Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор некоторых известных результатов описывающих резонансное взаимодействие электронов плазмы с волной 47
1.2.1. Предмет исследования 47
1.2.2. Основные этапы развития теории резонансного взаимодействия электронов плазмы с волной 48
2. Квазистационарная эволюция продольных волн 59
2.1. Предисловие 59
2.2. Квазистационарная эволюция ленгмюровской волны, возбуждаемой внешними источниками в однородной плазме 64
2.2.1. Постановка задачи, распределение захваченных и пролетных электронов в поле квазистационарной ленгмюровской волны 64
2.2.2. Энергообмен в процессе возбуждения плазменной волны внешними источниками 66
2.2.2.1. Условия, необходимые для возбуждения плазменной волны 66
2.2.2.2. Возбуждение плазменной волны внешними источниками с учетом сдвига ее частоты. 70
2.2.2.3. Выводы 72
2.2.3. Нелинейная дисперсия плазменной волны в процессе ее возбуждения внешними источниками .73
2.2.3.1. Качественный анализ изменения функции распределения захваченных электронов под влиянием сдвига частоты волны 73
2.2.3.2. Число резонансных состояний в поле плазменной волны 77
2.2.3.3. Нелинейный сдвиг частоты квазистационарной плазменной волны при малых амплитудах .78
2.2.3.4. Нелинейная дисперсия квазистационарной плазменной волны при ее адиабатическом взаимодействии с электронами плазмы .81
2.2.4. Выводы 85
2.3. Резонансное взаимодействие ленгмюровской волны с электронами квази стационарной плазмы 86
2.2.1. Введение 86
2.3.1. Адиабатическое взаимодействие электронов квазистационарной плазмы с волной в случае уменьшения концентрации плазмы 89
2.3.2.1. Постановка задачи, функции распределения захваченных и пролетных электронов 89
2.3.2.2. Нелинейная дисперсия волны в квазистационарной плазме, концентрация которой адиабатически медленно уменьшается .91
2.3.2.3. Энергия волны в квазистационарной плазме, концентрация которой уменьшается
2.3.3. Резонансное взаимодействие электронов квазистационарной плазмы с
волной в случае увеличения концентрации плазмы 98
2.3.3.1. Постановка задачи, функции распределения захваченных и пролетных электронов 98
2.3.3.2. Нелинейная дисперсия волны в процессе адиабатически медленного увеличения концентрация плазмы 98
2.3.3.3. Энергия волны в квазистационарной плазме, концентрация которой увеличивается .100
2.3.4. Выводы 101
3. Нелинейная эволюция продольной волны в плазме с пучком захваченных электронов конечной плотности 103
3.1. Вступление 103
3.2. Постановка задачи, формулировка проблемы 107
3.3. Распределение электронов пучка в поле продольной волны .108
3.4. Влияние пучка захваченных электронов конечной плотности на дисперсию волны 110
3.4.1. Качественный анализ нелинейного уравнения Пуассона для волны в пучково-плазменной системе .110
3.4.2. Дисперсия волны конечной амплитуды с захваченными электронами пуч-ка 114
3.5. Солитоны в пучково-плазменных системах 119
3.5.1. Условие появления солитонов в процессе эволюции продольной волны с пучком захваченных электронов 119
3.5.2. Трансформация гармонической волны в последовательность разнополяр-ных солитонов 120
3.6. Выводы 126
4. Эволюция ленгмюровской волны в нерелятивистской слабонеоднород ной плазме с положительным градиентом концентрации 129
4.1. Введение 129
4.2. Начальный этап эволюции волны в слабонеоднородной плазме .133
4.2.1. Постановка задачи, функции распределения электронов в поле ленгмю-ровской волны, эволюционирующей в слабонеоднородной плазме 133
4.2.2. Возбуждение волны внешними источниками 136
4.2.3. Токи пролетных и захваченных электронов .138
4.2.4. Дисперсионное уравнение волны в слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации на начальном этапе эволюции 140
4.3. Эволюция продольной волны в слабонеоднородной плазме с учетом ее сильного ангармонизма 144
4.3.1. Трансформация синусоидальной волны в гибрид из двух волн .144
4.3.2. Дисперсия гибрида из двух волн в слабонеоднородной плазме .151
4.3.3. Трансформация гибрида из двух волн в последовательность разнополярных солитонов, ленгмюровская волна перед распадом 154
4.3.4. Распад продольной волны в слабонеоднородной плазме на две волны, на груженных захваченными электронами. 159
4.3.5. Баланс плотности потока энергии ленгмюровской волны при ее распаде 163
4.3.6. Выводы 165
4.3.7. Приложение к разделам 4.3.1, 4.3.2 167
5. Ленгмюровская волна в релятивистской слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации и ее распространение в слабонеоднородной плазме с отрицательным градиентом концентрации 172
5.1. Эволюция ленгмюровской волны в релятивистской слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации 172
5.1.1. Введение 172
5.1.2. Постановка задачи, интегралы движения, адиабатические инварианты. 174
5.1.3. Релятивистские функции распределения электронов и их токи 176
5.1.4. Нелинейный закон дисперсии ленгмюровской волны в слабонеоднородной релятивистской плазме в начале эволюции 180
5.1.5. Трансформация ленгмюровской волны в релятивистской слабонеодно родной плазме в гибрид из двух волн 184
5.1.5.1. Влияние захваченных электронов на профиль волны .184
5.1.5.2. Нелинейная дисперсия гибрида из двух волн .187
5.1.5.3. Распад ленгмюровской волны в слабонеоднородной релятивистской плазме 191
5.1.6. Выводы 193
5.2. Распространение ленгмюровской волны в слабонеоднородной плазмы с от рицательным градиентом концентрации в случае, когда ее фазовая скорость близка к тепловой скорости электронов плазмы 194
5.2.1. Введение 194
5.2.2. Постановка задачи, распределение и ток электронов в поле ленгмюров-ской волны 195
5.2.3. Дисперсия волны в слабонеоднородной плазме с отрицательным градиентом концентрации 198
5.2.4. Нелинейная дисперсия волны в слабонеоднородной плазме с отрицательным градиентом концентрации в области фазовых скоростей, близких к тепловой скорости электронов 201
5.2.5. Затухание волны с дефицитом резонансных электронов в области фазовых скоростей, близких к тепловой скорости электронов 204
5.2.6. Выводы .207
6. Ленгмюровская волна в слабонеоднородной плазме с продольным электростатическим полем .209
6.1. Ленгмюровская волна в однородной плазме с продольным электростатическим полем 209
6.1.1. Введение .209
6.1.2. Постановка задачи 210
6.1.3. Распределение электронов плазмы в слабом электростатическом поле...211
6.1.4. Адиабатические инварианты и функции распределения электронов в поле ленгмюровской волны, распространяющейся вдоль электростатического поля .212
6.1.5. Условие усиления ленгмюровской волны в плазме с продольным электростатическим полем .215
6.2. Эволюция ленгмюровской волны в слабонеоднородной плазме с продольным электростатическим полем 218
6.2.1. Функции распределения электронов и их токи в поле ленгмюровской волны, эволюционирующей в слабонеоднородной плазме с продольным электро статическим полем .218
6.2.2. Усиление ленгмюровской волны в слабонеоднородной плазме с продольным электростатическим полем 221
6.3. Выводы 224
7. Адиабатическое взаимодействие электронов слабонеоднородной плазмы с волной круговой поляризации, распространяющейся вдоль магнитногополя 225
7.1.1. Введение .225
7.1.2. Постановка задачи. 227
7.2. Движение электрона в поле волны круговой поляризации, бегущей вдоль магнитного поля 229
7.2.1. Уравнения Гамильтона для электрона в поле волны круговой поляризации с продольным магнитным полем 229
7.2.2. Анализ движения пролетных электронов в поле волны круговой поляризации, распространяющейся в слабонеоднородной плазме вдоль магнитного поля. 232
7.2.3. Переход электронов между пролетными и захваченными состояниями 235
7.2.4. Адиабатические инварианты электронов 237
7.3. Функции распределения электронов в поле поперечной волны, распростра няющейся в слабонеоднородной плазме вдоль магнитного поля 239
7.3.1. Решения кинетического уравнения для электронов в поле циркулярно-поляризованной волны, бегущей в слабонеоднородной плазме вдоль магнитного поля 239
7.3.2. Функции распределения захваченных и пролетных электронов в поле по перечной волны, распространяющейся вдоль магнитного поля 241
7.4. Дисперсия поперечной волны, эволюционирующей в слабонеоднородной плазме вдоль магнитного поля 244
7.4.1. Дисперсия циркулярно-поляризованной волны, бегущей вдоль магнитного поля в слабонеоднородной плазме с отрицательным градиентом концентрации 244
7.4.2. Дисперсия циркулярно-поляризованной волны в замагниченной плазме с малыми положительными градиентами концентрации 246
7.4.3. Пространственная эволюция поперечной волны в слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации 248
7.5. Выводы 249
8. О возможности естественного возникновения поперечной волны с фазовой скоростью, меньшей скорости света 252
8.1.1. Введение 252
8.1.2. Постановка задачи 253
8.2. Релятивистские функции распределения в поле волны круговой поляризации с продольным магнитным полем 255
8.2.1. Уравнения движения релятивистских электронов 255
8.2.2. Адиабатические инварианты, функции распределения пролетных и захваченных электронов 259
8.2.3. Число электронов, захваченных в процессе возбуждения волны 262
8.3. Поперечные волны со скоростью, меньшей скорости света в плазме без магнитного поля 264
8.3.1. Трансформация необыкновенной поперечной волны, распространяющейся в плазме вдоль магнитного поля, в замедленную поперечную волну, которая существует без магнитного поля 264
8.3.2. Условие возникновения замедленной поперечной волны 269
8.3.3. Адиабатические инварианты и функции распределения релятивистских электронов в поле замедленной поперечной волны 272
8.3.4. Дисперсия замедленной поперечной волны в слабонеоднородной плаз-ме 274
8.3.5. Выход замедленной поперечной волны за пределы плазмы 276
8.3.6. Перспективы технологического использования замедленных волн 279
8.4. Выводы .281
Заключение 283
Литература 289
- Постановка задачи, распределение захваченных и пролетных электронов в поле квазистационарной ленгмюровской волны
- Условие появления солитонов в процессе эволюции продольной волны с пучком захваченных электронов
- Трансформация синусоидальной волны в гибрид из двух волн
- Нелинейный закон дисперсии ленгмюровской волны в слабонеоднородной релятивистской плазме в начале эволюции
Введение к работе
Актуальность темы. В процессе резонансного взаимодействия заряженные частицы плазмы захватываются в потенциальные ямы волны или, наоборот, высыпаются из них. Распределение заряженных частиц, испытавших резонанс, изменяется, иногда необратимо. Под влиянием захваченных заряженных частиц у волны возникает сильный ангармонизм. Эти нелинейные явления оказывают существенное влияние на дисперсию волны, они играют основную роль в процессах энергообмена между заряженными частицами плазмы и волной. Наиболее заметное развитие теория резонансного взаимодействия заряженных частиц плазмы с электромагнитными волнами получила в работах [1-19]. Однако она еще далека от завершения. Основные трудности связаны с тем, что для полного описания рассматриваемого резонансного взаимодействия необходимо решение замкнутой системы, состоящей из уравнений Власова-Максвелла и уравнения баланса энергии волны. Точного решения этой системы уравнений не существует, тем более, если резонансное взаимодействие происходит в пространственно неоднородной или нестационарной плазме. Подход, основанный на линеаризации уравнений Власова-Максвелла [1, 2] малоэффективен, так как резонансное взаимодействие заряженных частиц с волнами является существенно нелинейным явлением. Описание этого взаимодействия с волнами конечной амплитуды в несамосогласованной постановке [6] также не является удовлетворительным. Тем не менее, в последнее время развиваются методы, с помощью которых на достаточно строгом уровне можно описать резонансное взаимодействие в процессе пространственной или временной эволюции электромагнитных волн в неоднородной или нестационарной плазме. Среди этих методов очень эффективным оказался адиабатический подход [8, 9, 12-19], который применим, если временной или пространственный период электромагнитной волны много меньше характерного временного или пространственного интервала ее эволюции. С его помощью было продемонстрировано, что такая сложная задача, как адиабатическое взаимодействие электронов слабонеоднородной плазмы с ленгмюровской волной может быть решена до конца в самосогласованной, замкнутой постановке [15]. В связи с этим адиабатический подход, несомненно, требует дальнейшего развития и в других направлениях: при исследовании резонансного взаимодействия заряженных частиц слабонеоднородной или квазистационарной за-магниченной плазмы с поперечными волнами, при исследовании резонансного взаимодействия электромагнитных волн с пучками конечной плотности, в том числе с пучками в пространственно ограниченной плазме (в волноводах, заполненных плазмой), уединенных волн в космической и лабораторной плазме, теории солитонов. Однако результаты работы [15], как и предшествующих работ, посвященных резонансному взаимодействию заряженных частиц с волнами [3, 8-9, 12, 16-24], имеют смысл лишь в случае слабого резонансного взаимодействия, когда число резонансных заряженных частиц очень мало. Это хорошо видно на примере нелинейной поправки в дисперсионном уравнении [15], которая пропорциональна средней плотности тока за-
хваченных электронов и обратно пропорциональна амплитуде волны (jtr)/A, где {jtr) = eNtru, Ntr - плотность пучка захваченных электронов, и - фазовая скорость
волны. Впервые, хотя и не так строго, такая нелинейная поправка получена в [3]. Нелинейные поправки, обусловленные захваченными электронами, обсуждалась также в [20-24, 17, 18]. Однако они теряют смысл, если плотность пучка захваченных электронов не мала. В диссертации проблема интенсивного резонансного взаимодействия заряженных частиц с продольной волной в слабонеоднородной или квазистационарной плазме решена до конца в замкнутой самосогласованной постановке с учетом сильного ангармонизма волны. Исследования в области резонансного взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами плазмы актуальны, так как являются теоретической базой при разработке устройств плазменной электроники и ускорительной техники. Их результаты используются в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу, при изучении космической плазмы.
Цель работы. Исследование резонансного взаимодействия электронов квазистационарной и слабонеоднородной плазмы с электромагнитными волнами конечной амплитуды в условиях как слабого, так и сильного ангармонизма этих волн и при наличии продольных электрических и магнитных полей.
Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:
-
Самосогласованное описание резонансного взаимодействия ленгмюровской волны с электронами однородной плазмы в процессе ее возбуждения слабым полем внешних источников или вследствие адиабатически медленного изменения параметров плазмы.
-
Исследование влияния пучка большой плотности, захваченного в потенциальные ямы квазистационарной продольной волны, на ее профиль и на ее дисперсию.
-
Описание резонансного взаимодействия ленгмюровской волны с электронами слабонеоднородной плазмы с учетом ее сильного ангармонизма в широком диапазоне фазовых скоростей, вплоть до тепловой скорости электронов.
-
Решение в строгой самосогласованной постановке пространственной задачи о эволюции необыкновенной поперечной волны, распространяющейся в слабонеоднородной плазме вдоль магнитного поля, с учетом ее резонансного взаимодействия с электронами плазмы.
-
Описание эволюции циркулярно-поляризованной волны с захваченными электронами в плазме с убывающим продольным магнитным полем, после исчезновения которого фазовая скорость волны становится меньше скорости света.
Научная новизна полученных в диссертации результатов в первую очередь состоит в том, что расширены границы описания резонансного взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами квазистационарной или слабонеоднородной плазмы: плотность резонансных частиц практически не ограничивается, диапазон этого взаимодействия в пространстве фазовых скоростей ограничен лишь тепловой скоростью электронов. В случае интенсивного резонансного взаимодействия нелинейная дисперсия волны принципиально отличается от ее дисперсии при слабом
резонансном взаимодействии тем, что определяется в основном ангармонизмом волны.
-
Впервые на основе адиабатического подхода, с помощью известного распределения захваченных волной электронов [14] проведен анализ энергообмена ленгмю-ровской волны, возбуждаемой внешними источниками, дано последовательное, самосогласованное описание ее дисперсии с учетом взаимного влияния друг на друга сдвига частоты волны и распределения резонансных электронов.
-
На основе адиабатического подхода дано самосогласованное, замкнутое описание адиабатического взаимодействия электронов квазистационарной плазмы с лен-гмюровской волной. Найдены законы дисперсии волны, как в случае увеличения этой концентрации, так и в случае ее уменьшения.
-
Впервые проведен анализ резонансного взаимодействия пучка конечной плотности, пронизывающего плазму, с продольной квазистационарной волной. Под влиянием захваченных электронов пучка с увеличением амплитуды волны в области минимумов потенциала исходной плазменной волны возникают фрагменты новой волны, исходная волна трансформируется в гибрид из двух волн. Описан принципиально новый сценарий развития нелинейной дисперсии, обусловленный сильным ангармонизмом волны.
-
Дальнейшее развитие получила теория резонансного взаимодействия электронов слабонеоднородной плазмы с ленгмюровскими волнами. Установлено, что если пространственная эволюция ленгмюровской волны в слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации начинается при фазовых скоростях, близких к тепловой скорости электронов, то из-за большого количества захваченных в начале эволюции волной электронов исходная волна трансформируется в последовательность, состоящую из фрагментов двух волн с различными пространственными периодами и амплитудами. Эти фрагменты, чередуясь, движутся с одинаковой скоростью. Пространственный период гибрида из двух волн, равен сумме длин фрагментов, после увеличения их до максимальных значений, равен сумме пространственных периодов двух волн, поэтому фазовая скорость волны вследствие нелинейной дисперсии увеличивается. В процессе эволюции гибрид из двух волн трансформируется в последовательность разнополярных солитонов, которая распадается на две волны, нагруженные захваченными электронами.
-
Впервые в замкнутой самосогласованной форме решена задача резонансного взаимодействия электронов слабонеоднородной плазмы с продольной волной, распространяющейся вдоль электрического поля, с учетом ее сильного ангармонизма, вычислен к.п.д. ее усиления.
-
В рамках адиабатического приближения рассмотрено резонансное взаимодействие электронов слабонеоднородной плазмы с волной круговой поляризации, бегущей вдоль магнитного поля, описана нелинейная дисперсия этой волны в процессе ее эволюции, как в направлении убывания концентрации плазмы, так и в направлении ее возрастания. С уменьшением индукции продольного магнитного поля резонансная скорость волны увеличивается, захваченные ею заряженные частицы ускоряются до релятивистских скоростей.
7. Впервые установлено, что фазовая скорость необыкновенной циркулярно-поляризованной волны, «нагруженной» захваченными электронами и бегущей вдоль магнитного поля в равновесной плазме, при уменьшении индукции магнитного поля, уменьшаясь, может стать меньше скорости света. Показано, что при уменьшении магнитного поля захваченные волной заряженные частицы ускоряются, а с уменьшением концентрации плазмы до нуля замедленная поперечная волна вместе с захваченными ею заряженными частицами выходит из плазмы, практически не теряя энергию, полученную от внешних источников в процессе ее возбуждения. Основные положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Результаты исследований резонансного взаимодействия продольных волн с
электронами квазистационарной плазмы и с пучками электронов большой плотности,
которые включают в себя:
условия, при которых возбуждение волны внешними источниками оптимально;
нелинейный сдвиг частоты волны в процессе ее возбуждения, возникающий из-за необратимого перераспределения резонансных электронов, усиление энергии плазменных колебаний при уменьшении плотности плазмы;
сильный ангармонизм продольной волны в процессе ее адиабатического взаимодействия с пучком захваченных электронов большой плотности. Предложена простая модель этого взаимодействия в виде гибрида из двух волн, позволяющая учитывать конечный сдвиг частоты волны, возникающий под влиянием пучка захваченных электронов.
2. Новые результаты теории резонансного взаимодействия заряженных частиц
слабонеоднородной плазмы с продольными волнами в условиях их сильного ангар-
монизма:
описание эволюции продольных волн в слабонеоднородной плазме в широком диапазоне фазовых скоростей, вплоть до значений, близких к тепловой скорости электронов, нелинейные эффекты, возникающие в процессе этой эволюции (сильный ангармонизм волны в виде гибрида из двух волн, проникновение этого гибрида в очень плотные, закритические слои плазмы);
ускорение захваченных электронов продольными волнами в релятивистской слабонеоднородной плазме, основанное на использовании нелинейной дисперсии этих волн; неустойчивость профиля волны «нагруженной» захваченными электронами, обусловленная их ускорением;
усиление ленгмюровской волны в слабонеоднородной плазме с продольным электростатическим полем; анализ баланса энергии, к.п.д. процесса усиления.
3. Влияние резонансных электронов на нелинейную дисперсию необыкновенных
поперечных волн в слабонеоднородной плазме с продольным магнитным полем; ус
корение заряженных частиц этими волнами в плазме с убывающим продольным маг
нитным полем до релятивистских скоростей; трансформация необыкновенной попе
речной волны, бегущей вдоль магнитного поля в равновесной плазме, в поперечную
волну с фазовой скоростью, меньшей скорости света, которая может существовать в
равновесной плазме без магнитного поля и иных замедляющих структур.
Достоверность и обоснованность результатов работы подтверждается: возможностью получения строгого решения в большинстве поставленных задач; отсутствием противоречий с известными теоретическими исследованиями по данной тематике; рассмотрением различных предельных переходов, когда исследуемая нелинейная дисперсия волн становится линейной; совпадением полученных результатов с экспериментальными данными, приводимыми в научной литературе.
Научное и практическое значение диссертационной работы.
-
Теоретические результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований в области резонансного взаимодействия заряженных частиц с электромагнитными волнами, например, при исследовании взаимодействия этих частиц с поперечными волнами в замагниченной плазме, с электромагнитными волнами в плазменных волноводах; они могут быть использованы для разработки устройств усиления и генерации электромагнитных волн в плазменной электронике, для исследований в ускорительной технике, в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу.
-
Установленное в диссертации условие оптимального возбуждения плазменных волн внешними источниками представляет интерес для повышения эффективности генерации этих волн. Усиление энергии плазменных колебаний в процессе уменьшения плотности плазмы может найти применение в устройствах плазменной электроники.
-
Конечный сдвиг частоты, возникающий под влиянием пучка электронов большой плотности, ангармонизм волны, неустойчивость ее профиля (распад исходной волны на две других волны) необходимо учитывать при разработке устройств плазменной электроники. Увеличение фазовой скорости у последовательности разнопо-лярных солитонов может быть использовано для ускорения заряженных частиц в ускорителях, использующих волновые методы ускорения.
-
Способность гибрида из двух волн существовать при концентрации много большей критической концентрации (проникновение волны, «нагруженной» захваченными электронами, в закритические области плазмы) представляют несомненный интерес для диагностики плотных слоев плазмы, ее нагрева в установках термоядерного синтеза.
-
Практическую значимость в ускорительной технике представляет ускорение захваченных заряженных частиц поперечной волной в плазме с продольным магнитным полем, индукция которого убывает. После исчезновения магнитного поля эти волны превращаются в замедленные поперечные волны, "нагруженные" захваченными электронами. Их энергоемкость значительно больше энергоемкости электромагнитных волн, невзаимодействующих резонансно с заряженными частицами плазмы. Они интенсивно взаимодействуют с заряженными частицами плазмы, вследствие чего появляются новые возможности для усиления и генерации электромагнитных волн, для транспортировки волновой энергии в плазменных волноводах. Замедленные волны могут существовать в плазме в отсутствие магнитного поля и других искусственных замедляющих структур, что упрощает технологию изготовления устройств плазмен-
ной электроники и радиофизики. В отличие от продольных волн замедленные поперечные волны способны покидать пределы плазмы вместе с пучком захваченных ими электронов. Благодаря этой особенности замедленные волны могут составить достойную конкуренцию лазерному излучению в промышленных технологиях, так как их энергия значительно больше энергии лазерного излучения.
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты теоретических исследований, которые получены в основном самостоятельно без соавторов.
Апробация результатов работы. Основные результаты работы и положения, выносимые на защиту, докладывались на третьей, четвертой, шестой, десятой Всероссийских научно-технических конференциях «Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники» (Таганрог, 1996, 1997, 1999, 2006 гг.); на III Международной научной конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Волгоград, 2004 г); на Международных научных конференциях «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» (ИРЭМВ-2005 - Таганрог, 2005 г.; ИРЭМВ-2007 - Таганрог, 2007 г.; ИРЭМВ-2009 - Таганрог, 2009 г); на Международной научной конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (ММА-2006, -Таганрог, 2006 г.); на XXII Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн» (РРВ-22 - Ростов-на-Дону-п. Лоо, 2008 г.); на XI Всероссийской научной конференции (ВНКСФ 11.11. - Екатеринбург, 2005 г.); на Международной конференции «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность» (MSS-09 - Москва, Институт Космических Исследований РАН, 2009 г.); на IX Международной IEEE Сибирской конференции по управлению и связи (Sibcon 2011 - Красноярск, 2011 г.); на VII Mezinarodni v ё decko-prakticka conference «Aktual-ni vymozenosti vedy - 2011» (Dil 18. Fisika. Praha, 2011 г.); на Седьмой Ежегодной Конференции «Физика плазмы в солнечной системе» (Москва, Институт Космических Исследований РАН, 2012 г.); на XL Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 11.02. 2013 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 40 печатных работ, в журналах "ЖЭТФ", "Физика плазмы", "ЖТФ", "Изв. вузов. Физика", "Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки", "Изв. вузов. Труды ТРТУ", в сборниках трудов всероссийских и международных конференций (из них 17 статей в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов докторских диссертаций).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав и заключения. Каждая глава начинается небольшим «предисловием» и заканчивается «общими выводами». Диссертация изложена на 307 страницах и иллюстрирована 26 рисунками. Список литературы включает 356 источников.
Постановка задачи, распределение захваченных и пролетных электронов в поле квазистационарной ленгмюровской волны
Для временной эволюции волны в однородной бесстолкновительной плазме наиболее характерной является следующая постановка задачи [14]. Внешние источники, равномерно распределенные в однородной бесстолкновительной плазме, слабо подпитывают волну, распространяющуюся в этой плазме, с потенциалом
В процессе возбуждения волны ее амплитуда очень медленно увеличивается от нуля при t —»—оо до некоторого произвольного значения A . Частота волны, близкая в начальный момент возбуждения к плазменной частоте оо0 « оое, в процессе возбуждения волны уменьшается [28, 14], поэтому частота внешних источников должна меняться вслед за ней.
В [14] показано, что функциями распределения /+(/+), F(J) пролетных и захваченных электронов в поле квазистационарной волны, амплитуда и фазовая скорость которой изменяются, являются произвольные функции адиабатических инвариантов
пролетных и захваченных электронов, где W -полная энергия электрона, ф1, ф2 -корни подкоренного выражения. Знак «+» для пролетных опережающих, знак «-» для пролетных отстающих электронов. Так как I±(A = 0) = Vz, то конкретный вид функций распределения пролетных электронов определяется с помощью начального условия /+(/+)—»/0 (Tz) при Ґ—»-оо, где f0(Vz) - невозмущенная функция распределения. Учитывая это условие, функции распределения пролетных электронов запишем в виде где R = J(tym) - значение адиабатического инварианта на сепаратрисе. Если профиль волны является синусоидальным ф = — Acos\\f, то вычисление адиабатических инвариантов для пролетных и захваченных электронов (2.2.2) дает эллиптические интегралы первого и второго рода, к =(W+ А)/{2А) - параметр захвата, для пролетных электронов к 1, для захваченных электронов к 1. Из (2.2.4) следует, что с увеличением амплитуды волны параметр захвата как пролетных опережающих, так и пролетных отстающих электронов уменьшается. Поэтому в момент, когда полная энергия электрона сравнивается с его максимальной потенциальной энергией W = фт, эти электроны захватываются в потенциальные ямы волны. Из-за фазового перемешивания число захваченных электронов, движущихся в противоположных направлениях, одинаково F_=F+ = F/2, где F = F_+F+, F±= F(J(W)).
Распределение захваченных электронов найдено в [14] с помощью условия сохранения заряда где Rtr = J(tym) - значение адиабатического инварианта на сепаратрисе для захваченных и Rut = Jut(tym) для пролетных электронов,
Согласно (2.1.3) изменение адиабатического инварианта на сепаратрисе порядка s = dA/dt. Пренебрегая на этом основании его изменением, легко установить связь между адиабатическими инвариантами пролетных и захваченных электронов в момент захвата R = Rut = Rtr. Для нахождения распределения захваченных электронов необходимо знать распределение пролетных электронов в предшествующие моменты эволюции f0(u + R% f0(u-R% где R = Jut(4 m), q4 - максимальное значение потенциала, при котором происходил захват, ф т фт. Полагая в (2.2.5) Rut = Rtr = R , после дифференцирования по R с учетом зависимости фазовой скорости волны от ее амплитуды u{Rr) = u\A{Rr)) найдем получим распределение захваченных электронов [14].
Возбуждение продольных волн в электронной плазме внешними источниками в плазменной радиофизике и электронике, в экспериментах с лабораторной и космической плазмой является важной задачей, так как понимание того, как происходит энергообмен между внешними источниками и волной позволяет минимизировать потери в процессе возбуждения волны. Постановка задачи, в которой волна возбуждается внешними источниками, слабо подпитывающими волну, использовалась во многих работах [28, 13, 14]. Однако детального анализа этого процесса, не проводилось, поэтому настоящий раздел посвящен краткому описанию энергообмена между волной и внешними источниками. В [165] отмечалось, что описание квазистационарной эволюции ленгмюровской волны необходимо проводить в комплексе с анализом процесса возбуждения этой волны внешними источниками. В реальных условиях процесс возбуждения волны наиболее естественно осуществляется слабыми внешними источниками. Будет полагать, что внешние источники равномерно распределенными по всему пространству, их мощность, по крайней мере, для конечных амплитуд, мала по сравнению с мощностью волны. Подпитывая волну, они при определенных условиях передают ей свою энергию. В процессе этого энергообмена амплитуда волны очень медленно увеличивается.
Условие появления солитонов в процессе эволюции продольной волны с пучком захваченных электронов
Выясним, как изменяется форма потенциала волны, когда высота барьера, разделяющего потенциальные ямы, приближается к значению полной энергии пучково-плазменной системы U(Wb) S. В этом случае особое внимание необходимо
обратить на изменение потенциала в окрестности вершины барьера. Для детального описания этого изменения необходимо учесть, что пучок в реальных условиях имеет разброс по продольной скорости. Из-за этого вершина барьера принимает форму не острого пика, как это изображено на рис. 10 (3, 4), а является сглаженной рис. 12 с максимумом при потенциале ф фй . Очевидно фй Wb, поэтому в дальнейшем там, где удобно энергию Wb можно заменить потенциалом фй .
Задачу нахождения потенциала волны будем решать, взяв в качестве исходного приближения потенциал (3.4.10). Если U(Wb) S, то расстояние между равновесными состояниями ф10, ф2о максимально ф10 — ф2о Ах+ А2. В окрестности фй 2А2 относительно потенциала ф2 электроны с энергией W фй являются пролетными, а электроны с энергией W фй являются захваченными. Их адиабатический инвариант в поле потенциала (3.4.10) внутри интервала Л2 где Л2 дается формулой (3.4.12), в которой Wb нужно заменить на ф6, Ж -полная энергия электронов пучка, отсчитываемая от минимума потенциала волны, к2 = Ж/(2А2).Для электронов с энергией qb W qm адиабатический инвариант равен энергия W1 отсчитывается от уровня энергии W = фй. Вблизи уровня энергии W « ф6 этот адиабатический инвариант имеет более простой вид
Вдоль фазовой траектории электрона величина адиабатического инварианта постоянна. Поэтому с увеличением амплитуды волны в разные моменты времени JQV (pm) = J1((pb W (pm) = J2(W (pb). В (3.3.3) удобно избавиться от фазовой скорости, выразив ее через энергию Wb электронов, при которой функция распределения максимальна. Продольная скорость электронов пучка, при которой их функция распределения достигает максимума, равна Vb =u + Rb, где
Rb = J(Wb). Подставив J = J12(W), Vb =u + J12{Wb) в (3.3.3) найдем распределение захваченных электронов пучка в поле потенциала (3.4.10). Подставив в эту функцию распределения (3.5.3), (3.5.4) и полагая Wb tyb для распределения захваченных электронов пучка с энергией в поле потенциала (3.4.10) найдем Используя явный вид функции распределения (3.3.4), подставим (3.5.6) в (3.4.5), причем в интеграле по лученного выражения, внутри интервала срй W фш перейдем к новому пере менному интегрирования W1=W- b. Радикал в функции fb0xJfi1xJtyb + 1 -\1(Рь)) разложим в ряд по Ц\, ограничиваясь в нем старшим порядком. В результате эффективный потенциал (3.4.5) принимает вид /(Mr) -нормировочный множитель. Выясним, каким будет профиль /(ф) в окрестности потенциала фй, когда высота барьера приближается к значению полной энергии волны t/(cp6) . Разложим /(ф), в ряд по ф1 = ф - фй, если ф фй, и в ряд по ф2 = ф - фй, если ф фй, удерживая в разложении слагаемые, содержащие ф1, ф2, вплоть до третьей степени, затем проинтегрируем полученное выражение. Солитонное решение существует при условии Ъ2 0, Ъ 2 0. Оно выполняется, если и плотность пучка достаточно велика Nb 42neVbT/u2. Подставив (3.5.7) в (3.4.4) и разложив на множители правую часть полученных уравнений, в системе отсчета, связанной с волной, имеем следующую систему уравнений Найдем решение сначала для потенциала ф фй. Интегрирование первого уравнения (3.5.8) дает потенциал 91 изменяется от максимального значения ф1 = а1 до нуля. Если v=0, то согласно (3.5.10) щ -это амплитуда импульса положительной полярности ф1, =24. Решение (3.5.10) не удовлетворяет граничным условиям (3.4.2). Чтобы устранить этот недостаток поделим (3.5.11) на F (хт\, \) / \, в результате получим
После обращения (3.5.13) и подстановки в (3.5.10) имеем Фі іЧ 1+V (l + c FC xO , )), . (3.5.14) Периодом cn(z,x) является 4F(xml,T), при %Ьп=п/2 этот период равен 4Дх). Полагая z = ±Al, легко проверить, что период (3.5.14) равен 2Л1, если 5І =2. Аналогичное решение найдем для ф2, если проинтегрировать второе уравнение (3.5.8). В результате получим (3.5.14), только в этой формуле нужно провести замену 4 - А2, 51 - ,2, т1 - х2, Хм - Хот2, Л1 Л2.
Трансформация синусоидальной волны в гибрид из двух волн
Выясним, как сказывается скопление захваченных электронов в интервале энергий 0 W W0 после достаточно длительной эволюции на профиле волны и ее дисперсии. Из графика для эффективного потенциала рис. 14 видно, что с уменьшением W0 увеличивается область W0 ср срш, в которой эффективный потенциал близок к невозмущенному С/0(ф) м2Дф-ф0). В области потенциалов ф W0 по мере увеличения фазовой скорости и уменьшения W0 =2 «JAA0 и увеличивается глубина ямы. Если и 2, то W0 уменьшается до величины W0 ф0, и в области W0 ф фш появляется еще одна яма с минимумом при ф = ф0 = Ф10 (рис. 15). Далее для однотипности введено обозначение ф10 = ф0. Старая яма с минимумом при ф = ф20 из-за уменьшения W0 сдвигается в сторону меньших значений потенциала.
Профиль эффективного потенциала на втором этапе эволюции приобретает следующий вид: в области фтіп (p W0 находится яма с минимумом при потенциале равном ф20, в области W0 (p (pm возникает яма с минимумом ф = ф10. Поэтому, когда изменение потенциала ф происходит в области W0 ф фш, то он является фрагментом синусоидальной волны, амплитуду и пространственный период которой обозначим А 1 и . В области фтіп y W0 профиль второй ямы эффективного потенциала также можно аппроксимировать параболой. Крутизна склонов второй ямы больше, чем у первой, поэтому, если потенциал ф изменяется в этой области, то в линейном приближении он также имеет вид фрагмента синусоидальной волны, но с другими амплитудой А2 и пространственным периодом
Так как увеличение фазовой скорости на первом и втором этапе эволюции невелико, то затухание волны пока можно не учитывать, оно учтено в последнем разделе этой главы.
Таким образом, волна на втором этапе эволюции имеет вид последовательности фрагментов двух волн с разными амплитудами и пространственными периодами рис. 16 (кривая 1 соответствует графику эффективного потенциала рис. 14 (2), а кривая 3 соответствует графику рис. 15 (3)). Эти фрагменты движутся с одинаковой фазовой скоростью и, чередуясь между собой, образуют гибрид из двух волн. Обозначим потенциалы первой и второй волны через \y2=\k2dz-t, к2=2п/Х2, 11, 12 пространственные периоды этих волн. После образования второй ямы у эффективного потенциала между равновесными центрами ф10, ф20 двух волн возникает смещение Дер = ср10 — А1. С учетом этого смещения потенциал волны запишем в виде верхних фрагментов волны относительно нижних. Так как потенциал первой волны ФіСЧ ) смещен вверх относительно второй волны ф2(і/2) на величину Аф, то его электростатический потенциал равен ф10 = ф1 « А\ + Аф. Профили этих волн близки к синусоидальному профилю, отличие легко вычислить, используя теорию возмущений.
Отметим, что в поле потенциала (4.3.1) ранее полученное распределение захваченных электронов (4.2.4), а значит и эффективные потенциалы (4.2.17), (4.2.18) уже не будут самосогласованными. Трудность решения любой самосогласованной задачи, заключается в том, что распределение электронов определяется потенциалом волны, однако для нахождения последнего нужно знать это распределение. Чтобы разорвать эту замкнутую цепь взаимозависимости, из общих соображений предложена простая модель волны (4.3.1) в виде гибрида из двух волн. Далее необходимо определить амплитуды и пространственные периоды потенциалов фі(і/і), Ф2(м/2). Решение самосогласованной задачи облегчается, если принять во внимание, что распределение захваченных электронов формируется в процессе захвата опережающих пролетных электронов, распределение которых известно. Отметим также, что отклонение потенциалов от синусоидальной формы слабо сказывается на виде функции распределения захваченных электронов. Действительно, профиль волны нужно учитывать лишь при вычислении адиабатических инвариантов. Значение же адиабатического инварианта в первую очередь определяется амплитудой и фазовой скоростью волны и в меньшей мере зависит от ее формы. С учетом этих замечаний самосогласованную задачу эволюции волны на втором этапе будем решать, взяв в качестве начального распределения распределение (4.2.4) электронов, захваченных на первом этапе, полагая в нм, что A и u - амплитуда и фазовая скорость волны на втором этапе.
Адиабатический инвариант захваченных электронов в поле потенциала (4.3.1), если считать потенциалы ф1, ф2 гармоническими функциями, имеет вид
Нелинейный закон дисперсии ленгмюровской волны в слабонеоднородной релятивистской плазме в начале эволюции
Рассмотрим ленгмюровскую волну в начале эволюции W0 ф0, когда электроны, захваченные волной при увеличении ее фазовой скорости, не успели опуститься достаточно глубоко на дно потенциальной ямы. Когда плазма нерелятивистская, процесс вычисления jjj в линейном приближении описан в [15]. Для этого удобно отделить ток резонансных электронов от нерезонансных, вводя между ними условную границу w = Jq m . После разложения тока нерезонансных электронов в ряд по степеням ф в линейном приближении по полю проинтегрируем полученный результат по С:Систему уравнений (5.1.3) можно упростить, если пренебречь явной зависимостью jz от z. Тогда уравнение непрерывности др/dt = —djz/dz принимает вид р = jz/u. Исключив р в первом уравнении (5.1.3) с помощью последней формулы и используя релятивистски-инвариантную калибровку Az = г/ф легко убедиться, что уравнения (5.1.3) эквивалентны. В рассматриваемом приближении вместо уравнений (5.1.3) можно использовать уравнение
Дисперсионное уравнение в начале эволюции w0 ф0 получается после подстановки (5.1.20) в правую часть (5.1.21). Так как подынтегральное выражение в (5.1.20) уменьшается экспоненциально быстро с ростом С, то при интегрировании j1 (ф), у2 (ф) по С положим «1. Затем в интегра лах (5.1.20) перейдем к новой переменной х = 1 + С2 , тогда первое слагаемое в фигурных скобках 72 (ф) вычисляется точно. В полученном после интегрирования по С результате вынесем из-под интегралов 1(Pw ), полагая P v « fiw0 = 1Т-s1 - U0 , так как электроны с w « w0 вносят наибольший вклад в полный ток. Кроме этого из-под знака интеграла с интервалом интегрирования w0 w q m вынесем 1-yjw - ф , полагая w = w0. Окончательно получим
Анализируя найденный ток, отметим, что в нерелятивистском случае и «1 внутри фазового интервала — 00 \/ Э0 поправки конечны, если в начале эволюции волны фазовая скорость близка к тепловой скорости электронов и « VT. Однако в релятивистском случае и — 1 вклад от тока захваченных электронов внутри интервала -Є0 у 90, пропорциональный b0 1(1- w2)5/4 , b2 1(1- w2)3/4 , может стать больше вклада от нерезонансных электронов А. Вне этого интервала он остается пренебрежимо малым Ъхе 1 Т .
Таким образом, в релятивистском случае в процессе эволюции волны значительно возрастает составляющая тока, обусловленная вкладом захваченных электронов, по сравнению с составляющей тока нерезонансных электронов. Вследствие этого в релятивистском случае ангармонизм волны увеличивается. Он будет заметен не только, когда эволюция волны начинается с фазовых скоростей, близких к тепловой скорости электронов, но и в хвосте их распределения. Из-за различия токов внутри фазового интервала - 90 \\f Є0 и вне его профили возбуждаемых токами потенциалов в этих интервалах также будут неодинаковым. В связи с этим решение (5.1.21) в линейном приближении по амплитуде нужно искать в виде где А2, 4 - амплитуды фрагментов волн внутри фазового интервала - 0О у 0О и вне его, щ = \kxdz-at, \\f2= \k2dz- Ш. Чтобы задача стала самосогласованной нужно при вычислении адиабатического инварианта (5.1.7) и функции распределения (5.1.17) учитывать новый потенциал (5.1.24). Однако, так как отличие Ах от А2 и щ от и2 мало, то в качестве исходного приближения возьмем щ = к{ &и2=к2 « и, Ах « А2 « А. Это позволяет ток (5.1.22) в поле потенциала (5.1.24) оставить прежним.
Оставив в (5.1.22) после разложения Уі(ф), j2(ф) в ряды соответственно по степеням ф — Фо и ф — W0 лишь слагаемые, линейные по ф, после подстановки линеаризованных таким образом токов в (5.1.21), с использованием асимптотики дисперсионные уравнения для фрагментов волны в начале эволюции w0 ф0 запишем в виде
Нелинейная поправка уравнения (5.1.25) учитывает захват электронов в процессе увеличения фазовой скорости волны. В нерелятивистском случае, эта поправка пропорциональна /0(и0)/л/А , поэтому, как отмечалось во введении главы 4, с точностью до постоянной она совпадает с нелинейной поправкой дисперсионного уравнения [15], хотя предыстория эволюции волны в этой работе другая. В пренебрежении нелинейными поправками, если к1=к2=к, уравнения (5.1.25), (5.1.26) принимают вид (1-и2)Р/(к2-1) = и2Р = 1.
Нелинейная поправка вне фазового интервала - 90 V/ 90 всегда положительна
Уже отмечалось, что в нерелятивистском случае в начале эволюции с точность до постоянного множителя в нелинейной поправке это уравнение совпадает с дисперсионным уравнением [15] для волны, нагруженной захваченными электронами. Внутри фазового интервала - 90 \\f 90 нелинейная поправка в начале эволюции
Однако с ростом фазовой скорости w0 уменьшается, вследствие чего при W0 « ф0 условие малости нелинейной поправки даже в нерелятивистском случае нарушается. В предыдущей главе объясняется, почему после уменьшения w0 до значений w0 « ф0 дисперсионное уравнение (5.1.28) теряет смысл. Дело в том, что у эффективного потенциала с момента w0 « ф0 возникает вторая потенциальная яма, а это приводит к появлению внутри фазового интервала — 90 V/ Э0 фрагмента новой волны. Дисперсионные выражения (5.1.25), (5.1.26) получены в приближении А «Т. Это условие эквивалентно VE « VT, VE 2лІА - максимальная скорость захваченных электронов в системе отсчета, связанной с волной. Из (5.1.27), (5.1.28) следует, что дисперсия волны внутри фазового интервала -90 1/ 90 и вне его различна. Вследствие этого волна (5.1.24) является последовательностью фрагментов двух волн с разными амплитудами и длинами волн. В системе отчета, связанной с волной, ее пространственный период = 1 + 2 складывается из длин 1=Q1 1/n, 2 =в2 2/7Г ее фрагментов, где Є1, 92 - фазовые размеры фрагментов, 1, 2 - длины волн первой и второй волны в этой системе отчета. Отметим, что на начальном этапе эволюции 92 = 90, 91 « п - 90. Воспользовавшись лоренцевым сокращения длины, найдем длину волны гибрида из двух волн в лабораторной системе отсчета: X = 1-u 2 (l1+ 2) = 1X1+ X2, (5.1.29) 71 184 где Xl = yj\-u 2Xl, Х2 = лІ\-и2Х2. Пространственные периоды первой и второй волны А,! =2л/ки Х2=2л/к2 определяются (5.1.27), (5.1.28). Очевидно (5.1.29) имеет смысл, если и = 2п/Х 1.
