Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Абстрактные ряды Фурье и основные положения ОСАМ 28
1.1. Обобщённые ряды Фурье. Основные положения 28
1.2. Классические ортогональные базисы 37
1.3. Оптимизация разложения данных отрезками ортогональных рядов 45
1.4. Структурные компоненты и основные свойства ОСАМ 48
Глава 2. Обработка информации с помощью классических ортогональных базисов непрерывного аргумента 50
2.1. Некоторые свойства обобщённых рядов Фурье 50
2.2. Исследование нарушения ортогональности базисов непрерывного аргумента в вычислительных задачах 53
2.3. Алгоритмы устранения эффекта нарушения ортогональности, вызываемого дискретизацией исследуемого сигнала 58
2.4. Потеря счётной устойчивости в алгоритмах вычисления функций высокого порядка на примере функции Лагерра 64
2.5. Построение устойчивых алгоритмов вычисления функций Лагерра высокого порядка 69
2.6. Аналитическое сравнение классических ортогональных базисов непрерывного аргумента, тригонометрических рядов Фурье и вейвлет-анализа 72
Глава 3. Некоторые прикладные задачи ОСАМ и системная методология структурного синтеза алгоритмов их решения 76
3.1. Классификация прикладных задач ОСАМ 76
3.2. Распознавание образов, идентификация и восстановление данных 81
3.3. Прогнозирование процессов и потоков данных 82
3.4. Структурно-функциональный подход к решению неформализованной задачи выбора наилучшего базиса ОСАМ 86
Глава 4. Использование ОСАМ в решении прикладных задач обработки сигналов 93
4.1. Технология адаптивной аналитической аппроксимации и сжатие цифровых данных 93
4.2. Описание, распознавание и синтез акустических сигналов и прогнозирование реверберационных искажений 97
4.3. Модель акустического канала и шумов реверберации в слабодиспергирующей среде 100
4.4. Тестирование канала передачи данных ортогональными базисами непрерывного аргумента 104
4.5. Определение параметров среды и алгоритмы восстановления исходного сигнала 110
Заключение 118
Библиография 121
- Классические ортогональные базисы
- Исследование нарушения ортогональности базисов непрерывного аргумента в вычислительных задачах
- Распознавание образов, идентификация и восстановление данных
- Модель акустического канала и шумов реверберации в слабодиспергирующей среде
Классические ортогональные базисы
Спектральный анализ – метод обработки сигналов, в котором преобразование Фурье [87] связывает временную или пространственную реализацию сигнала с его представлением (образом) в частотной области [45, 55, 67]. Реальные сигналы могут иметь случайный характер или быть случайным образом зашумлены [122]. Если бы основные статистические характеристики исследуемого сигнала были бы известны точно или их можно было бы определить по конечному отрезку этого сигнала, то спектральный анализ являлся бы «точной наукой» [84, 142, 183]. На практике по отрезку сигнала можно получить только грубую оценку его спектра [68, 79, 100], которая к тому же имеет достаточно субъективный характер [3, 68]. Различие спектральных оценок, получаемых после обработки одного и того же сигнала разными методами [78], вызвано различием допущений, принятых относительно данных, разными способами усреднения и т.п. [119]. Поэтому для получения достоверной информации об исследуемом сигнале требуется системный подход к выбору способа обработки исходных данных.
Анализ нестационарных сигналов (текущий и мгновенный спектры) и представление нестационарных сигналов аналитическими функциями как способ обработки экспериментальных данных обобщёнными рядами Фурье осложняется рядом проблем при численной реализации [8, 23, 79]. В первую очередь, это нарушение ортогональности и потеря счётной устойчивости для функций высокого порядка (функций с высокими значениями порядкового номера) [14, 26, 37, 79]. Увеличение производительности вычислительных машин и быстродействия процессоров не решает указанную проблему [157], однако накладывает специфические требования на использование таких спектральных методов и ортогональных функций высокого порядка, что подтверждают работы Дж. Шена (Shen J.) [179] и Шварцбурга А.Б. [146] для исследования различных радиофизических сигналов. В работе Графова Б.П. и Графовой И.Б. (Grafov B.P., Grafova I.B.) [163], например, рассматривается использование функций Лагерра [167] в контексте вейвлет-преобразования [12], а в работах В.А. Зверева, А.А. Стромкова [79] и других авторов [46, 83, 107] отражено применение эмпирических ортогональных функций [107, 152] как оптимальных для описания и обработки радио и гидроакустических сигналов [56, 115, 120].
Составляющие ядро ОСАМ классические полиномы и функции непрерывного аргумента до работ А.Ф. Никифорова и В.Б. Уварова [106] (60e-70e годы ХХ века) называли специальными функциями математической физики [44, 92, 129, 131]. В работах А.Н. Панкратова, С.Н. Махортых и некоторых других авторов [63, 88, 110] показано, что ОСАМ – это обобщение проекции (разложения) функции одного аргумента на любую ортогональную систему функций [84, 110]. Классические полиномы и функции непрерывного аргумента имеют ряд общих свойств [63, 126], что выделяет их как отдельный класс [129, 131]. Однако до недавнего времени системы функций, хорошо изученные аналитически (например, Лагерра и Эрмита), редко применялись для разложения сложных сигналов.
Современная компьютерная обработка сигналов для получения частотного спектра в подавляющем большинстве случаев использует быстрое преобразование Фурье (БПФ) в сочетании с оконными преобразованиями [59, 99, 100]. Впервые алгоритм БПФ, в котором для вычисления спектра преобразования Фурье требовался минимум операций, был предложен в 1965 году в статье Кули (Cooly) и Тьюки (Tukey) [159]. В дальнейшем было разработано множество его дополнений и усовершенствований, но основная идея БПФ осталась прежней. Появившийся на рубеже ХХI века сверхбыстрый спектральный метод [145, 176] хорошо справляется с обработкой процессов с ярко выраженной нестационарностью и наиболее эффективен [176] для сверхдлительных реализаций [66, 121, 180], поскольку не критичен к ширине спектра сигнала и влиянию аддитивной помехи. Но результаты этого метода не всегда совпадают с реальными характеристиками сигнала [55, 122], которые даёт Фурье-анализ [94] или ОСАМ. Поэтому, как и в случае спектрального анализа случайных процессов, для выбора метода обработки сигнала требуется системный подход.
Развитие вейвлет-анализа, как показано в работах И. Добеши [72], Н.М. Астафьевой [6] и других авторов [144, 172], породило кратно-масштабную концепцию частотно-временного описания сигналов, в которой спектр одномерного сигнала представлен поверхностью в трёхмерном пространстве. Кроме того, введение в Фурье-анализ понятия "текущий спектр" значительно расширило его возможности [79, 91, 152].
Сравнение различных классов ортогональных преобразований возникло в ходе развития ОСАМ и его приложений. Необходимость такого сравнения подтверждается сходством некоторых базисных функций ОСАМ и вейвлетов (например, функций Эрмита и вейвлета Морле), с работами по синтезу новых базисов [144] и вариациями существующих [64]. Более того, модифицированные ортогональные базисы на основе классических ортогональных полиномов непрерывного аргумента некоторые авторы ошибочно называют "вейвлетами" [163]. Это не совсем корректно, но в сложившейся терминологии [72] вейвлет-анализа такие функции также могут являться базисными вейвлетами. Ввиду того, что свойства классических ортогональных полиномов и модифицированных функций непрерывного аргумента на их основе хорошо изучены, с таким базисами удобно проводить различные математические операции [110], а в некоторых случаях допустимо исключительно их использование [57, 107] для обработки сигналов по причине сходства с формой и локализацией сигнала на масштабе преобразования, близости к собственным функциям преобразования Фурье [93]. В качестве примеров можно привести многочлены Эрмита, которые в квантовой механике входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора [95], или рассмотренное в работах [46, 141] решение нелинейного уравнения Шрёдингера [150, 168] в виде суперпозиции функций Якоби, Эрмита и Лежандра, а также функции Сонина-Лагерра [106, 129] как собственные функции преобразования Ганкеля и Лапласа.
Исследование нарушения ортогональности базисов непрерывного аргумента в вычислительных задачах
Ряды Фурье имеют широкую область использования. Тем не менее, некоторые их свойства не всегда очевидны [79, 100], и могут существенно влиять на результаты обработки сигналов, проводимой без учёта этих свойств. Так, некоторые источники дают определения интеграла Фурье, отличающиеся от (1.33, 1.34) коэффициентом перед интегралом, а также знаком в показателе экспоненты. Свойства (1.33) в этом случае аналогичны, но некоторые формулы могут изменяться. Кроме этого, существуют разные определения термина «обобщённый ряд Фурье». В настоящей работе, как показано в разделе 1.1, обобщённый ряд Фурье означает проекцию функции из L2 на систему ортогональных функций в сепарабельном пространстве Гильберта (1.20). Такое определение имеет некоторые особенности.
При обобщении рядов Фурье из L2 на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со свёрткой. Коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения функций представляются свёрткой коэффициентов Фурье. Эти свойства являются ключевыми для приложения рядов Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому имеют значение обобщения рядов Фурье, сохраняющие эти свойства, например, изоморфизм Понтрягина – пространство, в котором рассматриваются функции, заданные на локально-компактных абелевых группах [103]. Аналогом обобщённого ряда Фурье (1.20) для таких функций являются функции, заданные на двойственной группе. 20. Не для всякой функции из L1 ряд Фурье сходится (проблема Н.Н. Лузина, теоремы Меньшова-Радемахера и Карлесона), поэтому не для всякой функции определено преобразование Фурье F=F[s(t)] (1.28).
30. Фурье-анализ произвольных сигналов имеет ряд особенностей (таких как аппаратная функция) при разложении в тригонометрические ряды и последующем восстановлении. Ввиду ограниченной информативности анализа нестационарных сигналов появились термины «текущий спектр», оконное преобразование Фурье и вейвлет-анализ, поскольку разрывы, ступеньки, пики и другие особенности сигналов в частотной области распределены по всему спектру. Фурье-образ не отражает локальные свойства сигнала при быстрых изменениях его спектра, так как интеграл (1.33) не показывает изменения спектра в произвольные моменты времени.
Весовая функция (ґ) в преобразовании (1.28) порождает зависимость ошибки аппроксимации от значений аргумента аппроксимируемой функции. Подобный эффект присутствует в оконном преобразовании Фурье, где из сигнала s(i) вырезаются значения, пропорциональные величине окна W(i)
Если АЧХ сигнала s{i) непрерывна, интеграл (1.28) является преобразованием Фурье, если же спектр сигнала дискретный, то преобразование (1.28) относится к рядам Фурье. Однако непериодический сигнал с непрерывным Фурье-спектром можно представить ортогональным рядом (1.20) с дискретным набором коэффициентов разложения (1.28).
Для восстановления исходного сигнала по его Ts отсчётам, или интерполяции значений между этими отсчётами с помощью обратного преобразования Фурье, дискретизированные данные S(f) нужно пропустить через идеальный фильтр нижних частот FW с прямоугольной АЧХ: Sa(f) = Ss(f)FW = (Sa(f) F[Ts])FW. (2.3)
В соответствии с теоремой о свёртке для тригонометрического ряда Фурье s(t) = Ss(t) F-1\FW] = F[s(t)Ts] F-1[FWl (2.4) где - операция свёртки, Ss(t) - отсчёты сигнала, теорема Котельникова (отсчётов) во временной области [142] представляет собой интерполяционную формулу, которая позволяет точно восстановить сигнал s(t) с ограниченным до fs спектром по бесконечному числу отсчётов TS={t0, t0+T0, ..., t0+kT0, ...}, если T0–1 2fs. В реальности число отсчётов всегда ограничено, как и длина ряда (1.20) и восстановленный сигнал имеет осцилляции в окрестностях скачков и разрывов (эффект Гиббса). Дуальная к (2.4) теорема отсчётов в частотной области [100] позволяет для сигналов конечной длительности T однозначно произвести непрерывное восстановление (обратное преобразование Фурье) спектра S(f) по эквидистантным отсчётам {0, f0, 2f0,..., T–1}, если 2T f0–1. В данной работе аналогом теоремы Котельникова для обобщённых рядов Фурье является скалярное произведение в пространстве функций дискретного аргумента f(ti) на специально выбранной сетке.
Распознавание образов, идентификация и восстановление данных
Сравнение спектрального состава (в смысле гармонического Фурье-анализа) базисных функций Эрмита, Лагерра, Лежандра и некоторых других показывает сходство различных акустических сигналов и некоторых базисных функций высокого порядка. Прослушивание ортогональных функций высокого порядка как звуковых сигналов [15] также напоминает реальные звуки, и, следовательно, на основе таких функций удобно синтезировать, а также распознавать акустические сигналы. Например, функции Лагерра идеальны для звуков типа колокола или выстрела из ружья, а функции Эрмита похожи на мяуканье, ими также можно представлять речь.
Алгоритм распознавания с использованием ОСАМ основан на методе, описанном в разделе 3.2. Важным обстоятельством, упрощающим процедуру распознавания, является минимизация необходимой информации для описания исследуемых сигналов [34].
Так, спектры Фурье некоторых сигналов (в частности, языковых фонем и субфонем) содержат высокочастотные гармоники, особенно в согласных (рис. 4.4). Наличие гармоник с частотами от 2 кГц и выше (рис. 4.2-4.4.), что означает необходимость использования большого количества членов тригонометрического ряда для корректного описания даже коротких звуковых сигналов. Численные эксперименты, проведённые в рамках данной работы показали, что для разложения с той же точностью в ряд (1.20) речевых сигналов длительностью до 2 секунд (буквы А, О, В, Б, Т; слоги "Эс", "Эл", "Ка" и другие) по базисам ОСАМ, достаточно N=300600 членов ряда при аппроксимации нескольких тысяч (410103) отсчётов сигнала (рис. 4.5.). При этом для получения оценок Фурье-спектра не требуется дополнительное вычисление гармонических коэффициентов, интеграла Фурье или БПФ. Гармонический Фурье-спектр можно получить из коэффициентов разложения (1.20) с помощью формул преобразования [64]. Рис. 4.2. Гармонический Фурье-спектр звуков «А» (слева) и «В» (справа). Длительность сигналов 1,6 с, дискретизация и квантование по уровню 12 кГц, 16 бит. Наличие высоких частот (2 кГц и выше) в спектре «А» требует большого количества членов при описании тригонометрическими рядами.
Хорошо виден спад огибающей спектра An для n=450 и выше. 4.3. Модель акустического канала и шумов реверберации в слабодиспергирующей среде
Подавлению нежелательной реверберации посвящено немало работ. Наиболее остро проблема стоит в звукозаписи и звукоусилении [2], телефонии [137] и акустике помещений [174], томографии океана [56, 108], однако и в других областях [43], связанных с распространением звуковых волн [1, 134] и сигналов, борьба с мультипликативным шумом [79] продолжает оставаться актуальной. Так, в гидроакустике излучение волн на большие расстояния [60] порождает реверберационные шумы, затрудняющие декодирование получаемой информации [120] и ограничивающие информационные возможности канала передачи данных [1, 56].
На рис. 4.8 показана модель, состоящая из свободного пространства без затухания и одной отражающей поверхности. Излучаемый источником акустический сигнал S(f) на пути распространения к приёмнику отражается один раз и, попадая в приёмник, складывается с прямым сигналом. Результирующий (искаженный относительно 5()) сигнал S\t) в точке приёма в этом случае состоит из двух компонент
Сигнал и его реверберационная копия (эхо) согласно модели (4.10). По горизонтали обозначено время (мс), по вертикали – амплитуда на линейном выходе звуковой карты (В). Генерация и запись распространяющегося в воздухе (при температуре 230C и влажности 55-60%) акустического сигнала выполнена на персональном компьютере на базе CPU Intel Pentium-4 Prescott 3,2 ГГц, ОЗУ 3 Гб. Оборудование: звуковая карта Creative SB Audigy 2 ZS, усилитель мощности Yamaha AX-390, акустическая система Radiotecnica S-30A, измерительный микрофон LinearX M52.
При распространении сигнала S(t) в тонком слое слабодиспергирующей среды (рис. 4.14), его искажение из-за наложения задержанных и ослабленных эхо-сигналов на прямой импульс, аналогично формуле (4.10). решения этой задачи можно воспользоваться методом тестовых импульсов, пропуская через среду специальные сигналы до передачи сигнала S(t). Такой метод широко распространён в решении вибро- и гидроакустических задач [40, 77, 82, 108]. Подобный метод используется также в различных задачах гидролокации (рис. 4.17). Результатом прохождения таких импульсов согласно формуле (4.10) является сигнал, содержащий исходный импульс, а также ослабленный и задержанный отклик. В качестве тестовых импульсов удобно использовать ортогональные функции высокого порядка [157]. Достаточно высокий порядок базисных функций необходим для того, чтобы локализовать рабочий участок спектра (в смысле тригонометрического спектра Фурье) в области низкой дисперсии среды.
Модель акустического канала и шумов реверберации в слабодиспергирующей среде
Основная задача системных исследований особенностей обобщённых рядов Фурье при численной реализации и модернизация ОСАМ на основе структурно-функционального подхода для реализации практических приложений системного анализа в конкретных задачах обработки информации выполнена. Предложенные алгоритмы обеспечивают эффективное использование базисных функций ОСАМ в задачах описания и обработки акустических и подобных сигналов. Экспериментальные и теоретические результаты работы позволяют сделать вывод о возможности использования ОСАМ как инструмента обработки экспериментальных данных разнообразной природы в рамках методологии системного подхода.
Основные результаты работы
Впервые системно исследован эффект нарушения ортогональности классических ортогональных многочленов при дискретизации аргумента. Показано, что точность численного интегрирования для расчёта коэффициентов разложения в ряд на основе квадратурных формул Гаусса для классических степенных полиномов и превосходит точность известных методов, например, квадратурных формул Котеса нулевого и первого порядка.
Установлено, что феномен потери счётной устойчивости присутствует при вычислении большинства классических функций непрерывного аргумента. Представленный в настоящей работе алгоритм вычисления базисных функций высокого порядка нетребователен к вычислительным ресурсам и не имеет ограничений на порядок вычисляемых функций.
Проведён качественный сравнительный анализ распространенных методов ортогональных преобразований и разработаны рекомендации по использованию структурно-функционального подхода для сравнения различных методов представления сигналов и обработки информации.
Предложен алгоритм тестирования гидроакустического канала с помощью классических ортогональных функций непрерывного аргумента для поиска параметров реверберации в слабодиспергирующей среде с малым затуханием в условиях дискретных отражений с возможностью обобщения этой модели на другие случаи реверберационных искажений.
Показано, что для эффективной обработки информации и модификации ОСАМ целесообразно использование структурно-функционального подхода и морфологического анализа.
Апробированы практические приложения ОСАМ в пакете АДАП (ADAP) для описания, анализа и обработки различных сигналов с помощью ортогональных функций (Лагерра, Эрмита, Лежандра, Якоби, Чебышёва).
Результаты исследований использованы в Лаборатории обработки данных ИМПБ РАН (г. Пущино) при разработке пакета АДАП (ADAP) [116].
Результаты настоящей работы с 1995 по 2014 г. использовались в учебном процессе студентов и магистров радиофизического факультета ННГУ им. Н.И. Лобачевского, обучающихся по специальностям «Информационные системы в радиофизике» и «Радиофизика» в курсе лекций и практических занятий по курсам «Системный анализ» и «Новые компьютерные технологии синтеза решений». Основные положения ОСАМ были использованы при выполнении курсовых и дипломных работ студентов и магистров, а также в курсе лекций, практических занятий и лабораторных работ по курсам «Аудиотехнологии» и «Технологии создания звуковых образов». Результаты диссертационной работы, использованные в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ им. Н.И. Лобачевского, опубликованы в монографиях [47-50], статьях [30, 32, 112], в сборниках трудов и материалах научных конференций [16, 23, 26, 34-38, 52, 155].
В 2003-2010 гг. материалы диссертационной работы использовались в курсе лекций и практических занятий по курсу «Обобщённый спектрально-аналитический метод и его приложения в вычислительных задачах» для студентов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика» и «Дискретная математика и кибернетика» на кафедре математических методов прогнозирования и её филиале в Институте математических проблем биологии РАН Пущинского научного центра.
Использование и апробация результатов настоящей работы в учебном процессе студентов ВМК МГУ и ПНЦ связана с применением ортогональных функций непрерывного аргумента в вычислительных задачах, нарушению ортогональности таких функций и построению устойчивых алгоритмов вычисления ортогональных функций высокого порядка. Результаты работы по данной тематике опубликованы в сборниках трудов научных конференций [14, 15, 22, 24, 27, 28, 35, 37, 156] и научных журналах [30-32, 157].
