Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитические методы обработки астронавигационных обсерваций 12
1.1. Анализ погрешностей астрономических обсерваций, присущих методу линий положения 12
1.2. Прямой аналитический метод обработки астрономических обсерваций 28
1.3. Аналитический метод Гаусса обработки астрономических обсерваций 31
Глава 2. Итерационный метод обработки астрономических обсерваций 35
2.1. Теория и рабочие алгоритмы итерационного метода 35
2.2. Сходимость итерационного процесса 54
Глава 3. Результаты эксперимента и их обработка методом линий положения . 58
3.1. Материалы эксперимента в море 58
3.2. Обработка серии с малым числом наблюдений 60
3.3. Результаты обработки экспериментального материала методом линий положения и оценка точности обсерваций 68
Глава 4. Результаты обработки экспериментальных данных с помощью итерационного метода 81
4.1. Обработка результатов эксперимента методом итераций и оценка точности обсерваций 81
4.2. Сравнительный анализ результатов при обработке экспериментального материала методом линий положения и с помощью метода итераций 90
Глава 5. Астрономические обсервации по трем звездам 98
5.1. Теоретические основы итерационного метода обработки астрономических обсерваций по трем звездам 98
5.2. Экспериментальные материалы астрономических обсерваций по трем звездам 99
5.3. Результаты обработки выполненных астрономических обсерваций по трем звездам методом линий положения и оценка точности обсерваций 101
5.4. Обработка экспериментальных данных методом итераций и оценка очности астрономических обсерваций по трем звездам 114
5.5. Сравнительный анализ результатов при обработке экспериментальных астрономических обсерваций по трем звездам методом линий положения и с
помощью метода итераций 125
Заключение 135
Литература
- Прямой аналитический метод обработки астрономических обсерваций
- Сходимость итерационного процесса
- Результаты обработки экспериментального материала методом линий положения и оценка точности обсерваций
- Сравнительный анализ результатов при обработке экспериментального материала методом линий положения и с помощью метода итераций
Прямой аналитический метод обработки астрономических обсерваций
Для определения обсервованного места судна необходимо произвести наблюдение ориентиров, имеющих отличительные признаки и заранее известное местоположение. Процесс наблюдения ориентиров состоит в их отождествлении (опознавании) и измерении физических величин - параметров, которые определенным образом зависят от взаимного положения ориентира и судна. Примерами астронавигационных параметров могут служить: высота светила h, азимут (пеленг) светила , разность азимутов (углов) двух светил АА. В настоящее время практически единственным используемым на практике астронавигационным параметром является высота светила. Не исключено, что перечень навигационных параметров может быть расширен с развитием методов и технических средств судовождения.
Из определения навигационного параметра вытекает понятие навигационной функции - непосредственной зависимости навигационного параметра U от положения точки. Так как положение точки задается ее географическими координатами ф и X, то общее уравнение навигационной функции имеет вид
Любая навигационная функция (1.1) определяет скалярное поле своего навигационного параметра. Разные навигационные параметры могут создавать поля, которые покрывают один и тот же район. Определение скалярного поля и его характеристики, рассмотренные в работах [24], [98], позволяют более строго излагать общую теорию определения места судна. Скалярное поле, заданное навигационной функцией (1.1), геометрически удобно изображать навигационными изолиниями или, другими словами, линиями уровня U, навигационного параметра U. Чтобы получить уравнение навигационной изолинии для параметра /,, необходимо подставить в формулу (1.1) U= U,:
Если An - расстояние между смежными изолиниями в точке, то отношение AU/An характеризует наибольшую скорость изменения параметра U. Однако это отношение выражает среднюю скорость на интервале An и зависит от величины этого интервала. Чтобы уйти от этой зависимости и обусловленной ею неопределенности, переходят к пределу этого отношения:
Выражение (1.3) принимают за определение модуля градиента от навигационной функции (1.1) в точке. Применительно к навигации градиент навигационного параметра g может быть определен как вектор, направленный по нормали к навигационной изолинии, при этом модуль этого вектора (1.3) характеризует наибольшую скорость изменения параметра в данной точке.
В навигации используется понятие линии положения - касательной, заменяющей небольшой участок навигационной изолинии вблизи счислимого места судна. Чтобы получить уравнение линии положения - касательной, общее уравнение навигационной изолинии (1.2) следует разложить в ряд Тейлора в счислимой точке Мс (фс; А,с) и ограничиться членами Аф = ф - фс и АХ = X - Хс в степени не выше первой:
В данном случае значения частных производных и параметров Uc берутся в счислимой точке, U0 - обсервованное значение навигационного параметра. Применив для коэффициентов уравнения (1.4) общепринятые обозначения
Уравнения линий положения вида (1.6) со значениями коэффициентов (1.5) применяются при решении задач с помощью прикладных электронных вычислительных систем.
При использовании широко распространенной графоаналитической методики обработки необходимо уравнивать масштабы вдоль координатных осей, для этого переходят от разности долгот ДА, к отшествию ACQ = ДА-cos ф. При этом изменяется второй коэффициент Ь , который принимает вид
Применительно к астрономической обсервации коэффициенты а и b равны соответственно cos А, и sin А„ где At - счислимый азимут светила, а / - перенос: I = Ah = h0 - hc. Для построения линий положения необходимо выполнить расчет азимутов At (по формуле котангенсов азимута светила) и счислимых высот hc (по формуле синусов высоты светила).
Учитывая наличие современных высокоэффективных информационных и вычислительных технологий, более рациональным является не выполнение расчета и построения линий положения, а непосредственное использование навигационных изолиний. Как указывалось выше, такой подход позволяет снизить влияние погрешностей аналитической части метода линий положения и полностью избавиться от погрешностей графических построений, что существенно повысит надежность определения места судна.
Ниже будут рассмотрены погрешности астрономических обсерваций, которые присущи графической части метода линий положения. \ /
/ Рис. 1.1. Погрешности в определении высотной линии положения
Вертикал светила является большим кругом сферы, следовательно, линия азимута на меркаторской проекции должна изображаться кривой линией. При изображении ее в виде прямой линии (локсодромии) в линии положения возникают погрешности двух видов: во-первых, погрешности в определении расстояния (рис. 1.1) от прокладки разности высот h0 — hc= А/г по прямой линии азимута вместо прокладки А/г по кривой - ортодромии; во-вторых, погрешности в определении положения и направления линии положения вследствие ее построения перпендикулярно прямой линии азимута вместо нанесения по нормали к кривой - ортодромии (рис. 1.1).
Сходимость итерационного процесса
Кроме этих погрешностей всегда имеет место погрешность самого метода, иными словами, погрешность от замены круга равных высот прямой -касательной к нему. Эта погрешность будет действовать даже в том случае, если вместо графической прокладки будут вычисляться поправки к счислимым координатам по формулам, соответствующим уравнениям прямых линий, а не кругов, при этом погрешность будет равна сумме членов второго и выше порядков.
Рассмотрим более детально погрешности, связанные с определением направления высотной линии (рис. 1.1). Пусть для определения счислимого места С (фс; А,с) рассчитаны азимут светила Ас и разность высот h0 - hc = А/г. После стандартного построения высотной линии положения по графоаналитической методике получим определяющую точку К\ и линию положения / - /. В реальности азимутальная линия является дугой ортодромии, изображенной в виде некоторой кривой СКо, которую вследствие малого значения А/г можно принять за дугу окружности радиуса R. Ели на этой дуге отложить величину А/г = СКо, то определяющей точкой будет точка К0. Истинной высотной линией положения будет 1о - 1о - нормаль в точке Ко к дуге CKQ. УГОЛ VJ/ - поправка за кривизну изображения ортодромии на меркаторской проекции, т. е. ортодромическая поправка:
С использованием выражения (1.17) рассчитаны данные, приведенные в табл. 1.1, содержащей значения А/г = (/г0 - /гс) = Дф, А), при которых погрешность в определении направления линии азимута составит ± 0,3 и ею можно будет пренебречь; при больших значениях величины переносов А/г погрешность возрастает и тогда следует учитывать ортодромическую поправку 2v/.
В средних широтах поправку следует учитывать при значениях А/г, больших 15 . 3. В высоких широтах при Ah 7 следует исправлять значение счислимого азимута: А\ = Ас + 2\/. При этом необходимо учитывать знак ортодромической поправки 2\/ исходя из правила: если в северной широте определяющая точка К находится восточнее (западнее) счислимого места, то поправку следует прибавлять (вычитать) к величине счислимого азимута Ас, выраженного в круговом счете. В южных широтах знаки ортодромической поправки 2\/ будут противоположными.
Кроме погрешностей графической части метода, как было отмечено выше, существует погрешность от замены кругов равных высот прямыми линиями или, иными словами, погрешность самого метода линий положения. Круг равных высот на меркаторской проекции изображается в виде циклической кривой [50]. Очевидно, что для того, чтобы найти погрешность от замены такой изолинии касательной к ней в точках, лежащих вблизи точки касания, необходимо найти кривизну или радиус кривизны циклической кривой.
В разных точках этой кривой радиусы кривизны будут различными. Центром кривизны кривой в данной точке является геометрическое место пересечения двух радиусов двух близких точек z и z\ кривой ho - h о (рис. 1.2).
Если влияние геометрических погрешностей метода линий положения можно уменьшить, соблюдая указанные выше ограничения, то погрешности в определении высоты h0 действуют всегда, изменяется лишь их величина. Точность и надежность определения места при использовании высотного метода зависят преимущественно от того, насколько точно определена разность h0 - hc = Ah в каждой из линий положения.
Разность А/г включает как случайные, так и систематические погрешности в определении обсервованной и счислимой высот h0 и hc.
В результате анализа результатов экспериментальных измерений установлено, что систематические погрешности чаще всего превышают случайные. Большие значения систематических погрешностей возникают в основном вследствие неточного определения значения наклонения горизонта, а также из-за инструментальных погрешностей секстана.
Случайные погрешности ah обсервованной высоты зависят, как принято считать, главным образом от состояния горизонта, гидрометеорологических факторов и опыта наблюдателя. Априорно они характеризуются погрешностями измерения высот звезд ah = ± 1,2-2,0 и Солнца oh = ± 1,0-1,2 [14], [58]. Так как рекомендуется производить серию наблюдений, состоящую из измерения не менее чем трех значений высоты одного светила, то эти величины могут быть - теоретически - несколько снижены:
Счислимые высоты hc и азимуты Ас могут быть получены одним из следующих способов: вычислением по общим формулам, с использованием специальных таблиц, с помощью специальных приборов. Общепринято, что точность вычисления hc должна быть несколько выше точности наблюдения h0, чтобы погрешности вычислений не снизили точность определения места. Однако чрезмерная точность вычислений также нежелательна, так как, не увеличивая заметно точности конечного результата, она лишь усложняет процесс обработку результатов. Ограничим среднюю погрешность обработки методом линий положения (включая вычисления) величиной Q ± 0,3 .
Результирующая априорная погрешность в определении разности h0 - hc будет включать погрешности наблюдений и обработки и являться случайной погрешностью в определении положения высотной линии. Принимая приведенные выше значения а/, (при средних условиях для тренированного наблюдателя) и СУ = ± 1,0 , по формуле ам -±J(52h +a2h получим (считая Таким образом, из-за действия случайных погрешностей высотная линия может быть смещена относительно ее действительного положения и ее следует представлять в виде полосы положения, внутри которой с вероятностью 68 % находится место судна. Для увеличения вероятности нахождения судна (согласно требованиям ИМО - до 95 %) в этой полосе величину ± сд/,, т. е. ширину полосы (рис. 1.5), следует увеличить согласно теории погрешностей, соответствующие коэффициенты приведены в табл. 1.2.
К данным, приведенным в табл. 1.2, следует относиться с осторожностью, так как они являются априорными средними значениями для тренированных наблюдателей. На практике часто имеют место большие величины погрешностей.
Результаты обработки экспериментального материала методом линий положения и оценка точности обсерваций
Из вышеизложенного решения следует, что М(х) X. Данный результат является логичным и ожидаемым, так как весовой центр переместился к хз, которое расположено ближе к х2, чем К Х\.
Если наблюдения взаимно симметричны и в силу этого все значения отклонения d, одинаковы (например, xi = 2, х2 = 5, хз = 8, х4 = 11), то имеет место частный случай совпадения оценок: М(х) = X = 6,5, что является следствием действительной равновесности наблюдений. Это же утверждение справедливо и в случае выполнения условия п — со. Другими словами, имеет место асимптотическая сходимость предлагаемой оценки М(х) по формулам
Таким образом, выражение М(х) определяет вероятнейшую оценку математического ожидания наблюдений (3.1) при установленной системе назначения весов pt. Заметим, что сумма [/ля ] в каждом из трех приведенных примеров достигает своего минимума: [/7i)u]i = 5,5056; [/лл)]2 = 9,4779; [рш ]з = = 2,8275 именно при найденных в этих примерах оценках математического ожидания: М{х\ =5,12; М(х)2 =5,39; М(х)3 =4,85.
К сожалению, малое число наблюдений п делает апостериорную оценку среднего квадратического отклонения (стандарта) а(х) ненадежной. Для повышения точностной характеристики параметра следует привлекать априорную оценку, присваивая апостериорному значению весовой коэффициент а, а априорному - (1 - а).
Пусть а 1 - коэффициент доверия к апостериорной оценке стандарта а(х)апост, т. е. вычисленной по серии наблюдений (пример 1), а (1 - а) -коэффициент доверия к априорной оценке стандарта а(х)апр, принятой официально. Тогда оценку а(х) стандарта с(х) можно найти из выражения [78]:
Использование формулы (3.10) предполагает определение коэффициента а и задания техники выполнения расчета оценок а(х)апост и а(х)апр. Логично принять величину а в виде функции аргумента п (объема выборки), т. е. а = а(п). Выберем показательную форму этой функции в виде где А и В - числовые коэффициенты, подлежащие определению. Определим следующие значения а(п) на границах диапазона объема выборки: п = 3 9; а(3) = 0,1; а(9) = 0,8. Первое из значений соответствует явному недоверию к стандарту, определенному по трем измерениям, а второе выражает к нему существенное доверие. Конкретный выбор этих значений является предметом жарких дискуссий, однако сам принцип подхода к решению этой проблемы представляется нам вполне приемлемым.
Оценки о(х)апр выбираются из официальных документов, в которых приведены результаты обработки многолетних измерений наиболее важных навигационных параметров: высот и азимутов светил, радиолокационных пеленгов и дистанций, параметров спутниковых и наземных радионавигационных систем и др.
Подставив значения а(п), а(х)апост и с(х)апр в формулу (3.10), найдем взвешенную оценку СУ(Х) стандарта c(x) ряда результатов наблюдений (3.1).
Полученные таким образом точечные оценки М(х) и сг(х) позволяют затем осуществить интервальные оценки как математического ожидания М(х), так и стандарта а(х), используя при этом распределение Стьюдента и задавая необходимую доверительную вероятность [55].
3.3. Результаты обработки экспериментального материала методом линий положения и оценка точности обсерваций
В табл. 3.5 приведены промежуточные и конечные результаты априорной радиальной оценки среднеквадратическои погрешности выполненных астрономических обсерваций методом линий положения.
Для априорной радиальной оценки среднеквадратическои погрешности места судна использовалась формула (3.16) [51], [52], [85] R095=2— —Vl-0,3 cos ДЛ, (3.16) sin АЛ где коэффициент 2 служит для увеличения вероятности от Р = 0,68 до Р = 0,95; тір = 3,2 - среднее значение среднеквадратическои погрешности звездной линии положения; р = 0,3 - принятое значение коэффициента линейной корреляции между данными, входящими в формулу для расчета элементов линий положения (между отсчетами секстанов, их поправками и счислимыми значениями высот светил).
Сравнительный анализ результатов при обработке экспериментального материала методом линий положения и с помощью метода итераций
Как показала практика, в общем случае истинное место судна при обработке астрономических обсерваций по трем звездам методом линий положения - это точка, накрываемая кругом радиусом порядка 3,2 м. мили. Во время плавания в условиях открытого моря при критических обстоятельствах обсервованного места судна с такой радиальной погрешностью может оказаться вполне достаточно. Заметим, что если исключить отбракованные обсервации по трем звездам, для которых не выполняется правило "трех сигм" (см. табл. 5.4), то апостериорная радиальная погрешность почти не изменит своего значения: R = 3,03 3,0 м. мили.
5.4. Обработка экспериментальных данных методом итераций и оценка точности астрономических обсерваций по трем звездам
Результаты обработки экспериментальных данных итерационным методом подтвердили выдвинутое предположение о том, что этот метод удобно применять при обработке астрономических обсерваций по высотам трех звезд. При этом повышается точность обсерваций за счет исключения погрешностей в построениях линий положения и замены изостадий касательными и существенно снижается трудоемкость в связи с отказом от расчета счислимых высот и азимутов, а также от графической части обработки [87].
При проведении натурного эксперимента системы двух уравнений изостадий (5.1), (5.2), (5.3) решалась относительно искомых координат фит и ХИТ. За конечные значения обсервованных координат принимались их весовые значения, инновационная методика нахождения которых изложена в п. 3.2. В результате обсервованное место судна Мит определялось на основе трех точек пересечений изостадий, вычисленных с установленной точностью є, с использованием дополнительной информации, полученной путем определения соответствующих отдельных весов найденных итерационных координат р,.
Вычисления проводились на основе алгоритма, описанного в главе 2, состоящего из системы формул (2.2)-(2.16), и разработанной на его основе программы (см. п. 2.1).
По изложенному рабочему алгоритму и программе итерационный процесс продолжался до тех пор, пока одновременно не выполнялись два условия: ф,+1-ф, є; К+\ К (для данного эксперимента критерий сходимости є был принят равным 0,2 ). Теоретические основы итерационного процесса, в частности, вопрос о его сходимости, подробно описаны в главе 2. Апостериорная оценка точности каждой выполненной и обработанной с помощью итерационного метода астрономической обсервации рассчитывалась по формуле [47], [53], [77] Полученные в результате обработки методом итераций всех (65) выполненных астрономических обсерваций по трем звездам при вероятности Р - 0,95 результаты апостериорной оценки радиальных погрешностей астрономических обсерваций приведены в табл. 5.5 и 5.6.
Данные результаты будут сопоставлены с вычисленными в п. 5.3 значениями апостериорной оценки радиальной погрешности при обработке результатов экспериментальных астрономических обсерваций по трем звездам методом линий положения Rnn . Далее будут исключены астрономические обсервации по трем звездам со значениями апостериорной радиальной погрешности, которые не удовлетворят так называемому правилу "трех сигм".
