Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние проблемы оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных
1.1. Взаимосвязь характеристик случайного сигнала и его производных 16
1.2. Исследование класса оцениваемых сигналов 21
1.3. Построение робастного фильтра в частотной области 26
Выводы 32
Глава 2. Алгоритм оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных во временной области
2.1. Описание сигналов с ограниченными дисперсиями производных в пространстве состояний 33
2.2. Постановка задачи оценивания и выбор критерия оптимальности ..., 37
2.3. Структура робастного фильтра 42
2.4. Решение задачи робастной фильтрации 48
2.5. Связь временного и частотного подходов 51
Выводы 53
Глава 3. Аналитичесіше решения и обобщения задачи робастного оценивания
3.1. Случай ограничения дисперсии первой производной сигнала 54
3.2. Случай ограничений дисперсии сигнала и его первой производной 55
3.3. Случай ограничения дисперсии второй производной сигнала 51
3.4. Случай ограничений дисперсий первой и второй производных сигнала... 60
3.5. Случай ограничений дисперсий сигнала и двух первых производных 61
3.6. Случай оценки линейного преобразования измеряемого сигнала 63
3.7. Случай цветного шума 65
Выводы 67
Глава 4. Исследование свойств робастного алгоритма оценивания
4.1. Пример оценивания сигнала при ограничениях на дисперсии сигнала него первой производной 71
4.2. Пример оценивания сигнала при ограничениях на дисперсии его первой и второй производных 85
4.3. Метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных, рекомендации относительно построения эффектив ных и надежных алгоритмов оценивания 97 Выводы 100
Глава 5. Решение задачи авиационной гравиметрии с позиции робастного подхода
5.1. Постановка задачи авиационной гравиметрии 101
5.2. Решение задачи авиационной гравиметрии с позиций оптимального и робастного подходов 106
5.3. Построение робастного фильтра для задачи авиационной гравиметрии при возможности пост-обработки 119
5.4. Выводы о целесообразности применения робастного подхода для решения задачи авиационной гравиметрии 125
Заключение 127
Библиографический список 133
Приложения 143
- Построение робастного фильтра в частотной области
- Постановка задачи оценивания и выбор критерия оптимальности
- Случай ограничений дисперсий сигнала и двух первых производных
- Пример оценивания сигнала при ограничениях на дисперсии его первой и второй производных
Введение к работе
Актуальность проблемы
Во многих задачах управления и обработки информации приходится оценивать сигнал по зашумленным измерениям Применение методов оптимального оценивания наталкивается на значительные трудности, связанные с необходимостью точного знания структуры и параметров моделей оцениваемого сигнала и шума В связи с этим широкое распространение получила теория роба-стного оценивания, довольно полно представленная в современной литературе Укажем на работы отечественных авторов: А Б Куржанского, Я 3 Цыпкина, Ф.Л Черноусько, А.Е. Барабанова, В А Бесекерского, А.В. Небылова, И.Б. Челпанова, Б.Т Поляка, Е Н. Розенвассера и др. Робастные системы можно синтезировать на основе теорий чувствительности или инвариантности, с использованием минимаксного или #«, подходов, путем загрубения моделей входных сигналов и других идей современной теории оценивания
В работе рассматривается робастный подход, основанный на задании априорной информации об оцениваемом сигнале (и, возможно, о шуме) в виде надежных числовых характеристик, таких как ограничения на дисперсии сигнала и некоторых его производных. Настроенная на них система обладает гарантирующими свойствами по отношению ко всем сигналам на входе, удовлетворяющим принятым ограничениям. Областью применения подобного роба-стного подхода являются все задачи, для которых актуальна проблема гарантирования точности, а ограничения на дисперсии производных сигналов являются естественными. Например, это характерно при радиолокационном сопровождении движущихся объектов, при управлении посадкой самолета или при съемке геофизических полей Модель в виде верхних ограничений на дисперсии производных адекватно описывает уходы гироскопов и ошибки инерциальньгх навигационных систем, а также такие возмущения как порывы ветра
В настоящее время построение подобной робастной системы проводится только в частотной области, где сводится к оптимизации ее частотной передаточной функции на основе достаточно сложного алгоритма. Эти обстоятельства не позволяют широко использовать предлагаемый робастный подход для решения практических задач.
Разработка алгоритма оценивания сигналов с ограниченными дисперсиями производных, который расширяет возможности решения на его основе практических задачах, определяет актуальность темы выполненной работы
Идея диссертаиионной работы заключается в постановке задачи оценивания, когда заданы ограничения на дисперсии производных сигналов, в пространстве состояний при фиксированной неопределенности в модели и привлечении для ее решения отработанного аппарата фильтрации во временной области, включая современную теорию Нг/Нт фильтрации.
Цель диссертаиионной работы - в рамках общей идеи решить задачу стационарной фильтрации сигнала с ограниченными дисперсиями производных на фоне белого шума и исследовать свойства полученного фильтра
I РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ!
| БИБЛИОТЕКА I
Основные задачи
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи.
формулирование исходной проблемы в пространстве состояний;
выбор критерия оптимальности фильтра,
определеігие структуры робастного фильтра,
поиск удобного алгоритма синтеза фильтра;
нахождение готовых решений дня распространенных на практике случаев;
исследование свойств робастного фильтра;
разработка удобного для практического применения метода анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных.
Методы исследования В работе использовалась методы статистического и спектрального анализа, методы оптимальной линейной фильтрации, а также методы фильтрации в //«, постановке При анализе использовались методы математического моделирования.
Научная новизна
-
Доказано, что сигнал с ограниченными дисперсиями производных описывается в пространстве состояний, когда неопределенность модели заключается в спектре порождающего сигнала и значениях некоторых параметров
-
Показано, что задача синтеза робастного фильтра может быть решена путем H-JHm оптимизации передаточной функции
-
Определена самая простая структура робастного фильтра. Обосновано, что использование фильтра более сложной структуры нецелесообразно
-
Впервые получены аналитические решения задачи робастного оценивания для случаев ограничений нескольких дисперсий производных
-
Предложен метод выделения наиболее значимых из ограниченных дисперсий производных с использованием удобного графического способа путем построения логарифмических спектральных плотностей.
6. Выявлено, что фильтр, построенный при ограничении только на дисперсию п-ой производной, настраивается на нестационарную модель входного сигнала в виде и-кратно проинтегрированного белого шума
Практическая значимость работы
-
Разработанный алгоритм оценивания сигналов при ограничениях на дисперсии их производных упрощает процедуру синтеза робастного фильтра и расширяет область применения рассматриваемого робастного подхода
-
Представленный метод анализа влияния на точность оценивания каждой из ограниченных дисперсий производных показал, что зачастую лишь одна из них обеспечивает эту точность, в то время как ограничениями на остальные можно пренебречь. Это позволяет строить эффективные и надежные алгоритмы оценивания. Идея заключается в синтезе фильтра на основе одной значимой дисперсии производной, что усиливает его гараширующие свойства и делает его малочувствительным в смысле точности оценивания к расстройкам в исходной модели, поскольку фильтр фактически настраивается на нестационарную модель сигнала в виде проинтегрированного белого шума
/
3 Предложенный алгоритм робастного оценивания был успешно применен для решения задачи авиационной гравиметрии при ограничениях на дисперсии аномалии и ее производной Показано, что робастный алгоритм гарантирует приемлемую точность оценивания аномалии и обеспечивает эффективное и надежное оценивание при работе в реальных условиях
4. Найденное представление исходной задачи в пространстве состояний и обоснование ее решения на основе Hjlll^, оптимизации передаточной функции открывают возможности для различного рода модификаций и усложнений исходной задачи, а также для построения нестационарного фильтра.
Апробация работы и реализация результатов
Основные научные и практические результаты по теме диссертации докладывались и обсуждались на IV и VI конф молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2002 и 2004 гг.), на заседании научно-методической комиссии ФГУП ЦНИИ «Электроприбор» (Санкт-Петербург, 23.04.04), на Шестой, Седьмой и Восьмой научных сессиях аспирантов ГУАП (Санкт-Петербург, 2003-2005 гг.), на 10-й Межд. студенческой олимпиаде по автоматическому управлению ВОАС2004 (Санкт-Петербург, 2004 г.), на 16-м симпозиуме ИФАК по автоматическому управлению в аэрокосмических системах (Санкт-Петербург, 2004 г.), а также на 16-м Всемирном Конгрессе ИФАК (Прага, 2005).
Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР но гранту Минобрнауки РФ "Сопоставительный анализ робастных и оптимальных алгоритмов оценивания" № 53-3-661-1 и внедрены в ОАО НЛП «Радар ММС» по НИР «Интеграция 1» в области создания радиоэлектронных следящих систем
Внедрение результатов диссертациошюй работы подтверждено соответствующими актами, копии которых даны в приложениях к диссертации
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, 2 работы приняты в печать
Структура и объем диссертации
Построение робастного фильтра в частотной области
Решение задачи оценивания сигнала, когда заданы ограничения на дисперсии его производных (1.1), было предложено в частотной области В. А. Бесекер-ским и А.В. Небыловым еще в 80-х годах [7]. Поясним суть разработанного ими подхода, подробное описание которого можно найти в [7, 9, 38, 90, 24, 39].
Известно, что дисперсия установившейся ошибки на выходе линейного фильтра с частотной передаточной функцией Я(/ео) при заданных спектральных плотностях сигнала 5(0)) и шума 5 ((0) может быть представлена в виде [36, 6]: где первое слагаемое соответствует дисперсии динамической ошибки Dex (вызванной искажениями сигнала), а второе слагаемое - дисперсии шумовой ошибки Den (вызванной действием шума), т.е. De=Dex+Deir (1.8)
Предполагается, что S„(G ) известна, и, следовательно, величина Den может
быть вычислена непосредственно. Однако по той причине, что неизвестна спектральная плотность оцениваемого сигнала 5(со), невозможно найти величину Dex, но поскольку известно, что S(&) имеет ограниченные моменты (1.1), то для коніфетнои частотной передаточной функции #0 со), как будет показано ниже, можно вычислить ее верхнюю оценку Dex. Таким образом, можно записать выражение для верхней оценки дисперсии суммарной ошибки De
De=Dex + Deri. (1.9) Эту верхнюю оценку используют в качестве критерия, минимизуемого при синтезе фильтра. Иными словами, выбирается такая частотная передаточная фушсция H(jm), при которой минимальна оценка сверху для дисперсии ошибки оценивания. Остановимся на задаче нахождения верхней оценки дисперсии динамиче ской ошибки Dex для фиксированной частотной передаточной функции вида gW= i+M» + - + ;W Um_h (U0) йг0 + йіО й) +... + aMQ)m где {at }g", jfty } є [0; со) - постоянные и известные параметры. Эту задачу можно решить двумя методами: методом канонических представлений и приближенным методом [38]. Первый подход связан с необходимостью восстановления спектральной плотности по конечному числу ее обобщенных моментов вида (1.1) и приводит к представлению спектральной плотности в виде дискретного набора спектральных линий. Однако в этом случае для расчета верхней оценки
Dex частотная передаточная функция H(J(U) должна удовлетворять определенным условиям (точное формулирование этих условий требует подробного рассмотрения теории канонических представлений в проблеме моментов [28]). Не вдаваясь в подробности, отметим лишь, что в прикладных задачах эти условия зачастую не выполняются. С учетом сказанного в основном используется приближенный метод, свободный от ограничений для #(/0)). Он основан на аппроксимации амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) полиномом.
Поясним суть приближенного метода, с помощью которого вычисляется Dex. Введем передаточную функцию по ошибке Не (у й ) = 1 - H(j(o). Тогда пусть () - это спектральная плотность сигнала из класса (Bjf. Пусть найдены вещественные коэффициенты {ct }j полинома
Ясно, что существует бесконечное число наборов коэффициентов {с,-}г , удовлетворяющих условию мажорирования (1.12). Таким образом, величина Dex зависит не только от конкретного набора параметров {а , \Ь Л , но и от выбранных коэффициентов мажорирующего полинома (1.11). При этом целесообразно выбор коэффициентов полинома производить так, чтобы обеспечить минимальную Dex, которую обозначим как Dex: V ) с
После того, как введен показатель точности робастной фильтрации (1.9) и предложен алгоритм его вычисления для конкретной частотной передаточной функции, можно перейти к задаче синтеза фильтра, т.е. к нахождению фильтра, который обеспечивает (гарантирует) минимальное значение верхней оценки дисперсии суммарной ошибки. Задача синтеза фильтра решается для частотной характеристики вида (1.10), где {а,} , {йД - подлежащие определению коэффициенты.
Порядки / и т выбирают исходя из инженерных соображений применительно к конкретной решаемой задаче. Например, всю область частот целесообразно разбить на диапазоны: низких частот (НЧ), средних частот (СЧ) и верхних частот (ВЧ). Для каждого из этих диапазонов оценить желаемый вид АЧХ фильтра. Обычно спектр полезного сигнала сосредоточен в диапазоне НЧ, иногда НЧ и СЧ. Если при этом полезный сигнал требуется оценить без какого-либо его функционального преобразования, в диапазоне НЧ желательно иметь равномерную АЧХ фильтра. Если оценивать требуется производную или интеграл от измеряемого сигнала, то АЧХ должна иметь положительный или отрицательный наклон с крутизной, соответствующей кратности дифференцирования (интегрирования). В диапазоне ВЧ обычно преобладают спектральные составляющие шума, а не сигнала, и АЧХ должна иметь отрицательный наклон, обеспечивающий приемлемую степень подавления шума. Скорость спада АЧХ легко определить по виду спектральной плотности шума в диапазоне ВЧ. Исходя из таких эвристических соображений, выбирается структура фильтра (порядки числителя и знаменателя), а затем выполняют ее параметрическую оптимизацию по критерию минимума верхней оценки дисперсии суммарной ошибки. При этом следует иметь в виду, что порядок фильтра т в общем случае должен быть не меньше, чем порядок последней из заданных производных сигнала т М, а порядок / в общем случае равен 1 т-\. Это следует из того, что порядок старшей производной определяет скорость спадания спектральной плотности, а, значит, и порядок того фильтра, который должен быть использован для фильтрации соответствующего этой плотности сигнала. Таким образом, порядок фильтра не зависит от числа заданных дисперсий производной, а лишь от порядка старшей производной, имеющей ограниченную дисперсию. Если порядок фильтра выбран правильно, то увеличение его не приведет к уменьшению (по крайней мере - к существенному уменьшению) значения верхней оценки дисперсии ошибки, а вид АЧХ фильтров при разных порядках практически не меняется. Таким образом, задача состоит в параметрической оптимизации относительно коэффициентов частотной передаточной функции Я(/ю).
Постановка задачи оценивания и выбор критерия оптимальности
Решим задачу оценивания сигнала, о котором известна лишь его принадлежность классу сигналов Ф}4, когда имеется несколько зашумленных измерений, в которых шум измерения является белым шумом. Для решения задачи необходимо найти линейный стационарный фильтр, который обладает гарантирующими свойствами в установившемся режиме по отношению ко всем сигналам на входе из заданного класса оцениваемых сигналов.
С учетом найденного представления сигналов из класса Р в пространстве состояний (2.5) задача формулируется в следующем виде: где все матрицы являются действительными и имеют соответствующие размерности; x(t) - т -мерный вектор состояния системы; w(t) - одномерный, центрированный порождающий шум неизвестного спектра и ограниченной единицей дисперсией; y(t) - р -мерные измерения; z(t) - сигнал, который необходимо оценить по измерениям у {і); n{t) - р -мерный, центрированный шум измерения, который является белым шумом единичной интенсивности. Предполагается, что сигналы n{f) и w(t) являются независимыми.
Необходимо найти линейный стационарный фильтр F, который оценил бы сигнал z по измерениям к ошибке оценивания z, т.е. z=Tv = TIww+Tj„n. Фильтр F должен быть устойчивым и обеспечивать устойчивую реализацию модели ошибки оценивания. Последнее требование означает, что для любого начального состояния х(0) системы (2.6) z(t) -» 0 при t - со, когда шумы равны нулю v = 0. Фильтр, который обладает такими свойствами, будем называть допустимым, фильтром.
В дальнейших рассуждениях предполагаем, что начальное состояние х(0) известно и для определенности х(0) 0.
Теперь необходимо установить критерий, по которому следует выбирать фильтр среди всех допустимых фильтров. Критерий оптимальности зависит от имеющейся априорной информации о шумах w, п и от предъявляемых требований к ошибке оценивания. Наиболее удобным и распространенным является критерий, при котором минимизируется дисперсия ошибки. Очевидно, что дисперсия ошибки для этого должна быть ограничена.
Таким образом, сначала необходимо найти такую индуцированную норму передаточной функции от шумов w, п к ошибке оценивания z , при которой z будет иметь ограниченную дисперсию. Задача осложняется тем, что на входе Т действуют сигналы, имеющие разную природу (рис 2.1): сигнал w имеет неизвестный спектр и ограниченную дисперсию, а сигнал п - белый шум.
Предположим, что сигнал w отсутствует, и на вход передаточной функции Т поступает только белый шум п. Известно, что индуцированная норма передаточной функции от белого шума к сигналу с ограниченной дисперсией явля 39 ется И2 -нормой передаточной функции. Действительно, дисперсия сигнала на выходе связана с передаточной функции от п к z и спектральной плотностью сигнала на входе Sn (со) = I выражением следующего вида [107] zn\\2 Теперь предположим, что сигнал п отсутствует, и на вход передаточной функции Т поступает только сигнал w. Тогда при условии, что сигнал па входе имеет ограниченную дисперсию, ставится задача нахождения такой индуцированной нормы передаточной функции от w к z , при которой выходной сигнал так же будет иметь ограниченную дисперсию. По аналогии с выражением (2.7) запишем выражение для дисперсии сигнала на выходе:
Здесь в отличие от первого случая спектральная плотность входного сигнала неизвестна. Однако известно, что Sw (to) интегрируема. Поэтому немедленно получаем, что дисперсия сигнала на выходе ограничена произведением дисперсии сигнала на входе Dw = 1 и квадрата Ню -нормы передаточной функции [81, 107]:
Поскольку для рассматриваемой задачи функция TIw является скалярной функцией, то ее ffw-норма представляет собой максимальный коэффициент усиления передаточной функции T w: IrzwIL = SUp \Tzw(J&)\ Наихудншм входным сигналом, т.е. входным сигналом при котором достигается верхняя оценка дисперсии, является гармонический сигнал на частоте, при которой 7 w достигает значения своей #вд-нормы [107]: Таким образом, для системы представленной на рис.2.1 в предположениях, что сигналы w и z имеют ограниченные дисперсии, а сигнал п является белым шумом, справедливы следующие утверждения: в случае, когда сигнал п отсутствует, индуцированной нормой передаточной функции будет являться Нт -норма; в случае, когда сигнал w отсутствует, индуцированной нормой передаточной функции будет являться В.2 -норма; в случае, когда оба сигнала присутствуют, индуцированной нормой передаточной функции будет являться «смешанная» Н2 /#и-норма. При этом, поскольку шумы п и w независимы для дисперсии ошибки оценивания справедливо следующее выражение
Случай ограничений дисперсий сигнала и двух первых производных
На практике часто возникает ситуация, когда необходимо оценить не сам измеряемый сигнал, а его линейное преобразование. Например, по измерениям высоты оценить скорость, т.е. при наличии в измерениях первой компоненты вектора состояний X\(t) оценить вторую x2{t). Однако в отличие от фильтра Калмана, который при имеющихся измерениях обеспечивает одновременно оптимальные оцешси для всех составляющих вектора состояния, робастный фильтр обеспечивает оптимальное решение только для конкретного вектора Сх.
Рассмотрим, например, ситуацию, когда для измеряемого сигнала задано ограничение на дисперсию второй производной D2, но оценить необходимо производную от измеряемого сигнала. В этом случае будет неправильным использовать передаточную функцию фильтра для второй компоненты, если коэффициент усиления фильтра рассчитывался, как это описано в разделе 3.3. Для того решить задачу оценивания в такой постановке необходимо в системе (2.6) принять
Пример оценивания сигнала при ограничениях на дисперсии его первой и второй производных
Задача авиационной гравиметрии заключается в оценивании аномалии ускорения силы тяжести (УСТ) (определении разности между полным и нормаль ным значениями УСТ) вдоль траектории летательного аппарата-носителя [21, 20, 13, 11, 5, 64, 91]. Целью обработки гравиметрической информации является построение карт аномального гравитационного поля, без которых невозможно решать многие практические и научные задачи [21, 20]. Точные сведения о гра ф витационном поле нужны для расчета траекторий космических объектов, для определения фигуры земли и состава ее недр, по гравитационным картам может быть произведена коррекция погрешности инерциальной навигационной сис темы подводного корабля. Съемка гравитационного поля с самолета является удобным и недорогим способом построения карт аномального гравитационного поля, к тому же она может быть выполнена в труднодоступных местах. Однако при решении этой задачи возникает ряд проблем. Во-первых, спектры полезного сигнала (анома лии УСТ) и помех (инерциальных ускорений, порожденных перемещениями носителя в вертикальной плоскости) перекрываются и их разделение методами частотной фильтрации невозможно. Поэтому необходимо привлекать высоко точную внешнюю информацию о динамике носителя. Для этого используют данные спутниковой навигационной системы (СНС), а высокая точность опре деление координат летательного агшарата достигается за счет применения так і называемого дифференциального режима функционирования СНС и включения в обработку фазовых спутниковых измерений [19, 53, 10, 80, 102]. Дифференциальный режим предполагает использование как минимум двух приемников СНС. Первый приемник устанавливается на подвижном объекте, ф второй, называемый базовой станцией, устанавливается стационарно на Земле.
Считается, что координаты базовой станции известны точно. Совместная обработка измерений двух приемников позволяет исключить общие составляющие ошибок спутниковых измерений: погрешности показаний часов спутников и приемников, ионосферные и тропосферные искажения.
Современная точность определения местоположения в дифференциальном режиме при помощи фазовых измерений составляет сантиметры при расстоянии между самолетом и базовой станцией в пределах 100 км [53, 10].
Таким образом, созданные к настоящему времени высокоточные авиагравиметрические системы включают в себя инерциальный блок с горизонтируе-мой гироплатформой; гравиметр, жестко связанный с этой платформой; СНС, работающую в фазоводифференциальном режиме [64].
Вторая проблема заключается в задании модели для аномалии гравитационного поля. Вопросам определения статистических характеристик аномалий УСТ посвящено много работ. Предложены различные аппроксимации спектральной плотности аномалий, в том числе и не дробно-рациональные, содержащие экспоненту [102, 78, 44, 1]. При этом необходимо отметить, что адекватность модели гравитационного поля является особенно важной по отношению к задаче авиационной гравиметрии, поскольку амплитуда и спектр аномалий значительно искажаются при изменении высоты [1]. В то же время для аномалий сравнительно достоверно можно задать ее дисперсию и дисперсию ее первой производной. Именно поэтому рассматриваемый робастный подход, когда фильтр может быть синтезирован только по этим двум числовым характеристикам, предлагается применить в этой задаче и проанализировать его эффективность. Сформулируем задачу, которую необходимо решить.
При наличии высокоточных спутниковых измерений координат и скорости задача определения аномалии УСТ сводится к комплексированию всех имеющихся данных с целью получения максимально достижимой точности определения аномалии УСТ.
Сигнал с выхода гравиметра может быть представлен в виде суммы трех составляющих: где g - аномалии УСТ, bg - ошибки гравиметра, a h - инерциальные ускорения, порожденные перемещениями носителя в вертикальной плоскости. От СНС имеем следующие данные:
hCHC =h + 8h, (5.2) где h - неизвестные значения высоты, 5й - ошибка измерений от СНС.
В целях исключения величины h формируется разность между вторым интегралом показаний гравиметра и измерением высоты от СНС. В операторной форме эта разность может быть представлена в виде [53, 10]:
Возможен и другой вариант формирования измерений, когда используют разность между показанием гравиметра и 2-й производной измерения высоты
от СНС zh = glv - s2h яс =g + $g s28h. Формально для измерений справедливо соотношение zh =zh, и, следовательно, соответствующие им оптимальные частотные характеристики будут связаны выражением H(jGi) - (у) Я (jo). Однако несмотря на то, что теоретически дисперсии ошибок их фильтрации будут одинаковы, при технической реализации использование этих измерений имеет разную эффективность. Дело в том, что при формировании измерений zh появляется дополнительная погрешность численного дифференцирования высоты, которая возникает из-за относительно невысокой частоты поступления данных от СНС (1-Ю) Гц. В используемых в данной работе измерениях (4.3) присутствует погрешность численного интегрирования показаний гравиметра, но благодаря высокой частоте выработки этих показаний ею можно пренебречь. Тем не менее, представление решения задачи для измерений zh гораздо нагляднее и проще воспринимается, поскольку здесь оценивается сам действующий на входе фильтра сигнал, а не его вторая производная, как в случае измерений zh. Поэтому в дальнейшем, когда это будет необходимо для удобства представления информации, будем оперировать с передаточной функцией Я(усо).
