Содержание к диссертации
Введение
I. Конструктишмришдные юпросы композиций косых проецирований 15
I.I. Конструирование нелинейных соответствий плоскости композицией косых отображений 16
1.1.1. Композиция косых проецирований в случае несовпадения / " -точек последующего и предыдущего отображений в промежуточном поле 21
1.1.2. Композиция косых проецирований в случае совпадения / " -точки последующего и предыдущего отображений в промежуточном поле 22
1.2. Обобщение аппарата косого проецирования плоскости на плоскость для конструирования нелинейных соответствий в пространствах различной размер ности 29
1.2Л. Отображение 2-плоскостей друг на друга в 4-х мерном пространстве 29
1.2.2, Отображение 2-плоскостей друг на друга в я. -мерном пространстве 36
1.3. Разработка алгоритма для автоматизации счета характеристик бира ональнюс соответствий плоскости .V7 39
1.4. Конструирование нелинейных преобразований плос кости с наперед заданными характеристиками 50
1.4.1, Общие сведения о жонкьеровских преобра зованиях 50
1.4.2. Бирациональные преобразования плоскости с (л - Ькратной -точкой
1.4.3. Пример получения бирационального преобразования плоскости с характеристикой типа 3, І2, 41 58
Выводы 62
2. Теоретические и прикладные вопросы конструирования экввдистант плоскик кривых 64
2.1. Исследование взаимосвязей характеристик алгебраической кривой и ее эквидистанты 65
2.1.1, К цроектиБному образованию плоских алгебраических кривых 67
2.1.2. Основные характеристики алгебраических кривых 68
2.1.3. Общие сведения об абсолюте плоскости 70
2.1.4, Установление взаимосвязей меаду характеристиками эквидистанты и алгебраической кривой 73
2.2. Анализ характеристик, вывод уравнений эквидистант некоторых алгебраических кривых 77
2.2.1. Вывод уравнений эквидистант заданных алгебраических кривых 78
2.2.2. Численное решение уравнений алгебраических кривых с помощью аналитического треугольника 87
2.3. Алгоритм построения эквидистанты плоского контура 94
2.3.1. Описание блок-схемы и алгоритма линейной аппроксимации 95
2.3.2. Алгоритм построения эквидистанты плоского контура 106
ВЫВОДЫ 109
3. Разработка конструкций некоторых технических устройств и методика выбора их рациональных параметров
3.1. Разработка конструкции и выбор рациональных параметров тренажера "Постановка блока"
3.1.1. Описание конструкции тренажера "Постанов ка блока" 112
3.1.2. Моделирование траекторий полета мяча как сечений эквидистант конических поверхностей высших порядков 116
3.2. К выбору рациональных параметров прямоточных клапанов 122
3.3. Построение математической модели зависимости скорости утечки газа от давления и размеров щели клапана 132
Выводы 140
Заключение 142
Литература
- Конструирование нелинейных преобразований плос кости с наперед заданными характеристиками
- Основные характеристики алгебраических кривых
- Численное решение уравнений алгебраических кривых с помощью аналитического треугольника
- Построение математической модели зависимости скорости утечки газа от давления и размеров щели клапана
Конструирование нелинейных преобразований плос кости с наперед заданными характеристиками
Как известно, характеристикой кремонова соответствия плоскости называется набор чисел п \ &г% где /? - порядок преобразования, - число «увдаыентальных точек кратностя / , где (/?-/«: «?/ ). Однако для преобразований более высокого порядка фундаментальные и принципиальные системы -точек и линий прямого и обратного преобразований могут быть различными /&7/»
Каждая / -кратная фундаментальная точка является / -кратной точкой всех гомалоидов, где определяет порядок соответотвующей ей р -кривой. Так как принципиальной кривой первой ветствует во второй плоскости фундаментальная точка f , то образ прямой а плоскости /7 есть гомалоид а -/(а) плоскости /7 , который пройдет через / столько раз, сколько раз прообраз и пересекает принципиальную кривую .
Отметим некоторые основные свойства принципиальных линий. Принципиальная кривая пересекает гомалоид только в фундаментальных точках. Принципиальная прямая проходит через две фундаментальные точки сумма кратностей которых равна порядку преобразования. Принципиальная кривая второго порядка проходит через пять фундаментальных точек, суадма кратностей которых равна двум порядкам преобразования.
Принципиальная кривая к -го порядка проходит через фундаментальных точек различных кратностей гы , являющихся для нее соответственно L -кратными (у-кратная точка эквивалентна jj х(/+/) простым точкам, так как требование проходить через данную точку У -раз связывает у плоской кривой у (Д/ ) степеней свободы), где Однако среди кратных фундаментальных точек следует различать обычные и точки касания. Обычная / -кратная фундаментельная точка, как известно, характеризуется тем, что гомалоддн проходят через нее / раз, В фундаментальной точке касания, которую можно считать полученной совпадением нескольких простых /"-точек, гомалоиды имеют касание определенного порядка с некоторой кривой. Это свойство положено в основу идеи конструирования обводов /31,32,33,35 /
Простейшее из нелинейных преобразований - квадратичное, переводящее прямые в коники, имеет три простые фундаментальные точки в каждой плоскости, причем стороны образованных ими треугольников являются принципиальными прямыми соответственных фундаментальных точек другой плоскости.
Рассмотрим косое проецирование плоскости на плоскость в 3-х мерном пространстве. Под косым проецированием плоскости на плоскость в нелинейной начертательной геометрии понимают проецирование, осуществляемое с помощью прямых конгруэнции первого порядка, класса т. В этом случае между точками плоскости /7 и плоскости /7 устанавливается в целом взаимно однозначное соответствие (бирациональное). Пусть в качестве аппарата отображения выбрано « параметрическое множество линий, образующих гиперболическую линейную конгруэнцию Кг (1Д). При этом получаем квадратичное бирациональное отображение точек плоскости /7на плоскость /77. Действительно, произвольная точка А плоскости высекает из конгруэнции прямых единственную проецирующую прямую, определяемую этой точкой и двумя директрисами Л7, п конгруэнции Кг (1,1) (рис. I.I), Если точка перемещается по прямой а , инцидентной плоскости /7 , то проецирующие прямые, пересекав щие три скрещивающиеся прямые й,тп,?і% образуют полуквадрику, которая на плоскости П высекает конику ( ) , соответственную прямой . Соответствие между плоскостями /7 SL /7 в целом взаимно однозначное.
Однако существуют элементы, для которых однозначность нарушается. Такими элементами будут точки = тП77, F2 = пП/7, F3 = F/ n/7, F =mn/7 , Ъ =ПЛЛ , % =/г/?л /)/7m Действительно, точку /f в отличие от точки 4 общего положения косо проецирует не одна прямая Кг (1,1), а однопараметрическое мно жество, образующее пучок с вершиной в точке /f« Поэтому точке соответствует плоскости пучка прямых ( ) с плоскостьго 77 . При этом след этой проецирующей плоскости будет проходить через точки/f Cpao. I.I), являющиеся фундаментальными точками плоскости 77 \ Точка Г также будет высекать из прямых конгруэнции Кг (1,1) пучок прямых, определяемых точкой (вершиной пучка) и прямой m. Следовательно, точке /Г плоскости /7в данном отображении будет соответствовать пранципиальяая прямая, проходящая через точки /Г, F;, которые являются фундаментальными точками плоскости /7і.
Третьей фундаментальной точкой % такого соответствия является точка пересечения прямой /f с плоскостью 77 , Действительно, эта точка будет проецироваться единственной прямой конгруэнции Кг (1,1). Однако эта проецирующая прямая вся лежит в плоскости /7 и точка ее пересечения с плоскостью /7 будет фундаментальной точкой 4 плоскости 77 . Другими словами, фундаментальной точке / будет соответствовать вся прямая &\ Таким образом, фундаментальные точки / , f F плоскости /7 будут проецироваться в принципиальные прямые %/,&#, образующие фундаментальный треугольник с вершинами f/, которые являются фундаментальными точками плоскости /7 для данного отображения
Основные характеристики алгебраических кривых
Рассмотрим отображение двумерных плоскостей Р, я друг на друга в п -мерном проективном пространстве. В работах /1,14/ для кооого проецирования Рк на Рк используется многообразие X ff -плоскостей (s =/?-/), которые задаются с помощью такого набора линейных подпространств (направляющих), что проецирующие s -плоское-ти из многообразия Z имеют данные инциденции с направляющими. При этом для таких Z порядок отображения Р на Р/ равен числу направля ВДИХ.
Рассмотрим случай, когда -размерность плоскостей отображения Р,Л и число направляющих равны двум. Пусть , - две ( - )-плоскости в Рп . Они определяют двупараметрическое множество X (П-2 )-ПЛОСКОСТЄИ. пересекающих 6? -д по ifl-г)-плоскостям. Через точку// общего положения из Ръ проход одна ( -плоскость Е . В оамом деле, (77-/)-плоскости (4 ) и (44- ) пересекаются по ( - 2)-плоскости 4 » проходящей через// и пересекающей 4? и 4 по ( -плоскостям. .,еотв ()-плоско0тв. поскольку А и 47 , лежа, в одной -,)-плоскости ( J. Если теперь и /Ґ- две плоскости в Р„ , то ( )-шюскость из Е пересекает их в точках А и Л7, следовательно, между плоскостями /7 и /7 возникает взаимно однозначное соответствие. Но,как известно, две двумерные плоскости общего положения однозначно определяют пятимерное проективное пространство Ре , так как каждая плоскость определяется тремя точками, а шесть точек определяют Рг.
Следовательно, такое отображение Л в п -мерном проективном пространстве сводится в общем случае к отображению плоскости на плоскость в Ps-. При этом PF , натянутое на Р и Р , пересекает и по 3-шюскостям 4 и , а ( )-плоскости проецирующего многообразия 3 по 3-шюскостям, пересекающим 4? и по 2-шюскос-тям, образующим двупараметрическое многообразие 2 проецирующих З-плоскостей. Выбираем аппарат отображения плоскости /7 на плоскость /7 в о -мерном проективном пространстве. В пятимеряом проективном пространстве зафиксируем две направляющие 3-плоскости и обш е-го положения, проходящие через их общую прямую /і . В этом случае через произвольную точку Ає/7 проходит единственная проецирующая 3-плоскость А , определяемая пересечением двух гиперплоскостей / и , натянутых на точку А и направляющие 4J » . Следует заметить, ЧТо бд проходит через прямую i = $3 будет пересекать по плоскостям, инцидентным / . Это связано с тем, что рассматриваемые 3-плоскости (, )и(, ) попарно лежат в гипер-плоскостях и . Следовательно, проепдрующая 3-плоскость % высекает на ff и fi по две З-плоокости, инцидентные 4 . Предположим, что точка Х/пе ремещается по прямой а , высекащей из двупарамет-ричеокого множества проецирующих 3-плоокоотей некоторое однопара-метричеокое множество.
Рассмотрим, что представляет собой гиперповерхность /г , содер-жащая все З-плоскоотй полученного множества. Для этого рассечем гиперповерхность /f произвольной гиперплоскостью Г общего положения. Она будет пересекаться с ней по поверхности V/. Докажем это утверждение. Полученное многообразие Сбудет задаваться тремя 2-плос-костями ы2 =4 Л р2=МГ ,У: = {4,а)ОГ9 которые являются направляющими для V/ . Эти 2-плоскооти будут определять многообразие Vf о двумерными направляющими =ХО/ . Известно, что все проецирующие Ха будут проходить через А и пересекать гиперплоскость Г по 2-плоскостям. Следовательно, есть однопараметрическое мно жество
З-плоскостей, натянутых на /f и соответственные 2 , являющие - 38 оя образующими 3-плоокостями гиперконуса второго порядка с одномерной вершиной. При пересечении такого гиперконуса с плоскостью прибытия /7 в сечении получим конику. Следовательно, прямой плоскос ти /7 в /7 в рассматриваемом отображении ставится в соответствие коника /плоскости Л , т.е. имеем квадратичное отобрание,
Найдем фундаментальна систему этого отображения. Точка Ї .00 будет неоднозначно проецироваться данным аппаратом отображения, В самом деле, проецирущая 3-плоскость, инцидентная этой точке, определяется как результат пересечения двух гиперплоскостей Г( ) nЛf). Следовательно, точка будет проецироваться многообразием 3-плоскостей, инцидентных четырехмерному пространству (f,4 )» которое при таком отображении ставит в соответствие точке fff прямую $ плоскости П . Таким образом, для точки f однозначность нарушается в результате неоднозначности проецирования. Точка = -of7 также будет неоднозначно проецироваться многообразием 3-плоскостей, определяющих четырехмерное пространство, которое будет пересекаться с плоскостью /Ґт прямой. Таким образом, для точки плоскости /7 однозначность также нарушается в результате неоднозначности проецирования.
Далее рассмотрим проецирущую З-плоскооть S, , определяемую прямой 4 - ? и точками #?. Эта проецирующая 3-плоскость будет пересекать плоскость /7 в точке /?. Это связано с тем, что рассматриваемые плоскости /7 ъ. М,Я) находятся в пятимерном пространстве, следовательно, имеют одну общую точку. Рассмотрим пересечение проецирующей З-шюскости с плоскостью отображения /Ґ. По условию задания проецирующая 3-плоскость (6,/; ,$) и плоскость прибытия /7 инцидентны одному четырехмерному пространству и, следовательно, будут пересекаться по прямой В результате мы имеем, что точке Fs = %W будет соответствовать прямая -f/f плоокооти /7 , кото - 39 рая получается в результате неоднозначности сечения. Аналогичным образом можно получить фундаментальную точку /Ґплоскости обратного оточения. Таким образом, при задании такого квадратичного отображения фундаментальная система состоит из трех простых фундаментальных точек плоскости /7, которым будут соответствовать три простые принципиальные прямые плоскости /! . Следовательно, имеем симметричные характеристики: для прямого преобразования: для обратного преобразования:
В данном параграфе рассмотрены конструктивные модели квадратичных точечных нелинейных отображений в пространствах различной размерности. Доказано, что для /? -мерного пространства косое проецирование точек 2-плоскостей друг на друга сводится к их взаимному отоб-ражению 3-плоскоотями в пятимерном пространстве.
Численное решение уравнений алгебраических кривых с помощью аналитического треугольника
Известно, что однопараметрическое семейство окружностей в общем случае заполняет на плоскости некоторую область, причем кривая (огибающая), ограничивающая эту область, в каждой своей точке касается некоторой линии данного семейства. При этом точка касания будет определяться как пересечение данной окружности с нормалью к кривой s перемещения центров. В случае постоянства радиусов окружностей полученная кривая есть эк-видистанта данной кривой. Вообще, если имеется некоторый пучок окружностей постоянного радиуса, то эквидистантой линии центров пучка называется такая линия, которая в каждой своей точке касается одной из окружностей заданного пучка.
В работе К.В.Гончарова /18/ рассмотрено построение экви-дистанты как пересечения соответственных линий двух проективных пучков, одним из которых являются нормали к заданной кривой, а другим пучком являются окружности с центрами в точках пересечения соответствующих нормалей с данной кривой. Дяя построения пучка нормалей кривой задается проективитет абсолютом плоскости и затем находится кривая # , точки которой являются соответственными прямыми пучка касательных данной кривой. Дяя определения порадка кривых, образованных пересечением соответственных линий двух заданных пучков используются синтетические методы исследования /54, 55/. Показано, что порядок эквидистанты равен n =2(?z -lj , где п -порядок алгебраической кривой, - класс данной кривой, / - число точек касания заданной кривой с несобственной прямой плоскости и число ее инциденций циклическим точкам плоскости.
Однако, данная формула для удобства использования нуждается в уточнении, т.к. класс кривой сам по себе определяется порядком уравнения кривой, записанной в тангенциальных координатах, и зависит от числа и вида особых точек кривой.
Используя методику, рассмотренную в работе /18/, выведем более удобную для применения зависимость межну порядком эквидистанты и основными характеристиками алгебраической кривой.
Приведем некоторые сведения о синтетических методах исследования, т.к. цри помощи синтетических методов можно получить порядок алгебраической кривой, образованной пересечением соответственных линий двух проективных пучков гораздо быстрее, чем цри использовании методов аналитической геометрии. Основателем этого метода является Шаль, который доказал, что если на прямой установлено т+п значное соответствие, то оно имеет т+п. двойных точек на рассматриваемой прямой. Определению количества двойных точек соответствий плоскости и цространства посвящены работы Кэли и ЦеЙтена. Кремона /87, 90/ на основании теоремы Шаля доказывает, что два пучка первого порядка кривых линий порядков р и а , находящихся во взаимно однозначном соответствии, образуют в пересечении соответственных элементов кривую порядка и=р+ . Андреев К.А. рассмотрел способ получения кривых как результат пересечения двух пучков первого порядка прямых, находящихся в (т,п) -значном соответствии. Порядок результирующей линии в этом случае определяется по формуле и = т + ъ . Попов И.А. предлагает рассматривать построение алгебраических кривых как геометрического места точек пересечения двух пучков S7 и $ первого порядка, состоящих из кривых порядка pf и р2 и находящихся в ( т2) -значном соответствии. При этом порядок искомой кривой получается равным wPfrtz+Pz"!, . Обухова B.C. /43, 54, 55/ определяет кривую как результат пересечения линий двух пучков порядков и /, , состоящих из линий порядков PJ и pz и находящихся в (Щ -значком соответствии. Порядок линии получается равным П =P1 2 2 +P2mi f Плоские алгебраические кривые имеют три основные характеристики: порядок, класс, жанр.
Порядок алгебраической кривой оцределяется степенью ее уравнения, записанного в декартовых координатах, после освобождения его от дробей и радикалов. Алгебраическая кривая п -го порядка оцределяется # простыми точками или соответствующим количеством кратных точек, эквивалентных этим простым точкам ( уэ - кратная точка эквивалентна заданной - fr+ J цростых точек) [68] .
Класс алгебраической кривой определяется степенью ее уравнения, записанного в тангенциальных координатах, что можно определить графичвски числом касательных, действительных или мнимых, которые можно провести к этой кривой из цроизвольной точки, не лежащей на ней,
Класс кривой определяется также числом точек пересечения этой кривой с первой полярой какой-либо точки плоскости. Например, кривая 3-го порядка имеет максимально возможный класс, равный шести.
Порядок п , класс 6 , число двойных точек (узловых и изолированных) at , число точек возврата Р , число двойных касательных / , число точек перегиба а связаны между собой формулами Пликкера /32, 37/:
Построение математической модели зависимости скорости утечки газа от давления и размеров щели клапана
В общем виде задачу геометрического моделирования различных параметров можно представить следующнм образом. Имеются значения параметра Xf , зависящего от двух остальных параметров Х2 , jt которые в свою очередь зависят друг от друга, значения которых известны. Требуется получить зависимость Х/= Схг,хг),
В геометрической интерпретации задача формулируется так. В трехмерном пространстве имеется набор точек, расположенных в различных плфскостях. Необходимо натянуть на эти точки линейчатую поверхность и получить каркас сечений в пучке плоскостей. Зависимость xf =J-{x? х3) в нашем случае будем моделировать линейчатой поверхностью следующим образом. По исходным данным через полученные точки по методу наименьших квадратов строим рациональные алгебраические кривые (параболы) в плоскостях /7 и 77/ . По координатам исходных точек J , % оцределяем коэффициенты a0J а„ ..., а аппроксимирующей функции.
Аппроксимация выполняется рациональными алгебраическими кривыми для последующего установления взаимно-однозначного соответствия между точками этих кривых. Аппаратом такого соответствия является линейчатая поверхность высекаемая этими кривыми из двупараметрического семейства прямых гиперболической линейной зада конгруэнции, задаваемой директрисами гп, тг . Рассмотрим ние аппарата отображения /7— - 77 , переводящего кривую (конику),инцидентную 77, в кривую (кубику) (рис. 3.3), принадлежащую плоскости 77 Фундаментальные точки плоскости 77 будут выбираться так. f? z -точки, однозначность которых нарушается в результате неоднозначности цроецирования,будут выбираться так, чтобы они были коллинейны с прямой, проходящей через двойную (фундаментальную точку плоскости /7 ). Полученная црямая /f , очевидно,будет инцвдентна проецирующей прямой (поверхности) и будет являться двойной, т.к. в квадратичном отображении она является принципиальной прямой,проходящей через точки /f, Ъ и соответственной фундаментальной точке /J кривой cs плоскости Z" для которой эта точка является двойной.
Фундаментальная точка % (однозначность которой нарушается в результате неоднозначности сечения) должна быть инцвдентна кривой с , для понижения порядка гомаловда плоскости /Ґ на единицу. Кроме этого, она должна быть коллинейна с фундаментальными точками , плоскости /7 , что и определяет выбор данной точки на кривой 2 Искомая фундаментальная точка Г будет бесконечно удаленной точкой параболы с .
Рассмотрим фувдаментальную систему плоскости /77 . Фундаментальные точки fj, 9 однозначность которых нарушается в результате неоднозначности проецирования, принадлежат го-малоиду (образу кривой с2 ) и являются цростыми фувдаментальными точками. Их кратность определяется числом свободных пересечений соответственных принципиальных прямых с прообразом, т.е.
Фундаментальная точка , однозначность которой нарушается в результате неоднозначности сечения будет находиться на бесконечно удаленной прямой в пересечении с ее проецирующим лучом,инцвдентным плоскости Л , Кратность фундаментальной точки /j? равна двум, т.к. ее соответственная прямая ,f пересекает црообраз гомалоида в двух свободных точках. Следовательно, принципиальная црямая //" S считается дважды и в силу конструктивной модели вся лежит на цроецирующей поверхности.
Как было указано выше,взаимнооднозначное отображение двух кривых, расположенных в параллельных плоскостях высекает из аппарата отображения (конгруэнции первого порядка, первого класса) линейчатую поверхность. Порядок линейчатой поверхности будет определяться конструктивно следующим образом. Известно, что порядок поверхности геометрически оцределяется числом точек пересечения произвольной прямой общего положения, относительно исследуемой поверхности с заданной поверхность&.
Исследуемая поверхность в нашем случае может быть задана двумя скрещивающимися прямыми (директрисами Кг 1,1) и прообразом (кривой cz, инцидентной плоскости / ) Для определения порядка этой поверхности поступаем так. Три скрещивающиеся прямые (две директрисы и произвольная прямая) определяют полуквадрику. Полученную поверхность второго порядка пересечем плоскостью, проходящей через конику сг Эта плоскость пересечет полуквадрику по конике, которая будет пересекаться с заданной кривой второго порядка г в четырех точках. Следовательно, порядок проецирующей линейчатой поверхности будет равен четырем.
