Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Анализ методов обработки нечетких данных и постановки решаемых задач 11
1.1. Сложность обработки данных функционирования объектов с качественными характеристиками 11
1.2. Статистические методы обработки нечетких данных 13
1.3. Элементы теории нечетких множеств 15
1.4. Методы нечеткого регрессионного анализа 27
1.5. Методы обработки данных функционирования объектов с качественными характеристиками на основе теории нечетких множеств 33
1.6. Выводы по главе 1 38
Глава II. Построение нелинейной комбинированной регрессионной модели 40
2.1. Свойства взвешенных отрезков нечетких чисел, являющихся результатами операций с Т -числами 40
2.2. Нелинейная комбинированная регрессионная модель при неотрицательных исходных данных Г -типа 48
2.3. Выводы по главе II 55
Глава III. Построение эталонного образа объектов с качественными характеристиками и выбор адекватного оператора агрегирования информации 57
3.1. Построение эталонного образа объектов при их сравнительном анализе ...57
3.2. Определение рейтинговых оценок объектов на основе эталонного образа 61
3.3. Обоснование выбора адекватного оператора агрегирования информации..64
3.4. Выводы по главе III 83
Глава IV. Примеры практического применения разработанных моделей и метода 86
4.1. Построение комбинированной регрессионной модели, позволяющей прогнозировать успешность разрабатываемых программных продуктов 86
4.2. Построение эталонного образа успешного программного продукта 94
4.3. Определение рейтинговых оценок программных продуктов на основе эталонного образа 96
4.4. Выработка управляющих рекомендаций на основе адекватного оператора агрегирования информации 100
4.5. Выводы по главе IV 109
Заключение 111
Список использованных источников 112
Приложение 126
- Сложность обработки данных функционирования объектов с качественными характеристиками
- Свойства взвешенных отрезков нечетких чисел, являющихся результатами операций с Т -числами
- Построение эталонного образа объектов при их сравнительном анализе
- Построение комбинированной регрессионной модели, позволяющей прогнозировать успешность разрабатываемых программных продуктов
Введение к работе
Успешное функционирование объектов различных сфер деятельности человека (наука, техника, экология, образование и т. д.) напрямую зависит от решений задач, состоящих в обработке данных мониторинга состояний этих объектов, построении прогнозов их развития и выработке управляющих рекомендаций. Наличие у объектов качественных характеристик, значениями которых являются слова естественного языка, вносит нечеткость в полученные данные и является причиной сложности их обработки.
В диссертации рассматриваются объекты, развитие и функционирование которых направлено на достижение некоторой итоговой качественной характеристики. Такими объектами могут быть программные продукты на различных этапах их разработки, а итоговой характеристикой коммерческая успешность. Или объектами могут быть обучающиеся, а итоговой характеристикой успешность их профессиональной деятельности.
Большинство традиционно применяемых моделей обработки данных с неопределенностью нечеткого характера (нечетких данных) опирались ранее и опираются до сих пор на методы теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов [1-6]. При этом данным в соответствие ставятся балльные оценки, которые априори считаются значениями случайных величин [7-22]. После этого применяются методы корреляционного анализа [7], критерии согласия [8], строятся рейтинговые системы оценивания [9-18], разрабатываются модели на основе характеристик броуновского движения (винеровского процесса) [19]. В [21-22] предлагаются методы многокритериального оценивания на основе построения эталона, но при этом используются методы многомерного шкалирования. Для прогноза значений качественных характеристик показателей применяются классические регрессионные модели, а в качестве исходной информации выступают баллы, поставленные в соответствие лингвистическим значениям исследуемых характеристик [7, 18]. При построении этих моделей возникают те же некорректности, что и при построении рейтинговых систем оценивания, поскольку используемые оценки являются элементами порядковой шкалы, в которой некорректны все арифметические операции [23].
Как показывает практика, для обработки данных, которые являются значениями качественных характеристик, некорректно применять модели, разработанные для обработки физических величин. Это может приводить к неустойчивым и неадекватным действительности конечным результатам [23-31].
В последние годы исследования ряда российских и зарубежных ученых были направлены на устранение подобных проблем и обеспечение возможности обработки трудноформализуемых (нечетких) данных с учетом пронизывающей их неопределенности неслучайного характера.
Фундаментальную роль в этих исследованиях сыграл современный математический аппарат теории нечетких множеств. Разработанные на основе этого аппарата методы и модели обработки данных [24-43] не только доказали на практике свою жизнеспособность и эффективность, но и поставили новые задачи, требующие своего решения.
Для прогноза состояний объектов с качественными характеристиками используются линейные нечеткие и комбинированные регрессионные модели, которые в настоящее время разработаны достаточно хорошо [43]. Применяя эти модели на практике, не всегда удается получить удовлетворительные показатели их качества. Вместе с тем нечеткие нелинейные регрессионные модели практически отсутствуют, что существенно ограничивает возможность достоверного прогноза состояний объектов в будущем.
При проведении многокритериального сравнительного анализа объектов существенную сложность вызывает отсутствие эталонного образа или набора таких значений характеристик, которые обеспечивают достижение заданного значения некоторой итоговой характеристики. Построение эталонного образа позволило бы учесть меру реальной близости к нему оцениваемых объектов и на основе этого определить рейтинговые оценки.
Информация, полученная в результате мониторинга состояний объектов, используется для выработки управляющих воздействий, направленных на обеспечение успешного функционирования объектов в будущем. Для агрегирования этой информации используются известные операторы, многочисленность которых существенно затрудняет процесс поиска подходящего. Выбор оператора, позволяющего получить адекватный реальности конечный результат, чаще опирается на интуицию и опыт исследователей, чем на формальные методы, а поэтому требует совершенствования.
Если существует возможность наложить некоторые условия на поведение оператора, то для его выбора используется логический подход, который хорошо зарекомендовал себя на практике [41]. В этом случае в качестве оператора агрегирования информации используются функции &-значной логики из класса, определяемого налагаемыми условиями. Существенную роль для выбора оператора из этого класса играет установление связи между нечеткостью условий и нечеткостью класса функций, определяющей в итоге нечеткость полученных выводов.
Все вышесказанное в совокупности с возрастанием сложности и ответственности современных задач обработки нечетких данных подтверждает актуальность диссертационной работы.
Цель и задачи диссертации. Целью диссертации является разработка подхода к обработке нечетких данных при мониторинге функционирования объектов с качественными характеристиками, а также метода и моделей, реализующих этот подход.
Для достижения указанной цели в работе были поставлены и решены следующие основные задачи: разработка комбинированной нелинейной регрессионной модели, позволяющей исследовать зависимости между качественными характеристиками и прогнозировать их значения; построение эталонного образа объектов с качественными характеристиками при их многокритериальном сравнительном анализе; определение рейтинговых оценок объектов на основе построенного эталонного образа; выбор адекватного оператора агрегирования информации при мониторинге функционирования объектов.
На защиту выносятся.
1. Нелинейная комбинированная регрессионная модель, позволяющая исследовать зависимости между качественными характеристиками и прогнозировать их значения.
Эталонный образ объектов при их многокритериальном сравнительном анализе с использованием разработанной регрессионной модели.
Модель рейтингового оценивания объектов на основе построенного эталонного образа.
Метод выбора адекватного оператора агрегирования информации при мониторинге функционирования объектов и выработке управляющих рекомендаций.
Научная новизна диссертационной работы определяется следующими результатами.
1. Разработан подход к обработке данных о функционировании объектов с качественными характеристиками; построена нелинейная комбинированная регрессионная модель, расширяющая спектр функций принадлежности исходной анализируемой информации и область применения методов регрессионного анализа; для выходных данных построены доверительные интервалы (с заданным уровнем возможности).
Разработана модель эталонного образа объектов с качественными характеристиками (в виде совокупности нечетких множеств) при их многокритериальном сравнительном анализе.
Построена модель многокритериального оценивания объектов на основе эталонного образа, позволяющая получать числовые рейтинговые оценки.
Разработан метод выбора адекватного оператора агрегирования информации в классе функций к -значной логики; доказано, что чёткое условие, накладываемое на поведение функций к -значной логики, определяет класс функций с нулевой степенью нечеткости; установлена связь между степенью нечеткости условий «слегка-возрастание», накладываемых на поведение функций и степенью нечеткости класса функций, определяемых этими условиями.
Практическое значение результатов работы.
Разработанные метод и модели обработки данных при мониторинге функционирования объектов с качественными характеристиками реализованы в комплексе программ и успешно апробированы на реальных данных оценивания программных продуктов компании «Диасофт». Комбинированная нелинейная регрессионная модель позволила на любом этапе разработки прогнозировать успешность программных продуктов и определять характеристики, оказывающие на нее существенное влияние. Определение рейтинговых оценок программных продуктов на основе эталонного успешного продукта позволило разработать управляющие воздействия, которые сократили время разработки и внедрения программных продуктов.
Разработанные в диссертации метод и модели могут быть использованы для обработки данных о функционирования объектов с нечисловыми характеристиками различных сфер деятельности человека (техника, образование, экология и т. д.). При этом обеспечивается возможность дальнейшего развития практических приложений на их основе и возможность создания новых инструментальных средств.
В соответствие с выше изложенным, диссертация построена следующим образом.
Первая глава посвящена анализу методов обработки нечетких данных и постановке решаемых в диссертации задач. Определена причина возникновения неопределенности нечеткого характера в данных мониторинга функционирования объектов и сложности их обработки. Обоснован подход к обработке значений качественных характеристик состояний объектов на основе теории нечетких множеств. Изложены необходимые сведения из теории нечетких множеств. Критически проанализированы известные методы обработки нечетких данных мониторинга функционирования объектов с качественными характеристиками.
Проведенный в главе анализ позволил сделать вывод об актуальности развития этих методов, сформулировать подход к обработке данных о функционировании объектов с качественными характеристиками и постановки задач исследования.
Во второй главе разработана нелинейная комбинированная регрессионная модель, позволяющая прогнозировать значения качественных характеристик объектов при мониторинге их состояний и исследовать зависимости между этими характеристиками.
Доказаны утверждения относительно свойств взвешенных отрезков, полученных в результате операций с нечеткими числами треугольного и трапецеидального вида.
Построены доверительные интервалы для выходных данных при заданном уровне возможности (аналоге надежности).
Третья глава посвящена построению эталонного образа при многокритериальном сравнительном анализе объектов с качественными характеристиками; определению рейтинговых оценок объектов на основе эталонного образа и разработке метода выбора оператора агрегирования информации при использовании функций к -значной логики.
В четвертой главе изложены примеры практического применения разработанных в диссертации методов.
На основе трех характеристик (модифицируемость, изучаемость и функциональность) программных продуктов, разработанных компанией «Диасофт», построена нелинейная комбинированная регрессионная модель, позволяющая прогнозировать успешность разрабатываемых продуктов в будущем.
Построен эталонный образ успешного программного продукта в виде совокупности трех нечетких множеств, формализующих значения модифицируемости, изучаемости и функциональности. На основе построенного эталонного образа найдены рейтинговые оценки программных продуктов.
Произведен сравнительный анализ этих оценок с рейтинговыми оценками, найденными на основе индивидуальных характеристик программных продуктов.
Рейтинговые оценки, полученные на основе эталонного образа, использованы для выработки управляющих рекомендаций, направленных на обеспечение успешности программных продуктов в будущем.
В качестве адекватного оператора агрегирования информации выбрана функция 3- значной логики от трех переменных (расстояний от значений характеристик программных продуктов до значений характеристик эталонного образа успешного программного продукта).
Сложность обработки данных функционирования объектов с качественными характеристиками
Существенную роль для обеспечения успешного функционирования объектов различных сфер деятельности человека (техника, экология, образование, медицина и т. д.) играют данные мониторинга их состояний. Если говорить более точно, то существенную роль играют результаты обработки этих данных и выводы, полученные в рамках применения обоснованного аппарата.
Для оценивания состояний объектов используются количественные и качественные характеристики.
Под количественными характеристиками понимаются характеристики, значения которых являются физическими величинами. Например, среднее время, требуемое для доступа к информации баз данных; объем оперативной и дисковой памяти; количество шрифтов редактора; максимальный уровень вложенности гипертекста; количество часов, отведенных на курс лекций по определенному предмету; количество обучающихся и преподавателей и т. д.
Для полного представления о процессе функционирования оцениваемых объектов только количественных характеристик, как правило, бывает недостаточно. Поэтому широко используются качественные характеристики. Под качественными характеристиками понимаются характеристики, значения которых не являются физическими величинами. Например, удобство интерфейса; легкость освоения; интеллектуальность текстов; знания по изучаемым предметам; логичность мышления обучающихся и т. д.
Результатами оценивания качественных характеристик, как правило, являются слова естественного (профессионального) языка или набор таких слов. Например, высокая логичность мышления, низкое пространственное воображение, удовлетворительные знания, высокая технологичность и т. д.
Слова, выражающие степень интенсивности проявления качественных характеристик, называются уровнями или градациями вербальных шкал, применяемых для оценивания этих характеристик.
В диссертации рассматриваются качественные характеристики, для оценивания которых используются вербальные шкалы, на которых можно определить линейный порядок, то есть отношение «меньше - больше».
Если при оценивании выставляются балльные оценки, то им соответствуют вербальные описания. Например, 1 балл в четырехбалльной шкале оценивания удобства интерфейса соответствует крайне неудобному интерфейсу; 4 балла в пятибалльной шкале оценивания знаний соответствует хорошим знаниям; 5 баллов в семибалльной шкале оценивания решения задачи соответствует, например, в общем верному, но неполному решению, в котором не объяснено одно из неочевидных преобразований или не обоснован один из логических переходов, но при этом получен верный ответ.
Использование слов естественного языка при оценивании количественных и качественных характеристик является причиной возникновения неопределенности нечеткого характера. Поэтому полученные при этом данные называют нечеткими.
Если показателями функционирования объекта являются качественные характеристики (в совокупности с количественными или без них), то такой объект будем называть объектом с качественными характеристиками.
Общей закономерностью таких объектов является сложность количественного оценивания процессов функционирования и управления в силу сложности обработки данных мониторинга их состояний.
Сложность обработки данных при мониторинге функционирования объектов с качественными характеристиками прежде всего связана с необходимостью формализации этих данных из-за их разнородности.
Под формализацией неоднородных данных понимается процедура их изучения и представления в виде однородных формальных величин, позволяющих применять аппарат известных теорий для их дальнейшей обработки.
Остановимся на некоторых известных методах обработки данных, полученных в результате измерения качественных характеристик.
Для измерения количественных и качественных характеристик используются разные шкалы, что изначально разделяет методы обработки полученных в результате измерений данных.
Для измерения количественных характеристик используются шкалы: абсолютная, отношений, интервалов, разностей. Значения количественных характеристик, измеренные в выше перечисленных шкалах, называются физическими значениями количественных характеристик.
Хорошо известно, что неточностью при измерении значений количественных характеристик занимается теория измерений [44], а возникающей при этом неопределенностью случайного характера занимается теория вероятностей и математическая статистика [1-6].
Для измерения качественных характеристик используются следующие шкалы: наименований, порядковая (ранговая). Элементами порядковых шкал могут быть баллы или слова, которые выражают степень интенсивности проявления характеристик и называются уровнями или градациями. Шкалы, элементами которых являются баллы, называются балльными. Шкалы, элементами которых являются слова, называются вербальными.
Свойства взвешенных отрезков нечетких чисел, являющихся результатами операций с Т -числами
1. Формализация одного нечеткого условия, налагаемого на поведение функций -значной логики от одной переменной. Рассмотрим одно нечеткое условие на поведение функции /от одной переменной. Нечеткое отношение $, соответствующее нечеткому условию S, описывает принадлежность функции к данному классу на основе значений функции в точках і и / +1,0 і к -1.
На основе свойств матрицы отношения матрица 5 s в [110] утверждается, что если эта матрица имеет хотя бы одну нулевую строку, то множество условий )Sr }г=1 является противоречивым, так как любая функция / из Р{к( удовлетворяет им с нулевой степенью (в силу свойства ограниченности t -нормы). Более того, используя матрицу отношения Ss, мы, аналогично случаю с одним нечетким условием, сможем описать все функции, удовлетворяющие нечетким условиям \sr J
Если система условий \Sr }г=1 является противоречивой, то предлагается выделить непротиворечивые подсистемы согласно следующему алгоритму.
На противоречивость проверяются все пары нечетких условий системы. Найденные противоречивые пары удаляются из рассмотрения. Далее на противоречивость проверяются все тройки нечетких условий (естественно, в которые не входят противоречивые пары). Найденные противоречивые тройки удаляются из рассмотрения. Эта операция повторяется, пока на шаге /, 1 / s не окажется, что все подсистемы, состоящие из / +1 нечетких условий, противоречивы. Тогда непротиворечивыми подсистемами окажутся подсистемы, выписанные на шаге / -1 и состоящие из / нечетких условий.
Таким образом, любое количество нечетких условий по одной переменной формально легко сводится к одному нечеткому условию по этой переменной.
3. Формализация нескольких нечетких условий, налагаемых на поведение функций &-значной логики от нескольких переменных.
Рассмотрим класс функций P t и множество нечетких условий S. Для простоты изложения положим т = 2 и \S\ = 2. Пусть первое нечеткое условие определено по первой переменной, второе условие - по второй переменной.
Согласно (3.7) строятся матрицы отношений 5", и 2. Удовлетворение условиям S означает одновременное удовлетворение условий , и S2 Это в свою очередь означает, что на наборе (ix,i2) значений переменных хх и х2 (/j,/2 є{0,1,...,& —і}) мы в качестве значения строки матрицы отношения S должны взять t - норму (г, +1) строки матрицы отношения 3d и (i2 + і) строки
S2. Полученная таким образом матрица размером [к2 хк)и будет искомой. Данная матрица обладает всеми свойствами матриц отношений для одной переменной.
4. Формализация одного нечеткого и одного начального условий, налагаемых на поведение функций -значной логики.
Будем предполагать, что на поведение ОАИ накладывается нечеткое условие S и дополнительно некоторое начальное условие (например, /(о) = 0). Класс функций, удовлетворяющих нечеткому и начальному условиям, обозначим через Рхх. Нечеткое отношение S, формализующее нечеткое условие S согласно (3.3), берется за основу для построения нечеткого отношения S, формализующего оба условия на поведение ОАИ. Согласно [ПО] ( -/) = (/-1,0 (/ ), (1 У ,2 / Л:) (3.8) при начальном условии /(0)=0. Первой строкой матрицы нечеткого отношения S, соответствующего значению аргумента 0, является строка (1,0, ..., 0) - как выражение начального условия.
Формулу (3.8) можно интерпретировать как своеобразное умножение предыдущей строки матрицы отношения S на столбцы матрицы отношения S, где вместо операции сложения используется операция взятия /-конормы.
Построение эталонного образа объектов при их сравнительном анализе
Разработанные в диссертации метод и модели обработки данных при мониторинге функционирования объектов с качественными характеристиками реализованы в комплексе программ [125] и апробированы на реальных данных оценивания программных продуктов компании «Диасофт».
В качестве входных данных нелинейной комбинированной регрессионной модели после согласования с экспертами «Диасофт» были взяты значения трех характеристик программных продуктов: Х1 модифицируемость, Х2 -изучаемость и Хъ -функциональность.
Модифицируемость [126] - это характеристика программных продуктов, которая упрощает внесение в него необходимых изменений и доработок и включает в себя характеристики расширяемости, структурированности и модульности.
Изучаемость [126] - это характеристика, которая позволяет минимизировать усилия по изучению и пониманию программ и документации программных продуктов и включает в себя характеристики информативности, понятности, структурированности и удобочитаемости [126].
Функциональность[126] - это характеристика, которая показывает способность программного продукта выполнять набор функций, определенных в его внешнем описании и удовлетворяющих заданным или подразумеваемым потребностям пользователей.
В качестве выходной характеристики рассматривалась успешность программных продуктов - Y, которая включает в себя популярность этих продуктов у потребителей, их продаваемость и признание ведущими специалистами-экспертами.
Все характеристики имеют три лингвистических значения «низкая», «средняя», «высокая».
Как видно из таблицы, модельные выходные данные, полученные на основе разработанной в диссертации нелинейной комбинированной регрессионной модели, на 93% совпадают с реальными выходными данными. Модельные выходные данные, полученные на основе линейной комбинированной регрессионной модели, на 87% совпадают с реальными выходными данными.
Таким образом, проведенный анализ качества нелинейной комбинированной регрессионной модели и линейной комбинированной регрессионной модели (построенных в рамках данных оценивания программных продуктов и успеваемости обучающихся) позволяет сделать вывод о преимуществах разработанной в диссертации нелинейной комбинированной регрессионной модели и обоснованно рекомендовать применение этой модели для обработки качественной информации.
Анализ полученных результатов позволил сделать вывод о том, что рейтинговые оценки на основе нечетких значений характеристик значительно расширяют информацию, полученную при вычислении рейтинговых оценок на основе балльных оценок, но и те и другие вычисляются по принципу - чем больше отдельные показатели, тем больше конечный результат.
Рейтинговые оценки, полученные на основе эталонного образа успешного программного продукта, вычисляются по другому принципу - чем ближе программный продукт к эталонному образу, тем больше рейтинговая оценка. Определение степени реальной близости программного продукта к эталонному успешному продукту позволяет выработать управляющие рекомендации, направленные в случае необходимости на их сближение. Полученные в разделе 4.3 рейтинговые оценки программных продуктов из таблицы 4.1 были использованы для разработки управляющих рекомендаций, направленных на достижение успешности программных продуктов в будущем.
Значения рейтинговых оценок были разбиты на три интервала -[0,0.2], (0.2,0.6], (0.6,1], которым соответственно были присвоены лингвистические значения «малая», «средняя», «высокая».
Если рейтинговая оценка программного продукта попадает в первый интервал [0,0.2],, то программный продукт возвращается в начало последнего этапа разработки. Если рейтинговая оценка программного продукта попадает в последний интервал (0.6,l], то программный продукт переводится на следующий этап разработки. Если рейтинговая оценка программного продукта попадает в средний интервал (0.2,0.6], то для выработки управляющих рекомендаций будет использоваться оператор агрегирования информации.
Были рассмотрены три переменных: Z,- расстояние от значения характеристики Хх п-го программного продукта, и = 1,12 до значения характеристики Хх эталонного образа программных продуктов; Z2 - расстояние от значения характеристики Х2 п-го программного продукта, п = 1,12 до значения характеристики Х2 эталонного образа программных продуктов; Z3 расстояние от значения характеристики Хъ п-го программного продукта, п = 1,12 до значения характеристики Хъ эталонного образа программных продуктов.
Построение комбинированной регрессионной модели, позволяющей прогнозировать успешность разрабатываемых программных продуктов
1. Разработана модель эталонного образа (эталонного образа успешного объекта в рамках некоторой итоговой характеристики) при мониторинге функционирования объектов с качественными характеристиками. Эталонный образ, определенный в виде совокупности нечетких чисел, предлагается использовать для сравнительного анализа объектов, определения рейтинговых оценок и выработки управляющих воздействий, направленных на успешность объектов в рамках итоговой характеристики или характеристик.
2. Построена модель многокритериального оценивания на основе эталонного образа, позволяющая для объектов с качественными признаками находить числовые рейтинговые оценки. Рейтинговые оценки, построенные на основе эталонного образа, являются количественными показателями близости показателей оцениваемых объектов и показателей эталонного образа успешного объекта, построенного на основе реальных апостериорных данных. Исходя из этого, анализ данных мониторинга функционирования объектов на основе полученных рейтинговых оценок повышает достоверность прогноза итоговых показателей и управляющих действий по их улучшению.
3. Предложен логический подход к нахождению оператора агрегирования информации, полученной при мониторинге функционирования объектов с качественными характеристиками. Согласно этому подходу в качестве оператора агрегирования информации используются функции Л-значной логики.
4. Доказано утверждение, что при формулировании чёткого условия на поведение функции, класс, определяемый данным условием, также будет чётким, т.е. его степень нечёткости будет равно нулю.
5. Интересным в практическом плане результатом представляется установление возможной связи между степенью нечёткости отношения, которое выражает какое-то нечёткое условие на поведение функции, и степенью нечеткости класса функций, определяемого этим нечётким отношением. Тогда бы мы могли заранее предсказывать насколько чётким и, соответственно, уменьшающим неопределенность вывода, что важно для приложений, будет выбор нужного нам оператора агрегирования информации.
В диссертации установлено, что при формулировании двух абстрактных нечётких условий, имеющих разную степень нечёткости, степени нечёткости классов функций, определяемых ими, не всегда будет находиться в том же отношении, что и степени нечёткости условий.
6. Поскольку в общем виде связь между нечеткостью условий и классов функций, определяемых этими условиями, не определена, то выделен специальный класс функций к -значной логики от т переменных, обладающих нечетким свойством «слегка-возрастание» или «слегка-убывание». Выбор этого класса также связан с тем, что количество функций, принадлежащих этому классу с ненулевой степенью принадлежности, достаточно ограничено.
7. Для рассматриваемого класса функций доказана теорема о связи степени нечеткости порождаемого этими функциями нечетких отношений и степени нечеткости самого класса, что позволяет заранее предсказывать насколько чётким и, соответственно, уменьшающим неопределенность вывода будет выбор оператора агрегирования информации, что важно для практических приложений.
8. Разработан метод выбора адекватного оператора агрегирования информации при мониторинге функционирования объектов с качественными характеристиками на основе функций к -значной логики.
