Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы и постановка задачи исследования 6
1.1. Механизмы возникновения связанных крутильно-осевых колебаний 6
1.2. Методы исследования связанных крутильно-осевых колебаний судового валопровода 9
1.2.1. Методы исследования свободных связанных колебаний судового валопровода 9
1.2.2. Методы исследования вынужденных связанных колебаний судового валопровода 14
1.3. Метод главных координат 16
1.4. Цель и задачи исследования 19
2. Особенности расчета связанных крутильно-осевых колебаний судового валопровода 20
2.1. Дискретизация элементов судового валопровода 20
2.2. Определение коэффициентов связи между крутильными и осевыми колебаниями элементов судового валопровода 31
2.2.1. Определение коэффициентов связи между крутильными и осевыми колебаниями коленчатого вала 32
2.2.2. Определение коэффициентов связи колебаний лопасти винта и гребного вала 34
2.3. Определение присоединенных масс воды при крутильно-осевых колебаниях гребного винта 37
2.4. Учет демпфирования при связанных крутильно-осевых колебаниях судового валопровода 42
3. Теоретические положения расчета связанных колебаний судовых валопроводов методом главных координат 57
3.1. Уравнения связанных колебаний многомассовой дискретной модели 57
3.2. Основные положения метода главных координат 59
3.3. Расчет свободных колебаний методом Гаусса и построение матрицы форм собственных колебаний 64
3.4. Определение вынуждающих сил и моментов 69
3.4.1. Вынуждающие усилия, связанные с работой ДВС 70
3.4.2. Вынуждающие усилия от гребного винта 76
3.4.3. Переход от обобщенных к главным координатам 94
3.5. Разработка алгоритма и программного комплекса для расчета связанных крутильно-осевых колебаний МГК 96
3.5.1. Структура программного комплекса 96
3.5.2. Модуль Oscillation frequency 97
3.5.3. Модуль Coupled vibration 101
4. Экспериментально-теоретические исследования связанных крутильно-осевых колебаний судового валопровода 108
4.1. Задачи эксперимента 108
4.2. Исследование связанных крутильно-осевых колебаний валопровода судна с горизонтальным способом грузообработки (типа «Ро-Ро») проекта 1607 109
4.2.1. Общие характеристики судна и пропульсивного комплекса 109
4.2.2. Расчет связанных крутильно-осевых колебаний методом главных координат ПО
4.2.3. Экспериментальные исследования колебательных процессов валопровода судна проекта 1607 124
4.2.4. Сравнение результатов расчета и эксперимента 126
4.3. Исследование связанных крутильно-осевых колебаний валопровода многоцелевого сухогрузного судна-навалочника проекта 15760 128
4.3.1. Общие характеристики судна и пропульсивного комплекса 128
4.3.2. Расчет связанных крутильно-осевых колебаний методом главных координат 129
4.3.3. Экспериментальные исследования колебательных процессов валопровода судна проекта 15760 143
4.3.4. Сравнение результатов расчета и эксперимента 147
4.4. Исследование связанных крутильно-осевых колебаний валопровода универсального сухогрузного судна проекта 01010 148
4.4.1. Общие характеристики судна и пропульсивного комплекса 148
4.4.2. Расчет связанных крутильно-осевых колебаний методом главных координат 150
4.4.3. Экспериментальные исследования колебательных процессов валопровода судна проекта 01010 163
4.4.4. Сравнение результатов расчета и эксперимента 165
4.5. Исследование связанных крутильно-осевых колебаний валопровода универсального сухогрузного судна проекта 16510 167
4.5.1. Общие характеристики судна и пропульсивного комплекса 167
4.5.2. Расчет связанных крутильно-осевых колебаний методом главных координат 168
4.5.3. Экспериментальные исследования колебательных процессов валопровода сухогрузного судна проекта 16510 182
4.5.4. Сравнение результатов расчета и эксперимента 182
4.6. Исследование связанных крутильно-осевых колебаний валопровода судна «Pannon Sky» 183
4.6.1. Общие характеристики судна и пропульсивного комплекса 183
4.6.2. Расчет связанных крутильно-осевых колебаний методом главных координат 184
4.6.3. Экспериментальные исследования колебательных процессов валопровода судна «Pannon Sky» 197
4.6.4. Сравнение результатов расчета и эксперимента 201
Заключение 202
Список использованной литературы
- Методы исследования связанных крутильно-осевых колебаний судового валопровода
- Определение коэффициентов связи между крутильными и осевыми колебаниями элементов судового валопровода
- Расчет свободных колебаний методом Гаусса и построение матрицы форм собственных колебаний
- Исследование связанных крутильно-осевых колебаний валопровода судна с горизонтальным способом грузообработки (типа «Ро-Ро») проекта 1607
Введение к работе
При работе судовой дизельной установки валопровод испытывает действие знакопеременных нагрузок, при этом он является упругой системой, каждая точка которой совершает взаимосвязанные крутильные, осевые и изгибные перемещения. Однако на практике изучение динамических свойств подобных систем выполняется посредством рассмотрения изолированных друг от друга парциальных колебаний.
Такой подход не позволяет объяснить явления, при которых вынуждающее усилие в направлении одной координаты вызывает движение также и по другим координатам. Экспериментально было подтверждено, что крутильные колебания сопровождаются осевыми и изгибными колебаниями. На данный момент существует относительно много работ, посвященных расчетному исследованию связанных колебаний, однако еще нет общепризнанной методики для их расчета, которой можно было бы пользоваться при практических расчетах.
В настоящей работе делается попытка систематизировать свободные и вынужденные колебания валопровода, идеализированного системой с взаимосвязанными координатами. Отличие от существующих исследований заключается в том, что здесь рассматриваются крутильно-осевые колебания.
В работе применена дискретизации лопасти гребного винта отдельными массами, которая позволила обнаружить связь между координатами, благодаря которой происходит перераспределение колебательной энергии.
Также предложена методика определения вынуждающих усилий от гребного винта по зависимостям гидродинамической теории, которая позволяет учесть параметры пропульсивного комплекса каждого конкретного судна в отличии от статистического метода гармонических коэффициентов.
В работе предлагается использовать для решения проблемы связанных колебаний метод главных координат, который неплохо зарекомендовал себя при расчетах парциальных крутильных колебаний. По своим возможностям метод близок к натурному торсиографированию, выполняется на ЭВМ и позволяет получать расчетные значения напряжений и перемещений любого элемента валопровода при любых режимах работы установки в любой момент времени.
Разработка метода главных координат применительно к расчету связанных крутильно-осевых колебаний и дальнейшая его практическая реализация для конкретных судов нашли свое отражение в представленной работе и ее приложении.
Методы исследования связанных крутильно-осевых колебаний судового валопровода
Уравнения, описывающие связанные колебания судового валопровода, включают коэффициенты связи между крутильными и осевыми колебаниями. Выделяют жесткостную и упругую связи. В настоящее время наиболее изученной является упругая связь между крутильными и осевыми колебаниями коленчатого вала. Степень её воздействия на колебательную систему полностью определяется крутильно-осевой жесткостью, которая отражает геометрические особенности колена вала.
Для расчета свободных кругильно-осевых колебаний van Doit и Visser [107] представили валопровод в виде дискретной системы, состоящей из к дисков с массой т , способных к осевым перемещениям х вдоль оси вала и т дисков с моментом инерции 0S, способных к повороту (р относительно оси вала. Диски связаны между собой безьшерционными упругими соединениями, которые характеризуются параметрами а , /? , prs, 8 , где а - осевое перемещение диска р от единичного крутящего момента, приложенного к диску q с массой т , ft - осевое перемещение диска р от единичного крутящего момента, приложенного к диску s с моментом инерции 6S; рп - угол поворота диска г относительно его оси от действия единичного крутящего момента, приложенного к диску s; 8 - угол поворота диска г относительно его оси от действия единичной осевой силы, приложенной к диску q.
С помощью принципа Даламбера и условий равновесия были получены уравнения рассматриваемой системы в виде Решение системы уравнений (1.1) дает частоты и формы свободных крутильно-осевых колебаний.
Для определения податливости колена вала (коэффициенты a, ft, 8, и р) в [106] приведены соответствующие формулы. Основой для их получения были реакции опор и жесткости колен. Реакции вычислялись по уравнению трех моментов применительно к пространственной раме, а жесткости определялись экспериментально на моделях валов.
Практические способы нахождения частот и форм свободных колебаний судовых валопроводов в большинстве основаны на рекуррентных методах. Свою популярность они получили, прежде всего, благодаря возможности выполнять расчеты «ручным» приемом. Широкая известность этих методов является причиной того, что они становятся инструментом исследования» связанных колебаний. В результате появились матричные формы метода динамических жесткостей и метода начальных параметров. Последний использовали Богомолов СИ. и Журавлева А.М. для расчета крутильно-изгибно-осевых колебаний коленчатого вала [15].
В качестве расчетной модели вала они рассматривали пространственную стержневую дискретную модель, состоящую из невесомых упругих участков и масс. Основой алгоритма метода начальных параметров были матрицы перехода через невесомый участок [А], матрицы перехода через сосредоточенную массу [77] и матрицы поворота системы координат [/?]. Из них формировалась матрица перехода через колено вала по следующему правилу [К] = [АППУ[рТи[АГХ[РГ2 1-1 ..ЛтХЛ[Щ\А]1 (1.2) где / = 1,2,3... - номера невесомых участков, j=l,2,... номера сосредоточенных масс.
Переходя последовательно от одного колена к другому, удалось получить матричное уравнение для всего коленчатого вала. Процедура формирования общей матрицы такая {х}п =[R]"-l[K]n[R]\..[R]k-][K]k[R]k ...[К]1[Щ1{х} (1.3) где {х}п и {х} - векторы параметров в крайних сечениях системы коленчатого вала.
Таким образом, если удовлетворить граничным условиям, то получится частотное уравнение связанных колебаний. Данное уравнение решается итерационным путем. После определения частоты рекуррентные соотношения (1.3) и (1.2) дают возможность найти вектор-столбец деформаций вала. Рассмотренный алгоритм хорошо реализуется на ЭВМ и позволяет учитывать особенности геометрии коленчатого вала и условия закрепления его на опорах.
Частотное уравнение связанных крутильно-осевых колебаний коленчатых валов двигателей 6ЧН36/45 и 8ДР30/50 получено Нестеровой С. В. методом динамических жесткостей [52]. Сопоставление расчетных и замеренных частот дало удовлетворительный результат. Аналогичные исследования выполнила Янушевская В.Ф. [85]. Однако, в отличии от предыдущего, здесь свободные колебания рассчитывались методом динамических податливостей.
Одной из модификаций рассмотренных методов является метод цепных дробей, детально разработанный Терских В.П. [74]. Несмотря на то, что метод ориентирован на расчет крутильных колебаний, его можно с успехом использовать в исследованиях связанных колебаний. Это доказал Румб В.К. [61]. Он, следуя формальным, но вполне справедливым действиям матричной алгебры, представил выражение для стойкости массы в виде [Я] = -а е2[Щ По этому правилу были записаны уравнение деформаций {х} = [е]1 {F} и уравнение моментов {F} ,+1 = [Я] { } . Манипулируя этими уравнениями последовательно для всех участков дискретной модели коленчатого вала, автор получил частотное уравнение связанных колебаний в виде [НУ + 1- = 0 (1.4) [еу-1 Р+ 1 [Я] _1 + 1 +—Г [Я]1 С помощью уравнения (1.4) были исследованы крутильно-осевые колебания коленчатого вала автомобильного двигателя. Отличным от указанных, является метод, предложенный в работе [48]. Автор метода разбивает коленчатый вал и примыкающие к нему детали на отдельные элементы, колебания которых описываются системой уравнений в частных производных. Последняя система записывается в виде уравнений Аих"+Аихи =0; 1,7 = 1,2... „и (1.5) где А" - дискретный дифференциальный оператор, воздействующий на і-ю массу и зависящий от расположения главных осей инерции и частоты вращения коленчатого вала; Ау - непрерывный дифференциальный оператор, воздействующий на (/,У)-е соединение; x,J = хг — Xі и Xй решения, представленные матрицей 6-го порядка.
Определение коэффициентов связи между крутильными и осевыми колебаниями элементов судового валопровода
Формулы для вычисления упругих параметров колена вала многоцилиндрового двигателя базируются на классических методах определения деформаций упругих систем (интеграл Мора и теорема Кастильяно). При использовании данных методов колено вала идеализируется пространственной рамой, стержни которой совпадают с геометрическими осями шеек и щек [16,52, 72,73]. В такой модели коренные подшипники представляются в виде жестких точечных опор, расположенных в средних сечениях шеек. Геометрические характеристики стержней назначаются из условия равенства их соответствующим элементам колена действительного вала, полагая, что последний состоит из несвязанных между собой шеек и щек постоянного сечения.
Наличие упругой связанности в коленчатом вале впервые доказано van Dort и Visser [107]. Они показали, что деформации коленчатого вала взаимосвязаны. Связь между деформациями установлена на основе простой стержневой системы, включающей в себя два колена, покоящихся на жестких точечных опорах.
Для более точного определения упругих свойств коленчатого вала может быть использован метод конечных элементов [58, 61, 104]. Из-за недостатков МКЭ, связанных с подготовкой большого количества исходных данных ручным способом и вариационного подхода к составлению конечно-элементных моделей, пришлось использовать в настоящей работе формулу (2.33) для определения крутильно-осевой жесткости.
Определение коэффициентов связи колебаний лопасти винта и гребного вала. Конструктивные особенности гребного винта допускают возможность взаимосвязанных крутильных, осевых и изгибных колебаний судового валопровода. Механизм такой связанности заключается в том, что колебания лопасти через ступицу винта связаны с колебаниями валопровода. Описать совместные колебания системы лопасть-ступица-валопровод можно наиболее эффективно с помощью теории связанных колебаний. Согласно этой теории, возбуждение связанных колебаний возможно за счет перераспределения энергии деформаций между различными обобщенными координатами. Степень перекачки энергии зависит от соотношения упругих и инерционных свойств вала и лопасти. Для оценки влияния изгибных колебаний лопастей винта на динамическое поведение валопровода рассмотрим простейшую расчетную схему, состоящую из невесомого вала с диском на конце и ответвления в виде дискретной массы М0, соединенной с диском стержнем, жесткость которого на изгиб относительно главных осей инерции Си и cv.
Предполагаем, что диск вместе с валом совершает крутильные и осевые колебания. Эти колебания свойственны реальным установкам с ДВС и для простого вала связь между ними мало вероятна. Что касается массы MQ (рисунок 2.4), то она совершает колебания не только в направлении U, перпендикулярном минимальной оси инерции, но и в направлении V, с ней совпадающем. Положение данной оси определяемо шаговым углом Р, входящим в число основных геометрических характеристик гребного винта.
Поскольку угол J3 - величина переменная даже при постоянном шаге, то в качестве расчетного значения обычно принимают конструктивный угол на относительном радиусе г = 0,7. Для гребных винтов транспортных судов шаговый угол составляет (19-25).
Рассмотренная схематизация приводит к решению задачи в области косого изгиба. Согласно его основным положениям можно геометрическим путем определить изгиб лопасти в любом направлении, например, вычислить тангенциальную Z0 и осевую Х0 деформации. Чтобы это сделать, необходимо предварительно установить положение нейтральной оси. Для гребных винтов уС - 25, /? - 25, а поэтому нейтральная ось приближается к V. Другими словами, от действия произвольно ориентированной поперечной силы лопасть будет изгибаться всегда относительно оси наименьшей жесткости. Как известно, полный прогиб, обусловленный данной силой, выражается формулой иу=л1и2+У2 . Введение величины Uv создает условия для искусственного уменьшения числа степеней свободы упомянутой схемы, так как вместо двух координат U и V есть смысл рассматривать одну Uv. Учитывая данное преимущество можно записать z0 = Uv Sin J3, X0 = Uv COS p. (2.34)
Из теории линейных колебаний следует, что при малых колебаниях консервативной системы около положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии выражаются через обобщенные координаты следующим образом T = daiJ-qrqJ , П =- ,у ?, ?, . (2.35) z us z us Здесь i=l, 2, ..., p ; j= 1, 2, ...,p; p - число степеней свободы, а„ =а„ -инерционные коэффициенты связи, Су = Cjt - упругие коэффициенты связи. Следовательно, для определения искомых коэффициентов связи достаточно составить выражения для кинетической и потенциальной энергий и привести их к виду (2.35). Выполним подобные операции на примере рассмотренной выше упругой системы, которая описывается пятью обобщенными координатами: Uv - прогиб стержня в месте расположения массы М0\ (рх\ фг - углы поворота и х,, х2 - деформации растяжения-сжатия концевых сечений вала. При данных условиях кинетическая энергия определяется выражением тЛ[{9х +в0)ф12+(М1 +М0)ххг +M0UV2] , (2.36) где вх и Мj - момент инерции и масса диска; 0Q - момент инерции массы М0 относительно оси вала; фх, хх, Uv - скорости обобщенных координат. Запись (2.36) имеет каноническую форму, т.е. не содержит слагаемых с произведением скоростей. Это означает, что при таком выборе обобщенных координат инерционные коэффициенты связи отсутствуют и, естественно, нет места перекачке кинетической энергии.
Расчет свободных колебаний методом Гаусса и построение матрицы форм собственных колебаний
Это позволяет находить все частоты свободных колебаний. Определитель (3.44) предварительно приводится к треугольному виду в результате прямого хода по методу Гаусса. После этого определитель (3.44) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е. det = аи- а 22 ... ass . (3.45) Анализ уравнения (3.45) на ноль определяет корни, т.е. частоты свободных колебаний. Одна из частот, например, первая, принимается равной нулю. Остальные частоты - монотонно возрастающие вещественные отличные друг от сох - со2 ... cos_v друга числа
В начале расчета свободных колебаний принимается пробное значение частоты. На основании решения частотного уравнения (3.44) производится подсчет коэффициентов безразмерных амплитуд. Показателем, характеризующим проход частного определителя через нулевое значение, является анализ этого определителя на знак. В случае, если знак определителя не изменяется при выбранной частоте, происходит наращивание последней с помощью постоянного шага Аа :
Когда определитель меняет свой знак, осуществляется переход к предыдущему значению частоты, а шаг вдвое уменьшается. Новое значение частоты получается путем сложения предыдущего значения частоты с новым значением шага. Далее процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность решения, и не найдены все S - частот. В результате итерационной процедуры анализа значений определителя на нулевые значения находится весь спектр частот системы. Итак, частота свободных колебаний уточняется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность (рисунок 3.1). После этого решается система вида ([С]-а 2[М]){А} = 0 (3.46) и определяются амплитуды колебаний всех масс.
Эта операция использует обратный ход метода Гаусса. Здесь следует отметить, что ввиду неоднородности последнего уравнения, одна из амплитуд остается неопределенной. Поэтому, вычисляются не сами амплитуды, а их отношения к амплитуде колебаний, обычно первой массы. Эти отношения называют безразмерными амплитудами.
Графическая интерпретация процесса нахождения спектра свободных частот. На основании полученных коэффициентов безразмерных амплитуд строят формы колебаний. Далее становится возможным формирование матрицы, число столбцов которой равно числу степеней свободы, а элементами являются безразмерные коэффициенты амплитуд. Один из столбцов будет иметь единичные значения, что отражает недеформированное состояние модели или равенство нулю одной из частот спектра. Таким образом, любой из столбцов - форма колебаний. При формировании "матрицы форм" собственных колебаний, я.. элементы этой матрицы стоят на пересечении строк, отражающих і -амплитуды колебаний, и столбцов, отражающих j -формы собственных колебаний. Для образования матрицы "форм собственных колебаний" необходимо находить весь спектр свободных частот, поэтому выполнение алгоритма рекомендуется осуществлять с помощью мощной вычислительной техники. Построение матрицы "форм собственных колебаний" является основой метода главных координат.
Итак, матрица форм собственных колебаний получается формальным объединением форм колебаний: В теоретическом плане расчет вынужденных колебаний выполняется значительно проще, чем определение частот и форм свободных колебаний. Объясняется это следующим. Задачи по расчету свободных колебаний являются итерационными. В конечном счете, они сводятся к определению корней алгебраического многочлена как пределов некоторых числовых последовательностей. При этом достижимая точность вычислений зависит как от размера системы, так и от того, что операции с матрицами могут привести либо к переполнению, либо к неправильным выводам из-за появления машинных нулей. Поэтому алгоритмы решения задачи обязательно предусматривают искусственные приемы, исключающие большие ошибки вычислений. С практической точки зрения, этот аспект поиска собственных значений является одним из самых сложных задач линейной алгебры.
По сравнению с предыдущим, расчет вынужденных колебаний может показаться на первый взгляд менее трудоемким. Действительно, процедура вычисления амплитудных значений не требует итераций. Процесс исключительно устойчивый. Вероятность появления ошибок диктуется только округлением чисел и для реальных систем судовых валопроводов мала. Однако простота расчета кажущаяся. Дело в том, что вынужденные колебания обусловлены переменным внешним воздействием и совершаются в условиях диссипации энергии. Представление этих факторов в аналитической форме - задача не простая, тем более что они сами по себе, во многом, определяют точность расчета.
Среди усилий, вызывающих колебания судового валопровода, выделим основные. К ним относятся: - усилия, связанные с работой ДВС, - гидродинамические усилия от гребного винта. Указанные усилия рассмотрим раздельно. Вынуждающие усилия, связанные с работой ДВС.
Силовой анализ кривошипно-шатунного механизма дает силы, которые обуславливают переменные деформации коленчатого вала. Прежде всего, это радиальная Z и тангенциальная Т составляющие. Под действием указанных сил вал скручивается и изгибается. Последняя деформация вызывает осевое перемещение валопровода. Следовательно, при работе дизеля коленчатый вал совершает сложное колебательное движение.
В расчетах колебаний судовых установок с поршневыми двигателями учитываются вынуждающие усилия от давления газов в цилиндрах, от сил инерции и сил тяжести поступательно движущихся и вращающихся масс. Результирующее действие упомянутых сил учтено в методике, изложенной в [30]. На основании этой работы приведем окончательные выражения: Т = Pd-v + GmR sina + GK sina (3.49) ) Здесь обозначено: Рд - движущая сила; О) - функция радиальной силы; V -безразмерная скорость поршня; GmR и qmR - вес и сила инерции части шатуна, отнесенной к кривошипной головке; GK - вес неуравновешенно вращающейся массы колена вала; (X -расчетное положение кривошипа.
Исследование связанных крутильно-осевых колебаний валопровода судна с горизонтальным способом грузообработки (типа «Ро-Ро») проекта 1607
Если для системы со многими степенями свободы в качестве обобщенных координат использовать главные формы колебаний, уравнения движения становятся несвязанными. В этих координатах каждое уравнение можно решать как уравнение, записанное для системы только с одной степенью свободы. Таким образом, процесс нахождения всех форм колебаний существенно упрощается.
Физический смысл главных координат заключается в их выборе [93]. Главные координаты выбираются таким образом, чтобы выражения кинетической и потенциальной энергий содержали лишь квадраты обобщенных скоростей и координат. Если обозначить главные координаты системы, имеющей In -степеней свободы, Т]х, t]2 ,..., TJ2n, то искомые зависимости примут вид К = -(Мхщ + М2щ +... + M2nff2„2), Я = (СіЛі2 + С2ц2 + ...+С2пт\2п2), где М,, МJ ,..., М2п и С\ , С2 ,..., С2п - коэффициенты масс, моментов инерции и жесткостей в главных координатах.
Как отмечалось ранее, системы дифференциальных уравнений удобно исследовать в матричном виде. Исходным уравнением, описывающим колебательное движение 2л-массовой системы является уравнение (3.41). В результате решения частотного уравнения (3.44) находят матрицу форм собственных колебаний [//], предназначенную для перехода от обобщенных к главным координатам и обратно {Л = М-07 и{ 7) = М-ЧЛ. 0.87) Аналогично приводится к главным координатам вынуждающее усилие {Q}=[M]T {Q} (3-88) где [//] - транспонированная матрица форм собственных колебаний. (Операция транспонирования предусматривает замену строк на столбцы).
Уравнение (3.88) показывает, что невозможно возбудить колебания только по одной главной координате, так как наличие даже одного возбуждающего усилия, приложенного к какой-либо из масс системы, достаточно для того, чтобы колебания наблюдались по всем главным координатам. Другими словами, главным координатам также свойственны связанные колебания. Связанность этих колебаний обусловлена возмущающими факторами. После подстановки соотношений (3.87) и (3.88) в (3.41), уравнение в главных координатах будет иметь вид [И] № + [В] {//} + [С] {rj} = {Q}. (3.89) Здесь элементы матриц [М], [В] и [С] получаются по правилам преобразования матриц [96]: [Щ=[м]т -[мым] [В] = [М]Т-[B].[A (3.90) [С] = [М]Т -[спм]
Последние соотношения показьтают, что переход от обобщенных к главным координатам осуществляется сравнительно просто. Для осуществления данной процедуры необходимо располагать предварительно полученной матрицей [//], и достаточно перемножить переводимую матрицу справа на матрица [/і] и слева на транспонированную матрицу [ju] .
Для получения канонической формы выражений кинетической и потенциальной энергий, а также функции диссипации, т.е. формы, при которой данные выражения содержат квадраты координат или скоростей, в последних матрицах достаточно удерживать лишь те элементы, которые располагаются на главной диагонали. Это обстоятельство позволяет заметно сократить потребный объем оперативной памяти ЭВМ.
В уравнении (3.89) правая часть представляет собой вынуждающую силу в главных координатах. Для осуществления ее перевода в форму главных координат необходимо воспользоваться соотношением (3.88).
Перемещения элементов системы получаем используя формулы (3.91) и (3.92) метода интерполяции кусочно-линейного типа, который хорошо зарекомендовал себя при расчетах парциальных крутильных колебаний.
Метод интерполяции кусочно-линейного типа позволяет находить перемещение и скорость системы в любой момент времени, т.к. используемые в нем соотношения обладают рекурентностью. На любой /-ый момент времени необходимо иметь только данные о скорости и перемещении системы fj0 и 7о в предыдущий момент времени.
Результатом решения уравнения (3.89) (с помощью формул (3.91) и (3.92) метода интерполяции кусочно-линейного типа) является получение амплитуд связанных крутильно-осевых колебаний всех масс модели или матрицы-столбца вида: Пі где 2п- число степеней свободы системы. Переход к обобщенным координатам реализуется по первой формуле соотношения (3.87):
Таким образом, метод главных координат позволяет: во-первых, заметно сократить трудоемкость производимых расчетов, и, во-вторых, при использовании интерполяционных методов аппроксимации вынуждающих усилий, снизить время и занимаемые ресурсы вычислительной техники.
