямых методов синтеза оптимальных цифровых регуляторов, применимых к широкому классу систем,, позволяющих получать качественные результаты и обладающих вычислительной надежностью.
Для решения этой задачи в настоящей диссертационной работе предлагается новый подход, основанный на совместном использовании концепции ППФ и теории полиномиальных уравнений. Он позволяет во многом сиять вычислительные проблемы, свойственные разработанным ранее частотным методам синтеза ИСУ, сохранив все их достоинства. Кроме того, удается распространить метод ППФ на ряд новых задач.
Основные результаты
В диссертации разработан полиномиальный подход к задачам синтеза оптимальных импульсных систем, основанный на концепции ППФ и теории полиномиальных уравнений. Применение аппарата ППФ позволяет свести широкий класс задач оптимизации ИСУ к аналогичным задачам для некоторых эквивалентных дискретных систем. Полиномиальные методы оптимизации дают возможность строить решение, заранее определив по исходным данным структуру оптимального регулятора и его порядок.
В диссертации построены полиномиальные решения задач оптимизации для так называемой стандартной импульсной системы, принятой в качестве базовой структуры. Это позволяет не выводить заново полиномиальные уравнения, определяющие оптимальный регулятор в каждой конкретной задаче, а строить решения всех специальных задач как частные случаи общего решения.
В работе исследуются задачи оптимизации ИСУ при детерминированных и стохастических входных сигналах. В том числе рассмотрены системы с двумя степеням/а свободы (системы комбинированного управления), в которых для повышения точности слежения за опорным сигналом используется дополнительный корректирующий регулятор вне замкнутого контура.
Поставлена и решена задача оптимального цифрового управления с упреждающим входным сигналом, которая возникает в робототехнике, а также при проектировании автономных подвижных объектов. Исследованы свойства оптимального решения и предельные возможности управления при бесконечном увеличении времени упреждения. Необходимо отметить, что предложенные в западной литературе методы в настоящее время не позволяют решать задачи этого типа.
В диссертации разработаны полиномиальные методы минимизации ассоциированной Ню-нормы (Д^оо-нормы) импульсной системы, которая определяется как "Ноо-норма дискретной передаточной функции эквивалентной дискретной системы. В рамках полиномиального подхода решение задачи прямого синтеза ЛНоо-оптимального регулятора сводится к решению системы нелинейных полиномиальных уравнений. Доказано, что при слабых допущениях, которые почти всегда выполняются в практических задачах, искомое решение этой системы всегда существует и (за исключением особых случаев) единственно.
Известно, что строго оптимальные законы управления относительно редко применяются на практике. Это связано с тем, что оптимальные регуляторы имеют достаточно высокий порядок, что нежелательно в приложениях. Кроме того, они могут обладать "хрупкостью" высокой чувствительностью к точности задания параметров при реализации. Наконец, в ряде задач не существует оптимального стабилизирующего
регулятора, поскольку строго оптимальная система находится на границе устойчивости. Поэтому для инженерной практики актуальна задача синтеза квазиоптимальных регуляторов, которые имеют пониженный порядок (в сравнении с оптимальным) и обеспечивают расположение всех корней характеристического полинома замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости внутри области устойчивости.
В диссертации предлагается новый метод поиска квазиоптимальных регуляторов, основанный на параметризации множества всех регуляторов пониженного порядка, при которых характеристический полином замкнутой системы равен заданному. Построена параметризация множества допустимых характеристических полиномов, обеспечивающих заданную степень устойчивости и степень колебательности системы, что позволяет эффективно применить алгоритм глобальной оптимизации в гииерпря-моугольнике в пространстве свободных параметров. Важно, что эта параметризация не вносит консерватизма в решение, т.е., не сужает класс рассматриваемых регуляторов.
Разработанные методы и алгоритмы реализованы в пакете DlRECTSD для среды MATLAB и успешно применялись для синтеза цифровых законов управления морскими подвижными объектами.
Структура диссертации
Работа организована следующим образом.
Детерминированные задачи
Рассмотрим стандартную ИСУ, изображенную на на рисунке 1.1. Обозначим через Ei(t) реакцию системы на входной сигнал Wi(t) = t{ S(t) (і = 1,..., m), где т - размерность вектора w. Далее рассматриваются только физически реализуемые системы, в которых сигнал на выходе не может появиться раньше, чем входной сигнал, т.е., e t) О при t 0. Будем предполагать, что выполнены следующие допущения:
Очевидно, что допущение Д1 необходимо для существования практически значимого закона управления. Для выполнения Д1 достаточно, чтобы а) непрерывная часть системы была стабилизируема непрерывным регулятором и б) для всех различных полюсов pi (i = 1,...,п) передаточной матрицы P(s) непрерывного объекта выполнялись расширенные условия невырожденности [97,277,318]:
Период квантования T, удовлетворяющий (1.9), называется иепатологи-ческим [165]. Условие Д2 обеспечивает корректность постановки задачи (318].
По аналогии с задачей %2-оптимизации непрерывных систем [175,381], в качестве простейшей функции потерь можно выбрать 1=1 Здесь для оценки сигнала ег-() используется его 2-порма, которая характеризует энергию сигнала [165,17б,381[:
где обозначает евклидову норму числового вектора.
Для ИСУ невозможно применить обычное понятие передаточной матрицы, поскольку она является периодически нестационарной системой. Тем не менее, задача минимизации величины (1.10) имеет смысл. Она рассматривалась в статье [163], где был использован термин "%2-оптимальное управление", по указано, что он не вполне правомерен и применяется только по аналогии со стационарными системами. Позднее эта задача получила название "простой %2-задачи" [165].
ПРОСТАЯ -ЗАДАЧА:
При выполнении допущений Д1-Д2 найти Kopt(0 — arg min Jo .
Частным случаем этой задачи является минимизация 2-иормы ошибки ЦеЦг при известном входном сигнале w(t), который равен нулю при t 0 и имеет изображение по Лапласу W(s) (/ -задача). Включив формирующий фильтр с передаточной функцией W(s) в состав обобщенного объекта Р, можно построить стандартную ИСУ (см. рисунок 1.1), в которой входной сигнал w - скалярный, и на него поступает единичный импульсный сигнал S(t).
Если для стационарных систем значение функции потерь JQ не зависит от момента приложения импульсов на входе системы, для ИСУ эта величина определяется интервалом между началом действия входного сигнала и моментом срабатывания импульсного элемента. Разница во времени между этими двумя событиями может составлять от 0 до Т, поэтому величина JQ не полностью определяет реакцию ИСУ на импульсы, и вместе с Jo надо рассматривать также множество значений де iT{t) обозначает сигнал выхода при импульсном входе wiT(t) =ЄІ6(Ь-Т).
В качестве усредненной характеристики в [143] и [236J независимо бы-ло предложено использовать величину называемую обобщенной %2-мерой для импульиых систем. В [165J показано, что более логично определить функцию потерь как
Эта величина имеет физический смысл, для стационарных систем (т.е., когда Jr = Jo при всех т) она совпадает с квадратом %2-нормы передаточной матрицы. Аналогично можно ввести и Т -норму для ИСУ и сформулировать соответствующую задачу оптимизации.
Взвешенная квадратичная задача
В некоторых случаях требуется построить решение взвешенной задачи, зная решение исходной (невзвешенной). Для этого достаточно решить дополнительно одно полиномиальное уравнение, при этом регулятор имеет так называемую вложенную структуру [197,199], т.е., решение взвешенной задачи строится путем соответствующих "добавок" к решению исходной задачи.
Пусть выполняются допущения W1-W2 и полипомы {N, D, П} определяют решение невзвешенной задачи оптимизации (см. теорему 2.2). Тогда минимум, функционала (2.40) на множестве стабилизирующих регуляторов достигается при выборе
К«АО = 71Г, (2-48)
Доказательство. См. приложение А.
Заметим, что при па — da = 1 минимальное (относительно Па) решение уравнения (2.50) имеет вид {V — 0, Иа — П}, поэтому формула (2.48) превращается в (2.25).
Пример 2.5 Найдем оптимальный регулятор для взвешенной квадратичной задачи из примера 2.4, используя теорему 2.4. Решая уравнение (2.50) относительно полиномов Пст и К, получаем что совпадает с (2.47) и, следовательно, приводит к тому же регулятору.
В этой главе разработан полиномиальный метод минимизации квадратичного функционала общего вида, в которому сводятся все рассматриваемые детерминированные и стохастические задачи оптимизации ИСУ. В разд. 2.1 дан обзор работ, посвященных использованию полиномиальных методов в теории управления. Отмечается, что до настоящего времени эти методы не применялись в задачах синтеза ИСУ.
В разд. 2.2 излагаются главным образом известные результаты, связанные с параметризацией множества допустимых (стабилизирующих и физически реализуемых) регуляторов.
В разд. 2.3 предложен полиномиальный алгоритм минимизации квадратичных функционалов общего вида. Построена система двух полиномиальных уравнений, решение которой определяет непосредственно числитель и знаменатель оптимальноїч) регулятора, доказано существование и единственность оптимального решения. Такой подход впервые применяется для решения задач синтеза ИСУ. В отличие от классической процедуры оптимизации Винера-Хопфа, он не использует полиномы O,Q и 6о, и позволяет сразу строить оптимальный регулятор без вычисления функции-параметра Ф. Полученные результаты применимы также и для решения задач оптимизации непрерывных и дискретных систем.
В разд. 2.4 получено общее полиномиальное решение взвешенной задачи квадратичной оптимизации ИСУ. Показано, что оптимальный регулятор имеет "вложенную" структуру и может строиться на основе решения невзвешенной задачи.
Прямой синтез регулятора
В настоящем разделе описывается прямой метод синтеза ДПФ оптимального регулятора, при котором не требуется определять оптимальную функцию-параметр Фоо, а уравнения составляются непосредственно относительно полиномов, формирующих варьируемые части числителя и знаменателя ДПФ оптимального регулятора.
Доказательство. См. приложение Б.
Нормальный и особый случаи разделяются согласно теореме 3.5 в зависимости от свойств полинома /д0.
В принципе для того, чтобы сразу определить Nov и Дзо, можно решать систему уравнений (З.б) и (3.28)-(3.29), однако такой метод оказывается менее привлекателен с вычислительной точки зрения, поскольку увеличивает число неизвестных. Более эффективно сначала найти Ли/, решив систему (3.6)-(3.8), а затем найти полиномы JVoo и Цх, из (3.28) (3.29) с помощью элементарных операций.
В большинстве практически важных случаев полиномы N и Д» имеют общий множитель, который легко определить заранее.
ЛЕММА 3.5. Пусть справедливо представление (3. 15) Тогда полином Noo делится на д. Если, кроме того, НОД (9, п) = 1, то полином Doc также делится на д. Доказательство. См. приложение Б. Таким образом, при выполнении условия НОД (д, п) — 1 можно вы числять iVoo и .DQQ, используя модифицированные уравнения
Пример 3.2 Построим оптимальный регулятор для задачи, рассмотренной в примере 3.1. При полученных ранее полиномах / и егд, соответствующих оптимальному решению пониженного порядка, из (3.28)—(3.29) находим:
Как и предполагалось, полиномы JV и D делятся нацело на полином д (3.20).
Используя (3.9), можно показать, что оптимальный регулятор имеет "вложенную" структуру. Подстановка выражений n Q — f х и da(() = а\ ] в формулы (2.49) и (2.50) дает где полиномы V(() и f(() удовлетворяют уравнению (3.23) и / \dj\.
Доказательство. См. приложение Б.
Нормальный и особый случаи разделяются так же, как и в теореме 3.5.
Пример 3.3 Рассмотрим ассоциированную -задачу, соответствующую стохастической задаче фильтрации, которая исследовалась в примерах 1.4 и 2.3. Используя выражения для функций Л, В и Е, полученные в примере 1.4, получаем:
Слежение при незатухающем входном сигнале
При оптимизации переходных процессов функция R на рисунке 4.1 задает модель эталонного входного сигнала. В качестве такого сигнала часто принимают единичную ступенчатую функцию ли линейно возрастающую функцию
В этом случае с формальной точки зрения нарушается допущение Д1, поскольку модель входного сигнала содержит интегрирующие звенья, находящиеся вне замкнутого контура. При этом не все сигналы в системе затухают при t - оо и возникают следующие проблемы:
1) если дискретный сигнал {uk} на выходе цифрового регулятора не затухает при t — оо, на выходе системы в общем случае наблюдается незатухающий установившийся процесс [318];
2) не для любой ИСУ существует стабилизирующий регулятор, который при заданном входе обеспечивает выполнение условия (1.13) (конечность / 2-НОрМЫ Ошибки).
Задача данного раздела состоит в том, чтобы
1) определить, при каких условиях существует стабилизирующий регулятор, обеспечивающий выполнений условия (1.13);
2) разработать алгоритм оптимизации, учитывающий наличие полюсов функции R в точке s = 0.
Как показано в [97,318], в общем случае при детерминированном входном сигнале w(t), имеющем изображение W(s) = —у при п 0, на ыходе ИСУ с параметрической передаточной функцией W(s,t) устанавливается процесс4
Используя формулу Лейбница [115], получаем суть ограниченные Т-периодические функции [3181, аС! -г! (п — г)! иномиальные коэффициенты. Таким образом, необходимые и достаточ ные условия отсутствия статической ошибки принимают вид дг
В то же время при m 0 условие (4.58) не выполняется, т.е., q = 1. Это означает, что фиксатор нулевого порядка обеспечивает отсутствие скрытых колебаний при отслеживании ступенчатого сигнала (при п = 0). В случае линейно возрастающего сигнала для подавления скрытых колебаний необходимо обеспечить ds(0) = 0 (если функция P2i{s) аналитична при s — 0). Этот вывод подтверждает принцип внутренней модели для ИСУ [117]: для обеспечения астатизма порядка п 4-1 в непрерывном времени в ИСУ с фиксатором нулевого порядка непрерывный объект управления должен содержать по меньшей мере п интегрирующих звеньев.
Пример 4.8 Для экстраполятора первого порядка, способного вырабатывать линейно возрастающий сигнал [7], имеем
Условия (4.58) выполняются при т — 0 и т — 1, т.е., q — 2. Это означает, что экстраполятор первого порядка порядка обеспечивает отсутствие скрытых колебаний при отслеживании ступенчатого (при п = 0) и линейно возрастающего (при п — 1) сигналов. В случае полиномиального сигнала степени п 1 для подавления скрытых колебаний необходимо включить по крайней мере п — 1 интегрирующих звеньев в контур управления.
Для решения задачи синтеза оптимальной следящей ИСУ при ступенчатом входном сигнале Ш. Чанг (S.S.L. Chang) [120J предложил использовать предельный переход, заменяя интегратор в модели возмущения на устойчивое звено с передаточной функцией
где б - очень маленькое число. После выполнения процедуры синтеза стандартным методом остается выполнить предельный переход, устремив є к нулю в передаточной функции полученного оптимального регулятора. Этот прием был предложен Ш. Чангом на интуитивном уровне, без достаточною обоснования. В настоящем разделе будет показано, что он действительно дает верное решение задачи, если только оно существует. В данном разделе будем использовать следующие предположения.
Р1. Условия отсутствия скрытых колебаний (4.53) выполнены при любом выборе функции-параметра Ф.
Р2. Существует непустое множество регуляторов, обеспечивающих выполнение условий (4.52), т.е., уравнение (4.54) разрешимо.
Как следует из леммы 4.9, при выполнении Р2 множество функций Ф, соответствующее допустимым стабилизирующим регуляторам, параметризуется в виде де Т(С) = (С — 1)п+\ Рф{0 _ известный полином степени п и Ф() произвольная устойчивая функция.
Рассмотрим задачу минимизации квадратичного функционала общего вида (2.9)
Строго говоря, для решения задачи минимизации J па множестве устойчивых рациональных матриц Ф нельзя применить классический метод Винера-Хопфа, потому что нарушены допущения W1 и W2 разд. 2.3.1:
