Содержание к диссертации
Введение
1. Теория адаптивных систем 12
1.1. Понятиен классификация адаптивных систем 12
1.2. Концепция адаптивной обработки сигналов 16
1.3. Алгоритмы адаптивной фильтрации 23
1.3.1. Закон сохранения энергии весовых коэффициентов соседних итераций 24
1.3.2. Класс адаптивных алгоритмов с нелинейной функцией ошибки...26
1.3.3. Класс нормализованных адаптивных алгоритмов 33
1.3.4. Класс адаптивных алгоритмов аффинных проекций 36
1.3.5. Адаптивные алгоритмы с переменным шагом адаптации 40
1.3.6. Рекурсивные алгоритмы наименьших квадратов 42
1.3.7. Адаптивная фильтрация в частотной области 48
1.4. Выводы 51
2. Кумулянтное описание случайных величин 53
2.1. Определение кумулянтов и их свойства 53
2.2. Модельные распределения 57
2.3. Использование кумулянтного анализа в задачах оценивания параметров случайного процесса 60
2.3.1. Дифференциальные уравнения для кумулянтов 63
2.3.2. Пример 1 68
2.3.3. Пример 2 72
2.3.4. Пример 3 79
2.4. Выводы 81
3. Разработка алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских сигналов 83
3.1. Концепция адаптивного подавления помех 83
3.2. Адаптивный алгоритм фильтрации негауссовских сигналов, основанный на применении кумулянтов 85
3.3. Разработанный адаптивный алгоритм фильтрации негауссовских сигналов 96
3.4. Выводы 99
4. Имитационное моделирование работы АС 100
4.1. Моделирование стационарных СП 100
4.1.1. Моделирование гауссовских стационарных СП 100
4.1.2. Моделирование негауссовских стационарных СП 105
4.2. Моделирование процесса оценок кумулянтов негауссовских СП ... 114
4.3. Моделирование процесса оценки негауссовского СП адаптивными алгоритмами, использующие кумулянты порядка выше второго 120
4.4. Моделирование процесса оценки негауссовского СП разработанным адаптивным алгоритмом 130
4.5. Выводы 135
Заключение 138
Литература
- Закон сохранения энергии весовых коэффициентов соседних итераций
- Использование кумулянтного анализа в задачах оценивания параметров случайного процесса
- Адаптивный алгоритм фильтрации негауссовских сигналов, основанный на применении кумулянтов
- Моделирование процесса оценок кумулянтов негауссовских СП
Введение к работе
Актуальность темы. Построение высокоскоростных систем передачи дискретных сообщений, использующих стохастические каналы связи, является весьма актуальным ввиду того, что количество передаваемой по каналам связи информации непрерывно увеличивается. Так, все увеличивающийся объем подлежащих передаче данных диктует необходимость использования для этого не только специально выделенных каналов, но и каналов ухудшенного качества (с коммутацией), а также радиоканалов различного вида
При скоростной передаче дискретных сообщений по стохастическим каналам связи возникают множество проблем, связанных с учетом различного рода аддитивных помех. Например, при использовании каналов связи коротковолнового диапазона особенно характерна ситуация присутствия в них сосредоточенных по спектру помех, являющихся негауссовскими случайными процессами. Наличие этих помех обусловлено, например, большим числом радиосредств, одновременно работающих в канале на близких частотах.
Недостаточность априорных сведений о свойствах сосредоточенных помех в месте приема приводит к построению адаптивных устройств. Решению задачи преодоления априорной неопределенности были посвящены работы Б.Р.Левина, Р.Л.Стратоновича, ЯЗ. Цыпкина, В.Г.Репина, Г.П. Тартаковского, В.В. Шахгильдяна, Ю.Г. Сосулина. Среди зарубежных ученных, изучающих данную проблему, стоит особо выделить В. Widrow, Walach Е, S. Haykin, Т. Kailath, А.Н. Sayed, N. R. Yousef, Т. Y. Al-Naffouri, V.H. Nascimento, M. Rupp, S. С Douglas, T. H.-Y. Meng.
Существует множество работ посвященных адаптивной фильтрации сигналов, в которых рассматривается алгоритм наименьших средних квадратов и алгоритмы, являющиеся его модификацией, а также исследуются атгоритмы с переменным шагом адаптации. В последнее время интерес многих исследователей связан с синтезом оптимальной функции ошибки, позволяющей реализовать алгоритм адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов с высокими качественными показателями.
В данной работе, основываясь на широко применяющейся сегодня теории кумулянтного анализа, решается задача разработки и анализа новых алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в каналах связи.
Цель работы. Разработка алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в каналах связи. Анализ точности фильтрации и скорости сходимости процесса адаптации.
Основные задачи исследования.
анализ алгоритмов адаптивной фильтрации случайных сигналов; исследование методов представления марковских случайных процессов с использованием кумулянтного анализа;
- разработка алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов;
статистическое моделирование алгоритмов адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов; исследование характеристик алгоритмов фильтрации. Методы исследования. Основные теоретические и экспериментальные исследования диссертационной работы выполнены с применением методов теории вероятностей, математической статистики, имитационного моделирования и вычислительных методов, реализованных в пакете Matlab. Научная новизна работы.
выполнено обобщение методов вычисления кумулянтов в задачах представления негауссовских марковских случайных процессов;
предложен метод формирования оптимальной функции ошибки (управляющего сигнала) в алгоритме адаптивной фильтрации негауссовских сигналов;
предложен алгоритм адаптивной фильтрации негауссовіук сигналов на основе комбинации алгоритма наименьших средних квадратов и алгоритма, минимизирующего среднее значение четвертой степени сигнала ошибки;
- выполнен анализ характеристик предложенного алгоритма адаптив
ной фильтрации негауссовской фильтрации.
Основные положения, выносимые на защиту.
методы представления марковских стационарных процессов с использованием кч,\"/,тптїтіїого анализа;
алгоритм адаптивной фильтрации негауссовких сигналов на основе комбинации алгоритма наименьших средних квадратов и алгоритма, минимизирующего среднее значение четвертой степени сигнала ошибки;
- результаты анализа алгоритмов адаптивной фильтрации.
Практическая ценность и реализация результатов работы.
Разработанные в диссертации алгоритмы адаптивной фильтрации негауссовских случайных процессов целесообразно применять в связи, радиолокации, гидролокации, сейсмологии, навигации, биомедицинской электроники. В частности, рассмотренные алгоритмы целесообразно использовать при разработке приемных устройств декаметрового диапазона, осуществляющих фильтрацию узкополосных (сосредоточенных) помех в сочетании с разнесенным приемом.
Результаты диссертационной работы внедрены в ФГУП СОНИИР (г. Самара) при реализации ОКР «Объект-С» и «Оптима-С», что подтверждено актом внедрения, представленным в приложении. В приложении так же представлен акт внедрения результатов работы в учебный процесс по кафедре «Теоретических основ радиотехники и связи» ПГУТИ.
Апробация работы. Основное содержание работы докладывалось и обсуждалось на XIII, XIV и XV Российской научно-технической конференции ПГУТИ (Самара, 2006г., 2007г. и 2008г.),- на VII и VIII Международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» (Уфа, 2007г.), на IX и X Международной конференции «Цифровая об-
работка сигналов и ее применение» (Москва, 2007г. 2008г.), XIII и XIV Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2007г. и 2008г.), VI Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Казань, 2007г.), VII и VIII Всероссийском Симпозиуме по Прикладной и Промышленной Математике (Йошкар-Ола, 2006г. и Сочи-Адлер, 2007г.) и представлены на мулътиконференции SCI 2007, Orlando, Florida, USA.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 3 работы из перечня, рекомендованного ВАК РФ для публикации результатов диссертационных исследований, 5 тезисов, 4 публикаций трудов и докладов на международных научных конференциях.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Основная часть работы содержит 167 страниц машинописного текста, 53 рисунка, 17 таблиц. Список литературы включает 120 наименований.
Закон сохранения энергии весовых коэффициентов соседних итераций
Оптимальный вектор весовых коэффициентов (1.3) и минимальное значение СКО (1.4) являются основополагающими параметрами при разработке адаптивных алгоритмов, основанной на статистическом и детерминированном подходах оптимального оценивания [19].
Статистический подход основан на поиске минимума рабочей функции (в общем случае являющейся функцией входного сигнала и сигнала ошибки), осуществляемого методом наискорейшего спуска, при котором на каждом шаге или цикле итерации изменяются все компоненты вектора весовых коэффициентов в направлении отрицательно градиента рабочей функции.
Детерминированный подход основан на методе наименьших квадратов (НК), который минимизирует функцию стоимости, заданной в виде взвешенной суммы квадратов ошибки. Данный подход можно реализовать двумя способами: блоковым и рекурсивным. При блоковой реализации НК из входной последовательности формируются блок данных соответствующей длины, и изменение весовых коэффициентов осуществляется блок за блоком. Однако это приводит к значительному объему вычислений, поскольку коэффициенты каждый раз пересчитываются самого начала. При рекурсивной реализации НК корректирование весовых коэффициентов фильтра осуществляется для каждого нового полученного набора данных с учетом полного использования информации, содержащейся в текущем наборе коэффициентов. Это по существу выполняется с помощью использования процессов калмановского типа [17]. В свою очередь, все рекурсивные алгоритмы наименьших квадратов (RLS) можно разделить на три основные группы: стандартный RLS алгоритм, вывод которого основан на базовой лемме линейной алгебры, известной как лемма обратной матрицы [2]. Основные недостатки этого алгоритма заключаются в его численной неустойчивости и чрезмерной вычислительной сложности; RLS алгоритмы квадратного корня, отличающегося от стандартного RLS алгоритма QR-факторизацией матрицы входного сигнала, за счет чего обеспечивается численная устойчивость. QR-факторизация осуществляется преобразованиям Хаусхолдера или преобразованиями Гивенса, являющимся численно устойчивым к адаптивным преобразованиям; быстрые RLS алгоритмы, являющиеся модификацией стандартного и квадратного корня RLS алгоритмов, основанной на применении свойств структуры тепливой матрицы входного сигнала и использовании линейного предсказывающего фильтра, осуществляющего предсказания «вперед» и «назад» сигнала ошибки [19], отличаются от прототипов меньшей вычислительной сложностью.
Анализ работы любого адаптивного алгоритма базируется на изучение характеристик обучающей кривой, отражающей итеративное изменение СКО адаптивного процесса ([е2 (&)], ()). Исследуя эту функцию, можно определить такие параметры алгоритма, как СКО в стационарном состоянии (СКО в установившемся состоянии), скорость сходимости алгоритма (скорость сходимости весовых коэффициентов к оптимальному винеровскому решению), стабильность алгоритма и т.д. Существуют три метода вычисления обучающей кривой [20, 21]: аналитический метод применяется только в очень редких случаях, так как вывод выражения обучающей кривой в основном является очень трудной задачей. Это обусловлено нелинейной зависимостью весовых коэффициентов фильтра от входных данных и, как правило, незнанием статистических характеристик входных данных; метод, основанный на применении ограничений налагаемых на входные данные. Применение ограничений позволяет получить аналитическое выражения обучающей кривой, причем тип и их количество определяется сложностью корректирования весовых коэффициентов адаптивным алгорргтмом. В теории адаптивной обработки сигналов наиболее широко распространены следующие ограничения: - отсчеты входного сигнала (х() _ статистически независимы и распределены по одному закону вероятности; - отсчеты полезного отклика i(A:) статистически независимы от последовательности отсчетов входного сигнала {x(k),m kYk=o; - отсчеты аддитивного шума {«()} _ статистически независимы и распределены по одному закону вероятности, а также статистически независимы от последовательности отсчетов входного сигнала. Надо заметить, что эти условия, как правило, не выполняются на практике, однако, параметры обучающей кривой, полученные таким образом, точно характеризуют процесс адаптации, осуществляемого алгоритмами с бесконечно малым шагом адаптации (с минимально возможным значением параметра адаптивного алгоритма, определяющего скорость и устойчивость сходимости алгоритма к винеровскому решению);
Использование кумулянтного анализа в задачах оценивания параметров случайного процесса
Рассмотрим задачу нахождения центральных моментов негауссовского случайного процесса (СП) [95-100], который моделируется как выходной сигнал нелинейной системы при подаче на ее вход белого гауссовского шума. При этом СП может быть описан дифференциальным уравнением: dyt =a(t,yt}dtJrb(t,yt)n{t)dt, где п (t) - белый гауссовский шум с интенсивностью v.
При заданном распределении начального условия у0 требуется определить несколько центральных моментов mx [t) = E[yt], mk(t) = E[yt-m,(t)J, ( = 2,3,...,/). Точное решение указанной задачи при коэффициентах a(t,yt} и b(t,yt} общего вида возможно лишь в том случае, если известно распределение Pl(y) = r{yl y\P0(y)}, где Р0(у) = Рг{у0 у]. Однако определение аналитического выражения для этого распределения задача трудная, а порой невыполнимая.
Для решения поставленной задачи воспользуемся некоторыми положениями теории диффузионных процессов. Для этого потребуется заменить процесс yt идеализированным процессом х{, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению dxt = a(t,xt}dt + b(t,xt}n(t}dt. (2.8) Тогда, одномерную плотность plt,x) = — - процесса xt можно было дх бы вычислить, решив уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова dt дху v к }) 2 дх2 dP (х) с начальным условием /?(0,х) = — , но точное решение этого уравнения dx при произвольных a(t,xt} и b(t,xt} невозможно [101]. В связи с этим актуальное значение приобрели методы приближенного вычисления моментов mk[t).
Из приближенных методов наибольшую известность и распространение получил метод статистической линеаризации. Этот метод отличается простотой и зачастую обеспечивает удовлетворительную точность при вычислении лишь первых двух моментов процесса х(/).
В [102] приводится метод неопределенных параметров, который позволяет вычислять моменты СП с большей точностью, чем при помощи метода статической линеаризации. При этом на основе дифференциального уравнения для характеристической функции процесса х( ) выписываются дифференциальные уравнения для начальных моментов. Полученная система уравнений является бесконечной (счетной), и для ее ограничения предполагается задаваться плотностью вероятности p{t,x) в виде семейства функций p\0[t),xj, где параметр 9(7) представляет собой совокупность моментов процесса х(ґ) до определенного порядка N включительно. Полученная при этом «урезанная» система из N обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов может быть решена численными методами.
В [103-104] приводится метод, основанный на том, что за параметры распределений взяты кумулянты вместо моментов. Объясняется это тем, что, в противоположность моментам, кумулянты не растут с увеличением порядка. Так, например, для нормального распределения все кумулянты выше второго порядка равны нулю. Поэтому для распределений близких к нормальному, кумулянты третьего, четвертого и более высоких порядков будут малыми. Это дает возможность аппроксимировать распределения, пренебрегая кумулянтами выше заданного порядка.
Ниже анализируется эффективность использования кумулянтов для поставленной задачи, а именно, рассматривается вычисление дисперсии СП, являющихся нелинейными безынерционным преобразованиями белого гауссовского шума, и дисперсии процесса, являющегося безынерционным кубическим преобразованием нормального марковского процесса. Если вероятностное распределение p(t,x) аппроксимировать эксцессным распределением (учитываются только первые четыре кумулянта), то погрешность оценки дисперсии будет значительно меньше по сравнению с оценкой дисперсии, рассчитанной при гауссовой аппроксимации распределения.
Адаптивный алгоритм фильтрации негауссовских сигналов, основанный на применении кумулянтов
Структурная схема устройства, иллюстрирующего принцип адаптивного подавления помех, приведена на рис. 3.1 [1]. Смесь сигнала и помехи s(k) + n(k) является первым входным сигналом устройства подавления. На другой его вход подается- помеха п\(к), не коррелированная с сигналом, но некоторым неизвестным образом коррелированная с помехой п{к). В4 результате фильтрации помехи п\{к) формируется сигнал п(к)\ который приблизительно представляет копию сигнала п(/с). Этот сигнал вычитается из входного сигнала s(k)j-n(k) для того, чтобы сформировать выходной сигнал устройства s (к) + п (к) — h ( &).
Практическое назначение устройства подавления помех — формирование выходного сигнала устройства s {к) + п [к) - h (А:), который имеет наилучшее в среднеквадратическом смысле приближение к сигналу s (&). Это достигается тем, что выходной сигнал устройства подается на фильтр; который перестраивается по некоторому адаптивному алгоритму так, чтобы минимизировать общую мощность выходного сигнала. Другими словами, в системе с адаптивным подавлением помех сигналом ошибки адаптивного процесса является выходной сигнал устройства.
Пусть s(к), п(к), п\(к) и п(к) - стационарные СП с нулевыми средними значениями, и s(А:) не коррелирован с п{к) и п\(к), а п(к) и п\{к) - коррелированны. Тогда выходной сигнал АС определяется выражением e(k) = s(k) + n(k)-n(k). (3.1) Возведем обе части равенства в квадрат: e2(k) = s2(k) + (n(k)-n(k)f+2s(k)(n(k)-n(k)). (3.2) Для обеих частей (3.2) найдем математическое ожидание и, в силу того, что s(&) не коррелирован с п(к) и п{к), получим E[e2(k) \ = E[s2(k)] + EUn(k)-fi(k))2 . (3.3) Мощность сигнала [.s2(A:)] не изменяется при перестройке фильтра в процессе минимизации 2s[e2(A:)J. В соответствии с этим минимальная мощность выходного сигнала min (V (к)] = mln [s (4)] + mln [{п(к)-п(к))2]. Если фильтр построен так, что Те2(&)1 минимально, то, (n(k)-n(k)f]. В этом случае следовательно, минимально также и Е выходной сигнал фильтра п(к) является наилучшей среднеквадратической оценкой помехи п(к). Более того, при минимальном значении Е (n{k)-h{Jcj минимально значение имеет также и Е (e{k)-s(k)} , поскольку из (3.1) e(k)-s(k) = n(k)-n(k). Таким образом, перестройка или адаптация фильтра для минимизации общей мощности выходного сигнала равносильна тому, что при заданных структуре фильтра и входном сигнале п\(к) выходной сигнал е(к) изменяется так, что он является наилучшим в среднеквадратическом смысле приближением сигнала s{k). Поскольку при минимизации Е \е2 (А:) осуществляется минимизация то минимизация общей мощности (п(к)-п(к))2 выходного сигнала приводит минимизации мощности помехи на выходе и, при неизменной мощности сигнала, - к максимизации выходного соотношения сигнал/помеха.
Из (3.3) видно, что Етт \е2 (&)] = Emin [s2 (А:)] является наименьшей возможной мощностью выходного сигнала. Если это достижимо, то (п (&) -п (А:)) =0, и минимизация мощности выходного сигнала приводит к тому, что сигнал не коррелирован с входным сигналом, то фильтр не увеличивает помеху на выходе. При этом п(к) не коррелирован с входным сигналом и Е [е2 (к)] = Е [h2 (it)] - Е [( (к) + п (к))2 ]. Итак, для синтеза фильтра и его адаптации не требуется никаких априорных сведений о свойствах компенсируемой помехи, а требуется только наличие сигнала п\(к) на втором входе устройства, который, например, может быть получен при разнесенном приеме [111].
Адаптивный алгоритм фильтрации негауссовских сигналов, основанный на применении кумулянтов
Критерий, в соответствии с которым адаптивные алгоритмы корректируют весовые коэффициенты фильтра в рассмотренной выше схеме устройства подавления помех, основан на минимизации-среднего квадрата сигнала ошибки Ге2(&)1. Наиболее простым и широко применяющимся адаптивным алгоритм для реализации этого критерия является, LMS алгоритм. Изменение весовых коэффициентов фильтра этим алгоритмом основано на применении линейного сигнала ошибки е{к). Только в случае фильтрации гауссовского сигнала s(k) оценка, даваемая LMS алгоритмом, является оптимальной, т. е. оценкой с минимальным значением СКО [86].
Для повышения точности адаптивной фильтрации негауссовских сигналов в свое время были разработаны несколько алгоритмов, в частности LMF алгоритм, критерий функционирования которого основано на минимизации среднего значения четвертой степени сигнала ошибки Ге4(&) , LMS-LMF алгоритм, критерий которого является совокупностью критериев LMS и LMF алгоритмов и др.. Основной особенностью этих алгоритмов заключается в учете ими при корректировании весовых коэффициентов фильтра третью, пятую и выше степень сигнала ошибки, а также их комбинацию с линейным сигналом ошибки в соответствующих алгоритмах.
В последнее время в ряде научных работ, посвященных адаптивной обработки сигналов, рассматривалась задача разработки функции ошибки /(е(/с)), обеспечивающей минимальное значение СКО оценки сигнала в стационарном состоянии.
Моделирование процесса оценок кумулянтов негауссовских СП
Для того, чтобы проверить сделанные ранее выводы об эффективности методов адаптивного оценивания информационного сигнала, являющегося реализацией негауссовского СП, на фоне действия гауссовской помехи, проведем экспериментальные исследования и проанализируем полученные результаты.
Цель проведения компьютерных экспериментов заключается в оценке эффективности использования кумулянтов порядка выше второго в адаптивных алгоритмах при решении выше упомянутой задачи.
Задачи компьютерных экспериментов: - анализ СКО оценок негауссовского СП, получаемых при реализации адаптивных алгоритмов, функционирование которых зависит от разного количества кумулянтов порядка выше второго; - влияние СКО рекурсивных оценок кумулянтов на сходимость адаптивного процесса к стационарному состоянию; - сравнение полученных СКО оценок исследуемых алгоритмов с СКО оценки, получаемой по алгоритму наименьших средних квадратов.
Суть первого эксперимента заключалась в практической проверке адаптивных алгоритмов: LMS алгоритма (/(е{к))У, алгоритма, учитывающего 3 кумулянт (f(e(k),\l(k)j); алгоритма, учитывающего 3 и 4 кумулянты (f(e(k),\l(k),Xl(k))); алгоритма, учитывающего истинные значения 3 и 4 кумулянтов (f(e{k),X {к),\ ())) Проверка производилась путем оценивания соответствующими алгоритмами реализаций 4 негауссовских СП, смоделированных по (4.1), (4.7), (4.10) и (4.12), на фоне действии БГШ и гауссовской помехи, смоделированной по (4.6).
На рис. 4.28-4.35 приведены обучающие кривые соответствующих алгоритмов, полученных путем усреднения по 1000 реализациям.
Обучающие кривые для 4 типов адаптивных алгоритмов при оценивании СП с релеевским распределением на фоне действия СП с гауссовским распределением (при отношении сигнал/шум равном 0 дБ) 35 30 25 15 5 ill f(e(k)) \ 1 1 і і =3 / f(e(k) літ ґ(еШ),Ц(к), фк» \ І і 1 і і і 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 к Рис. 4.35 Обучающие кривые для 4 типов адаптивных алгоритмов при оценивании СП с показательным распределением на фоне действия СП с гауссовским распределением (при отношении сигнал/шум равном 0 дБ)
СКО оценок 4 негауссовских СП на фоне действия БГШ и СП с гауссовским распределением с КФ (4.5), которые были рассчитаны по отсчетам обучающей кривой, полученной путем усреднения по 1000 реализациям, после завершения процесса адаптации (при проверке работы адаптивных алгоритмов шаг адаптации был взят ц = 0.01).
Средние и относительные значения СКО оценок негауссовских СП на фоне действия БГШ СП Функции ошибки адаптивного алгоритма /М /М) f{e, ,r4) /(е»Лт.ДГ) с Ьш emse L emse Ь/я bemse Ьт гауссовский 0.498 0.498 0.539 0.539 0.501 0.501 0.1576 0.1576 равномерный 1.5141 0.5047 0.923 0.3077 0.6834 0.2278 0.5061 0.1687 релеевский 0.2099 0.4891 0.1628 0.3794 0.1072 0.2497 0.0756 0.1762 показательный 2.048 0.512 1.4604 0.3651 0.8744 0.2186 0.7567 0.1891 Таблица 4.2 Средние и относительные значения СКО оценок негауссовских СП на фоне действия гауссовского СП с КФ (4.5) СП Функции ошибки адаптивного алгоритма /(«) /М) /(е,ЛзэА ) /( ЯГЛ") bemse L bemse L bemse L bemse L гауссовский 0.238 0.238 0.243 0.243 0.2571 0.2571 0.2571 0.2571 равномерный 0.2027 0.067 0.1433 0.0478 0.1541 0.0514 0.14 0.0467 релеевский 0.1451 0.3381 0.0678 0.158 0.0283 0.0659 0.0259 0.0603 показательный 0.8531 0.2133 0.3213 0.0803 0.2853 0.0713 0.2177 0.0544 Основываясь на анализе характера изменения обучающих кривых, представленных на рис. 4.28-4.35, а также значений gemse и т, представленных в табл. 4.1-4.2, можно сделать следующие выводы: - учет кумулянтов порядка выше второго при корректировании весовых коэффициентов фильтра приводит к меньшим значениям СКО оценок негауссовских СП, а именно, чем больше количество кумулянтов используются, тем меньше значения СКО; - алгоритмы, использующие эмпирические оценки кумулянтов, сходятся к стационарному состоянию медленнее по сравнению с алгоритмом LMS и алгоритмом, использующего точные значения кумулянтов СП. Данный факт обусловлен тем, что в начале адаптации из-за малого объема выборки оценки кумулянтов, получаемые по (4.13), имеют большое значение СКО; - значение СКО оценок негауссовских СП получаемые алгоритмами, учитывающих кумулянты порядка выше второго, значительно меньше по сравнению со значениями СКО оценок LMS алгоритма. Так например, из сравнения СКО оценок, получаемых LMS алгоритмом и алгоритмом, использующей точные значения кумулянтов, видно, что погрешность первого может составлять до 51%, при этом погрешность второго не превосходит 20%.
Суть второго эксперимента заключалась в практической проверке алгоритма, основанного на комбинированном объединении двух адаптивных алгоритмов: LMS алгоритма (f(e{lc)\) и алгоритма, учитывающего 3 и 4 кумулянты (/(е(к),Ц (к),XI (к))). Проверка производилась путем оценивания соответствующими алгоритмами реализаций 4 негауссовских СП, смоделированных по (4.1), (4.7), (4.10) и (4.12), на фоне действии БГШ. На рис. 4.36-4.39 приведены обучающие кривые для LMS алгоритма; комбинированного алгоритма (fhOU (е( )Лз()Д4( ))); алгоритма, учитывающего 3 и 4 кумулянты и алгоритма, учитывающего истинные значения 3 и 4 кумулянтов. Данные кривые были получены в результате усреднения по 1000 реализациям.
