Содержание к диссертации
Введение
1. Оптимум номинала и задачи принятия решений 15
1.1. Содержание задач теории принятия решений 15
1.2. Задача оптимума номинала 20
1.3. Классификация задач оптимума номинала 28
1.4. Постановка задач оптимума номинала для технологических процессов 33
1.5. Выводы 43
2. Исследование обобщенной функции эффективности оптимума номинала 44
2.1. Обоснование необходимости исследования обобщенной функции эффективности оптимума номинала 44
2.2. Вопросы существования решений задач оптимума номинала 45
2.3. Свойства функции эффективности, используемые при аналитическом решении задач оптимума номинала 50
2.4. Вопросы исследования чувствительности и устойчивости в задачах оптимума номинала 57
2.5. Исследование свойств обобщенной функции эффективности оптимума номинала на примере листопрокатного производства 82
2.6. Выводы 91
3. Моделирование задач оптимума номинала для технологических процессов 93
3.1. Алгоритмы исследования и применения обобщенной функции эффективности оптимума номинала для технологических процессов 93
3.1.1. Алгоритм применения моделей оптимума номинала для технологических процессов 93
3.1.2. Алгоритм нахождения наилучшего метода поиска экстремума обобщенной функции эффективности оптимума номинала 95
3.1.3. Алгоритм исследования чувствительности обобщенной функции эффективности 102
3.1.4. Алгоритм исследования устойчивости одномерной функции эффективности оптимума номинала 105
3.2. Задача оптимума номинала для процесса лазерной обработки поликремния 106
3.3. Разработка моделирующей программы для процесса лазерной обработки поликристаллических слоев кремния 125
3.4. Выводы 133
4. Заключение 134
Список использованных источников 137
- Постановка задач оптимума номинала для технологических процессов
- Обоснование необходимости исследования обобщенной функции эффективности оптимума номинала
- Исследование свойств обобщенной функции эффективности оптимума номинала на примере листопрокатного производства
- Алгоритм нахождения наилучшего метода поиска экстремума обобщенной функции эффективности оптимума номинала
Введение к работе
Актуальность. Рост масштабов производства, усложнение производственных процессов, использование форсированных режимов (повышенные давления, температуры, скорости реакций), появление установок, функционирующих в критических режимах, предъявляют повышенные требования к эффективности функционирования АСУТП.Разработка таких систем требует более широкого внедрения решений задач оптимизации, позволяющих повышать эффективность и качество управления производственными процессами. Эта проблема входит в число основных проблем, поставленных на ХХУІ съезде КПСС /I/. Совершенствование управления приобретает все возрастающее значение по мере роста технического уровня производства. Так как управление представляет собой процесс выработки, принятия и реализации решения, то возникает необходимость формализовать этот процесс с целью передачи части функций управления АСУ. Для этих целей используется теория принятия решений, в частности, одно из ее направлений - оптимум номинала. В работе рассматриваются задачи оптимума номинала для различных технологических процессов. Оптимизация процессов по моделям оптимума номинала позволяет принимать решение с учетом индивидуальных особенностей каждого технологического процесса, а также взаимосвязей между значениями показателей качества управления, полезностями и стратегиями управления. Это дает возможность добиться высоких эксплуатационных характеристик как действующего, так и проектируемого оборудования, свести к минимуму производственные потери.
Целью работы является исследование одномерных задач оптимума номинала и применение моделей этих задач для технологических процессов: лазерной обработки поликристаллических слоев кремния, вентиляции на шахте, листопроката - с тем, чтобы определить опти мальные режимы управления данными процессами.
Диссертация посвящена моделированию, решению и анализу задач оптимума номинала для технологических объектов.
Осуществление любого технологического процесса в производстве требует выполнения ряда важных действий по управлению им, т.е. по изменению хода процесса в желаемом направлении. Поэтому технологические процессы должны рассматриваться как управляемые объекты. Для оптимизации управления такими объектами широко применяются современные математические методы, а также средства автоматизации, вычислительная техника. Модель оптимума номинала позволяет формализовать на нижних уровнях управления процесс принятия решений и передать эти функции АСУ.
Применение математических моделей оптимума номинала дает возможность упорядочить последовательность действий при системном изучении технологических объектов.
В диссертации защищаются следующие основные положения.
1. Результаты теоретического исследования задач оптимума номинала в виде одномерной функции эффективности без ограничений. Исследование включает рассмотрение и обобщение свойств функции эффективности: непрерывность, унимодальность, дифференцируемость и интегрируемость; системный подход: наблюдаемость, чувствительность и устойчивость решений.
2. Результаты применения моделей задач оптимума номинала для технологических процессов в электронной, металлургической и горной отраслях промышленности.
Основными задачами диссертационной работы являются следующие:
- исследование основных свойств функции эффективности оптимума номинала: непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости, унимодальности;
- исследование чувствительности обобщенной функции эффективности оптимума номинала к вариациям параметров, входящих в эту модель;
- постановка и решение задачи исследования устойчивости решений одномерных задач оптимума номинала;
- разработка алгоритмов применения моделей задач оптимума номинала для технологических процессов;
- практическое применение теоретических результатов для технологических процессов лазерной обработки поликристаллических слоев кремния, вентиляции на шахте, листопроката.
Методы исследований. Теоретические исследования проводились с использованием аппарата теории принятия решений, исследования операций, математического анализа, теории вероятности и математической статистики, планирования эксперимента, математического программирования, имитационного моделирования.
Научная новизна. В процессе проведения исследований получены следующие новые научные результаты:
1. Проанализированы и обобщены свойства непрерывности, унимодальности, дифференцируемости одномерной функции эффективности, используемые при аналитическом решении задач оптимума номинала.
2. На основании анализа свойств функции чувствительности разработаны метод и алгоритм исследования чувствительности функции эффективности оптимума номинала к вариациям параметров плотности распределения вероятностей выходных величин, позволяющие в отличие от применявшихся методов сократить число анализируемых значений функции эффективности.
3. Впервые поставлена и решена задача исследования устойчивости решений для процессов, описываемых одномерными моделями оптимума номинала, что дает возможность определять критические значения параметров исследуемых процессов.
4. Впервые разработаны модели и решены задачи оптимума номинала для процессов лазерной обработки поликремния, вентиляции на шахте, позволившие определить оптимальные режимы управления этими процессами.
Практическая ценность. Работа выполнена в соответствии с координационным планом важнейших научно-исследовательских работ, проводимых Таганрогским радиотехническим институтом имени В.Д.Калмыкова по координационному плану АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика" на I98I-I985 годы.
В работе, на основании исследования моделей задач оптимума номинала, решена актуальная научно-техническая задача по разработке имитационных моделей и алгоритмов управления для технологических процессов. Внедрение результатов работы позволило сократить время оптимизации технологических процессов, снизить затраты и обеспечить высокую эффективность функционирования систем, описываемых моделями оптимума номинала.
Предложенные модели принятия оптимальных решений дают экономический эффект при реализации оптимальных решений на производствах как оснащенных АСУТП, так и не оснащенных ими, а также могут использоваться при проектировании и построении АСУТП.
Результаты исследований, описанных в диссертации, находят применение для широкого класса вероятностных задач. Совокупность проведенных в диссертации исследований позво лила формализовать процесс выбора оптимальных режимов управления по моделям оптимума номинала. Это позволило алгоритмизировать для рассматриваемых технологических процессов постановку задачи оптимума номинала, решение ее, а также анализ и выработку оптимальных решений.
Результаты применения проведенных исследований могут быть представлены в следующих формах:
- методические указания;
- технологические инструкции;
- алгоритмы и программы.
Методические указания должны содержать набор вычислительных правил, которые позволяют составлять программу управления процессом при изменяющихся условиях производства (например, для процессов горной, металлургической и др. промышленностей). Методические указания предназначены технологам, начальникам участков и цехов.
Технологические инструкции должны содержать наборы оптимальных значений управляющих факторов, обеспечивающих рассчитанные значения показателей. Они используются для технологических процессов, не изменяющихся в заданный промежуток времени и содержащих наибольшее число переменных (например, процессы в приборостроении, машиностроении и т.п.). Технологические инструкции предназначены мастерам, операторам установок и т.п.
Алгоритмы и программы построения, исследования и применения моделей оптимума номинала могут использоваться для сложных технологических процессов, которые характеризуются большим числом переменных, изменяющихся во времени (например, процессы автоматизированного проектирования и т.п.). Предназначены руководителем производства для отделов АСУ.
Предложенные модели принятия оптимальных решений дают экономический эффект при реализации оптимальных решений на производст вах как оснащенных АСУТП, так и не оснащенных ими, а также могут использоваться при проектировании и построении АСУТП.
Работа состоит из основной части на 105 страницах машинописного текста, которая включает введение, три главы, 50 рисунков и графиков, таблиц, список литературы из 82 наименований и приложения на 52 страницах.
Первая глава посвящена описанию одной из задач теории принятия решения - задаче оптимума номинала /2/, в которой используется комплексный подход к исследованию промышленных объектов с учетом всей совокупности параметров, установления взаимосвязей между ними, полезностей и стратегий управления,
В главе описывается содержание задач теории принятия решений и обзор существующих методов получения математических моделей технологических объектов /3-8,78,79/. Описываются типы задач принятия решений и подходы для определения оптимальной стратегии управления. Показаны особенности задач оптимума номинала и их отличие от принятых в настоящее время задач статистических решений. Дан обзор исследований в области оптимума номинала.
В первой главе приводится разработанная классификация форм обобщенной функции эффективности оптимума номинала и описывается каждая из этих форм. Данная классификация позволяет для каждого конкретного объекта управления выбирать определенную задачу оптимума номинала и соответствующую ей форму функции эффективности. Сделана постановка задачи оптимума номинала для технологических процессов. Показано влияние функции полезности на решение" задач оптимума номинала. Рассмотрены случаи применения различных стратегий управления.
Во второй главе содержатся основные теоретические результаты диссертационной работы. Рассмотрены вопросы существования решений задач оптимума номинала, а также такие свойства критерия эффективности как выпуклость, непрерывность, унимодальность, диф-ференцируемость. В комплексе исследование этих свойств для функции эффективности было проведено впервые. Доказаны теоремы о существовании описанных свойств для одной из форм функции эффективности из разработанной классификации. Теоретические результаты пояснены на примере процесса листопроката.
В главе рассмотрен системный подход к исследованию функции эффективности оптимума номинала, включающий понятия управляемости, наблюдаемости, чувствительности и устойчивости. После постановки и решения задач оценки состояния объекта осуществляется переход к исследованию условий, необходимых для решения задач оптимизации. Наблюдаемость системы характеризует возможность определить состояние невозбужденной системы по наблюдениям над выходными сигналами этой системы на некотором временном интервале. Понятие управляемости характеризует наличие или отсутствие управления, позволяющего изменять выходные сигналы или состояние системы в нужном направлении.
Исследование чувствительности функции эффективности оптимума номинала включает анализ отклонений расчетных значений функции эффективности от наблюдаемых, а также поведение ее производных при вариациях параметров модели. Так как в модель оптимума номинала входят распределение значений показателей управления, полезности и стратегии управления, то неправильный подбор каждой из составляющих может привести к тому, что расчетные оптимальные режимы управления процессом могут не совпадать с реальными. Существует несколько вариантов исследования чувствительности функции эффективности оптимума номинала. Это аналитический и экспериментальный, который может проводиться как на действующем объекте, так и на математической модели. В данной работе при исследовании чувствительности функции эффективности использовались оба варианта.
Исследование чувствительности решений приводит к постановке задачи исследования устойчивости решений. В данной главе рассматриваются вопросы исследования устойчивости функции эффективности. Сформулированы определения устойчивости и асимптотической устойчивости решений задач оптимума номинала. Предложено вместо исходной модели исследовать приближенную модель, отражающую действие на объект различных дестабилизирующих факторов. Доказаны теоремы о сходимости приближенной задачи к исходной. Определена мера устойчивости решений задач оптимума номинала. В выводах меры устойчивости было использовано разложение в ряд Тейлора, включающее первую и вторую частные производные функции эффективности по моментам распределения выходной величины. Для конкретного примера рассчитана мера устойчивости функции эффективности в том случае, когда модель оптимума номинала представлена в виде одномерной дискретной функции.
Третья глава посвящена моделированию задач оптимума номинала для технологических процессов. Разработаны алгоритмы применения функции эффективности для управления технологическими процессами. Для исследования чувствительности и устойчивости в задачах оптимума номинала описаны алгоритмы, позволяющие реализовать разработанные методы исследования функции эффективности.
Приводятся результаты анализа построения модели оптимума номинала для процесса лазерной обработки поликристаллических слоев кремния при производстве интегральных микросхем. Технологический процесс лазерной обработки поликремния рассматривался как сложный статистический управляемый процесс.
Существенным требованием, предъявляемым к поликремнию, является его низкое удельное сопротивление, пленарный рельеф и высокое качество получаемого окисла из поликремния. В качестве параметра оптимизации было выбрано поверхностное сопротивление, которое оказывает влияние на параметры интегральных микросхем. С помощью модели оптимума номинала и разработанных алгоритмов получены оптимальные управляющие воздействия, позволяющие улучшить качество управления процессом лазерной обработки поликремния. Описана разработка моделирующей программы для данного процесса. На алгоритмическом языке ШІ/І составлены и отлажены программы, реализующие алгоритмы применения функции эффективности для управления технологическими процессами.
В приложении описан процесс вентиляции на шахте. Приведены анализ и моделирование данного процесса с целью определения оптимальных управляющих воздействий. Представлен комплекс моделирующих программ, написанных на алгоритмическом языке ПЛ/І. Приведены акты о внедрении и использовании результатов работы.
Реализация результатов работы. Предложенный комплексный подход к построению моделей принятия решений был использован для моделирования и оптимизации двух технологических процессов.
1. Для оптимизации процесса лазерной обработки поликристаллических слоев кремния при производстве больших интегральных схем (БИС) (г.Москва).
2. Для оптимизации процесса вентиляции на шахте (г.Шахты Ростовской области) с экономическим эффектом 42,1 тыс. рублей.
Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:
- обобщены, упорядочены и дополнены исследования функции эффективности оптимума номинала; исследование включает вопросы существования решений задач оптимума номинала, анализ таких свойств функции эффективности как непрерывность, дифференциру-емость, унимодальность, используемых при аналитическом решении задач оптимума номинала;
- разработан метод исследования чувствительности функции эффективности оптимума номинала к вариациям параметров, входящих в модель оптимума номинала;
- введено определение устойчивости решений задач оптимума номинала; поставлена и решена задачи исследования устойчивости одномерной функции эффективности оптимума номинала и выведены необходимые условия устойчивости;
- разработаны алгоритмы применения обобщенной функции эффективности оптимума номинала для оптимизации технологических процессов;
- разработаны алгоритмы исследования чувствительности и устойчивости решений задач оптимума номинала;
- получены модели оптимума номинала для технологических процессов лазерной обработки поликремния и вентиляции на шахте; определены оптимальные режимы управления этими процессами.
Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались:
- на У Всесоюзном совещании по автоматизации проектирования электротехнических устройств, г.Таллин, 1983 г.;
- на Всесоюзном семинаре "Оптимизация сложных систем", г.Винница, 1983 г.;
- на Всесоюзной школе-семинаре "Оптимизационные задачи проектирования систем управления", г.Киев, 1982 г.;
- на У, УІ Республиканских научно-технических конференциях "Автоматизация проектирования и управления производством", г.Харьков, 1982 г., 1983 г.;
- на Республиканском научно-техническом семинаре "Информационно-измерительные системы для контроля и диагностики электронной аппаратуры", г.Кишинев, 1983 г.;
- на Региональном научно-техническом семинаре "Теоретические и прикладные вопросы построения систем управления", г.Ново черкасск, 1983 г.;
- на Ш Городской научной конференции молодых ученых и специалистов, г.Таганрог, 1981 г.;
- на ежегодных научно-технических конференциях Таганрогского радиотехнического института имени В.Д.Калмыкова, I98I-I984 годы.
Постановка задач оптимума номинала для технологических процессов
Математическое описание технологических объектов имеет следу-ізщие особенности:
1. Поведение технологических объектов характеризуется множеством различных показателей Ц Поэтому возникает проблема много-критериальности, связанная со сложностью выбора критерия эффективности.
2. Управление технологическими процессами осуществляется большим количеством управляющих факторов X и стратегией управления 3, Технико-технологические, экономические и другие показатели технологических процессов часто являются случайными величинами, т.е. в реальных условиях технологические процессы имеют стоха стический характер.
4. Наличие контролируемых, но неуправляемых условий протекания процесса І и помех V/ .
Исследования технологических процессов показали, что они по своей природе являются стохастическими процессами. Именно для таких процессов и можно применить модель в виде обобщенной функции эффективности оптимума номинала /31/. При постановке задачи оптимума номинала необходимо иметь сведения о множестве управляющих факторов X , образующих стратегии управления, о пространстве показателей У , являющемся следствием стратегий L , и о пространстве С оценок полезности значений показателей и . Должны быть учтены функциональные зависимости между элементами множеств X, У, С при наличии неуправляемых факторов X и помех Vf .
При оптимизации технологических процессов необходимо учитывать целый ряд показателей: качество и количество продукции, производительность, себестоимость, прибыль и т.п. Причем, такие показатели, как качество, могут быть векторными (продукция химического производства может состоять из многих компонент, определенная деталь характеризуется различными размерами и т.п.). Для решения таких задач оптимизации необходимо представить совокупность значений и - ( UJ\ , Цг,..., ц« ,.., Um ) некоторым составным пространством Усост » ДО 1 которого должен быть построен обобщенный критерий эффективности. Описание вероятностного пространства плотностью распределения ((й) позволяет использовать модель задачи оптимума номинала /38/.
Для постановки задачи оптимума номинала необходимо сначала сформулировать цель оптимизации. Это может быть, например, максимизация дохода от производства какой-либо продукции при определенных ограничениях на параметры процесса или минимизация затрат на какое-либо производство.
Для простоты изложения рассмотрим процесс, имеющий один выходной параметр у . На основе изучения статистических данных о процессе строится гистограмма распределения значений выходной величины у . Полученная гистограмма аппроксимируется непрерывной кривой - получаем закон распределения плотности вероятности f(tf) величины и . Наиболее часто при определении f(y) получается нормальное распределение. Очень часто используется распределение Грама-Шарлье. Распределения Джонсона, Эджворта и другие встречаются гораздо реже. Для полученных плотностей вероятностей значений рассчитываются по формулам (приложение ) их характеристики, такие как математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение, мера косости, мера крутости и т.д. Часто возникает случай, когда плотность распределения показателей обладает несимметрией. Тогда исходная случайная величина преобразуется таким образом, чтобы она подчинялась нормальному закону /32/. Этот метод носит название метода подбора нормализующих преобразующих функций /51/. Он позволяет использовать наиболее полно разработанный аппарат нормального распределения.
Вид функции цены c(ytXy9t) в значительной степени определяет способ описания и исследования вероятностного процесса и математическое выражение критерия эффективности У . Функция цены может иметь различный физический смысл.
Существует несколько способов задания цены. Для технологических процессов чаще всего функция 0(uf ftj имеет экономический смысл (прибыль, затраты и т.п.). В этом случае функцию цены можно установить, например, следующим образом. Предположим известны интервалы значений параметров у , соответствующие браку и годной продукции нескольких сортов. Тогда для интервалов и , соответствующих браку, значения функции цены отрицательны, т.е. затраты на производство брака ничем не окупаются. В другом случае бракованная продукция может служить сырьем для повторного или нового производства. Кроме того забракованное изделие может быть использовано как доброкачественное, только другого сорта. В таких процессах брак может иметь положительную цену.
Обоснование необходимости исследования обобщенной функции эффективности оптимума номинала
Одна из основных задач системного анализа - объединение математических и неформальных методов анализа. При решении некоторых проблем приходится прибегать к неформальным способам анализа, т.к. не всякая задача анализа системы может быть точно поставлена математически. Качество создаваемой модели объекта зависит от того, насколько удачно мы вписываем в неформальную по существу процедуру создания модели формальные математические методы. Формальные и неформальные методы анализа очень тесно связаны друг с другом, поэтому их можно не разделять, рассматривая как элементы единого целостного процесса исследования, т.е. создание модели можно не отрывать от методов ее исследования /4/.Разработчик,занимающийся анализом сложной системы, не должен забывать о содержательном смысле исследования. Однако, только математические методы дают однозначный вывод из исходных посылок, не допуская альтернативных следствий. Способы, основанные на интуиции и аналогиях не обладают такой строгостью логических заключений. Любые утверждения, полученные не на основе математических методов, можно ставить под сомнение. Поэтому в данной главе рассмотрены вопросы исследования основных свойств функции эффективности, выполнение которых позволяет говорить о разрешимости задач оптимума номинала. Необходимость исследования таких вопросов подсказана применением моделей оптимума номинала для различных технологических процессов. Проектирование моделей оптимума номинала для технологических объектов уже переросло рамки чисто прикладных исследований. Сегодня решение о необходимости применения таких моделей принимается только на основании интуиции разработчика или имеющихся аналогов. Поэтому главная цель данной работы - предоставить в распоряжение проектировщика формальный аппарат исследования задач оптимума номинала. В работе исследована одномерная функция эффективности оптимума номинала. Исследования этой формы функции эффективности подтверждает возможность моделирования различных технологических процессов, имеющих один показатель качества, моделями оптимума номинала,
Исследование свойств обобщенной функции эффективности оптимума номинала на примере листопрокатного производства
Рассмотрим задачу исследования функции эффективности на примере листопрокатного производства.
При прокате листов стали существует брак в "+" и в "-" Полезность брака в этих случаях различна, т.е. различные значения толщины листа в пределах допуска и за его границами обладают различной полезностью. Изучение конкретного производства позволяет установить эту функцию полезности, например, в виде прибыли С(и) от реализации продукции разных "сортов".
Многократные измерения толщины прокатываемых листов позволяют в условиях конкретного производства установить закон распределения вероятностей значений этой толщины ( /(и) на рис.2.12 при фиксированной настройке технологического процесса. Например, при фиксированных температуре нагрева заготовки Х , скорости проката Хг , количестве проходов 3?3 , зазоре между обжимными валками Хч (здесь названы лишь основные управляющие факторы). Различные V наборы значений X определяют различные стратегии управления Sy . Изменения Sy технологического процесса приводят к изменениям математического ожидания ти v толщины лис с та, т.е. для различных ov характерно различное расположение кривой /v(y) по оси U (рис.2.12)и, следовательно, различные вероятности получения годной продукции и брака, а также различные ожидаемые прибыли для каждой из So .
1. Анализ свойств непрерывности, унимодальности, дифференци руемости одномерной функции эффективности оптимума номинала проведен впервые и доказывает возможность аналитического решения задач оптимума номинала в случаях дискретной функции полезности и облегчает решение этих задач.
2. Рассмотренные свойства управляемости систем позволяют применять модели задач оптимума номинала для технологических процессов, для которых можно определить распределение вероятностей выходных величин и к которым применим критерий максимизации ожидаемой полезности.
3. Исследованием чувствительности обобщенной функции эффективности показано, что эта функция для рассмотренных в диссертации случаев незначительно меняет свое значение при малых вариациях параметров, входящих в полную модель. Это дает возможность применять обобщенную функцию эффективности для процессов с изменяемыми управляющими воздействиями в заданных допусках на рассматриваемую технологию.
4. Впервые сформулированная и решенная для одномерной функции эффективности оптимума номинала задача исследования устойчивости позволила определить условия устойчивости для процессов, описываемых моделями оптимума номинала. Это дает возможность определять критические значения параметров технологического процесса.
5. Моделирование процесса листопроката, проведенное на основании исследований одномерной функции эффективности оптимума номинала, подтвердило правильность полученных теоретических результатов. б. Впервые проведенное исследование основных свойств функции эффективности (непрерывность, дифференцируемость, унимодальность, устойчивость) и обобщение с ранее полученными результатами дают возможность применять одномерные задачи оптимума номинала для технологических процессов, имеющих один выходной показатель качества.
Алгоритм нахождения наилучшего метода поиска экстремума обобщенной функции эффективности оптимума номинала
Алгоритм, описанный в п.3.1.1, очень общий. Для того, чтобы построить более конкретный алгоритм применения обобщенной функции эффективности оптимума номинала необходимо решение задачи разделить на этапы:
- исследование модели;
- вычислительный этап;
- принятие окончательного решения.
На этапе исследования модели одной из основных является проблема выбора наилучшего метода поиска экстремума обобщенной функции эффективности. На вычислительном этапе нужно пользоваться уже тем методом, который оказался наилучшим при исследовании модели.
При решении конкретной экстремальной задачи очень важно знать, каким методом оптимизации следует пользоваться в данном случае.
Существует два пути сравнения методов. Первый путь - сравнивать на основании опыта и определенного числа экспериментов. Второй путь (не исключающий первый) - сравнивать качество методов на определенных классах задач. Алгоритм, реализующий первый путь, будет описан далее. При реализации второго пути обнаруживается важная роль априорных характеристик методов. Необходимо учитывать многие факторы, такие как трудоемкость вычислений, скорость сходимости, продолжительность счета, устойчивость метода к ошибкам в вычислениях и т.д.
Предположим, что для определенного класса задач из рассмотренной в гл.1 классификации некоторый метод А обеспечивает более быструю сходимость последовательных приближений, чем метод В. Чтобы убедиться, что это имеет место и для конкретной экстремальной задачи, необходимо установить ее принадлежность данному классу. Определенная информация о задаче содержится в самой ее постановке в силу наших знаний о физических свойствах изучаемого объекта. В процессе решения задачи сведения о ней все более пополняются. Таким образом, все более проясняется ее принадлежность определенному классу.
Реализация математической модели на ЭВМ осуществляется путем переложения ее в рабочие программы посредством языков программирования. Для описания всех модулей небольших моделей (одномерная функция эффективности оптимума номинала с небольшим числом управляющих параметров) обычно применяется какой-либо один язык. Так, в данной работе для рабочей программы оптимизации процессов лазерной обработки поликремния и процесса вентиляции на шахте используется алгоритмический язык ПЛ-І. В больших моделях часто бывает рациональным применять различные языки для описания тех или иных ее частей, отличающихся по способу обработки входной и представлению выходной информации.
В настоящее время нет научной теории, которая позволяет делать обоснованный переход от математической модели к ее машинному аналогу. Поэтому решение этой задачи зависит от интуиции и опыта разработчика моделей. В результате качество моделирования, характеризующееся точностью моделирования, временем работы ЭВМ и стоимостью моделирования, может существенно отличаться от оптимального. Чем выше размерность модели, тем точнее описываются объект и его связи. Но при этом еще быстрее возрастает объем вычислений Одновременно растет время работы ЭВМ, а значит, растет вероятность сбоя ЭВМ. Следовательно, увеличивать размерность решаемых задач нужно с учетом роста погрешностей вычислений, иначе модель, верно и детально отражающая процессы в объекте, может выдавать результаты, далекие от действительности.
При детальном описании объекта с помощью большого числа переменных из-за быстрого роста объема вычислительных работ порождается ошибка функционала, которая определяет конечную ошибку моделирования.
Если модель имеет малое число переменных, то объем вычислительных работ невелик, поэтому вычислительная ошибка при тех же расходах машинного времени будет малой. Но небольшое число переменных может привести к недостаточной точности модели , к низкой точности моделирования. Однако следует отличать конечную точность моделирования от вычислительной точности, являющейся лишь составляющим элементом точности моделирования. Невозможно в условиях лимитируемого машинного времени достичь высокого уровня детализации описания объекта и большой вычислительной точности. Поэтому нельзя говорить о нулевых ошибках моделирования, а можно лишь добиваться минимизации этих ошибок.
Существует несколько определений размерности моделей. Одно из них состоит в том, что каждая из реализуемых на ЭВМ моделей может быть выражена через число элементарных операций, требуемых для получения ожидаемого результата. Такое определение размерности позволяет сравнивать модели разных классов и видов по их вычислительной трудоемкости. Определение размерности задач как объема вычислений в элементарных операциях необходимо при оценке эффективности работы вычислительных центров и сетей, при сопоставлении машинных затрат на разных уровнях иерархических систем. Однако этот показатель размерности является зависимым от применяемых алгоритмов или методов и не отражает качественных сторон объекта, который мы моделируем. Размерность, выраженная числом элементарных операций, носит универсальный характер. Применима такая размерность для задач корреляционного и регрессионного анализа, а также в случаях, когда число операций является случайным числом с малой дисперсией и в задачах прямого счета.
Очень часто размерность моделей выражается объемом требуемой памяти, максимальным объемом занимаемой оперативной памяти в течение некоторого времени. В данной работе разработан алгоритм вычисления функции эффективности оптимума номинала, учитывающий точность решений, объем занимаемой памяти и время решения задачи.
Если для какого-либо метода существуют априорные оценки, ус-танвливающие порядок скорости сходимости, то метод будет устойчивым по отношению к выбору направления спуска и величины шага в том случае, если метод допускает приближенное определение этих параметров, не меняющее порядка сходимости. В /70/ доказано, что методы скорейшего спуска, проекции градиента, условного градиента, возможных направлений и некоторые другие являются устойчивыми. На рис.3.2 представлена структурная схема алгоритма применения обобщенной функции эффективности оптимума номинала, включающая названные ранее этапы решения задач. Работа алгоритма такова. Блоки 1-5 производят ввод данных, необходимых для решения данной задачи: статистику распределения (массивы случайных чисел U , массивы значений X » данные о границах областей, данные по функции цены). По введенной статистике в блоке 6 определяем закон распределения М, , моменты распределения ((Ц)іл корреляционные зависимости, причем на моменты распределения устанавливаем необходимые пределы. В блок 7 определяем стратегии, например, в виде уравнений регрессии, необходимые для нахождения необходимых управляющих воздействий. Блок 8 определяет, к какому классу задач (непрерывные, дискретные) относится та, которую мы решаем; в блоке 9 происходит формирование на основании данных, полученных блоками 1-8. После этого переходим к нахождению экстремума У .
