Содержание к диссертации
Введение
1. Особенности оптимизации решения многокритериальных задач 10
1.1. Структурный метод решения многокритериальных задач 10
1.2. Представление многокритериальной задачи как задачи ранжирования и распознавания 16
1.3. Анализ задачи ранжирования при отсутствии эталона 22
Выводы по разделу 1 24
2. Обзор и сравнительный анализ методов решения многокритериальных задач при нечеткой исходной информации 26
2.1. Способы построения функции принадлежности 26
2.2. Сравнительный анализ косвенных методов построения функции принадлежности 29
2.3. Сравнительный анализ методов оптимизации решения многокритериальных задач 40
Выводы по разделу 2 51
3. Математическое обоснование матричного метода обработки нечеткой исходной информации 53
3.1. Матричный метод построения функции принадлежности 53
3.2. Учет согласованности и коррекция экспертных оценок 64
3.3. Решение многокритериальной задачи ранжирования матричным методом при нечеткой исходной информации 68
3.4. Решение задачи классификации матричным методом при нечеткой исходной информации 78
3.5. Решение матричным методом многокритериальных многоуровневых задач, представленных в иерархической форме. Определение общей согласованности субъективных оценок важностей 89
Выводы по разделу 3 96
4. Практическое применение матричного метода для решения многокритериальных задач при нечеткой исходной информации 97
4.1. Решение задачи оптимизации доставки личного состава сводного отряда СУВДТ по сигналу тревоги 97
4.2. Решение многоуровневой задачи по охране объектов матричным методом 117
Выводы по разделу 4 139
Заключение 140
Библиографический список 143
Приложение 152
- Представление многокритериальной задачи как задачи ранжирования и распознавания
- Сравнительный анализ косвенных методов построения функции принадлежности
- Решение многокритериальной задачи ранжирования матричным методом при нечеткой исходной информации
- Решение задачи оптимизации доставки личного состава сводного отряда СУВДТ по сигналу тревоги
Введение к работе
Изучение и внедрение новых достижений науки и техники, совершенствование технологии, снабжения и сбыта, контроль за количеством и качеством выпускаемой продукции, финансирование и кредитование и многие другие проблемы входят в сферу деятельности руководителя современного производства, В подобных ситуациях, характеризующихся множеством факторов и взаимных связей, объективные трудности принятия правильного решения могут привести к нерациональному использованию ресурсов, несогласованности работы отдельных звеньев системы управления, к снижению экономического роста производства. В связи с этим математический анализ исследования операций для принятия решений приобретает важнейшее значение в науке и практике управления.
Проблема принятия решений в условиях нечеткой исходной информации составляет в настоящее время одно из важнейших направлений исследования методов решения многокритериальных задач. Выбор наилучшего варианта в нечетких многокритериальных задачах усложняется отсутствием формализованной связи между объектами и их признаками, а также недостаточной объективной информацией о количественных значениях исходных данных, часто носящих только качественные оценки. Вследствие этого, недостаток объективной информации восполняется субъективной оценкой характеристик, данной экспертом на основе его опыта, знаний, интуиции. Оценка эксперта всегда связана с неопределенностью в силу своей субъективности, что в дальнейшем будет влиять на нечеткость выбранного решения.
В работе рассматриваются многокритериальные задачи, где неопределенность в выборе наилучшего решения имеет следующие особенности: отсутствуют статистические данные, позволяющие обосновать количественные соотношения между различными критериями (признаками); на момент приня-
6 тия решения отсутствует информация, позволяющая объективно оценить возможные последствия выбора того или иного варианта решений. Вероятностный подход к решению многокритериальных задач, имеющих неопределенность статистической природы, в данной постановке является непригодным. Подобные задачи относятся к новому классу задач принятия решения, образовавшемуся на стыке многокритериальное и нечетких множеств. В диссертационной работе предлагается новый подход к проблеме принятия решений при нечеткой исходной информации путем использования элементов теории нечетких множеств, разработанной Л. Заде. [4]
Для решения нечетких многокритериальных задач автором разработан матричный метод, в котором были применены элементы теории нечетких множеств. Ввиду отсутствия количественных оценок признаков в качестве исходной информации предлагается использовать экспертные оценки относительных парных сравнений функций принадлежности признаков. Учитывая участие эксперта в решении задач, метод определяет меру согласованности экспертных оценок.
Получение обобщенной оценки сравниваемых объектов как значения функции принадлежности нечеткому множеству допустимых решений позволило использовать предлагаемый в работе матричный метод для решения задач распознавания при наличии q классов и т объектов, характеризующихся п признаками. Отнесение объекта к определенному классу, т.е. его распознавание, производится на основе сравнения значений его функций принадлежности разным классам. Наибольшее значение функции принадлежности однозначно определит класс объекта.
Целью работы является анализ оптимизации решения многокритериальных задач при нечеткой исходной информации на основе экспертных оценок, разработка метода, позволяющего находить из множества допустимых решений наилучшее при нечеткой исходной информации, а также построение на основе этого метода алгоритма, с помощью которого можно получить
обобщенную оценку, зависящую от важности признака объекта и степени важности объекта относительно каждого признака.
Научная новизна работы заключается в следующем:
разработаны матричные методы, в которых были применены элементы теории нечетких множеств, что позволило выразить качественные характеристики факторов значениями функций принадлежности нечетким множествам;
на основе матричных методов разработан алгоритм обработки нечетких исходных данных в информационных системах при решении многокритериальных задач;
разработан матричный метод для решения нечетких задач ранжирования т объектов, характеризующихся п признаками;
разработан матричный метод для решения задач распознавания при наличии к классов и т объектов, характеризующихся п признаками при нечеткой исходной информации в условиях наличия эталонов классов и при их отсутствии;
разработан матричный метод для решения многоуровневых нечетких многокритериальных задач;
проведен сравнительный анализ методов решения нечетких многокритериальных задач на основе полученных численных результатов решения практических задач.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Метод решения задач распознавания при нечеткой исходной информации
при наличии к классов и т объектов, характеризующихся п признаками;
Метод решения задач классификации объектов в случае отсутствия эталонов классов при нечеткой исходной информации о классах и объектах;
Разработанный алгоритм обработки нечетких исходных данных в информационных системах при решении многокритериальных задач;
Решение практических задач оптимизации в различных экстремальных ситуациях;
5. Анализ результатов решения практических задач после применения способа коррекции данных.
Результаты работ в этой области докладывались и были опубликованы на международной, всесоюзных и республиканских научно-технических конференциях и семинарах: Всесоюзном научно-техническом совещании «Программное обеспечение новой информационной технологии» (Калинин, 1989 г.), региональных семинарах «Методы использования искусственного интеллекта в автоматизированных системах» (Самара, 1989, 1990 г.), Всесоюзной школе-семинаре «Комбинаторно-статистические методы анализа и обработки информации, экспертное оценивание» (Одесса, 1990 г.), Всесоюзном научно-техническом семинаре «Программное обеспечение новых информационных технологий» (Тверь, 1991 г.), материалы исследований были напечатаны в сборниках № 6, № 9 СГТУ, серия Физико-математические науки (Самара, 1998, 2000 г.), докладывались и были опубликованы на конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1999 г.), международной конференции «Математическое моделирование -2001 г.»(Самара, 2001 г.).
На основе проведенных исследований разработан алгоритм и составлена программа, применение которой позволило оптимизировать решение практических задач, стоящих перед ОВД.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, библиографического списка и приложения. Диссертация изложена на 153 страницах, содержит 15 рисунков, 37 таблиц и библиографический список из 116 наименований. В первом разделе проводится анализ решения многокритериальной задачи, как задачи выбора наилучшего варианта из множества альтернатив. Сформулированы особенности представления нечеткой многокритериальной задачи в виде иерархий, отмечены преимущества такого подхода, рассмотрено представление задачи распознавания объектов системы как частного случая многокритериальных задач выбора оптимального варианта.
Во втором разделе работы дается описание методов обработки экспертной информации. Обосновывается необходимость применения элементов теории нечетких множеств при формализации субъективной исходной информации многокритериальных задач. Проводится анализ методов построения функции принадлежности и анализ методов решения многокритериальных задач оптимизации при нечеткой исходной информации на основе сравнения результатов, полученных этими методами и предлагаемым в данной работе. Рассматривается способ проверки согласованности и коррекции исходных данных.
В третьем разделе приводится математическое обоснование матричного метода обработки нечёткой информации. Рассматривается применение этого метода для решения нечетких многокритериальных задач ранжирования объектов при наличии и отсутствии эталонов классов, а также решения нечетких многоуровневых задач. Приводится метод определения согласованности исходной информации.
В четвертом разделе рассматриваются применение матричного метода практических задач, стоящих перед правоохранительными органами. Проводится анализ полученных результатов после применения способа коррекции исходных данных.
В заключении отмечены преимущества предложенного матричного метода при решении многокритериальных задач с нечетко заданной информацией.
Приложение содержит акт внедрения матричного метода, использованного при разработке системы автоматического оповещения и составлении оптимального плана доставки личного состава в различных экстремальных ситуациях в Средневолжском управлении внутренних дел.
Представление многокритериальной задачи как задачи ранжирования и распознавания
Распознавание объекта представляет задачу преобразования входной информации, в качестве которой рассматриваются признаки распознаваемых объектов, в выходную, представляющую собой заключение о том, к какому классу относится распознаваемый объект. Класс - это множество объектов, обладающих близкими признаками /58/. Задача распознавания состоит в том, чтобы по информации о классах IQ(LI, ... ,LC]) и описанию 1(х) объекта х определить класс объекта xeLqi q- I, к. Практические задачи, при решении которых применяются методы распознавания, обладают специфическими особенностями, отмеченными в работе /11/: а) приведение исходных данных к некоторому стандартному виду, удобному для распознавания, т.е. производится синтез формализованного описания объекта на основе имеющейся информации (результатов измерений, экспертных данных и т.п.); б) собственно распознавание - преобразование формализованного описания в матрицу ответов, соответствующую выбору в качестве ответа одного из вариантов, характеризующихся фиксированным набором признаков указание принадлежности объекта определенному классу. В качестве основания для зачисления объекта в определенный класс вводится понятие приоритета, который определяет меру близости или подобия между описаниями объекта и эталона класса, для нахождения которой используются специальные математические методы /11, 12/. Анализ приведенных выше требований позволяет сделать вывод о том, что система распознавания должна отвечать следующим условиям: 1. Определяются приоритеты признаков эталонов для каждого класса. 2. Оцениваются значения признаков, соответствующие эталонам разных классов. 3. Сравниваются значения соответствующих признаков объекта с значениями признаков эталонов и определяются относительные значения признаков или меры близости признаков объекта и эталонов. 4. С учетом найденных значений приоритетов признаков каждого эталона и относительных значений признаков объекта вычисляются обобщенные оценки объекта относительно каждого эталона - глобальные приоритеты. 5. Путем сравнения обобщенных оценок по наибольшему значению глобального приоритета определяется принадлежность объекта к определенному классу. Предлагается выделить следующие типы задач распознавания: 1. Отнесение предъявляемого объекта к одному из заданных классов на основе сравнения его признаков с признаками эталонов. 2. Разбиение множества объектов в соответствии с их признаками, на систему непересекающихся подмножеств (классов). 3. Выбор информативного набора признаков для построения формализованного описания объекта, включающий в себя оценку информативности, т.е. меры важности (веса) каждого признака, а также сочетаний признаков при решении задачи распознавания. 4. Ранжирование объектов в зависимости от качественной выраженности определенного признака или сочетания признаков. Если объект обладает множеством п независимых между собой признаков, для его классификации требуется п критериев. Объект можно представить как совокупность численных значений признаков в виде векторов или точек в признаковом пространстве. Объекты, обладающие близкими признаками, т.е. относящиеся к одному классу, образуют множество точек внутри некоторой области пространства признаков. Вероятно, что совокупность точек, отвечающих различным объектам, принадлежащим к одному классу, будет компактно распределена в пространстве признаков, т.е. расстояние между элементами этого класса будет невелико. Совокупность точек, отвечающих другому классу, будет также компактна, и эти области будут отделены одна от другой некоторой границей /27, 95/. Данная задача в случае двумерного пространства представлена на рисунке 1.2, где множество точек А содержит различные объекты класса А, а множество точек В - объекты класса В.
Сравнительный анализ косвенных методов построения функции принадлежности
Процедура принятия решения в условиях выбора при наличии нескольких объектов, характеризуемых набором признаков, неизбежно содержит в себе элементы экспертных суждений. В работах /15, 16, 74/ отмечено, что субъективные элементы практически невозможно устранить из постановок многокритериальных задач. Для учета влияния нечетко описанных исходных данных необходима формализация качественных факторов (целей, ограничений, признаков) с помощью средств математического аппарата. Введение понятия нечетких множеств /52/ и соответствующих им функций принадлежности сняло трудности количественного выражения качественных нечетко заданных исходных условий в задачах нестатического характера. Разрешение проблемы свелось к построению функции принадлежности нечетким множествам. Различные методы определения функции принадлежности нечетким множествам классифицируются по четырем аспектам /11/: 1) вид области определения нечеткого множества: a) числовая непрерывная; b) числовая дискретная; c) нечисловая; 2) применяемый способ экспертного опроса: di) индивидуальный; сЬ) групповой; 3) тип экспертной информации, основанной на сравнении преимуществ объектов: ї) порядковая - относительно порядкового сравнения одного объекта со следующим за ним; е2) кардинальная - относительно всеобщего (кардинального) сравнения объектов друг с другом; 4) интерпретация данных экспертного опроса: fi) вероятностная; f2) детерминированная. В работе, учитывая прикладной характер решаемых задач, рассматривается метод построения функции принадлежности типа lb, 2dj, Зе2, 4f2 , т.е.: lb) предполагаемая область определения нечетких множеств - числовое дискретное множество; 2dj) индивидуальный способ экспертного опроса производится на основе количественного сравнения степеней принадлежности элементов (признаков, объектов) индивидуальным лицом, принимающем решение; Зе2) получение экспертной информации проводится путем сравнения значения функции принадлежности каждого элемента друг с другом; 4f2) интерпретация данных экспертного опроса детерминированная. Используемый метод построения функции принадлежности нечеткого множества основан на обработке матрицы экспертных оценок попарных сравнений важностей элементов (признаков, объектов) /82, 83/. Экспертные оценки относительной важности элементов определяются с помощью шкалы сравнения в соответствии с таблицей 3.1, указывающей степень превосходства одного элемента по сравнению с другим. В работе Саати Т. /84/ отмечено, что градации или стимулы при определении качественных различий немногочисленны, приблизительно их пять с дополнительными компромиссными решениями, которые необходимы при осмысливании процесса суждения в противоположность чувствам. Эти компромиссные решения увеличивают число различий до девяти. Имеется несколько причин для установления верхнего предела шкалы, равного девяти: 1. Качественные различия значимы на практике и обладают элементом точности, когда величина сравниваемых предметов одного порядка или предметы близки относительно свойства, используемого для сравнения. 2. Способность человека производить качественные разграничения представлена, как было отмечено выше в соответствии с таблицей 3.1, пятью определениями и компромиссными решениями между соседними определениями, когда нужна большая точность. В целом требуется девять значений, и они хорошо согласованы; получаемая в результате шкала была подтверждена при решении ряда практических задач /27, 64, 107/. 3. Практический метод, используемый для оценки отдельных объектов, заключается в классификации стимулов в трихотомию зон: неприятная, безразличная, приятная /11, 84/. Для более тонкой классификации в каждую из этих зон заложен принцип трихотомии - деления на низшую, умеренную и высокую степени. Таким образом, получается девять оттенков значимых 4. Психологический предел 7 ± 2 объектов при одновременном сравнении подтверждает, что если взять 7 ± 2 отдельных объектов, удовлетворяющих пункту 1, и если все они слегка отличаются друг от друга, то понадобится девять точек, чтобы различить их. Использование шкалы парных сравнений от 0 до оо может оказаться бесполезным, так как при этом предполагается, что человеческое суждение каким-то образом способно оценить относительное превосходство любых двух объектов, что совсем не так. Как известно из опыта, наша способность находится в весьма ограниченном диапазоне и, когда имеется значительная несоразмерность между сравниваемыми объектами или действиями, наши предположения тяготеют к тому, чтобы быть произвольными, и обычно оказываются далекими от действительности. Это подтверждает мысль о том, что шкалы должны иметь конечный диапазон. Пределы должны быть достаточно близкими в диапазоне, который отражает нашу действительную возможность производить относительные сравнения. Так как единица является стандартом измерения, верхняя граница не должна быть слишком далека от нее, хотя и достаточно отдалена, чтобы представить диапазон способности различать.
Использование в качестве относительных оценок важностей элементов шкалы сравнения, представленной в таблице 3.1, позволяет сравнивать несравнимые на первый взгляд элементы (признаки, объекты), имеющие качественное описание и дает возможность при определении их приоритетов получать числовые значения. Рассмотрим процесс построения функции принадлежности нечетких множеств и определение степени принадлежности элементов этим нечетким множествам.
Решение многокритериальной задачи ранжирования матричным методом при нечеткой исходной информации
Поэтому в многокритериальных задачах сравнение объектов по предпочтению осуществляется с помощью значений функций a i(x), показывающих степень выраженности признака щ у объекта х, которые называются локальными признаками, локальными критериями /77/ или целевыми функциями решения. Значения локальных признаков й)((х), i= 1,/и объекта х определяют вектор признаков, характеризующий объект хеХ. Таким образом, каждый объект хеХ определяется векторной оценкой W(x) во множестве Y. Эта зависимость оценки объекта от значений его признаков может быть задана аналитическим законом, статистическим или эвристическим описанием /72/. В данной работе взаимосвязь объекта и признаков осуществляется эвристически с помощью относительных экспертных оценок важностей объектов по каждому признаку. К подобным задачам относятся задачи ранжирования объектов при нечетких исходных данных с нечетко заданными признаками. В работе также рассматривается более широкий класс задач, включающий задачи ранжирования как частный случай, это задачи классификации объектов по заданным эталонам.
В этом случае кроме нечеткости в описании признаков возникает неопределенность в принадлежности объектов заданным классам, что и составляет основные затруднения при упорядочении объектов по классам.
При ранжировании объектов следует учитывать также и важность, приоритет, каждого признака относительно всех признаков, тогда оценка качества объекта будет зависеть и от весов локальных признаков или их приоритетов (PR(o)j), ..., PR(o)n)), образующих вектор приоритетов признаков PRW = (PR(co]),...,PR(wn)).
Тогда приоритет объекта х можно рассматривать как- функцию, зависящую от вектора признаков объекта и вектора приоритетов при- ков: Таким образом, выбор оптимального решения (объекта) многокритериальной задачи сводится к определению максимального значения х0 =Х векторной функции F(W(x), PRW). В работах /77, 49, 50/ векторное оптимальное решение определяется, исходя из оптимального решения по Парето /77/. Допустимое решение Хо называется оптимальным по Парето, если не существует другого допустимого решения, которое было бы по всем критериям не хуже и хотя бы по одному лучше, чем х0, т.е. если fi(x) - критерии объекта X, Множество оптимальных решений по Парето носит также название множества эффективных или недоминируемых решений. В общем случае многокритериальных задач поиск оптимальных решений ограничивается определением множества эффективных решений. Дальнейший выбор оптимального варианта решения для конкретных практических многокритериальных задач осуществляется путем компромисса /74/ недоминируемых решений и помощи лица, принимающего решение. Во втором разделе данной работы был рассмотрен наиболее распространенный компромиссный подход /4, 12/, основанный на принципе максимина. При лингвистическом или структурном подходе /4, 27/ к решению многокритериальных задач более оправданным является подход, позволяющий не просто сравнивать оценки объектов по отдельным признакам и на основе этого проводить решения многокритериальной задачи /75, 49/, а метод основанный на определении оценки объекта, зависящей от приоритетов признаков и предпочтительности объекта относительно каждого признака. При таком подходе к решению многокритериальных задач необходимо, по мнению автора данной работы, выполнение четырех условий: 1) нормализация векторов признаков, приводящая все признаки к единому масштабу измерения, и, таким образом, позволяющая проводить их сравнение; 2) определение приоритетов признаков РЩсо,), позволяющих отдавать предпочтение более важным признакам относительно поставленной цели; 3) определение оценок важности объектов по каждому признаку a i, 4) проверка согласованности субъективных экспертных оценок относительной важности признаков и объектов. С учетом перечисленных условий оценка важности объекта х, его приоритет, определяется как линейная комбинация компонент вектора признаков объекта W(х)-(coi(x), ..., о „{х)) и соответствующих компонент вектора приоритетов признаков PRW = (PR(coi), ..., PR(co„)), т.е. как скалярное произведение этих векторов /83, 84/: - приоритет і признака; - количество / признака yj объекта. В случае нечеткой исходной информации глобальная оценка важности объекта будет определяться значением его функции принадлежности множеству допустимых решений. Под множеством допустимых решений понимается множество объектов, удовлетворяющее поставленным целям и отвечающее накладываемым ограничениям. Расплывчатая исходная информация о целях и ограничениях н условии задачи представляет пересечение нечетких множеств целей G \\ нечетких множеств ограничений С в виде нечеткого множества допустимых значений. Качественное субъективное описание признаков приводит к необходимости введения понятия нечетких множеств признаков а)/. В силу этого понятие множества признаков расширяется и может быть представлено в виде нечеткого множества с функцией принадлежности fiw. Тогда важность признака щ относительно цели ранжирования можно определить как степень принадлежности признака со{ нечеткому множеству признаков определяемую значением функции принадлежности// щ). Другой проблемой при решении нечетко заданной многокритериальной задачи является определение предпочтительности объектов относительно каждого признака, качественно, расплывчато описываемого экспертом. Предлагается каждый признак рассматривать как нечеткое множество с функцией принадлежности Цю., тогда каждый объект х из множества D обладает этим признаком, но с разной степенью, которую можно описать как степень принадлежности объекта х нечеткому множеству, образованному признаком x i, определяемую значением функции принадлежности Ит. (JC). Итак, при нечеткой исходной информации компоненты вектора признаков объекта определяются значениями функции принадлежности объекта нечетким множествам признаков Ha. (х). Тогда глобальная оценка важности объекта относительно поставленной цели отражает важность этого объекта по сравнению с другими объектами относительно каждого признака, учитывая при этом приоритет, вес, соответствующего признака. Совместное требование этих двух условий к обобщенной оценке важности объекта можно найти с помощью операции пересечения значений функций принадлежности объекта Xj нечеткому множеству признака щ и значения функции принадлежности этого признака щ нечеткому множеству признаков W:
Решение задачи оптимизации доставки личного состава сводного отряда СУВДТ по сигналу тревоги
Рассмотрим применение матричного метода при составлении оптимального плана доставки личного состава сводного отряда и оперативных групп Средневолжского управления внутренних дел на транспорте МВД России по сигналу "Ураган" или "Набат" из районов проживания. Как уже отмечалось в разделе 1, в момент поступления сигнала тревоги управление располагает ограниченным количеством автотранспорта. Необходимо определить, в какие районы города послать автотранспорт в первую очередь. Исходя из этого, задача, стоящая перед дежурной частью, доставить как можно больше личного состава в управление за минимальное время, не превышающего указанного по приказу t , поставлена нечетко.
В самом деле, на доставку всех сотрудников, т.е. наибольшего их числа, к месту сбора будет затрачено время, превышающее указанное по приказу г , с другой стороны, чем меньше затрачено времени, тем меньше будет доставлено сотрудников. Решение задачи требует компромиссного подхода к определению оптимального плана посылки автотранспорта для доставки людей. В этом случае для определения обобщенной оценки важности пункта направления автотранспорта используются эвристические соображения эксперта в виде высказываний о зависимости маршрутов движения автотранспорта от исходных данных поставленной задачи. Примерами таких высказываний могут быть следующие: а) если расстояние между местом сбора отряда и пунктом проживания сотрудников мало, то и время на перевозку людей будет мало; б) если сотрудников в данном районе проживания много, то и количество перевезенных этим маршрутом людей будет большое; в) если дороги данного района хорошие, то на доставку сотрудников будет затрачено меньше времени; г) если в данном районе сотрудники живут компактно, то за меньший промежуток времени будет перевезено большее количество сотрудников. Возникает необходимость вычисления критериальных оценок для каждого района города. Учитывая рассредоточенность мест проживания сотрудников по всему городу и то, что районы города имеют неправильную геометрическую форму и не равны по площади, вся территория города разбивается на квадраты от 1 до 10 по горизонтали и от А до Е по вертикали. Таким образом, получается 60 квадратов, каждый квадрат характеризуется набором признаков. После беседы с экспертом предлагается выделить следующие признаки, характерные для каждого квадрата: 1. Удаленность от управления; 2. Количество личного состава, проживающего в данном квадрате; 3. Компактность проживания сотрудников в данном квадрате; 4. Качество дорог в квадрате. Область допустимых значений объектов (квадратов), к которым будет направлен автотранспорт, определяется как пересечение ограничений, накладываемых на условие задачи: С і - количество сотрудников, проживающих в квадрате, должно быть не менее одного; Сі - время доставки сотрудников автотранспортом должно быть не более t времени, указанного в приказе, т.е. D = C\nCi. Отметим особенности нечетко поставленной многокритериальной задачи Признаки обладают различной степенью важности относительно поставленной цели и, следовательно, по-разному влияют на обобщенную оценку объекта (квадрата). Так как признаки объектов имеют качественные оценки, то приоритет признака рассматривается как степень важности данного признака относительно других признаков и определяется значением функции принадлежности признака у, нечеткому множеству признаков W: JUW(O)J), W= {со,, со2, a 3, CO4]. Далее оцениваются объекты относительно каждого признака. В силу того, что часто отсутствуют прямые пути подъезда в район, и места проживания сотрудников рассредоточены по площади квадрата, количественную оценку удаленности квадрата от места сбора получить затруднительно. Исходя из этого, значения признака "удаленности" будут определяться значениями функции принадлежности квадратов нечеткому множеству значений признака "удаленности": Мт (х,), где xj -j квадрат проживания сотрудника, (О) - признак "удаленности" квадрата. Важность объектов (квадратов) относительно признаков "количество сотрудников" и "компактность проживания" может быть определена количественно, но ввиду нечеткости границ квадратов и разбросанности мест проживания сотрудников также будут выражены через значения функции принадлежности объектов нечеткому множеству соответствующих признаков: - признак "количество проживающих сотрудников", 0)3 - признак "компактность проживания сотрудников". Признак "состояние дорог" может быть оценен качественной оценкоГ? ("хорошо асфальтированные", "плохое дорожное покрытие" и т.д.), поэтом; важность объекта (квадрата) относительно этого признака определяется значением функции принадлежности квадрата нечеткому множеству этого признака: Mw (Xj), где OJ4 - признак "качество дорог". Так как количественную оценку каждого признака для соответствующего объекта (квадрата) получить трудно, исходная информация о значениях признаков объектов будет представлена в виде сравнительных субъективных. оценок отношений функций принадлежности объектов нечеткому множеству каждого признака: Таким образом, нахождение обобщенной оценки важности объекта (квадрата) состоит из следующих этапов. Сначала определяются значения приоритетов признаков относительно поставленной в задаче цели. Затем вычисляются значения функций принадлежности объектов множеству каждого признака, т.е. определяются приоритеты объектов относительно каждого признака.
