Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. STRONG Обзор методов решения задач взаимодействия железнодорожного колеса и рельса. конструктивные особенности железнодорожного пути, влияющие на его взаимодействие с
подвижным составом STRONG .8
1.1 Основные конструктивные элементы верхнего строения железнодорожного пути 8
1.2. Конструкция стыка и особенности взаимодействия колеса и рельса в зоне стыка 11
1.3. Работы, посвященные исследованию задач контакта колеса и рельса .15
1.4. Работы, посвященные анализу влияния конструктивных и механических особенностей железнодорожного пути на взаимодействие экипажа и пути 16
1.5. Экспериментальные исследования процесса прохождения колеса через стык 19
1.6. Выводы к главе 1 .23
1.7. Постановка задачи 23
1.8. Допущения 24
ГЛАВА 2. Идентификация параметров гашения колебаний в системе «колесо-железнодорожный путь» 25
2.1. Лабораторная установка для исследования процесса колебаний, вызванных динамическим воздействием в системе «колесо-путь» .26
2.2. Компьютерная модель лабораторной установки .29
2.3. Идентификация параметров гашения колебаний в системе «колесо-железнодорожный путь» 33
2.4. Определение жесткости комплекта резиновых прокладок между рельсом и шпалой 36
2.5. Выводы к главе 2 .38
ГЛАВА 3. Исследование процесса перекатывания колеса через стык 39
3.1. Компьютерное моделирование процесса перекатывания колеса через стык 39
3.2. Компьютерное моделирование движения вагона в зоне стыка с просадкой балласта .42
3.3. Результаты моделирования движения полувагона на участке, прилегающем к рельсовому стыку 50
3.4. Выводы к главе 3 .57
ГЛАВА 4. Контактные напряжения, возникающие в колесе при перекатывании через рельсовый стык .59
4.1 Напряженное состояние колеса и рельса в случае контакта на достаточном удалении от рельсового стыка 60
4.2. Контакт при расположении колеса на кромке рельса .64
4.3. Выводы к главе 4 .67
ГЛАВА 5 Оценка влияния рельсовых стыков на накопление контактно-усталостных повреждений в колесах подвижного состава .69
5.1. Статистические данные о величинах зазоров в рельсовых стыках 69
5.2. Оценка силы ударного взаимодействия колеса и стыковой неровности .81
5.3. Оценка долговечности колеса из условий движения вагона по рельсовому пути без учта влияния стыка .90
5.4. Влияние рельсовых стыков на интенсивность накопления контактно-усталостных повреждений в колсах .94
5.5. Выводы к главе 5 98
Основные результаты и выводы 100
Список литературы 102
- Работы, посвященные анализу влияния конструктивных и механических особенностей железнодорожного пути на взаимодействие экипажа и пути
- Идентификация параметров гашения колебаний в системе «колесо-железнодорожный путь»
- Напряженное состояние колеса и рельса в случае контакта на достаточном удалении от рельсового стыка
- Оценка силы ударного взаимодействия колеса и стыковой неровности
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Планируемый рост провозной и пропускной способности железных дорог в соответствии со Стратегией развития железнодорожного транспорта в Российской Федерации до 2030 г., утвержденной распоряжением Правительства в 2008 году, предъявляет повышенные требования к обеспечению надежной работы узлов экипажной части, в особенности к элементам колесной пары. В прогнозировании долговечности колес задача накопления контактно-усталостных повреждений играет важную роль.
Климатические условия России, обусловленные уникальностью ее географического положения, и связанные с этим большие перепады эксплуатационных температур требуют наличия стыков в рельсовом пути. При прохождении колеса через рельсовый стык колесо испытывает значительные динамические нагрузки, наблюдается удар, сопровождаемый колебательными процессами.
Переход на бесстыковой путь уменьшает количество стыков, но полностью ликвидировать стыки практически невозможно. На российских железных дорогах доля стыкового пути составляет около 60% от всей протяженности, поэтому определение ресурса колеса с учетом современного состояния науки требует учета влияния стыкового соединения. Процесс качения колеса по гладкому рельсу исследовался многократно, в тоже время процесс перехода колеса через рельсовый стык исследовался значительно меньше. Данная работа посвящена исследованиям, связанным с выяснением особенностей работы колеса при движении вагона в зоне рельсового стыка.
Целью работы является разработка методики оценки влияния ударных сил, возникающих при наезде колес железнодорожного подвижного состава на рельсовые стыки, на долговечность колес.
Для достижения поставленной цели при выполнении диссертационной работы решены следующие задачи.
-
Собраны статистические данные о величинах зазоров в рельсовых стыках, определн закон их распределения.
-
Предложена методика определения упруго-диссипативных характеристик балластного слоя с использованием разработанной лабораторной установки.
-
Разработана динамическая модель для компьютерного моделирования процесса движения вагона по участку пути, содержащему рельсовый стык, с учетом просадки балласта, идентифицированы параметры модели рельсового стыка.
-
Уточнено решение задачи определения силы ударного взаимодействия, возникающей при наезде колеса на рельсовый стык.
-
Исследованы динамические усилия, возникающие при движении колеса вагона в области рельсового стыка, в том числе на участках пути с просадкой балласта.
-
Исследованы распределения контактных напряжений для случаев контактирования колеса с кромкой рельса, а также на достаточном удалении от рельсового стыка, получена зависимость максимальных давлений от нормальной силы в контакте.
7. Разработана методика оценки контактно-усталостной долговечности
колеса с использованием кривой контактной усталости колсной стали.
8. Оценена долговечность колеса при движении вагона по рельсовому пу
ти без учта влияния стыка и е снижение, обусловленное влиянием рельсового
стыка на накопление контактно-усталостных повреждений.
Научная новизна выполненных исследований состоит в следующем:
-
Установлен закон распределения величины зазоров в рельсовых стыках железнодорожного пути.
-
Разработана динамическая модель для компьютерного моделирования процесса движения вагона по участку пути, содержащему рельсовый стык, с учетом просадки балласта.
-
Предложена методика определения упруго-диссипативных характеристик балластного слоя с использованием лабораторной установки.
-
Уточнено решение задачи определения силы ударного взаимодействия, возникающей при наезде колеса на рельсовый стык.
5. Разработана методика оценки контактно-усталостной долговечности
колеса с использованием экспериментальной кривой контактной усталости ко-
лсной стали и линейной гипотезы суммирования повреждений.
На защиту выносятся:
1. Закон распределения величины зазоров в рельсовых стыках и его пара
метры.
-
Динамическая модель для компьютерного моделирования процесса движения вагона по участку пути, содержащему рельсовый стык, с учетом просадки балласта, в том числе модель рельсового стыка и е параметры.
-
Уточненное решение задачи определения силы ударного взаимодействия, возникающей при наезде колеса на рельсовый стык.
4. Методика оценки контактно-усталостной долговечности колес с учетом
ударных сил, возникающих при движении в зонах рельсовых стыков.
5. Результаты оценки контактно-усталостной долговечности колес полувагона с учетом ударных сил, возникающих при движении в зонах рельсовых стыков.
Практическая значимость и реализация результатов работы.
-
Разработанная динамическая модель для компьютерного моделирования процесса движения вагона по участку пути, содержащему рельсовый стык, с учетом просадки балласта может быть использована для исследования динамических сил, возникающих при движении по такому участку других типов подвижного состава.
-
Установленный закон распределения величины зазоров в рельсовых стыках может быть использован в исследованиях, посвященных моделированию динамики движения подвижного состава, процессов изнашивания и накопления контактно-усталостных повреждений в колесах с учетом рельсовых стыков.
-
Разработанная методика для оценки контактно-усталостной долговечности колес грузового вагона с учетом влияния рельсовых стыков может быть применена для других типов подвижного состава.
Методология и методы исследования. Для установления закона распределения величины зазоров в рельсовых стыках применены методы теории вероятностей и математической статистики. При разработке динамической модели для компьютерного моделирования процесса движения вагона по участку пути, содержащему рельсовый стык, с учетом просадки балласта применены методы вычислительной механики и теории колебаний. Ударная сила, возникающая при наезде колеса на рельсовый стык, напряжения в колесе определены с использованием методов механики, теории упругости, конечных элементов.
При разработке методики оценки контактно-усталостной долговечности колеса использованы методы механики разрушения.
Обоснованность и достоверность полученных научных выводов и рекомендаций подтверждается корректным использованием апробированных методов теории упругости, конечных элементов, достаточно хорошей сходимостью результатов, полученных аналитическими и численными методами, результатов, полученных другими авторами.
Апробация работы. Основные научные и практические результаты работы докладывались и обсуждались на 58 научной конференции профессорско-преподавательского состава БГТУ (Брянск, 2007 г.), на XV Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2009 г.), на XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным
системам (Алушта 2009 г.), на XXII Международной научно-технической конференции «Моделирование процессов на рельсовом транспорте» (Крым, 2012 г.), на XVIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2012 г.), на XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта 2013 г.), на XXIII Международной научно-технической конференции «Проблемы развития рельсового транспорта» (Крым, 2013 г.), на II Научно-техничеком семинаре «Компьютерное моделирование в железнодорожном транспорте: динамика, прочность, износ» (Брянск, 2014 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 печатных работы, в том числе 4 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК РФ.
Структура и объм работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объм работы – 111 страниц машинописного текста, 39 рисунков, 16 таблиц и список литературы из 108 наименований.
Работы, посвященные анализу влияния конструктивных и механических особенностей железнодорожного пути на взаимодействие экипажа и пути
Железнодорожный путь, как элемент, взаимодействующий с подвижным составом, характеризуется значениями его механических и геометрических параметров.
К механическим параметрам пути относятся: величины пространственной жесткости, распределенных и сосредоточенных масс, участвующих в колебаниях, а также параметры, определяющие рассеяние энергии в пути в ходе этих колебаний. К геометрическим характеристикам относятся номинальные конструктивные размеры и фактические отступления от них в ходе эксплуатации [13].
Различают статическую и динамическую жесткости пути. В основном известны значения статической жесткости, поскольку методы определения динамической жесткости еще недостаточно разработаны. Известен, например, метод определения динамической жесткости пути, предложенный в работе [8].
Существенно зависят значения жесткости пути от рода шпал (деревянные или железобетонные) и от жесткости применяемых в скреплениях прокладок. Жесткость пути зимой при промерзшем балласте и земляном полотне в 2-3 раза больше, чем летом.
Расчеты показывают [58], что вертикальная жесткость рельсов находится в пределах 1300-2000 MH/м, шпал сосновых новых 160-270 MH/м, старогодних 100-200 MH/м, железобетонных 570-950 MH/м.
Впервые обстоятельные экспериментальные исследования боковой жесткости рельсов в пути были проведены М. Шлюбелем [106]; им проведено около 5000 опытов. Для пути с современными тяжелыми рельсами типа Р65 большие экспериментальные исследования по измерению боковой жесткости рельсов выполнены Н. Д. Кравченко [40]. При увеличении вертикальной нагрузки от 0 до 80 кН, как показали опыты, боковая жесткость возрастает на 35-75%. Приведенные значения вертикальных и горизонтальных поперечных жесткостей пути относятся к зоне, удаленной от рельсовых стыков. В стыке жесткость на 20-35% меньше указанных выше.
Горизонтальная продольная жесткость пути обычно оценивается модулем упругости пути при продольных деформациях рельса по его основанию. Под этой величиной понимают равномерно распределенную силу, которую необходимо приложить к единице длины основания рельса при его упругом продольном перемещении на единицу длины. Профессор В. Г. Альбрехт [3] экспериментально исследовал этот вид упругих деформаций пути. Что касается рассеяния энергии в конструкции пути, то, как известно, оно связано с происходящими в нем при движении подвижного состава процессами трения. В большинстве расчетных схем предпочитают диссипативные силы представлять не в виде сил сухого трения, поскольку они описываются разрывными функциями, а в виде составляющей, определяемой вязким трением. При этом стремятся подобрать параметры так, чтобы получающаяся при этом сила трения оказалась эквивалентной всем видам рассеяния энергии в конструкции пути. На основании обобщения всех известных экспериментальных материалов можно считать, что в расчетных схемах значение коэффициента диссипации находится в пределах от 200 до 800 кНс/м. Для расчетных схем с распределенной вдоль рельса массой, по опытам В.А. Виноградова [15], Г.П. Бурчака и М.В. Вольнова [7], а также по расчетам А.И. Гасанова [18] и экспериментам [72], он находится в пределах 400...800 кНс/м.
Основные работы по динамическим и путевым испытаниям подвижного состава проводились научными работниками ВНИИЖТа. Была составлена и выполнена программа исследований статических деформаций рельса, включающая изучение его изгиба и кручения в зависимости от упругости опор и качества балласта, связанных с этим контактных напряжений в колесах и рельсах, поиск рациональных форм бандажа и очертаний головки рельса, установления влияния на вертикальные силы и деформации неровностей пути и колес подвижного состава [41; 27; 43; 22; 9; 10; 14; 81].
Большой вклад в развитие теории взаимодействия пути и подвижного состава, динамики подвижного состава и пути внесли и вносят кафедры Московского, Санкт-Петербургского, Днепропетровского, Новосибирского и других университетов путей сообщения, а также ученые: академик В.А. Лазарян, профессора С.В. Амелин, Н.А. Ковалев, С.М. Куценко, М.П. Смирнов, М.А. Фришман, М.А. Чернышев, Г.М. Шахунянц, В.Ф. Яковлев и многие другие [87; 80; 82; 88; 86; 45; 78; 55; 4; 46].
Идентификация параметров гашения колебаний в системе «колесо-железнодорожный путь»
С помощью разработанной лабораторной установки исследованы свободные колебания массы 22, подвешенной к рычагу 14 через пружину 20 (рисунок 2.1). Испытания проведены без использования резиновых прокладок 7,9 и металлических 8,10. В качестве колеблющейся массы использовались грузы 22. Начальные условия создавались путем отклонения их от положения равновесия. Снизу к ним подвешивалась подвеска 24 с грузами 26 весом 250 Н. Получено отклонение от положения равновесия у01=18 мм.
Подвеска 21 освобождалась от грузов 26 и грузы 22 совершали свободные затухающие колебания. Осциллограмма колебаний записывалась на бумажной ленте, закрепленной на барабане 28. Она приведена на рисунке 2.5а. На ней представлены ярко выраженные затухающие колебания. До того как система пришла в состояние покоя, она совершила 14 колебаний.
В качестве расчетных возьмем 10 полных колебаний. Времени десяти колебаний на осциллограмме соответствует отрезок длиной L=192 мм по оси абсцисс. Тогда время десяти колебаний составляет: n=8,76 об/мин – скорость вращения барабана; R=50 мм – радиус барабана. Тогда частота колебаний равна а круговая частота
Параметр гашения колебаний в балластном слое определен путем подбора. Уравнение (2.3) решалось методом Рунге-Кутта с использованием стандартных программ Mathcad. В качестве начальных задавались условия:
Параметр варьировался таким образом, чтобы получить осциллограмму колебаний близкую к экспериментальной [68]. Наилучшее приближение достигнуто при =14104 Нс/м. Осциллограмма приведена на рисунке 2.5б. Из решения характеристического уравнения (2.3) получена частота свободных колебаний k=15,99 рад/с. Как и в эксперименте, до перехода в положение равновесия система совершила 14 полных колебаний.
Осциллограмма колебаний грузов: а –в эксперименте; б – при теоретическом решении
С использованием разработанной установки получено значение коэффициента жесткости балластного слоя 5,25106 Н/м. Давление на балласт передавалось через прямоугольную пластину эффективной площадью 0,024 м2. Учитывая, что здесь рассматривается вертикальная жесткость, связывающая приложенную к половине шпалы силу и осадку балласта, она должна быть пропорциональна площади опирания на балластные слой. Эффективная площадь опирания шпалы составляет 0,3 м2. Тогда жесткость балластного слоя, обусловленная опиранием на него половины шпалы, составляет 65,6106 Н/м. В работе [13] для этой величины приводится значение 50106 Н/м. В работе [36] приводится значение коэффициента затухания 6104 Нс/м.
Завышенные значения коэффициентов жесткости и гашения балластного слоя, полученные в результате экспериментальных исследований на лабораторной установке, могут быть связанны с тем, что балластный слой располагался в замкнутом объеме в жесткой цилиндрической оболочке.
Определение жесткости комплекта резиновых прокладок между рельсом и шпалой
Определена жесткость комплекта резиновых прокладок путем приложения к нему сжимающей силы с использованием машины Р-20. Схема комплекта показана на рисунке 2.6. Комплект укладывался на стальную плиту 1 толщиной 30 мм, расположенную на траверсе испытательной машины. В комплект входили детали натурного узла соединения рельса со шпалой. На плиту укладывалась резиновая прокладка 2, металлическая накладка 3, резиновая прокладка 4, стальная пластина 5 толщиной 12 мм. Нагрузка на пластину 5 передавалась через нажимную плиту машины диаметром 150 мм.
Напряженное состояние колеса и рельса в случае контакта на достаточном удалении от рельсового стыка
Решение контактных задач в упругой постановке для случаев, когда колесо располагается над кромкой стыка, а также на достаточном удалении от нее выполнено с использованием комплекса программ ITFEMCP. Использованы конеч-ноэлементные схемы, образованные восьмиузловыми конечными элементами. Размер рбер конечного элемента принимался равным 1 мм. В расчетной схеме использованы фрагменты колеса и рельса, обеспечивающие достаточное затухание напряжений и деформаций к плоскостям их выделения.
Фрагмент рельса представлял собой часть головки рельса Р65. Рассматривался неизношенный рельс, поперечное сечение которого описано радиусами 500 мм, 80 мм и 15 мм. По ширине фрагмент полностью моделировал головку рельса. Конечноэлементная сетка получена методом «драги» путем последовательного смещения плоской матрицы вдоль генератрисы, параллельной оси рельса.
Фрагмент колеса имел такие же размеры по длине и толщине, а по ширине он не полностью моделировал гребень. Такой фрагмент может быть использован при расположении контакта на поверхности катания. Конечноэлементная сетка получена также методом «драги» путем вращения плоской матрицы относительно оси колесной пары. Рассматривался фрагмент неизношенного вагонного колеса с профилем поверхности катания соответствующим ГОСТ 10791-2011.
Краевые условия: на узлы, расположенные на плоскостях выделения фрагментов накладывались связи, перпендикулярные этим плоскостям. Использована прямоугольная система координат с осью Z, направленной вдоль рельса, осью X – поперек рельса и осью Y – по нормали к начальной точке контактирования. Кроме того, наложены связи, обеспечивающие кинематическую неизменяемость расчетной схемы.
Нагрузка прикладывалась с использованием краевых условий второго рода путем задания смещений узлам, расположенным на верхней плоскости фрагмента колеса, по оси Y. Нагрузка от колеса на рельс контролировалась по сумме проекций контактных сил на ось Y. Заданные значения нагрузки достигались путем подбора смещений узлов. Решения выполнялись в упругой постановке. Узлам сразу задавалось нужное смещение, и итерационные процедуры повторялись до достижения заданной невязки.
Обработка результатов расчета выполнялась с использованием сервисных программ, имеющихся в расчетном комплексе. Они обеспечивали возможность визуализации проволочной конечноэлементной схемы, теневой модели фрагментов, представления любого компонента напряжений областями различных цветов или изолиниями, представление узлов, лежащих на потенциальных контактных поверхностях, нормалями, проведенными через узлы, представление контактных сил отрезками нормалей, пропорциональных по длине значениям этих сил, эпюр давлений.
При обработке информации основное внимание уделялось законам распределений давлений на контактных поверхностях, форме и размерам контакта, максимальному давлению, возникающему в контакте, краевым эффектам при расположении колеса над кромкой стыка.
Для этого варианта подготовлена конечно-элементная расчтная схема (рисунок 4.1) содержащая 68952 узла и 62500 восьмиузловых объмных конечных элементов. Размер конечно-элементной схемы в направлении оси X 60 мм, в направлении оси Y 65 мм, в направлении оси Z 30 мм. Модуль упругости и коэффициент Пуассона для материалов колеса и рельса приняты одинаковыми: Е=21011 Па, //=0,3. Коэффициент трения между колесом и рельсом задан/га/=0,17.
Для этого варианта выполнены расчеты при нагрузках от колеса на рельс 125 кН, 220 кН и 300 кН. Эпюра контактных давлений при нагрузке 220 кН представлена на рисунке 4.2а. Распределение интенсивности напряжений согласно этому решению приведено на рисунке 4.2б.
Упругому решению соответствует распределение давлений по полуэллипсоиду. Для максимальной нагрузки 300 кН численным методом получены размеры полуосей контактного пятна: поперек рельса а=9,8 мм, вдоль рельса b=9,5 мм. Максимальное давление составило 1426 МПа. Решение по Герцу [76] дает а=10,18 мм, b=9,83 мм, р0=1431 МПа.
Программа обеспечивает высокую точность решения. Погрешность вычисления максимального давления составила 0,35%, размеры полуосей определяются с меньшей точностью. Она зависит от размеров конечных элементов.
Законы распределения давлений в плоскостях Z=0 и X=0 приведены на рисунках 4.3а и 4.3б. Они получены по результатам решения контактных задач при нагрузках 125 кН, 220 кН и 300 кН.
Оценка силы ударного взаимодействия колеса и стыковой неровности
В исследовании динамических качеств железнодорожной техники очень важным является математическое описание взаимодействия колес экипажей в зоне рельсовых стыков. Для него, в первую очередь, необходимо знать параметры звеньев пути и период расположения стыков. Для оценки же ударных сил взаимодействия колс экипажей и пути с целью дальнейшего изучения процесса повреждения поверхности катания колес, вызванных этими силами, можно воспользоваться теорией Герца для соударения двух тел [76; 59].
При изучении ударного взаимодействия колс и рельсов на стыках чаще рассматривается последействие стыка, чем непосредственное взаимодействие колеса с кромкой рельса [77; 35]. Это последействие связано с тем, что возмущающими функциями являются динамические траектории движения буксы, то есть -центра колеса, или их ускорения, которые отражают в первую очередь низкочастотные составляющие просадки пути и рельса под колеблющимся вагоном, как результат ударного взаимодействия колеса и рельса. Наличие между центром колеса и контактом упруго-инерционной среды скрывает некоторые особенности непосредственного взаимодействия колеса и рельса, с чем в первую очередь связаны повреждения поверхностей катания колеса и рельса [47]. Особенности непосредственного взаимодействия колеса и рельса в сво время рассматривались в докторской диссертации Н.Н. Кудрявцева, который при-вл экспериментально обнаруженные примеры кратковременной потери контакта колеса с рельсом вследствие ударного взаимодействия. Ударное взаимодействие между колесом и рельсом рассматривалось некоторыми авторами также с использованием теории удара и других теорий, связанных с импульсной передачей энергии [47; 64; 65; 66].
При движении вагона по звеньевому пути, т.е. пути, состоящему из отдельных рельсов, соединенных в стыках накладками, всегда возникают соударения колес с рельсами.
При перекатывании колесной пары через стыковое соединение рельсов происходит скачкообразное перемещение мгновенного центра вращения из точки А на конце отдающего рельса в точку В принимающего рельса (рисунок 5.4). Это приводит к мгновенному изменению направления вектора скорости центра масс колесной пары за счет мгновенного возникновения вертикального вектора скорости VB, следствием чего является ударное взаимодействие колеса и рельса.
Схема, показанная на рисунке 5.4, соответствует случаю, когда поверхности качения нагруженного и ненагруженного рельсов находятся на одном уровне и между их торцами есть зазор z. Это соответствует предположению о том, что рельсы опираются на абсолютно жесткое основание. Далее, при расчетах принимается, что точка A является мгновенным центром скоростей катящегося по рельсу колеса, а точка B – точка касания колеса с кромкой ненагруженного рельса. Так как удар колеса о ненагруженный рельс происходит в течение очень короткого времени, то ненагруженный рельс рассматривается как неподвижный. Рассмотрим схематически этот процесс. Непосредственно изрисунка5.4. следует, что вектор скорости центра масс до удара перпендикулярен радиусу ОА и обозначен через Vx , а после удара - радиусу ОВ и обозначен через V2 . Изменение произошло за счет вертикального вектора VQ. Из треугольника скоростей:
С учетом малости угла можно заменить: И в результате получим: где V - поступательная скорость движения колесной пары по рельсовому пути; (р - угол, образованный радиусами колеса, ограничивающими дугу между точками касания.
Так как z RK, то — тогда зависимость вертикальной скорости колеса от поступательной скорости движения колесной пары и величины зазора в рельсовом стыке имеет вид: где Rk - радиус круга катания колеса; z - величина стыкового зазора.
Представление о мгновенности акта соударения, принимаемое в предложенной Ньютоном упрощенной схеме удара, не позволяет определить силы взаимодействия между соударяющимися твердыми телами - формально эти силы получаются бесконечно большими. Для того, чтобы хотя бы приближенно найти силы ударного взаимодействия, часто пользуются следующей схемой [59]. Если соударяющиеся тела имеют выступы, то считают, что деформации при ударе возникают только в зоне этих выступов, а так как соответствующие объемы материала относительно весьма малы, то можно пренебречь массой деформируемых объемов. В таком случае связь между силой Р и сближением а соударяющихся тел можно принять такой же, как и при статическом нагружении, и если начальное касание тел осуществляется в одной точке, а расстояние между поверхностями тел вблизи этой точки описываются уравнением второго порядка, то
Это - формула статической теории упругости (формула Герца) [76]; она отражает нелинейную зависимость между силой и сближением тел, где 7 - коэффициент, зависящий от свойств материалов и геометрии контактирующих тел.
При таком подходе к решению задачи она приобретает полную определенность. Но в отличие от способа, предложенного Ньютоном, дополнительное соотношение, необходимое для составления полной системы уравнений формулируется с помощью деформационных соображений.
Таким образом, для определения силы удара необходима зависимость для сближения тел. В работе СП. Тимошенко [76] приведено решение для случая соударения двух шаров. В работе [47] оно используется для определения сближения колеса и рельса при ударе. Рельс представляется как тело со сферической поверхностью радиуса, равного радиусу головки рельса, а колесо - со сферической поверхностью радиусом, равным радиусу круга катания. Есть возможность уточнить это решение, используя решение К. Джонсона [26] для двух цилиндрических тел с взаимно перпендикулярными осями. Рассмотрим соударение двух тел, одно из которых – колесо, имеющее коническую поверхность с радиусом Rk по кругу катания, и обладающее массой, равной массе половины колесной пары. Контактная поверхность второго тела – рельса представляет собой цилиндр с радиусом, равным радиусу r головки. При этом предполагается, что рельс закреплен жестко, то есть его масса принята бесконечно большой.
