Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обзор литературы 10
1.1.. Литературный обзор .;... ..1... Ю
1.2. Постановка задачи 22
ГЛАВА 2. Электропроводность неупорядоченного поликристал лического полупроводника. в постоянном электри ческом поле 25
2.1. Модель мешфисталлического барьера 25
2.2. Расчет статической электропроводности поликристалла в слабых электрических полях 31
2.3. Расчет статической электропроводности поликристалла в сильных электрических полях... 44
ГЛАВА 3. Электропроводность неупорядоченного поликристал-лического полупроводника в переменном электрическом поле .;. 50
3.1. Обобщение модели неупорядоченного поликристаллического полупроводника на случай слабых электрических полей, зависящих от времени... 50
3.2. Точное решение задачи о частотной дисперсии электропроводности одномерного поликристалла 55
3.3. Приближенное решение задачи о частотной дисперсии электропроводности одномерного поликристалла и модель квазиравновесного кластера 63
3.4. Частотная дисперсия электропроводности трехмерного неупорядоченного поликристаллического полупроводника 68
ГЛАВА 4. Релаксация электропроводности неупорядоченного поликристаллического полупроводника в сильных электрических полях 77
4.1. Релаксация электропроводности поликристалла в сильных электрических полях 77
4.2. Релаксация электропроводности бикристалла в сильном электрическом поле 85
4.3. Случайные изменения степени заполнения поверхностных состояний межкристаллических барьеров 91
4.4. Квазистационарная вольт-амперная характеристика одномерного поликристалла 95
4.5. Кинетические уравнения для уровня протекания и квазистационарная вольт-амперная характеристика трехмерного поликристалла 100
ГЛАВА 5. Сравнение с экспериментом 118
5.1. Формулировка модели 118
5.2. Основные свойства поликристаллической окиси цинка 123
5.3. Результаты измерения электропроводности поликристаллической окиси цинка ' 126
5.4. Анализ экспериментальных данных с точки зрения модели неупорядоченного поликристаллического полупроводника 136
Основные результаты и выводы . ... 141
Литература
- Постановка задачи
- Расчет статической электропроводности поликристалла в слабых электрических полях
- Точное решение задачи о частотной дисперсии электропроводности одномерного поликристалла
- Релаксация электропроводности бикристалла в сильном электрическом поле
Введение к работе
Актуальность работы обусловлена большой практической значимостью поликристаллических полупроводников с барьерным механизмом электропроводности. Помимо общеизвестных применений этих материалов в электрофотографии и твердотельной электронике, следует указать на перспективы применения поликристаллических полупроводниковых окислов в качестве фотоприемников для утилизации солнечной энергии. Физический механизм, обеспечивающий широкую область применения поликристаллических полупроводников, связан с сильной пространственной неоднородностью этих систем, приводящей к широкому динамическому диапазону изменения электропроводности под влиянием различных внешних воздействий . Вопрос о влиянии пространственной неоднородности поликристаллов на перенос носителей заряда во внешнем электрическом поле имеет решающее значение для понимания процессов, протекающих в этих сложных гетерогенных системах.
То обстоятельство, что пространственная неоднородность поликристаллических полупроводников носит случайный характер, отмечалось многими исследователями. Однако как степень, так и природа этой стохастичности оставались неизвестными, что служило серьезным препятствием на пути развития физики поликристаллических полупроводников.
Целью настоящей работы является:
- разработка модели поликристаллического полупроводника, учитывающей влияние случайного характера его неоднородности на электропроводность в постоянном и переменном электрическом поле,
- расчет электропроводности неупорядоченного поликристаллического полупроводника в случае слабых и сильных, постоянных и переменных электрических полей,
- проверка адекватности предложенной модели путем сравнения предсказаний теории с результатами измерений,
- определение при помощи развитой теории из экспериментальных данных важнейших параметров, характеризующих степень и характер стохастичности реальных поликристаллических систем.
Объектом исследования являются полупроводниковые поликристаллические материалы с барьерным механизмом электропроводности, обеспечивающим низкие значения подвижности при высокой концентрации свободных носителей.
Научная новизна и защищаемые положения. В работе впервые:
- предложены простые модели поликристаллических систем с барьерным механизмом электропроводности, в рамках которых может быть изучено влияние случайного характера пространственной неоднородности на основные процессы в электропроводности поликристаллов,
- построена теория частотной дисперсии электропроводности неупорядоченного поликристаллического полупроводника в слабых электрических полях,
- показано, что частотная дисперсия электропроводности неупорядоченного поликристаллического полупроводника существенным образом зависит от вида ®гнкпии плотности распределения высот межкристаллических барьеров, и для достаточно широкой плотности распределения решена обратная задача - определение вида плотности распределения барьеров по частотной дисперсии действительной и мнимой части электропроводности поликристаллического полупроводника,
- теоретически изучена релаксация электропроводности в сильных электрических полях и показано, что захват носителей на поверхностные уровни приводит к существенному ослаблению нелиней -.8-ности BAZ поликристалла в сильных электрических, полях; предложен способ определения степени заполнения межкристаллических барьеров по нелинейной ВАХ поликристалла,
- проведен анализ экспериментальных данных по измерению электропроводности поликристаллической окиси цинка и показано, что развитая теория удовлетворительно описывает как с качественной точки зрения, так и в количественном отношении основные черты эксперимента,
- на основании анализа экспериментальных данных впервые определены параметры случайно-неоднородной системы барьеров в таком важном материале, как поликристаллическая окись цинка.
Защите подлежат: совокупность предложенных моделей и предсказываемых ими зависимостей электропроводности неупорядоченного поликристаллического полупроводника от величины и частоты внешнего электрического поля.
Научно-практическая значимость работы заключается в том, что:
- разработанные модели позволяют достаточно просто и с единой точки зрения рассматривать различные процессы в электропроводности поликристаллических полупроводников,
- результаты, полученные в работе, позволяют на основании анализа экспериментальных данных определять такие важнейшие параметры случайно-неоднородного полупроводника, как дисперсия высот межкристаллических барьеров и плотность вероятности их распределения,
- методы, развитые в работе, следует использовать при изучении фотопроводимости неупорядоченных поликристаллических полупроводников.
Вклад автора. Все теоретические результаты, включая разработку моделей, их математическую формулировку, постановку и решение соответствующих математических задач, получены лично автором. Сопоставление теории с экспериментом и анализ механизма электропроводности в поликристаллической окиси цинка выполнен совместно с А.М.Мешковым и В.Н.Савушкиным. Все выводы диссертации и основные положения, выдвигаемые на защиту, принадлежат автору.
Апробация работы и публикации. Результаты настоящей работы докладывались на X совещании по теории полупроводников (Новосибирск, 1980), Ш Всесоюзной конференции "Бессеребряные и необычные фотографические процессы" (Вильнюс, 1980), на ІУ Всесоюзном совещании по фотохимии (Ленинград, 1981) и на II совещании по теории полупроводников (Ужгород, 1983). Основные результаты диссертации отражены в 7 публикациях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и заключения. В конце работы приведен список цитируемой литературы из 97 наименований. Текст диссертации, включая 26 рисунков и список литературы, изложен на 153 страницах.
Постановка задачи
Механизм протекания тока в поликристаллических полупроводниках резко отличается от прыжкового. В поликристаллах электрический ток связан с переносом носителей в зоне проводимости через потенциальные барьеры на границах раздела микрокристаллов, в то время как в прыжковых системах ток возникает за счет перескоков между локализованными примесными уровнями. Электропроводность поликристаллов обычно изучается при комнатной температуре, в то время как прыжковый механизм, как правило, реализуется при низких температурах, когда зонная проводимость "выморожена0. Для прыжкового механизма характерна сильная зависимость от концентрации примесей и сравнительно слабая температурная активационная зависимость, в то время как в поликристаллических полупроводниках энергии» активации могут достигать I эВ. В то же время существует одно обстоятельство, позволяющее провести тесную аналогию между прыжковыми системами и поликристаллами. Дело в том, что в обоих случаях существуют параметры, от которых сильно (экспоненциально) зависит вероятность перехода между "узлами". В случае прыжкового механизма речь идет об экспоненциальной зависимости вероятности прыжка от расстояния между примесями, в случае поликристалла речь идет об экспоненциальной зависимости сопротивления межкристаллического контакта от высоты поверхностного потенциального барьера . Случайные вариации расстояния между примесями в легированных полупроводниках и высоты потенциальных барьеров в поликристаллах приводят к случайному характеру неоднородности в обоих системах, что является причиной глубокой аналогии между поликристаллами и легированными полупроводниками.
Как было показано выше, развитие физики поликристаллов и легированных полупроводников шло разными путями. В то время как неупорядоченность легированных полупроводников была сразу же воспринята исследователями как их фундаментальное свойство, в случае поликристаллов долгое время доминировала точка зрения, ставящая во главу угла при рассмотрении явлений переноса свойства индивидуального барьера. Помимо причин психологического порядка, существует объективное обстоятельство, способствовавшее созданию такой ситуации. Дело в том, что в легированных полупроводниках примеси распределены по Пуассону и расстояние между ближайшими соседями является хорошо исследованной случайной величиной. В то же время в поликристаллах такой простой случайный параметр, от которого бы зависела высота межкристаллического барьера, отсутствует. Если в легированных полупроводниках распределение вероятностей прыжков может быть вычислено практически "из первых принципов", то в поликристаллах плотность распределения барьеров по высоте неизвестна . В связи с этим стохастич-ность поликристаллического полупроводника на первом этапе расчета выступает как гипотеза, требущая основательного подтвер - 24 адения путем сравнения выводов теории с экспериментом. Все эти обстоятельства привели к тому, что к моменту начала работы над диссертацией существовала, с одной стороны, барьерная модель поликристалла, практически игнорирующая случайный характер пространственной неоднородности этой системы, а с другой стороны, была разработана достаточно универсальная методика расчета электропроводности прыжковых систем, основанная на теории протекания. Таким образом, были созданы условия для постановки следу-вдих задач.
1. Обобщить барьерную модель поликристалла с целью учета случайно-неоднородного характера системы.
2. В рамках новой модели рассмотреть основные процессы темновой электропроводности поликристаллов в слабом, сильном постоянном и переменном во времени электрическом поле.
3. Путем анализа эффектов, связанных с неупорядоченностью, выявить возможности экспериментального определения статистических характеристик поликристаллических полупроводников.
Расчет статической электропроводности поликристалла в слабых электрических полях
Очевидно, что условие 4/« /X 4 гарантирует малость туннельного тока по сравнению с током носителей, преодолевающих барьер классическим образом. В работе /65/ проведен более тщательный расчет туннельного тока в модели бикристалла и показано, что в области достаточно низких температур и тонких барьеров туннельный ток может во много раз превышать классический надбарьерный ток. Не ставя под сомнение основные выводы этой работы, мы воздержимся от анализа ситуации, когда туннельный ток в поликристалле является доминирующим. Во-первых, наибольшей величины туннельный ток достигает при таких значениях параметра If//X t когда использование квазиклассического прибли жения становится сомнительным. Во-вторых, попытка описать квантовые эффекты в электропроводности поликристаллов в рамках квантовой теории бикристалла представляется принципиально неверной. В ситуации, когда длина волны электрона сравнима с характерным размером неоднородности, необходимо решать задачу о квантовой диффузии носителей в поле случайного потенциала, что далеко выходит за рамки проводимого нами рассмотрения. Единственный результат, который мы можем получить при вычислении туннельного тока через бикристалл, заключается в существовании параметрической области, в которой проводимое нами классическое рассмотрение электропроводности поликристаллов является корректным.
Подводя итог, мы можем сказать, что для высоких барьеров и не слишком низких температур ВАХ межкристаллического контакта может быть описана простой формулой (2,7) в широком диапазоне полей, соответствующих смещениям, малым по сравнению с высотой межкристаллического барьера.
Расчет статической электропроводности поликристалла в слабых электрических полях Поликристалдический полупроводник представляет собой совокупность случайным образом ориентированных и соприкасающихся друг с другом кристаллитов. Средний размер кристаллита CL , как правило, является величиной макроскопической в том смысле, что выполняются неравенства
Каждое из этих условий чрезвычайно важно для постановки задачи о вычислении электропроводности поликристалла. Малость дебаев-ского радиуса экранирования по сравнению с размером кристаллита означает, что поверхностные уровни не полностью компенсируют объем кристаллита, поверхностный слой обеднения сосредоточен вблизи его границ и в центре имеется нейтральная в электрическом отношении область, характеризующаяся постоянным значением электрического потенциала j (рис. 2.2). Концентрация свободных носителей П и, следовательно, химический потенциал в центре кристаллита совпадают с соответствующими величинами для массивного кристалла. То же самое можно сказать и о подвижности, если выполняется условие (2.10) и линейные размеры нейтральной области превышают длину свободного пробега С
Внешнее электрическое поле вызывает перераспределение носителей как внутри кристаллитов, так и между ними. Легко представить себе ситуацию, когда под влиянием внешнего поля поверхностный слой обеднения захватит весь объем кристаллита. Это обстоятельство вынуждает нас ограничиться рассмотрением сравнительно слабых отклонений от равновесия, когда изменениями химического потенциала внутри кристаллитов можно пренебречь по сравнению с изменениями электростатического потенциала нейтральной области. По существу такое рассмотрение означает полное пренебрежение диффузионными потоками между кристаллитами и учет только одной, дрейфовой, компоненты тока, протекающего через поликристалл. В этом приближении каждый кристаллит можно охарактеризовать определенным значением электрического потенциала, причем в состоянии равновесия потенциалы всех кристаллитов одинаковы, а при отклонении от равновесия между соседними кристаллитами текут токи, зависящие от соответствующих разностей электрических потенциалов. Именно это последнее обстоятельство (постоянство химического потенциала вдоль всего объема поликристалла при не слишком сильных отклонениях от равновесия) и составляет специфику рассматриваемой нами модели неупорядоченного поликристаллического полупроводника в отличие от прыжковых систем, в которых токи между узлами пропорциональны разностям электрохимических потенциалов узлов. В следующей главе при обсуждении частотной дисперсии электропроводности мы еще вернемся к обсуждению этого вопроса.
Точное решение задачи о частотной дисперсии электропроводности одномерного поликристалла
Причина резкого отличия уравнений (3.2) от уравнений (3.3) кроется в особой роли электрон-электронного взаимодействия в рассматриваемых нами поликристаллических полупроводниках. Как уже было указано в первой главе, высокочастотная электропроводность неупорядоченных систем в рамках теории протекания описывается на языке квазиравновесных конечных кластеров, внутри которых за время, равное периоду внешнего поля, успевает установиться некое "квазиравновесие". Как было показано в работе Шкловского и Когана /80/, посвященной анализу низкочастотных шумов в неупорядоченных системах, уравнения прыжкового переноса, записанные в форме (3.3), не учитывают электростатического взаимодействия квазиравновесных конечных кластеров, которое может приводить к сильному возрастанию эффективной диэлектрической проницаемости по сравнению с диэлектрической проницаемостью полупроводника при достаточно низких частотах. Простым критерием необходимости учета электрон-электронного взаимодействия является выполнение неравенства С С (3.4) іде - собственная емкость конечного клас тера, найденная без учета взаимодействия электронов, = о & электростатическая емкость конечного кластера, найденная в работе /80/ (здесь К - степень компенсации, - 54 ЛІ - число доноров, входящих в конечный кластер). Оказывается, что при К(j-К) -4 и T eJ\L / это условие выполняется для всех конечных кластеров достаточно большого размера М і . При выполнении этого условия величина (( ))-1т — со становится много больше единицы, что также можно рассматривать как критерий необходимости учета кулоновского взаимодействия электронов при вычислении частотной дисперсии электропроводности прыжковой системы.
Очевидно, что в рассматриваемых нами поликристаллических полупроводниках электрон-электронное взаимодействие играет определяющую роль во всем частотном диапазоне. Уравнения (3.2) связывают между собой только значения электрических потенциалов узлов, что означает полное пренебрежение изменениями химических потенциалов узлов. Такое пренебрежение эквивалентно утверждению о том, что химические потенциалы узлов не изменяются при добавлении к ним некоторого конечного заряда, т.е. собственная емкость узла, найденная без учета взаимодействия электронов, равна бесконечности. Последнее утверждение означает, что в поликристаллах всегда выполняется неравенство (3.4).
Таким образом, предлагаемая нами модель неупорядоченного поликристаллического полупроводника является примером неупорядоченного полупроводника с сильным электрон-электронным взаимодействием. Причиной такого сильного взаимодействия является высокая концентрация свободных носителей, обеспечивающая малость дебаевского радиуса экранирования по сравнению с размером микрокристалла.
Точное решение задачи о частотной дисперсии электропроводности одномерного поликристалла Одномерный поликристалл представляет собой совокупность последовательно соединенных бикристаллов, каждый из которых характеризуется параллельно соединенными друг с другом сопротивлением л. =. л. Q и емкостью Ск Емкость бикристалла может быть вычислена как производная от неравновесного заряда по приложенному к бикристаллу напряжению Г = — (3.5) 4 dV и является в общем случае функцией от высоты барьера более слабой, чем экспоненциальная. Это обстоятельство позволяет упростить модель и считать емкости всех барьеров одинаковыми и равными С м с Кроме того, в одномерной модели мы учтем собственное сопротивление микрокристалла Г -эффект, которым мы пренебрегли в уравнениях (3.2). Это позволит нам проследить качественный вид дисперсионной кривой вплоть до самых высоких частот, сравнимых с максвелловской частотой релаксации монокристалла. При этом интересующая нас задача сведется к решению уравнений Кирхгофа для одномерной цепочки случайных сопротивлений с параллельно включенными емкостями (рис; 3.2), причем, как всегда, будем считать, что высоты барьеров распределены независимо с плотностью распределения г( )
Релаксация электропроводности бикристалла в сильном электрическом поле
В предыдущей главе при рассмотрении электропроводности поликристалла в переменном электрическом поле мы ограничились областью слабых электрических полей. При этом критерии, ограничивающие область применимости выведенных нами формул по величине приложенного к образцу внешнего электрического поля, остались неизвестными. Кроме того, из теории бикристалла известно, что в сильных электрических полях в электропроводности барьерных СИС--тем существенную роль начинают играть процессы захвата носителей из зоны проводимости на поверхностные уровни /18/. Оказывается, что эти два вопроса теснейшим образом связаны друг с другом, так что их рассмотрение целесообразно провести в рамках одной главы, посвященной рассмотрению релаксационных процессов, происходящих в поликристаллическом полупроводнике после мгновенного включения внешнего сильного электрического ПОЛЯ.
При рассмотрении частотной дисперсии электропроводности нами уже был вычислен релаксационный ток, возникающий после приложения к поликристаллу полубесконечного импульса напряжения. При этом предполагалось, что частоты релаксации неравновесного заряда не зависят от внешнего электрического поля. Это предположение безусловно выполняется в слабых электрических полях, когда разности потенциалов, возникающие между контактирующими микрокристаллами ]Л; в процессе релаксации неравновесного заряда, малы
Известно, что увеличение электрического поля приводит к нарушению неравенства (4.1) в статическом пределе. Очевидно, что в достаточно сильных электрических полях это условие может нарушаться не только в статическом пределе, но и в процессе релаксации неравновесного заряда. Возникающая при этом зависимость частоты перехода / от L может быть определена из следующих рассуждений.
Рассмотрим момент времени t и обозначим через верхнюю границу высот барьеров, отделяющих квазиравновесные кластеры. Соответствующая минимальная частота релаксации определяется равенством
Как было показано ранее, каждый квазиравновесный кластер с числом узлов можно рассматривать как металлическую частицу, помещенную в диэлектрическую среду с эффективной диэлектрической проницаемостью
Рост размеров квазиравновесных кластеров в процессе релаксации неравновесного заряда сопровождается увеличением среднего значения электростатической индукции окружающей кластер среды -Do = S(s) Е $ что приводит к увеличению падения напряжения на поверхностных барьерах и соответствующему понижению их высоты
Для кластеров с размерами, близкими к критическим, эта формула принимает вид Понижение высот поверхностных барьеров будет приводить к возрастанию частоты релаксации неравновесного заряда / , ДРИ этом уравнение, определяющее связь между частотой и временем релаксации, может быть записано в виде
Решение этого уравнения дает интересуищую нас зависимость частоты релаксации от электрического поля и времени
Особое внимание следует обратить на то обстоятельство, что при малых временах, удовлетворяющих неравенству І « І Г T A eXpf-l/c Л] (4.8) зависимость / от и совершенно несущественна и только при І - і0 начинают сказываться эффекты сильного поля.
Физический механизм, приводящий к зависимости частоты релаксации от электрического поля, легче всего понять в рамках следующей простой модели. Пренебрежем "рыхлостью" конечного кластера и заменим совокупность квазиравновесных кластеров критического размера L системой периодически расположенных в пространстве металлических кубов, расстояние между которыми равно L (рис. 4.1), погруженных в среду с диэлектрической проницаемостью = 0\ рс- р\ Легко показать, что полная емкость конденсатора, содержащего в качестве диэлектрика рассматриваемую среду, равна С„ Ьх1$1рс-р\ я. где СА,— JU іу с г1 - взаимная емкость двух соседних квазиравновесных кластеров. Поскольку разность потенциалов, приложенная к Lg , равна С/— Ь L, , то средняя плотность неравновесного заряда, сосредоточенного на поверхности квазиравновесного кластера, оказывается величиной расходящейся 27= Skl = 4zz\pc-P\- (4-ю) АГ
Так как весь неравновесный заряд в квазиравновесном кластере сосредоточен на поверхностных барьерах, то расходимость поверхностного заряда приводит к росту среднего напряжения, падающего на поверхностных барьерах, и возрастанию соответствующей частоты релаксации Г . Таким образом, мы видим, что найденная нами зависимость частоты релаксации от внешнего электрического поля связана с сильным электростатическим взаимодействием ква зиравновесных кластеров, проявляющимся в расходимости их взаимной емкости.
