Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Генераторы хаотических последовательностей и коммуникационные системы с хаотической модуляцией 13
1.1. Хаотические генераторы с непрерывным временем 13
1.1.1. Генератор Лоренца 13
1.1.2. Генератор Дуффинга 15
1.1.3. Генератор Чуа 20
1.1.4. Хаотический генератор на основе системы фазовой автоподстройки частоты 24
1.1.5. Прецизионные генераторы хаоса 36
1.2. Генераторы с дискретным временем 42
1.3. Системы передачи информации, использующие разделение хаотических последовательностей начальными условиями 47
1.4. Системы передачи информации, использующие явление синхронизации хаотических генераторов 52
1.5. Система передачи информации с нелинейным подмешиванием сигнала 57
1.6. Системы передачи информации с хаотическим кодированием 59
1.7. Выводы по главе 1 61
ГЛАВА 2. Кодирование и декодирование с использованием дискретных хаотических отображений 63
2.1. Кодирование двоичных данных с использованием дискретных хаотических отображений 64
2.2. Синтез кодирующего отображения 70
2.3. Декодирование при наличии аддитивного гауссовского белого шума 77
2.3.1. Вероятность ошибок при декодировании 78
2.3.2. Алгоритмы декодирования 83
2.3.2.1. Эвристическое декодирование 84
2.3.2.2. Рекурсивное эвристическое декодирование 86
2.3.2.3. Декодирование по методу максимального правдоподобия Витерби 87
2.3.3. Результаты моделирования 91
2.4. Выводы по главе 2 104
ГЛАВА 3. Коммуникационная система с хаотической кодовой манипуляцией 106
3.1. Алгоритм MAP 107
3.2. Модель кодера 113
3.3. Модель декодера 117
3.4. Хаотическое кодирование в каналах с межсимвольной интерференцией 121
3.5. Выводы по главе 3 129
ГЛАВА 4. Хаотические коммуникационные системы: помехи и синхронизация 130
4.1. Моделирование коммуникационной системы при наличии гармонической помехи 130
4.2. Схема Костаса в условиях внешних помех 138
4.3. Синхронизация хаотических систем передачи данных с использованием расширенного фильтра Калмана 144
4.4. Выводы по главе 4 158
Общие выводы по работе 160
Список литературы
- Хаотический генератор на основе системы фазовой автоподстройки частоты
- Синтез кодирующего отображения
- Модель кодера
- Схема Костаса в условиях внешних помех
Хаотический генератор на основе системы фазовой автоподстройки частоты
Параметры 8, со, у определяются конкретным физическим содержанием задачи, i/(0)=0. Построив кривую на плоскости \х,х) каждая точка которой соответствует пересечению системой сечения Пуанкаре V/ = V/0 = const, получим хаотический аттрактор, вид которого определяется набором параметров (Рисунок 1.3). Вид аттрактора изменяется периодически при изменении у0 от 0 до 2. Рисунок 1.2. Резонансные кривые для осциллятора Дуффинга (cog = 1, sS = 0,2, sy = 2,5).
Как показало численное исследование, в области значений параметров 5 = 0,1, со = 0,8, 0,1 у 0,3, наблюдается переход от хаотического режима к периодическому. На Рисунке 1.4 приведены вид реализации x{t) и проекции фазового портрета системы на плоскость {х,х) для хаотического режима, а на Рисунке 1.5 те же графики при переходе к периодическому режиму. Фазовая траектория в этих случаях представляет собой аттрактор с двумя потенциальными ямами, называемый аттрактором Холмса.
Источниками хаотических колебаний в радиотехнических системах с непрерывным временем служат различные нелинейные колебательные системы с порядком не ниже третьего: генератор на туннельном диоде с колебательным контуром и дополнительной инерционностью, нелинейный неавтономный колебательный контур, кольцевые системы ФАП соответствующими фильтрами в цепи обратной связи и т.д. Основу таких систем составляют типовые звенья, обеспечивающие порядок системы и нелинейный активный элемент, необходимый для возникновения автоколебаний.
Классическим образцом хаотического автогенератора в радиоэлектронных непрерывных системах является схема Чуа (Рисунок 1.6), представляющая собой обычную автоколебательную систему с 1,5 степенями свободы. Она содержит линейный колебательный RLC–контур, дополнительное инерционное звено и активный нелинейный элемент с отрицательной проводимостью [4-6], который представлен на схеме в виде нелинейной проводимости.
Объяснение хаотического поведения схемы Чуа основывается на теории цепей. Параллельное соединение C2 и L (колебательный контур) образует один основной осциллирующий механизм, тогда как сопротивление R обеспечивает взаимодействие между осциллирующим элементом и активным нелинейным резистором, объединенным с конденсатором С1. Наличие нелинейного резистора и объясняет хаотическое поведение системы. Если бы этот резистор был линейным, то все решения асимптотически стремились бы к состоянию устойчивого равновесия. Так как для нелинейной функции, описывающей резистор, верно соотношение URIR 0 для всех точек, кроме начала координат, то во внешнюю цепь постоянно подается энергия. Аттрактивный характер хаотических траекторий обусловлен рассеянием энергии в пассивном элементе R, что сдерживает ее нарастание. Однако баланс энергии оказывается довольно «тонким», и он непрерывно изменяется во времени, никогда не повторяясь как периодическое явление.
Подробное исследование данной системы приводится в литературе [56, 58]. Остановимся лишь на том факте, что в достаточно широкой области параметров, в фазовом пространстве системы (1.8) возникает хаотический аттрактор в форме двойного завитка. Признаки хаотических колебаний носят в основном качественный характер, однако существуют и количественные характеристики хаоса, использование которых позволяет более строго определить хаотичность поведения системы. О хаотическом поведении системы можно судить, используя следующие критерии [26,27,57]:
Фазовый портрет аттрактора. Изображающая точка, не регулярно двигаясь по фазовым траекториям располагается в ограниченной области фазового пространства. В проекциях на одну из фазовых плоскостей этот процесс характеризуется неравномерным заполнением некоторой области локализации фазовой переменной.
Отображение Пуанкаре не состоит ни из конечного множества точек, ни из замкнутой орбиты, и заполняет некоторое пространство. Это может быть как неупорядоченное скопление точек (для систем со слабым затуханием), так и упорядоченные множества точек, концентрирующихся на подобии параллельных линий, множества, имеющие фрактальную структуру.
Схема Чуа демонстрирует постепенное нарастание амплитуды колебаний, возникающих вблизи одного из состояний равновесия, чередующееся перескоками к другому состоянию равновесия. Граница области притяжения состояний равновесия является очень узкой, поэтому предсказать момент перескока колебаний от одного состояния к другому не представляется возможным. Вследствие этого колебания, порождаемые схемой Чуа, обладают нерегулярными свойствами в смысле их предсказуемости.
Синтез кодирующего отображения
В соответствии с [28,29] обработка входящих последовательностей {х,} состоит в их корреляционном накоплении. Принятие решения о том, что передана / -ая последовательность (/ -ый символ), производится в сравнивающем устройстве, которое выбирает, на каком из выходов многоканального коррелятора приемника появилось максимальное значение произведения и, (Рисунок 1.23) : Uj = max{u0...uy_1)
В [28,29] показано, что передача двоичного сообщения возможна даже при соотношении сигнал/шум, равном 1. При этом длина последовательности L, необходимая для восстановления двоичного информационного сообщения, составляет около 15 дискретных отсчетов.
Поскольку для восстановления информационного сообщения используется процедура когерентного накопления, то данный метод приема и обработки информационных сообщений является оптимальным с точки зрения максимума правдоподобия принимаемого сообщения.
Схема на Рисунке 1.23 относится к системам многостанционного доступа с кодовым разделением (CDMA), основу которых составляет использование ортогональных псевдослучайных последовательностей для передачи цифровой информации.
Подобные системы применяются в современных системах сотовой телефонии [30]. При передаче в среду одновременно и в одном частотном диапазоне нескольких последовательностей, являющихся ортогональными, не происходит их взаимного влияния, что дает возможность организовывать одновременную связь нескольких пар абонентов. Такие последовательности обладают широким спектром, поэтому энергия сигнала распределена по всему частотному диапазону, что делает возможным передачу сигналов ниже уровня шумов [30,31].
Альтернативой таких последовательностей могут выступать хаотические последовательности с различными начальными условиями, а в качестве приемника могут быть использованы устройства, построенные по принципу, аналогичному Рисунку 1.23.
Однако указанная схема обладает определенными недостатками. Основной недостаток состоит в невозможности использования длинных последовательностей. Увеличение длины последовательности L позволяет восстанавливать сигнал при большем уровне шума. Энергия каждого из передаваемых символов не может быть бесконечно увеличена, а минимальное отношение сигнал/шум не может быть меньше некоторой ненулевой величины. Невозможность увеличения длины последовательностей вызвана физической нереализуемостью идеальных схем генераторов хаоса с абсолютно идентичными значениями начальных условий и управляющих параметров.
Для схемы на Рисунке 1.23 даже малые неточности приводят к невозможности функционирования схемы восстановления информационных сообщений. Уже при относительной ошибке начальных условий 10-8, «разбегание» последовательностей наступает уже после 25-30 отсчетов дискретного времени [28,29].
Другим недостатком схемы с когерентной обработкой последовательности состоит в необходимости наличия канала посимвольной синхронизации. В [32,33] показано, что для восстановления информационных сообщений из хаотических несущих механизм посимвольной синхронизации должен существовать одновременно с синхронизацией самих хаотических колебаний между приемником и передатчиком. Нарушение посимвольной синхронизации приведет к тому, что когерентный приемник будет обрабатывать хаотическое колебание, сдвинутое по времени относительно эталонного колебания, генерируемого самим приемником. Из-за экспоненциально убывающей автокорреляционной функции сдвиг колебаний относительно друг друга приведет к появлению на выходе корреляционного приемника в конце периода корреляционного накопления ошибочного (близкого к нулю) отклика, соответствующего отсутствию в среде принимаемого сигнала.
Нарушение хаотической синхронизации приведет к тому, что эталонное колебание не будет совпадать с колебанием, полученным из среды, что также приведет к появлению ошибочного отклика на выходе корреляционного приемника.
В отличие от гармонических сигналов для хаотических последовательностей с разделением начальными условиями невозможна реализация алгоритма некогерентной обработки последовательности, поскольку для таких последовательностей невозможно выделить ортогональный базис, относительно которого они могут быть разложены и относительно которого может быть выделен исходный тип последовательности.
Следовательно, для реализации алгоритма оптимальной обработки для систем, где внесение информации осуществляется путем вариации начальных условий хаотических последовательностей, необходим дополнительный канал посимвольной синхронизации, позволяющий на приемной стороне определить моменты чередования символов и соответствующих им последовательностей.
Модель кодера
Для разрешения возникшего вопроса об избыточности, имеющейся в каждом отсчете хаотической последовательности хп и оставшейся последовательностью, эвристический алгоритм может быть применен рекурсивно. Если последовательность лучших значений znd" вычислена для каждого n = 1...N, можно применить тот же алгоритм, заменяя принятое значение уп соответствующим лучшим значением zn " . Очевидно, что таким образом учитывается избыточность, существующая во всей последовательности от уп до конца, и можно ожидать улучшения результатов.
Назовем второй алгоритм рекурсивным эвристическим алгоритмом. Можно ожидать, что эти алгоритмы достаточно хорошо справляются с ограниченным шумом, так как в этом случае высока вероятность, что полученная последовательность У„--- У„+м-1 близка к хп... хп+м_1; последовательность znd" при к = п...п+М-2, выбранная в качестве самой близкой к полученной, является также самой близкой к отправленной. Тем не менее, результаты моделирования показывают, что есть уровень ошибки, который зависит от сложности декодирования (длины блока декодирования М и числа итераций). Основанием этого является тот факт, что поскольку декодирование основывается на вычислении начальных условий (в этом случае хп есть функция значений уп,...,уп+м_1, содержащих искажения вследствие наличия шума в канале), проявляется пороговый эффект [75].
Третий метод - алгоритм декодирования последовательности, основанный на критерии максимального правдоподобия (МП) [76] со скользящим окном [77]. Он является адаптацией известного алгоритма Витерби [78]. Этот метод работает на базисе символической динамики [73, 74], поэтому необходимо квантование фазового пространства [0,1]. В предыдущих описанных алгоритмах применялась символическая динамика при восстановлении траекторий
Этот и последующий алгоритмы требуют аналогичного деления на подинтервалы, однако для верного установления динамики системы их требуется большее количество. В соответствии с этим, разделим интервал [0,1] 1 поэтому пороговая точка х = — является верхней границей одного 2 подинтервала и нижней границей другого. Таким образом, зная подинтервал /, в который попадает отсчет, можно сказать должен он быть декодирован как 0 или 1. Более того, если заменить исходную последовательность отсчетов последовательностью подинтервалов, в которых лежат соответствующие отсчеты (другими словами, хаотическая последовательность заменяется последовательностью центров е.), то получим символическое представление последовательности, которое можно описать как марковский процесс первого порядка с соответствующей матрицей перехода Т [76,79]. Элемент tt- этой матрицы означает возможность перехода между интервалом / и интервалом j .
В случае отображения сдвига Бернулли каждый интервал отображается в два непрерывных интервала с равной вероятностью (пропорциональной длине исходного подинтервала отображенного на целевой подинтервал). Например, для случая р = 4 матрица перехода примет вид Т = — 110 0
В случае модифицированного логистического отображения и перевернутого логистического отображения, матрицу перехода получить не просто, она строится, как отношение длины пересечения отображенного интервала f\li) и целевого интервала / к длине изображения f\li)
В процессе декодирования будем рассматривать последовательность центров подинтервалов в пределах скользящего окна длиной L dl, к = 0,...,L-1, где d k=ct, если хп+к лежит в /.. Подобным образом можно сказать, что марковский процесс находится в состоянии sk=i в момент времени & = 0,...,L-1, если хк+п лежит в Ij. Начальное состояние s0 полагают первоначально равным нулю, а по мере декодирования методом скользящего окна начальное состояние выбирается из ранее рассчитанных значений для каждого декодирумого блока длиной L. Таким образом учитывается избыточность всей последовательности. Для применения алгоритма Витерби в виде, описанном в [76], необходимо взять блок из L принятых символов yn,...,yn+L_1 и выполнить следующие действия.
Схема Костаса в условиях внешних помех
Существует ряд подходов к передаче данных с использование хаотических сигналов в качестве носителей. В большинстве из них через канал передается комбинация хаотического и полезного сигналов. Как известно, само иформационное содержание хаотических сигналов отлично от нуля. Это означает, что кроме пропускной способности канала, необходимой для передачи полезного сигнала, требуется дополнительная пропускная способность, определяемая количеством информации, содержащимся в хаотическом сигнале. Поэтому эффективность применения пропускной способности канала в случае использования хаотических сигналов в качестве носителей оказывается ниже, чем для регулярных сигналов. В этой связи было бы желательно формировать информационный сигнал таким образом, чтобы он по своей структуре был близок сигналу, генерируемому хаотической системой. Иначе говоря, необходимо управлять динамикой хаотической системы таким образом, чтобы производимый системой сигнал содержал в себе требуемую полезную информацию, и объем этой информации был равен объему самого хаотического сигнала. Еще одной задачей, в которой наличие информации в самом хаотическом сигнале играет важную роль, является задача синхронизации ведущей и ведомой систем. Дело в том, что один из факторов, препятствующих практическому применению хаотической синхронизации, заключается в ее высокой чувствительности к шумам и другим возмущающим воздействиям. В результате, одна из проблем, которая возникает при синхронизации – это необходимость постоянно передавать ведомой системе информацию о состоянии ведущей системы, что приводит к дополнительным нагрузкам, как на сами системы, так и на канал связи.
Кэрролл и Пекора [62] первыми сообщили о синхронизации двух хаотических подсистем, управляемых общим сигналом от главной системы, с помощью линейной ошибки по состоянию в качестве управления. Эндо и Чуа экспериментально синхронизировали две системы с фазовой автоподстройкой частоты, управляемые главной системой ФАПЧ; а также представили результаты компьютерного моделирования, показавшие хорошее соответствие с результатами для замкнутых систем, используемых ими, что продемонстрировало обоснованность компьютерного моделирования хаотических систем. Куомо разработал техники использования функций Ляпунова, производящие классы самосинхронизирующихся систем, которые могут демонстрировать как периодические траектории, так и хаос, хотя хаотическое поведение системы невозможно предсказать в процессе ее синтеза.
Можно предположить, что состояния хаотической системы могут быть оценены путем некоторого их измерения с помощью структуры расширенного фильтра Калмана (РФК) в качестве системы оценивания. Поскольку фильтр («приемник») содержит модель процесса, он может синхронизироваться с исходной системой («передатчиком») когда оценка сходится. Экспериментальные результаты по сравнению оценок состояний системы Лоренца с РФК с данными, полученными с самой системы, как качественный анализ ошибки, показали что РФК обоснованно согласуется с системой в широком диапазоне отношений сигнал/шум, с только одним набором настраиваемых параметров в формулировке фильтра.
Символьные последовательности могут быть описаны присвоением единиц и нулей положительным и отрицательным пикам хаотической волны за период между пересечениями на поверхности Пуанкаре. При этом возможны два метода передачи: при первом методе сигнал добавляется к выходу хаотического передатчика, после чего передается сумма двух волн. Сигнал восстанавливается в приемнике путем вычитания синхронизированной хаотической несущей из полученного сигнала. Во втором методе применяется варьирование параметра в передатчике, в результате чего происходят временные срывы синхронизации в приемнике. При возврате значения параметра синхронизация восстанавливается. Таким образом, создается двоичный поток битов синхронизации-десинхронизации для передачи сообщения, которое декодируется путем измерения энергии сигнала ошибки.
Метод добавления сообщения к хаотической несущей очень чувствителен к соотношениям "сигнал/несущая" и "мощность сигнала/мощность шума", что затрудняет передачу сообщений с довольно низкой энергией для избежания обнаружения, но все же достаточно высокой для того, чтобы сигнал мог быть услышан на фоне шума. Второй метод синхронизации/десинхронизации для передачи бит предлагался неоднократно, но двоичная модуляция иногда может быть обнаружена другими методами.
Квазихаотическая система возникает из-за эффектов конечной точности в программном обеспечении, включая дискретизаторы и вычислительные ресурсы. Она обладает следующими характеристиками:
Синхронизация двух хаотических систем осуществима с помощью структуры расширенного фильтра Калмана. Однако связь на основе стратегии синхронизации-десинхронизации трудно реализуема, и очень чувствительна к шуму. Причиной этому является попытка фильтра Калмана вернуть синхронизацию после сдвига параметра в передатчике. Если параметр был изменен слишком сильно, траектория приемника сильно уходит, и фильтр не может восстановить синхронизацию после возврата значения параметра, что обусловливает меньшие сдвиги параметра. Эти сдвиги теперь настолько малы, что шум, меньший сигнала по мощности на 40 дБ, будет доминировать в сигнале ошибки, делая невозможным определение бита.
В качестве альтернативы можно применить стратегию, когда сам параметр несет бит информации. Фильтр Калмана в приемнике расширяется для оценки текущего значения параметра, и уровень параметра кодируется как бит. Например, значение параметра 3,5 кодируется нулем, а значение 4,8 кодируется единицей. Эта стратегия обладает преимуществами невосприимчивости к шуму, поскольку отклонения модулируемого параметра могут быть очень велики по сравнению с шумом в канале
