Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Излучательные и безызлучательныс внутризонные переходы электронов в квантовых ямах (обзор литературы) 14
1.1. Энергетический спектр и волновые функции электронов в квантовых ямах на основе соединений АШВУ 14
1.2. Оптические переходы электронов в квантовых ямах 18
1.2.1. Внутриподзонные переходы 19
1.2.2. Межподзонные переходы 19
1.2.3. Эффекты, влияющие на спектр межподзонного поглощения 20
1.2.4. Фотоионизация квантовых ям 22
1.3. Безызлучательные внутризонные переходы неравновесных электронов в квантовых ямах 23
1.3.1. Расчет вероятностей внутризонных переходов электронов при основных безызлучательных механизмах рассеяния 24
1.3.2. Скорость релаксации энергии неравновесных электронов 28
1.3.3. Влияние неравновесных фононов на оптические явления в объемных полупроводниках и квантовых ямах 29
1.4. Некоторые методы получения инверсии населенности и модуляции излучения среднего инфракрасного диапазона в квантовых ямах 29
1.4.1. Инверсия населенности 3 0
1.4.2. Модуляция 36
ГЛАВА II. Влияние неравновесных фононов на внутризонные эмиссию и поглощение света горячими электронами в квантовых ямах 38
2.1. Влияние неравновесных оптических фононов на скорость рассеяния энергии горячих электронов в квантовых ямах 39
2.1.1. Вычисление скорости рассеяния энергии 39
2.1.2. Влияние неравновесных фононов на скорость рассеяния энергии 43
2.1.3. Влияние уровня легирования, ширины ямы и процессов экранирования на скорость рассеяния энергии 45
2.1.4. Сравнение с экспериментальными данными 45
2.2. Влияние неравновесных оптических фононов на внутризонную эмиссию света горячими электронами в квантовых ямах 46
2.3. Влияние неравновесных оптических фононов на модуляцию межподзонного поглощения света горячими электронами в квантовых ямах 50
2.3.1. Изменение пространственного заряда при приложении электрического поля 50
2.3.2. Решение в отсутствие электрического поля 53
2.3.3. Решение в продольном электрическом поле 57
2.3.4. Оценка возможности возрастания концентрации 59
2.4. Основные результаты главы П 60
ГЛАВА III. Впутризоннос поглощение света в туннельно-связаниых квантовых ямах в равновесных и неравновесных условиях 61
3.1. Межподзонное поглощение в равновесных условиях 63
3.1.1. Дизайн структуры с туннельно-связанными квантовыми ямами 63
3.1.2. Уточнение положения энергетических уровней 63
3.1.3. Влияние объемного заряда на энергетический спектр и коррекция параметров квантовых ям 64
3.1.4. Схема расчета спектральной зависимости поглощения 66
3.1.5. Влияние температуры на спектр поглощения 68
3.2. Расчет вероятностей электрон-фононного рассеяния 75
3.2.1. Рассеяние на полярных оптических фононах 75
3.2.2. Рассеяние на деформационных акустических фононах 82
3.3. Расчет вероятностей межподзонного рассеяния электронов на ионизованных атомах примеси 83
3.4. Модуляция межподзонного поглощения света в электрическом поле 86
3.4.1. Определение концентрации и температуры электронов 86
3.4.2. Анализ результатов 89
3.5. Основные результаты главы III 100
ГЛАВА IV. Механизмы рассеяния, влияющие на внутризонную инверсию населенности в ступенчатых квантовых ямах 101
4.1. Механизм образования внутризонной инверсии населенности в ступенчатых квантовых ямах, расчет волновых функций и энергетического спектра электронов 101
4.1.1. Механизм образования внутризонной инверсии населенности 101
4.1.2. Волновые функции и энергетический спектр электронов в модели Кейна 102
4.2. Рассеяние электронов на полярных оптических фононах 106
4.3. Электрон-электронное рассеяние в ступенчатых квантовых ямах 110
4.4. Электрон-дырочное рассеяние в ступенчатых квантовых ямах 116
4.4.1, Процессы с внутриподзонными переходами дырок (3211 и 2111) 118
4.4.2. Резонансный процесс с межподзонным переходом дырки (3213) 120
4.5. Влияние концентрации неравновесных носителей заряда на времена электрон-электронного и электрон-дырочного рассеяния в ступенчатых квантовых ямах 123
4.6. Основные результаты главы IV 124
ГЛАВА V. Расчет инверсии населенности и оценка пороговых характеристик в предложенном дизайне лазера среднего инфракрасного диапазона со ступенчатыми квантовыми ямами 125
5.1. Выбор параметров ступенчатых квантовых ям 125
5.2. Оценка пороговых характеристик лазерной структуры со ступенчатыми квантовыми ямами 129
5.3. Зависимость внутризонной инверсии населенности от температуры и концентрации электронов и дырок в квантовой яме 137
5.4. Основные результаты главы V 141
Заключение 142
Основные публикации автора 144
Цитированная литература 145
- Оптические переходы электронов в квантовых ямах
- Некоторые методы получения инверсии населенности и модуляции излучения среднего инфракрасного диапазона в квантовых ямах
- Влияние неравновесных оптических фононов на внутризонную эмиссию света горячими электронами в квантовых ямах
- Расчет вероятностей электрон-фононного рассеяния
Введение к работе
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность. Интерес к оптическим исследованиям наноструктур в последние годы вызван возможностью наблюдения принципиально новых физических явлений и созданием новых оптоэлектронных приборов (квантовых генераторов, фотодетекторов, модуляторов). Ближний инфракрасный (ИК) диапазон длин волн (к < 3 мкм) хорошо освоен. Генерация, модуляция и детектирование излучения среднего ИК диапазона (А, «3-20 мкм) также вызывают интерес, так как могут найти широкое применение в медицине, экологии, ИК спектроскопии, связи и т.п.
Длины волн X > 3 мкм соответствуют энергиям внутризонных переходов носителей заряда в наноструктурах. Несколько вариантов лазеров на внутризонных переходах электронов в квантовых ямах (КЯ) уже создано (см., например, [1,2]). Однако существующие проблемы, связанные с дорогостоящей технологией их изготовления или сложностью практического использования, ограничивают их применение. Поэтому поиск новых способов получения внутризонной инверсии населенности остается по-прежнему актуальной задачей. Один из таких способов исследуется в настоящей работе. При этом изучается влияние на внутризонную инверсию населенности электрон-фононного, электрон-электронного и электрон-дырочного рассеяния, которые могут разрушать инверсию [1,3,4].
В настоящей работе исследуется также внутризонное поглощение света в КЯ при приложении электрического поля вдоль квантово-размерных слоев. В таких условиях температура электронов может сильно отличаться от температуры решетки. Оптические явления, возникающие благодаря разогреву носителей заряда, интересны с физической точки зрения и могут быть использованы для создания новых приборов оптоэлектроники. Благодаря малой инерционности явлений разогрева, определяемой обычно временем релаксации энергии (10"'- 10"12с), возможно создание скоростных электрооптических модуляторов. Так, для излучения дальнего ИК диапазона с Х« 70-210 мкм известен малоинерционный модулятор, основанный на межподзонных переходах горячих дырок в германии [5]. В настоящей работе рассмотрены два механизма модуляции излучения среднего ИК диапазона, основанные на межподзонных переходах горячих электронов в КЯ. Оптические явления, возникающие в КЯ в продольном электрическом поле, изучены слабо. Обычно внутризонные поглощение и эмиссия света исследуются при приложении поперечного электрического поля или при оптическом возбуждении [1, 2, б], при этом разогрев носителей заряда является побочным процессом.
Разогрев носителей заряда происходит в процессе работы многих оптоэлектронных приборов (квантовых каскадных лазеров, инжекционных лазеров и др.) в области больших токов и влияет на приборные характеристики. Поэтому при проектировании и оптимизации приборов определение температуры электронов является актуальной задачей. В настоящей работе электронная температура определена в прямоугольных и туннельно-связанных КЯ при приложении продольного электрического поля. При этом учтена возможность накопления неравновесных оптических фононов в сильных полях и определено их влияние на внутризонные оптические явления. Отметим, что оптические явления с учетом неравновесных фононов исследовались ранее в объемных полупроводниках [7, 8], однако в КЯ изучалось влияние неравновесных фононов только на межзонную фотолюминесценцию и динамические свойства электронов при оптическом возбуждении [7].
Цель работы - исследование влияния разогрева электронов сильным электрическим полем на внутризонные оптические явления в КЯ, анализ возможности получения внутризонной инверсии населенности и изучение ее характеристик, анализ модуляции излучения среднего ИК диапазона в квантовых ямах специальной конструкции.
Основные задачи работы можно разделить на три группы:
Определение температуры электронов в КЯ в сильных электрических полях с учетом неравновесных оптических фононов. Оценка величины изменения интенсивности внутриподзонной эмиссии и коэффициента межподзошюго поглощения света в КЯ вследствие влияния неравновесных оптических фононов.
Анализ и объяснение экспериментальных данных по модуляции межподзошюго поглощения света в селективно легированных резонансных и туннельно-связанных квантовых'ямах в электрическом поле:
- расчет энергетического спектра и волновых функций электронов путем
самосогласованного решения уравнений Шредингера и Пуассона;
- вычисление вероятностей рассеяния горячих электронов при внутризонных переходах с
учетом специфики рассматриваемых КЯ;
- анализ физических механизмов модуляции, расчет коэффициента поглощения света и его
сравнение с экспериментальными данными.
3. Оценка возможности получения внутризонной инверсии населенности в
асимметричных ступенчатых квантовых ямах:
расчет энергетического спектра и волновых функций электронов в модели Кейна;
вычисление времен жизни электронов на уровнях КЯ и скоростей захвата электронов из
континуума на уровни при рассеянии на полярных оптических фононах;
- определение величины внутризонной инверсии населенности;
- расчет изменения величины внутризошюй инверсии населенности вследствие
межподзонного электрон-электронного (е-е) и электрон-дырочного (e-h) рассеяния;
- оптимизация параметров КЯ для получения наибольшего коэффициента усиления для
излучения среднего ИК диапазона.
Научная новизна работы. Для полупроводниковых КЯ специальной формы предложены физические механизмы и расчеты, описывающие внутризонные оптические эффекты и рассеяние электронов, а именно:
модуляцию внутризонного поглощения в сильном продольном электрическом поле в селективно легированных резонансных КЯ;
влияние неравновесных оптических фононов на внутриподзонную эмиссию и межподзонное поглощение света в КЯ в сильных электрических полях;
температурную зависимость спектра межподзонного поглощения в селективно легированных двойных туннелыю-связанных КЯ, связанную с перераспределением электронов между подзонами, изменением объемного заряда и, как следствие, изменением волновых функций, оптических матричных элементов и энергий переходов;
скорость рассеяния энергии горячих электронов в многослойных КЯ с учетом вида огибающих волновых функций электронов в подзонах;
модуляцию внутризонного поглощения в селективно легированных двойных туннелыю-связанных КЯ в электрическом поле с учетом продольной и поперечной компонент поля, вызывающих перераспределение электронов между двумя нижними подзонами, разогрев электронов, изменение их энергетического спектра, волновых функций и оптических матричных элементов переходов;
внутризонную инверсию населенности в ступенчатых КЯ в условиях токовой инжекции и межзонного стимулированного излучения;
скорости межподзонного е-е и e-h рассеяния, влияющие на внутризонную инверсию населенности электронов в асимметричных ступенчатых КЯ.
Рассчитаны глубина модуляции внутризонного поглощения света и величина внутризонной инверсии населенности в исследуемых структурах.
Практическая значимость работы состоит в следующем:
В результате проведенных расчетов и анализа экспериментальных данных сделан вывод о возможности получения внутризонной инверсии населенности, достаточной для генерации излучения среднего ИК диапазона в асимметричных ступенчатых КЯ, а также эффективной модуляции излучения среднего ИК диапазона в туннелыю-связанных КЯ.
Найдена оптимальная энергия кванта излучения среднего ИК диапазона, для которой может быть получена наибольшая глубина модуляции в туннелыю-связанных КЯ.
Выбраны параметры асимметричной ступенчатой КЯ для получения наибольшего коэффициента усиления излучения среднего ИК диапазона.
Показано, что е-е и e-h рассеяние в асимметричных ступенчатых КЯ не разрушает внутризонную инверсию населенности для излучения среднего ИК диапазона. Наибольшая величина внутризонной инверсии населенности может быть достигнута в лазерных структурах с малой пороговой для межзонного стимулированного излучения концентрацией носителей заряда в КЯ (менее 5-Ю11 см"2). В этом случае уменьшение внутризонной инверсии вследствие е-е и e-h рассеяния не должно превышать 10%.
В последующих исследованиях в области полупроводниковых КЯ могут быть использованы предложенные в настоящей работе схемы расчетов времен внутризонного рассеяния электронов на полярных оптических фононах, в том числе с учетом неравновесных фононов, на акустических фононах, ионизованных атомах примеси, е-е и e-h рассеяния в КЯ сложной формы.
Основные положения, выносимые на защиту;
Неравновесные полярные оптические фононы существенно влияют на величину оптических эффектов, связанных с внутризонными переходами электронов при их разогреве продольным электрическим полем в квантовых ямах.
Учет возможности «антипересечения» уровней в электрическом поле в туннельно-связанных квантовых ямах с малым энергетическим расстоянием между двумя нижними подзонами позволяет удовлетворительно интерпретировать экспериментальные данные по модуляции межподзонного поглощения света, которая может быть объяснена перераспределением электронов между нижними подзонами и изменением их энергетического спектра и волновых функций.
В асимметричных ступенчатых квантовых ямах в условиях токовой инжекции и межзонного стимулированного излучения возможно появление внутризонной инверсии населенности, достаточной для генерации излучения среднего ИК диапазона.
Межподзонное электрон-электронное и электрон-дырочное рассеяние в асимметричных ступенчатых квантовых ямах типа InGaAs/AlGaAs не разрушает внутризонную инверсию населенности для среднего ИК излучения. В лазерных структурах с пороговой для межзонного стимулированного излучения концентрацией носителей заряда менее 5-Ю11 см"2 уменьшение внутризонной инверсии населенности вследствие электрон-электронного и электрон-дырочного взаимодействия составляет примерно 10%.
Достоверность и надежность результатов основана на их соответствии результатам экспериментов и согласии с результатами других работ, посвященных сходной тематике.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих отечественных и международных конференциях:
Городская студенческая научная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой наноэлектронике (Санкт-Петербург, 1998); 6, 7 International Symposium "Nanostructures: Physics and Technology" (St. Petersburg, 1998, 1999); 11th International Conference on Superlattices, Microstructures and Microdevices (Hurgada, 1998); 10th, 11th Vilnius Symposium on Ultrafast Phenomena in Semiconductors (Vilnius, 1998, 2001); 24th International Conference on the Physics of Semiconductors (Jerusalem, 1998); The 25th International Conference on the Physics of Semiconductors (Osaka, 2000); Российско-Украинский Семинар "Нанофизика и Наноэлектроника" (Киев, 2000); European Conference on Laser and Electro-Optics (Nice, 2000); 4 и 5 Российская конференция по физике полупроводников (Новосибирск, 1999; Н.Новгород, 2001); 7 Всероссийская молодежная научная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2005).
Публикации. По теме диссертации имеется 33 публикации, из них 11 статей в отечественных и международных журналах. Основное содержание отражено в восьми работах, перечень которых приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы из 112 наименований; содержит 153 страницы машинописного текста, включая 45 рисунков.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы и сформулирована цель работы, показана научная новизна и практическая значимость результатов, даны сведения о структуре и содержании работы и приведены положения, выносимые на защиту.
Первая глава содержит обзор литературы по излучательным и безызлучательным внутризонцым переходам электронов в КЯ. Выбраны объекты исследования и определены задачи диссертационной работы.
Вторая глава посвящена исследованию влияния неравновесных полярных оптических фононов на внутриподзонную эмиссию и межподзонное поглощение света в прямоугольных селективно легированных резонансных КЯ при приложении продольного электрического поля [А1, А2].
В параграфе 2.1 изучено влияние неравновесных фононов на скорость рассеяния энергии горячих электронов в КЯ [А1]. Рассмотрены два способа расчета скорости рассеяния энергии. Первый способ основан на вычислении разности вероятностей
испускания и поглощения электронами равновесных полярных оптических фононов при внутриподзонном рассеянии. Второй способ, основанный на вычислении скорости изменения числа фононов, позволяет ввести время жизни фононов 2^*0, найти неравновесную функцию их распределения по волновым векторам и выявить вклад неравновесных оптических фононов в скорость рассеяния энергии. Результаты расчета первым способом и вторым при тд = 0 совпадают. Получено хорошее согласие результатов проведенных расчетов при тд * 0 с экспериментальными данными разных авторов [7,9].
В параграфе 2.2 результаты расчета скорости рассеяния энергии использованы при решении уравнения баланса мощности для основной подзоны прямоугольной КЯ в условиях разогрева электронов продольным электрическим полем. Определена основная характеристика горячих электронов - электронная температура [А1]. Данный способ нахождения электронной температуры применен для определения влияния неравновесных фононов на величину внутриподзонной эмиссии света из прямоугольных КЯ GaAs/Alo.22Gao.78As [А2]. Результаты расчета электронной температуры с учетом неравновесных фононов совпадают с данными, полученными из анализа экспериментальных спектров внутриподзонной эмиссии. Показано, что появление неравновесных фононов увеличивает электронную температуру, вследствие чего спектральная плотность излучения в рассмотренном диапазоне длин волн и электрических полей возрастает в 1.5 - 2.5 раза.
В параграфе 2.3 исследовано влияние неравновесных фононов на модуляцию межподзонного поглощения в селективно легированных резонансных КЯ GaAs/Alo.22Gao.78As с двумя уровнями размерного квантования в продольных электрических полях Е. Предполагалось, что экспериментально обнаруженный в работе [10] рост поглощения Да излучения СОг-лазера под действием поля может происходить вследствие увеличения энергии межподзонного перехода по отношению к энергии кванта излучения. Энергия межподзонного перехода увеличивается вследствие заброса электронов на верхний уровень при их разогреве электрическим полем, перераспределения этих электронов в область барьера в соответствии с волновой функцией и компенсации зарядов примеси, в результате чего уменьшается объемный заряд и повышается энергия верхнего уровня.
Для оценки влияния на этот эффект неравновесных фононов, электрическому полю была сопоставлена электронная температура с учетом и без учета неравновесных фононов. Использование найденных электронных температур в функции распределения электронов и самосогласованное решение уравнений Пуассона и Шредингера позволило определить изменение энергии межподзонного перехода в электрическом поле и, следовательно, Да.
Показано, что появление неравновесных фононов с г9 = 7пс более чем на порядок увеличивает Да и улучшает согласие расчета и эксперимента [А1].
Основные выводы второй главы сформулированы в параграфе 2.4.
Третья глава посвящена исследованию модуляции межподзонного поглощения света в туннелыю-связанных КЯ при приложении продольного электрического поля.
В параграфе 3.1 рассчитана спектральная зависимость межподзонного поглощения в отсутствие поля при различных температурах [А4]. Из сравнения с экспериментально найденными спектрами и анализа их изменения при оптическом возбуждении определены положения близко лежащих уровней размерного квантования. Скорректированы параметры КЯ. Для новых параметров КЯ найден энергетический спектр и волновые функции электронов с учетом влияния пространственного заряда. Непараболичность энергетического спектра учтена в модели Экенберга [11]. Дано объяснение температурной зависимости спектра поглощения, основанное на перераспределении электронов между подзонами, изменении их энергетического спектра и волновых функций.
В параграфах 3.2 и 3.3 рассчитаны вероятности межподзонного рассеяния электронов в ТСКЯ (на полярных оптических и деформационных акустических фононах и ионизованных атомах примеси), что необходимо для анализа модуляции поглощения света в электрическом поле [А5]. Предложенные схемы расчета позволяют учитывать реальный вид волновых функций электронов в многослойных КЯ и разную степень разогрева электронов в разных подзонах.
В параграфе 3.4 предложена интерпретация экспериментально полученных в [12] данных по модуляции межподзонного поглощения в продольном электрическом поле [А5]. Падающее излучение СОг-лазера может поглощаться при переходах электронов со второго на третий уровень размерного квантования. В отсутствие поля концентрация электронов на втором уровне невелика, поэтому поглощение мало. При включении поля возрастает средняя энергия электронов первой подзоны и вероятность их рассеяния во вторую подзону, что приводит к значительному увеличению поглощения.
Концентрации и температуры электронов в первой и второй подзонах в электрических полях определены из системы уравнений баланса мощности для каждой подзоны, равенства потоков частиц между подзонами и сохранения числа частиц. Переходы электронов и перенос энергии между подзонами рассмотрены с учетом рассеяния на ионизованных атомах примеси, оптических и акустических фононах. Скорость внутриподзонной релаксации энергии электронов найдена с учетом неравновесных оптических фононов.
Обнаружено, что экспериментально найденная зависимость изменения коэффициента межподзонного поглощения Да от поля в данной структуре не может быть объяснена
только эффектами разогрева электронов. Предложено объяснение наблюдаемой модуляции, основанное на предположении о возникновении в данной структуре поперечной компоненты электрического поля. В этом случае происходит «антипересечение» близких по энергиям двух нижних уровней, которое приводит к существенной перестройке спектра поглощения света. Вследствие этого рост поглощения излучения СС^-лазера ограничивается при увеличении напряженности внешнего поля выше 150 В/см.
Изменение коэффициента поглощения вычислено с учетом изменения силы осциллятора, энергии оптического перехода, концентрации и температуры электронов в электрическом поле. Показано, что учет неравновесных фононов позволяет лучше описать ход экспериментальной зависимости модуляции от поля. Найдена оптимальная энергия кванта излучения (136 мэВ), для которой может быть получена наибольшая глубина модуляции в данной структуре [А5].
Основные выводы третьей главы сформулированы в параграфе 3.5.
В четвертой главе рассмотрены механизмы межподзонного рассеяния электронов, определяющие степень внутризонной инверсии населенности электронов в ступенчатых
кя.
В параграфе 4.1 рассмотрен способ создания внутризонной инверсии населенности в ступенчатых КЯ InGaAs/AlGaAs при инжекции носителей заряда [А6], рассчитан энергетический спектр и волновые функции электронов в модели Кейна [А7]. Метастабильный уровень формируется благодаря слабому перекрытию его волновой функции с волновыми функциями нижележащих уровней. Благодаря генерации в структуре межзонного стимулированного излучения концентрации электронов и дырок на основных уровнях стабилизируются, что предотвращает разрушение внутризонной инверсии населенности из-за е-е и e-h рассеяния при увеличении инжекциошюго тока.
В параграфе 4.2 вычислены времена межподзонного электрон-фононного рассеяния. Получено необходимое для существования внутризонной инверсии населенности соотношение времен жизни электронов на возбужденных уровнях. Показано, что захват электронов из континуума в яму происходит преимущественно на верхний (метастабильный) уровень. Таким образом, показано, что при инжекции электронно-дырочных пар степень внутризонной инверсии населенности может быть достаточно высока [А6].
В параграфах 4.3 и 4.4 установлены типы наиболее вероятных межподзонных е-е и e-h процессов, влияющих на внутризонную инверсию населенности в ступенчатых КЯ [А7, А8]. Предложены схемы расчета и проведены вычисления времен рассеяния при разных температурах.
В параграфе 4.5 исследована зависимость времен межподзонного е-е и e-h рассеяния от концентрации электронов и дырок на основных уровнях КЯ [А8]. Показано, что при концентрациях, меньших 5-10 см", времена е-е и e-h процессов превышают времена рассеяния на фононах при аналогичных межподзонных переходах электронов. Поэтому основным механизмом рассеяния, определяющим степень инверсии населенности уровней еЪ и е2, является испускание полярных оптических фононов. При превышении данной концентрации времена жизни на уровнях еЗ и el (и, следовательно, инверсия населенности) определяются межподзонным е-е и e-h рассеянием.
Выводы к четвертой главе приведены в параграфе 4.6.
В пятой главе рассмотрена межподзонная инверсия населенности электронов в ступенчатых КЯ, при этом использованы предложенные ранее схемы расчетов времен межподзонной релаксации электронов.
В параграфе 5.1 выбраны параметры КЯ, оптимальные для получения наибольшего коэффициента усиления среднего ИК излучения [А6].
В параграфе 5.2 для заданных параметров КЯ, волновода и резонатора определены пороговые коэффициент усиления, величина внутризонной инверсии населенности и плотность инжекционного тока в лазерной структуре, необходимые для генерации излучения среднего ИК диапазона. Система скоростных уравнений при токовой инжекции электронно-дырочных пар решена с учетом основных межподзонных процессов электрон-фононного, е-е и e-h рассеяния, спонтанного и стимулированного межзонного излучения, а также захвата электронов на уровни КЯ. Проанализированы величина плотности порогового тока (~10 кА/см ), возможность ее достижения в лазерной структуре с КЯ и ее зависимости от температуры и концентрации.
В параграфе 5.3 при плотности инжекционного тока вблизи порогового значения проанализированы зависимости величины внутризонной инверсии населенности от температуры и концентрации неравновесных носителей заряда [А8]. Показано, что процессы е-е и e-h взаимодействия, уменьшая инверсию, не приводят к ее разрушению. Наибольшей величины внутризонной инверсии населенности можно достичь в структурах с наименьшей пороговой концентрацией электронов и дырок для межзонного излучения. При концентрации 5-Ю11 см'2 е-е и e-h рассеяние уменьшают инверсию не более чем на 10%. Увеличение температуры с 80 К до 300 К приводит к уменьшению инверсии при данной концентрации примерно на 30%.
Основные результаты пятой главы приведены в параграфе 5.4.
В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Оптические переходы электронов в квантовых ямах
В настоящей диссертационной работе мы будем изучать явления, связанные с поглощением и излучением квантов света в специально сконструированных КЯ. Рассмотрим возможные оптические переходы в квантовых ямах. В первом порядке теории возмущений выражение для коэффициента поглощения света с энергией кванта hco имеет вид [22]: где п - показатель преломления, с и со— скорость и частота света, е — заряд электрона, то -масса свободного электрона, Cl = (Lw +LB)S — нормировочный объем образца, Lw- ширина КЯ, LB- ширина барьера, суммирование ведется по всем начальным (/) и конечным (/) состояниям, AS) - функция распределения носителей заряда по энергии, еш - единичный вектор поляризации световой волны, р,у - матричный элемент оператора импульса. Скалярное произведение еа р/у в (1.2.1) определяет правила отбора по поляризации для оптических переходов. Разрешенные оптические переходы в КЯ делятся на внутризоппые переходы, которые идут в пределах одной зоны, и меэюзоппые переходы. В настоящей работе будут изучаться внутризоппые переходы электронов. Среди внутризонных переходов в КЯ, в отличие от объемных полупроводников, возможны не только непрямые (внутриподзонные), но и прямые (межподзонные) оптические переходы электронов. Для внутриподзонных переходов (без учета возможности виртуальных межподзонных переходов) вектор ею должен иметь отличную от нуля компоненту в плоскости КЯ (ех Ф О или еу О). В первом порядке теории возмущений (в рамках которого получена формула (1.2.1)), поглощение отсутствует, так как законы сохранения импульса и энергии могут быть одновременно удовлетворены только при участии третьего тела. В работах [23, 24] рассмотрено внутриподзонное поглощение света электронами с участием электрон-электронного взаимодействия, в работе [25] - с учетом рассеяния на фононах, примесях и шероховатостях гетерограниц. Внутриподзонное поглощение света при виртуальных межподзонных переходах электронов, когда промежуточное состояние находится в другой подзоне (ранее предполагалось, что промежуточное виртуальное состояние находится в рассматриваемой подзоне), дает незначителый вклад в результирующее внутриподзонное поглощение.
Для межподзонных переходов правила отбора по поляризации света следующие: - вектор поляризации ew должен иметь отличную от нуля компоненту перпендикулярно квантово-размерным слоям (ez 0); - двумерные волновые вектора электрона в начальном и конечном состоянии должны совпадать; - в симметричной КЯ плавные огибающие волновой функции электрона в начальном и конечном состояниях должны иметь разную четность. Отметим, что в асимметричных ямах, которые также будут исследоваться в настоящей работе, понятие четности уровней теряет свой смысл, и переходы между любой парой уровней оказываются возможными. Отметим также, что в случае, когда нельзя полагать эффективные массы электронов в яме и барьере одинаковыми, возможно межподзонное поглощение света пассивной поляризации (ег=0) из-за разницы в эффективных массах материалов ямы и барьера [26]. Так как для межподзонных оптических переходов возможно одновременное удовлетворение законов сохранения импульса и энергии, то коэффициент поглощения может быть найден в первом порядке теории возмущений: где W(a ) - вероятность взаимодействия электронов с излучением частоты со [22]. W(co) складывается из вероятностей w,y (&,-, со) поглощения кванта света электронами при переходах из состояний / с волновыми векторами к, в состояния./: где Sif Sj и fi, fj энергии электронов и функции распределения в начальных и конечных состояниях. Из (1.2.3) следует, что наиболее вероятно поглощаются те кванты света, энергия которых равна разности энергий электронных уровней размерного квантования: Бесконечно узкие и бесконечно высокие спектральные линии (1.2.4), расположенные на резонансных частотах, реально оказываются уширенными и смещенными с частоты резонанса вследствие рассеяния, непараболичности подзон и других эффектов. Рассмотрим некоторые эффекты, влияющие на спектр межподзонного поглощения. 1. Столкновительное уширение пика поглощения является следствием соотношения неопределенности энергия - время (см., например, [27]). Из-за конечного времени жизни носителей в начальном и конечном состояниях (п и TJ соответственно) возможна вариация энергии перехода AS » % + у , что приводит к уширению линии поглощения. При этом контур уширенной линии имеет Лоренцеву форму, ширина которой определяется средним временем между столкновениями. 2. Отклонение от параболичности энергетических подзон в КЯ заключается в трех эффектах трансформации структуры подзон по сравнению со случаем параболического закона дисперсии [28]. Во-первых, сдвигается энергия дна подзон, т.е. изменяется поперечная к гетерослоям эффективная масса электронов. Во вторых, изменяется продольная эффективная масса, и, следовательно, кривизна закона дисперсии вблизи дна подзон. В третьих, для больших волновых векторов закон дисперсии подзоны не является параболическим. В результате, в модели непараболического энергетического спектра переходам электронов с разными волновыми векторами соответствуют различные частоты поглощения. Это приводит к несимметричному уширению пика поглощения (в низкочастотную область). Кроме того, смещается частота резонанса.
В прямозонных полупроводниках AinBv энергетический спектр и волновые функции носителей заряда с учетом непараболичности хорошо описываются моделью Кейна [29]. Существуют также некоторые модели расчета поправок к эффективной массе электрона, справедливой в случае параболического энергетического спектра. Например, в модели Экенберга [11] эффективную массу электрона разделяют на поперечную и продольную. Поперечная масса используется при расчете положения квантово-размерных уровней, продольная характеризует движение электрона в плоскости слоя. Это приводит к различной кривизне энергетической дисперсии для основного и возбужденного состояний, а также к уменьшению энергии межподзошюго перехода. 3. Эффект деполяризации вызывает уширение и сдвиг пика поглощения вследствие резкой зависимости диэлектрической проницаемости материала КЯ от концентрации электронов [30, 31, 32]. Диэлектрическая проницаемость слоя, содержащего электроны, превосходит диэлектрическую проницаемость материала барьера на величину —стгг{рі), со где со - частота поглощаемого излучения, сгг2(со) - компонента тензора высокочастотной проводимости. Остальные диагональные компоненты тензора проводимости равны нулю, так как только поперечная компонента электрического поля световой волны вызывает межподзонные оптические переходы. Изменение диэлектрической проницаемости влечет за собой изменение энергетического спектра электронов, так как влияет (через уравнение Пуассона) на величину внешнего потенциала, входящего в уравнение Шредингера. Поглощение происходит на частоте еду2 = со{2 + со2, где со& - частота размерного квантования, со — плазменная частота. Оценить деполяризационный сдвиг частоты можно согласно [30]. Для КЯ GaAs шириной 6 нм с концентрацией 2-Ю11 см 2 он составляет 2 мэВ.
Некоторые методы получения инверсии населенности и модуляции излучения среднего инфракрасного диапазона в квантовых ямах
В последние годы одной из актуальных задач полупроводниковой оптоэлектроники было создание лазеров и модуляторов, работающих в среднем инфракрасном (ИК) диапазоне (К 5-20 мкм). Одним из первых созданных лазеров был униполярный квантовый каскадный лазер (UQCL) [1]. Инверсия населённости в нем возникает между подзонами размерного квантования в специально сконструированной системе КЯ AlInAs/GalnAs при поперечном транспорте электронов в электрическом поле. Активная область гетероструктуры содержит несколько десятков каскадов, состоящих из трех или более туннельно-связанных КЯ (рис. 1.1). Волновые функции уровней 3 и 2 перекрываются слабо, в то время как перекрытие волновых функций уровней 2 и 1 велико. Поэтому между уровнями 3 и 2 появляется инверсия населенности. После испускания кванта света на переходах 3—»2, электроны тупнелируют на уровень 1 в третьей яме с испусканием LO-фонона. Энергия перехода 2- 1 соответствует энергии LO-фонона, что обеспечивает быстрое опустошение второго уровня. Каскады разделены широкими слоями, предназначенными для охлаждения электронов перед их туннелированием в следующий каскад. Это сильно ослабляет вероятность эмиссии оптических фононов в следующем каскаде и, следовательно, повышает число излучательных переходов. Достоинством каскадной геометрии является способность одного электрона излучать фотоны несколько раз - по числу периодов структуры. Во столько же раз возрастает выходная мощность лазера. Однако при изготовлении такого лазера требуется высочайшая точность совпадения размеров отдельных элементов структуры.
На данный момент создано множество различных вариантов квантового каскадного лазера, которые перекрывают диапазон длин волн от 3 мкм до 17 мкм [75,76]. За последние годы были созданы лазеры, подобные UQCL, но основанные на других гетероструктурах А3В5 [77, 78]. Продемонстрирована работа каскадных лазеров при комнатной температуре как в импульсном, так и в непрерывном режимах [79, 80]. Выходная мощность в среднем превышает 1 мВт (рис. 1.2) [81]. Плотность порогового тока удалось понизить в среднем до 2 кА/см (в первых каскадных лазерах она превышала 10 кА/см ). Другим типом экспериментально реализованного лазера среднего ИК диапазона на КЯ является униполярный квантовый фонтанный лазер (QFL) [82, 83, 84]. Инверсия населённости появляется в асимметричной двойной туннельно-связанной КЯ между уровнями Ег и Ез при межподзонной оптической накачке с основного уровня Еі на Ез (рис. 1.3) [85]. Симметрия и перекрытие волновых функций уровней Ез и Ег обеспечивают большое время жизни на третьем уровне и достаточную величину оптического матричного элемента. Энергетическое расстояние между уровнями Е\ и Ег соответствует энергии LO-фонона, поэтому время жизни электронов на уровне Ег гораздо меньше времени жизни на уровне Ез. Фонтанный лазер может работать только при низких температурах (до 135 К). Это обстоятельство ограничивает область его применений. Кроме того, для оптической накачки фонтанных лазеров необходимы очень мощные (несколько киловатт) источники ИК излучения, например, импульсный ССЬ-лазер [86]. Длина волны излучения фонтанного лазера составляет 14-15.5 мкм. В более поздних вариантах фонтанного лазера используется межзонная накачка с помощью лазера на красителях [87]. В таких схемах длина волны излучения составляет 7-8 мкм. Исследования возможности создания более простых в изготовлении лазеров и одновременно более удобных в применении, привели к появлению множества интересных идей. Например, В.А. Козлов [88] и А. Кастальский [3] предложили создавать инверсию населенности между подзонами размерного квантования электронов в бескаскадной структуре с независимыми прямоугольными КЯ, но для эффективного опустошения основного состояния использовать мощное стимулированное излучение ближнего ИК диапазона.
В схеме [88] это излучение генерируется внешним лазером (рис. 1.4 а), а в работе [3] излучение ближнего ИК диапазона появляется при межзонных переходах в той же структуре, предназначенной для генерации среднего ИК излучения (рис. 1.4 б). Рассмотрим эту идею более подробно. Квантовая яма (рис. 1.4, б) содержит два уровня размерного квантования, между которыми должна возникнуть инверсия населенности. При токовой инжекции неравновесные электроны и дырки захватываются в КЯ и релаксируют на основные состояния, заполняя их. При достижении пороговой концентрации появляется стимулированное межзонное излучение, стабилизирующее концентрацию щ на основных уровнях. В то же время скорость поступления электронов на уровень 2 продолжает возрастать, и может оказаться выше, чем скорость ухода электронов на уровень 1. Следовательно, между уровнями 1 и 2 может появиться инверсия. Однако оценки показали, что генерация среднего ИК излучения возможна лишь при плотности инжекционного тока, значительно превышающей 10кА/см2. Соотношение пг» п\ трудно достижимо, так как щ должна быть большой для генерации межзонного излучения. Серьезной проблемой также является сильное фононное рассеяние, поскольку волновые функции электронов первого и второго уровней сильно перекрываются. Кроме того, высокая концентрация электронов и дырок в КЯ приводит к сильному е-е и e-h рассеянию [89,90], а, следовательно, к дополнительному возрастанию порогового тока. Проблемы, связанные с быстрыми безызлучательными межподзонными переходами электронов, могут быть частично решены при применении КЯ ступенчатой формы. В работе [91] для получения межподзонного излучения предложено использовать симметричную ступенчатую КЯ (рис. 1.5 а). Узкая часть КЯ легирована. СОг-лазер возбуждает носители из подзоны 1 в подзону F, откуда электроны быстро релаксируїот в подзону 3 с эмиссией оптических фононов. Подобная релаксация в подзоны 2 и 1 происходит медленнее из-за слабого перекрытия волновых функций соответствующих уровней благодаря специальной форме КЯ. Эмиссия оптических фононов 3-»2 затруднена по этой же причине, а также вследствие малого энергетического расстояния между этими уровнями. Релаксация в подзону 1 происходит быстрее из подзоны 2, чем из подзоны 3. Оценки показали, что пороговая мощность оптической накачки в такой структуре может быть около 0.2 Вт, однако излучение так и не было получено.
В работе [92] было предложено использовать асимметричные ступенчатые КЯ для получения лазерного излучения дальнего ИК диапазона (рис. 1.5 б). Инверсия населенности должна появляться между подзонами Ез и Е2 при межподзонной оптической накачке Еі — Е3. Асимметричная форма КЯ позволяет в большей степени, чем симметричная, использовать различную степень перекрытия волновых функций уровней для повышения эффективности накачки и увеличения коэффициента усиления. Однако экспериментально излучение также не было получено из-за сильного е-е рассеяния. В настоящей диссертационной работе будет исследоваться новый механизм создания внутризоніїой инверсии населённости электронов. Он сочетает в себе достоинства некоторых вышеупомянутых механизмов и новые индивидуальные черты, что позволит наилучшим образом заселить верхний рабочий уровень и опустошить нижний. Долгоживущий верхний уровень (еЗ) формируется с помощью асимметричной ступенчатой КЯ, содержащей три квантово-размерных уровня. Параметры КЯ специально подобраны так, чтобы обеспечить оптимальные величины перекрытия волновых функций разных уровней. Опустошение нижнего рабочего уровня (е2) происходит благодаря быстрой межподзонной эмиссии LO-фононов, а опустошение основного уровня (el) - при межзонном стимулированном излучении. Неравновесные электроны создаются при токовой инжекции в нелегированную область гетероструктуры с КЯ. Отсутствие каскадов означает возможность изготовления таких лазеров не только методом МВЕ, но и MOCVD. Следовательно, их производство может оказаться более дешевым, чем квантовых каскадных лазеров. Одновременно возможность электрической инжекции обеспечит большее удобство в применении, чем фонтанного лазера с оптической накачкой. Работа современных модуляторов среднего ИК излучения на основе полупроводниковых КЯ в большинстве случаев основана на пространственном переносе электронов через структуру с туннелыю-связанными КЯ в поперечном (поперек квантово-размерных слоев) электрическом поле [6, 93, 94]. Например, модулятор, предложенный в работах [6, 93], содержит двойные туннельно-связанные КЯ различной толщины и одинаковой глубины (рис. 1.6). В равновесии и при положительной полярности приложенного напряжения основная часть электронов находится в широкой КЯ, и максимальное поглощение происходит на частоте, соответствующей энергетическому расстоянию между уровнями широкой ямы. При отрицательной полярности узкая яма опускается относительно широкой, большинство электронов тупнелируют в область узкой ямы, и максимальное поглощение происходит на частоте, соответствующей энергетическому расстоянию между уровнями узкой ямы. Таким образом, наблюдается селективное поглощение света. В работе [94] предложен модулятор на тройных туннельно-связанных КЯ (рис. 1.7). Один период структуры включает две КЯ различной ширины, разделенные так называемым "резервуаром". В равновесии практически все электроны находятся в "резервуаре", и межподзонное поглощение наблюдается лишь в дальней ИК области. При приложении положительного смещения нижний уровень широкой КЯ опускается ниже уровня Ферми структуры. При этом становится возможным туннельный переход электронов в широкую яму, и появляется межподзонное поглощение света, соответствующее энергии перехода между уровнями широкой ямы. При отрицательном смещении носители перемещаются из "резервуара" в узкую яму и происходит соответствующее поглощение. В отличие от модулятора на двойных туннельно-связанных КЯ, наличие "резервуара" обеспечивает отсутствие поглощения среднего ИК излучения при нулевом смещении, а также различие величин полного поглощения при разных полярностях. В настоящей диссертационной работе будут исследованы два новых механизма модуляции среднего ИК излучения, основанные на разогреве электронов в КЯ при приложении продольного электрического поля (вдоль квантово-размерных слоев). В отличие от поперечного поля, использование продольного поля может обеспечить широкополосность модулятора, что значительно упростит радиотехнические схемы его подключения. При этом модулятор не будет уступать в быстродействии, которое составит единицы пикосекунд. Достоинствами такого модулятора будут также простота конструкции, малые управляющие напряжения и возможность работы от стандартного генератора СВЧ сигнала.
Влияние неравновесных оптических фононов на внутризонную эмиссию света горячими электронами в квантовых ямах
Исследование эмиссии излучения терагерцового диапазона при непрямых внутриподзонных переходах горячих электронов в КЯ в продольном электрическом поле было проведено экспериментально и теоретически в работе [74]. Внутриподзонное излучение сопровождает эмиссию света при прямых межподзонных переходах и может служить дополнительным источником информации о горячих носителях заряда. Структура содержит 150 КЯ GaAs/Alo.22Gao.78As, шириной Lw= 6 нм, ширина барьеров Ьв= 14 нм. Средняя область барьеров размером бнм легирована кремнием, концентрация доноров ND = 5-1017 см 3, так что поверхностная концентрация электронов в ямах при Т 300К равна щ = 3-1011 см"2. КЯ содержит два уровня размерного квантования, энергетическое расстояние AS между которыми достаточно велико. Излучение света с энергией кванта Ьа « AS, поляризованного в плоскости КЯ (вектор поляризации em J. Oz, Oz- направление роста структуры) может происходить только благодаря непрямым переходам электронов в пределах основной подзоны (рис. 2.4 а). Выполнение закона сохранения импульса при взаимодействии электрона с излучением обеспечивается благодаря рассеянию электронов на LO-фононах, примесях и шероховатостях гетерограниц.
Отметим, что эмиссия длинноволнового излучения с поляризацией еш OZ через промежуточные состояния во второй подзоне, которое также возможно, согласно проведенному расчету мало (из-за выполнения условия tico « AS). На рис. 2.4 б приведены измеренные в работе [97] спектры эмиссии излучения дальнего ИК диапазона при нескольких значениях напряженности продольного электрического поля Е. На рис. 2.4 в приведены рассчитанные спектры эмиссии при нескольких значениях Те (расчет проводился с учетом неравновесных фононов). Из сопоставления расчетных и экспериментальных спектров в работе [97] была найдена зависимость Те(Е) (точки на рис. 2.4 г). В настоящем параграфе мы определим эту же зависимость с помощью решения уравнения баланса мощности, покажем согласие результатов и оценим влияние неравновесных полярных оптических фононов на величину внутриподзонной эмиссии по сравнению со случаем рассеяния на равновесных фононах. Рассчитанные нами зависимости электронной температуры от электрического поля с учетом (тд = 7 пс) и без учета (т? = 0) накопления неравновесных фононов приведены на рис. 2.4 г сплошной и штриховой линиями соответственно. При решении уравнения баланса мощности (1.3.13) было использовано среднее значение подвижности горячих электронов це = 3400 см2/(В-с), найденное экспериментально в [97] и слабо зависящее от величины электрического поля. Видно, что определенные двумя способами зависимости Те{Е) соответствуют друг другу в случае учета неравновесных фононов. В сильных полях накопление неравновесных фононов существенно увеличивает Те - более чем в 2 раза. Оценим влияние неравновесных оптических фононов на интенсивность внутриподзонной эмиссии среднего ИК излучения. Согласно рис. 2.4 г, температура электронов, рассчитанная с учетом неравновесных фононов, превосходит температуру электронов, рассчитанную без учета неравновесных фононов, в 1.5-2.5 раза в рассмотренном диапазоне электрических полей (Е 2 кВ/см). Согласно рис. 2.4 в, при таком увеличении электронной температуры интенсивность эмиссии возрастает в 1.5-1.8 раз для малых энергий кванта излучения ( 4 мэВ) и в 1.8-2.5 раза для больших (в пределах рассмотренного диапазона) энергий кванта ( 14 мэВ). Таким образом, неравновесные фононы усиливают интенсивность внутриподзонной эмиссии в 1.5-2.5 раза в электрических полях Е 2 кВ/см для излучения с энергией кванта 4-14 мэВ. Влияние неравновесных фононов на модуляцию межподзонного поглощения изучалось в резонансных селективно легированных КЯ GaAs/Alo.22Gao.78As.
Экспериментально модуляция в этой структуре исследовалась в работе [10]. Структура содержит 150 КЯ шириной Lw=6\iu, ширина барьеров LB =14 им. Средняя область барьеров размером 6 им легирована кремнием, концентрация доноров No = 5-1017 см"3, поверхностная концентрация электронов в ямах равна 2-Ю11 см 2 при Г=300К и 3-10 см при Г=300К. Легирование приводит к искажению потенциала структуры, профиль потенциала для одного периода схематически показан на рис. 2.5 а. КЯ содержит два уровня размерного квантования, причем верхний уровень расположен вблизи края КЯ. В отсутствие поля энергетическое расстояние между уровнями на 5 мэВ меньше энергии кванта излучения СОг-лазера. Экспериментально полученные в работе [10] равновесный спектр поглощения света и вольт-амперная характеристика (ВАХ) структуры, приведены на рис. 2.5 в,г, а данные по модуляции - на рис. 2.9. Модуляция может возникать по двум причинам. Во первых, рост поглощения света может происходить за счет увеличения энергии межподзонного перехода (см. рис. 2.5 а,б) при компенсации зарядов примеси электронами, разогретыми продольным электрическим полем. Во вторых, увеличение поглощения света в сильном электрическом поле может быть связано с увеличением концентрации электронов из-за пробоя глубоких центров. Возникающие в продольном электрическом поле неравновесные фононы могут существенно влиять на величину модуляции поглощения.
Целью настоящего исследования было определение величины изменения энергетического расстояния между подзонами вследствие изменения пространственного заряда, формируемого электронами в области КЯ и положительно заряженными ионизованными донорами в барьерных областях, изучение влияния на этот процесс неравновесных оптических фононов, а также исследование влияния этого процесса на величину модуляции коэффициента внутризонного поглощения. При селективном легировании средней области барьеров происходит искажение потенциала структуры вследствие пространственного заряда. В области барьера появляется неглубокая потенциальная яма для электронов. В сильном продольном электрическом поле электроны нижней подзоны разогреваются, рассеиваются в верхнюю подзону и перераспределяются в пространстве из области основной глубокой КЯ GaAs в область барьера с потенциальной ямой. Электроны, попавшие в область барьера, компенсируют заряд легирующей примеси. В результате глубина ямы в области барьера уменьшается, соответственно повышается энергия верхнего уровня. Чтобы найти изменение энергии верхнего уровня, необходимо решить уравнения Шредингера и Пуассона для данной структуры. Одночастичное уравнение Шредингера
Расчет вероятностей электрон-фононного рассеяния
Для исследования модуляции поглощения света в КЯ в электрическом поле необходимо знать вероятности межподзонных переходов электронов при разных электронных температурах Те & Т. Одним из основных процессов межподзонного рассеяния электронов является рассеяние на LO-фононах. При малом энергетическом расстоянии между подзонами существенную роль играет также рассеяние на деформационных акустических (DA) фононах. В главе II была предложена схема расчета вероятностей рассеяния горячих электронов на LO-фононах при внутриподзонных переходах. Обобщим ее на случай переходов между подзонами. Между двумя подзонами размерного квантования возможны следующие четыре типа переходов электронов с участием фононов: из верхней подзоны j в нижнюю і с испусканием и поглощением фононов, а также из нижней подзоны / в верхнюю у тоже с испусканием и поглощением фононов (рис. 3.9). Для каждого из процессов на рисунке приведены законы сохранения энергии, где ft coLO - энергия LO-фонона, Д,у - энергетическое расстояние между подзонами. Энергетический спектр будем считать параболическим: где ki и kj - модули волновых векторов начального и конечного состояний электрона, значения энергий отсчитываются от дна подзон. Законы сохранения импульса имеют вид: где q± - волновой вектор фонона в плоскости КЯ. Выражения для полных вероятностей испускания W e i и поглощения W J фонона при переходе электрона из подзоны / в подзону j содержат суммирования по всем начальным и конечным состояниям: где Hj - матричный элемент электрон-фоношюго взаимодействия (1.3.3), /(,-) функция распределения электронов, «5-функция выражает закон сохранения энергии. При заданной поверхностной концентрации электронов = 3-1011 см"2 и температуре Г 80К электронный газ не является вырожденным.
Поэтому функцию распределения двумерных электронов будем полагать больцмановской в каждой из подзон: ink Т / где Nc= в у. 2 - эффективная плотность состояний двумерного электронного газа. Для вычисления W a J заменим суммирование по конечным состояниям электрона в (3.2.3) на интегрирование, при этом qL в (3.2.4) исключим соответствии с законом сохранения: dk,, где верхний знак относится к процессам испускания фонона, нижний - к процессам поглощения. В рамках используемой нами модели, когда функция распределения электронов имеет вид распределения Больцмана, а матричный элемент рассеяния записан без учета процессов экранирования, вероятности W J ej и WJJ" не зависят от концентрации. Результат интегрирования по углу в в (3.2.9) одинаков для всех четырех процессов: интегрирование по углу 3 дает 2л, а интегрирование по конечным состояниям волновых векторов электронов проводим с помощью -функции. При этом для переходов i— j волновым вектором конечного состояния является к/, для обратных переходову - / - kj. где верхний и нижний знаки соответствуют испусканию и поглощению фонона. Аналогичное выражение может быть получено для вероятностей переходову - г. Верхние пределы интегрирования в этих выражениях для всех четырех процессов равны бесконечности, но так как средняя энергия электронов характеризуется электронной температурой Те, то при расчетах в качестве верхнего предела можно использовать 2квТе. Нижние пределы отличаются для переходов /- / и j-ьі, а также для процессов испускания и поглощения. Кроме того, они зависят от соотношения величин bcoLO и Д/,-.
Все эти случаи рассмотрены на рис. 3.10. Например, если энергетическое расстояние между подзонами меньше частоты оптического фонона, то в переходах из верхней подзоны в нижнюю с испусканием фонона участвуют лишь электроны с энергией ticoLO - Д/у (см. рис. 3.10 в), число которых определяется функцией распределения. Оставшиеся интегрирования в (3.2.11) по qz и z проводятся численно. Полные вероятности электрон-фононного рассеяния из одной подзоны в другую складываются из вероятностей поглощения и испускания фононов: Чтобы провести такое сложение, нужно перейти к единым пределам интегрирования по энергиям начальных состояний для процессов поглощения и испускания фононов. Для этого вводятся новые переменные вида g .=, — (ti(0LO+A.j) в соответствии с законом сохранения энергии для рассматриваемого перехода с учетом случая Д( . tia L0 или Д( . Ьсош. Так как вероятности этих процессов отличаются еще и множителями Nq и Nq +1, можно выразить Nq +1 через Nq:
