Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проекционный метод в теории экранированной микрополосковой линии 19
1.1. Постановка задачи 19
1.2. Вывод системы операторных уравнений для плотности тока на полосковом проводнике 23
1.3. Решение системы операторных уравнений 32
1.3.1. Проекционный подход к решению операторных уравнений 32
1.3.2. Улучшение сходимости рядов для матричных коэффициентов СЛАУ 37
1.3.3. Асимптотическое решение бесконечной СЛАУ 41
1.4. Численный анализ спектра собственных волн МПЛ 44
1.5. Характеристики основной волны МПЛ 49
1.5.1. Расчёт постоянной распространения и волнового сопротивления .49
1.5.2. Аналитические выражения для постоянной распространения и волнового сопротивления в квазистатическом приближении 52
1.5.3. Аппроксимационные формулы для расчёта постоянной распространения и волнового сопротивления 55
1.6. Алгебраическая модель МПЛ на основе проекционного метода с использованием тригонометрического базиса 59
1.7. Анализ сходимости проекционного "сшивания" собственных волн на стыке микрополосковых линий с различной шириной полоскового проводника 62
Выводы 67
Глава 2. Алгебраические модели полосковых линий различного типа на основе проекционного метода 70
2.1. Постановка задачи 70
2.2. Алгебраическая модель связанных микрополосковых линий 73
2.2.1. Система операторных уравнений для плотности тока 73
2.2.2. СЛАУ для коэффициентов разложения плотности тока по взвешенным полиномам Чебышева для собственных волн нечётного типа 76
2.2.3. Улучшение сходимости радов для матричных коэффициентов 78
2.2.4. Асимптотические выражения для матричных коэффициентов 80
2.2.5. СЛАУ для коэффициентов разложения плотности тока по взвешенным полиномам Чебышева для собственных волн чётного типа 83
2.3. Алгебраическая модель связанных микрополосковых линий на подвешенной подложке 87
2.4. Алгебраическая модель связанных щелевых линий 91
2.5. Алгебраическая модель МПЛ с многослойным диэлектриком 95
2.6. Анализ численных результатов 100
Выводы 102
Глава 3. Математическая модель микрополосковой линии с потерями 104
3.1. Постановка задачи 104
3.2. Учёт потерь в материале подложки 107
3.3. Учёт потерь в нижнем экране 110
3.4. Учёт потерь в полосковом проводнике 116
3.5. Учёт потерь в МПЛ с многослойными проводниками 121
3.6. Математическая модель поглощающей микрополосковой плёнки...
3.6.1. Вывод системы операторных уравнений для плотности тока на плёночном проводнике 126
3.6.2. Алгоритмизация на основе проекционного метода с использованием тригонометрического базиса 130
3.6.3. Решение задачи в квазистатическом приближении 134
3.6.4. Результаты численного исследования 136
3.7. Электродинамическая модель плёночного резистора 142
Выводы 145
Глава 4. Математические модели нерегулярностей микроиолосковой линии на основе проекционного метода 147
4.1. Постановка задачи 147
4.2. Описание нерегулярностей МПЛ матрицами рассеяния и проводимости 150
4.3. Вывод системы двумерных операторных уравнений для плотности тока на полосковых проводниках 152
4.4. Алгоритмизация на основе проекционного метода с использованием "чебышевского" базиса 161
4.5. Электродинамическая модель обрыва полоскового проводника МПЛ 176
4.5.1. Основные расчётные соотношения 176
4.5.2. СЛАУ для плотности тока на полосковом проводнике 182
4.5.3. Численно-аналитический метод решения бесконечной СЛАУ 184
4.5.4. Результаты численного исследования 189
4.6. Электродинамическая модель разрыва полоскового проводника МПЛ 199
4.6.1. Краткая сводка расчётных формул 199
Заключение.
Литература.
Приложение
- Вывод системы операторных уравнений для плотности тока на полосковом проводнике
- СЛАУ для коэффициентов разложения плотности тока по взвешенным полиномам Чебышева для собственных волн чётного типа
- Вывод системы операторных уравнений для плотности тока на плёночном проводнике
- Вывод системы двумерных операторных уравнений для плотности тока на полосковых проводниках
Вывод системы операторных уравнений для плотности тока на полосковом проводнике
Основной проблемой в электродинамической теории экранированной микрополосковой линии является построение системы собственных волн. Её решение даёт возможность рассмотреть задачи дифракции на не- регулярностях линии и на их основе разработать методы электродинамического анализа различных элементов интегральных схем СВЧ. Проблема эффективного нахождения собственных волн особенно актуальна при решении задач дифракции на скачкообразных нерегулярностях МПЛ методами проекционного "сшивания" и создании математических моделей нерегулярных микрополосковых структур, представляющих каскадное соединение отрезков регулярных линий, причём для каждой линии требуется найти не только основную волну, но и достаточно большое число высших волн. Сложность проблемы в том, что для МПЛ не удаётся получить решение граничной задачи в замкнутой аналитической форме, а применение прямых численных методов требует преодоления значительных трудностей, связанных с особенностями поля вблизи полоскового проводника, необходимостью обращения матриц очень высокого порядка, неустойчивостью численных результатов и обоснованием их достоверности. Поэтому актуальна разработка новых методов электродинамического анализа МПЛ, позволяющих построить эффективные алгоритмы нахождения как основной, так и собственных волн высших типов.
Собственные волны находятся в результате решения граничной задачи для уравнений Максвелла. Используя общие методы теории возбуждения волноводов [19], решение этой задачи можно представить в виде бесконечных рядов Фурье, коэффициенты которых выражаются через интегралы от плотности тока на полосковом проводнике. Граничное условие для тангенциальной составляющей напряжённости электрического поля на поверхности полоскового проводника приводит к операторному уравнению относительно плотности тока. Это уравнение можно отнести к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, к которому формально можно перейти, меняя порядок интегрирования и суммирования. Строго говоря, такой переход некорректен, так как ядро полученного таким образом интегрального уравнения имеет неинтегрируемую особенность. Обойти эту трудность можно путём подходящего выбора базисных функций при решении интегрального уравнения проекционным методом, который сводит исходную граничную задачу электродинамики к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов разложения плотности тока на полосковом проводнике по выбранной системе базисных функций [20]. Следует отметить, что процедура получения СЛАУ носит формальный характер. Сходимость проекционных разложений к точному решению задачи требует специального исследования и доказательства. Строгое доказательство сходимости представляет собой сложную проблему. Если строгое доказательство сходимости провести не удаётся, то проводится численное исследование сходимости в зависимости от порядка СЛАУ. Устойчивость численных результатов принимается как критерий их достоверности. Однако такой подход при медленной сходимости не позволяет оценить точность полученного решения.
Точность решения существенно зависит от выбранной системы базисных функций. От выбора базисных функций и их числа К существенно зависят такие важные характеристики, разрабатываемых на основе проекционного метода алгоритмов, как скорость сходимости и устойчивость численных результатов. Эти характеристики зависят также от числа членов М, учитываемых в медленносходящихся рядах для матричных коэффициентов СЛАУ и точности их вычисления. Так, если базисные функции не удовлетворяют условию на ребре, то решение критично к отношению М/К и сходимость приближённого решения к точному имеет место только при определённом отношении М/К, при котором выполняются условия на ребре (при М — со, К. — соЭто явление называют относительной сходимостью [20]. Медленная сходимость вызывает серьёзные затруднения при численной реализации проекционного метода, связанные с обращением очень больших матриц и неустойчивостью численных результатов.
Таким образом, при нахождении системы собственных волн на основе проекционного метода решения операторных уравнений, к которым сводятся исходные граничные задачи, основными проблемами являются выбор оптимальной системы базисных функций для представления решения и проектирования и суммирование медленносходящихся рядов для матричных коэффициентов. Эти проблемы решены на основе подхода, предложенного нами в работе [17]. Решение операторного уравнения представляется в виде произведения двух функций, одна из которых, весовая, учитывает краевые особенности решения, а другая, регулярная, представляется в виде разложения по ортогональным полиномам Чебышева. При этом коэффициенты разложения определяются из бесконечной СЛАУ, коэффициенты которой имеют явно выраженный диагональный характер, и преобразованы в быстросходящиеся ряды. Принципиальное отличие предложенного подхода от применявшихся ранее в том, что, во-первых, впервые в теории МПЛ получено решение операторного уравнения в виде бы- стросходящегося ряда по полиномам Чебышева, во-вторых, проведено асимптотическое суммирование бесконечных рядов для матричных коэффициентов бесконечной СЛАУ, в-третьих, получено асимптотическое решение СЛАУ, позволяющее оценить погрешность окончательных численных результатов.
В настоящей главе подробно изложен численно-аналитический метод нахождения системы собственных волн экранированной микрополос- ковой линии, основанный на сведении граничной задачи для уравнений Максвелла к операторному уравнению и решению этого уравнения проекционным методом. Исследованы выражения для матричных коэффициентов бесконечной СЛАУ и получено её асимптотическое решение.
СЛАУ для коэффициентов разложения плотности тока по взвешенным полиномам Чебышева для собственных волн чётного типа
Тригонометрический базис не может обеспечить быструю сходимость проекционных разложений для плотности тока на полосковом проводнике, так как условие на ребре выполняется только при бесконечном числе базисных функций. Тем не менее, тригонометрический базис использовался многими авторами при теоретическом анализе полосковых линий. Но в опубликованных работах отсутствуют сведения о практически достигаемой точности расчёта основных характеристик МПЛ и оценке погрешности в зависимости от порядка СЛАУ. В данном разделе приводятся результаты исследования сходимости проекционного метода с использованием тригонометрического базиса, который, по сравнению с "чебышев- ским" базисом, является проще и более универсальным.
Для собственных волн чётного типа плотность тока представляется в виде разложений (1.33): Бесконечные ряды для матричных коэффициентов (1.35) сходятся медленно, причём чем меньше а и больше L, тем хуже сходимость. Поэтому при численной реализации алгоритма целесообразно проводить процедуру улучшения сходимости, используя методику, изложенную в разделе 1.3.2. При этом решаются проблемы, связанные с явлением относительной сходимости, неустойчивостью численных результатов и существенно уменьшается время счёта на персональном компьютере.
Численное исследование, как и следовало ожидать, показало медленную сходимость разложений (1.73) для плотности тока, что обусловлено особенностью поля на краях полоскового проводника. Сказанное иллюстрируется данными таблицы 1.4, в которую сведены результаты расчёта а21 и Ь21-1, полученные при численном решении СЛАУ (К=21). В результате проведённого исследования установлено, что при больших значениях / коэффициенты разложений убывают как: Так как при таком законе убывания коэффициентов а21 и Ъ21 обеспечивается выполнение условий на ребре, то можно сделать вывод о сходимости разложений (1.73) к точному решению задачи при X оо.
Следует отметить, что несмотря на медленную сходимость разложений для плотности тока, постоянная распространения Г основной волны определяется с достаточно малой погрешностью « 0.5%) уже в первом приближении =0, К=1) . При этом погрешность расчёта волнового сопротивления существенно больше и составляет « 5%. Сказанное подтверждается данными таблицы 1.5. В первых столбцах таблицы - результаты, полученные при использовании тригонометрического базиса (К=1), во вторых - результаты, полученные при использовании "чебышевского базиса" (К=1), в третьих - результаты, полученные при использовании "чебышевского" базиса (АТ=5), которые можно считать точными.С увеличением числа Ь в разложениях (1.73) до значения 1=5 (К=11) погрешность расчёта волнового сопротивления Жл уменьшается до 1%.
При дальнейшем увеличении Ь постоянная распространения Г и волновое сопротивление Жл медленно приближаются к предельным значениям. При этом ё\К) « 0.34$Тк , »1.2л/5/К и таким образом 0.1% погрешность для Г и 0.4% погрешность для Жл достигается при =25 (.К=51). Однако при этом нужно с высокой точностью вычислять ряды для матричных коэффициентов СЛАУ, что практически возможно лишь с применением процедуры улучшения сходимости рядов. В таблицу 1.6 сведены результаты расчёта Г и основной волны МПЛ, иллюстрирующие скорость сходимости метода с использованием тригонометрического базиса.
Стык микрополосковых линий является основным базовым элементом полосковых структур, представляющих каскадное соединение отрезков регулярных линий. Если известны матрицы рассеяния всех стыков, участвующих в формировании структуры, то, используя рекомпозицион- ные формулы [1], можно получить полную матрицу рассеяния моделируемой структуры.
Решение вопроса о сходимости метода «сшивания» численными методами связано с проблемой построения эффективных алгоритмов расчета собственных волн МПЛ, причем не только постоянных распространения, но и интегралов, через которые определяются матричные коэффициенты систем (1.74). Принципиальным положением, позволившим практически осуществить схему проекционного "сшивания" является улучшение сходимости рядов для матричных коэффициентов.
На основе предложенного метода построения системы собственных волн МПЛ разработан алгоритм и создана компьютерная программа для расчета элементов матрицы рассеяния стыка микрополосковых линий с различной шириной полоскового проводника. В каждой линии учитыва лось до 50 волн (N 50, N2 50). Комплексные волны в процесс «сшивания» не включались.
В результате анализа численных результатов установлено, что на частотах / удовлетворяющих условию / 0.5/кр (/кр - критическая частота первой высшей волны подполосочного типа; /кр[ГГц] &(300/Г)/с12[мм] ), величина действительной части коэффициентов отражения /;, 322 и коэффициентов прохождения 821, 312 основной волны значительно больше мнимой и практически не зависит от числа сшиваемых волн. Поэтому в указанном диапазоне частот можно ограничиться «сшиванием» лишь по одной основной волне (N=1, Ы2=1). При этом отличие результатов при «сшивании» по одной и десяти волнам не превышает 1% по модулю и 5% по фазе. Если 0.25 , то отличие не превышает 0.25% по модулю и 2.5% по фазе. В этом случае результаты практически совпадают с результатами, полученными из теории длинных линий:
Вывод системы операторных уравнений для плотности тока на плёночном проводнике
В первой главе предложен метод электродинамического анализа микрополосковой линии и показана его эффективность при моделировании ИС СВЧ. Однако при этом не учитываются технологические особенности монолитных интегральных схем. Тесное расположение отдельных элементов ведёт к тому, что межэлементная электромагнитная связь начинает играть важную роль в функционировании схемы. Поэтому модели изолированных элементов, как бы они ни были точны, становятся бесполезными, если не учитывать связи, так как при расстояниях между элементами порядка толщины подложки и меньше эффективная проницаемость микрополосковой структуры может отклоняться на 5% и более от случая одиночной МПЛ [33]. Помимо проблемы связи, современная технология монолитных ИС СВЧ включает изготовление многоуровневых планарных структур. Использование покрывающих и подстилающих слоев и слоев диэлектрика между металлическими элементами приводит к необходимости анализа элементов с учётом многослойности диэлектрической среды. При этом нужно иметь в виду, что, несмотря на тонкость подстилающих слоев, их влияние на свойства элементов интегральных схем может быть значительным [33].
Из вышесказанного следует актуальность разработки эффективных методов анализа многослойных планарных структур. Решение этой задачи позволяет также построить математические модели различных полосковых линий (микрополосковых, щелевых, высокодобротных и др.) и СВЧ элементов на их основе. В [34] рассмотрены квазистатические методы анализа полосковых линий. Однако квазистатические модели СВЧ элементов не учитывают дисперсии волн, и область их применения в монолитных интегральных схемах ограничивается трёхсантиметровым диапазоном волн [33].
Основой для построения электродинамических (дифракционных) моделей СВЧ элементов является решение задачи о собственных волнах планарных структур. В [35] собственные волны находились проекционным методом, сводящим задачу к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) К-ого порядка. При этом использовался тригонометрический базис. В рядах для матричных коэффициентов СЛАУ учитывалось М членов. Как показано в первой главе, использование в качестве базисных тригонометрических функций приводит к медленной сходимости решения, так как условие на ребре может быть выполнено только при К - » и М - ад. При заданной погрешности расчёта волнового сопротивления 8Ш необходимое число базисных функций К = 7.2/6%, (д 1%), а число членов в рядах для матричных коэффициентов М = —К, где а - размер нижнего экрана, ширина полоскового проводника. Из приведённых выражений видно, что с повышением точности резко повышается порядок матрицы СЛАУ и число членов в рядах для матричных коэффициентов. При использовании тригонометрического базиса трудно получить устойчивые результаты особенно для узких полосковых проводников [36]. Таким образом, остаётся проблема, связанная с повышением эффективности нахождения собственных волн (повышение точности, сокращение времени счёта, решение проблемы устойчивости численных результатов), причём не только постоянных распространения, но и интегралов (1.75), появляющихся на стадии решения задач дифракции на стыках регулярных линий. Эта проблема становится ещё более острой при моделировании СВЧ элементов на связанных линиях.
Задача о собственных волнах планарных структур принципиально не отличается от задачи о собственных волнах простой микрополосковой линии, рассмотренной в первой главе. Она также сводится к системе интегральных уравнений относительно плотности тока на полосковых проводниках, или относительно тангенциальной составляющей напряжённости электрического поля на межслойных сечениях вне полосковых проводников. Предложенный численно-аналитический метод решения этих уравнений для МПЛ может быть применён также к планарным структурам. Принципиальным новшеством, позволившим практически осуществить численную реализацию предложенного метода, является улучшение сходимости рядов для матричных коэффициентов бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится исходная граничная задача электродинамики. Во-первых, процедура улучшения сходимости позволяет примерно на два порядка сократить время счёта. Во-вторых, точность вычисления матричных коэффициентов, без улучшения сходимости, может оказаться недостаточной для получения устойчивых результатов. Поэтому построение эффективных алгоритмов расчёта планарных структур на основе предлагаемого метода возможно лишь при решении проблемы суммирования медленно сходящихся рядов для матричных коэффициентов.
В настоящей главе метод анализа МПЛ, изложенный в первой главе, обобщается на полосковые линии различного типа. Построены алгебраические модели связанных микрополосковых и щелевых линий на подвешенной подложке, микрополосковой линии с многослойным диэлектриком. В основе всех перечисленных моделей лежит алгебраическая форма, полученная нами в [17].
Вывод системы двумерных операторных уравнений для плотности тока на полосковых проводниках
Вопросам математического моделирования микрополосковой линии с потерями уделено внимание во многих работах. Обзор публикаций показывает, что предлагаемые методы анализа либо слишком сложны [38-40], либо не дают возможности определения полных потерь [41, 42], либо основаны на рассмотрении чрезмерно упрощённых моделей [43, 44].
В первой главе предложен эффективный численно-аналитический метод нахождения системы собственных волн МПЛ структур без потерь. Этот метод, с некоторыми модификациями, может быть применён к анализу МПЛ и других планарных структур с потерями. Для определения электродинамических характеристик необходимо решить граничную задачу для уравнений Максвелла с учётом ненулевой проводимости материала подложки (сг,, и конечной проводимостью металлических проводников.
Малые потери в материале подложки и в металлическом экране можно учесть, используя решение задачи для МПЛ без потерь и "энергетический метод" определения коэффициента затухания [19], выражаемого через энергетические характеристики МПЛ без потерь. Для повышения точности и получения устойчивых результатов при вычислении энергетических характеристик, представленных в виде медленно сходящихся рядов, необходимо проводить процедуру улучшения их сходимости по разработанной в первой главе методике.
Другой метод учёта потерь основан на численном решении дисперсионного уравнения в комплексной области. Преимущество такого подхода в том, что его можно использовать и в тех случаях, когда потери не являются малыми. При этом можно установить критерий малости потерь.
Такой подход в случае малых потерь позволяет определить коэффициент затухания методом возмущений, который не требует вычисления энергетических характеристик.
Применение "энергетического метода" для определения потерь в по- лосковом проводнике при использовании математической модели бесконечно тонкого проводника невозможно из-за неинтегрируемой особенности поля на краях полоскового проводника. Эта трудность преодолена путём замены рёбер цилиндрическими проводниками с диаметром, равным толщине проводника при условии г Д, где - толщина скин-слоя. Это условие не выполняется в микрополосковых структурах с резистивными плёнками, для которых /« А. В этом случае задача о собственных волнах сведена к системе операторных уравнений относительно продольной и поперечной составляющих плотности тока на плёночном проводнике. Решение этой задачи получено на основе проекционного подхода, изложенного в первой главе.
Метод анализа МПЛ, предложенный в первой главе, позволил разработать устойчивые алгоритмы и реализовать их в виде быстродействующих высокоточных компьютерных программ, которые могут быть включены в САПР ИС СВЧ на полосковых линиях. Однако эти алгоритмы и программы достаточно сложны и требуют высокой квалификации для их реализации. Сложность электродинамических моделей МПЛ-структур и относительно низкое быстродействие, по сравнению с упрощёнными моделями, сдерживает их широкое применение в САПР СВЧ устройств. Поэтому актуальна разработка сверхбыстродействующих (затрачивающих на счёт несколько микросекунд) моделей (СБМ) на электродинамическом уровне, которые могли бы быть использованы как в САПР, так и в инженерном проектировании МПЛ-устройств в одномодовом приближении. Наиболее эффективными являются СБМ, полученные в результате анализа и обработки численных результатов строгого решения электродинамической за- - 106 дачи. Однако для построения СБМ требуется значительная работа, связанная с изучением и исследованием ряда закономерностей как физического, так и математического характера, нахождением эффективных приёмов. Построение СБМ МПЛ с учётом потерь на электродинамическом уровне является основной задачей настоящей главы. Для её решения было необходимо: а) разработать эффективный электродинамический метод анализа МПЛ с потерями; б) разработать эффективный алгоритм расчёта основных характеристик и реализовать его в виде компьютерной программы; в) разработать методику построения СБМ, учитывая особенности определения потерь в разных элементах МПЛ; г) установить границы применимости СБМ МПЛ. В настоящей главе излагаются методы расчёта потерь в диэлектрической подложке (в том числе и полу проводящей), металлическом экране и в полосковом проводнике конечной толщины, включая резистивную микрополосковую плёнку с высоким поверхностным сопротивлением. При этом используются результаты, полученные в первой главе. Для коэффициента замедления, волнового сопротивления и коэффициента затухания получены простые аналитические выражения, позволяющие использовать их в инженерной практике. Потери в подложке МПЛ (рис. 1.1.) можно учесть, введя в рассмотрение комплексную проницаемость материала подложки ё = -(1 - itg 8), где tgS - т/(бОа) тангенс угла потерь материала подложки. При этом матричные коэффициенты системы уравнений (1.21), определяемые выражениями (1.35), становятся комплексными величинами, и дисперсионное уравнение можно записать в виде :
