Содержание к диссертации
Введение
1. Особенности вероятностного расчета тоннелей метрополитена и методы определения горного давления 9
1.1. Неоднородность и изменчивость грунтовых массивов и их свойств при строительстве тоннелей метрополитена 9
1.1.1. Неоднородность и изменчивость грунтовых массивов 9
1.1.2. Изменчивость физико-механических характеристик грунтов при строительстве тоннелей метрополитена 11
1.1.3. Статистическая обработка результатов испытаний в инженерной геологии 20
1.2. Вероятностные методы расчета строительных конструкций 24
1.2.1. Общие положения вероятностного расчета 24
1.2.2. Принципы вероятностного расчета строительных конструкций на безопасность 31
1.2.3. Основные методы вероятностного расчета строительных конструкций 34
1.3. Случайные факторы и особенности вероятностного расчета тоннелей метрополитена 40
1.4. Обзор теорий горного давления 48
1.5. Выводы по главе 1 57
2. Методика вероятностного расчета давления грунтов на тоннельную обделку метрополитена 59
2.1. Вероятностная постановка задач определения горного давления 59
2.2. Основные формулы вероятностного расчета горного давления 63
2.3. Общая схема вероятностного расчета горного давления 66
2.4. Детерминистические модели определения горного давления по нормативным документам 69
2.5. Определение числовых характеристик и закона распределения случайных параметров на основе экспериментальных данных 72
2.5.1. Определение числовых характеристик случайных параметров по опытным данным 73
2.5.2. Аппроксимация опытных данных эмпирическими распределениями 75
2.5.3. Практическая процедура вычисления числовых характеристик и выбора закона распределения физико-механических свойств грунтов 85
2.6. Решение вероятностных задач определения давления грунтов на обделки тоннелей метрополитена 90
2.6.1. Определение давления грунтов как функции одного случайного параметра 90
2.6.2. Определение давления грунтов методом линеаризации функций многих случайных аргументов 100
2.6.3. Анализ и обоснование методов вероятностного расчета горного давления 111
2.7. Выводы по главе 2 116
3. Методика расчета давления грунтов на тоннельную обделку метрополитена методом статистического моделирования (методом Монте-Карло) 118
3.1. Общие положения метода Монте-Карло 118
3.2. Общая схема применения метода статистического моделирования в расчете давления грунтов на тоннельную обделку метрополитена 119
3.3. Статистическое моделирование случайных характеристик грунтов как случайных величин с заданными законами распределения 125
3.4. Моделирование случайных характеристик грунтов как многомерного случайного вектора 137
3.5. Требуемое количество испытаний и точность расчета при моделировании методом Монте-Карло 141
3.6. Реализации методом Монте-Карло вероятностного расчета горного давления на тоннельную обделку метрополитена 148
3.6.1. Алгоритм и программа вероятностного расчета давления при нормальных законах распределения случайных параметров 148
3.6.2. Алгоритм и программа вероятностного расчета давления при любых законах распределения случайных параметров 152
3.6.3. Оценка достоверности результатов реализации 154
3.7. Выводы по главе 3 159
4. Применение разработанной методики в оценке влияния из менчивости свойств грунтов на горное давление 161
4.1. Исследование влияния изменчивости свойств несвязных песчаных грунтов на величину горного давления в случае сводообразования 161
4.2. Исследование влияния изменчивости свойств связных глинистых грунтов на величину горного давления в случае сводообразования 169
4.3. Исследование влияния изменчивости свойств грунтов на величину горного давления в случае невозможности сводообразования 186
4.4. Выводы по главе 4 188
Общие выводы и заключение 190
Список литературы 193
Приложение 202
- Изменчивость физико-механических характеристик грунтов при строительстве тоннелей метрополитена
- Детерминистические модели определения горного давления по нормативным документам
- Общая схема применения метода статистического моделирования в расчете давления грунтов на тоннельную обделку метрополитена
- Моделирование случайных характеристик грунтов как многомерного случайного вектора
Введение к работе
В настоящее время во многих крупных городах РФ и других стран мира ведется интенсивное строительство метрополитенов. В СРВ обоснована необходимость метрополитена в комплексных транспортных схемах г. Ханоя и г. Хо Ши Мина. В этой связи большое значение приобретают вопросы рационального их проектирования и поиск резервов несущей способности с целью обеспечения надежности и снижения стоимости сооружений. Одним из путей решения этих задач является более широкое применение вероятностного метода в расчетах тоннельных сооружений.
В отличие от других инженерных сооружений тоннели метрополитена целиком расположены в грунтах. Их конструкции, способы возведения и стоимость главным образом определяются инженерно-геологическими условиями, в которых предусмотрена проходка тоннеля. Стохастический характер структуры грунтовых массивов и пространственной изменчивости свойств слагающих их пород, а также неопределенность и изменчивость других факторов, влияющих на механическое состояние тоннелей, предопределяют интерес к использованию вероятностного подхода в расчетах подземных сооружений.
Совершенствование методики расчета тоннелей на основе вероятностного подхода поставило вопрос о необходимости глубокого изучения нагрузок, действующих на сооружения. Важную роль при этом играет задача непосредственного учета влияния случайных факторов, в том числе и физико-механических свойств грунтов на величину горного давления. Именно эта внешняя нагрузка является главной и определяющей для тоннелей метрополитена при расчете сооружения на несущую способность.
В обычном детерминистическом способе проектирования тоннелей учет изменчивости случайных факторов осуществляется через обобщенный коэффициент перегрузки или коэффициент надежности. Этот коэффициент представляет собой постоянное число для данного вида нагрузки, поэтому не является удовлетворительным с точки зрения полновесного учета степени разброса физико-механических свойств грунтов и других влияющих факторов при конкретных условиях проектирования.
Как показал современный опыт эксплуатации крупных сооружений общественного назначения, слабым местом их проектирования является нормативное игнорирование факта широкого спектра и возможного изменения действующих внешних нагрузок. И это привело в ряде случаев к катастрофическим последствиям с разрушением несущих конструкций сооружений. Уточненное прогнозирование внешних нагрузок, в том числе горного давления на тоннельную обделку метрополитена с учетом влияния случайных факторов на основе положений теории вероятностей и статистического метода позволит обоснованно назначать коэффициенты надежности по горному давлению, что обеспечит одновременно и надежность и экономичность проектируемых тоннельных сооружений.
Цель исследования состоит в разработке вероятностной методики, учитывающей влияние изменчивости свойств грунтов и других факторов на горное давление, оказываемое на тоннельную обделку метрополитена, а также в разработке алгоритма и программного продукта для прогнозирования горного давления статистическим методом.
В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие основные задачи:
- исследовать случайную природу и изменчивость свойств нескальных грунтов с целью оценки их влияния на величину горного давления;
- изучить вероятностные методы расчета строительных конструкций применительно к задаче учета изменчивости свойств грунтов и других факторов при вероятностном расчете тоннельных конструкций метрополитена. Выявить при этом главные особенности и проблемы расчета сооружений;
- провести обзор и анализ теорий горного давления для обоснованного их применения в вероятностных расчетах;
- сформулировать вероятностную постановку задач определения давления нескальных грунтов на тоннельную обделку;
- разработать вероятностную методику расчета давления грунтов на тоннельную обделку;
- изучить методы статистической обработки опытных данных с выяснением практической процедуры вычисления числовых характеристик и выбора их закона распределения физико-механических свойств грунтов;
- проанализировать и обосновывать возможные методы, применяемые при решении задачи вероятностного расчета горного давления как функции случайных переменных;
- разработать численный метод и алгоритм, позволяющий определить функцию распределения вероятности случайного горного давления и их расчетное значение, соответствующее заданной доверительной вероятности;
- разработать пакет компьютерных программ на основе данного алгоритма;
- изучить влияния изменчивости отдельных параметров свойств нескальных грунтов на величину расчетного горного давления;
- исследовать методом статистического моделирования совместное влияние изменчивости свойств различных видов нескальных грунтов на величину расчетного горного давления;
Научная новизна работы заключается в следующем:
- разработана вероятностная методика расчета давления грунтов на тоннельную обделку метрополитена, позволяющая получить результаты более близкие к реальным значениям путем замены единого коэффициента надежности на дифференцированные коэффициенты, основанные на нормах доверительной вероятности;
- разработаны алгоритм и пакет программ расчета давления грунтов на тоннельную обделку методом статистического моделирования (методом Монте-Карло), позволяющим одновременно учесть влияние изменчивости различных случайных физико-механических свойств грунтов и других параметров на расчетное горное давление;
- предложена приближенная формула определения коэффициента крепости, позволяющая учитывать одновременно влияние изменчивости различных
-8 случайных параметров свойств связных грунтов (удельного веса, коэффициента пористости, угла внутреннего трения и удельного сцепления);
- на основе статистического моделирования с применением разработанных автором программ «RANDOM-1» и «RANDOM-2» получены ранее неизвестные плотности распределения случайных величин горного давления;
- получены графические зависимости коэффициентов надежности горного давления от изменчивости физико-механических свойств различных видов нескальных грунтов.
Практическая ценность работы заключается в уточнении методов расчета давления грунтов на тоннельную обделку при наличии статистических опытных данных о случайных физико-механических характеристиках грунтов и других факторах. Разработанная в диссертации вероятностная методика и программа расчета позволяет на основе опытных данных инженерно-геологических исследований ускорено получить более достоверные значения нормативного и расчетного давления грунтов для дальнейшего использования в статических расчетах подземных сооружений. С помощью данной методики представляется возможным обоснованно назначать коэффициенты надежности горного давления, что обеспечивает повышение надежности несущей способности тоннельных конструкций при снижении стоимости проектирования и строительства.
Достоверность научных гипотез и полученных результатов определяются корректностью постановки задач, обоснованностью всех этапов расчета и использованием апробированных детерминистических моделей расчета горного давления, которые включены в действующие нормативные документы. Методы исследования, приведенные в диссертационной работе, базируются на основе общепринятых положений теории вероятностей и математической статистики. Анализ и сравнение расчетных значений давления получаемых вероятностным методом по разработанной программе с результатом обычного детерминистического расчета подтверждают достоверность методики и алгоритма расчета.
Изменчивость физико-механических характеристик грунтов при строительстве тоннелей метрополитена
Проектирование и строительство тоннелей метрополитена невозможно без инженерно-геологических данных о физико-механических характеристиках окружающих грунтов. Эти характеристики в силу их природного происхождения обладают значительной большей, чем искусственные материалы, неопределенностью и изменчивостью. Изменчивость свойств грунтов характеризуется разбросом их значений относительно некоторого среднего значения и, следовательно, является случайной величиной, описываемой в общем случае на знании совокупности этих значений. Большой вклад в этой области науки сделан М.М. Протодьяконовым, М.Н. Гольдштейном, М.В. Рацом и др.
Каган А.А. [42] все показатели свойств грунтов подразделил на две группы: расчетные и вспомогательные показатели. Под расчетными понимаются показатели, непосредственно используемые в расчетах прочности, деформируемости сооружений, а под вспомогательными - характеристики свойств грунтов, которые позволяют подойти к выбору расчетных показателей по различным зависимостям, таблицам и т.п.
К основным расчетным показателям свойств грунтов, при проектировании тоннеля метрополитена, относятся: объемный вес у, коэффициент пористости є, угол внутреннего трения ф, удельное сцепление с, предел прочности на одноосное сжатие Re, коэффициент крепости f. К основным вспомогательным показателям принадлежат характеристики: вещественного состава (минеральный и химический состав; структурно-текстурные признаки; гранулометрический состав), показатели пластичности, удельный вес частиц грунта; удельный вес сухого грунта, пористость, влажность, показатель консистенции и др.
Вспомогательные показатели играют важную роль при классификации, оценке свойств и поведения грунтов, а также при выборе расчетных показателей с использованием корреляционных зависимостей, графиков и таблиц. Кроме того, показатели этой группы применяются при уточнении границ инженерно-геологических слоев, на которые делят толщу грунтов. Следует иметь в виду, что между вспомогательными и расчетными показателями имеет тесная связь. Например, удельный вес грунта определяется удельным весом слагающих грунт частиц, пористостью и влажностью. Обычно расчетные показатели характеризуют грунт при строго фиксированных условиях, в частности при данном составе, плотности, влажности и др. Поэтому при проектировании тон нелей внимание должны уделять не только на расчетные, но и вспомогательные показатели. Анализ показателей вспомогательной группы, их характер изменения в пространстве часто позволяют лучше понять особенности образования грунта, его специфику, и тем самым более обоснованно подойти к выбору расчетных показателей.
Неоднородность грунта оценивается с помощью коэффициента вариации характеристик грунта: где а - среднеквадратическое отклонение; а - среднеарифметическое значение характеристики грунтов.
Согласно ГОСТ 20522-96, если коэффициент вариации не превышает для физических характеристик 0,15, а для механических - 0,30, то дальнейшее расчленение слоя на два или более новых инженерно-геологических элементов не проводят. Показатели физико-механических свойств грунтов по степени изменчивости подразделены на следующие группы [42], табл. 1.2.
Методы определения физико-механических характеристик при инженерно-геологическом изыскании совсем разные, даже один и тот же параметр свойств грунтов может определяться различными методами и приборами в лаборатории или натуре. Все это в большой степени влияет на количество и характер полученных экспериментальных данных, а также метод их обработка для дальнейшего использования в процессе проектирования.
Методы лабораторного определения физических характеристик грунтов: влажность w, границы текучести WL, границы раскатывания wp, плотность грунта р, плотность сухого грунта pd, плотность частиц грунта ps описаны в ГОСТ 5180-84 [34]. Коэффициент пористости грунта є определяется по полученным результатам известным в курсе механики грунтов выражением [57, 92]
Плотность частиц ps, определяющихся как отношение массы твердых частиц грунта к их объему, зависит только от минерального состава грунта. Для скальных грунтов она обычно изменяется в пределах от 2,4 до 3,3 г/смЗ, для нескальных грунтов - 2,4...2,8 г/смЗ. Наиболее часто встречающиеся значения ps составляют (г/смЗ): для песков - 2,65...2,67, для супесей - 2,68...2,72, для суглинков - 2,69...2,73, для глин - 2,71...2,76 [92].
Объемная масса грунтов зависит от влажности w и колеблется в пределах от 1,3 до 2,2 г/см для нескальных и от 1,8 до 3,0 г/см для скальных грунтов. Объемная масса влажных глинистых грунтов обычно находится в пределах 1,95-2,10 г/см . Объемная масса сухого песка равна 1,58 - 1,65 г/см . Влажность большинство рыхлых грунтов меняется в пределах 0,01...0,4. Для глинистых грунтов в их естественном состоянии она обычно варьируется в пределах от 0,25 до 0,4 и выше.
В плотном состоянии глина имеет коэффициент пористости є 0,5. Для глины мягкопластичной и текучей консистенции это значение равно 1. Согласно ГОСТ 25100-95, значения коэффициента пористости є песков различного состояния приведены в таблице 1.3.
Детерминистические модели определения горного давления по нормативным документам
При использовании вероятностного метода расчета давление грунтов на тоннельную обделку метрополитена следует рассматривать как случайную величину в виде функции исходных влияющих случайных параметров. Хотя общепризнано [42,57,92,102] и официально апробировано в действующих строительных нормах [32,77], что грунты характеризуются случайной природой, это обстоятельство не находит прямого отражения в существующих расчетах горного давления [75,78]. В этой связи нами поставлена цель разработки методики статистического моделирования для такого рода расчетов с учетом статистических свойств грунтов. В зависимости от конкретных условий формула для определения давления на обделку может быть различной [75]. Рассмотрим общий
случай, когда давление грунтов зависит от конечного числа m случайных параметров. Пусть заданная детерминистическая зависимость имеет вид:
Здесь q - давление грунтов на тоннельную обделку; xi,X2, ... ,xm - случайные величины с плотностью распределения соответственно f(xi), f(x2),..., f(xm).
Наша задача состоит в определении плотности и функции распределения величины q. В математическом виде плотность распределения функций случайных аргументов определяется формулой [13,14, 97]: где h - обратное преобразование для случайного переменного xi, которое является взаимно однозначной функцией относительно q и случайных переменных f(xi,X2,... ,хт) - совместная плотность распределения случайных аргументов.
Вычислить аналитически многократный интеграл (3.2) при сложной функции f и большом числе параметров ш невозможно. Не менее трудна и задача определения совместной плотности распределения f(xi,X2, ... ,xm). Применение метода статистического моделирования (метода Монте-Карло), как показано ниже, позволяет обойти эти трудности.
С целью отыскания плотности распределения f(q) с применением метода Монте-Карло [18,81,95] необходимо знать законы распределения, вероятностные характеристики всех случайных параметров и знать, естественно, функцию g, т.е. уметь вычислять значение давления грунтов q по любым фиксированным значениям xi,X2, ... ,xm. Только тогда случайность параметров можно учесть путем моделирования.
Согласно центральной предельной теореме Ляпунова А.М распределение среднего независимых случайных величин с конечным математическим ожиданием и дисперсией приближается к нормальному при увеличении числа наблю дений. Следовательно, часто закон распределения случайных параметров, получаемых в результате экспериментов, оказывается нормальным. Этот вывод часто применяют и к характеристикам грунтов. Здесь необходимо отметить, что данный подход вполне обоснован при отсутствии эмпирических данных о плотностях распределений свойств грунтов. Если же имеются конкретные лабораторные данные о плотности распределения характеристик грунта, в том числе отличающиеся от нормального закона, то для метода Монте-Карло это не имеет значения. Таким образом, метод статистических испытаний является универсальным приближенным расчетным инструментом, и ниже приведенные уравнения остаются в силе для распределений любых форм и законов.
Вероятностные характеристики исходных случайных параметров определяются в результате статистической обработки опытных данных. Если параметры xi,X2, ... ,xm - независимые нормальные случайные величины для выборки объемом п, то этими характеристиками являются средние арифметические значения aj, средние квадратические отклонения о, или дисперсии Dj. В случае, если xi,X2,... ,xm - зависимые величины, то тогда дополнительно надо знать корреляционные моменты Кц или коэффициент корреляции Гц. Когда параметры ХІ И XJ независимы, то Кц=0.
Если какие-либо исходные случайные параметры имеют закон распределения, отличающий от нормального распределения, то обычно требуют определять и другие характеристики, например, третий Ц3І И четвертый \цх центральные моменты, которые используются при изучении их закона и параметров распределений. Формулы определения вероятностных характеристик и методика выбора и проверки адекватности закона распределения случайной величины физико-механических характеристик грунтов по опытным данным рассмотрены в главе 2 п.2.5. Здесь считаем, что уже известны плотности распределения f(xj), f(x2),..., f(xm) всех случайных параметров.
Общая схема применения метода статистического моделирования в расчете давления грунтов на тоннельную обделку метрополитена
В этой связи нами поставлена цель разработки методики статистического моделирования для такого рода расчетов с учетом статистических свойств грунтов. В зависимости от конкретных условий формула для определения давления на обделку может быть различной [75]. Рассмотрим общий случай, когда давление грунтов зависит от конечного числа m случайных параметров. Пусть заданная детерминистическая зависимость имеет вид: Здесь q - давление грунтов на тоннельную обделку; xi,X2, ... ,xm - случайные величины с плотностью распределения соответственно f(xi), f(x2),..., f(xm). Наша задача состоит в определении плотности и функции распределения величины q. В математическом виде плотность распределения функций случайных аргументов определяется формулой [13,14, 97]: где h - обратное преобразование для случайного переменного xi, которое является взаимно однозначной функцией относительно q и случайных переменных f(xi,X2,... ,хт) - совместная плотность распределения случайных аргументов. Вычислить аналитически многократный интеграл (3.2) при сложной функции f и большом числе параметров ш невозможно. Не менее трудна и задача определения совместной плотности распределения f(xi,X2, ... ,xm). Применение метода статистического моделирования (метода Монте-Карло), как показано ниже, позволяет обойти эти трудности. С целью отыскания плотности распределения f(q) с применением метода Монте-Карло [18,81,95] необходимо знать законы распределения, вероятностные характеристики всех случайных параметров и знать, естественно, функцию g, т.е. уметь вычислять значение давления грунтов q по любым фиксированным значениям xi,X2, ... ,xm. Только тогда случайность параметров можно учесть путем моделирования. Согласно центральной предельной теореме Ляпунова А.М распределение среднего независимых случайных величин с конечным математическим ожиданием и дисперсией приближается к нормальному при увеличении числа наблю дений. Следовательно, часто закон распределения случайных параметров, получаемых в результате экспериментов, оказывается нормальным. Этот вывод часто применяют и к характеристикам грунтов. Здесь необходимо отметить, что данный подход вполне обоснован при отсутствии эмпирических данных о плотностях распределений свойств грунтов.
Если же имеются конкретные лабораторные данные о плотности распределения характеристик грунта, в том числе отличающиеся от нормального закона, то для метода Монте-Карло это не имеет значения. Таким образом, метод статистических испытаний является универсальным приближенным расчетным инструментом, и ниже приведенные уравнения остаются в силе для распределений любых форм и законов. Вероятностные характеристики исходных случайных параметров определяются в результате статистической обработки опытных данных. Если параметры xi,X2, ... ,xm - независимые нормальные случайные величины для выборки объемом п, то этими характеристиками являются средние арифметические значения aj, средние квадратические отклонения о, или дисперсии Dj. В случае, если xi,X2,... ,xm - зависимые величины, то тогда дополнительно надо знать корреляционные моменты Кц или коэффициент корреляции Гц. Когда параметры ХІ И XJ независимы, то Кц=0. Если какие-либо исходные случайные параметры имеют закон распределения, отличающий от нормального распределения, то обычно требуют определять и другие характеристики, например, третий Ц3І И четвертый \цх центральные моменты, которые используются при изучении их закона и параметров распределений. Формулы определения вероятностных характеристик и методика выбора и проверки адекватности закона распределения случайной величины физико-механических характеристик грунтов по опытным данным рассмотрены в главе 2 п.2.5. Здесь считаем, что уже известны плотности распределения f(xj), f(x2),..., f(xm) всех случайных параметров. Схема расчета метода Монте-Карло оказывается математически простой: для каждого случайного параметра х; разыгрывается одно значение. Затем по формуле (3.1) вычисляют значения давления грунтов q. Повторив этот опыт N раз и получив значения qi, q2, ..., qN, можем приближенно получить математическое ожидание Mq (нормативное давление грунта) и дисперсию Dq случайной величины q по формулам: Чем больше число испытаний N, тем точнее будет результат расчета. Обычно предварительно задается N, после моделирования проверяется N по заданной точности. Общая блок-схема метода статистического моделирования, предложенная нами применительно к расчету давления грунтов на тоннельную обделку, показана на рис.3 Л. Пусть мы получили большое число N значений qi, q2, ..., qN случайной величины q. По этим значениям можно построить приближенную плотность распределения q. Вопрос этот относится, по существу, к статистике, так как речь идет об обработке результатов экспериментов (в данном случае они проведены на компьютере). Разобьем интервал [qmin, qmax] на к равных интервалов. После определения частоты попаданий q; на каждом интервале можем построить гистограмму, которая служит приближением к неизвестной плотности случайной величины давления грунта q. Так как моделирование обычно производится с большим числом испытания N, то полученная гистограмма может мало отличаться от искомой плотности. Вычислив площадь гистограммы, можно приближено получить функцию распределения (кумулятивную кривую) и значение расчетного давления грунта в соответствии с доверительной вероятностью, как показано в примере (рис.3.2).
Моделирование случайных характеристик грунтов как многомерного случайного вектора
При определении расчетного давления грунта вероятностным методом с использованием метода Монте-Карло моделирование физических и механических характеристик грунтов как независимых случайных величин с известным законом распределения можно осуществлять только, когда нет информации об их коррелированности. В остальном случае необходимо их моделировать как многомерный случайный вектор.
Статистическое моделирование случайного вектора рассмотрено в работах [17, 18, 40, 100]. Процедура формирования реализации случайного вектора является не сложной, когда многомерная случайная величина задается в рамках корреляционной теории (при помощи корреляционной матрицы). Пусть требуется сформировать реализации m-мерного случайного вектора %, имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями аі, аг, ..., am и корреляционной матрицей
Хорошо известно, что вектор 4 с таким распределением можно получить специальным линейным преобразованием вектора R = (Ri, R2, ..., Rm), компоненты которого суть нормально распределенные некоррелированные случайные величины с математическим ожиданием равным а и дисперсией а2. Реализации xj составляющих случайного вектора удобно определить в виде
При моделировании случайного вектора с помощью случайных чисел, имеющих нормальное нормированное распределение с математическим ожиданием а = 0 и среднее квадратическое отклонение о = 1 (как в примере), коэффициенты матрицы преобразования Су определяются следующими уравнениями: г — \v г — п Mi — V и /1 — г і = 2, После определения Сц вычисление элементов матрицы (3.15) осуществляется по строкам: сначала по формуле (3.16) вычисляется первый элемент Сц і-й строки, далее по формуле (3.17) находятся последующие элементы С , ..., Q(i_i). Диагональный элемент вычисляется по уравнению (3.18). После вычисления диагонального элемента осуществляется переход на следующую (і + 1)-ю строку.
При определении расчетного грунтового давления на тоннельную обделку, случайные компоненты многомерного вектора характеристик грунтов могут быть разными в зависимости от принятых теорий или метода расчета давления. Когда давление определяется по схеме сводообразования для нескальных грунтов, эти случайные величины могут представлять собой следующие характеристики: объемный вес у, угол внутреннего трения ф, удельное сцепление с, коэффициент крепости f, коэффициент пористости е. В этом случае, случайный вектор характеристик грунтов имеет вид: = у ф с f е . В процессе моделирования для удобства обозначим их как
В случаях, если нескальные грунты вокруг тоннеля не имеют способности к сводообразованию, а вертикальное давление определяется весом всей вышележащей толщи, то случайный вектор может иметь другой вид: 5= II Уі фі сі hi ЄІ II, где уі = уі у2 ... уп - объемный вес і-ого слоя грунта; аналогично фі cj hi є; - угол внутреннего трения, удельное сцепление, мощность и коэффициент пористости і-ого слоя грунта.
Все случайные параметры (у, ф, с, f, е), как многие другие величины природного происхождения, имеют нормальное распределение. Моделируя эти ве личины как случайный вектор, можно учитывать их коррелированность. Поэтому исходные данные при моделировании случайного вектора должны включать не только средние значения характеристик грунтов, их средние квадрати-ческие отклонения, но и корреляционные моменты. Эти данные следует получать в процессе инженерно-геологических изысканий и статистической обработки их результатов. Если имеется доказательство о независимости каких-либо двух характеристик грунтов, то можно приравнять их корреляционные моменты нулю.
Итак, процесс моделирования случайного вектора характеристик грунта при определении расчетного давления на тоннельную обделку сводится к следующей процедуре: выбираем количество m случайных параметров грунтов, учитывающихся при решении задачи. Эти величины составляют случайный вектор , который необходимо моделировать; определяем средние арифметические значения ai случайных величин, их дисперсии КІІ и корреляционные моменты Ку между ними; вычисляем коэффициенты Qj матрицы преобразования (3.15) по рекуррентным формулам (3.16) (3.17) (3.18);формируем реализации случайными числами случайных нормально независимых величин Ri, R2,..., Rm с математическим ожиданием а = 0 и средним квадратическим отклонением а = 1; реализации Xj составляющих Ъ,\ случайного вектора осуществляем с помощью случайных независимых величин Ri, R2,...,Rm по системе уравнений (3.13).
