Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Опционы продажи с заданной вероятностью успешного хеджирования в случае выплаты дивидендов по рисковому активу 17
1.1 Некоторые предварительные результаты и постановка задачи 17
1.2 Стандартный опцион продажи с выплатой дивидендов по рисковому активу 22
1.3 Экзотический опцион продажи с выплатой дивидендов по рисковому активу 31
1.4 Свойства решений 38
1.5 Выводы 56
Глава 2 Опционы купли с заданной вероятностью успешного хеджирования в случае выплаты дивидендов по рисковому активу 58
2.1 Стандартный опцион купли с выплатой дивидендов по рисковому активу 58
2.2 Экзотический опцион купли с выплатой дивидендов по рисковому активу 68
2.3 Свойства решений 74
2.4 Выводы 93
Глава 3 Опционы продажи барьерного типа в случае выплаты дивидендов по рисковому активу 95
3.1 Барьерный опцион продажи в случае выплаты дивидендов по рисковому активу 95
3.2 Барьерный опцион продажи с уступкой в случае выплаты дивидендов по рисковому активу 101
3.3 Свойства решений 107
3.4 Выводы 122
Глава 4 Опционы купли барьерного типа в случае выплаты дивидендов по рисковому активу 123
4.1 Барьерный опцион купли в случае выплаты дивидендов по рисковому активу 123
4.2 Барьерный опцион купли с уступкой в случае выплаты дивидендов по рисковому активу 129
4.3 Свойства решений 134
4.4 Выводы 149
Заключение 151
Список сокращений и условных обозначений 153
Список использованной литературы
- Стандартный опцион продажи с выплатой дивидендов по рисковому активу
- Экзотический опцион купли с выплатой дивидендов по рисковому активу
- Барьерный опцион продажи с уступкой в случае выплаты дивидендов по рисковому активу
- Барьерный опцион купли с уступкой в случае выплаты дивидендов по рисковому активу
Стандартный опцион продажи с выплатой дивидендов по рисковому активу
С развитием торговли ванильными опционами продавцы деривативов стали осознавать возможности построения более сложных комбинаций риска и доходности путем изменения базовых условий стандартного опционного контракта. Поэтому естественным стало появление класса экзотических опционов (exotic options), модифицированных дополнительными требованиями и условиями [34, 63, 112, 120].
Предметом параграфа 1.3 является рассматриваемый на основе диффузионной модели (B,S) - финансового рынка с выплатой дивидендов по рисковому активу Европейский опцион put с ограничением выплаты для продавца опциона и гарантированным доходом для покупателя опциона с платежной функцией (1.3.1) f;xput(ST) = mm{(K,-ST)+,K2l (1.3.1) где в условия стандартного контракта для покупателя (1.2.1) помимо страйковой цены Кх включена договорная величина К2, с одной стороны, ограничивающая выплаты по опциону, что может быть выгодно подписчику опциона, а с другой стороны, гарантирующая доход держателя. Согласно постановке задачи, сформулированной в параграфе 1.1, требуется определить стоимость опциона продажи Ргех с функцией выплат (1.3.1), текущее значение инвестиционного портфеля ке -рш =\Qe -put е -рш) и соответствующего ему капитала X -put. Алгоритм решения задачи квантильного хеджирования Европейского экзотического опциона продажи с платежным обязательством (1.3.1) в случае выплаты дивидендов по рисковому активу аналогичен рассуждениям параграфа 1.2.
Множество успешного хеджирования аналогично (1.2.2) можно записать как (1.3.2) Преобразования, показанные в (1.2.3), (1.2.4) с учетом результатов (1.1.15), (1.1.16), (1.1.20), позволяют получить (1.3.3)
Тогда справедливая (рациональная) цена экзотического опциона продажи с платежной функцией (1.3.1) в случае выплаты дивидендов по акции в задаче квантильного хеджирования выражается уравнением тогда исходный интеграл (1.3.16) можно представить в виде P xj — Т3/ ! + Ргех 2 + Ргех 3 Последовательно определим значение каждого слагаемого.
Чтобы обеспечить платежное обязательство в условиях неопределенности, возникающей ввиду потенциальной реализации одной из ситуаций: (b"-put /л/Г) уех-рш (Т, S0) уех-рш (Т, S0) или уех-рш (Т, S0) (b"-put /л[Т) уех-рш (Т, S0) - стоимость опциона продажи целесообразно определять формулой (1.3.12) как максимальную из потенциальных стоимостей (1.3.13), (1.3.14). V
Таким образом, в (1.3.3) нашли множество успешного хеджирования как этап 2.1 алгоритма, в Теоремах 1.3, 1.4 реализовали этапы 2.2 и 2.3 обработки данных финансового рынка в случае квантильного хеджирования экзотического опциона продажи Европейского стиля с гарантированным доходом для покупателя и ограничением выплат для продавца.
Утверждение 1.2. Согласно [49, 69, 70, 103] решение задачи совершенного хеджирования для стандартного опциона продажи в случае выплаты дивидендов по рисковому активу определяется формулами (1.4.1) - (1.4.4) 5 5ГФ
Следствие 1.1. При 8 = 0 формулы (1.2.12), (1.2.19) - (1.2.21) переходят в формулы (1.4.1) - (1.4.4), и решение задачи несовершенного хеджирования переходит в решение задачи совершенного хеджирования.
Доказательство. Вероятность успешного хеджирования Р(Л)= 1-8 = 1 при 8 = 0. Таким образом, действительно имеем совершенное хеджирование. Представляют интерес зависимости стоимости опциона от параметров S0, К, определяющих начальную цену рискового актива и оговариваемую цену исполнения опциона. Эти зависимости определяются следующими величинами P -s = ЭР/ /dS0, Р -к = ЭР/ /дК, называемыми коэффициентами чувствительности стоимости опциона продажи к величине соответствующего параметра. Реализуем пункт 3 алгоритма, сформулировав и доказав Утверждения 1.3-1.7.
Утверждение 1.3. Коэффициенты чувствительности стоимости стандартного опциона продажи в задаче квантильного хеджирования к величине страйковой цены Р -к и начальной стоимости акции P -s" рассчитываются следующим образом
Очевидно, что (1.4.22) с учетом последнего преобразования переходит в (1.4.6). V Рассмотрим зависимость цены опциона от параметра роста стоимости ценной бумаги (і и уровня риска є, є є (0,l), отсутствующих в решении задачи совершенного хеджирования [69, 70]. Эти зависимости определяются коэффициентами чувствительности (1.4.23)
Утверждение 1.4. Коэффициенты чувствительности (1.4.23) для стандартного Европейского опциона продажи в задаче квантильного хеджирования с учетом дивидендов от акции определяются следующими формулами
Экзотический опцион купли с выплатой дивидендов по рисковому активу
Зависимость стоимости Р" экзотического опциона продажи в задаче квантильного хеджирования при различных значениях параметра є и фиксированных аргументах Кх = 170, К2 = 140, S0 = 165, 0.08.
Согласно (1.4.41) - (1.4.45), рисункам 1.9 - 1.13 для коэффициентов чувстви 54 тельности справедливы соотношения Р х- 0, Ргех 0, Ргех 2 0, и при S0 Кх выполняются Р- 1 0, Р х-г В данном случае рациональная стоимость Европейского опциона продажи с ограничением выплат по опциону в условиях квантильного хеджирования является убывающей функцией начальной стоимости рискового актива (акции) S0, поскольку при большем значении S0 ожидаемо увеличение в среднем спотовой цены ST. Это повышает вероятность того, что ST превзойдет величину страйка Кх, снижая при этом вероятность предъявления опциона к исполнению. Риск держателя опциона возрастает, за что следует платить меньше. С другой стороны, увеличение договорной цены покупки акции при исполнении платежного обязательства по опциону приводит к повышению вероятности того, что ST не превзойдет Кх. Снижающийся ввиду этого риск покупателя обуславливает удорожание опциона. Увеличение стоимости опциона продажи при возрастании К2 объясняется увеличением потенциального дохода покупателя опциона. Обоснование характера зависимости стоимости опциона от параметров модели ji и є аналогично случаю стандартного опциона продажи, рассмотренного в параграфе 1.2.
Приведенный анализ позволяет на этапе 4 алгоритма внести коррективы в структуру экзотического опциона и принять решение относительно цены опциона. Замечание 1.1. Согласно (1.2.1), (1.3.1) справедливо равенство lim /;— (ST) = ft- " (sT) = (к, - sT у, где в (1.2.1) можно считать К — Кх, так как К в (1.2.1) и ,в (1.3.1) - договорные цены покупки акции в случае предъявления опциона к исполнению. Утверждение 1.8. Результаты предельного перехода решения задачи хеджирования экзотического опциона продажи с функцией выплат (1.3.1) при К2 —»Кх имеют вид
Тогда, сравнивая цены рассмотренных стандартного опциона и экзотического опциона с ограничением выплат для продавца и гарантированным доходом для покупателя с учетом вероятности исполнения обязательства (Р(А) = 1 или Р(Л) і), получаем TJex_II - J st ryex_II - T)St
Таким образом, стороны опционного контракта, располагая первичными данными финансового рынка (вид базисного актива, его стоимость, дивидендная доходность, волатильность, параметр роста цены и пр.) и обрабатывая их с помощью предложенных автором формул, принимают решение о структуре европейского опциона: в зависимости от возможностей, характеристик и целей покупателя и продавца заключается стандартный или экзотический опцион, расчет стоимости (и соответственно капитала и портфеля инвестора) которого осуществляется с учетом степени риска невыполнения платежного обязательства. Так как стоимость опциона определяется параметрами контракта, производится при необходимости их корректировка.
В первой главе на основе предложенного автором алгоритма обработки данных финансового рынка рассмотрена задача полного исследования Европейского стандартного опциона продажи и Европейского экзотического опциона продажи с ограничением выплат для продавца и гарантированным доходом для владельца на диффузионном (В, S) - финансовом рынке с выплатой дивидендов по рисковой ценной бумаге (акции). Задача решена при условии, что платежное обязательство может быть исполнено с заданной (меньшей 1) вероятностью, то есть рассмотрено несовершенное хеджирование, а именно: квантильное хеджирование.
Основные результаты: 1. Найдены формулы, определяющие справедливые стоимости опционов продажи с платежными функциями (1.2.1), (1.3.1), текущие значения минималь ных портфелей ценных бумаг (хеджирующих стратегий) и обеспечивающих хед жи капиталов (Теоремы 1.1 - 1.4). 2. Показан случай предельного перехода решения задачи квантильного хеджирования в решение задачи совершенного хеджирования для рассматриваемых опционов (Следствия 1.1, 1.2). 3. Показан случай предельного перехода решения (цена, капитал, портфель) задачи хеджирования экзотического опциона в решение задачи хеджирования стандартного опциона (Замечание 1.1, Утверждение 1.8). 4. Проведено исследование свойств цен опционов, отражающих характер зависимости стоимости каждого из опционов от начальной цены акции, от оговоренной при заключении контракта цены исполнения и, в случае экзотического опциона, - от величины, ограничивающей выплаты эмитента опциона (Утверждения 1.4, 1.5, 1.7). 5. Получено графическое подтверждение доказанных свойств стоимостей опционов (рисунки 1.5 - 1.13) и представлена экономическая интерпретация решения. 6. Проведено аналитическое сравнение цен рассматриваемых стандартного и экзотического опционов продажи, дано экономическое обоснование (Замечание 1.2, Приложение А) и рекомендации для принятия решения о структуре Европейского опциона продажи.
Барьерный опцион продажи с уступкой в случае выплаты дивидендов по рисковому активу
В данном параграфе на основе диффузионной модели (В ,S) - финансового рынка с выплатой дивидендов по рисковому активу рассматривается Европейский опцион call с ограничением выплаты для продавца опциона с платежной функцией (1.3.1) fTexca"(ST) = mm{(ST -Kj,K2\, (2.2.1) где Кх - страйковая цена, К2 - договорная величина, с одной стороны, ограничивающая выплаты по опциону, что может быть выгодно подписчику опциона, а с другой стороны, гарантирующая доход держателя.
Тогда справедливая (рациональная) цена экзотического опциона купли с платежной функцией (2.2.1) в случае выплаты дивидендов по акции в задаче кван-тильного хеджирования выражается уравнением
Учитывая вид функции yx - (T,St), y2- (T,St), yx - (T,St), y2-caU {T ,St), справедливые для функции Лапласа равенства (1.2.30), получаем, что для функций уех-са"(Т ,St), уех-са"(Т,St) частные производные функции Лапласа по стоимости ценного актива найдены в параграфе 1.3, а для функций у2х-са"(Т,St), у2х-са"(Т,St) аналогичным образом могут быть получены и записаны в (2.2.27), (2.2.28), при этом для всех четырех функций выполняются равенства (1.3.31)-(1.3.33).
Таким образом, в (222) нашли множество успешного хеджирования как этап 2.1 алгоритма, в Теоремах 2.5, 2.6 реализовали этапы 2.2 и 2.3 обработки данных финансового рынка в случае квантильного хеджирования экзотического опциона купли Европейского стиля с гарантированным доходом для покупателя и ограничением выплат для продавца.
Данные формулы являются результатом обобщения соответствующих формул из [69, 70] на случай выплаты дивидендов.
Следствие 2.1. При 8 = 0, [(1-г+ 5)/о2] 1 формулы (2.1.8), (2.1.14) (2.1.16) переходят в формулы (2.3.1) - (2.3.4), и решение задачи несовершенного хеджирования переходит в решение задачи совершенного хеджирования. Доказательство. В случае, когда є = 0, вероятность успешного хеджирования Р(Л) = 1-є = 1. Получаем совершенное хеджирование. a JTТак как Ст=Хс0а", то (2.3.1) следует из (2.3.4) и CJ =СТ при 8 = 0 и [(i-r + 5)/o2] l. V Как и для опционов продажи из главы 1, получим результаты, связанные с чувствительностью стоимости опционов купли к договорным характеристикам контракта и к параметрам модели. Реализуем шаг 3 обработки данных, сформулировав и доказав Утверждения 2.2-2.7.
Утверждение 2.2. Коэффициенты чувствительности стоимости стандартного опциона купли в задаче квантильного хеджирования к величине страйка С -к и начальной стоимости акции CST -S при [((I - г + 5)/о2 J 1 рассчитываются следующим образом
Утверждение 2.3. Коэффициенты чувствительности стоимости стандартного Европейского опциона купли к параметру роста стоимости ценной бумаги ji и уровню риска є, є є (0,l) в задаче квантильного хеджирования с учетом дивидендов от акции и [((I - г + 5)/о2 J 1 определяются следующими формулами
Построим поведение стоимости стандартного опциона купли при различных параметрах контракта и модели в случае [((I - г + 5)/а2 J 1. Ha рисунках 2.5 - 2.8 ось ординат соответствует функции CST стоимости стандартного call опциона, аргументами которой являются страйковая цена акции К, начальная стоимость базисного актива S0, коэффициент сноса ji, параметр 8, коэффициент волатильности а. i = 170 K = 1W К =1 Рисунок 2.5 - Зависимость стоимости C f стандартного опциона купли в задаче квантильного хеджирования при различных значениях страйковой цены К и фиксированных аргументах S0 = 165, ji = 0.04, є = 0.2.
Зависимость стоимости С стандартного опциона купли в задаче квантильного хеджирования при различных значениях начальной цены акции S0 и фиксированных аргументах К = 170, ji = 0.04, є = 0.2. 1 = 0.04 =0.03 1=0. Рисунок 2.7 - Зависимость стоимости C f стандартного опциона купли в задаче квантильного хеджирования при различных значениях коэффициента сноса ji и фиксированных аргументах К = 180, S0 = 165, є = 0.02.
Так как согласно предпосылкам задачи в параграфе 1.1 г 8, а функция плотности стандартного нормального распределения ф(х) является убывающей, то свойства (2.3.14), следуют из (2.3.11), (2.3.12), (2.3.15) при S0 К. V
Дадим экономическую интерпретацию свойств (2.3.13), (2.3.14). Рациональная стоимость опциона купли является возрастающей функцией начальной цены акции S0, так как увеличение начальной цены S0 приводит в среднем к увеличению спото вой цены ST, что, в свою очередь, повышает вероятность предъявления опциона к исполнению (ввиду того, что ST превзойдет страйк К). В этом случае риск покупателя опциона уменьшается, а за меньший риск следует больше платить. Аналогична ситуация, когда с увеличением коэффициента ji роста цены рискового актива естественно в среднем повышение вероятности превышения величиной ST барьера К, что доказывает убывающий характер цены опциона купли по параметру ji.
При этом увеличение размера договорной цены К влечет за собой увеличение вероятности того, что стоимость акции в момент исполнения контракта ST не
достигнет уровня К, и покупатель откажется от опционного договора. За больший риск владелец опциона будет меньше платить, поэтому стоимость рассматриваемого опциона купли является убывающей функцией страйковой цены К.
С ростом є уменьшается вероятность хеджирования Р(Л) (вероятность исполнения платежного обязательства), что уменьшает вероятность предъявления опциона к исполнению. Поскольку за уменьшение вероятности получить доход следует меньше платить, то это объясняет уменьшение CST с ростом є.
Приведенный анализ позволяет на этапе 4 алгоритма внести коррективы в опционный контракт и принять решение относительно цены опциона.
Используя Утверждение 2.1, аналогично Следствию 2.1 для стандартного опциона купли в случае, когда [([і - г + 5)/о2 J 1, сформулируем и докажем Следствие 2.2 из Утверждения 2.1 для стандартного опциона купли при условии [(і-г + 5)/а2] 1.
Следствие 2.2. При 8 = 0 формулы (2.1.25), (2.1.28) - (2.1.30) переходят в формулы (2.3.1) - (2.3.4), решение задачи несовершенного хеджирования переходит в решение задачи совершенного хеджирования.
Барьерный опцион купли с уступкой в случае выплаты дивидендов по рисковому активу
В параграфе 4.2 на основе диффузионной модели (B,S) - финансового рынка с выплатой дивидендов по рисковому активу исследуется барьерный call опцион Европейского стиля с уступкой. Функция выплат обозначенного дериватива задается (4.2.1) и основана на платежном обязательстве (2.2.1) Европейского опциона купли с ограничением выплаты для продавца опциона где Kx - страйковая цена, К2 - договорная величина, ограничивающая выплаты эмитента опциона и гарантирующая доход держателя, Н - барьер, «выключающий» платежное обязательство при превышении его ценой ST, при этом Н Кх + К2. Если в момент времени Т состояние рынка такое, что ST Н, выплаты покупателю определяются функцией (2.2.1). Когда опцион утрачивает силу при пересечении ценой актива ST барьера Н в фазе роста цены рискового актива, владельцу опциона выплачивается «уступка», размер которой равен разнице меж ду спотовой ценой на день исполнения и величиной барьера. Теорема 4.3. Введем функции вида
Тогда справедливая (рациональная) стоимость барьерного опциона купли с платежной функцией (4.2.1) в случае выплаты дивидендов по рисковому активу выражается уравнением Продавец опциона согласен выплачивать сумму min{(5r —К1)+,К2\, если в фазе роста цены акции спотовая стоимость актива ST Я, при этом держатель опциона получит выплату (ST —К), если Кх ST КХ+ К2, и выплату К2, если ST Кх+ К2. Таким образом, используя (4.2.4) и Я Кх+ К2, область интегрирования в (4.2.10) уточнится, и интеграл примет вид
Учитывая вид функций (4.2.2) - (4.2.7), определение и справедливые для функции Лапласа равенства (1.2.30), предварительно найдем частные производные функции стандартного гауссовского распределения, аргументами которой является каждая из функций (4.2.2) - (4.2.7), по стоимости акции подставляя в которое (4.2.19) - (4.2.22), после преобразований получаем (4.2.15). Учитывая (4.2.14), (4.2.18), (4.2.23), приходим к (4.2.16). V
Таким образом, в Теоремах 4.3, 4.4 реализованы этапы 2.2 и 2.3 обработки данных финансового рынка в случае суперхеджирования барьерного опциона купли Европейского стиля с уступкой, базовой функцией выплат которого является платежная функция экзотического опциона продажи с гарантированным доходом для покупателя и ограничением выплат для продавца.
Доказательство. Формулы (4.3.1), (4.3.5) доказываются аналогично доказательству формул (4.1.18), (4.1.21) с учетом CbTar-st =CbTar-st(S0,K,Hl,H2), хьаг_,_саи =Cbar_st и замен _ _ T s Используя (4.1.8), (4.1.9), (4.1.2) (4.1.6), получаем (4.3.2) очевидным образом в силу независимости (4.1.3) - (4.1.6) от К. Покажем выполнение (4.3.6)
Результаты моделирования поведения стоимости барьерного опциона купли с платежной функцией (4.1.1) при различных значениях страйковой цены акции К, начальной цены базисного актива S0, барьеров Я1 и Я2 отражены на рисунках 4.1 4.8, на которых ось ординат представляет значения функции cbar-st стоимости барь ерногоса// опциона, ось абсцисс - коэффициент волатильности о.
Доказательство. Ввиду свойств функции Лапласа, функции плотности нормального стандартного распределения свойства рациональной стоимости рассматриваемого опциона CbTar-st-K 0, CbTar-st-Hi 0, CbTar-st-Hl 0 при К НХ Н2 и Cbar st-к 0, сw . я2 0 при І: Я2 следуют из (4.3.2)-(4.3.4) и (4.3.6), (4.3.8) очевидным образом. Причем использовали справедливые неравенства yb2ar- st call(T,S0) y\ar-st-caU (Т,SQ), yb2ar-st-ca11 (T,S0) ylar-s -caU (T,S0) с учетом (4.1.2)-(4.1.4).
Свойство Cbar -st -щ =0 при HX K H2 получаем, исходя из (4.1.9), где стоимость рассматриваемого опциона при НХ К Н2 не зависит от функций ybar-s,-call(T,SQ) из (4.1.3), y\ar st-ca"(T,S0) из (4.1.5), только в которых присутствует параметр Яг y2 \1 ,S0) аналитические оценить нельзя, так как он зависит от соотношения параметров контракта и волатильности. Таким образом, указать знак выражения (4.3.11) невозможно. Пришли к свойству cbar-st-s А 0 в (4.3.9).
В (4.3.5) уменьшаемое и вычитаемое положительны, однако знак разности определить аналитически однозначно невозможно. Пришли к cbTar-s,-s А о в (4.3.10). V
Как видно из (4.3.9), (4.3.10), зависимость рациональной стоимости барьерного опциона купли с платежным обязательством (4.1.1) от начальной цены акции для случаев К НХ Н2 и НХ К Н2 аналитически однозначно установить нельзя, однако числовые примеры (рисунки 4.2, 4.6) иллюстрируют следующее: при малых значениях волатильности стоимость опциона является возрастающей функцией начальной цены акции S0. Это объясняется тем, что увеличение начальной цены S0 при малой волатильности приводит в среднем к увеличению спотовой цены ST, а значит, вероятность положительных выплат при ST є [// , 772 J повышается, делая дериватив дороже. С ростом волатильности чувствительность CbTar-st к S0 стремится к нулю (на рисунках 4.2, 4.6 графики, описывающие поведение цены опциона купли при различных значениях S0, практически сливаются), так как информация о спотовой цене акции недоступна (не прогнозируема).
Рост договорной цены К влечет за собой уменьшение вероятности того, что К превысит стоимость акции в момент исполнения контракта ST, и покупатель исполнит опцион при попадании спотовой цены в «барьерный коридор». За больший риск держателя опциона следует платить меньше, поэтому стоимость барьерного опциона купли (4.1.1) является убывающей функцией страйковой цены К.
Увеличение значения «выключающего» барьера Н2 (при НХ К Н2 и при К Нх Н2)м уменьшение значения «включающего» барьера Н1 (при К НХ Н2) приводит к тому, что вероятность вступления опциона в силу повышается, за что следует назначить большую стоимость опциона. При НХ К Н2 стоимость опциона не зависит от барьера Нх, так как попадание спотовой цены в «барьерный коридор» еще не гарантирует положительные выплаты, которые возможны, если спотовая цена превысит страйк К.
