Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Конечные элементы, моделирующие обшивку фюзеляжа вертолета 15
1.1. Основные соотношения стандартной гибридной модели МКЭ 16
1.2. Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском прямоугольном КЭ 18
1.3. Вывод гибридной матрицы жесткости, реализующей чистый сдвиг в треугольном плоском КЭ 20
1.4. Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском N-узловом КЭ 23
1.5. Прочие плоские КЭ, применяемые при моделировании панелей обшивки подкреплённых оболочек 25
1.6. Универсальный алгоритм корректировки матриц жесткости четырех узловых панелей с учетом их естественной закрутки 26
ГЛАВА 2. Конечные элементы, моделирующие подкрепляющий набор фюзеляжа вертолета 32
2.1. Учет эксцентриситета нейтральной оси стержневых элементов относительно расчётных узлов 33
2.2. Четырех узловой макроэлемент балка-стенка 35
2.3. Конечные элементы шпангоута переменного сечения 38
2.4. Элемент, соединяющий макроэлемент балка-стенка и двух узловой КЭ шпангоута с эксцентриситетом 41
2.5. Статическая адаптация усилий в рёбрах подкреплённых оболочек 44
2.6. Тест для иллюстрации выбора КЭ мембраны “макроэлемента” балка-стенка 48
2.7. Тесты для иллюстрации достоверности элемента шпангоута переменной жёсткости 51
2.8. Проверка работоспособности макроэлементов балка – стенка. 55
2.9. Тест, иллюстрирующий алгоритм статической адаптации усилий в ребрах оболочки 57
ГЛАВА 3. Равновесная модель ребристой оболочки в перемещениях 61
3.1. Постановка задачи 62
3.2. Преобразование базиса 67
3.3. Учёт изгиба рёбер и закрученности панели обшивки 71
3.4. Изгибаемое ребро переменной жесткости 73
3.5. Тестовые задачи 76
ГЛАВА 4. Практическое применение конечноэлементных моделей 79
4.1. Анализ статической прочности натурных изделий 79
4.2. Анализ динамической прочности 86
4.3. Сопоставительные расчёты 91
Выводы и заключение 93
Список литературы 95
- Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском прямоугольном КЭ
- Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском N-узловом КЭ
- Тест для иллюстрации выбора КЭ мембраны “макроэлемента” балка-стенка
- Учёт изгиба рёбер и закрученности панели обшивки
Введение к работе
Актуальность работы. Надёжность и экономичность в эксплуатации любых конструкций во многом зависит от качества проектирования конструктивно - силовой схемы. Обеспечить надлежащее качество проектирования возможно при удобном и достоверном аппарате анализа всех параметров прочности. Если первое обеспечивается уровнем программно аппаратных средств, то второе - уровнем научных методов и моделей, заложенных в эти средства. Всё это, безусловно, справедливо и при проектировании авиационных конструкций и, в частности, фюзеляжей летательных аппаратов.
Развитие вычислительной техники вывело на первые места численные методы анализа прочности и в том числе Метод Конечных Элементов. Одной из первых работ в области анализа прочности конструкций летательных аппаратов и фюзеляжей в частности являются статьи Дж. Аргириса и С. Келси. Из условия стационарности функционала дополнительной энергии Кастильяно, они разработали и реализовали равновесную конечноэлементную модель, соответствующую инженерной модели Эбнера - Беляева. Достоверность результатов по напряжениям, получаемых по модели Аргириса в форме метода сил, неоднократно подтверждалась расчётами его последователей в нашей стране. Однако вместе с хорошей достоверностью результатов, постановка Аргириса имеет некоторые недостатки. Прежде всего, это определяется ограничениями применимости и определённой сложностью алгоритмов метода сил при реализации. С другой стороны, МКЭ в перемещениях, на базе принципа минимума потенциальной энергии (функционал Лагранжа) обладает достаточно простыми и универсальными алгоритмами при реализации. Основной характеристикой такой модели является совместность перемещений на границе элементов. Однако разрывность полей напряжений вынуждает прилагать дополнительные усилия при пострасчётном анализе напряжённого состояния.
Расчётная система АРС ЭРА-ПК2000 является результатом труда не одного поколения разработчиков. В середине 60-х годов З.И.Бурман начал внедрять в расчётную практику модель Аргириса. В середине 70-х в пакет программ РК-75 на ЭВМ М-220 позволял проводить статические расчёты прочности фюзеляжа по МКЭ в форме метода сил. В конце 70-х в комплексе программ появляется подсистема расчётов по МКЭ в перемещениях. В указанный период в коллектив, возглавляемый З.И.Бурманом, вошёл и автор этой работы. 24 июня 1983 г. приказом МАП СССР и MB и ССО РСФСР № 255/410 в Казанском инженерно-строительном институте на базе группы НИС кафедры строительной механики была организована Отраслевая Научно-Исследовательская Лаборатория автоматизированных систем проектирования и расчетов на прочность вертолетных конструкций. С момента прихода в коллектив и по настоящее время автор постоянно занимается совершенствованием моделей
и методов анализа конструкций в форме метода перемещений. Принимая во внимание принципы преемственности, полагаем, что актуальной является задача объединения положительных качеств методик, совместных и равновесных моделей при расчёте конструкций фюзеляжа вертолёта.
Необходимо заметить, что основой моделирования рёбер подкреплённых оболочек являются двухузловые КЭ стержней и балок. Для этих элементов, независимо от совместной или равновесной постановки, энергия деформации учитывается точно. Таким образом, основным фактором, отвечающим за качество расчётов, является моделирование работы обшивки.
Цель работы - построить конечные элементы для анализа фюзеляжа вертолёта в виде подкреплённых тонкостенных оболочек в перемещениях и разработать алгоритмы, позволяющие определять усилия в рёбрах, с учётом их взаимодействия с обшивкой, а также реализация этих разработок в рамках расчётного комплекса АРС ЭРА-ПК2000.
Научная новизна работы заключается в построении двух моделей для анализа подкреплённых оболочек МКЭ в перемещениях, при единой базе входных данных. Полученная совместная модель на базе гибридных сдвиговых элементов обшивки с уточнённым алгоритмом статической адаптации приближается к действительному состоянию снизу по полной энергии. Модель с равновесными элементами обшивки приближается к действительному результату сверху. Определена количественно энергетическая дистанция между этими моделями.
Методы исследования. Теоретические результаты получены в результате изучения накопленного опыта исследователей в указанной области. Достоверность результатов на первых этапах контролировалась двойственными расчётами (по методу сил и перемещений) и сопоставлением с экспериментальными данными. В дальнейшем, достоверность обеспечивалась реализацией результатов научного поиска и проверкой на физически понятных тестовых примерах или небольших задачах. На защиту выносятся:
-
Гибридная матрица жёсткости плоского выпуклого n-угольного КЭ, реализующего чистый сдвиг в декартовой системе координат.
-
Универсальный алгоритм "закрутки" плоских четырехузловых КЭ, построенный на базе метода наименьших квадратов.
-
Набор конечных элементов, моделирующих любые формы изгибаемых шпангоутов.
-
Алгоритм статической адаптации - статически эквивалентного преобразования усилий в рёбрах, предписывающий равновесную работу с обшивкой.
-
Четырёхузловой конечный элемент сдвиговой обшивки, позволяющий учесть равновесие с подкрепляющими рёбрами.
Практическая ценность работы заключена в том, что все предлагаемые разработки реализованы в рамках расчётного комплекса АРС ЭРА-
ПК2000, применённого на этапе проектирования в КБ ОАО "Казанский вертолётный завод". Внедрение разработок повысило достоверность результатов анализа статической и динамической прочности при проектировании.
Внедрение результатов. Разработанные алгоритмы применялись в расчётной практике конструкторских бюро КНПП "Вертолёты МИ" и ОАО "Казанский вертолётный завод".
Апробация работы: Основные результаты работы неоднократно докладывались на ежегодных научно - технических конференциях Казанского государственного архитектурно - строительного университета (КИСИ, КГ АС А) в 1982 - 2007 гг. Материалы предложенной работы прошли апробацию на международных конференциях: III Национальной конференции по устойчивости и колебаниям деформируемых систем. -София, НРБ, 1984 г.; XI международный конгресс по вопросам применения математики в технических науках. Веймар, ГДР, 1987 г. В полном объёме работа докладывалась на расширенном семинаре ЛабНМО ИММ КНЦ РАН в октябре 2013 г.
Основное содержание работы изложено в 16 печатных работах. Из них - одна монография и одна публикация из списка рецензируемых изданий, рекомендованных ВАК. Комплекс программ СУМРАК-ЕС, при создании которого автор являлся одним из ведущих разработчиков, прошёл экспертизу и был включён в Отраслевой фонд алгоритмов и программ (ОФАП САПР-ЛА), регистрационный номер №589.2069625.00001-01, что приравнивается к публикациям основных научных результатов научной деятельности. В 2005 г., в результате тестирования, сертификационным центром "ЦАГИ-ТЕСТ" было выдано свидетельство, удостоверяющее, что АРС ЭРА-ПК2000 является развитием СУМРАК-ЕС.
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 79 наименований; содержит 103 страницы машинописного текста, 6 таблиц, 54 рисунка.
Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском прямоугольном КЭ
При моделировании работы фюзеляжа летательного аппарата методом конечных элементов, в соответствии со схемой Эбнера - Беляева, элементы обшивки фюзеляжа должны воспринимать чистый сдвиг в некоторой двумерной ортогональной системе координат. Известны алгоритмы получения сдвиговой жёсткости четырёх узловой закрученной панели обшивки [45]. Поиск более общего подхода привёл автора к следующему решению. Использование для сдвигового конечного элемента формулировки в перемещениях в стандартной постановке, основанной на принципе минимума функционала Лагранжа, наталкивается на противоречие при рассмотрении обобщенных дифференциальных уравнений равновесия в плоском КЭ. При числе узлов в элементе больше или равно четырем и изопараметрической формулировке плоского поля перемещений, порядок аппроксимирующих полиномов для перемещений таков, что первая производная от них, определяющая напряжения имеет порядок не ниже первого. Таким образом, при “чистом” сдвиге и при отсутствии объемных сил возникает противоречие, например:
Справиться с подобным противоречием позволяет гибридная формулировка на базе обобщенного функционала Кастильяно [33,38], позволяющая иметь порядок полиномов напряжений отличным от порядка первых производных полиномов перемещений. 1.1. Основные соотношения стандартной гибридной модели МКЭ
Очевидно, что направляющие косинусы внешней нормали r(f = -nf . Переходим к формулировке принципа минимума дополнительной энергии деформации. Если функции в (1.1) подобраны так, что выполняются требования (1.3-1.5), то для принципа минимума дополнительной энергии деформации функционал запишется так: Пс = \\\B((Ty)dVa - \\TiuidSu (1.6) Здесь Su - область задания кинематических граничных условий. Функционал (1.6) формулирует равновесную модель. В качестве варьируемых параметров здесь выступают of. Функционал модифицированного принципа дополнительной энергии деформации Кастильяно получим по формуле: ПМс=Пс- СаЬ (1.7) Где Gab = \\ui(Ti(a)+ Ti(b))dS - условия сопряжения на межэлементных границах, ab добавленные с помощью неопределенных множителей Лагранжа щ. Знак “-“ поскольку мы имеем дело с дополнительной энергией.
Опустим дальнейшие выводы и математические доказательства описанные в [39]. Для упрощения, положим, что статические и кинематические граничные условия приложены в узлах расчетной схемы и не будем рассматривать температурные деформации. Ниже приведем алгоритм построения только гибридной матрицы жесткости отдельного КЭ после принятия упрощающих гипотез.
Запишем в матричном виде для КЭ: {(т} = [Р]-{Д.} є Va (1.8 ) здесь {сг} - вектор напряжений, {Д.} - вектор неизвестных параметров, [Р] -матрица аппроксимирующих функций, Va - область занимаемая КЭ. Тогда усилия {5} на границе Sab КЭ выражаются через параметры: {5} = [К]{/3} ( 1.9)
Вектор перемещений на границе КЭ: {и} = []-{ } ( 1.10) {qt} - вектор неизвестных узловых перемещений, [L] - матрица интерполирующих функций. Тогда гибридная матрица податливости КЭ: [Щ = \[Р] [Щ [Р] dv (1.11 ) Трансформирующая матрица образуется интегрированием по границе: [Т] = \[R]t [L]- ds (1.12 ) Ґ Л ab Матрица жесткости конечного элемента определяется по формуле: [К] = [Т]( [Н] 1 [Т] ( 1.13) А искомые параметры напряжений определим: [P]{fi} = [P][H] 1 [T]-{qj} (1.14 ) 1.2. Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском прямоугольном КЭ
Рассмотрим в двумерной декартовой системе координат плоский прямоугольный элемент, стороны которого параллельны координатным осям (рис.1.1). Рис. 1.1. Прямоугольный сдвиговой элемент Требуемая функция напряжений имеет вид: Эта функция, для удовлетворения условия (1.3) при fi= 0 должна иметь вид: а v о = [Р]р = {1}Р. Удельная энергия деформации: W = 12от Во, где В = 2(1±у1 коэффициент Пуассона и Е - модуль упругости Юнга. Гибридная матрица податливости по (1.11):
Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском N-узловом КЭ
Полигональные формы шпангоутов, рассматриваемые при прочностном анализе в АРС ЭРА-ПК2000, позволяют применять стержневые элементы с прямолинейной осью. В этом смысле, с учётом принятых для расчётов шести естественных степеней свободы в узле, базовыми элементами при моделировании шпангоутов приняты двух узловые КЭ пространственного бруса постоянного сечения, описанные, например, в работе [78], с матрицей жёсткости двенадцатого порядка. В этой же и других работах[57] приводится описание простых ферменных стержневых двух узловых элементов, которые служат для моделирования продольного стрингерного набора. Для регулярных цилиндрических оболочек такого набора КЭ было бы достаточно при моделировании. Однако, сложность форм фюзеляжей современных вертолётов и отдельных фрагментов требует расширения базовой библиотеки. В этой главе описаны элементы и процедуры, позволяющие точнее моделировать работу отдельных рёбер фюзеляжа.
Учет эксцентриситета нейтральной оси стержневых элементов относительно расчётных узлов Особенностью рассматриваемых оболочек является наличие эксцентриситета положения нейтральной оси изгибаемых элементов и узлов расчетной схемы (рис. 2.1), при этом мы пренебрегаем некоторым эксцентриситетом осей продольного подкрепляющего набора относительно срединной поверхности обшивки. Как правило, узлы расчетной схемы размещают на внешних контурах шпангоутов и, пренебрегая толщиной обшивки, полагают точками срединной (нейтральной) поверхности тонкой безмоментной обшивки. Математическая процедура приведения элементов обшивки к нейтральной оси подкрепляющих изгибаемых элементов не сложнее, чем приведение изгибаемых элементов к обшивке. Однако, второй вариант является менее затратным, поскольку он позволяет применить математическую процедуру учета эксцентриситета (в рамках принятой модели) лишь для группы поперечных изгибаемых элементов, одной составляющей из ”большой тройки”: обшивки, продольного подкрепляющего набора и поперечного подкрепляющего набора. При формировании глобальной матрицы жесткости (МЖ) проблема несовпадения узлов нейтральной оси и узлов расчетной схемы решается статически эквивалентным “переносом” элементной МЖ из одних узлов в другие [15]. При этом сразу полагаем массовую модель, сосредоточенную в расчётных узлов конструкции, что гарантирует корректность построения нагружений от инерционных нагрузок в этих узлах.
В конструкции фюзеляжа имеются изгибаемые элементы, к которым обшивка примыкает как по нижней, так и по верхней полке сечения шпангоута. Как правило, это конструкция “тяжелого” низа. В этом случае в ЭРА-ПК2000 предлагается применять составной элемент (макроэлемент) балка-стенка [14]. Такой же элемент, по-видимому, необходим, когда имеется высокий градиент строительной высоты или излом формы. Этот элемент образуется двумя изгибаемыми поясами и стенкой. В качестве поясов выступают рассмотренные выше балочные элементы с эксцентриситетом нейтральной оси относительно расчетных узлов. Стенка составляется из трех узловых КЭ оболочки, полученных суперпозицией тонкой изгибаемой треугольной плиты по гипотезе Кирхгофа и мембранного трех узлового элемента Бергана-Фелипе [77]. Элемент Бергана имеет три степени свободы в узле и был отобран в результате тестирования при моделировании продольного изгиба. Результаты такого тестирования будут приведены ниже. Мы полагаем при вычислении переменных по длине геометрических характеристик, что они состоят из прямоугольного сечения, соответствующего эквивалентной, меняющейся по высоте, стенке шпангоута и геометрических характеристик поясов. На практике часто сечения имеют один и тот же вид, меняется лишь по длине строительная высота сечения. В этом случае, при использовании указанной эквивалентности, геометрические характеристики сечений поясов часто бывают постоянными по длине.
Тест для иллюстрации выбора КЭ мембраны “макроэлемента” балка-стенка
В работе [24] описывается равновесная модель ребристой оболочки метода конечных элементов (МКЭ), основанного на вариационном принципе Кастильяно. Здесь была рассмотрена дискретная модель ребристой оболочки фюзеляжа летательного аппарата (ЛА), реализующая классическую силовую схему Эбнера-Беляева. В дискретной модели панели, моделирующие обшивку, воспринимали чисто сдвиговые усилия. Продольные ребра - стержни, моделирующие стрингеры, воспринимали усилия растяжения-сжатия, находящиеся в равновесии со сдвиговыми усилиями в панелях, а поперечные ребра, моделирующие шпангоуты, воспринимали ещё и усилия изгиба. Однако в современной расчетной практике наиболее широкое распространение получил МКЭ в перемещениях, построенный, например, на вариационном принципе Лагранжа или гибридной формулировке на базе обобщённого принципа Кастильяно. Привлекательным в реализации в перемещениях, в частности при расчете ребристых оболочек, являлась алгоритмическая возможность формирования вклада в общую разрешающую систему от отдельных конечных элементов (КЭ), безотносительно (в разумных пределах) природы их формирования. Известно, что конформная (совместная) формулировка КЭ приближает энергию деформации (и, как следствие, перемещения) снизу, тогда как равновесная формулировка приближает энергию сверху. Существует несколько наиболее известных способов построения матриц жесткости отдельных КЭ. Некоторые из них были использованы при формировании конечноэлементной базы для расчета ребристых оболочек [30,49]. Однако формальный анализ усилий в ребрах по результатам расчетов не удовлетворял, в отличие от [24], общей картине силового поведения ребер. В [15] был предложен интуитивный формальный метод пострасчетной коррекции усилий в ребрах. Анализ достоверности этого практического подхода привел автора к возможности формулировки принципа построения равновесной расчетной модели МКЭ в перемещениях для линейного анализа ребристых оболочек [18].
Постановка задачи
В некоторой декартовой системе координат рассмотрим дискретную модель тонкой четырехугольной пластины толщиной t, с постоянным в своей плоскости касательным напряжением т = const, и по контуру подкрепленную ребрами в виде двух узловых стержней, воспринимающих растяжение-сжатие (рис. 3.1). Обязательное условие - равновесие по ребрам между пластиной и стержнями. Линейность задачи позволяет применять принцип аддитивности. Для решения этой задачи используем подход из [22], применяющий полную систему уравнений строительной механики (ПСУ СМ) [74]. Основные обозначения используем из этого же источника.
Здесь принято 5 .- неизвестная постоянная компонента усилия в ребре, qtJ- неизвестная величина погонного усилия в ребре, уравновешивающая усилия в пластине, 1у- длина ребра между узлами і и j. Обход узлов принимаем по часовой стрелке. Как известно, напряжения по наклонной площадке в области с постоянным касательным напряжением в декартовой системе координат XY (рис. 3.2) определяется:
Усилия в ребре i- j, как постороннем объекте, алгебраически (рис. 3.3) должны уравновешиваться только погонными силами qtJ. Погонное усилие пу в ребре в дальнейшем будет присутствовать фиктивно, и, не принимая участия в энергетических формулах, будет статически эквивалентно учтено в матрице равновесия.
Энергия деформации самой пластины: Эпл = 1234 где S1234 =x42 y31 -x31y42 удвоенная площадь четырехугольной панели, t - толщина, E и G - модули упругости и сдвига материала. Частные производные по компонентам неизвестных усилий дают нам все элементы матрицы податливости:
Учёт изгиба рёбер и закрученности панели обшивки
Для осуществления корректного динамического анализа в линейной постановке наиболее удобным для реализации является метод сложения форм колебаний [44]. Этот метод позволяет алгоритмично определять как перемещения в декартовых координатах, так и величины упругих восстанавливающих сил для вычисления, в конечном счете, динамических напряжений.
Ниже кратко изложим алгоритм метода сложения форм собственных колебаний. Из уравнения колебаний (в декартовых координатах) mv&& + c v& + k v = p(t) проводим анализ частот и форм собственных колебаний без учета затухания (k-w2mn) =0 , где k – матрица жесткости конструкции, m – матрица масс конструкции, v - вектор собственной формы колебаний, w - частота собственных колебаний. Из этой формулы определяем вектор частот w и матрицы форм колебаний Ф.
На следующем этапе проводим нормирование форм колебаний относительно матрицы масс. Оно заключается в том, что из полученной выше матрицы форм колебаний Ф получаем матрицу V , содержащую отдельные формы jn такие, что jnmjn =1 и jmmjn =0.
Это позволяет перейти к не связанным уравнениям колебаний в нормальных координатах yn + 2xnwn yn +wn2 yn = pn (t), (4.1) где yn - амплитуда n-ой формы колебаний, wn - частота n-ой собственной формы колебаний, pn (t) =jnt p(t) , xn – коэффициент демпфирования в долях от критического значения. Тогда реакция системы для форм колебаний в общем виде в нормальных координатах принимает вид: w1dn 0t yn(t)= Pn(t)e-xnwn (t) sinwDn (t)dt Здесь: 0)Dn = 0)пЛ]\- . Решение этого уравнения в общем виде для каждой n-й формы колебаний во многом зависит от вида функции динамической нагрузки Рп(т). В частности, при гармоническом характере загружения по закону синуса в нормальных координатах реакция системы для установившейся формы колебаний yn (t) = Pn2 1 2 [(1-b2 )sinwt - 2xnbcoswt (4.2) wn (1-b2 ) где Pn – амплитудные значения синусоидальной нагрузки, wwn , w b= круговая частота вынуждающей нагрузки. Далее, для определения перемещений осуществляем переход к первоначальным координатам по формуле v(t) =j1 y1(t) +j2 y2 (t) +j3 y3 (t) + ... , (4.3) а упругие восстанавливающие силы в первоначальных координатах получаем по формуле fs (t) =w12mj1Y1(t) +w22mj2Y2 (t) +w32mj3Y3(t) + ...
Из вышеуказанного следует, что достаточно существенным является правильная организация процесса ортогонализации форм собственных колебаний не зависимо от метода решения собственной проблемы.
В АРС ЭРА-ПК2000 для определения собственных форм и частот конструкций используются вектора Ланцоша [40,41]. Этот подход гарантирует определение требуемых низших частот и форм. Однако, вместе с тем, этот метод обеспечивает “ленточную” ортогональность определяемых форм, т.е. близкие по частотам формы ортогональны, но чем больше дистанция по спектру частот между этими формами, тем хуже выполняется условие ортогональности.
В [10,11] предлагается алгоритм строгой ортогонализации форм колебаний, который заключается в следующем: для л-ой ортогонализируемой формы на первом этапе проводим исключение всех предыдущих форм по формуле Рп=(Рп {(Pim(Pn)(Pi , для всех і п и после вычисления нормы текущей формы mod = р[т рп и нормирования в виде р„ = р„/mod, получаем окончательное значение формы ортогональной всем предыдущим и нормированной относительно матрицы масс.
Указанный подход позволяет определять во времени динамический отклик для любой точки модели конструкции. Применение данного метода сложения форм колебаний оказалось очень эффективным при анализе динамической чувствительности отдельных узлов конструкции в зависимости от частоты вынужденных колебаний. Действительно, для определения динамической чувствительности достаточно построить график значений максимальных возможных амплитуд по любому направлению в зависимости от значения частоты вынуждающей гармонической нагрузки (или нагрузок) с заданной амплитудой. Очевидно, что для і-го узла и n-ой собственной формы максимальная амплитуда аіп будет определена максимальным же значением yn(t). Выводим это условие из формулы (4.2) /1(0 = 0. После преобразований 1 (P -A получим значение времени: t = arctg . Для этого вычисляем W { 2p ) максимальное значение yn. Окончательно, для текущего значения частоты вынуждающего колебания определяем максимальную возможную амплитуду как сумму максимальных амплитуд от всех учитываемых форм: У І = У\ап + Уіаіі + Уъав + (4-4)
В АРС ЭРА-ПК2000 включены модули, позволяющие строить графики амплитуд для выбранных точек, для интересующего интервала частот вынужденных колебаний, приложенных в определённом узле конструкции. При этом используется экспериментально установленное распределение коэффициентов демпфирования в рабочей области от 0 до 40 Гц. В среднем для фюзеляжа значение коэффициентов (в долях от критического) меняется в пределах от 0.05 для низших частот до 0.015 - для высших. На рис. 4.5 и 4.6 приведены примеры такого анализа для модели вертолёта АНСАТ.
В сочетании с фрагментарным подходом [48], реализованном в АРС ЭРА-ПК2000, эти модули позволяют вносить конструктивные изменения в расчётную модель и проводить динамический анализ изменений в режиме реального времени. Рис. 4.5. График изменения амплитуд колебаний по вертикальной оси Y узла №153 расчётной схемы вертолёта АНСАТ от вынуждающей гармонической нагрузки амплитудой 140 кгс, приложенной по продольной оси Z в узле 853
График изменения амплитуд колебаний по продольной оси Z узла №153 расчётной схемы вертолёта АНСАТ от вынуждающей гармонической нагрузки амплитудой 140 кгс, приложенной по продольной оси Z в узле 853 4.3. Сопоставительные расчёты
Для анализа прочности элементов фюзеляжа, выполненных из композиционного трёхслойного материала, в АРС ЭРА-ПК2000 был адаптирован прямоугольный трёхслойный гибридный КЭ [39]. Эффективность элемента было решено провести сравнением решений, АРС ЭРА-ПК2000 и ANSYS. В качестве тестовой задачи была выбрана цилиндрическая оболочка срединным радиусом 0.5 м и длиной 1 м. Рассматривалось три варианта нагружения: 1) сосредоточенная единичная сила приложена в вертикальной плоскости симметрии нормально к поверхности; 2) распределённая нагрузка приложенная в вертикальной плоскости вдоль образующей по всей длине; 3)
Деформированное состояние трёхслойной оболочки равномерное внешнее давление. Деформированное состояние для всех вариантов нагружения показано на рис. 4.7. Граничные условия – защемление с ближнего торца оболочки. Кроме сравнения с решением ANSYS, проводилась проверка влияния сгущения конечноэлементной сетки. Графики анализируемых факторов строились по узловым значениям для верхнего продольного сечения с плоскостью симметрии. На рис. 4.8 - 4.10 показаны сравнительные графики прогибов.
