Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор и анализ работ, посвещенных исследованию ускорений второго порядка. Состояние робототехники к концу XX началу XXI веков. Погрешности промышленных роботов 7
1.1 Использование ускорений второго порядка при анализе механизмов 7
1.2. Учет ускорений второго порядка при анализе и синтезе манипуляционных систем роботов 14
1. 3. Состояние робототехники к концу XX - началу XXI веков 21
1.4. Погрешности промышленных роботов 24
2. Определение ускорений второго порядка точек звеньев манипуляционных систем и анализ влияния расписания включения приводов на величины ускорений второго порядка 32
2.1 Определение ускорений второго порядка точек звеньев манипуляционных систем 32
2.2 Анализ влияния расписания включения приводов на величину ускорения второго порядка для плоской манипуляционной системы
2.3 Анализ влияния расписания включения приводов на величину ускорения второго порядка для пространственной манипуляционнои системы 48
3. Влияние метрических соотношений в манипуляционнои системе на величины и характер изменения ускорений второго порядка 68
3.1. Влияние метрических соотношений в двухзвенной плоской манипуляционнои системе на величины и характер изменения ускорений второго порядка 70
3.2. Влияние метрических соотношений трехзвеннои пространственной манипуляционнои системе на величины и характер изменения ускорений второго порядка 82
4. Учет упругости звеньев и переходного процесса при определении истинных значений положения рабочего органа, ускорений второго порядка и динамической нагрузки 94
Заключение 113
Литература
- Учет ускорений второго порядка при анализе и синтезе манипуляционных систем роботов
- Погрешности промышленных роботов
- Анализ влияния расписания включения приводов на величину ускорения второго порядка для плоской манипуляционной системы
- Влияние метрических соотношений трехзвеннои пространственной манипуляционнои системе на величины и характер изменения ускорений второго порядка
Учет ускорений второго порядка при анализе и синтезе манипуляционных систем роботов
В 1864-1872 гг. выходит несколько работ О.И. Сомова [33,36,37], повещенных ускорениям второго порядка. В "Рациональной механике" [37] Сомов разработал основы определения ускорений различных порядков и приложение их к теории кривых линий. Интерес к ускорениям высших порядков Сомов поясняет следующими соображениями: "По скорости движения можно определить положение касательной и дифференциал дуги данной линии, а по скорости вместе с ускорением, принимаемым за меру ускорительной силы, определяется плоскость и радиус соприкасающегося круга, но этих двух величин, которыми обыкновенно довольствуются в динамике не достаточно для определения непосредственно 2-ой кривизны и вообще тех свойств кривой линии, которые зависят от дифференциальных величин порядка выше 2-го. Этот недостаток дополняется введением в Механику и Геометрию величин, которые можно назвать ускорениями высших порядков" [37].
И.О. Сомов показал, что на основе полученных формул весьма просто получаются известные выражения радиусов первой и второй кривизны в прямолинейных и прямоугольных координатах. На основании условия касания третьего порядка (т.е., используя выражения для проекций ускорений второго порядка) он нашел радиус соприкасающейся сферы, т.е. радиус сферической кривой, имеющей с данной кривой касание третьего порядка. Кроме того, Сомов применил полученные результаты для более простого вывода уже имеющихся кинематических теорем и для исследования геодезической линии.
В 1866г. выходит статья "Об ускорениях разных порядков в относительном движении" [36]. На основании уже полученных формул для аналитической производной геометрического произведения И.О. Сомов вывел выражения, характеризующие скорость и ускорение произвольного порядка в относительном движении точки неизменяемой системы, и сформулировал теорему, определяющую вид и состав слагаемых относительного ускорения п-го порядка. На основании этой теории получаются правило Кориолиса для определения относительного ускорения первого порядка и правило Резаля для определения относительного ускорения второго порядка.
Следующий этап развития теории ускорений высших порядков обусловлен выходом в 1873 г. двух статей В.Н. Лигина "Заметка об ускорениях высших порядков в движении неизменяемой системы" и " Обобщение некоторых свойств движения системы" [38, 39]. Работу В.Н. Лигин начинает с краткого экскурса в историю. Рассматриваются работы Трансона, Резаля и Сомова, а так же приведены работы Николаидеса: "Teorie du moument d une figure plane dans son plan" (1869) В. Шелля: "Teorie der Bewegung und der Krafte" (1870) и А. Мангейма: "Sur les trjectoires der points d une droite mobile dans l espace" (1873).
Исследования В.Н. Лигина заключались в обнаружении "некоторых общих свойств ускорений, какого бы то ни было, п-го порядка точек неизменяемой системы при движении такой системы параллельно неподвижной плоскости и при самом общем движении в пространстве".
В своей работе В.Н. Лигин рассматривает выражения, устанавливающие связь между координатами точки в неподвижной и подвижной системах координат. Дифференцирование и преобразование этих выражений позволяет получить формулы для ускорений п-го порядка. Далее в своей работе Лигин вывел уравнения геометрических мест точек фигуры, без касательного и нормального ускорений п-го порядка. Лигин в своих трудах придал теории ускорений высших порядков наиболее общий вид и обобщил ее на случай ускорения произвольного п-го порядка.
Ускорения второго порядка впервые получили приложение в теории механизмов и машин, а именно к синтезу механизмов в работах Л. Бурместера. В 1888г. в Лейпциге выходит в свет труд "Lehrbuch der Kinematik" [40] в котором рассматриваются задачи по кинематической геометрии конечно удаленных положений плоской фигуры, совершающей движение в своей плоскости, которые относятся к исследованию ускорений высших порядков.
При определении условий касания третьего порядка, для которых Бурместер получил две важнейшие кривые геометрического синтеза (кривую круговых точек и кривую центров), требуется привлечение аналогов ускорений второго порядка. Бурместер ставил перед собой следующую задачу: отыскать такие точки плоско движущейся фигуры, которые со своими последовательными положениями располагаются на одной окружности (в будущем "точки Бурместера"), и определить центры этих окружностей. В результате для касания третьего порядка (4-е положение фигуры) он получил выше названные кривые, позволившие ему синтезировать геометрическими методами шарнирный четырехзвенник, шатун которого воспроизводит движение фигуры.
Н.Е. Жуковский в 1883г., используя идеи Бурместера, написал статью "Приложение теории центров ускорений высших порядков к направляющему механизму Чебышева" [41], в которой обоснованы результаты Чебышева при помощи общей теории мгновенных центров ускорений высших порядков. Жуковский в своей статье приходит к четырем типам механизмов, найденным Чебышевым, а так же развил идеи анализа Чебышева, доказав, что соприкосновение пятого порядка есть высшее, которое может быть достигнуто в рассмотренном механизме.
Погрешности промышленных роботов
Динамика манипуляторов зависит от взаимосвязи между силами и моментами, действующими в сочленениях, с одной стороны, и скоростями, ускорениями, координатами и параметрами робота с другой стороны. Для решения задач динамики и моделирования движения манипулятора, а так же для выборов законов управления и при оценке качества кинематической схемы и конструкции манипулятора необходимо составить математическое описание действующих на манипулятор сил и моментов в форме уравнений динамики движения.
Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщенным координатам, скоростям и ускорениям определить действующий в сочленениях манипулятора силы и моменты. Особое место среди сил, действующих на звенья манипулятора, занимают инерционные нагрузки, которые зависят от ускорений. Причем характер, действующих в сочленениях манипулятора, сил зависит от характера изменения инерционных сил в процессе движения. Интенсивность нарастания или уменьшения сил инерции зависит от характера изменения ускорения, то есть от ускорения второго порядка.
В главе 2 было рассмотрено влияние расписания включения приводов на величину и характер изменения ускорений второго порядка для уже спроектированного робота, размеры звеньев которого уже определены, также заданы начальное и конечное положение рабочего звена. В этом случае влиять на величину и характер ускорений второго порядка можно либо путем рационального назначения расписания включения приводов манипулятора, либо путем выбора его начальной конфигурации. Назначение соответствующего, с точки зрения получения нужного закона изменения ускорений второго порядка, расписания включения приводов приводит к изменению времени технологического цикла, что не всегда целесообразно с точки зрения уменьшения производительности робота (увеличение времени цикла приводит к уменьшению производительности). Надо отметить, что возможность обеспечения движения без изменения сил инерции скачкообразно, то есть "рывками" позволит увеличить скорости движения звеньев, а, следовательно, увеличить производительность. Поэтому желательно рассмотреть возможность получения заданного закона изменения ускорений второго порядка путем метрического синтеза манипулятора, то есть решать задачу на стадии проектирования.
Как уже говорилось выше: "...силы входят в расчет не непосредственно, а лишь своими мерами..." [34], следовательно, при расширении динамических характеристик манипулятора важно знать, как можно получить наилучшие динамические условия работы манипулятора (изменение динамических сил - сил инерции) путем соответствующего его метрического синтеза. При этом необходимо соблюдать условия попадания рабочего звена из заданного начального положения. Также важно обеспечить ограничение динамических нагрузок при неравномерном движении ведомой массы и получить минимально допустимые динамические ошибки при воспроизведении заданного движения. Этого можно достигнуть путем получения заданного закона изменения ускорений второго порядка, который, как говорилось выше, характеризует интенсивность изменения ускорения и, соответственно, сил инерции.
Ускорение второго порядка также показывает возникает ли в процессе движения импульсная сила, которая действует кратковременно на участке времени 0 t т, то есть удовлетворяет условиям F(t) 0 при 0 t т и F(t)=0 при t т, где т - длительность импульса [55]. Длительность импульса может быть определена из анализа характера изменения ускорения второго порядка в процессе движения.
В главе 2 получены кинематические уравнения, характеризующие величины составляющих ускорений второго порядка. Чтобы целенаправленно и эффективно производить метрические преобразования манипулятора, необходимо иметь математические зависимости между размерами звеньев манипулятора и их кинематическими характеристиками. Это необходимо для выявления степени влияния того или иного метрического параметра на величину и характер изменения ускорения второго порядка рабочего звена.
Анализ влияния расписания включения приводов на величину ускорения второго порядка для плоской манипуляционной системы
При решении задачи определения точности позиционирования робота, необходимо учитывать упругость звеньев и наличие переходных процессов при их движении. Для решения этой задачи, в первую очередь, необходимо определить статистические ошибки робота, то есть ошибки позиционирования, вызванные деформациями упругих звеньев под действием статических нагрузок, таких как сила тяжести. Кроме того, необходимо определить динамические ошибки, возникающие в процессе движения робота и вызванные упругостью его звеньев. Наиболее существенные упругие колебания возникают при переходных процессах. Упругие колебания в механической системе продолжаются и после окончания процесса позиционирования.
Деформации звеньев могут приводить к значительным увеличениям реакций в кинематических парах.
Статические нагрузки постоянны и не зависят от кинематических параметров звеньев. Динамические же силы прямопропорциональны кинематическим характеристикам.
Получить характеристики переходного процесса (со, в, є) в функции времени можно аналитическим путем, выразив из уравнения манипуляционной системы старшую, третью, производную (то есть ускорение второго порядка) с последующим интегрированием для получения соответствующих ей ускорений, скоростей и перемещений [93, 94, 95, 96].
Силы упругости, возникающие при деформации звеньев манипулятора, как правило, имеют линейные характеристики. При сжатии-растяжении F = сх, где F - модуль силы упругости, с -коэффициент жесткости, х - линейная деформация. При кручении М = сф, где М - модуль момента сил упругости, ср - угловая с т деформация. Для вала работающего на кручение с = —у-, где G j4 модуль упругости второго рода, Н/м2, JP = —— - полярный момент инерции сечения, где 1 - длина звена. Для звена, работающего на EF сжатие-растяжение с = —, где F - площадь сечения звена, Е модуль упругости первого рода, Н/м2. При учете упругости звеньев необходимо рассматривать не только силы, которые действуют постоянно (например, силы тяжести), но и силы которые действуют кратковременно. Особенно надо учитывать силы, которые изменяются скачкообразно. К таким силам относятся импульсные силы, то есть силы действующие кратковременно на участке времени 0 t r, где т - длительность импульса.
Надо отметить, что инерционные силы в ряде случаев можно отнести к импульсным силам. Это характерно для тех положений звеньев манипулятора, когда инерционные силы меняются скачкообразно. Характер изменения этих сил зависит от изменения ускорений звеньев. Причем интенсивность нарастания ускорения, а, следовательно, и сил инерции зависит от ускорений второго порядка.
Кроме того, на точность позиционирования влияет не только действие инерционных сил, но форма и свойства движущихся звеньев, так как в целом ряде случаев размеры и форма звеньев определяют характер исследуемого движения. Если звено способно деформироваться, то положения его точек уже не определяет положения всех остальных его точек. Также наличие трения в кинематических парах изменяет схему передачи сил в манипуляторе. Еще надо учесть, что взаимодействие звеньев как деталей при трении приводит к износу, изменяющему со временем их форму и условия сопряжения, вследствие чего реальные условия все больше и больше отклоняет его от идеального. При этом надо заметить, что замена реального механизма идеальной расчетной схемы возможна при условии, что отклонения, вызванные условиями реального манипулятора, несущественны.
Динамическая модель может быть построена на основе использования известных законов лагранжевой механики. В результате составляются уравнения, связывающие действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими параметрами и характеристиками движения звеньев.
Влияние метрических соотношений трехзвеннои пространственной манипуляционнои системе на величины и характер изменения ускорений второго порядка
При составлении модели принимаем следующие допущения: - звенья системы абсолютно жесткие, за исключением того звена, упругость которого учитываем (то есть либо третьего, либо второго); - масса звеньев мала по сравнению с массой объекта манипулирования. Имеем реальную схему манипуляционной системы робота, при определении влияния упругости какого либо звена на ошибку позиционирования, это звено заменяем упругим элементом с жесткостью С и коэффициентом демпфирования К;. Если учитываем упругость звеньев 2 и 3, то колебательные процессы в манипуляционной системе будут описываться системой дифференциальных уравнений: J2q2+C2l2COsq2+K2l2q2=-C2AD2, (4.13) 107 J3 з +C3l3cosq3+K3l3 q3 =-C3AD3, (4.14) где AD2 и AD3 - накопленная погрешность позиционирования точки D в пространстве и упругости звеньев 2 и 3; q2,q3 - обобщенные ускорения звеньев 2 и 3; q2,q3 - обобщенные скорости звеньев 2 и 3; Сг, Сз - жесткость звеньев; Кг, Кз - коэффициенты демпфирования; h, h центральные моменты инерции звеньев. ADI =.——-- перемещение (податливость точки D). К, = J— - парциальная частота вращения, с такой частотой происходили бы собственные колебания в рассматриваемой системе. л -1М1..Т, _ ЦГ.д SCQsq2 . D2 С2 г Іт2 Лш_ К] д -rML.K _ ІІ.А Zcosq, ЛДЗ - г Л3-А1 ДСЗ Г2 ГДЄ т2, тз - массы звеньев 2 и 3, соответственно. AD =VAD2+AD3 При заданной точности позиционирования точки D можно определить необходимую жесткость звеньев, обеспечивающих заданную точность.
Если необходимо определить ошибку положения рабочего органа массы т, от действия дополнительных нагрузок, ускорений и ускорений второго порядка, возникающих в манипуляционной системе, обусловленных упругостью ее звеньев, то представим динамическую модель в виде схемы, представленной на рис. 4.12. X Рис. 4.12 Уравнение, описывающее движение массы m имеет вид: m = c(x-y)-G{t) (4.15), где m - приведенная к точке D звена 3 масса подвижных звеньев манипуляционной системы в парциальном движении; С - жесткость звеньев; G - нагрузка, действующая на звено 3. Преобразуем выражение (4.15): Третье слагаемое в выражении (4.21) не имеет аналога в выражении, полученным С.Н.Кожевниковым, так как он рассматривал систему, не нагруженную внешними силами. Следовательно, второе слагаемое правой части уравнения (4.20) должно соответствовать второму слагаемому в уравнении (4.21) и выражать «...приращение динамической ошибки, или иначе, динамический эффект действия рывки - ускорения второго порядка...» [48].
Из уравнения (4.21) наглядно видно, что дополнительные ускорения, а, следовательно, и дополнительные динамические нагрузки, возникающие при учете упругости звеньев, определяются величиной и характером изменения ускорения второго порядка точки D( х ), а само дополнительное ускорение удоп равно: т
После дифференциации выражения (4.17) по t, получим выражение определяющее дополнительное ускорение второго порядка, возникающее за счет упругости звена и характеризующее интенсивность изменения дополнительной динамической нагрузки:
Имея все выходные данные манипуляционной системы и произведя последовательный расчет по формулам (4.18), (4.19), (4.20), (4.22) получим численные значения, характеризующие ошибку положения рабочего органа, максимальное значение дополнительной динамической нагрузки и интенсивность ее изменения, возникающие в манипуляционной системе, когда звенья работают на режиме переходного процесса (начало и конец движения). 1. В работе даны рекомендации по возможности снижения экстремальных значений ускорений второго порядка и достижения плавного характера их изменения в течение кинематического цикла движения рабочего органа манипулятора, что является важным условием для улучшения динамических качеств манипулятора. 2. Показано, что особое значение имеет изменение ускорений внутри цикла движения, так как эти изменения связаны с возрастанием или уменьшением инерционных нагрузок, которые вызывают дополнительные нагрузки на звенья и кинематические пары. Эти нагрузки приводят к возникновению колебательных процессов, что, в свою очередь, приводит к ухудшению точности позиционирования. 3. Циклические изменения ускорений второго порядка рабочих органов манипуляторов описаны характерными для каждой структуры манипулятора семействами кривых для различных типоразмеров данного манипулятора. Приведена связь ускорений и ускорений второго порядка рабочего органа, построены годографы ускорений и ускорений второго порядка, которые наглядно иллюстрируют характер изменения ускорений второго порядка по величине и направлению. Эти годографы дают возможность определить положение, где ускорения второго порядка резко возрастают, что приводит к скачку ускорений, следовательно, и инерционных нагрузок.
