Содержание к диссертации
Введение
1 Метод продолжения в проблеме приближенного решения бесконечномерных оптимизационных задач 17
1.1 Основные понятия 17
1.2 Общая характеристика деформационных методов 26
1.3 Деформационный принцип 32
1.4 Конечномерные леммы 33
1.5 Свойства H-правильных функционалов 40
1.6 Деформационная теорема 45
1.7 Следствия, дополнительные замечания 47
1.8 Деформационно-ньютоновская процедура 49
1.9 Деформационно-градиентная процедура 61
1.9.1 Постановка задачи 61
1.9.2 Основные результаты 62
2 Приложения деформационно-итерационных процедур 68
2.1 Задачи оптимального управления 68
2.1.1 Постановка задачи 68
2.1.2 Вспомогательные утверждения 69
2.1.3 Деформационные теоремы 78
2.2 Задачи вариационного исчисления 81
2.2.1 Одномерные задачи 81
2.2.2 Многомерные интегральные функционалы 83
2.2.3 Деформационная теорема 85
2.3 Итерационные процедуры и метод малого параметра 86
2.4 Дополнительные замечания 91
2.4.1 Деформации бесконечномерных задач математического программирования 91
2.4.2 Деформации многокритериальных задач 93
2.4.3 Многокритериальные задачи с ограничениями 97
2.4.4 Деформационный принцип минимума для функционалов на метрических пространствах 99
2.4.5 Нормальные деформации 101
3 Итерационные процедуры в задачах управления и оптимиза ции 104
3.1 Градиентные процедуры приближенного построения решений оптимизационных задач 104
3.1.1 Общие сведения 105
3.1.2 Градиентный метод для (P,S)-правильных функционалов 107
3.1.3 Градиентные процедуры в задачах с континуумами экстремалей 113
3.1.4 Функционалы классического вариационного исчисления 120
3.1.5 Многомерные вариационные задачи 122
3.1.6 Задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами 124
3.1.7 Градиентные процедуры в задаче приближенного построения решений уравнений Гинзбурга–Ландау 126
3.1.8 Один пример функционала с континуумом экстремалей 131
3.1.9 Градиентные процедуры в задачах о слабом минимуме 133
3.2 Нелинейные интегральные уравнения 142
3.2.1 Основной результат 142
3.2.2 Нелинейное уравнение Пуассона 150
3.3 Проекционно-итерационные процедуры приближенного построе ния вынужденных колебаний в нелинейных системах 152
3.3.1 Введение 152
3.3.2 Постановка задачи 153
3.3.3 Основные результаты 155
3.3.4 Колебания в системах автоматического регулирования 169
3.3.5 Дополнительные замечания 173
3.4 Итерационный алгоритм приближенного построения циклов мно гоконтурных систем автоматического регулирования 174
3.4.1 Дифференцируемые уравнения динамики систем автоматического регулирования 174
3.4.2 Задача о приближенном построении циклов в автономных системах 177
3.4.3 Основная теорема 178
3.4.4 Оценки параметров алгоритма 184
3.5 Проксимационный метод решения невыпуклых оптимизационных задач 190
3.5.1 Введение 190
3.5.2 Основные теоремы 191
3.5.3 Дополнительные замечания 195
4 Непрерывные алгоритмы построения решений бесконечно мерных задач и устойчивость бесконечномерных систем 201
4.1 Общие сведения 201
4.1.1 Введение 201
4.1.2 Функционал Ляпунова и явный метод Эйлера 202
4.1.3 Функционалы Ляпунова на банаховых пространствах 205
4.2 Новые достаточные условия устойчивости 208
4.2.1 E-правильные функционалы Ляпунова 208
4.2.2 Теоремы об устойчивости 216
4.2.3 Счетные системы дифференциальных уравнений 218
4.2.4 Интегро-дифференциальные уравнения 220
5 Прикладные задачи 222
5.1 Итерационный алгоритм решения задачи оптимизации сетевых систем 222
5.1.1 Нелинейные системы. Управление входными потоками 222
5.1.2 Интегральные ограничения типа неравенств на компоненты внешнего потока 230
5.1.3 Интегральное ограничение типа неравенства на суммарный внешний поток 231
5.1.4 Интегральные ограничения типа равенств на компоненты внешнего потока 232
5.1.5 Интегральное ограничение типа равенства на суммарный внешний поток 233
5.1.6 Вычислительные алгоритмы 233
5.2 Теоремы о глобальном гомеоморфизме и задачи построения сеток 236
5.2.1 Введение 236
5.2.2 Некоторые задачи построения сеток 239
5.2.3 Отображения в конечномерных пространствах 242
5.2.4 Отображения в банаховых пространствах 247
Выводы 249
Список литературы 253
- Свойства H-правильных функционалов
- Многомерные интегральные функционалы
- Градиентные процедуры в задаче приближенного построения решений уравнений Гинзбурга–Ландау
- Функционалы Ляпунова на банаховых пространствах
Введение к работе
Актуальность темы. Оптимизация систем с бесконечным числом степеней свободы — важнейшая задача современной теории управления. На сегодняшний день имеется множество как частных результатов решения задач, так и общих методов. Последние, чаще всего, требуют ограничительных предположений о минимизируемом функционале (повышенная гладкость, информация о близости начального приближения к отыскиваемому решению, хорошая обусловленность и т.д.), которые на практике, как правило, не выполнены. В связи с этим возникает потребность разработки достаточно общих методов, эффективных и простых в численной реализации.
Изучаемые в диссертации методы продолжения по параметру восходят к А. Пуанкаре и С. Н. Бернштейну. Метод продолжения в задачах приближенного решения нелинейных уравнений впервые был применен, по-видимому, М. Лаэем.
На основе метода продолжения Н. А. Бобылев разработал деформационный принцип минимума. Он состоит в том, что если в процессе специальной, так называемой невырожденной деформации оптимизационной задачи ее экстремаль остается равномерно изолированной, то она сохраняет свойство быть точкой минимума. Как показал Н. А. Бобылев, деформационный принцип обобщается на случай невырожденных деформаций гладких функционалов на гильбертовых пространствах, нормальных деформаций, гомотопий в задаче о слабом минимуме и т.д. Деформационный метод находит эффективное применение в задачах вариационного исчисления, оптимального управления, многокритериальной оптимизации, задачах нелинейного программирования и других прикладных вопросах.
Метод продолжения в вычислительных задачах применялся рядом авторов (Frendenstein F., Roth B., Deist F., Гавурин М. К., Давиден-ко Д. Ф., Дикусар В. В., Шидловская Н. А.) В работах А. М. Дементьевой метод продолжения развит для исследования общих задач, сводящихся к операторным уравнениям.
Имеющиеся на сегодняшний день результаты по данной тематике обладают рядом недостатков: в них либо предполагается глобальная разрешимость дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, что требует дополнительной гладкости, либо формулируются утверждения о сходимости метода без каких-либо оценок скорости сходимости.
Предлагаемая в диссертации деформационно-Ньютоновская процедура позволяет получить приближение к минимуму функционала с заданной точностью є за конечное количество шагов N(e), которое выписывается явно. Альтернативная деформационно-градиентная процедура дает возможность избавиться от требования гладкости. Обе эти процедуры не требуют близости начального приближения к экстремали. Для
разработанных методов рассматриваются приложения к классическим задачам оптимального управления и вариационного исчисления.
Анализу приближенных процедур типа градиентного спуска локализации оптимального решения (точки минимума) посвящена обширная литература. Строгие доказательства сходимости получены Л. В. Канторовичем, М. М. Вайнбергом, Карри и другими в середине XX века. Далее метод развивался многочисленными исследователями, среди которых — Я. И. Альбер, Ф. П. Васильев, Б. Т. Поляк.
Наиболее полно эти процедуры исследованы в случае, когда изучаемый функционал удовлетворяет какому-либо условию выпуклости (строгая выпуклость, сильная выпуклость, монотонность градиента и т.д.). В ряде важных задач (например, в задачах оптимального управления с функционалами качества общего вида, в задачах классического вариационного исчисления) изучаемые функционалы невыпуклы. В таких случаях локальная сходимость градиентного метода установлена в предположении невырожденности точки минимума. Позднее Н. А. Бобылевым был выделен класс функционалов (ії-правильные функционалы), для которых удалось доказать сходимость градиентных процедур (метод наискорейшего спуска, метод простых итераций) в предположении лишь изолированности отыскиваемой точки минимума. Затем эти результаты были обобщены Н. А. Бобылевым, С. К. Коровиным и А. А. Кутузовым для так называемых (Р, 5')-правильных функционалов. В то же время во многих задачах бесконечномерной оптимизации критические точки не изолированы.
В настоящей работе доказывается сходимость градиентного метода для функционалов на бесконечномерных пространствах специального класса в случае континуума критических точек без предположений о выпуклости или невырожденности. Этот результат позволил доказать теорему о сходимости метода типа спуска для системы уравнений Гинзбурга-Ландау, описывающих поведение сверхпроводника во внешнем магнитном поле. Существование решений системы уравнений Гинзбурга-Ландау было доказано Н. А. Бобылевым и В. С. Климовым.
Другая актуальная проблема, рассмотренная в диссертации — проблема сходимости проекционно-итерационных процедур. Последние, начиная с метода Галеркина и его модификаций — Бубнова-Галеркина, Галеркина-Петрова и др. широко распространены и применяются как для доказательства разрешимости уравнений математической физики (Лионс Ж. -Л.), так и для фактического поиска решений. В диссертации рассматривается приближенное построение колебательных режимов в нелинейных системах. Полученные результаты используются для построения последовательных приближений к колебательным режимам в системах автоматического регулирования.
На сегодняшний день известны общие теоремы о сходимости метода гармонического баланса. Например, доказана сходимость приближений
к циклу, если его топологический индекс отличен от нуля и приближающие операторы аппроксимируют исходный. В ряде случаев приводится экспоненциальная оценка сходимости, которая, однако, может оказаться неприемлемой для начальных приближений общего положения. В данной работе предлагается метод выбора начального приближения, основанный на априорной грубой информации относительно искомого решения. Фактически это означает, что чем больше известно о структуре отыскиваемого цикла, тем быстрее сойдется предложенный метод.
Важным вопросом является вопрос о приближенном построении колебательных режимов (циклов) в автономных системах автоматического регулирования. Если отыскиваемый цикл орбитально асимптотически устойчив и достаточно хорошо локализован, то посредством какого-либо метода численного интегрирования можно получить сколь угодно точное приближение. Однако во многих важных ситуациях (например, в задаче хаотической динамики) отыскиваемые циклы, как правило, неустойчивы. Это существенно усложняет задачу. Один из приемов приближенного построения неустойчивых циклов автономных систем, предложенный Н. А. Бобылевым и М. А. Красносельским, базируется на комбинации метода функционализации параметра и какого-либо метода Галеркина (метод гармонического баланса, метод механических квадратур, метод коллокации и др.) Однако такой поход весьма трудоемок в вычислительном отношении и требует дополнительной информации об отличии от нуля топологического индекса решения. В диссертации предлагается новый итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем, эффективный в вырожденных ситуациях — метод локализации на гиперплоскости. Суть его в том, что фиксируется какая-либо точка цикла с помощью произвольной гиперплоскости и затем методом наискорейшего спуска минимизируется функционал невязки как по переменной фазового пространства, так и по времени. Доказано, что если исходное приближение достаточно близко к циклу, то соответствующая итерационная процедура сходится.
Отдельный параграф описывает обобщение так называемого прокси-мационного метода (или prox-метода). Понятие проксимационного отображения введено Моро. prox-метод является частным случаем метода регуляризации для некорректных задач, предложенного А. Н. Тихоновым и используется в задачах с вырожденными и плохо обусловленными функционалами. К настоящему времени prox-метод детально разработан и исследован для выпуклых функционалов. Результаты, относящиеся к невыпуклым задачам для конечномерного и бесконечномерного случая даются в диссертации.
Наряду с дискретными методами приближенного построения решений рассматривается также и непрерывный. Начиная с классической работы А. М. Ляпунова “Общая задача об устойчивости движения”, методы функций Ляпунова получили широчайшее распространение как в
абстрактном нелинейном анализе, так и в исследовании конкретных задач. Например, А. И. Лурье, В. Н. Постникову, Н. Г. Четаеву принадлежат работы по асимптотической устойчивости в целом для нелинейных систем. Далее направление развивалось в работах ученых М. А. Айзер-мана, Б. П. Демидовича, Н. Н. Красовского, М. Г. Крейна, Е. С. Пятницкого и других.
Основной трудностью использования метода функций Ляпунова является отсутствие общих методов их построения. Одним из путей преодоления этой трудности служит использование векторных функций Ляпунова, предложенное Р. Бэллманом и В. М. Матросовым, и развивавшееся затем Л. Ю. Анапольским, С. Н. Васильевым и другими. В настоящей работе не предлагается способов построения таких функций, но выделен класс функционалов на банаховых пространствах, для которых упрощается проверка классических условий устойчивости и асим-тотической устойчивости по Ляпунову. Это, в свою очередь, приводит к возможности локализации устойчивого решения операторного уравнения сдвигом вдоль траектории системы, что может быть реализовано классическими численными методами (Эйлера, Рунге–Кутта и т.д.)
Далее градиентный метод используется для построения оптимального управления в сетях связи. В настоящее время активно развиваются различные сетевые модели. Однако существующие методы их исследования не носят универсального характера. Это связано с тем, что основное внимание исследований было направлено на анализ статических моделей. В то же время реальные системы связи являются существенно нестационарными объектами. Также в случае значительных нагрузок на очереди, ограничений на пропускную способность каналов (очередей) и использования более интеллектуальных алгоритмов диспетчеризации динамика сети становится существенно нелинейной. В диссертации приводятся уравнения динамики такой системы. Получены необходимые условия оптимального управления и предложен вычислительный алгоритм.
Несмотря на многообразие теоретических результатов, основным средством приближенного решения нелинейных уравнений с частными производными являются разностные методы. Для применения разностных методов в области определения отыскиваемого решения строят некоторую сетку, а затем заменяют производные конечными разностями. Таким образом, вопрос о построении сетки выделяется как один из основных вопросов реализации разностной схемы. С другой стороны, это приводит к проблеме введения глобальной криволинейной системы координат в заданной области. Например, в некоторых работах ставится задача об отыскании двух функций, обеспечивающих гомеоморфное отображение квадрата на заданную двумерную область при заданном отображении границы квадрата в границу области.
Использование гомеоморфизмов лежит в основе многочисленных ме-
тодов построения сеток, которые образуют в настоящее время бурно развивающееся направление вычислительной математики.
Одним из методов построения гомеоморфизма является переход к глобальному гомеоморфизму от локального. Теоремы, доказанные в работе, могут быть использованы для обоснования корректности построения той или иной разностной сетки в областях сложной формы.
Цель работы состоит в разработке приближенных методов решения нелинейных задач управления, оптимизации и автоматического регулирования.
Для этого необходимо:
-
Определить классы функционалов, допускающих обобщение классических приближенных методов на случай бесконечномерных задач и разработку новых приближенных процедур.
-
Исследовать свойства функционалов этих классов.
-
Изучить естественность определенных классов функционалов — как часто встречаются на практике их представители. Найти приложения в теории оптимального управления, вариационном исчислении, оптимизации.
-
Разработать приближенные процедуры, доказать их сходимость, оценить число достаточных шагов (если возможно) или скорость сходимости.
-
Применить разработанные приближенные процедуры в теории автоматического регулирования, управления и математической физике.
-
Найти приближенные процедуры построения управляющих воздействий в задачах оптимального управления.
-
Рассмотреть случай автономных систем автоматического регулирования; предложить приближенные методы их исследования.
-
Изучить связь устойчивости по Ляпунову и сходимости приближенных методов. Доказать устойчивость и асимптотическую устойчивость для выделенного класса бесконечномерных задач.
-
Разработать методы построения сеток для разностных уравнений на счетных областях сложной формы, исходя из локальной информации о требуемой сетке.
Методы исследования. В работе использованы методы общей теории систем и теории автоматического управления, методы нелинейного
функционального анализа, интегральных уравнений, вариационного исчисления, теория итерационных процедур приближенного решения операторных уравнений.
Научная новизна. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Нами предложена единая методика приближенного построения решений задач управления, оптимизации и автоматического регулирования. При построении и исследовании вычислительных алгоритмов решения бесконечномерных оптимизационных задач впервые применен деформационный принцип, использующий свойства инвариантов функционалов качества.
В работе предложены и обоснованы новые приближенные процедуры решения бесконечномерных оптимизационных задач, основанные на деформационном методе (методе продолжения). Эти процедуры (деформационно-ньютоновская и деформационно-градиентная) применены к решению задач вариационного исчисления, механики, управления движением при интегральных ограничениях на управляющие воздействия. С целью обоснования указанных методов установлена деформационная теорема о сохранении минимума функционала качества бесконечномерной системы при невырожденной деформации этого функционала в ситуации, когда его градиент не обладает повышенной гладкостью. Предложен градиентный метод поиска минимума для специальных классов функционалов. Доказана сходимость этого метода к многообразию (множеству) критических точек функционала, реализующему его локальный минимум. Это позволило в качестве приложения решить задачу об итерационном поиске решений системы уравнений Гинзбурга-Ландау. Доказана сходимость разновидности градиентного метода для интегральных функционалов на пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Разработан метод приближенного построения вынужденных колебаний в нелинейных системах, основанный на методе гармонического баланса. Данный метод применен к исследованию нелинейных систем автоматического регулирования. Разработан алгоритм приближенного построения циклов многоконтурных автономных систем автоматического регулирования, эффективный в вырожденных ситуациях — метод локализации на гиперплоскости. Данный алгоритм не требует отличия от нуля топологического индекса цикла, или его орбитальной асимптотической устойчивости. Обоснован prox-метод решения невыпуклых оптимизационных задач и проведены вычисления на ЭВМ, иллюстрирующие скорость его сходимости. Определен класс функционалов Ляпунова на рефлексивных сепарабельных банаховых пространствах. Это позволило сформулировать достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости бесконечномерной динамической системы, что может служить обоснованием метода приближения к стационарному состоянию (решению операторного уравнения) сдвигом вдоль траекторий этой системы. Получено необходимое условие оптимальности управления се-
тевыми системами. Дан градиентный метод приближенного построения оптимальных управлений таких систем. Предложен метод глобализации гомеоморфизма в задаче о построении разностных сеток. Он основан на локальной информации и информации о соответствии границ. В качестве приложения, метод позволяет решать задачу об адаптации сетки в счетной области.
Практическая ценность. Полученные результаты могут использоваться для приближенного поиска автоколебаний в системах автоматического регулирования, оптимизации вырожденных функционалов качества, оптимизации сетевых систем, при построении оптимального управления движением с ограничениями по энергетике, для введения разностных сеток сложной конфигурации, приближенного поиска неустойчивых периодических режимов систем автоматического регулирования.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы и доложены на научных семинарах ИПУ РАН, МГУ им. М. В. Ломоносова, ИСА РАН, Воронежского государственного университета, на Воронежской зимней математической школе, на III Всесоюзном совещании по распределенным автоматизированным системам массового обслуживания (Винница 1990 г.), на III Интернациональном симпозиуме “Method and Models in Automation and Robotics” (Польша 1996 г.), Международной научно-практической конференции “Управление большими системами” (Москва 1997 г.), на Международном семинаре “Дифференциальные уравнения и их приложения” (Самара 1997 г.), на Международном симпозиуме “Обобщенные решения в задачах управления” (Пе-реславль 2002 г.), VII Международном семинаре “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления” (Москва 2002 г.), Международная научно-практическая конференция “ТАС-2011” (Москва 2011 г.), Конференция “Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах” (УТЭОСС-2012 Санкт-Петербург 2012 г.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 33 работы, среди которых 15 статей в ведущих рецензируемых журналах и одна монография.
Личный вклад автора. Все основные результаты получены автором самостоятельно.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих 22 параграфа, выводов и списка литературы из 236 наименования. Работа содержит 275 страниц печатного текста.
Свойства H-правильных функционалов
Одна из наиболее общих и эффективных схем применения гомотопического метода к качественному исследованию операторных уравнений вида с вполне непрерывным оператором С принадлежит Лере и Шаудеру. В этой схеме параметр А включается линейно, т.е. рассматривается семейство уравнений вида
Если при всех А Є [0,1] решения х(Х) уравнения (1.2.5) удовлетворяют общей априорной оценке то уравнения (1.2.5) (и, в частности, изучаемое уравнение (1.2.4)) разрешимы. Доказательство этого утверждения базируется на введенном Лере и Шауде-ром топологическом инварианте — степени отображения. Метод Лере-Шаудера обобщался и развивался в многочисленных работах как теоретического, так и прикладного характера.
Эта глава посвящена применению метода продолжения к проблеме приближенного построения решений бесконечномерных оптимизационных задач. В ней вначале излагается абстрактная схема метода продолжения, доказывается инвариантность минимума при невырожденных деформациях, а общие теоретические результаты применяются к исследованию конкретных бесконечномерных оптимизационных задач.
Изложим более подробно как мотивировку предлагаемого подхода, так и его описание.
Рассмотрим задачу безусловной минимизации функционала /i (it) определенного на некотором пространстве Е. Как известно, метод Ньютона приближенного построения точки минимума функционала f\ (и) обладает чрезвычайно быстрой скоростью сходимости: если функционал /i (it) близок к квадратичному, то скорость сходимости метода Ньютона квадратичная. Однако для применения этого метода требуется достаточно хорошее начальное приближение — в противном случае метод Ньютона может расходиться. Другой специфической особенностью метода Ньютона является предположение о наличии второй производной у /i(it). Это предположение весьма ограничительно в задачах бесконечномерной оптимизации и, в частности, в задачах минимизации функционалов, возникающих в математической физике. Так, например, интегральные функционалы вариационного исчисления, рассматриваемые на их естественных областях определения — пространствах W\ — дифференцируемы, вообще говоря, не более одного раза. Предположение о наличии второй производной сужает класс рассматриваемых функционалов до квадратичных.
При применении градиентного метода к задаче приближенного построения точки минимума функционала f\(и) область начальных приближений, обеспечивающих сходимость метода, становится, вообще говоря, существенно шире, чем в методе Ньютона. Кроме того, градиентный метод предполагает наличие у функционала /i (it) лишь одной производной, что обеспечивает работоспособность градиентного метода при решении бесконечномерных оптимизационных задач. Однако при решении плохо обусловленных задач градиентный метод может оказаться неработоспособным по причине его медленной сходимости (независимо от выбора начального приближения). Отметим еще, что при минимизации градиентным методом сложных функционалов, о которых отсутствует априорная информация типа роста, выбор начального приближения, при котором метод сходится, также является весьма сложной задачей.
В этой главе предлагается новый подход к задаче безусловной минимизации дифференцируемых функционалов. Его реализация дает возможность строить достаточно хорошие приближения к точкам минимума исследуемых функционалов и, следовательно, открывает возможности последующего применения различных эффективных численных процедур минимизации (в частности, быстро сходящегося метода Ньютона).
Опишем процедуру предлагаемого метода. Рассмотрим такое однопарамет-рическое семейство функционалов /(it; Л) (it Є Е] 0 А 1), для которого /(it; 1) = /і(it), а функционал /о(it) = /(it; 0) обладает заданными свойствами (например, является унимодальным и растущим). Функционал /о(it) будем называть эталонным.
Пусть при каждом А Є [0,1] функционал /(it; А) имеет экстремаль it(A), причем точка ito = it(0) реализует минимум функционала /о(it). Разобьем промежуток [0,1] на к частей точками 0 = So #і Sk = 1 и рассмотрим функционал /(it;si). Если si достаточно мало, то естественно предположить, что экстремаль it(si) будет точкой глобального минимума функционала /(it;si). Для отыскания этой точки минимума какой-либо итерационной процедурой (например, методом Ньютона или градиентным методом) в качестве начального приближения возьмем точку минимума ito функционала /о(it). Построив достаточно точное приближение it і к экстремали it(si), возьмем его в качестве начального приближения для минимизации функционала /(it; S2) и т.д. На (к — 1)-ом шаге мы найдем приближение щ \ к экстремали u(sk-i) функционала /(it; s/c-i), которая в естественных предположениях будет точкой минимума этого функционала. Найденный элемент можно использовать в качестве начального приближения при построении точки минимума функционала /i (it) (например, методом Ньютона, если /i (it) дважды дифференцируем, или градиентным методом, если /i(it) обладает лишь одной производной).
Ниже приводится обоснование этого метода и указываются некоторые его приложения.
Многомерные интегральные функционалы
Пусть Г2 — ограниченная область в Ж с гладкой границей, а W ) — пространство Соболева функций и{х) (х Є Г2), имеющих обобщенные производные до порядка т, суммируемые с квадратом, и нулевой след на границе dQ области Q вместе с производными до порядка т — 1.Предположим, что интегрант F(x,) (x Є Q, = { a Ы m} Є Шм) непрерывен по совокупности переменных вместе с первыми и вторыми производными по Є Шм. Пусть, кроме того, выполнены оценки
В этом случае функционал / дифференцируем по Фреше на W ity, а его градиент V/ удовлетворяет условию Липшица на каждом шаре пространства то градиент функционала / обладает (S)-свойством [22, 120]. Доказательство этих утверждений не сложно, но достаточно громоздко. Оно сводится к оцениванию вариаций функционала / и остаточных членов с помощью теорем вложения. При этом градиент V/ : W ity — W ) функционала / определяется равенством
Согласно определению, экстремали функционала / на W ity — это решения из W ity уравнения
Как нетрудно видеть, это определение экстремали эквивалентно общепринятому в вариационном исчислении определению, базирующемуся на понятии обобщенного решения для уравнения Эйлера функционала (2.2.9): и = it (ж) Є W ) называется обобщенным решением задачи (2.2.12) - (2.2.13), если для любой функции
Рассмотрим на W ity однопараметрическое семейство интегральных функционалов
Предположим, что интегрант F(:r, , Л) непрерывен по совокупности переменных х Є Q, Є Мм, Л Є [0,1] вместе с производными по до второго порядка включительно. Пусть при каждом Л Є [0,1] интегрант F(x, , Л) функционала (2.2.14) удовлетворяет оценкам (2.2.10), (2.2.11). Из теоремы 1.3.1 вытекает
Теорема 2.2.2. Пусть при каждом А Є [0,1] задача Дирихле для уравнения Эйлера функционала (2.2.14)
Пусть функция щ = и(-, 0) реализует локальный минимум в W ity функционала /о = /( jO). Тогда функция щ = и(-, 1) реализует локальный минимум
В уравнении (2.3.1) f(t) непрерывная Т-периодическая функция, разлагающаяся в ряд Фурье, F(t,x,x, fi) — аналитическая функция переменных ж, ж в некоторой области и переменной /І при достаточно малых ее значениях. По отношению к t функция F является непрерывной, разлагающейся в ряд Фурье, Т-периодической. Вопрос заключается в отыскании периодических решений уравнения (2.3.1) и называется задачей о колебаниях вдали от резонанса. Следующее утверждение хорошо известно и доказывается с помощью метода малого параметра:
Существует одно и только одно периодическое решение уравнения (2.3.1), обращающееся при /І = 0 в решение задачи и это решение получается аналитическим относительно /І (см., например, [147]). Можно поставить аналогичный вопрос относительно краевой задачи для уравнения (2.3.1), а именно: существует ли при малых /І единственная непрерывная ветвь решений задачи
Докажем, что при некоторых ограничениях на /, F, к, /І вопрос имеет положительный ответ и функция ж/х(-), /І /іо может быть найдена деформационно-ньютоновским методом.
Будем рассматривать пространство Соболева w\ функций, заданных на от резке [0,Т], имеющих одну обобщенную производную, суммируемую с квадратом. Функции из w\ имеют нулевые следы на концах отрезка.
Градиентные процедуры в задаче приближенного построения решений уравнений Гинзбурга–Ландау
В этом разделе теоремы 3.1.3 и 3.1.4 применяются для обоснования сходимости градиентного метода приближенного построения решений уравнений Гинзбурга-Ландау.
В феноменологической теории сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау [60, 141, 144] изучается поведение сверхпроводника во внешнем магнитном поле. Состояние сверхпроводника, занимающего объем Q С М3, описывают решения уравнений Гинзбурга-Ландау. При соответствующем выборе единиц измерения эти уравнения и граничные условия, определяющие их решения, имеют вид
Здесь Q — ограниченная выпуклая область вR3 с границей dQ; п — вектор нормали к 9Г2; ф — комплексная функция, называемая параметром порядка (\ф\2 пропорционален плотности сверхпроводящих электронов); — векторный потенциал вектора магнитной индукции; V — оператор градиента в М3:
( ) — операция комплексного сопряжения; (,) — скалярное произведение в М3; А и /І — вещественные параметры. При этом положительный параметр /І зависит лишь от плотности вещества, а параметр Л пропорционален разности температур Тс — Т, где Тс — точка фазового перехода.
Отметим, что краевая задача (3.1.72) - (3.1.75) имеет тривиальное нулевое решение. Интерес представляют ненулевые решения этой задачи.
Уравнения Гинзбурга-Ландау являются уравнениями Эйлера функционала свободной энергии проводника, который определяется на парах и = {ф,А) равенством
Обозначим через Тії гильбертово пространство комплексных функций, вещественные и мнимые части которых являются элементами пространства W2l(Q). Скалярное произведение на Тії определим равенством Подчеркнем, что пространство Тії рассматривается над полем действительных чисел. Это требование существенно для дифференцируемости функционала /. Через ТІ2 обозначим гильбертово пространство вектор-функций компоненты которых принадлежат пространству W2l(Q). Скалярное произведение вектор-функций Положим Скалярное произведение элементов гильбертова пространства Ті определим равенством
Непосредственные вычисления показывают, что функционал / непрерывно дифференцируем по Фреше на Ті и a ортопроекторы пространства Ті на Тії и 7І2 соответственно.
Очевидно, точка и = {ф,А) пространства Ті является критической точкой функционала / в том и только том случае, если выполнены равенства Операторные уравнения (3.1.79), (3.1.80) будем также называть уравнениями Гинзбурга-Ландау, а их решения — обобщенными решениями краевой задачи (3.1.72) - (3.1.75). Если обобщенное решение достаточно гладкое, то пара (ф,А) является классическим решением краевой задачи (3.1.72) - (3.1.75) для уравнений Гинзбурга-Ландау. Обозначим через Е подпространство пространства 7І2, состоящее из вектор-функций Д допускающих представление а через F — подпространство пространства 7І2, состоящее из вектор-функций А, удовлетворяющих условиям Тогда в силу теоремы разложения Гельмгольца 7i2 = EF) (3.1.83) подпространства Е и F ортогональны (в смысле L2(f2)) и для А Є F выполнено неравенство где С 0 некоторая постоянная. Обозначим через Н прямое произведение пространств Тії и F. Очевидно, Н является замкнутым подпространством пространства Н. В силу неравенства (3.1.84) на пространстве Н норма % эквивалентна норме На пространстве Н функционал (3.1.77) допускает представление Из равенства (3.1.78) вытекает, что функционал д дифференцируем по Фреше на Н, а его градиент Vg : Н — Н вполне непрерывен. Поэтому градиент V/ функционала / на Н является суммой единичного и вполне непрерывного операторов. Поэтому он является (Р, 5 )-правильным. Лемма 3.1.4. Если и = (ф,А) — критическая точка функционала f, рассматриваемого на Н, то и — критическая точка этого функционала и на Ті. Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что функционал / обладает свойством калибровочной инвариантности, т. е. удовлетворяет равенству для любой функции р Є W iP). Из этого соотношения вытекает утверждение леммы. Лемма доказана. Таким образом, задача отыскания критических точек функционала / на Ті свелась к отысканию его критических точек на более узком пространстве Н. Лемма 3.1.5. [123]. Функционал f : Н — К. является растущим. Теорема 3.1.8. [22]. Пусть А 0. Тогда краевая задача (3.1.72) - (3.1.75) имеет по крайней мере одно нетривиальное обобщенное решение. Поскольку критические точки функционала (3.1.77) на пространстве Н совпадают с решениями уравнений Гинзбурга-Ландау (3.1.72) - (3.1.75), то для их отыскания можно воспользоваться градиентной процедурой.
Функционалы Ляпунова на банаховых пространствах
Далее будут определены функционалы Ляпунова на банаховых пространствах.
Пусть Е — рефлексивное банахово пространство и Е — сопряженное к нему Через (/, х) ниже обозначается значение линейного функционала / Є Е на элементе х Є Е.
Приведем некоторые определения.
Последовательность элементов хп Є Е называется слабо сходящейся к элементу хо Є Е, если для любого функционала / Є Е выполнено равенство
Нелинейный функционал V : Е — К. называется слабо полунепрерывным снизу на Е1, если для любого элемента Хо Є Е и любой слабо сходящейся к хо последовательности элементов хп Є Е
Для слабо полунепрерывных снизу функционалов справедлива теорема Вей-ерштрасса: слабо полунепрерывный снизу функционал У, определенный на слабо компактном множестве, достигает своей нижней грани.
Нелинейный функционал V : Е — К. называется дифференцируемым по Фреше в точке Хо Є Е, если существует такой функционал / GF, что справедливо представление
Линейный функционал /, участвующий в представлении (4.1.5), называется градиентом в точке хо нелинейного функционала V и обозначается через УУ(жо):
Рассмотрим в Е обыкновенное дифференциальное уравнение Непрерывно дифференцируемое отображение х(-) : [0,Т] — Е называется решением уравнения (4.1.7), если Мы будем предполагать, что /(0) = 0. Тогда уравнение (4.1.7) имеет нулевое решение x(t) = 0, которое называется состоянием равновесия уравнения (4.1.7). Ниже предполагается, что правая часть уравнения (4.1.7) удовлетворяет условию Липшица: Тогда для каждого начального условия уравнение (4.1.7) имеет единственное нелокально продолжимое решение p(t, ж), удовлетворяющее условию Нулевое состояние равновесия уравнения (4.1.7) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого є 0 существует такое 5 = 6(є) 0, что из неравенства ж 5 вытекает неравенство Нулевое состояние уравнения (4.1.7) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и для достаточно малого 5о из неравенства Наконец, нулевое состояние равновесия уравнения (4.1.7) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчиво по Ляпунову и для любого х Є Н Универсальным аппаратом исследования устойчивости и асимптотической устойчивости является метод функционалов Ляпунова, являющийся бесконечномерным обобщением метода функций Ляпунова в теории устойчивости систем с конечным числом степеней свободы. Приведем два основных утверждения этого метода (см. [22]). Функционал V(x), фигурирующий в формулировках теорем 4.1.2 и 4.1.3, называется функционалом Ляпунова. Через W(x) обозначен градиент этого функционала. Оператор VV(-) определен на шаре В (г) С Е и действует в Е1 , где Е — сопряженное к Е пространство. Основное отличие теорем 4.1.2 и 4.1.3 от аналогичных утверждений теории устойчивости систем с конечным числом степеней свободы заключается в том, что условия (4.1.10), (4.1.12) и (4.1.13) в конечномерном случае приобретают вид и эффективны для их проверки. Проверка же выполнения условий (4.1.10), (4.1.12) и (4.1.13) в общем случае весьма затруднительна. В этом параграфе выделяется класс функционалов Ляпунова, для которых условия (4.1.10), (4.1.12) и (4.1.13) эффективно проверяются. Эти условия приводят к новым признакам устойчивости и асимптотической устойчивости бесконечномерных систем, определенных на банаховых пространствах.
Пусть Е — вещественное сепарабельное рефлексивное пространство. Определенный на Е непрерывно дифференцируемый по Фреше функционал V{x) назовем Е-правильным, если его градиент W : Е — Е является локально липшицевым и обладает следующим свойством (S)+: если последовательность хп Є Е слабо сходится к точке Хо и
Доказательство. В предположении противного найдется точка Хо и последовательность хп, слабо сходящаяся к точке жо, для которой
