Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор существующих методов исследования автоколебаний и формулировка подхода к численному моделированию релаксационных автоколебаний в системах с упругостью и трением 20
1.1. Существующие модели трения в решении задач о фрикционных автоколебаниях 20
1.2. Аналитические методы в задачах о колебаниях систем с трением 27
1.3. Численные методы решения задач динамики систем с трением зі
1.4. Формулировка подхода к численному моделированию
релаксационных автоколебаний в системах с трением 34
2. Метод численного решения задач динамики систем со скачкообразным измененим значений сил трения при переходе от покоя к скольжению 36
2.1. Основные положения предлагаемой неявной итерационной процедуры численного интегрирования на примере одномассовой системы с трением 36
2.2. Обобщение алгоритма на случай систем с произвольным числом степеней свободы и произвольным количеством источников трения 44
2.3. Особенности программной реализации 49
3. Применение разработанного метода к исследованию релаксационных автоколебаний упругих систем с трением 52
3.1. Одномассовая система с трением 53
3.1.1. Постановка задачи и вычислительная модель 53
3.1.2. Результаты численного моделирования релаксационных автоколебаний одномассовой системы в случае постоянной скорости нагружения 56
3.1.3. Анализ результатов моделирования релаксационных автоколебаний одномассовой системы при периодическом характере внешнего воздействия 59
3.2. Двухмассовая система с двумя источниками трения 66
3.2.1. Постановка задачи и вычислительная модель 66
3.2.2. Результаты численного моделирования релаксационных автоколебаний двухмассовой системы в случае постоянной скорости нагружения 71
3.2.3. Анализ результатов моделирования релаксационных автоколебаний двухмассовой системы при периодическом характере внешнего воздействия 74
4. Применение разработанного метода к исследованию режимов фрикционных автоколебаний релаксационного типа в следящем (рулевом) электроприводе 85
4.1. Характеристики рассматриваемого электропривода и задачи исследования
4.2. Оценка устойчивости рассматриваемого привода на основе частотного анализа 90
4.2.1. Программная реализация пошаговой логарифмической процедуры частотного анализа 90
4.2.2. Применение разработанной вычислительной процедуры частотного анализа к оценке устойчивости рассматриваемого привода 95
4.3. Исследование реакции рассматриваемого электропривода на постоянное входное воздействие 99
4.4. Исследование режимов релаксационных автоколебаний в рассматриваемом электроприводе 102
4.4.1. Вычислительная модель для исследования динамики рассматриваемого привода с учетом скачкообразного изменения момента трения при переходе от покоя к скольжению 102
4.4.2. Результаты численного моделирования режимов фрикционных автоколебаний релаксационного типа в рассматриваемом электроприводе 106
4.4.2.1. Случай постоянной скорости входного воздействия . 106
4.4.2.2. Случай переменной скорости входного воздействия .
Заключение 116
Литература 119
Приложение 130
- Существующие модели трения в решении задач о фрикционных автоколебаниях
- Основные положения предлагаемой неявной итерационной процедуры численного интегрирования на примере одномассовой системы с трением
- Результаты численного моделирования релаксационных автоколебаний одномассовой системы в случае постоянной скорости нагружения
- Программная реализация пошаговой логарифмической процедуры частотного анализа
Введение к работе
Специалистам, занимающимся вопросами проектирования систем управления различного рода объектами (промышленного, транспортного, технологического и другого назначения), приходится уделять большое внимание возможности возникновения в процессе работы таких систем фрикционных автоколебаний, обусловленных трением и упругими свойствами в отдельных устройствах и элементах этих систем. Такие автоколебания способны не только нарушить нормальное функционирование разработанной системы, но и вывести ее из строя. Это указывает на чрезвычайную важность проблемы расчетного прогнозирования подобного рода негативных явлений на начальных этапах проектирования, чтобы иметь возможность заранее вырабатывать меры по предотвращению указанных явлений в предполагаемых условиях эксплуатации каждой конкретной из разрабатываемых систем.
Ситуацию, сложившуюся в области методов расчета и математического моделирования фрикционных автоколебаний, можно кратко охарактеризовать следующим образом.
Фундаментальные экспериментальные и расчетные исследования по изучению закономерностей трения и его влияния на динамическое поведение различного рода систем привели к пониманию основных механизмов возникновения фрикционных автоколебаний [1,2,6,10,11,14,15,19,20,22,31, 33-35,37,39,40,41,44,52-54,59,62,65,66,73,77-79,81-83]. В рамках настоящей диссертационной работы основное внимание предполагается уделить фрикционным автоколебаниям, возникающим вследствие падающего характера зависимости силы трения от скорости. Такая закономерность типична для широкого класса производимых и эксплуатируемых систем и в этом смысле
заслуживает особого рассмотрения. Не случайно исследованию этого класса автоколебаний посвящена обширная литература [1,2,6,12,14,15,19,26,27,30, 44,52-55,62,65-67,73,78,80,82,83,88,96,108].
Вместе с тем следует отметить, что большинство расчетных исследований посвящено анализу фрикционных автоколебаний так называемого квазигармонического типа. Подобные автоколебания возникают, когда значения относительных скоростей взаимодействующих поверхностей в узлах трения достаточно высоки, и падающий участок зависимости силы трения от скорости (в окрестности некоторого рабочего значения скорости) оказывается достаточно пологим. Для исследования фрикционных автоколебаний квазигармонического типа разработан широкий круг методов расчета. Здесь нашли применение различные подходы приближенного гармонического анализа нелинейных систем [1,2,5,6,21,22,52-54,58,76,79,82,103]. Для исследования подобного типа автоколебаний могут быть успешно применены и имеющиеся стандартные алгоритмы и программы, основанные на методах численного интегрирования уравнений динамики рассматриваемого класса систем [15,35,64,75].
Гораздо менее исследованными в расчетном плане оказались фрикционные автоколебания так называемого релаксационного типа, при которых движение систем носит прерывистый характер (когда этапы относительного движения взаимодействующих поверхностей в узлах трения сменяются этапами относительного застоя). Подобные автоколебания особенно характерны для следящих систем в ситуациях медленно изменяющихся входных воздействий. В качестве механизма, обуславливающего автоколебания в таких ситуациях, выступает свойство сил трения резко изменяться (практически скачком) при переходе от покоя к скольжению. Трудности использования аналитических подходов здесь связаны с тем, что в процессе построения соответствующего решения приходится всякий раз предполагать путь, по кото-
рому будет развиваться исследуемое движение прерывистого типа. Вариантов же возможного развития событий в проблемах такого рода может быть множество, и не все они могут реализоваться. Нужно выбирать лишь устойчивые ветви решения, а в этом зачастую трудно убедиться в рамках громоздкого аналитического подхода. По-видимому, этим и объясняется тот факт, что аналитических решений в классе задач о фрикционных автоколебаниях релаксационного типа (как и вообще по проблеме обусловленных трением прерывистых движений) получено не так много [2,15,19,28,48,103,110].
Трудности имеются и в вопросе применения численных методов к решению указанного класса задач. Дело в том, что в случае обусловленного трением прерывистого движения соответствующая система по сути представляет собой систему с переменной структурой (относительный застой или выход из застоя конкретного узла системы в процессе ее движения означает изменение количества ее степеней свободы и влечет за собой переформулировку соответствующей задачи динамики). Традиционные алгоритмы численного решения задач динамики систем с трением [6,15,24,25,28] строятся на логике, отражающей упомянутую концепцию систем переменной структуры. Сравнительно небольшое количество полученных с помощью указанных алгоритмов (и опубликованных) решений не позволяет с уверенностью говорить о надежности таких алгоритмов в сложных ситуациях (например, в случае нескольких узлов трения в системе). В литературе [15,98] отмечается, что до конца не ясен вопрос, как неточность в (итерационном) определении момента и характера изменения структуры системы может сказаться на достоверности результатов последующего численного решения в случае достаточно сложных систем с трением.
Все сказанное дает основание констатировать, что вопросы разработки надежных методов и алгоритмов для исследования фрикционных автоколебаний релаксационного типа, а также вопросы расчетных исследований ре-
?
лаксационных автоколебаний конкретных систем с трением все еще остаются открытыми.
Целью диссертационной работы является разработка метода численного решения задач динамики нелинейных систем при наличии сухого трения со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению и упругих связей.
С применением разработанного метода в работе решены не рассмотренные ранее в литературе задачи о фрикционных автоколебаниях релаксационного типа в нелинейных системах с упругостью и сухим трением при различных законах изменения управляющих воздействий.
Автор выносит на защиту:
Метод численного решения задач динамики нелинейных систем со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению, основанный на регуляризации зависимости силы трения от скорости, применении неявной схемы Эйлера для численного интегрирования регуляризованной системы дифференциальных уравнений и итерационном решении задачи на каждом шаге по времени.
Программное обеспечение для численного решения задач динамики САУ, представленных системой нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с произвольным количеством обобщенных сил сухого трения.
Результаты численного моделирования фрикционных автоколебаний релаксационного типа в конкретных системах с упругостью и трением при различных законах изменения управляющих воздействий с установлением эффектов и закономерностей по влиянию параметров исследуемых систем на характер возбуждаемых в них релаксационных автоколебаний.
Работа состоит из введения, четырех разделов и заключения.
Первый раздел посвящен обзору и анализу существующих представлений о трении, имеющихся постановок задач о фрикционных автоколебаниях, а также методов их решения. Отмечается, что многие явления (в том числе и фрикционные автоколебания) могут быть объяснены и описаны в рамках модели трения Амонтона-Кулона. Фрикционные автоколебания во многих случаях возникают вследствие упругих свойств соответствующей системы и падающего характера зависимости силы трения от скорости. В случае скачкообразного падения значений сил трения в узлах системы при переходе от покоя к скольжению возможно установление в ней фрикционных автоколебаний релаксационного типа (со сменяющими друг друга этапами застоя и движения). Указывается, что подобные явления характерны для широкого класса систем управления в ситуациях медленно изменяющихся входных воздействий. С учетом важности проблемы расчетного прогнозирования подобных явлений рассматриваются имеющиеся результаты в области расчетного моделирования прерывистых движений, обусловленных трением.
Отмечены трудности построения аналитических и численных решений для такого класса задач динамики, связанные с тем, что приходится учитывать переменность структуры системы в процессе интегрирования по времени. Указывается, что все еще сохраняется необходимость в разработке алгоритмических приемов, способных преодолевать отмеченные трудности.
Вместе с тем подчеркивается, что здесь может быть использован опыт, накопленный в области разработок инкрементальных методов решения квазистатических контактных задач пластического формоизменения, где приходится иметь дело с трением и вопросами перехода среды из жесткого состояния в пластическое и где успешно применяются приемы, основанные на сочетании процедур регуляризации, интегрирования по неявной схеме Эйлера и итерационного решения задачи на каждом шаге нагружения.
На основе проведенного литературного обзора сформулирован подход к численному моделированию прерывистых движений систем со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению. Формулировка, в частности, включает регуляризацию исходной разрывной зависимости силы трения от скорости, применение неявной схемы Эйлера при численном интегрировании соответствующей регуляризованной системы дифференциальных уравнений и итерационное решение полученной алгебраической системы на каждом шаге по времени.
Во втором разделе работы на основе сформулированного подхода строится алгоритм численного решения задач динамики со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению.
В первом пункте раздела дается построение алгоритма применительно к задаче о движении массы под действием приложенной нагрузки, а также сил упругости, трения и вязкого сопротивления. Указывается на разрывные особенности используемой модели трения: скачком меняется значение силы трения в момент перехода узла трения от покоя (состояние "1") к скольжению (состояние "2"); имеет место также скачок (разрыв) в момент изменения знака скорости.
При построении регуляризованной версии модели трения предполагается, что сила трения способна сохранять значение, приобретаемое ею в состоянии покоя (непосредственно перед началом движения) и в процессе последующего скольжения с достаточно малыми скоростями, не превышающими заданного порогового значения. Другими словами, считается, что состояние "1" узла трения есть скольжение с малыми скоростями, ограниченными заданным пороговым значением . А состояние "2" есть движение под действием силы трения скольжения (с меньшим по сравнению с состоянием "1" значением). Для каждого из состояний "1" и "2" узла трения строится непрерывная аппроксимация зависимости силы трения от скорости путем введения фиктивного линейного
/0
участка в чрезвычайно малой окрестности нулевого значения скорости. Физически это означает включение в модель трения фиктивного участка вязкого сопротивления (при практически нулевых скоростях) с чрезвычайно большим коэффициентом вязкости. Поскольку такая фиктивная вязкость действует в условиях практического отсутствия движения, когда сила трения однозначно определяется из уравнения равновесия (или уравнения движения с нулевым ускорением), регуляризованная модель будет приводить к практически тем же результатам, что и исходная разрывная модель, как в состоянии движения, так и в состоянии "покоя".
Далее регуляризованная задача о движении данной массы сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка (в терминах координат и скоростей) и осуществляется численное интегрирование этой системы (при нулевых начальных условиях) с использованием неявной схемы Эйлера. В процессе такого интегрирования на каждом шаге по времени (при фиксированном состоянии "1" или "2" узла трения) образуется нелинейная система алгебраических уравнений относительно неизвестных значений координаты и скорости в конце данного шага. Строится линеаризующий итерационный процесс с использованием схемы "переменной вязкости" для регуляризованной зависимости силы трения от скорости. Итерации выполняются до достижения заданной точности по определяемым значениям координаты и скорости. После завершения работы указанного итерационного цикла вступает в действие внешний цикл по проверке и изменению состояния узла трения. Если на входе в этот цикл имело место состояние "1" и полученное во внутреннем цикле значение скорости превышает заданное пороговое значение, то узел трения объявляется находящимся в состоянии "2", и снова повторяются вычисления во внутреннем цикле с измененным состоянием узла трения. Аналогичные действия с изменением состояния узла трения выполняются и при контроле перехода из состояния "2" в "1". При этом надежное срабатывание итерационных циклов
обеспечивается при условии, что пороговое значение по переходу из состояния "1" в "2" несколько превьппает пороговое значение по переходу из состояния "2" в "1".
В последующих двух пунктах раздела дается обобщение описанного алгоритма на случай задачи динамики, сформулированной в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с произвольным количеством обобщенных сил трения, скачкообразно изменяющихся при переходе от покоя к скольжению. Представлена также структура программы, реализующей описанный алгоритм и даны ее краткие характеристики.
В третьем разделе работы дается применение разработанного метода к исследованию релаксационных автоколебаний в одномассовых и двухмассо-вых упругих системах с трением. Отмечается, что во многих случаях движение силовых устройств и исполнительных механизмов систем управления может быть описано в рамках расчетных схем типа "масса на пружине" или "система подпружиненных масс". При определенном сочетании характеристик упругости, трения и внепшего воздействия движение подобного типа систем может осуществляться в форме релаксационных автоколебаний. Несмотря на внимание, которое уделяется указанной проблеме в литературе, приходится констатировать, что все еще не исследованными методами математического моделирования остаются вопросы установления релаксационных автоколебаний в многомассовых (в частности, двухмассовых) системах с более, чем одним источником трения. Недостаточно изучены также и вопросы влияния периодического характера внепшего воздействия на параметры устанавливающихся при этом релаксационных автоколебаний (как в одно-массовых, так и в многомассовых системах). Исследованию этих вопросов и посвящен данный раздел.
В первой части раздела рассматривается одномассовая система с упругостью, трением и вязким сопротивлением, находящаяся под действием нагрузки, изменяющейся во времени по заданному закону. Соответствующая задача динамики формулируется в безразмерном виде. Излагаются этапы построения вычислительной модели и вопросы настройки программы расчета применительно к рассматриваемому случаю одномассовой системы. При изложении результатов исследования специальный пункт посвящен анализу релаксационных автоколебаний в случае постоянной скорости изменения внешнего воздействия. Этот случай достаточно полно представлен в литературе и рассматривается здесь для демонстрации надежности и возможностей разработанного алгоритма, а также в целях последующего сравнения с другими случаями нагружения. Проиллюстрировано полное совпадение результатов численного решения и известного аналитического решения как по кинематическим, так и силовым параметрам. Результаты выполненных численных исследований оформлены в виде таблиц, демонстрирующих зависимость характеристик устанавливающихся релаксационных автоколебаний от безразмерных параметров, характеризующих трение и вязкость в системе. Представлена также таблица, в которой при каждом фиксированном значении параметра вязкости указывается диапазон значений параметра трения, обеспечивающих установление режима релаксационных автоколебаний в одномассовой системе в случае постоянной скорости нагружения. Этот диапазон сужается по мере увеличения параметра вязкости. Зафиксировано значение параметра вязкости, обеспечивающее полное гашение автоколебаний при любом значении параметра трения.
В пункте, посвященном случаям нагружения периодического типа, рассматриваются кусочно-линейный периодический закон нагружения и его гармонический аналог. Медленный характер изменения внешнего воздействия обеспечивается выбором низких значений параметра частоты приложен-
УЗ ной нагрузки. Поскольку кусочно-линейный периодический закон нагружения на каждом полупериоде соответствует ситуации постоянной скорости нагружения, результаты предыдущего пункта могут быть полностью перенесены на этот случай. Представленные далее (и оформленные в виде таблиц) результаты численных исследований, относящиеся к случаю нагружения гармонического типа, позволяют оценить влияние непостоянства скорости нагружения на картину установления фрикционных автоколебаний релаксационного типа в одномассовой системе. Эффект непостоянства скорости нагружения проявляется в неоднородности картины устанавливающихся релаксационных автоколебаний. В отличие от случая кусочно-линейного закона нагружения здесь релаксационные автоколебания могут иметь место лишь на части полупериода изменения нагрузки (тогда как на другой его части имеют место затухающие собственные колебания). Диапазон значений параметра трения, обеспечивающих такой (смешанный) режим автоколебаний существенно зависит от параметра частоты изменения приложенной нагрузки, о чем свидетельствуют результаты, представленные в одной из таблиц. При этом смешанный режим автоколебаний может устанавливаться при значениях параметра трения, в несколько раз меньших, чем это имеет место в случае постоянной скорости нагружения. И, наоборот, ситуация, когда релаксационные автоколебания распространяются по всему полупериоду изменения нагрузки, реализуется при существенно больших значениях параметра трения. Результаты, представленные в другой таблице, демонстрируют эффект подавления смешанного режима автоколебаний при выборе определенного (зависящего от частоты изменения нагрузки) значения параметра вязкости.
Во второй части раздела аналогичные исследования выполняются применительно к двухмассовои упругой системе с двумя источниками трения и вязкого сопротивления. Отдельный пункт посвящен постановке задачи в без-
44 размерной форме и изложению этапов построения соответствующей вычислительной модели. Поскольку собственные колебания рассматриваемой двухмассовой системы характеризуются двумя частотами, картина устанавливающихся здесь релаксационных автоколебаний многообразнее, чем в случае одномассовой системы. Это сразу обнаруживают результаты исследований, относящиеся к случаю постоянной скорости нагружения, где зафиксировано не менее четырех различных типов форм релаксационных автоколебаний. Указанные результаты оформлены в виде таблицы, где указаны диапазоны значений безразмерного параметра трения, обеспечивающих реализацию соответствующей формы автоколебаний, в зависимости от параметра вязкости, а также указаны значения параметров, обеспечивающие гашение автоколебаний. При достаточно малых значениях параметров трения и вязкости имеют возможность реализоваться формы автоколебаний, основной вклад в которые вносит низкочастотная составляющая собственных колебаний системы. С ростом параметра вязкости в первую очередь гасятся автоколебания с формами, основанными на низкочастотной составляющей собственных колебаний. Зафиксировано значение параметра вязкости, обеспечивающее полное гашение автоколебаний в системе.
В пункте, посвященном анализу релаксационных автоколебаний двухмассовой системы под действием нагрузки периодического типа, отмечается, что результаты, полученные для случая постоянной скорости нагружения могут быть непосредственно перенесены на случай кусочно-линейного периодического закона нагружения (при достаточно малом значении параметра частоты приложенной нагрузки). При переходе к гармоническому аналогу кусочно-линейного периодического закона нагружения обнаруживается эффект, подобный тому, что наблюдался в случае одномассовой системы. Указанный эффект выражается в реализации в условиях гармонического нагружения с заданным (достаточно малым) значением параметра частоты при оп-
ределенных значениях параметров вязкости и трения двух типов смешанных режимов автоколебаний. В формирование одного из них основной вклад вносит низкочастотная составляющая собственных колебаний, в формирование другого - высокочастотная составляющая. Приводятся полученные численным моделированием и оформленные в виде таблиц результаты, демонстрирующие диапазоны значений параметра трения, обеспечивающих реализацию соответствующих форм автоколебаний, в зависимости от параметра вязкости при различных значениях параметра частоты изменения нагрузки. Указанные таблицы позволяют проследить, как с ростом параметра вязкости сужается диапазон значений параметров трения, способных обеспечить установление релаксационных автоколебаний той или иной формы. Отмечается существенная зависимость указанных диапазонов по трению от параметра частоты изменения нагрузки.
В четвертом разделе работы в качестве объекта исследования рассматривается следящий (рулевой) электропривод летательного аппарата. (Исследование осуществлялось в соответствии с техническим заданием ГНПЦ "Звезда-Стрела"). Несмотря на то, что различным вопросам динамики электроприводных систем посвящена обширная литература, расчетные исследования по проблеме оценки релаксационных автоколебаний подобных систем все еще не получили развития, удовлетворяющего запросам практики. Отмечается, что перед разработчиком конкретного варианта следящего электропривода стоит в определенном смысле оптимизационная задача. Необходимо подобрать такие значения параметров проектируемого привода, которые обеспечили бы не только необходимые запасы устойчивости и требуемую характеристику переходного процесса, но и одновременно обеспечили бы подавление обусловленных трением релаксационных автоколебаний в предполагаемых условиях эксплуатации привода. В такой постановке задача расчетного моделирования
фрикционных автоколебаний релаксационного типа в следящем электроприводе не была рассмотрена в литературе.
Существующие модели трения в решении задач о фрикционных автоколебаниях
Обзоры, представленные в работах [15,19,20,31,33,34,39,40,41,59,77, 81,86,95], дают достаточно полное представление о физико-механических и математических аспектах, связанных с учетом трения в узлах технических устройств. Одновременно материалы, представленные в работах [1,2,6,10, 11,12,14,22,37,52-54,62,65-67,73,78,79,82,83,85], дают представление о влиянии трения (в совокупности с другими факторами) на характер возникающих в указанных устройствах (системах управления, приборах, машинах, а также их элементах) автоколебаний. Цель предпринимаемого ниже обсуждения состоит в том, чтобы обратить внимание на наиболее существенные факторы проблемы фрикционных автоколебаний. Это должно позволить более четко подойти к формулировке задачи о фрикционных автоколебаниях релаксационного типа (численное решение которой предполагается в настоящей работе).
Анализ упомянутых литературных источников показывает, что многие явления (в том числе и фрикционные автоколебания), связанные с трением в узлах систем, могут быть объяснены и описаны в рамках ставшей уже классической модели трения Амонтона-Кулона (которая предполагает, что значение силы трения Fr пропорционально силе нормального давления N между взаимодействующими поверхностями). В литературе [15,40,44] можно найти соответствующие справочные данные по коэффициентам трения f-FT/N для различных пар трущихся материалов. Обращает на себя внимание тот факт, что для многих материалов зависимость коэффициента трения / от скорости v относительного движения трущихся поверхностей имеет падающий характер. При этом существует некоторое пороговое значение скорости v0, начиная с которого коэффициент трения либо возрастает, либо остается практически неизменным (сухое трение). Если процессы в исследуемой системе осуществляются при достаточно больших скоростях (рабочие значения скоростей v близки к v0), имеем ситуацию плавно падающей зависимости /(v). Наоборот, если процессы в системе протекают достаточно медленно, так что рабочие значения скоростей v могут приближаться к значению v = О (где имеет место застой), отмечается резкое падение характеристики /(v). Подобного типа резко падающая зависимость /(v) хорошо аппроксимируется скачкообразной функцией с двумя значениями коэффициента трения /т и /т в состояниях покоя и скольжения соответственно, так что /(0) = /т и /(v) = /Т при v 0 (при этом /та /т ).
Изложенного представления о модели трения и ее параметрах достаточно, чтобы приступить к обсуждению постановок задач о фрикционных автоколебаниях и факторов, оказывающих влияние на их тип. Здесь мы обратим внимание на такие факторы, как скоростной режим и тип внешнего воздействия, дополнительные связи и условия, которые могут накладываться на систему в процессе движения.
Простейший классический пример автоколебательной системы с трением [6,15] это масса т, находящаяся на основании (конвейерной ленте), движущемся горизонтально с постоянной скоростью и. Масса прикреплена к пружине с неподвижно закрепленным концом. В рассматриваемом примере действующая со стороны основания нормальная сила N предполагается постоянной величиной (N = mg). Зависимость силы трения от скорости v массы т относительно движущейся ленты определяется формулой имеет падающий характер (как и зависимость для коэффициента трения /(v)). Дифференциальное уравнение движения массы т содержит нелинейный фактор FT(y).
В случае достаточно больших значений скорости и ленты можно в качестве первого приближения осуществить линеаризацию фактора FT(v) в зоне соответствующих рабочих значений скоростей v (на участке плавного падения зависимости FT(v)). Полученная в результате такой линеаризации система оказывается неустойчивой по Ляпунову (проявление эффекта так называемого "отрицательного" трения в отличие от "положительного" трения в случае возрастания зависимости FT(v), приводящего к устойчивой ситуации). Указанная неустойчивость линеаризованной модели проявляется в неограниченном возрастании амплитуды начавшихся в системе колебаний. В исходной нелинейной постановке задачи такого неограниченного возрастания амплитуды колебаний не происходит. Устанавливаются колебания вполне определенного размаха (автоколебания), по форме близкие к гармоническим (квазигармонический тип автоколебаний).
В случае достаточно малых значений скорости и ленты, когда преобладает эффект скачкообразного изменения значения силы трения при переходе от застоя к скольжению (сила трения падает скачком от значения Fm при v = 0 до значения FT при v 0, так что Fm FT ), в качестве решения соответствующей задачи динамики можно получить установившийся колебательный процесс прерывистого типа (за каждым этапом относительного движения массы т по ленте следует достаточно продолжительный этап относительного застоя). Таким образом, в данном случае имеют место фрикционные автоколебания так называемого релаксационного типа. В работе [2] показано, что замена скачкообразной зависимости значения силы трения от скорости на некоторую гладкую функцию T(v), которая в окрестности нулевого значения скорости v резко падает от значения FTn до значения FT, не привносит заметных изменений в описанную картину устанавливающихся релаксационных автоколебаний. Это можно рассматривать как дополнительный аргумент, подтверждающий допустимость использования модели скачкообразного изменения значения силы трения при переходе от застоя к скольжению в проблемах, связанных с анализом фрикционных автоколебаний релаксационного типа.
Еще раз отметим, что автоколебания (как квазигармонического, так и релаксационного типа) в рассмотренной одномассовой упругой системе обусловлены падающим характером зависимости значения силы трения от скорости. Следует иметь в виду, что возможны и другие причины установления автоколебаний в подобных одномассовых упругих системах. В частности, можно привести примеры автоколебаний систем с сухим трением [3,44,89, 100,106]. В таких случаях должны присутствовать дополнительные факторы, способствующие возбуждению автоколебаний. В работе [44], посвященной моделированию релаксационных автоколебаний в металлообрабатывающих станках, в качестве такого дополнительного фактора выступает тангенциальная упруго-пластическая податливость материала в зоне контакта инструмента с обрабатываемой заготовкой (такая податливость типична для металлообработки вследствие больших напряжений в контактной зоне). Еще одним фактором, способствующим возбуждению автоколебаний в одномассовой упругой системе, может явиться нормальная податливость основания, по которому движется рассматриваемая масса т.
Основные положения предлагаемой неявной итерационной процедуры численного интегрирования на примере одномассовой системы с трением
Считая для простоты единичными такие характеристики рассматриваемой механической системы, как масса, коэффициент жесткости упругой связи и коэффициент вязкости, запишем дифференциальное уравнение движения данной массы под действием изменяющейся во времени нагрузки Р(0, а также сил упругости, вязкого сопротивления и трения в виде Здесь обозначение Q{y) указывает на зависимость силы трения Q от скорости у, которая в соответствии с принятой в данной работе формулировкой имеет вид, представленный на Отметим, что уравнение (2.2) можно использовать совместно с (2.1) для определения параметров дну лишь в ситуации движения когда сила трения Q имеет постоянное значение, соответствующее скольжению. В состоянии покоя (или застоя) скорость и ускорение равны нулю, и вместо дифференциального уравнения (2.2) следует использовать вытекающее из него при у = О уравнение равновесия, которое в таком случае служит для определения текущего значения силы трения Q. Указанное уравнение статики следует использовать до тех пор, пока значение силы трения не превысит величину QTn (предельное значение силы трения в состоянии покоя). После этого следует опять перейти к интегрированию уравнений движения (2.1)-(2.2) с определение параметров q и у. В рамках сформулированного выше подхода такой переход от уравнений одной структуры (описывающих движение) к уравнениям другой структуры (описывающих состояние покоя) предполагается реализовать в автоматическом режиме на основе использования процедур регуляризации, пошагового интегрирования (неявная схема Эйлера) и итерационного решения задачи на каждом временном шаге.
Приступая к построению соответствующей вычислительной модели, способной иметь дело с прерывистым характером движения (сопровождающимся этапами застоя), обратим еще раз внимание на разрывные особенности используемой в формулировке задачи зависимости силы трения от скорости (рис. 2.1). Во-первых, здесь имеет место скачкообразное изменение значения силы трения (от 2тп к QT ) в момент перехода узла трения от покоя (состояние "1") к скольжению (состояние "2"). Во-вторых, имеет место скачок (разрыв) в момент изменения знака скорости. Строя соответствующую регуляризованную вычислительную модель, близкую по свойствам к указанной исходной разрывной модели, предполагаем, что сила трения способна сохранять значение ?то, приобретаемое ею в состоянии покоя (непосредственно перед началом движения) и в процессе последующего скольжения с достаточно малыми скоростями, не превышающими заданного порогового значения утп (рис.2.2). Другими словами, считаем, что состояние "1" узла трения есть скольжение с малыми скоростями, ограниченными заданным пороговым значением у . А состояние "2" есть движение под действием силы трения скольжения (со значением QT, меньшим по сравнению со значением Qrn, имеющем место в состоянии "1"). Для каждого из состояний "1" и "2" узла трения строим непрерывную аппроксимацию зависимости силы трения от скорости путем введения фиктивного линейного участка в чрезвычайно малой у -окрестности нулевого значения скорости. Физически это означает включение в модель трения фиктивного участка вязкого сопротивления (при практически нулевых скоростях) с чрезвычайно большим коэффициентом вязкости. Поскольку такая фиктивная вязкость действует в условиях практического отсутствия движения, когда сила трения однозначно определяется из уравнения равновесия (или уравнения движения с нулевым ускорением), регуляризованная модель будет приводить к практически тем же результатам, что и исходная разрывная модель, как в состоянии движения, так и в состоянии "покоя".
Как видно (рис.2.2), результатом проведенной регуляризации исходной разрывной в нуле зависимости силы трения от скорости (рис. 2.1) оказываются две непрерывные в окрестности нулевого значения скорости зависимости, относящиеся к двум различным состояниям узла трения. Аналитически представ ленную (рис. 2.2) регуляризованную версию зависимости силы трения от скорости можно записать в виде
Результаты численного моделирования релаксационных автоколебаний одномассовой системы в случае постоянной скорости нагружения
На практике часто приходится иметь дело с ситуацией, когда зависимость от времени прикладываемой к системе нагрузки имеет периодический (во многих случаях гармонический) характер. Вопросы влияния такого типа нагружения на картину устанавливающихся при этом релаксационных обусловленных трением автоколебаний недостаточно изучены в литературе.
Численные исследования, осуществляемые в данном пункте, предполагают два типа периодических зависимостей нагрузки от времени. Во-первых, это кусочно-линейная периодическая зависимость (с периодом Т и частотой а = 2ж/Т), формулируемая в виде и соответствующая случаю постоянной по модулю скорости нагружения. Здесь t2 = 774, а величина представляет собой максимальное значение силы Р. Во-вторых, это гармонический аналог кусочно-линейной периодической зависимости (3.11), записываемый в виде Безразмерная величина О.-со I а 0 представляет собой отношение частоты изменения нагрузки к частоте собственных колебаний рассматриваемой системы.
Зависимости (3.14) и (3.15) используем в формулах (3.7) при настройке программы расчета на соответствующий случай нагружения периодического типа.
Прежде, чем перейти к вопросу о релаксационных автоколебаниях в исследуемой системе при законах нагружения периодического типа (3.14) и (3.15), отметим существенное влияние на картину колебаний того факта, что значение нагрузки при этом изменяется в заданных пределах. При достаточно низких значениях частоты Q (в условиях медленно протекающего процесса нагружения) оценку поведения системы в окрестности максимального по модулю значения нагрузки можно выполнить на основе квазистатического расчета. Уравнение равновесия, получающееся путем отбрасывания в записи (3.4) инерционного и вязкого факторов с одновременной заменой силы трения скольжения FT на силу трения покоя FTO, позволяет определить максимальное по модулю перемещение qmax, которое реализуется в момент достижения нагрузкой Р максимального по модулю значения. В этот момент времени сила трения покоя имеет максимальное по модулю значение и знак такой же, как у перемещения q. При последующем уменьшении модуля нагрузки Р достигнутое состояние покоя будет некоторое время сохраняться, поскольку сила трения покоя способна поддерживать такое равновесие, изменяясь в предписанных для нее пределах. Таким образом для поведения рассматриваемой системы под действием периодически изменяющейся нагрузки характерно наличие зоны продолжительного застоя на каждом полупериоде изменения нагрузки. В момент достижения силой трения противоположного по знаку предельного значения этап застоя заканчивается, давая начало колебательному процессу, который может реализоваться в виде установившихся релаксационных автоколебаний на указанном полупериоде или в виде собственных колебаний (затухающих при наличии вязкости).
Поскольку периодическая зависимость (3.14) содержит линейные участки типа (3.10), результаты по параметрам релаксационных автоколебаний, полученные выше для линейного закона нагружения (3.10) могут быть непосредственно перенесены на случай кусочно-линейного периодического закона нагружения (3.14). При этом имеется в виду колебательный процесс, устанавливающийся на каждом полупериоде изменения нагрузки (на промежутке между двумя соседними продолжительными застоями).
Программная реализация пошаговой логарифмической процедуры частотного анализа
В этом разделе в качестве объекта исследования принят следящий (рулевой) электропривод летательного аппарата. Выше со ссылкой на рис. 1.1 уже отмечалось, что наличие трения в подобных приводных системах может явиться причиной возникновения релаксационных автоколебаний в условиях медленно изменяющегося входного воздействия (что и демонстрируют результаты испытаний, представленные на рис. 1.1 для одного из вариантов рулевого электропривода). Несмотря на то, что различным вопросам динамики электроприводных систем посвящена обширная литература [9,11,13,22,35,43,51,58,63,66,74,85,97], расчетные исследования по проблеме релаксационных автоколебаний подобных систем все еще не получили развития, удовлетворяющего запросам практики. Здесь следует отметить, что перед разработчиком конкретного варианта следящего электропривода стоит в определенном смысле оптимизационная задача. Необходимо подобрать такие значения параметров проектируемого привода, которые обеспечили бы не только необходимые запасы устойчивости и требуемую характеристику переходного процесса, но и одновременно обеспечили бы подавление упомянутых релаксационных автоколебаний в реальных условиях эксплуатации привода. В такой постановке задача о поведении следящего электропривода к настоящему времени не была рассмотрена в литературе.
Представленное ниже исследование выполнено в соответствии с направлением опытно-конструкторских работ ГНПЦ "Звезда-Стрела". Указанное исследование относится к начальному этапу проектирования рулевого электропривода и использует в качестве исходных данных материалы технического задания. Основные результаты проведенных исследований изложены в статьях [71,72].
Будем рассматривать следящий (рулевой) электропривод летательного аппарата [22,43,51,58,66,97], функциональная схема которого представлена на рис. 4.1. В условиях эксплуатации рассматриваемый привод должен обеспечивать поворот руля на угол (рй в соответствии с заданной величиной фъ управляющего воздействия.
При подаче на вход сигнала р управляемый преобразователь (УП), включающий корректирующее устройство, вырабатывает соответствующее напряжение С/д, прикладываемое к якорной цепи двигателя постоянного тока (Д) с независимым возбуждением. Развиваемый при этом на валу двигателя момент Мц трансформируется посредством редуктора (с передаточным числом г) в момент М= іМд, действующий на выходном валу привода. Происходящий при этом поворот вала двигателя на угол д д вызывает поворот выходного вала привода (и соответственно руля) на угол рс=(рл/і. При реализации указанного поворота момент М должен преодолевать сопротивление инерционных факторов (характеризуемых моментами инерции J руля и Уд вала двигателя), сопротивление со стороны сил вязкости и трения (характеризуемых моментами Мв и А/ц,), а также сопротивление со стороны сил аэродинамического давления на рулевую поверхность (характеризуемых шарнирным моментом Мш, пропорциональным углу поворота рс руля). Вместо момента Мш на рис. 4.1 указана эквивалентная упругая связь с жесткостью (коэффициентом шарнирного момента) сш. Отрицательная обратная связь (с коэффициентом К0(р =1) призвана обеспечивать баланс входного и выходного сигналов в соответствии с требуемым значением угла поворота руля. В схеме данного привода предусмотрена также положительная обратная связь (с коэффициентом Ком) по моменту Мл на валу двигателя (или по току ія в его якорной цепи). Оценка эффективности такой обратной связи является одной из целей проводимого исследования.
