Содержание к диссертации
Введение
Глава I: Обзор литературы 8
Глава II: Искусственно анизотропный термоэлемент, состоящий из полупроводниковых и сверхпроводящих слоев 36
Глава III. Термоэлектрическая добротность слоистых структур с р-п переходом 59
Глава IV: Влияние изменения подвижности на термоэлектрическую эффективность структур с квантовыми ямами 68
Глава V: Эффект охлаждения при термоавтоэлектронной эмиссии . 90
Заключение 105
Список цитированной литературы 107
- Искусственно анизотропный термоэлемент, состоящий из полупроводниковых и сверхпроводящих слоев
- Термоэлектрическая добротность слоистых структур с р-п переходом
- Влияние изменения подвижности на термоэлектрическую эффективность структур с квантовыми ямами
- Эффект охлаждения при термоавтоэлектронной эмиссии
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Термоэлектрические преобразователи энергии находят применение в научных и практических целях в качестве генераторов тока, охлаждающих устройств и датчиков тепловых потоков. Они обладают рядом преимуществ по сравнению с устройствами других типов: простотой конструкции, отсутствием движущихся частей, надежностью, способностью работать длительное время без дополнительного обслуживания, отсутствием вредных для окружающей среды хладагентов, применяемых в компрессорах. Серьезное научное изучение свойств термоэлектрических материалов было начато в 30-х годах XX в. под руководством А. Ф. Иоффе, которым был введен параметр термоэлектрической добротности Z (или критерий Иоффе ZT), характеризующий качество материалов термоэлектрических генераторов и охлаждающих элементов [1]. Проведенные исследования указали основные, ставшие теперь традиционными, направления поиска более эффективных термоэлектрических материалов. В последние десятилетия интерес к термоэлектричеству возобновился. Одной из причин для этого стала необходимость создания экологически безопасных устройств. С другой стороны, развитие физики и технологии привело к появлению новых материалов - структур с размерным квантованием, изучение термоэлектрических свойств которых представляет несомненный интерес. Поэтому исследование новых типов материалов, использование которых позволило бы повысить эффективность термоэлектрического преобразования энергии, его КПД и способствовать более широкому практическому использованию термоэлектрических устройств, является актуальной задачей.
Использование для этой цели слоистых гетерофазных структур расширяет возможности управления параметрами получаемых термоэлектрических материалов.
Во-первых, появляется возможность подбирать материалы слоев, варьировать соотношения их толщин, а также угол наклона слоев по отноше- нию к градиенту температуры и направлению протекания тока. Это позволяет создавать материалы с искусственной анизотропией термоэлектрических свойств, термоэлектрическая эффективность которых может быть значительно выше, чем в кристаллах, обладающих естественной анизотропией. Исследования подобного рода структур проводились и ранее [2-10] и позволили сделать вывод, что наилучшими исходными компонентами искусственно анизотропного слоистого материала являются высококачественные полупроводники п- и р-типа с существенно различающимися электро- и теплопро-водностями. При отсутствии эффективного материала для слоев одного из типов проводимости раннее предлагалось использовать вместо него металлические прослойки [4]. При низких температурах 50-120 К, появляется возможность использовать в искусственно анизотропном поперечном термоэлементе слои эффективного полупроводника и высокотемпературного сверхпроводника. Термоэлектрические свойства такой структуры ранее исследованы не были и требуют дополнительного теоретического изучения, поскольку полученные ранее формулы для материалов с нормальной проводимостью [4] в этом случае оказываются неприменимыми.
Во-вторых, в области контакта двух полупроводниковых материалов с различными знаками легирования возникает р-n переход, барьерная термо-эдс которого, как было показано в ряде исследований [22-25], может быть достаточно велика. Однако, в литературе встречаются утверждения [26], что термоэлектрическая эффективность структур на неосновных носителях, всегда много меньше, чем на основных. Поэтому представляется важным исследовать не только термоэдс, но и добротность структур с р-n переходом.
В-третьих, при уменьшении толщин слоев начинают проявляться квантово-размерные эффекты, приводящие, в частности, к увеличению плотности состояний на дне двумерных подзон размерного квантования. В работах Хикса и Дрессельхауз [29] предлагалось использовать этот эффект для повышения термоэлектрической эффективности слоистых структур с квантовыми ямами. Однако, увеличение плотности состояний влечет за собой также и изменение подвижности носителей заряда [39]. Влияние этого фактора на термо- электрическую добротность ранее либо не принималось во внимание [29,55], либо учитывалось посредством численных расчетов для конкретного полупроводника [34,45]. Поэтому представляется важным и актуальным теоретически исследовать влияние изменения подвижности на термоэлектрическую эффективность слоистых структур с квантовыми ямами в простой, но реалистичной модели, которая позволила бы провести расчеты в аналитической форме для произвольных параметров полупроводника.
Наконец, охлаждающий эффект можно получить при эмиссии электронов в слоистых структурах с вакуумными зазорами небольшой толщины, которые оказалось возможным создавать с помощью бурно развивающихся в последнее время технологий наноэлектроники [78]. Термоэлектронная эмиссия рассматривалась довольно давно, в том числе и с точки зрения преобразования энергии [59,60], однако для получения заметного охлаждающего эффекта при комнатных температурах для этого вида эмиссии требуются низкие работы выхода (0.3 эВ). Термоавтоэлектронная эмиссия изучалась и ранее [73-76], однако в этих работах были сделаны выводы о том, что охлаждающий эффект должен быть незначительным. За исключением одной работы, в которой были проведены численные расчеты [79], ранее не исследовались условия, необходимые для получения заметного охлаждающего эффекта при термоавтоэлектронной эмиссии в диапазоне температур ниже комнатной. Поэтому интересно и важно теоретически исследовать этот эффект, а также область параметров, необходимых для получения заметного охлаждения.
Таким образом, разнообразие эффектов, возникающих в слоистых гете-рофазных структурах делает актуальным исследование их свойств для поиска новых термоэлектрических материалов.
В соответствие с вышеизложенным, целью диссертации является исследование возможности повышения термоэлектрической эффективности в гетерофазных слоистых структурах. Работа состоит из четырех частей, посвященных теоретическому исследованию - термоэлектрической эффективности и чувствительности поперечного искусственно анизотропного термоэлемента (ИАТЭ) из слоев полупроводника и высокотемпературного сверхпроводника для температур 50-120 К, добротности термоэлементов с р-n переходом, влияния изменения подвижности на термоэлектрическую эффективность структур с квантовыми ямами, охлаждающего эффекта при термоавтоэлектронной эмиссии и диапазона полей и работ выхода, в котором возможно получения заметного охлаждения при температурах ниже комнатной.
Научная новизна работы заключается в том, что впервые получены выражения для: термоэлектрической добротности и чувствительности поперечных искусственно анизотропных термоэлементов из слоев полупроводника и сверхпроводника, исследована возможность оптимизации геометрических параметров структуры, термоэлектрической эффективности структуры с р-п переходом с учетом биполярной теплопроводности, добротности слоистых структур с квантовыми ямами с учетом изменения времени релаксации при размерном квантовании, коэффициента Пельтье при термоавтоэлектронной эмиссии. Научная и практическая ценность работы:
Теоретически показано, что использование сверхпроводящих прослоек в поперечном ИАТЭ полностью меняет условия оптимизации образца по сравнению со случаем использования материала с нормальной проводимостью: оптимизация добротности как по отношению толщин слоев, так и по углу их наклона не возможна, оптимизация чувствительности поперечного датчика малых тепловых потоков возможна только по углу наклона слоев. Использование сверхпроводящих прослоек позволяет приблизить добротность и чувствительность ИАТЭ к максимально возможным в структурах данного типа.
Оценки величины термоэлектрической эффективности структуры с р-п переходом показали, что величина ZT может быть на уровне лучших современных термоэлектриков, хотя и не выше единицы.
Путем аналитических расчетов показано, что уменьшение подвижности в квантоворазмерных структурах полностью компенсирует увеличение добротности за счет роста плотности состояний и для объяснения возможного ее увеличения необходимы существенно иные соображения по сравнению с изложенными в [29].
Теоретические исследования допустимого диапазона полей и работ выхода, необходимых для получения заметного охлаждающего эффекта при температуре ниже комнатной, показали, что для этого требуются работы выхода порядка 1 эВ, что заметно выше, чем необходимые для получения охлаждения при термоэлектронной эмиссии 0.3 эВ, а коэффициент Пельтье при этом может быть порядка И/Т = 200 мкВ/К и выше.
Изложение материала диссертации построено следующим образом: в первой главе содержится обзор литературы по всем упомянутым направлениям исследования, в следующих четырех главах излагается содержание самого теоретического исследования, а в заключении формулируются основные результаты и выводы работы.
Искусственно анизотропный термоэлемент, состоящий из полупроводниковых и сверхпроводящих слоев
В работе [4 обсуждаются возможности создания и оптимизации параметров искусственного материала, обладающего анизотропией термоэдс. Образец состоит из чередующихся слоев двух изотропных и однородных материалов с разными значениями удельных сопротивлений (pi и рг), коэффициентов теплопроводности (кі и кг) и термоэдс (cx-i и аг), находящихся в идеальном контакте друг с другом. Если слои достаточно тонкие, то этот композиционный материал можно рассматривать как гомогенную среду с анизотропией термоэлектрических свойств. Выберем систему координат, в которой ось о перпендикулярна, а г/о параллельна слоям (рис. 2).
Если считать, что вещества в слоях однородны и изотропны, то тензоры эффективных кинетических коэффициентов среды ос, к и р будут иметь размерность 2 х 2 и в выбранной системе координат будут диагональны: Поиск эффективных кинетических коэффициентов (ЭКК) в [4] проводится путем приведения слоистой системы к однородной с эквивалентными термоэдс, теплопроводностями и электропроводностями. Поскольку в настоящей работе будет проводиться сравнение свойств искусственно анизотропного термоэлемента со слоями полупроводника и металла с термоэлементом со слоями полупроводника и сверхпроводника, сначала будет приведен вывод ЭКК и добротности по [4] для первого случая. Эквивалентное удельное сопротивление образца в направлении оси уо соответствует сопротивлению Удельное сопротивление в направлении оси XQ в работе [4] ищется как сумма сопротивлений последовательно включенных слоев, однако как указывается в работе [8] в коэффициенте рхо возникает дополнительное слагаемое, которое отвечает термоэдс, возникающей за счет выделения или поглощения тепла Пельтье при протекании тока поперек слоев в отсутствие разности температур на концах образца (рис. 14). Е, / Уо Пусть температура более горячего контакта равна T/j, более холодного - Тс, а разность температур между ними - AT. Напряжение, падающее на каждом из слоев, определяется термоэдс ос\ ( 2) и направлением градиента температуры в слоях, а также протеканием тока / по слою с сопротивлением R\ (R2) Напряжение на паре слоев находится суммированием, поэтому сопротивление пары слоев R равно:
Величину AT/I найдем из условия постоянства температур Th и Тс, т.е. отсутствия тепловыделения на границах слоев. Выделение или поглощение тепла на контакте определяется тремя факторами: эффектом Пельтье, эффектом Джоуля и теплопроводностью по соседним слоям. В стационарном состоянии они должны компенсировать друг друга. Введя коэффициенты теплопроводности слоев Ki и 1 2, а также учитывая, что джоулево тепло де лится поровну между контактами, получим: Вычитая из первого равенства второе, будем иметь: где Т - средняя температура образца. В результате сопротивление R равно: Множитель Zf определяет добротности продольного термоэлемента, составленного из материалов слоев, включенных в направлении оси XQ: где Z\ = ocf/pi Ki - добротность полупроводникового материала. Выражение для коэффициента термоэдс OCXQ можно получить, суммируя термоэдс каждого слоя с учетом доли разности температур, падающей на каждом из слоев (AT = АГі + ЛГ2): Коэффициент термоэдс ciyo вдоль слоев определяется суммой термоэдс слоев с множителями, равными парциальным проводимостям слоев. Это связано с существованием короткозамкнутых циркулирующих токов на границах слоев (см. рис. 2), вызванных необходимостью компенсации различия в коэффициентах термоэдс при одинаковой разности потенциалов и температур на концах каждого из слоев образца. Напряжение, падающее на каждом из слоев, обусловлено термоэдс и протеканием циркулирующего тока / по слоям с сопротивлениями вдоль слоев Ri и R2: , которое позволяет найти соотношение между величиной тока и разностью температур: Из этого выражения следует, что Переходя в (17) к удельным сопротивлениям, получим Коэффициент теплопроводности поперек слоев кхо находится суммированием тепловых сопротивлений слоев: В коэффициент теплопроводности вдоль слоев Куо вносит вклад как теплопроводность слоев, так и выделение и поглощение тепла Пельтье на противоположных гранях образца, вызванное протеканием по границам слоев циркулирующего тока /. Чтобы найти куо, запишем выражение для количества тепла, выделяющегося на холодной грани:
Термоэлектрическая добротность слоистых структур с р-п переходом
В данной главе будет произведен расчет термоэлектрической эффективности структуры с р-n переходом. Для этого сначала рассмотрим барьерную термоэдс р-n перехода, проводя вычисления по аналогии со случаем барьерной фотоэдс. Чтобы найти связь падения напряжения на переходе U с градиентом температуры вдоль диода VT надо записать систему уравнений для плотности токов электронов jn и дырок jp вместе с уравнениями непрерывности в квазинейтральных областях вблизи р-n перехода. Ее решение, с учетом соответствующих граничных условий, дает стационарное распределение концентрации носителей тока п(х) и р(х) вдоль структуры. После этого необходимо вычислить плотности токов электронов и дырок, и тогда термоэдс может быть найдена из условия равенства нулю полного тока через диод. В дальнейшем расчеты будут проводиться для случая тонкого перехода, т.е. в рамках диодной теории. Кроме того, будет предполагаться применимость невырожденной статистики носителей тока. Запишем диффузионное уравнение при наличии градиента температу ры в n-области справа от р-n перехода (х О, см. рис. 22(a)). В этом случае в полупроводнике возникает неравновесное распределение концентрации неосновных носителей и ток, обусловленные как разностью потенциалов на р-n переходе, так и наличием градиента температуры. В примесном полупроводнике n-типа (р п), если неравновесная концентрация носителей мала, уравнение для тока неосновных носителей может быть приблизительно рассмотрено как содержащее только диффузионную часть: где Dp - коэффициент диффузии дырок. Пусть температура перехода равна То, тогда равновесная концентрация дырок при температуре перехода равна рп{То). Удобно вместо концентрации р ввести величину Ар, отличающуюся константой: Уравнение непрерывности может быть записано в виде: гДе 9th и г - скорости термической генерации и рекомбинации.
При малой концентрации дырок рекомбинация линейна, т.е. где Тр - время жизни дырок. Для случая равновесия при температуре Т скорости термической генерации и рекомбинации равны, следовательно: При отклонении от равновесия эта величина не зависит от неравновесной концентрации дырок. Разность в (109) может быть представлена как: Тогда уравнение непрерывности может быть записано в следующем виде: T=TQПри малой разности температур на диоде по сравнению со средней температурой Тц пренебрежем зависимостью времен жизни и подвижностей от температуры и будем считать VT постоянным. Тогда, подставив (107) и (108) в (113) получим диффузионное уравнение для дырок в виде: где Lp = [TPDV) - диффузионная длина. Заметим, что уравнение (115) аналогично соответствующему уравнению для расчета фотоэдс р-п перехода, однако с другим смыслом функции генерации д(х) и Ар{х). Граничные условия для неравновесных концентраций с учетом градиента температуры можно записать в следующем виде: п-области. Первое условие хорошо известно, а второе предполагает равновесие на границе н-области. Если w L, то условие на границе х — w не влияет на ток через р-п переход. В противном случае, условие (117) соответствует омическому контакту. Решение уравнения (115) будем искать в виде: разом: По аналогии с барьерной фотоэдс в (121) первый член соответствует дырочной части обычного темпового тока фотоэлемента, а второй член занимает место фототока, назовем его термотоком. Поскольку р-п переход узкий, то рекомбинация в нем пренебрежимо мала, и дырочная составляющая тока в р-области также равна (121). Электронная составляющая тока через переход ищется путем решения диффузионного уравнения для электронов в квазинейтральной р-области. Произведя расчеты, аналогичные приведенным, по где wn - толщина n-области. Для простоты мы далее запишем формулы для случая толстых квазинейтральных областей w Lp и wn Ln. В этом случае полный ток через переход будет равен: где Js - ток насыщения: а Jth = Jth + Jth суммарный термоток через переход, обусловленный термотоками электронов и дырок. Запишем явное выражение для термотока. Упростим производную в дырочной составляющей термотока, используя соотношение рппп — п?, где щ -собственная концентрация, а пп - концентрация основных носителей в п-области, которая полагается равной концентрации примеси и не зависит от
Собственная концентрация пропорциональна известной функции температуры: Вторая часть те] мотока jth, приходящего из р-области, имеет противоположный знак: Тогда полпып термоток равен: Если полпып ток через р-п переход отсутствует (j = 0) и разность потенциалов [/ мала (U С ), то из (123) следует е Dppn/Lp + Dnnp/Ln V k0Tj dx Как видно из этого выражения, термоэдс отсутствует в полностью симметричном р-п переходе. Знак напряжения определяется как видом асимметрии перехода, так и знаком градиента температуры. Случай резко асимметричного перехода нередко встречается на практике и интересен с точки зрения получения больших термоэдс. Рассмотрим диод с более сильно легированной р-областыо, при этом рр пп и, следовательно, рп пр. В этом случае основной в клад в термоток дает дырочный ток и напряжение на переходе при dTjdx 0 положительно:
Влияние изменения подвижности на термоэлектрическую эффективность структур с квантовыми ямами
В данной части работы рассматривается термоэлектрическая добротность многослойных структур с квантовыми ямами. В первых двух параграфах будет приведен расчет времен релаксации для рассеяния на акустических фононах и близкодействующем потенциале примеси. Затем будут получены формулы для электропроводности, термоэдс, электронной теплопроводности и термоэлектрической добротности в двумерном случае. Полученные в ходе расчетов величины для структуры с квантовыми ямами будут сравниваться с соответствующими выражениями для объемного образца, поскольку основной целью расчета является выяснение вопроса: может ли в принципе изменение плотности электронных состояний при размерном квантовании приводить к увеличению термоэлектрической эффективности. Время релаксации в объемном образце будет рассчитано по методу деформационного потенциала [46] для рассеяния на акустических фононах в приближении стандартного закона дисперсии электронов.
Колебания решетки, вызывающие деформацию кристалла, изменяют равновесное расстояние между атомами вещества, что приводит к сдвигу краев энергетических зон. Изменение положения краев зон в методе деформационного потенциала рассматривается как возмущающий потенциал, на котором происходит рассеяние электронов. Вероятность такого рассеяния вычисляется по теории возмущений, после чего может быть рассчитано время релаксации. В приближении изотропного континуума деформация кристалла описывается тензором где Х-І (г — L,2,H) - прямоугольные координаты точки континуума, а щ -прямоугольные проекции смещения u(r) точки г = (х\,х 2,хз). Положение дна зоны проводимости с является функцией компонент тензора деформации. Разложи і? эту зависимости в ряд по z%j до первого порядка малости для кубического кристалла, получим: где с(0) положение дна зоны проводимости в отсутствие деформации, а i - константа, деформационного потенциала.
В теории деформационного потенциала Бардина-Шокли доказывается, что при рассеянии электронов на колебаниях решетки волновая функция электрона может быть выбрана в виде плоской волны, если потенциал рассеяния взять рапным: В этом случае и объемном образце волновая функция электрона может быть записана в виде: где V - объем кристалла, а к - волновой вектор электрона. Смещение u(r) точки г кристалла в континуальном приближении может быть записано в виде: где N - число атомов в кристалле, Ма - их масса, eqj - ортонормированные вектора поляризации колебаний, aqj- - комплексные нормальные координаты, гармонически зависящие от времени с частотой cuqj = VQJ g, где VQJ -скорость звука, q волновой вектор фонона, а индекс j соответствует поляризации волны. Здесь и далее штрих у знака суммы означает, что суммирование no q ведется только по половине зоны Бриллюэна. Подставив (143) в (141) получим потенциал рассеяния: Из (144) видно, что электроны проводимости взаимодействуют только с продольной волной, для которой eqj q и eqj q = q. В дальнейшем для продольной волны мы опустим индекс поляризации j. Матричный элемент перехода электрона Mkk из состояния с волновым вектором к в состояние с волновым вектором к равен: v Подставив в (145) выражения для волновой функции (142) электрона и потенциала рассеяния (144), получим: Интегралы в (146) сводятся к 6-фупкциям, выражающим закон сохранения квазиимпульса: В результате мы получим два матричных элемента, один из которых соответствует поглощению электроном фонона: а другой - испусканию: В обоих случаях квадрат матричного элемента равен: Энергия одного нормального колебания, соответствующего продольной акустической волне, равна 2cuj4a(/ = 2vf)q2\aq\ . В состоянии статистического равновесия (при температуре выше дебаевской) энергия нормального
Эффект охлаждения при термоавтоэлектронной эмиссии
На рис. 26 изображен потенциальный барьер на границе твердое тело -вакуум, который преодолевают электроны, выходя из катода. В отсутствие электрического поля работа выхода электрона ф равна где evac - уровень вакуума, ц. - химпотенциал, а энергия отсчитывается от дна зоны проводимости. В электрическом поле Е потенциальная энергия электрона в вакууме понижается на величину еЕх, где координата х, направленная по нормали к поверхности катода, отсчитывается от границы твердое тело -вакуум. Кроме того, электрон, вышедший в вакуум, индуцирует на поверхности распределенный положительный заряд, создающий так называемую силу изображения, стремящуюся удержать электрон в металле. Ее действие, эквивалентно силе кулоновского притяжения к положительному заряду, расположенному в точке —\х\ в глубине металла F — —е2/4х2. Это выражение справедливо на расстоянии х а, где величина а примерно соответствует постоянной решетки. В области 0 х а можно, по Шоттки, эту силу считать постоянной и равной силе изображения в точке х — а. Соответствующий этой силе вклад в потенциальную энергию электрона будет равен —е2/Ах. Таким образом, если для простоты не учитывать малую область протяженностью порядка а вблизи поверхности катода, то во внешнем электрическом поле при учете сил изображения электрону необходимо преодолеть потенциальный барьер (рис. 26), описываемый формулой: Вершина этого барьера находится в точке XQ = л/е/АЕ, а соответствующее уменьшение работы выхода за счет сил изображения составляет Поскольку в рассматриваемом случае барьер на границе твердое тело - вакуум уже не является ступенчатым, для электрона появляется ненулевая вероятность туннелировать с некоторого уровня энергии ниже вершины барьера сквозь него. Эта вероятность описывается коэффициентом прозрач где m - масса электрона, а пределами интегрирования являются точки х\ и #2 в которых подынтегральное выражение обращается в нуль.
Сам же коэффициент D, по-существу, представляет собой коэффициент прозрачности в квазиклассическом приближении. Интеграл в экспоненте (236) является полным эллиптическим интегралом и был вычислен Нордгеймом [77]. При этом им принималось во внимание отличие от случая треугольного барьера, что дало возможность непосредственно учесть влияние сил изображения. В случае треугольного барьера показатель экспоненты в (236) равен Отличие формы барьера от треугольной приводит к появлению в показателе экспоненты в коэффициенте прозрачности функции Нордгейма 9 (у) в виде множителя: где величина у представляет собой отношение уменьшение работы выхода за счет эффекта Шоттки к расстоянию от данного уровня энергии до уровня вакуума: Функция 9(г/), введенная первоначально Нордгеймом и уточненная впоследствии в [74,80], выражается через полные эллиптические интегралы: где полные эллиптические интегралы Е(т) и К(т) равны (241) График функции Нордгейма изображен на рис. 27. Как упоминалось выше, эта функция была введена для учета отличия формы барьера от треугольной, которая имеет место в электрическом поле без учета сил изображения. Для треугольного барьера понижение высоты барьера отсутствует Аф = О и 6(0) = 1. В другом предельном случае Аф = ф барьер для электронов, находящихся выше уровня Ферми полностью исчезает, тогда 0(1) = 0, а коэффициент прозрачности равен единице. 1 У При не слишком высоких температурах основной вклад в поток заряда и энергии с поверхности катода дают электроны с энергией вблизи уровня Ферми. Поэтому для дальнейших вычислений удобно разложить показатель экспоненты в (238) в ряд по энергиям электрона близким к Л: В (246) выражение в скобках было опущено, поскольку оно близко к единице во всем диапазоне изменения аргумента. Используя полученный коэффициент прозрачности, можно найти плотность электрического тока, Где Рх импульс электрона в направлении, по нормали к поверхности, а р\\ -импульс, направленный вдоль поверхности катода, а также учтено, что коэффициент прозрачности (244) зависит только от составляющей кинетической энергии электрона, отвечающей движению по нормали к поверхности катода р2./2т.
Интегрирование по составляющим импульса в плоскости удобно провести в полярных координатах. Введя безразмерные переменные по рц можно записать в виде Полученный интеграл можно вычислить в элементарных функциях, однако, имея в виду последующее интегрирование по безразмерной энергии х, отвечающей движению по нормали к поверхности катода, оказывается более удобным разложить подынтегральное выражение в (249) в ряд по экспонентам ехр(—\x-\-y— ц ), разбив область интегрирования на участки, на которых
