Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Конечномерные линейные динамические системы 20
1.1 Описание систем на теоретико-множественном уровне 20
1.2 Линейные динамические системы 25
1.3 Линейные системы над коммутативными кольцами 30
1.4 Моделирование и эквивалентность систем 36
1.5 О способах представления линейных динамических систем 39 Выводы 40
Глава 2. Моделирование. Реализация. Идентификация 42
2.1 Методология моделирования 42
2.2 Общая теория реализации 44
2.3 Алгебраическая теория реализации 48
2.4 Системы с шумом и несогласованность между моделью и измерениями 55
2.5 Приближенное моделирование и идентификация систем 58
2.6 О соотношении между задачами реализации и идентификации 62
Выводы 64
Глава 3. Методы реализации систем над полями 66
3.1 Теория реализации систем над полями 67
3.2 Алгоритм вычисления конечномерной реализации Б.Л. Хо 74
3.3 Алгоритмы реализации, основанные на псевдообращении ганке-левых матриц 80
Выводы 90
Глава 4. Теория реализации линейных систем над коммутативными кольцами 92
4.1 Критерии реализуемости 93
4.2 Методы построения реализаций 100
4.3 Минимальность, достижимость и наблюдаемость 114
4.4 Проективные системы 121
Выводы 126
Глава 5. Приближенная реализация 128
5.1 Постановка и общая характеристика задачи приближенной реализации 129
5.2 Оценивание параметров линейных динамических систем 134
5.3 Оценивание размерности линейной динамической системы 143
5.4 Некоторые теоретические и практические вопросы решения задач приближенной реализации 145
5.5 Алгоритмы вычисления приближенной реализации 147
5.6 Численная иллюстрация алгоритмов и методов 152
Выводы 161
Глава 6. Моделирование пространства состояний динамических систем 162
6.1 Общая характеристика методологии теоретико-системного моделирования 163
6.2 Точность, адекватность и работоспособность моделей 173
6.3 Моделирование пространства состояний асимптотически устойчивых динамических систем 181
6.4 Численные эксперименты 183
Выводы 186
Глава 7. Распространение теории реализации на другие классы систем
7.1 Реализация систем с непрерывным временем 188
7.2 Некоторые распространения и обобщения 194
7.3 Интервальные динамические системы 206
7.4 Нечеткие системы 222
Выводы 239
Глава 8. Некоторые применения 241
8.1 Вычисление аппроксимаций Паде 241
8.2 Моделирование временного ряда системой с пространством состояний 244
8.3 Автоматизация анализа и расшифровки электрокардиограмм 254
8.4 Применение к анализу природных (экологических) систем 265
Выводы 277
Заключение 279
- Описание систем на теоретико-множественном уровне
- Системы с шумом и несогласованность между моделью и измерениями
- Теория реализации систем над полями
- Постановка и общая характеристика задачи приближенной реализации
Введение к работе
Изучение процессов и явлений на основании данных наблюдения за поведением объекта делает необходимым представление существенных аспектов его процесса функционирования в удобной для исследований форме. Сама форма представления модели объекта зависит от ее назначения и областей потенциального применения. Среди таких областей можно выделить интерпретацию прошлого и прогнозирование будущего поведения объекта, а также ре-
Ч *
шение задач управления.
Для целей исследования динамики различных процессов и управления ими наиболее удобными оказываются модели, основанные на наблюдении входных и выходных сигналов объекта и представлении его поведения в пространстве состояний. Центральным понятием при таком подходе является понятие динамической системы. При этом нужно учитывать, что модели, полученные на ос-
Ш нове наблюдений, очень часто являются неточными моделями, в них, как пра-
вило, присутствует возмущающий фактор.
Модели, заданные в пространстве состояний, являются естественной формой представления для динамических систем теории управления, в особенности теории автоматического управления (П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз [32], Г. Ро-
(Н зенброк [270], X. Квакернаак, Р. Сиван [48], М.Уонэм [136], В. Стрейц [130],
Ф.Л. Черноусько [145] и другие). Однако метод пространства состояний оказывается применимым и во многих других случаях.
Так, например, при разработке автоматизированных систем анализа электрокардиограмм (ЭКГ) приходится решать ряд проблем, связанных с фильтрацией ЭКГ-сигнала, представлением существенной информации, выбором сис-
№ темы информативных признаков и их распознаванием [9, 50, 55, 117, 146, 292].
Высокоэффективными методами фильтрации ЭКГ-сигнала являются методы, основанные на анализе временного ряда ЭКГ-сигнала [221, 278]. Дальнейшее
развитие этих методов приводит к представлению процесса фильтрации в виде
линейной динамической системы с пространством состояний. Кроме того,
* V представление в пространстве состояний является естественным при подходах
к анализу электрокардиограмм, основанных на алгоритмах обучения машины [120], разработке эквивалентного генератора сердца и диагностического автомата.
Другим примером являются природные (экологические) системы, которые
относятся к сложным системам [34], математические модели экологических
систем, как правило, являются неточными моделями. При исследовании эколо-
гических систем с помощью их моделирования проведение специальных на
турных экспериментов очень часто бывает затруднено или даже неуместно. По
этому для построения моделей таких систем приходится использовать данные
мониторинга природной среды. Представление эволюции экосистемы в про
странстве состояний позволяет с единых позиций подойти к решению сразу не
скольких задач, а именно к задачам имитации поведения экосистемы, прогно-
(іі зирования ее поведения, а также к проблеме управления экосистемой.
Аналогичные примеры можно в большом количестве приводить и из других предметных областей.
Важной проблемой системного анализа и моделирования является пробле
ма исследования адекватности модели изучаемому объекту или явлению. Тра-
диционный подход к проверке степени адекватности моделей реальным явле-
ниям построен на проведении контрольных экспериментов и использовании
критериев, основанных на сравнении временных рядов, наблюдаемых на объек
те и полученных с использованием модели. К экспериментальным данным, на
основании которых была построена модель, предъявляется требование их вос
производимости,
ц Данные контроля медико-биологических, экологических и многих техни-
ческих систем очень часто оказываются невоспроизводимыми или трудновоспроизводимыми. Обеспечение требований адекватности моделей изучаемым объектам или явлениям делает актуальными теоретическое
7 объектам или явлениям делает актуальными теоретическое обоснование использования методов их построения и формулировку соответствующих критериев реализуемости.
Кроме того, следует иметь в виду, что во многих приложениях несогласованность между моделью и экспериментальными данными возникает не только по причине случайности или шума измерения, а благодаря сознательному использованию модели, структура которой не позволяет охватить сложность наблюдаемого явления. Поэтому становится актуальной проблема разработки таких методов построения приближенных моделей, для которых несогласованность между моделью и экспериментальными данными может иметь не только статистическую, но и иную интерпретацию.
Следует заметить, что понятие состояния физической системы или физического процесса (как и любых реальных процессов и систем) не поддается общему определению, а сам термин «состояние» является явно перегруженным. Тем не менее во всякой научной теории, имеющей дело с математическими моделями, понятию состояния можно дать четкое определение в математических терминах. Основополагающей идеей при таких определениях является то, что состояние объекта вместе с информацией о входном сигнале объекта полностью определяют его дальнейшее поведение. Таким образом, переменная состояния является естественной характеристикой любой динамической системы. Ряд конкретных способов определения состояния для различных типов систем теории управления можно найти в [129].
Состояние системы удобно представлять точкой некоторого пространства — пространства состояний. При этом следует понимать некоторую условность термина «пространство», поскольку этот термин подразумевает некоторые хорошо известные математические структуры (векторное пространство, метрическое пространство, банахово пространство, вероятностное пространство и т.п.). Скорее можно вести речь о множестве или объекте состояний, которое в ряде
8 конкретных теорий может быть наделено некоторой структурой, в том числе и пространственной структурой.
Эффективным методом исследования линейных систем управления являются алгебраические методы. Алгебраические методы для исследования различных проблем теории управления использовались и развивались Р. Калманом [44, 235-236], Л. Заде [39], Р. Броккетом [171], А. Танненбаумом [289], Ю.И. Параевым [81], А.И. Кухтенко [58], Е.М. Смагиной [124], Е.А. Перепел-киным [82], В.Н. Буковым [12-14], И.В. Гайшуном [26, 27], Б.Т. Поляком [83-84] и многими другими.
Задача представления информации об объекте тесно связана с проблемой реализации динамических систем. Как замечено в [161], на современном этапе развития теории управления центральную роль играют три понятия: достижимость, наблюдаемость и реализация. Наиболее изящно взаимосвязь этих понятий проявилась в калмановском подходе к линейным системам, основанном на теории модулей [44]. Проблема реализации является одной из основных задач не только теории управления, но и математической теории систем. Решение этой задачи, которое приходится осуществлять на самых ранних этапах работы над исследуемым объектом, позволяет представить в пространстве состояний известное соотношение между входными и выходными сигналами объекта.
Фундаментальные исследования проблемы реализации в теории систем связано с именами М. Месаровича, Р. Калмана, С. Эйленберга, Э. Зонтага, Дж. К. Виллемса и др.
Основное внимание в данной работе будет уделяться линейным стационарным динамическим системам с дискретным временем. В алгебраическом подходе к теории линейных систем, который восходит к работам Р. Калмана [44, 227, 235, 237], множества входных сигналов, состояний и выходных сигналов системы представляются модулями над некоторым кольцом R. При этом задача реализации эквивалентна построению тройки R -линейных отображений (F,G,H). Этот подход развивался далее С. Эйленбергом [191], Й. Рушало [241],
9 Р. Калманом [238, 239], П. Фурманом [207-211], М. Хазенвинкелем [226], Э. Зонтагом, Б. Вайменом [272-274, 280, 283, 284], Р. Айсингом и М. Хаутусом
I* [194] и другими.
В случае систем над полями теория реализации наиболее развита (Р. Кал-ман [44, 237-239], Б.Л. Хо [227], П. Зейгер [308], Дж. Риссанен [267], Л. Силь-верман [277], Н.И. Осетинский [75-78], П. Фурман [207-211] и другие). Дальнейшее развитие методологии реализации идет по пути обобщения теории реализации для систем над полями на случай систем над кольцами [69] (Й Рушало и Б. Ваймен [272-274], С. Эйленберг [191], Э. Камен [242], Э. Зонтаг [280, 283]
'** Г. Конте и А. Пердон [183-184], Э. Эмре [195], П. Каргонекер [246-247], Р. Ай-
синг и М. Хаутус [194] и другие), и другими алгебраическими системами
(Дж. Гоген [216], Б.Д.О Андерсон, М. Арбиб, Э. Мейнс [159, 161], Б. де Шаттер,
В. Блондель, Б. де Мур [187-189] и другие), а также по пути разработки эффек
тивных вычислительных процедур для систем над числовыми полями [133]
(Л. де Джонг [186], Дж. К. Виллемс [299-302], О. Босгра [168-169], М. ван Ба-
/1} рель и А Бултхил [295], И. Гоберг, М. Кашоик, Л. Лерер [217-218], М. Рави и
Дж. Розенталь [265-266] и другие).
Указанный выше подход касается решения задачи вычисления точной
реализации, т.е. распространяется только на те случаи, когда наблюдаемые
входные и выходные сигналы системы заданы точно. Для систем, которые под
вержены воздействиям различных искажающих факторов либо функциони-
рующих в условиях неопределенности, этот подход не может давать удовлетво
рительных результатов. В этих случаях чаще всего используются классические
методы идентификации, применимость которых возможна только после того,
как уже решена проблема выбора формы представления. Работы [133, 299-301]
предлагают методологию, обобщающую теорию реализации и идентификации,
^ развивает вопросы точного и приближенного моделирования временных рядов.
Для изучения неточно определенных систем используются также другие подходы, такие как интервальный анализ (Н.А. Хлебалин и Ю.И. Шокин [140],
10 А.Б. Куржанский, СП. Шарый [149], Е.М. Смагина [125], СП. Соколова [43], Д.В. Сперанский [10], А.В. Лакеев и другие), нечеткие множества и нечеткая логика (Л. Заде [40, 306-307], А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун[1], Дж. Клир [248-250], СН. Васильев [19-20], Б.Н. Петров и другие).
Анализ сложившегося к настоящему моменту положения в области теории реализации и идентификации динамических систем показал, что существующие методы либо применимы для очень узкого класса систем, либо соответствующие алгоритмы слабоструктурированы и поэтому оставляют открытым вопрос их численной реализации. Несмотря на обилие различных подходов и методов, можно констатировать, что имеется необходимость в разработке методологии, которая бы решала задачу реализации динамических систем с единых позиций, как для детерминированных систем, так и для систем с искажениями и неопределенностями. Кроме того, к настоящему времени недостаточно исследованы вопросы использования теоретико-системных моделей для решения задачи прогнозирования будущего поведения системы.
Настоящая работа посвящена исследованию проблемы построения моделей с пространством состояний на основе данных о поведении вход-выход (импульсной характеристике, отображении вход-выход и т.п.) динамических систем.
Целью представляемой исследовательской работы является
развитие общей методологии реализации (представления в пространстве состояний) динамических систем, применимой как для детерминированных систем, так и для широкого класса неточно и нечетко определенных систем;
получение эффективных методов и алгоритмов реализации в пространстве состояний для класса линейных стационарных динамических систем с дискретным временем;
для неточно заданных отображений вход-выход разработка теории и методов приближенной реализации;
4) распространение теории и методов реализации на класс динамических
систем с интервальной неопределенностью; постановка задач реализации, по-
(ш лучение критериев реализуемости, разработка методов вычисления реализаций.
Методы исследования. В качестве методической основы для разработки и исследования моделей и методов, предложенных в данной работе, выбран алгебраический подход к теории систем. Для получения результатов используются методы линейной и абстрактной алгебры, матричного анализа, теории нечетких множеств, интервального анализа. При разработке методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации применяются методы математического программирования. Для построения теоретико-системных моделей используются методы системного анализа.
Научная новизна результатов, полученных в настоящей работе, состоит в следующем:
ґіх 1) Для линейных стационарных динамических систем с дискретным вре-
менем сформулированы и доказаны утверждения, которые представляют методы вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения. Получены модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации. Разработаны численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.
2) Установлены свойства проективных систем, связанные с проективностью задающих их модулей. Доказана теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний, являющейся обобщением теоремы Эйленберга.
{щ 3) Сформулирована задача приближенной реализации как обобщение зада-
чи точной реализации на случай систем с «шумом». Получены методы решения задач приближенной реализации, основанные на минимизации функции несо-
12 гласованности для оценивания параметров системы и специальной критериальной функции для оценивания размерности системы. Разработаны численные методы и алгоритмы вычисления приближенной реализации.
Для интервальных линейных стационарных динамических систем проанализированы возможные формулировки задачи реализации и пути ее решения. Сформулирован и доказан критерий алгебраической реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц. Получен метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных систем.
Введено понятие общей нечеткой системы относительно t-нормы. Для данного класса систем сформулированы и доказаны теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции. Проанализировано свойство нечеткой линейности нечетких отношений и исследованы свойства нечетких линейных систем.
На основе разработанных методов и алгоритмов точной и приближенной реализации развита методика представления в пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем. На совокупности тестовых примеров и реальных экспериментальных данных показаны алгоритмическая эффективность методов и их применимость для решения прикладных задач.
Практическая значимость результатов работы состоит в том, что разработанные методы представления динамических систем в пространстве состояний можно использовать при решении практических задач моделирования, прогнозирования и управления технических, медико-биологических, экологических и других систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции «Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов» (Барнаул, 1997); на краевых конферен-
13 циях по математике «Математики Алтайского края» (Барнаул, 1998, 1999, 2000, 2001, 2003); на научной сессии Алтайского отделения МАНЭБ «Устойчивое развитие конверсируемых регионов Сибири» (Бийск-Барнаул, 1999); на городских научно-практических конференциях (Бийск, 1999, 2000); на семинаре «Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления» (Новосибирск, 2001); на Международной научно-технической конференции «Измерения, контроль, информатизация» (Барнаул, 2002, 2003); на IV Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2002); на Международном совещании по интервальной математике и методам распространения ограничений (Новосибирск, 2003); на Второй Международной научно-технической конференции «Технологическая системотехника» (Тула, 2003); на научно-техническом семинаре факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (Томск, 2004).
Положения, выносимые на защиту:
Модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения вход-выход линейной стационарной динамической системы с дискретным временем.
Численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.
Теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний (обобщение теоремы Эйленберга).
Развитие теории, методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации.
Методика формирования теоретико-системных математических моделей на основе представления динамических систем в пространстве состояний.
14
6) Методы моделирования временных рядов системой с пространством со
стояний, основанные на вычислении конечномерных реализаций.
№ 7) Формализация задач реализации для линейных динамических систем с
интервальной неопределенностью. Критерий алгебраической реализуемости для интервальных систем.
Метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных интервальных динамических систем.
Развитие общей теории нечетких систем. Теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции для общей нечеткой системы.
10) Формализация понятия нечеткой линейности и получение свойств не
четких линейных систем.
Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав и заключения. Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель, задачи,
fa объект и методы исследования, научная новизна и практическая значимость ра-
боты, указаны положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика работы.
Первые две главы имеют вводный характер. В первой главе излагаются основные теоретико-системные понятия, и вводится в рассмотрение объект исследования - линейные динамические системы. В данной работе динамическая система - это строгое математическое понятие. Это понятие рассматривается сначала на теоретико-множественном уровне. Оказывается, что даже на таком уровне общности любую систему, которая задана на языке «вход-выход», можно наделить некоторым объектом глобальных состояний. Линейные системы вводятся путем наделения объектов общей системы дополнительной структу-
^ рой. Вторая глава посвящена анализу проблемы моделирования динамических
систем. Исследуется взаимосвязь между задачами моделирования, реализации и идентификации.
В последующих двух главах излагается и развивается теория точной реали
зации. В третьей главе представлены теория и методы реализации систем над
(ш полями. Здесь приведены как известные ранее методы и алгоритмы реализации,
так и оригинальные методы конечномерной реализации, разработанные автором диссертации. Существенным является то, что представленные методы и алгоритмы в случае систем над числовыми полями допускают численную и программную реализации. Темой четвертой главы являются теория и методы реализации для систем над кольцами. Необходимость рассматривать линейные системы не только над полями, но и над кольцами, возникает в связи с существованием таких классов систем, как системы с задержками, цифровые системы и т.п. Рассматриваются вопросы, связанные с реализуемостью систем над коммутативными кольцами, а также методы построения реализаций.
Проблематика, связанная с реализацией систем, подверженных искажени
ям («шуму»), или с использованием неточной информации о системе представ
лена в пятой главе. Вводится в рассмотрение проблема приближенной реализа-
«^ ции. После формулировки и общей характеристики задач приближенной реали-
зации рассматриваются методы ее решения и некоторые практические вопросы, связанные с решением задач приближенной реализации.
Проблеме моделирования пространства состояний посвящена глава 6. В
данном случае задача моделирования рассматривается как задача построения
модели с пространством состояний непосредственно на основании данных из-
мерений входных и выходных сигналов системы. Главное отличие этой задачи
от рассмотренных в главах 3-5 задач реализации заключается в том, что в дан
ном случае у нас нет ни заданного отображения вход-выход, ни импульсной ха
рактеристики. Здесь рассматриваются также некоторые общеметодологические
проблемы теоретико-системного моделирования.
^ Заключительные две главы диссертации посвящены обобщениям и прило-
жениям развитой в предыдущих главах теории реализации и моделирования. В седьмой главе представлен обзор распространений теории реализации на раз-
личные классы систем - системы с непрерывным временем, нестационарные
системы, нелинейные системы, 2D-cncTeMbi и т.п. Здесь рассматриваются также
(* подходы к анализу систем, функционирующих в условиях неопределенности. В
последней главе представлены описания применения методов реализации и теоретико-системного моделирования к анализу временных рядов, решению задач аппроксимации, а также некоторые примеры практических применений в медицине и экологии.
В заключении изложены основные теоретические выводы настоящего исследования, подведены итоги.
1 Поскольку в качестве методической основы для развиваемой в данной ра-
боте методологии моделирования использовался алгебраический подход к теории систем, то диссертация снабжена Приложением А, в котором содержатся некоторые сведения из современной алгебры, на которые приходилось ссылаться при изложении теории реализации. Приложение Б содержит сведения об использовании резултатов диссертационной работы. Общий объем диссертации
,\. составляет 330 страниц, в том числе 3 таблицы, 24 рисунка. Список литературы
включает 309 наименований, приложения изложены на 20 страницах.
*>
Описание систем на теоретико-множественном уровне
Анализ сложившегося к настоящему моменту положения в области теории реализации и идентификации динамических систем показал, что существующие методы либо применимы для очень узкого класса систем, либо соответствующие алгоритмы слабоструктурированы и поэтому оставляют открытым вопрос их численной реализации. Несмотря на обилие различных подходов и методов, можно констатировать, что имеется необходимость в разработке методологии, которая бы решала задачу реализации динамических систем с единых позиций, как для детерминированных систем, так и для систем с искажениями и неопределенностями. Кроме того, к настоящему времени недостаточно исследованы вопросы использования теоретико-системных моделей для решения задачи прогнозирования будущего поведения системы.
Настоящая работа посвящена исследованию проблемы построения моделей с пространством состояний на основе данных о поведении вход-выход (импульсной характеристике, отображении вход-выход и т.п.) динамических систем. Целью представляемой исследовательской работы является 1) развитие общей методологии реализации (представления в пространстве состояний) динамических систем, применимой как для детерминированных систем, так и для широкого класса неточно и нечетко определенных систем; 2) получение эффективных методов и алгоритмов реализации в пространстве состояний для класса линейных стационарных динамических систем с дискретным временем; 3) для неточно заданных отображений вход-выход разработка теории и методов приближенной реализации; 4) распространение теории и методов реализации на класс динамических систем с интервальной неопределенностью; постановка задач реализации, по (ш лучение критериев реализуемости, разработка методов вычисления реализаций. Методы исследования. В качестве методической основы для разработки и исследования моделей и методов, предложенных в данной работе, выбран алгебраический подход к теории систем. Для получения результатов используются методы линейной и абстрактной алгебры, матричного анализа, теории нечетких множеств, интервального анализа. При разработке методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации применяются методы математического программирования. Для построения теоретико-системных моделей используются методы системного анализа. Научная новизна результатов, полученных в настоящей работе, состоит в следующем: ҐІХ 1) Для линейных стационарных динамических систем с дискретным вре менем сформулированы и доказаны утверждения, которые представляют методы вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения. Получены модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации. Разработаны численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации. 2) Установлены свойства проективных систем, связанные с проективностью задающих их модулей. Доказана теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний, являющейся обобщением теоремы Эйленберга. {щ 3) Сформулирована задача приближенной реализации как обобщение зада чи точной реализации на случай систем с «шумом». Получены методы решения задач приближенной реализации, основанные на минимизации функции несо 12 гласованности для оценивания параметров системы и специальной критериальной функции для оценивания размерности системы. Разработаны численные методы и алгоритмы вычисления приближенной реализации. 4) Для интервальных линейных стационарных динамических систем проанализированы возможные формулировки задачи реализации и пути ее решения. Сформулирован и доказан критерий алгебраической реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц. Получен метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных систем. 5) Введено понятие общей нечеткой системы относительно t-нормы. Для данного класса систем сформулированы и доказаны теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции. Проанализировано свойство нечеткой линейности нечетких отношений и исследованы свойства нечетких линейных систем. 6) На основе разработанных методов и алгоритмов точной и приближенной реализации развита методика представления в пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем. На совокупности тестовых примеров и реальных экспериментальных данных показаны алгоритмическая эффективность методов и их применимость для решения прикладных задач. Практическая значимость результатов работы состоит в том, что разработанные методы представления динамических систем в пространстве состояний можно использовать при решении практических задач моделирования, прогнозирования и управления технических, медико-биологических, экологических и других систем.
Системы с шумом и несогласованность между моделью и измерениями
Задача реализации может рассматриваться как частный случай задачи идентификации для систем с пространством состояний по точным данным, ко гда эти данные представлены в виде отображения вход-выход или в одной из эквивалентных форм представления этого отображения - в виде последова тельности матриц, ганкелевой матрицы, степенного ряда и т.п. На задачу идентификации в пространстве состояний можно посмотреть как на обобщение задачи реализации на системы с шумом, когда решается традиционная задача реализации - представление в пространстве состояний заданного отображения вход-выход, с единственным отличием - отображение вход-выход зашумлено. Наконец, в некоторых случаях на задачу реализации можно посмотреть как на один из этапов решения задачи идентификации, когда на начальном этапе приближенного моделирования решается задача точного моделирования. Следует заметить, что в последнее время наблюдается взаимопроникновение идей теории реализации и методов идентификации. В методах идентификации, основанных как на ошибке предсказания, так и на использовании линейных подпространств явно чувствуется влияние достижений в области теории реализации. С другой стороны, проблема приближенной реализации, которая будет рассматриваться в главе 5 данной работы, использует многие элементы, характерные для классической теории идентификации. Круг задач и проблематика теории идентификации постоянно расши ряются, что приводит к необходимости переосмысления самого термина «идентификация». Так, в работе [85] предлагается следующая концепция иден тификации: ч «- идентификацией называется вся познавательная деятельность лица, принимающего решение (ЛПР), создающая необходимые условия для практического использования формальных основ теории управления при решении конкретной прикладной задачи; - теорией идентификации считается система методов построения норма тивных моделей идентификации, теория в идеале, включает методы, используя которые, ЛПР может самостоятельно создать нормативные образцы своей идентификационной деятельности. - структурной идентификацией называется вся познавательная деятель ность ЛПР, связанная с поиском в формальных основах теории управления адекватной постановки прикладной задачи; теория идентификации поддержи вает эту деятельность, создавая методы построения - с помощью ЛПР — норма тивных образцов структурной идентификации ...». Выводы Осуществляя формализацию основных понятий моделирования на основе наблюдений и измерений, определены такие понятия, как модель, измерение, а также ряд понятий, связанных с объяснением моделью наблюдений и опровержением модели измерениями. Модели могут иметь различные формы представления. Задача представления систем в пространстве состояний тесно связана с проблемой реализации динамических систем. Проведен анализ задачи реализации динамических систем. Проанализиро вав, . ваны как общесистемные, так конкретно-содержательные аспекты проблемы. Введены в рассмотрение основные понятия теории реализации линейных ди намических систем. Показано, что задача точной реализации может быть решена в рамках алгебраического теоретико-модульного подхода к проблеме. Приведены содержательные формулировки задачи реализации для систем над полями и коммутативными кольцами. Для свободных систем задание отображения вход-выход эквивалентно заданию импульсной последовательности матриц. Сформулированы критерии реализуемости заданной импульсной последовательности матриц. Определены основные понятия, касающиеся разновидностей задачи реализации.
Приведен краткий обзор методов решения задач (точной) реализации. Дальнейшее развитие методологии реализации идет по пути обобщения теории реализации для систем над полями на случай систем над кольцами и другими алгебраическими системами, а также по пути разработки эффективных вычислительных процедур для систем над числовыми полями.
Проанализированы основные источники искажений линейных динамических систем. Введена в рассмотрения задача приближенного моделирования как обобщение задачи точного моделирования на случай систем с «шумом». Задача приближенного моделирования динамических систем тесно связана с задачей идентификации. Приведен краткий обзор методов идентификации, а также проанализированы соотношения между задачами реализации и идентификации.
Теория реализации систем над полями
Шаг 2. С помощью элементарных преобразований над строками и столбцами ганкелева матрица Bq,q(f) приводится к виду в правой части соотноше ния (3.13). Матрицы Р и М являются результатом произведения элементар ных матриц, соответствующих этим элементарным преобразованиям (Р соответствует преобразованиям со строками, М - преобразованиям со столбцами матрицы Bg,q(f)). Из-за ограниченной точности представления чисел в ЭВМ те элементы, которые должны быть равны нулю, в действительности могут ока 5 заться малыми, но не нулевыми элементами. Это приведет к неправильному определению ранга матрицы (а, следовательно, и размерности реализации) и искажению самой реализации. С целью ликвидации этих искажений после каждого законченного преобразования величины, меньшие по абсолютной величине заданного числа , обнуляются. Из равенства (3.13) видно, что rank Bq,q{f) = п. Шаг 3. Реализация этого шага очевидна. Умножению на матрицы Е"рг, Е» EZ и Е%г в (3.14)-(3.16) соответствует редактирование (обрезание) соответствующих матриц. Очевидно, приведенный выше алгоритм численной реализации может быть полностью применен для систем не только над полем R, но и над любым числовым нормированным полем, в частности над полем комплексных чисел С. В работах [52, 91, 98, 101] представлены различные версии программного обеспечения, реализующего алгоритм 3.2. Представленные в этих работах программы построены по модульному принципу и предназначены для вычисления конечномерной реализации точно заданного отображения вход-выход. Исходными данными для них является точно заданная последовательность матриц, соответствующая импульсной характеристике отображения вход-выход. Результатом работы программ являются вычисленные матрицы F, G, Н реализации. С помощью программ можно определить размерность реализации и саму реализацию в том случае, когда для заданного отображения вход-выход существует конечномерная реализация. В противном случае вычисляется частичная реализация. Их можно использовать также для поиска рекуррентной закономерности в заданной последовательности матриц. Если такая закономерность существует, то программы позволяют найти ее и продлить исходную последовательность матриц. Программа AKR имеет иерархическую модульную структуру, которая изображена на рисунке 3.1. Модуль HOKAPU является управляющим для всей программы, организует логику системы согласно алгоритму 3.2, производит подключение функциональных модулей. Модуль UPR выполняет следующие операции: 1) формирует ганкелевы матрицы из заданной последовательности матриц; 2) организует обращение к модулям преобразования ганкелевой матрицы к диагональному виду (ХО) и вычисления ранга этой матрицы (RANK). Модуль REZ1 предназначен для вычисления матриц F, G, Н реализации. Модуль REZB вычисляет последовательность матриц Bi = HF AG. Модуль ХО предназначен для приведения заданной матрицы к диагональному виду и вычисления матриц РиМиз соотношения (3.13). Модули RANK, UREZ, MULT и др. являются вспомогательными и предназначены, соответственно, для определения ранга матрицы, редактирования, перемножения и формирования матриц специального вида.
Представленная программа входит в состав программного комплекса для решения задач реализации, который позволяет автоматизировать основные этапы построения математических моделей с пространством состояний. Основные характеристики и описание этого комплекса можно найти в [52, 91, 98].
Постановка и общая характеристика задачи приближенной реализации
Поставленная задача аналогична задаче идентификации в классе ли нейных динамических систем с пространством состояний и потребует осуще ствления следующих трех этапов: 1) идентификации размерности (порядка) системы; 2) оценивания параметров при известном порядке системы; 3) оценки адекватности и подтверждение полученной модели системы. Как уже отмечалось в главе 2, размерность системы можно считать мерой ее сложности. Идеальной целью приближенного моделирования является низкая сложность модели при минимальной несогласованности. Эта ситуация ана-логична задаче нахождения минимальной реализации для случая точного моделирования. В отличие от точной реализации, в данном случае поставленная задача приближенной реализации потребует поиска компромисса между ми нимизацией сложности и несогласованности. Именно с этих позиций должен Ш осуществляться первый этап решения задачи приближенной реализации. Выбор вида функции є определяет метод получения оценок параметров системы - матриц F, G, Н. В практических приложениях чаще всего в качестве функций несогласованности рассматриваются функции от нормы разности которая в данном случае является мерой погрешности приближения. С другой стороны, эту функцию можно рассматривать и как меру ошибки поведения, т.е. отклонения данных, воспроизводимых моделью, от наблюдаемого поведения системы. Наличие информации о значениях параметров системы (матрицах) позволяет осуществить проверку ее адекватности экспериментальным данным. Косвенным критерием адекватности при соответствующем виде функции несогласованности и методе ее минимизации является критерий "белизны" остатков. Другим косвенным методом оценки адекватности является проверка пригодности построенной модели для целей прогнозирования. На этом перечень косвенных методов оценки адекватности далеко не исчерпывается. Анализу этого вопроса будет уделено определенное внимание в главе 6. Следует иметь в виду, что внутри проблемы реализации проблема оценки адекватности не является актуальной, поскольку речь идет всего лишь о другом представлении системы - представлении в пространстве состояний, располагая системой типа вход-выход. Эта проблема становится актуальной, только если речь идет обо всем процессе построения модели на основании измерений входных и выходных сигналов системы. На практике, как правило, мы имеем дело не с бесконечным пред ставлением отображения вход-выход (5.1), а с конечной последовательностью соответствующей конечному числу измерений в моменты времени/ = 1,2,...,7V. Подход к решению задач приближенной реализации как к оцениванию порядка и параметров системы по конечному числу наблюдений является в своей основе статистическим. Задача вычисления приближенной реализации на основании последовательности матриц (5.2) аналогична задаче вычисления частичной реализации. В заключение этого параграфа мы кратко опишем метод минималь ной реализации, основанный на сингулярном разложении ганкелевой матрицы поведения системы. Прежде всего заметим, что если «реальная» линейная ста ционарная система является системой минимальной размерности и, то полу ченная из измерений «зашумленная» последовательность матриц (5.2) в общем случае может не порождаться точной моделью с пространством состояний размерности п. Более того, блочные ганкелевы матрицы Bq.q{Z), сформированные из матриц последовательности (5.2), могут оказаться матрицами полного ранга для любых q и q . Это будет означать, что для данной последовательности матриц невозможно построить точную реализацию низкой размерности. По этому более целесообразным в данном случае является построение приближен ной модели низкой размерности, аппроксимирующей последовательность (5.2). Оказывается, что для решения этой задачи можно применить процедуру, ана логичную алгоритму Хо. Алгоритм, представленный ниже, разработан Кунгом 5.2.1 Рассмотрим задачу оценивания параметров линейной динамической системы для случая, когда задана размерность системы п. Количество и набор оцениваемых параметров зависят от формы представления линейной динамической системы. Если на динамическую систему посмотреть как на тройку матриц (F,G,H), не учитывая структуры матриц, то оценивать придется п1 коэффициентов матрицы F, тп коэффициентов матрицы G и пр коэффициентов матрицы Н, где т - размерность пространства входных, р - размерность пространства выходных сигналов системы. Существенным здесь является то, что среди п{п + т + р) параметров, которые нужно оценить в данном случае, не все являются независимыми, а это может сильно затруднить саму процедуру оценивания параметров.
