Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование цифровых полутоновых изображений одномерными дискретнозначными марковскими процессами 12
Введение 13
1.1 .Одномерный многозначный случайный марковский процесс 14
1.2. Моделирование одномерной стационарной цепи Маркова с дискретными значениями 16
1.3. Финальные вероятности дискретных значений в простой однородной цепи Маркова 21
1.4. Моделирование цифровых полутоновых изображений одномерными цепями Маркова с несколькими значениями 27
1.5. Вычисление оценки вероятности перехода 35
Выводы по главе 1 39
Глава 2. Моделирование цифровых полутоновых изображений двумерными дискретнозначными марковскими процессами 40
Введение 41
2.1. Двумерный дискретнозначный марковский процесс 41
2.2. Математическая модель двумерного двоичного марковского изображения 44
2.3. Математическая модель двоичного марковского изображения с окрестностью из четырех элементов \ 51
2.4. Алгоритм формирования двоичного марковского изображения 52
2.5. Математическая модель цифрового марковского полутонового изображения 62
2.6. Моделирование двоичного нестационарного марковского изображения 68
Выводы по главе 2 71
Глава 3. Моделирование последовательности цифровых полутоновых изображений трехмерными дискретнозначными марковскими процессами 73
Введение 74
3.1. Математическая модель видеопоследовательности двоичных изображений 75
3.2. Алгоритм формирования видеопоследовательности двоичных марковских изображений 83
3.3. Математическая модель видеопоследовательности цифровых полутоновых марковских изображений 90
3.4. Математическая модель видеопоследовательности марковских цветных изображений 95
Выводы по главе 3 98
Глава 4. Моделирование статистически связанных видеопоследовательностей цифровых полутоновых изображений многомерными дискретнозначными марковскими процессами ... 99
Введение 100
4.1. Постановка задачи 100
4.2. Математическая модель статистически связанных видеопоследовательностей двоичных марковских изображений 101
4.3. Алгоритм формирования статистически связанных видеопоследовательностей двоичных марковских изображений 108
4.4. Математическая модель статистически связанных видеопоследовательностей цифровых полутоновых марковских изображений 111
4.5. Методика построения математической модели статистически связанных видеопоследовательностей цифровых полутоновых марковских изображений на основе многомерного многозначного марковского процесса 115
Выводы по главе 4 118
Заключение 119
Список использованных источников
- Моделирование одномерной стационарной цепи Маркова с дискретными значениями
- Математическая модель двумерного двоичного марковского изображения
- Алгоритм формирования видеопоследовательности двоичных марковских изображений
- Математическая модель статистически связанных видеопоследовательностей двоичных марковских изображений
Введение к работе
Интенсификация научных исследований и возросшая сложность решаемых научно-технических задач в настоящее время требует анализа не только одномерных случайных процессов как источников информации, но и многомерных, например, различного рода полей, представленных в виде изображений или их видеопоследовательностей. Обработка изображений вызывает большой интерес исследователей и инженеров самых различных специальностей: инженеров по дефектоскопии и неразрушающему контролю, разработчиков промышленных роботов и систем визуального контроля технологических процессов, специалистов по автоматизации научных исследований, телевизионным охранным системам, дистанционному зондированию природных ресурсов, космическим исследованиям, биологов, медиков, криминалистов, астрономов, метеорологов, геологов, картографов и т.п. [1-8]. По-видимому, сейчас трудно найти научно-техническую область, где бы в той или иной форме не встречались прикладные задачи обработки изображений.
Переход к цифровой обработке изображений, представленных небольшим числом разрядов, резко расширил возможности использования изображений как наиболее емкого носителя различного рода информации. Однако практическому внедрению изображений в качестве носителя информации часто препятствует отсутствие эффективных алгоритмов восстановления искаженных шумами изображений, переданных по каналам связи.
Разработка и исследование алгоритмов обработки изображений базируются на математических моделях (ММ), адекватных реальным изображениям. К настоящему времени разработано большое число различных ММ двумерных изображений, на базе которых создан целый ряд алгоритмов обработки [10, 11]. Набольшее количество ММ разработано для полутоновых изображений, аппроксимируемых марковскими процессами. Значительный вклад в разработку двумерных математических моделей марковского типа внесли российские ученые В.В.Быков [5], К.К.Васильев [13],
В.Р.Крашенинников [12], В.Г.Бондур [6], А.А.Спектор, [13], В.Н.Васюков [16], Я.А.Фурман [17], Е.П.Петров [18] а также зарубежные ученые А.К.Джайн [10], К.Абенд [19], Дж.Вудс [20], Дж.Безаг [21,22], Р.Кашьяп [23], Г.Винклер [24] и др. [25-28]. Наибольший практический интерес предсталяют ММ видеопоследовательностей изображений. Работ, посвященных ММ видеопоследовательностей полутоновых изображений, представляющих собой случайные марковские процессы размерностью, превышающей 2, из-за большой вычислительной сложности значительно меньше. Среди них следует отметить работы [1, 3, 9-11, 14,15, 26, 31-34].
Одним из важнейших показателей ММ является вычислительная эффективность, определяемая требуемым объемом памяти ЭВМ и количеством вычислительных операций. Наиболее эффективными следует считать такие ММ, в которых необходимое число вычислительных операций в расчете на элемент изображения не зависит от размера изображения. Большинство известных ММ для реализации изображения с размерами пхп требуют числа
операций, пропорционального log и, п, п2 и даже большей степени.
Так для генерации одного элемента трехмерного гауссовского марковского процесса требуется 7 умножений и 6 сложений, что делает проблематичным применение изложенного в [14] метода построения ММ для процессов с большим числом измерений и элементов по каждому измерению.
Трудности создания ММ цифровых полутоновых изображений и их видеопоследовательностей, представленных g-разрядными двоичными числами и удовлетворяющих требованию высокой вычислительной эффективности, значительно возрастают, если учесть, что они являются случайными процессами, принимающими q = 28 дискретных значений.
Отсюда следует, что задача разработки обладающих высокой вычислительной эффективностью ММ цифровых полутоновых изображений и их видеопоследовательностей, представляющих собой многомерные многознач-
ные случайные процессы, является актуальной, решение которой позволяет упростить процедуру создания и исследования алгоритмов цифровой обработки ЦПИ и их видеопоследовательностей. Построение таких ММ является сложной задачей, требующей нового подхода к ее решению. Таким решением может быть использование в качестве ММ цифровых полутоновых изображений и их видеопоследовательностей многомерного дискретнозначного марковского процесса, для которого некоторая статистика значения элемента этого процесса условная по значениям других элементов процесса, зависит только от значений тех из них, которые располагаются в непосредственной близости (окрестности) от рассматриваемого элемента.
Обоснованность выбора в качестве ММ цифровых полутоновых изображений и их видеопоследовательностей многомерного дискретнозначного марковского процесса базируется на близости их статистических характеристик и опыта использования в работах [37, 38] моделей двумерного и трехмерного многозначных марковских процессов, для разработки и исследования алгоритмов нелинейной фильтрации видеопоследовательности цифровых полутоновых изображений, искаженных аддитивным белым гауссовским шумом. Результаты исследований, приведенные в [37, 38], показали адекватность указанных ММ реальным процессам.
Многие методы обработки одномерных случайных процессов базируются на предположении, что наблюдаемые данные являются выходом каузальной системы. В двумерных процессах (изображениях) координаты данных пространственные, и любая каузальность (причинность), связанная с изображением, полностью определяется методом сканирования или поиска. В каузальной модели изображение представляется в виде выхода линейной сканирующей системы, поэтому обусловленный ею алгоритм по своей природе является рекуррентным. Методы каузального представления хорошо применимы при построении рекурсивных фильтров, предназначенных для сглаживания шумов и восстановление размытых изображений, особенно в тех случа-
ях, когда процесс размытия тоже каузальный (например, обусловлен движением). Поэтому в качестве ММ цифровых полутоновых изображений и их видеопоследовательностей взят каузальный многомерный многозначный случайный процесс (многомерная многозначная цепь Маркова).
Математическая модель двух статистически связанных видеопоследовательностей цифровых полутоновых изображений, представляющих собой многомерный (четырехмерный) многозначный марковский процесс исследовалась в работах [31-34], где многомерный многозначный марковский процесс представляется набором простых в реализации двумерных марковских процессов с вычислительными ресурсами, не зависящими от размера изображения [31-34]. При этом предполагалось, что статистические связи между двумерными процессами, являющимися составными частями четырехмерного процесса, несущественна. Исследования, проведенные в [34] показали, что при размерности моделируемого процесса больше трех такое представление многомерного процесса приводит к нарушению адекватности ММ реальному процессу и тем больше, чем больше размерность моделируемого процесса. Метод построения многомерной каузальной ММ цифровых полутоновых изображений и их статистически связанных видеопоследовательностей, предложенный в [28, 34, 35], основанный на использовании многомерных многозначных марковских процессов и энтропийном подходе к вычислению матриц вероятностей перехода в многомерных цепях Маркова, лишен недостатков, присущих ММ в [32], что позволяет успешно использовать разработанные модели для синтеза алгоритмов фильтрации цифровых полутоновых изображений в их различных статистически связанных комбинациях.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка на основе условных многомерных многозначных марковских процессов ММ цифровых полутоновых изображений и их статистически связанных видеопоследовательностей, требующих для своей реализации минимум вычислительных ресурсов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Разработка двумерной ММ цифрового марковского полутонового изображения на основе одномерных многозначных марковских процессов.
Разработка ММ цифрового марковского полутонового изображения на основе казуального двумерного многозначного марковского процесса.
Разработка трехмерной ММ видеопоследовательностей цифровых полутоновых изображений на основе трехмерного многозначного марковского процесса.
Разработка ММ статистически связанных видеопоследовательностей цифровых марковских полутоновых изображений на основе многомерных многозначных марковских процессов.
Исследование разработанных ММ на адекватность статистических характеристик реальным цифровым полутоновым изображениям и их видеопоследовательностям.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе использовались методы теории условных марковских процессов, теории вероятностей и математической статистики, теории информации, статистической теории выбора и принятия решений. При разработке программного обеспечения применялись методы объектно-ориентированного программирования.
На защиту выносятся следующие научные результаты, развитые или впервые полученные в настоящей работе:
Математическая модель цифрового полутонового марковского изображения на основе каузального одномерного многозначного марковского процесса.
Математическая модель цифрового полутонового марковского изображения на основе каузального двумерного многозначного марковского процесса.
Математическая модель видеопоследовательности цифровых полутоновых марковских изображений на основе трехмерного многозначного марковского процесса.
Математическая модель двух статистически связанных видеопоследовательностей цифровых полутоновых марковских изображений на основе четырехмерного многозначного марковского процесса.
Дана методика построения ММ цифровых полутоновых изображений и их статистически связанных видеопоследовательностей на основе многомерных многозначных марковских процессов.
Проведены исследования адекватности статистических характеристик разработанных математических моделей реальным цифровым полутоновым изображениям и их видеопоследовательностям.
Расчет объема вычислительных операций и памяти ЭВМ при реализации разработанных математических моделей.
Новизна научных результатов заключается в следующем:
1. Разработаны на основе дисрктнозначных марковских процессов ММ цифровых полутоновых изображений и их видеопоследовательностей, которые требуют для своей реализации вычислительные ресурсы, не зависящие от размерности моделируемого процесса и являются основой для создания алгоритмов нелинейной фильтрации многомерных многозначных марковских процессов.
Практические результаты диссертационной работы использованы для синтеза алгоритмов фильтрации цифровых полутоновых изображений и их видеопоследовательностей ь системах обработки цифровых полутоновых изображений, работающих в режиме реального времени: техническое телевидение, охранное видеонаблюдение, робототехника, аэрофотосъемка местности и т.д.
По теме диссертации опубликовано 18 работ. Из них - 2 статьи в журналах, рекомендуемых ВАК, 11 статей в научно-технических журналах и сборниках. Основные положения и результаты диссертационной работы отражены в депонированной рукописи-монографии (№ 275-В2006). Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004): Российской научно-технической конбепениии ГНТЮ «Ппибопостпое-
/ s 0 А А V A A J.
ниє в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства» (Ижевск, 2004); V Международной НТК «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций» (Самара, 2004); Всероссийской НТК «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении» (Таганрог, 2005); VIII Международной НТК «Цифровая обработка сигналов и ее применения» (Москва - 2005 г.); XII Международной НТК «Радиолокация, навигация, связь RNLC» (Воронеж - 2006 г.); 61-й научной сессии, посвященной Дню радио (Москва - 2006 г.); Всероссийской НТК «Наука-производство-технология-экология» (Киров - 2006 г.); 14 межрегиональной НТК «Обработка сигналов в системах телефонной связи и вещания» (Н.Новгород - 2006г.). Опубликованы статьи в сборнике «Проблемы обработки информации: Вестник ВНЦ Верхне-Волжского отделения АТН РФ» (Н.Новгород - 2006г.). Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ «Математическая модель многомерных марковских цифровых полутоновых изображений», per. № 2006613667 от 20.10.2006. Материалы диссертационной работы были использованы при подготовке учебного пособия «Моделирование цифровых полутоновых изображений марковского типа с дискретными аргументами» (Изд-во ВятГУ, 2006 г.).
Диссертационная работа состоит из четырех глав.
В первой главе приводится обоснование применения многозначных одномерных цепей Маркова в качестве математических моделей цифровых полутоновых изображений. Приведены основные свойства стационарных и нестационарных двоичных цепей Маркова. Разработаны модели стационарной и нестационарной одномерных цепей Маркова с двумя значениями. Про-
веден анализ процесса установления финальных вероятностей в одномерной цепи Маркова с двумя значениями, показавший, что переходный процесс установления финальных вероятностей не зависит от начальных вероятностей значений марковского процесса. На основе одномерных многозначных стационарных цепей Маркова построена ММ цифрового полутонового изображения.
Во второй главе в качестве математической модели цисЬповыу ttottv-тоновых изображений предложено использование двумерных многозначных цепей Маркова. Разработаны на основе двумерных цепей Маркова с двумя значениями ММ стационарных и нестационарных двоичных изображений. На основе представления цифровых полутоновых изображений набором из g двоичных изображений разработана ММ цифровых полутоновых изображений. Проведен анализ адекватности статистических характеристик искусственных изображений, полученных с помощью разработанной ММ реальным цифровым полутоновым изображениям.
В третьей главе на основе трехмерного многозначного марковского процесса и разбиения цифровых полутоновых изображений на двоичные сечения разработана ММ видеопоследовательностей цифровых полутоновых изображений. Проведен анализ адекватности статистических характеристик видеопоследовательности искусственных изображений, полученных с помощью разработанной ММ видеопоследовательности реальных цифровых полутоновых изображений.
В четвертой главе на основе представления статистически связанных видеопоследовательностей цифровых полутоновых изображений четырехмерным многозначным марковским процессом получена ММ статистически связанных видеопоследовательностей цифровых полутоновых изображений. На основе анализа двух-, трех- и четырехмерных ММ предложена методика разработки многомерных ММ совокупности статистически связанных видеопоследовательностей цифровых полутоновых изображений марковского типа.
Моделирование одномерной стационарной цепи Маркова с дискретными значениями
Если g-значный (многоуровневый) стационарный марковский процесс является последовательностью -разрядных двоичных чисел №к =(ц И- ".»Ц ){к ю), то каждый разряд \iy(l = l,g\ можно рассматривать как случайную последовательность двоичных символов 0 и 1. Теорема [37]. Если двоичное число \ik(k co) представляет собой возможное значение стационарной цепи Маркова с q = 2g значениями, то каждая его компонента ц l/ = l,g) является простой стационарной цепью Маркова с двумя равновероятными значениями с вектором на чальных вероятностей значении р =\р{ ,р2 } и матрицей вероятностей перехода от значения \хкА = М)1 в значение \ik = My li,j = 1,21
Доказаісльсіви указанной ієорємьі следует из обратного утверждения, которое заключается в следующем. Если последовательность символов О и 1 любого разряда двоичного числа не является стационарной цепью Маркова с двумя значениями и матрицей вероятностей перехода вида (1.11), то последовательность двоичных чисел \хк не является стационарной цепью Маркова с 2g состояниями. Элементы матрицы переходов (1.11) пу положительны и удовлетворяют условиям нормировки и стационарности 5 Ю = 1, / = 1,2; / = й; (1.12) =1 41. /=и/=їі- (1.13) Для разрядных двоичных марковских процессов справедливо условие т$ ... 1 . (1.14)
Представляя последовательность двоичных чисел набором из g двоичных последовательностей, задачу построения ММ цифрового полутонового изображения, представленного одномерной стационарной цепью Маркова с q значениями можно свести к задаче построения ММ двоичных изображений, каждая строка (столбец) которого представляет собой однородную цепь
Маркова с двумя равновероятными значениями М, , М и матрицей вероятностей переходов (1.11).
Алгоритм моделирования одномерной стационарной цепи Маркова с двумя равновероятными 1р\ -pi] дискретными значениями заключается в следующем: Задаются вектор начальных вероятностей значений Р (Цо) = Ыі /4І и матрица одношаговых вероятностей переходов от дан 7Г(/) Я(0 Д,, Д,2 Я(0 7U(,) 121 я22. С) ного значения в соседнее П для /-го сечения. На рис. 1.1 ука занные вероятности для равновероятных двоичных В первом такте работы модели берется случайное число Q равномерно распределенное на интервале [0, l], и сравнивается со значением одной из двух начальных вероятностей, например р\ . Если выполняется условие «.И ЯМ. (1.15) Если условие (1.16) не выполняется в к-и такте, то марковская цепь принимает значение Ы\ , и в последующих тактах случайные числа S» ( 4 к) сравниваются с вероятностью щ до тех пор, пока выполняется условие «?S«g. (1.17)
Если условие (1.10) в ?-м такте не выполняется, то цепь Маркова снова принимает значение М\ и т.д. На рис. 1.2 приведены примеры реализации стационарной цепи Маркова длиной и = 256 с двумя дискретными значениями при условии, что Рг Ръ» я; =0,9, где значения ц = А/,(/) - белые линии, а щ} = М -черные. II III Hill II 1 И 1 1 1 50 1QD 150 200 250 II 1 1 1 II Рисунок 1.2. Примеры реализации стационарной цепи Маркова длиной п = 256 с двумя дискретными значениями
Значения коррелированной цепи Маркова, как видно из рис. 1.2, группируются в серии (цуги) одинаковых значений. Автокорреляционная функция (АКФ) стационарной цепи Маркова длиной « = 256 с двумя дискретными значениями приведена на рис. 1.3.
Математическая модель двумерного двоичного марковского изображения
Зададим окрестность Л }, l = \,g элемента v 0 в виде (2.3) и будем считать, что двоичное изображение представляет собой стационарное поле марковского типа с автокорреляционной функцией [54] ; ,#-Е[о«Л]-оГН тМ-«?МЬ 2-6 где Е[-] - имеет смысл математического ожидания; а 2- дисперсия сигнала изображения; af a - множители, зависящие от ширины спектральной плотности мощности случайных процессов по горизонтали и вертикали. На рис. 2.3 представлен фрагмент двумерного двоичного изображения, соответствующего области F4(/) НСПП (рис. 2.2), где приняты обозначения v( ) = u ) .v( ) = u ) v ) = u .v( ) = u( ) C2 7) Пунктирные линии указывают на наличие статистических связей между элементами изображения.
В качестве ММ двоичного марковского изображения примем двумерную цепь Маркова на НСПП с двумя равновероятными (р\!) = р ) состояниями M\l), М2 } и матрицами вероятностей переходов из состояния М\1) в соседнее состояние М(1) по горизонтали и вертикали изображения, соответственно: П(,) = (2.8) 2П(/) = (2.9) /=l,g. тс(/) я12 л2і У0 л22_ У Г /112 я21 271(/) я22_
Если известны коэффициенты корреляции между элементами изображения по строкам гг(/) и столбцам гв(/), то элементы матриц вероятностей переходов (2.11) можно определить по формулам У;) = и (I) \ + к 2-IPC) + к (I) (2.10)
Вероятность появления элемента двоичного изображения v4 } (рис.2.3) со значением М,(/) или М2;) полностью определяется количеством взаимной информации между v4;) и его окрестностью Л Р = jv jV , v j.
Представим количество информации, содержащееся в элементах изображения vj v v относительно элемента v(4 в виде [52]. где /?(v((/)), / = 1,4 - априорные плотности вероятностей значений элементов изображения; piv , УТ VT) " совместная плотность вероятности значений элементов изображения. окрестность Л } = (v , v Vj0} по аналогии с (2.11) запишем в виде I(vd) (/) (/)ч = log v v v3 j C2 12) 2lv 5V2 V3 / Ш& / (/К / (/К / (/К y .l J p(vy)pW)p(y)
В сложной цепи Маркова, каким является двоичное изображение, все элементы входящие в окрестность Л } должны быть независимыми. Для обеспечения этого условия необходимо найти взаимную информацию между элементом vf с элементами v{/} и v окрестности Л и вычесть её из количества информации, определяемой выражением (2.11).
Количество информации, содержащейся в элементах v v v относительно элемента v(P, при условии, что vf v jVj0 статистически независимы, определится как /(vi»,v ",v ; v»)-/(v ,v ",v ) = p(v! ,v ",vfMv»lv;",v ",vf) и у і",у«,у(,") (2.13) - g P(vl",v ,v« )p(v ") - g P(v ) где w(v(P v v v ) - плотность вероятности перехода в трёхмерной цепи Маркова.
По условию ММ двоичного изображения представляет собой суперпозицию двух одномерных цепей Маркова, для обеспечения этого условия информацию между элементом v и vf} необходимо удалить.
Пусть окрестность элемента v^ состоит из четырех элементов изображения, расположенных слева-сверху [12]. При этом условие строгой каузальности, присущее окрестности типа (2.3), несколько нарушается, но это нарушение не является критичным, так как для определения каузальных или ОМСП не требуется никаких дополнительных множеств элементов, кроме левого сегмента Ф^ или же соответственно, НСПП Ч*^ (рис. 2.1).
Вероятность появления элемента изображения v;, со значением М\1) или M{j полностью определяется количеством взаимной информации
Алгоритм формирования видеопоследовательности двоичных марковских изображений
Основой для построения ММ видеопоследовательности двоичных марковских изображений является уравнение (3.9).
Моделирование видеопоследовательности двоичных марковских изображений состоит из нескольких этапов. 1. Задаются матрицы вероятностей переходов 1П(/),2П(/),4П(/), вычисляются матрицы 3П(/),5П(/),6П(/),7П(/) и матрица П(/); 2. Берется случайное число }{г т-п), равномерно распределенное на интервале [0,1]; 3. Из первого столбца матрицы П(/) выбирается элемент a (s = 1,8), соответствующий значениям элементов окрестности Л ; 4. Число ; сравнивается с выбранным элементом a{ (s = \, 8) и Q/ а(Р, то элемент изображения v принимает значение v (l\=M\l) = 0, в противном случае v = М(2!) = 1; 5. Если i n;j т;к К, где А"-длина видеопоследовательности, то идти к п.З, иначе п.6; 6. Останов.
Алгоритм формирования элемента v в каждом кадре видеопоследовательности представлен блок-схемой (рис. 3.4), где Генератор - генератор случайных чисел; БІГ1 - блок памяти, хранящий элементы матрицы Іг1 ; БА 1 - блок анализа окрестности; БСР 1 - блок сравнения, (/) присваивающий значение элементу Математическая модель видеопоследовательности цифровых полутоновых изображений представляет собой трехмерную цепь Маркова с q = 2g значениями и состоит из g ММ видеопоследовательностей двоичных марковских изображений, упорядоченных по разрядам двоичных чисел представления цифровых полутоновых изображений. Объединение двоичных разрядных изображений в цифровое полутоновое изображение в каждом кадре видеопоследовательности осуществляется на g-разрядном регистре Рг (рис. 3.10) и не требует вычислительных операций. Объем памяти при этом не превышает одного кадра цифрового полутонового изображения. При моделировании цифрового полутонового изображения необходимо учитывать, что каждое разрядное двоичное изображение имеет свои матрицы переходных вероятностей типа (3.2).
Двумерные автокорреляционные функции видеопоследовательности искусственных цифровых полутоновых изображений, построенной по ММ, для трех плоскостей, сформированных на множествах элементов изображений (полях) {vf ,vf ,vf) , Ч?2 = \vf, v;(/),v 2(/)},
Цветное изображение, представленное в одной систем смешения цветов (например, RGB), представляет собой суперпозицию трех полутоновых изображений по цветовым плоскостям R, G и В. Поэтому построение ММ цветного изображения сводится к построению ММ цифровых полутоновых изображений, ММ видеопоследовательности цветных изображений - к построению ММ видеопоследовательности цифровых полутоновых изображений (п. 3.4). Процесс генерирования элемента цветного изображения представлен на рис. 3.14.
1. Проведен анализ известных работ по ММ полутоновых изображений марковского типа, представляющих собой трехмерных марковские каузальные поля на дискретных сетках.
2. Разработана ММ видеопоследовательности двоичных марковских изображений, представляющая собой трехмерную дискретнозначную цепь Маркова с двумя значениями.
3. Получена ММ видеопоследовательности марковских цифровых полутоновых изображений поразрядным сложением ММ видеопоследовательностей двоичных марковских изображений, число которых равно числу разрядов двоичного числа представления полутоновых изображений. При генерации видеопоследовательности цифровых полутоновых изображений разработанной моделью отсутствуют вычислительные операции, а объем памяти не превышает размера двух цифровых полутоновых изображений.
4. Проведен анализ адекватности статистических характеристик искусственных изображений реальным цифровым полутоновым изображениям в различных кадрах видеопоследовательности. Для 50-го кадра видеопоследовательности искусственных полутоновых изображений оценки вероятностей перехода, вычисленные для двоичного разрядного изображения {%у s0,865, 2тг^. = 0,867 на статистике 256x256, отличаются от заданных ^-я;, =0,87 не более чем на 0,5%.
5. Получена ММ видеопоследовательности цветных изображений суперпозицией ММ видеопоследовательности марковских цифровых полутоновых изображений. При генерации видеопоследовательности цветных изображений разработанной моделью отсутствуют вычислительные операции, а объем памяти не превышает размера шести цифровых полутоновых изображений.
Математическая модель статистически связанных видеопоследовательностей двоичных марковских изображений
Остальные элементы вычисляются аналогично в зависимости от комбинаций значений элементов окрестности Л
Из формул (4.13) легко получить матрицу ГР для модели дискретнозначного марковского процесса меньшей размерности. Например, исключая элемент матрицы вероятностей переходов 8ГР и связанные с ней элементы матриц вероятностей перехода 9ГГ ...,51г , получим матрицу ГР для модели трехмерного дискретнозначного марковского процесса, если исключить матрицы, связанные с матрицами llw и 11 , то приходим к матрице ГР для двумерного дискретнозначного марковского процесса. Используя аналогию с методикой построения четырехмерной ММ, можно построить математическую модель многомерного многозначного марковского процесса более высокого порядка. Матрица П(/) (4.12) и уравнение (4.9) является основой для построения модели четырехмерного дискретного марковского процесса.
Алгоритм работы ММ состоит из следующих этапов: 1.Задаются размер случайного двумерного поля (изображения) тхп элементов, длина видеопоследовательности К и число позиций D, g матриц вероятностей переходов П , 2П(/), 4П( ), 8П(/) и вычисляются матрицы 3П(/),5П(/),6П(/),7П(0,9П(/),...,15П(/) и П(/); 2. Берется случайное число %у (q m-n-K-D) равномерно распределенное на интервале [0,1]; 3. Из первого столбца матрицы П(/) выбирается элемент a(J\s = 1,16), соответствующий значениям элементов окрестности А ы; 4. Число сравнивается с выбранным элементом # ($ = 1,16) и (l) a(J\ то элемент изображения v\n принимает значение v =М[1) = 0, в противном случае v{4l) = М = 1; 5. Если i n; j т; к К; d D, где К - длина видеопоследовательности, D - число позиций, то переход к п.З, иначе п.6; 6. Останов.
Алгоритм формирования элемента v в к-м кадре d-й видеопоследовательности представлен блок-схемой (рис. 4.4), где Генератор - генератор случайных чисел; БТг - блок памяти, хранящий элементы матрицы ГГ , БА - блок анализа окрестности; БСР - блок сравнения, присваивающий значение элементу v\l).
Для построения ММ нескольких статистически связанных видеопоследовательностей цифровых полутоновых изображений на основе -мерного многозначного марковского процесса, необходимо прежде всего разбить цифровое полутоновое изображение на двоичные изображения, число которых равно разрядности представления цифрового полутонового изображения, затем определить окрестность генерируемого в данный момент элемента двоичного изображения.
Значение элемента v4, в ММ /г-го порядка должно определяться лишь (0 статистическими связями между генерируемым элементом v4{ и элементами окрестности, принадлежащими h независимым координатам. Все остальные элементы окрестности Щ h несут избыточную информацию, которая должная быть устранена. Делается это путем последовательного преобразования многомерных вероятностей переходов в (4.14) с целью удаления статистических связей между элементами любой группы, входящих в окрестность A)j h, что позволяет перейти от многомерных вероятностей переходов сложной цепи Маркова к простому соотношению между одномерными одношаговыми вероятностями переходов, аналогичному (4.9). Полученное соотношение является основой для построения структуры элементов матрицы переходов Тг в /г-мерной цепи Маркова. Матрица ГГ в этом случае будет иметь вид
