Содержание к диссертации
Введение
Глава первая. Дисперсные и пористые.системы
1.1. Общие характеристики и учет статистических особенностей при определении дисперсности и пористой структуры 10
1.2. Моделирование процессов седиментации для расчета дисперсного состава порошков 21
1. 3, Моделирование процессов дренажа для расчета параметров пористой структуры проницаемых материалов .' 38
1.4. Структурные параметры засыпок и пористых материалов из монодисперсных порошков 61
1.5. Пористая структура монодисперсных'проницаемых материалов 76
Глава вторая. Моделирование гвдродинамических: процессов в пористых материалах
2.1. Фильтрационный массоперэнос в пористых : влажных материалах 92
2.2. Гидродинамические параметры пористых форм и анализ кинетики еликерного литья;на монокапиллярной модели .. 99
2.3. Моделирование поля давлений в отливке на монокапиллярной модели 111
2.4. Поликапиллярная модель для"моделирования процессов капиллярной пропитки и .дренажа. .- 116
2. 5. Фильтрационное обезвоживание пористых материалов... 129
Глава третья Параметры структуры пористых материалов с точки зрения теории перколяции '
3.1. Статистическое описание процесса массопереноса в пористых средах, осложненного капиллярными эффектами 139
3.2. Пористая структура кавернозных матермалов 150
3.3. Перколяционныэ характеристики зернистых сред 157
3. 4. Обобщенная теория перколяции для анализа структуры и свойств пористых и композиционных материалов 165
Глава четвертая. Моделирование структуры и свойств пористых и композиционных материалов
4.1. Структурные особенности решеток, образуемых в процессе кристаллизации- дисперсной фазы 176
4.2. Метод расчета порогов перколяции для моделирования пористых и композиционных материалов 182
4.3. Оценка степени неоднородности пористой структуры проницаемых материалов 195
4.4. Кластерная модель структуры порошковых материалов... 203
4.5. Структурый анализ матричных порошковых и компоэиционных материалов 211
Выводы. 225
Литература
- Моделирование процессов седиментации для расчета дисперсного состава порошков
- Гидродинамические параметры пористых форм и анализ кинетики еликерного литья;на монокапиллярной модели
- Пористая структура кавернозных матермалов
- Метод расчета порогов перколяции для моделирования пористых и композиционных материалов
Введение к работе
Развитие и совершенствование производства порошковых (керамических и металлических) и композиционных материалов, расширение сферы их использования в различных процессах и областях техники повышает требования к структуре как изделий»• так и их заготовок. Используемые пористые материалы, в ряде случаев, должны отвечать противоречивыми требованиями, например, обладать высокой проницаемостью и необходимым капиллярным напором, или высокой пористостью и достаточной прочностью. Вследствие этого структура пористых материалов должна выбираться и создаваться с учетом предъявляемых требований.
Существующие методы моделирования структуры и свойств порошковых материалов не позволяют В аналитическом виде учесть полностью или достаточно физически строго ряд нелинейных структурных аффектов: зависимость свойств материала и параметров его пористой структуры от радиуса межчастичных контактов и вытянутости составляющих материал частиц [С.61-62, разделы 4.1,4.23, влияния на гидрогазодинамические процессы в пористых материалах связи капилляров друг с другом вследствие объемного капиллярного (обуславливается трехмерностью локальных течений при общей одномерности течения жидкостей и газов [разделы 2.2,2.4,2.5] в пористой среде) и перколяционных (обуславливаются маскировкой более крупных локальных объектов, например пор [раздел 3.1], мелкими) эффектов , а также зависимость проводящих и механических свойств пористых и композиционных материалов от проявления перколяционных эффектов.
Так предложенное Е Е Скороходом удобное для анализа проницаемых порошковых материалов бидисперсной и бипористой структуры понятие матричности пористых структур нельзя распространить на монодисперсные гетерогенные материалы имеющие матричную структуру [раздел 4.5]. То же самое можно сказать о предложенном А. Г. Кос-торновым в качестве ватаой структурной характеристики волокновых материалов коэффициента регулярности пористой"структуры, поскольку он не позволяет достаточно строго оценивать неоднородность порошковых и волокновых материалов. Поэтому она не позволяет
сравнивать их с другими, например частично упорядоченными пористыми материалами из параллельно уложенных волокон [раздел 3.1]. Пренебрежение объемным капиллярным эффектом, как следует из анализа проведенного в разделе 2.2, может привести к нарушению физической сущности параметров пористой структуры (в макрокапиллярной системе расчетные значения радиусов капилляров принадлежат к микропористому диапазону).
Общность подхода к анализу поровой структуры и дисперсности исходных материалов ваша для описания СЕОИСТВ высокопористых материалов, чтобы сократить экспериментальные затраты, обусловленные сильным разбросом получаемых данных в пороговой области.
Целью настоящей работы является разработка научных основ моделирования пористой структуры проницаемых порошковых материалов и процессов массопереноса в них путем аналитического учета нелинейных структурных эффектов, а также структурная и перколяционная оценка свойств порошковых и композиционных материалов.
В диссертации представлены впервые разработанные автором модели, аналитические и экспериментальные методы:
- по исходным материалам:
методы расчета процессов седиментации стоксовских суспензий с использованием традиционного и предложенного автором подхода, новый алгоритм для расчета седиментационных процессов;
- по методам определения параметров структуры пористых материалов и расчета технологических процессов при их изготовлении:
модели, описывающие пористые материалы из монодисперсных порошков, включая кластерную модель структуры порошковых материалов (учитывающую закономерность распределения координационного числа в системе), процессы дренажа в среде с несообщающимися и сообщающимися капиллярами для расчета параметров пористой структуры проницаемых материалов;
зависимости для удельной поверхности и среднего радиуса пор (учитывающие как координационное число, так и размеры частиц и межчастичных контактов), пробойного радиуса пор, извилистости пористого пространства и проницаемости порошковых материалов;
способы определения параметров пористой структуры проницаемых материалов;
метод расчета параметров фильтрационного массопереноса в пористых, частично насыщенных жидкостями материалах;
методики расчета гидродинамических параметров пористых форм, поля давления при наборе отливки в процессе шликерного литья и кинетики шликерного литья с учетом трехмерности решетки монокапиллярной модели материала форм, влияния пересечения капилляров и среднего координационного числа капиллярной решетки;
поликапиллярная модель для моделирования процессов капиллярной пропитки и дренажа, учитываюсь влияние пересечения капилляров разных размеров;
- но описанию или прогнозу и оценке порошковых (композиционных) материалов:
методики расчета перколяционных характеристик дву- и трехмерных моделей пористых порошковых материалов;
обобщенная аналитическая модификация теории перколяции для анализа структуры и свойств пористых или композиционных материалов.
методика определения структурных особенностей решеток, образуемых в процессе кристаллизации дисперсной фазы, учитывающая влияние пористости и вытянутости выкристаллизованных частиц;
метод расчета порогов перколяции для моделирования порис-тых и композиционных материалов, учитывающий дальнодействие или вытянутость составляющих систему частиц;
методики перколяционной оценки степени.неоднородности пористой структуры проницаемых материалов, матричности биднсперс-ных порошковых и композиционных материалов, структурного качества пористых материалов и качества межчастичных контактов.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
. В первой главе, посвященной дисперсным и пористым средам, проведен анализ существующих подходов к их описанию, предложены (на основе методологически единого описания параметров дисперсных
пористых систем и методов их определения) методы обработки процессов седиментации и дренажа, когда объемный капиллярный и пер-коляционныэ эффекты не проявляются (разделы 1.1-1.3). В последних разделах предложена обобщенная структурная модель, предназначенная для описания структурных параметров засыпок и пористых материалов из монодисперсных и узкофракционных порошков, метод расчета прочности индивидуальных меячастичных контактов частицами в порошковых материалах по экспериментальным данным и модель пористой структура монодисперсных проницаемых материалов на ее основе.
Ео второй главе рассматривается моделирование гидродинамических процессов в пористых материалах, используемых в технологии изготовления и контроля порошковых, керамических и других материалов, предложены моно- и поликапиллярные модели, учитывающие, объемный капиллярный эффект.
В третьей главе проанализированы параметры структуры пористых материалов с точки зрения теории перколяции, приведен вывод расчетных выражений для описания процесса масеопереноса в пористых материалах, осложненного капиллярными зффзктаї.іи. Описана методика расчета перколяционных характеристик кавернозных и зернистых (пороговых) материалов. Изложена обобщенная теория перколяции для анализа структуры и свойств пористых или композиционных материалов, учитывающая зависимость от пористости среднего координационного числа моделирующих пористые материалы решеток.
В четвертой главе рассмотрены вопросы моделирования структуры и свойств проницаемых порошковых и композиционных материалов, излагаются методики расчета параметров пористой структуры и физических характеристик различных материалов, предложены пер-коляционные оценки степени неоднородности поровой структуры мат-ричности и структурного совершенства порошковых материалов учитывающие влияние концентрации компонентов, соотношение их размеров и вытянутость частиц.
По результатам проведенных исследований- на защиту выносятся следующие положения:
1. Модель структуры монодисперсных порошковых материалов из -частиц и кластерная модель на ее основе.
2. Необходимость учета объемного капиллярного эффекта в расчетах фильтрационных процессов в пористых материалах и разработанные для этого трехмерные модели поровой структуры:
а) монодисперсных порошковых материалов;
б) моно- и поликапиллярная модели пористой"среды.
3. Аналитическая модификация теории перколяции.
4. Методическое единство подхода к определению дисперсности порошков по седиментационным кривил и параметров поровой структуры проницаемых материалов в методе газожидкостной порометрии.
5. Необходимость учета упругости межчастичных контактов при расчете модуля упругости неоднородных систем изменением величины перколяционного индекса.
6. Разработанные на основе теоретических положений 1-3:
а) метод определения параметров фильтрационного массопереноса в пористых материалов.
б) методы расчета гидродинамических парачїетров проницаемых материалов, кинетики шликерного лигья и поля давления при наборе отливки в процессе литья на монокапиллярной модели;
в) методы определения параметров пористой структуры проницаемых материалов и расчета кинетики дренажных процессов на поликапиллярной модели;
д) аналитический метод расчета порогов перколяции для моделирования пористых и композиционных материалов;.
е) метод расчета геометрических характеристик матричных полимерных систем;
7. Модифицированный перколяционный подход к описанию структуры и свойств порошковых материалов для их комплексной структурной оценки по:
а) модифицированному параметру степени неоднородности пористой структуры (в комплексе со значением статистически представительной минимальной толщины по А. Г. Косторнову);
б) степени матричности,
в) .качеству структуры и межчастичных контактов.
Моделирование процессов седиментации для расчета дисперсного состава порошков
В этом случае средняя скорость седиментации і-п фракции, с учетом раномерного распределения а каждой фракции, определяется ее средним временем седиментации г СЦ-г ti_1)/2. Тогда в расчетный момент времени t, успевают осесть фракции с временами седиментации ц = t,, а доля осевших частиц фракций с ц = t, определится выражением тД./t Е четвертом столбце табл. 1.2 приведены рассчитанные з соответствии с вышеизложенным теоретические значения массы осадка М,, осевшего ко времени процесса t, (для простоты ЕЗЯТО только 6 фракции с суммарной массой 100 мг). В пятом и шестом столбца:: записаны значения, рассчитанные по выражениям (1.15),(1.16) и выражениям (1.34),(1.35). Видно, что при использовании общепринятого подхода, то есть с учетом,. (1.15),(1.16), получаются существенные отклонения от заданных масс фракций (при уменьшении At, рассчетная погрешность снижается, но полностью не исключается). Предлагаемый алгоритм исключает смещение дифференциальной характеристики распределения в сторону увеличения разме pa частиц.
Таким образом, рассмотрен алгоритм обработки седиментацион-ных" кривых для гравитационной и центробежной седиментации, позволяющий повысить ее точность ва счет уточнения используемой физической модели процесса.
Рассмотренный подход справедлив только для условий, обеспечивающих индивидуальное оседание каядой из частиц разбавленной суспензии. Когда взаимодействием частиц между собой пренебречь нельзя следует применять анализ, рассмотренный в работах [1.23, 1.303. В пористых системах аналогом разбавления в какой-то степени монет служить снижение толщины пористых образцов вплоть до размеров составляющих материал частиц ( что может отрицательно сказаться на объективности информации о пористой структуре материала), или рассчитывать аффективные (кажущиеся) параметры, как это будет показано в следующем разделе.
Суц?ствс-шюе влияние на проносе и формования, cyunin или фильтрационного сбезЕоглшанпя и спекания поро:лцковых, например керамических, матерікілов оказывает образующаяся порпетал структура, поскольку она наряду с дисперсностью составлявших материал частиц влияет на взаимодействие связки с поверхностью частиц и процессы массоиеренсеа в нем.
Анализ форм связи норовой Рідкості! с поверхностью пористых материалов в зависимости от структури пор и температурі: материала рассмотрен в работах [1.31, 1.321. По работе П.ЗП капилляры в пористых тела делятся на микро- (радиусы мэпео 10 м) и макро капилляры (радиусы болы:;з 10 м). Кнкрогсапнлляри могут заполниться водой путем сорбции пара і;з воздуха, а макрокаппллярп -только при непосредственном соприкосновении с едкостью. Последние в насн::;"ЛіПоН водянкмп пармп среде отдаг/г ей всю влагу.
При дренировании (фильтрационном соезво;-лванпп) удаляется не вся норовая влага, а только макрекаппллярная часть физика-механически связанной. Сстаяьную влагу мо;т:ю удалить обычной сушкой. Таї; как нас интересует в основном связь структуры материала с процесса!;;і массопереноса в нем, то мы преимущественно будем рассматривать особенности макропористой струк.туры проницаемых материалов. Равновесие жидкости в гравитационном поле в капиллярах пористого материала И.ЗГЛ зависит не только от свойств едкости и поверхности капилляра, но и от его конфигурации.
В неточном (с периодическим изменением радиуса) капилляре мо/--.ет бить несколько равновесшгх СОСТОЯНИЙ столбика ИІДКОСТИ с еч GO -свободной поверхность». При ого иогрулешш в емачиваиїтую .хидкость поднимается па висоту h. , а при извлечении поточного капиллл ра из Рідкості! вксота столбика будет h.-,, причем h0 h,, т. е. на Ол:ода?тся клпплллршгл гистерезис. В коническом круговом капилляре с радиусом кзнпоков г її
Го HMJOT значение величина угла наклона стопок клиилллра. В отличие от цилиндрического капилляра (где горизонтальний столбик ;-пд--ксстп, не сооб::;а:о::;ийсн со свободной поверхностью :л1Д1-;остн V.OW T занимать произвольное половине) горизонтальний столбик смачнвом-и;эП їдкостп, не связанный со свободной поверхностью Рідкості, перемогается к сторону узкого конца до тех пор, пока мениск не запн;-т кра.ііїее положение.
В капилляре перокзнного сеченпл вкеота подтема должна определиться с учетом изменения производной радиуса капилляра по высоте С1.341: її - 2Г Гоояе» і dr/(dh) sin ol/i irrCl (dr/dh)40 5}.(l.3) поскольку реа ыи. з пори нвлл-отся порами переменного сучении, то для изучения фильтрационного вытеснения погогон едкости газом, рлесметреннкл ввг.;;е вопрос является вамікм. Рассмотрим анализ процесса ввкосненпл Рідкості! из капилляра переменного сеченпл, вкнолнешшл ь работе П. Г.П.
Гидродинамические параметры пористых форм и анализ кинетики еликерного литья;на монокапиллярной модели
Для обеспечения требуемых производительности процесса шликерного литья изделий из пороговых материалов и качества отформованного полуфабриката необходим контроль всасывающей способности пористых форм. Существующие методы расчета всасываюцзи способности пористых форм, приведенные, например в работе [1.81,2.9,2.10], основаны на модели пористой среды в виде системи параллельных, непересекакцихся капилляров эквивалентного радиуса, не учитывают трехмерности реальной пористой структуры форм и приводят к получению записанных значений эквивалентного радиуса пор материала. Это осло. ляе? анализ процесса кликериого литья и искажает расчеты его кинетики.
Рассмотрим, в соответствии с работами [2.11,2.12] методику определения параметров пористой структуры форм для шликерного литья и модель шликерного литья на монокапиллярной модели с учетом ее трехмерности и взаимосвязи капилляров, используя экспериментальные данные С 1.8П по кинетике пропитки, пористых образцов ."ЖИДКОСТЬЮ.
Пористую струїстуру материала Jopi.ai представим в виде трехмерной рештки из цилиндрических капилляров с эквивалентным радиусом г„ . Одну треть капилляров в направлении фильтрации будем считать транспортными, а остальные (расположенные в среднем перпендикулярно транспортним) - поперечными. Извилистость капилляров и координационное число образующейся в материале капиллярной решетки определим с иомзцью модели хаотически расположенных сфер, например С1. 403: ? -[П(І - 0,61пП)3 -1 (2.7) Z » -8ШП, (2.8) где - извилистость капилляров, Л - пористость, Z - координационное число капиллярной решетки.
Для упрощения методики расчета примем капиллярную сетку в среднем прямоугольной (см. рис. 2.3), а зависимость ее координационного числа от пористости - с учетом растяжения сетки в направлении фильтрации при Z 6. Увеличение координационного числа решетки более шести учтем увеличением количества транспортных и поперечных каналов пропорционально отношению Z/6. В результате получаем: 1 ,ЛТ= El - (ryhpCE/12+0,5) - (V-i)/43(-81nA-2)/(8c)f (2.11) ГДЄ А - П при П 0,4724 и А - 0,4724 при П = 0,4724.
Для учета остаточного воздухосодер.чания в гипсе после его пропитки ЕОДОЙ используем полученные в работе [2.13] экспериментальные данные. Их можно аппроксимировать следующей зависимостью, имеющей максимальное среднеквадратичное отклонение менее 0,06: дП /П = 0,53ехр(-1,6776ПЬ где дП - часть пористости, из которой воздух.жидкостью не вытесняется.
В соответствии с моделью этот воздух остается в поперечных капиллярах. Поэтому, учитывая долю пористости, приходящуюся на поперечные капилляры 1 /П = 4(1 /1т)/[1 + 4(1 /1 3, окончательно получаем: 1П/1Т» (Пд/П - дП /П)/4. . , (2.12) г
Используя полученные параметры, можно вывести уравнение про-цесса впитывания зчидкости в пористый материал, для удобства примем,, что часть высоты элементарной ячейки h_ заполняется по транспортному капилляру, а затем идет заполнение одновременно оставшейся части транспортного капилляра и состыкованных с ним поперечных (они равны по длине оставшейся части транспортного ка пилляра).
Пористая структура кавернозных матермалов
В последнее время значительное развитие получила теория пер-коляциин (протекания), изучающая геометрические свойства решеток, в которых элементы связи или углы обладают разивши свойствами [1,40, 3.1-3.19]. Она значительно расширяет возможности исследования пористой структуры различных материалов.
При рассмотрении методов определения параметров пористой структуры проницаемых материалов ЕО второй главе мы не учитывали влияния блокировки более крупных пор мелкими, что вполне допустимо для многих практических целей, например для расчета процесса обезвоживания пористых материалов. Однако в ряде случаев необходимо иметь более точные представления о пористой структуре различных материалов, поэтому требуется корректировка получаемых экспериментальных кривых с помощью теории перколпции.
В работах [1.34, 1.72] это было проведено на основе модели пористой среды в виде ветвяшдхся пор переменного сечения, отражающей пористую структуру некоторых видов катализаторов.
В работе С1.74] описана методика корректировки экспериментальной кривой распределения объема пор по размерам на основе модели пористой среды в виде кубической решетки, то есть с координационным числом, равны».( шести. Однако порог перколяцпи, полученный в этой работе, не согласуется с данными численных расчетов, приведенных, например, в 3.3]. Кроме того, на практике пористые среды соответствуют обычно решеткам, координационное число кото рых меняется в широких пределах, поэтому необходима разработгл более совершенной методики корректировки экспериментальной кривой распределения объема пор по размерам.
Аналогичный вывод можно сделать и относительно коэффициента извилистости частично насыщенной смачивающей жидкостью пористой среды при фильтрации в ней газа.
Коэффициент извилистости проницаемых материалов является важнш параметром их пористой струстуры, используемым в расчетах процессов фильтрации, поэтому, вопросу его теоретического и экспериментального определения уделяется значительное внимание 1.40, 1.71, 1.94, 3.20]. Однако его определение и анализ проведены без учета капиллярных эффектов, что снимает точность расчетов фильтрационных процессов, осложненных капиллярными эффектами, например, процессов вытеснения газами смачивающих жидкостей из пористых сред или фильтрации газов через частично насыщенные смачивающими жидкостями пористые среды.
В теории перколяции, например [1.40], показано, что капиллярные эффекты в значительной степени определяют проницаемость пористых сред. Так в С1.741 с помощью приближенного аналитического анализа был определен порог перколяции и степень заполнения узлов кубической решетки в зависимости от давления несмачивающэи жидкости и распределения пор среды по размерам. Поскольку подход, предложенный в этой работе, удобен для анализа влияния капиллярных эффектов на коэффициент извилистости частично насыщенной смачивающей жидкостью пористой среды при фильтрации через нее газа 3.223, то он в дальнейшем будет нами использован.
В качестве пористой среды используем модель из пересекающихся извилистых капилляров (пор) одинаковой длины д1, но разных радиусов г в виде кубической решетки (координационное число ре щетки Z равно 6).
Рассмотрим процесс вытеснения смачивающей жидкости газом из этой решетки при ступенчатом повышении давления Р. При этом каждому значению давления соответствует определенная доля общего кортах личества пор a = J. fw(r)dr из которых жидкость может вытесняться газом при условии, что они не заблокированы порами меньшего радиуса и вытеснение -жидкости из пор радиуса г возможно при услоовии Р 2yCOS»/r.
Пусть газ подведен к нулевой верхней плоскости решетки. Если в плоскостях решетки содержится по п0 узлов, то ожидаемое количество пор, по готорым газ проникает на нижеследующую первую плоскость, составит nQ . Величина nQa равна количеству исходных узлов на плоскости 1.
В результате распределения газа по плоскости 1 число узлов, занятых им в этой плоскости, станет равным n = n0 ак , где к коэффициент распространения, а суммарная длина путей, пройденных газом от одного исходного до каждого из узлов первой плоскости, приходящихся на исходный, составит lj = дІгЧкр. Число выходов на вторую плоскость будет соответственно nQA , а обцее число узлов, заполненных газом, составит n2 = n0a kjh2» Суммарная длина путей, соединяющих исходный узел второй плоскости с приходящиынся на него узлами, составит 1о = д1Г(кр).
Аналогично запишется число занятых газом узлов решетки для 1-й плоскости и суммарная длина путей, пройденная газом от исходного узла до ісаждого из узлов, приходящихся на исходный: ni = n0a f!;a. kg k , (3.1) і-дІїХкр. с 3.2)
Для определения коэффициента ki и lj рассмотрим 1-ю плоскость решетки (рис. 3.1). В ней кажцый ксходнып узел окружен четырьмя узлами первого порядка (п, -« 1), непосредственно соединяющимися с ним, с вероятностью заполнения каждого из узлов газом через од о ну связь а и через три связи - 2а (1 -а), где коэффициент 2 учитывает, что заполнение через три саяаи возможно по двум вариантам.
Метод расчета порогов перколяции для моделирования пористых и композиционных материалов
Теория перколяции находит широкое применение для анализа и прогнозирования электрических и механических СЕОЙСТВ пороздсовых материалов С 4.6-3.73, определения параметров пористой структури [2.4,2.53 различных материалов и таї: далее. Обычно пористая или композиционная среда при этом принимается состоящей из примерно одномерных (сЗеро- или кубообразных) частиц, а дальние связи ыеавду частицами не учитываются, что не всегда приемлемо. Так, в ферромагнетиках взаимодействие шжэт проходить также со второй и даже третьей координационной группой, а в качестве дисперсной фазы в композитах могут использоваться вытянутые в одном направлении частицы (волокна, нитевидные монокристаллы и так далее). Постольку эти особенности могут быть учтены через соответствующие значения порогов перкодяции.то целесообразно разработать мэтод расчета порогов перкодяции в неоднородных, например порядковых, материалах для частиц с дальним взаимодействием и вытянутых в одном направлении частиц. сообщенные перколяциошшэ характеристики неоднородных систем, зависящие от координационного числа соответствующей решетки, удобно связывать с объемной концентрацией дисперсной фазы (частиц) V или объемной концентрацией дисперсионной среди (для пористых материалов - пористостью n=l-Y). Это связано с тем, что, как показано в первой главе, координационные числа решток, образуемых сфэро-образными частицами, однозначно определяются пористостью системы. Из Еыракений (1.65) и (1.68) при нулевом радиусе контакта частиц получаем: 1 = 1 - n /[ZptgU /Zp2 )] , (4.10) 1 =1 - (Zp3 - 2)2/(Z 3 - 0,6Zp3 - 1,76) , (4.11) где I f3-j и %2(2) пористость и координационное число двух(трех) мернон решетки. Пороги перколящш упаковок с ричзских частиц в задаче узлов обычно определяют по широко используемым зависимостям, которые можно обобщить в следующем виде: a ygja)- 0,15(7 - 21 )/(1 - П) , (4.12) где Мд- размерность пространства, -2(3) " ПРГ перколяции.
Целесообразнее использовать уточненную их зависимость от координационного числа реиктокСЗ. 46). Расчет зависимости порога перколяции от степени связи ме.гду удаленными соседями (от номера ко-ординационной группы N) мошо осуи;эствить, если рассмотреть добавление к частицам первой координационной группы частиц других групп как увеличение координационного числа рассматриваемой частици с учетом склонности к проводимости системы, которая пропорциональна величине (1 - аку2(3) В результате, с учетом вырамеши (3. 46), получаем: аКУ2(3)" СА2 3) + %(3)Zp)/C(Z4 " Vа" 3)/Zp2(3) " - %(3) + V С4ЛЗ) где Az = 1,174, Е = 0,3, Ag = 1,359, В3 = 0»03, Zq- суммарное число частиц в координационных группах, охватываемых сферой влияния исходной частицы,/ определяется по Z_., рассчитываемому по выражению (4.10) или (4.11).
В табл. 4.2 приведены результаты расчета значений йКУ2(з) для различных типов плосішх и объемных решеток в сравнении с известными данными СЗ. 24]. Видно, что несмотря на крайнюю простоту рассмотренного подхода, согласованность рассчитанных значений с известными достаточно хорошая. Полученные по зависимости (4.12) или (3.46) значения V..=l - П при а1їуг/3х=1 могут быть использованы для описания проводимости неоднородных систем, образованных сфэро- или кубообразиымп частицами, ЕО всем диапазоне их пористости (концентрации непроводящей матричной фазы). Таї:, для электро- и теплопроводности (\) мокко записать типичное выражение: X - 0C(Y - VK)/(i - VK)3fc. (4.14) где \Q- электро(тепло-)проводность беспорнстого материала, tg -1,3 40,1 ta=lf8 + 0,2 - критические индексы для двумерной (трехмерной) системы. Ш рис. 4.1 приведена обобщенная зависимость относительной электро(тепло-)проводностн пористого порошкового материала, рассчитанная по выражениям (4.12) и (4.14), в сравнении с экспериментальными данными для пористого никеля (электропроводность при 293К и теплопроводность при 900К), полученного спеканием в восстановительной среде [4,93. Образцы изготовлялись из порошка никеля марки ПНК-1 с различным размером частиц (фракции 2,5; 1,2; 0,8 и меньше 0,5 мкм). Кривая удовлетворительно описывает электро- и теплопроводя вдіє свойства пористого никеля. Здесь же приведена известная зависимость В. В. Скорохода [4.10], которая вдали от порога перколяции описывает эти свойства несколько точнее.
Для учета удлинения образующих пористую или композиционную систему частиц, представим их в форме прямых круговых цилиндров с соотношением длины к диаметру L/D. Это соотношение показывает число единичных цилиндров (D=L), составляющих вытянутые частицы. Taj-: как все L/D единичных цилиндров является проводящими, то снижение величины порога перколяцин в системе мэязю считать пропорциональным величине (L/D - 1). При этом учтем, что сиижэние вероятности событий образования связанных цепочек цилиндров пропорционально величине порога порколяции в степени, равной числу единичных цилиндров в цепочке (поскольку это вероятность одновременно происходящих событий), причем для простоты будем базироваться на квадратной и простой кубической рештках: L/D-1 а = 2Мз [1+(а -1)/!H/(2M-1+L/D),(4.15) КЦМ, Z=2U куМ, МЫ куМ, Z-2M где U в квадратных скобках учитывает, что в обычной перколяцион-пой системе цепочка из L/D элементов-мзлгт образовываться по М направлениям, а в нашем случае - только в каком-нибудь одном, KVU Z=2M РассчитНЕаотся по выражению (3.46).
По уравнении (4.15) был проведен расчет порога порколяции в задаче узлов для простой кубической решетки в зависимости от длины проводящих цилиндров L/D. Результаты расчета представлены на рис. 4.2 в виде сплошной кривой. Там жз приведены экспериментальные значения порогов, полученные в работе [4.1] путем численного моделирования. Видно, что кривая удовлетворительно согласуется с известными данными.
