Содержание к диссертации
Введение
1 Особенности энергетического спектра и квантового магне-тотранспорта в гетеропереходах II типа 11
1.1 Свободные волны 14
1.2 Гетеропереход 17
1.3 Обсуждение результатов 21
1.4 Сравнение с экспериментальными данными 24
1.5 Заключение 36
2 Энергетическая структура А+-центров в квантовых ямах 37
2.1 Теория 38
2.2 Сравнение с экспериментом 42
2.3 Обсуждение результатов 44
3 Особенности синего сдвига фотолюминесцспции в двойных квантовых ямах 48
3.1 Постановка задачи 50
3.2 Методика расчёта 56
3.3 Заключение 63
4 Аномальное магнетосопротивление 2D систем в условиях спин-орбитального рассеяния 65
4.1 Слабая локализация в нулевом магнитном поле 67
4.2 Магнстосопротивлснис 78
4.3 Обсуждение результатов 87
Литература 93
- Сравнение с экспериментальными данными
- Сравнение с экспериментом
- Слабая локализация в нулевом магнитном поле
- Магнстосопротивлснис
Введение к работе
В связи с развитием технологий появилась возможность экспериментального исследования различных сложных гетероструктур, например таких как самосогласованные гетеропереходы И-го рода, дельта-легированные квантовые ямы, системы двойных квантовых ям. В этих гетерострук-турах проявляются новые, ранее не изученные эффекты, которые не могут быть обнаружены в простых квантовых ямах и гетеропереходах.
В системах состоящих из двух близко расположенных квантовых ям при определённом выборе материалов ям можно подобрать зонную структуру так, что при оптической накачке индуцированные носители разных знаков будут пространственно разнесены. То есть сформируются два заряженных слоя: слой электронов, локализованных преимущественно в одной ямс и слой дырок, локализованных в другой яме. Такая конфигурация носителей приводит к тому, что оптические и транспортные свойства структуры сильно зависят от концентрации носителей (даже если число дырок и электронов одинаково) и внешнего электрического поля, приложенного вдоль оси роста структуры. Так, например, наблюдается большой сдвигу линии фотолюминесценции при увеличении интенсивности накачки по сравнению с аналогичным сдвигом в простой одиночной квантовой яме. Подобные свойства делают такие структуры весьма интересными с прикладной точки зрения, например их можно использовать для создания различных оптических устройств.
Дельта легирование гетероструктур, в свою очередь, позволяет изучать влияние потенциала структуры на локализованную на примеси частицу. Системы, сочетающие в себе примеси и гетероструктуры, весьма интересны как для экспериментального, так и для теоретического исследования. В них, помимо собственно потенциала точечного дефекта, который очень сложно контролировать, на локализованный носитель воздействует также и потенциал гетероструктуры. Современные технологии позволяют очень гибко в широких пределах варьировать свойства выращиваемых структур. Поэтому, системы, содержащие как одиночные дефекты, так и воздействующие на них гетероструктуры дают возможность относительно просто модифицировать параметры локализованных на дефектах носителей.
С другой стороны, контролированное введение примесей создаёт гетероструктуры, качественно отличающиеся от нелегированных, меняя люминесцентные и транспортные свойства.
Кроме того, наличие ограничивающего потенциала гетероструктуры, дельта легированных квантовых ям упрощает исследование перезаряженных центров, таких, как например отрицательно заряженный донор или положительно заряженный акцептор (D(-) и А(-|-) центры соответственно).
Как известно, по энергетической структуре, гетеропереходы делятся на три типа: I, II, Па. В гетероперехода 1-го типа дно зоны проводимости и вершина валентной зоны одного полупроводника находятся соответственно ниже дна зоны проводимости и выше вершины валентной зоны другого полупроводника. Типичным примером такого гетероперехода является переход GaAs/AlGaAs. В гетеропереходах II-го типа запрещённые зоны материалов смещены друг относительно друга так, что запрещенная зона первого частично перекрывается с зоной проводимости второго, а запрещённая зона второго материала перекрывается с валентной зоной первого. Переход Па типа напоминает гетеропереход И-го типа, но со значительно большим смещением зон: запрещённые зоны раздвинуты настолько сильно, что существует энергетическое перекрытие между валентной зоной одного полупроводника с зоной проводимости другого. Переходы такого типа интересны во-первых тем, что в их спектрах нет зазора, соответствующего запрещённой зоне, а во-вторых тем, что в них наблюдается сильное взаимодействие между валентной зоной и зоной проводимости разных полупроводников.
Самосогласованные гетеропереходы Па типа отличаются от простых гетеропереходов На типа, тем, что с обеих сторон интерфейса образуются потенциальные ямы, в которых могут быть локализованные носители. Поскольку движение носителей вдоль оси роста структуры ограничено, имеются уровни размерного квантования. Наличие этих уровней приводит к значительному усложнению спектра гетероперехода. В таких гетеропереходах наблюдаются антиперсссчсния уровней Ландау, образующих сложную картину магнетопроводимости в больших полях, когда имеет место эффект Холла.
Также в самосогласованных гетеропереходах На рода наблюдается сильная зависимость кинетических свойств от положения уровня Ферми. При этом небольшой но сравнению с энергетическим интервалом перекрытия валентной зоны и зоны проводимости контактирующих материалов сдвиг уровня Ферми может привести к изменению проводимости образца с дырочной на электронную и наоборот.
Значение спин-орбитального взаимодействия в вышеописанных системах достаточно велико. Так в самосогласованных гетеропереходах Па рода спин-орбитальное взаимодействие фактически формирует отличия таких гетеропереходов от простых, несвязанных квантовых ям. Отличия спектра, сложная структура и антипересечения уровней Ландау являются следствиями взаимодействия валентной зоны и зоны проводимости.
В квантовых ямах на основе полупроводников вида Л3В5, имеющих кубическую симметрию кристалла, дельта-легированных акцепторными примесями спин-орбитальное взаимодействие также играет существенную роль. Так как в полупроводниках с кубической симметрией это взаимодействие приводит к расщеплению валентной зоны кристалла вблизи вершины валентной зоны. Поэтому при исследовании акцепторных примесей, помещенных в квантовую яму из такого материала необходимо учитывать сложный характер валентной зоны. Наличие потенциала гетероструктуры приводит к расщеплению уровней дырки, локализованной на примеси, в то время как уровни акцептора в объёмном полупроводнике не расщеплены.
Одним из наиболее ярких проявлений процессов, обусловленных наличием спин-орбитального взаимодействия в полупроводниках и полупроводниковых структурах является сильная зависимость магнетосопротивления в классически слабых магнитных полях от величины магнитного поля -аномальное магнетосопротивленис. Аномальное магнетосопротивления полупроводников и металлов обусловлено явлением слабой локализации, которое заключается в интерференции прямой и обратной электронных волн при прохождении частицей замкнутой траектории в процессе рассеяния на различных конфигурациях примесей. Наиболее ярко эффект слабой локализации проявляется в магнитных полях, когда интерференция разрушается под воздействием классически слабого магнитного поля. Кроме магнитного поля интерференция волн может быть разрушена за счет процессов спиновой релаксации, релаксации фазы волновой функции, межподзонны-ми переходами и д.р., поэтому экспериментальные исследования эффекта слабой локализации позволяют определить различные характерные времена релаксации носителей заряда.
В данной диссертации рассматриваются задачи, связанные с влиянием спин-орбитального взаимодействия в сложных, двумерных гетерострук-турах.
Задачи, поставленные и выполненные в рамках проведённого исследования:
Построение простой модели самосогласованного гетероперехода II-рода с перекрывающимися зоной проводимости одного из контактирующих полупроводников и валентной зоной другого. Описание с помощью этой модели особенностей энергетического спектра и плотности состояний гетероперехода в отсутствие и при наличии магнитного поля.
Построение простой модели глубокого акцептора, помещённого в квантовую яму из полупроводника с кубической симметрией, учитывающей сложную валентную зону. Определение зависимости положения связанного уровня от ширины квантовой ямы и параметров полупроводника.
Построение самосогласованной модели гетсроструктуры, состоящей из двух связанных квантовых ям, в которой размерно-квантованные неравновесные носители разных знаков пространственно разнесены. Описание зависимости сдвига линии фотолюминесценции от интенсивности накачки. Исследование влияния обмешю-корреляционных поправок на положение основных уровней размерно-квантованных электронов и дырок.
Теоретическое описание слабой локализации в двумерных структурах при наличии спиновой релаксации в рамках механизма Эллиота-Яфета. Определение зависимости магнето сопротивления как в малых, так и в относительно больших классически слабых магнитных полях.
Основные положения, выносимые на защиту:
Взаимодействие зоны проводимости и валентной зоны в самосогласованных гетеропереходах Па рода приводит к антиперессчепию уровней Ландау с одинаковыми номерами и возникновению квазищелей в спектре уровней Ландау.
Модель потенциала нулевого радиуса хорошо применима для описания А(+) центров в квантовых ямах, выращенных из материала, обладающего кубической симметрией, с учётом сложной валентной зоны,
Спиновая релаксация по механизму Эллиота-Яфета сильно влияет па эффект слабой локализации в двумерных системах как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах.
Величина сдвига линии фотолюминесценции в несимметричных ге- тероструктурах, состоящих из двух связанных квантовых ям, зависит как от энергии электростатического взаимодействия носителей, так и от обмен но-корреляционной энергии. Относительное влияние обменно-корреляционных слагаемых падает с уменьшением величины перекрытия волновых функций носителей разных знаков.
Научная новизна полученных результатов:
Впервые построена теория слабой локализации в 2d полупроводниковых структурах или металлических пленках во всём интервале классически слабых магнитных полей в случае, когда спиновая релаксация носителей происходит по механизму Эллиота-Яфета. Показано, что спин-орбиталыгос взаимодействие существенно влияет на величину магнетосопротивления как в диффузионном, так и в недиффузи-ошюм режимах.
Впервые рассмотрены состояния дырки, локализованной на акцепторе или А+ центре в квантовой яме, в рамках метода потенциала нулевого радиуса.
Показано, что в самосогласованных гетеропереходах Па типа в внешнем магнитном поле, возникают „квазищели" в плотности состояний.
Исследована зависимость положения уровней энергии системы, состоящей из двух связанных квантовых ям, от концентрации локализованных в ямах носителей. Показано, что влияние обменно-корреляционных поправок на энергетический сдвиг основных уровней системы является существенным.
Сравнение с экспериментальными данными
Результаты теоретических исследований сравнивались с экспериментальными данными по изучению магнстотранспорта в самосогласованных гетеропереходах GalnAsSb/InAs, в которых содержание In в четверном твердом растворе определяет величину перекрытия краёв валентной зоны и зоны проводимости на границе раздела. Ранее электронный канал с высокой подвижностью {ц 50000 — 70000cm2/V-s) был обнаружен в одиночных разъединенных гетеропереходах 77 типа р — GalnAsSb/p — In As с самосогласованными квантовыми ямами на гстерогранице и его люминесцентные и магнетотрансиортныс свойства были детально исследованы [10, 11, 12, 13]. Слои твердых растворов Gai_xInxAsySbi_y в интервале составов с содержанием индия 0.08 х 0.1Q и у = х -\- 0.06 и с хорошей морфологией роста были получены методом жидкофазной эпитаксии на подложках InAs (100). Раствор-расплав был приготовлен из чистых компонентов: атомарных In и Sb с чистотой bN и 3JV, соответственно, а также не легированных бинарных соединений InAs и GaSb с собственной концентрацией носителей п — 2 101Сст_3 и р = 5 1016ст-3, соответственно. Рассогласование эпи-таксиалыюго слоя с подложкой по параметру постоянной кристаллической решетки не превышало величины Аа/а 4 - Ю-4. Толщина слоя составляла порядка l.O m. Выращенные слои GalnAsSb специально не легировались и демонстрировали р—тип проводимости с концентрацией дырок р — 2 101бст 3 при Т = 77К. Эпитаксиальные слои GalnAsSb были выращены в условиях планарного двумерного роста с резкими по составу и планарными интерфейсами. В таких структурах иланарность нижнего интерфейса определялась шероховатостью поверхности InAs (100). Толщина переходного слоя на границе раздела Gao Ino.icAsci SboWInAs составляла 10 - 12А. При 16% In величина перекрытия составляет 70meV [14]. Путём легирования раствора-расплава донорной примесью можно достичь положения химического потенциала как в интервале перекрытия так и вне его. Энергетическая структура гетероперехода n — Gao.84lno.ioAso.22Sbo,73/p InAs в нулевом магнитном поле, рассчитанная по формуле (1.7) приведена на рис. 1.4, где в соответствии с Рис. 1.1, Vi = 277.5mcV, Vi = 907.5meV, Д = 207.5meV, a — 125A, b — ЮОА. На Рис. 1.4 также приведены положения уровней Ферми (пунктирные линии i и ) двух исследуемых в данной работе образцов, определённые из осцилляции Шубникова-де Гааза (ШГ). Отметим, что закон дисперсии вне областей антипересечений фактически является параболическим, несмотря на учёт только линейных слагаемых Рис. 1.4. Энергетический спектр гетероперехода GalnAsSb(105A)/InAs(125А) в области перекрытия зоны проводимости InAs и валентной зоны GalnAsSb. Состояния интерфейсных дырок обозначены как Н1, состояния тяжелых дырок показаны пунктиром, электронные подзоны обозначены как Е± и Е . i52 - положения уровня Ферми для обоих рассматриваемых образцов. по к в гамильтониане. Это обусловлено тем, что рассматриваемые энергии (в области перекрытия) малы по сравнению с ширинами запрещенных зон обоих полупроводников. На рис. 1.5 и 1.6 представлены картины осцилляции Шубникова-де Гааза и эффекта Холла (рхх и рху) в исследованных структурах с разным уровнем легирования теллуром твердого раствора, демонстрирующие наличие нескольких периодов осцилляции, характерное для мультиподзоннои системы размерно квантованных уровней. Картина осцилляции подобна осцилляциям простой квантовой ямы с двумя заполненными подзонами размерного квантования, поскольку на обоих рисунках в полях до 4Т наблюдается два периода осцилляции. Переход к осцилляциям рху и рхх в условиях квантового эффекта Холла (КЭХ) происходит в полях В 6Т, когда остаются, в основном, уровни Ландау одной подзоны. На рис. 1.5в и 1.5d приведены увеличенные части кривых 1.5а и 1.5с, полученные из экспериментальных данных для рху{В) и рхх{В) вычитанием плавного фона (polyпот) и двойным дифференцированием по полю. Вертикальными линиями отмечены разные серии осцилляции ШГ, а также переходная область от одной серии к другой. Цифры у линий соответствуют отношению положений максимумов на шкале 1/J3 к среднему периоду Д(1/В) данной серии. Серия осцилляции в слабых полях В IT с индексами 1-=-3.1 соответствует объёмным осцилляциям ШГ от эпитаксиального слоя твёрдого раствора, легированного Те (— 1 1016). На 1.6Ь и 1.6d приведены увеличенные части кривых из 1.6а и 1.6с, полученные из экспериментальных кривых вычитанием плавного фона и двойным дифференцированием по полю. Вертикальными линиями с разными индексами и без них отмечены разные серии осцилляции ШГ, а также переходная область от одной серии к другой. Цифры соответствуют отношению положений максимумов на шкале 1/В к среднему периоду данной серии. Серия в слабых полях В IT с индексами 2.1 -г- 4.1 соответствует объёмным осцилляциям ШГ от эпитаксиального слоя твёрдого раствора легированного Те ( 3 - 1016ст 3).
Сравнение с экспериментом
Было проведено сравнение результатов теоретического исследования с экспериментом по люминесценции перезаряженных акцепторов Be в ямах GaAs различной толщины. Экспериментально исследовались образцы, выращенные на установке молекулярно-пучко вой эпитаксшт, селективно легированные бериллием с объёмной концентрацией дырок в GaAs 1 1017см-3.
Каждый экспериментальный образец представлял собой набор из 10 квантовых ям GaAs, разделённых барьером 20 нм Alo.zbGo.Q,G5As. Ширина ям варьировалась от 7 до 18 нм. Для создания стационарных А+-центров в квантовых ямах был применён метод так называемого двойного селективного легирования, то есть одновременно легировались и квантовые ямы и барьеры. Такое расположение примеси приводит к заполнению акцепторов в ямах дырками с акцепторов в барьерах, то есть к образованию А+-цснтров.
Спектры фотолюминесценции снимались с образцов погруженных непосредственно в жидкий гелий. Подведение света накачки от гелий-неонового лазера к образцу и съем люминесценции производилось посредством стеклянного световода. Излучение регистрировалось с помощью дифракционного спектрометра и ФЭУ в режиме счета фотонов.
Возбуждённые светом накачки неравновесные электроны и дырки, взаимодействуя с нейтральным акцептором, могут образовывать как связанные экситонЫ) так и А+ центры. На типичном спектре фотолюминесценции исследуемых структур [17] присутствуют пик соответствующий излучению с А+-цснтра и пик рекомбинации экситоиа, связанного на нейтральном акцепторе. Зависимости величин этих пиков от интенсивности света накачки являются линейными. Для разделения и установления точного положения пиков люминесценции полученные спектры сглаживались и аппроксимировались функциями Гаусса.
Идентификация этих пиков проводилось путём исследования температурной зависимости фотолюминесценции. Метод основан на том, что с повышением температуры пик связанного экситона быстро исчезает благодаря малой энергии связи экситона с нейтральным центром, тогда как интенсивность излучатсльных переходов свободный электрон — Л+-центр уменьшается слабо. Значение энергии активации Л+-центра определялось путём суммирования разницы энергии между пиками излучения Л+ и связанного экситона с энергией связи экситона на нейтральном акцепторе, известной из литературных данных.
На точность экспериментальных данных оказали влияние следующие факторы: зависимость энергии связи от положения примесного центра в ямс, особенно сильная в узких ямах; отклонения параметров изготовленных структур от заданных, приборная погрешность. Наибольшей из погрешностей является та, которая связана с отклонением ширины полученной квантовой ямы от заданной величины. Оценка этой погрешности производилась перемножением производной энергии А+ по размеру ямы на величину характерного отклонения размеров ямы. Суммарная погрешность отображена на рисунке 1.
На том же рисунке показаны рассчитанные с помощью (2.6) значения энергий ионизации дырки с основного и возбуждённого уровней при различных значениях параметра а. В объёмном материале параметр а связан Рис. 2.1. Рассчитанные зависимости энергий связи основного {Е\) и возбуждённого (.) состояния А+ центра от ширины ямы при энергиях связи дырки в объемных материалах равных 5мэВ и 7мэВ. Детали эксперимента описаны в тексте. 1 — Е\ при энергии в объёмном случае равной 5 мэВ; 2 — ?2 при энергии в объёмном случае равной 5 мэВ; 3 — Е\ при энергии в объёмном случае равной 7 мэВ; 4 — 1 при энергии в объёмном случае равной 7 мэВ; точки — эксперимент.
Слабая локализация в нулевом магнитном поле
Мы рассмотрим влияние слабой локализации на статическую проводимость двумерной системы, как без магнитного поля, так и в поперечном магнитном поле. Будем предполагать, что имеется электронный газ, для которого выполняется условие хорошего проводника: EFTQ 1 (SF — энергия Ферми, Гц — квантовое время релаксации), а времена релаксации фазы (тф) и спиновой релаксации значительно превосходят то, рассеяние происходит на короткодействующем потенциале. Для расчёта удобно использовать диаграммную технику при нулевой температуре. В рамках этого подхода проводимость образца описывается в виде суммы диаграмм (Рис. 4.1,4.2). "Нормалытя"друдовская проводимость соответствует ряду петлевых диаграмм, содержащих в качестве внутренних частей диаграммы с различным числом не пересекающихся линий взаимодействия. В работе [43] было показано, что после усреднения по примесям, наиболее существенными для аномального вклада в проводимость оказываются лишь два вида диаграмм - максимально скрещенные диаграммы и "диаграммы с шляпкой". Эти диаграммы содержат одинаковую внутреннюю часть, называемую куперопом. Соответственно задача о расчёте проводимости заключается в нахождении куиерона и вычислении, с его помощью, величин вкладов обоих рядов диаграмм.
Для нахождения выражения для проводимости и усреднённым по примесям функций Грина необходимо выражение для коррелятора матричных элементов рассеяния электронов на примесях. В работе [44] были получены формулы для матричных элементов потенциала примеси в квантовой яме, в случае когда заполнен один уровень размерного квантования, носи- тсли описываются гамильтонианом Ксйна (энергия Ферми двумерных носителей значительно меньшей ширины запрещённой зоны). Согласно этой работе для короткодействующего потенциала где кик - двумерные (в плоскости ямы - плоскости ху) волновые векторы налетающей и отражённой частиц соответственно, А и В - кейновские коэффициенты (в рамках приближения слабого спин-орбитального взаимодействия они считаются малыми), а - трехмерный радиус-вектор примеси, на которой происходит рассеяние, VQ - мощность потенциала, А - ширина квантовой ямы. Выражение для коррелятора, получаемое с помощью стандартной процедуры усреднения по примесям [45], имеет вид: -і где с= (А2 + 22), ( = (тг/А)2(2ЛВ + В2)2/3, Аид- два двумерных начальных импульса, a q и q! - два двумерных конечных импульса. Величины ерр и Схрр в случае слабого спин-орбитального рассеяния малы и поэтому в дальнейшем практически все вычисления будут проводиться с точностью до первого порядка но ср\ и Схр\
Из выражения для коррелятора видно, что константа с соответствует процессам рассеяния без переворота спина, сх - с переворотом. В рамках диффузионного приближения [35, 45] роль слагаемого в выражении для коррелятора, пропорционального константе с в конечном результате сводится к замене времени 7 на транспортное время. Можно показать, что и в недиффузионном режиме при малых cxpj?, cp2F роль константы с также сводится к замене времени 7 на транспортное время. Поэтому далее, для упрощения вычислений, мы не будем учитывать константу с. Уравнение Дайсона для нахождения усреднённой по положению примесей функции Грина G0p(p,tj) имеет вид (4.3) где G g(p, ш) - функция Грина частицы в отсутствие примесей (по дважды встречающимся спиновым индексам производится суммирование). В рамках Борновского приближения можно показать, что решением уравнения (4.3) из-за симметрии коррелятора относительно спиновых индексов является функция пропорциональная единичной матрице
Магнстосопротивлснис
В классически слабых магнитных полях усреднённую по примесям функцию Грина можно представить в виде произведения усреднённой по примесям функции Грина в отсутствии магнитного поля и фазового множителя, зависящего от напряжённости поля и аргументов функции Грина [47]: где GR,A (г) - усредненная по примесям функция Грина в нулевом магнитном поле, Ф(г, г ) = (х — х ){у + у )/(2 ) = \/тпс/(еН) - магнитная длина, магнитное поле Я направлено вдоль оси OZ, перпендикулярно плос-кости структуры, векторный потенциал - вдоль оси OY: А eyHzx, При переходе из импульсного в координатное представление опера-торы к заменяются градиентами по соответствующим координатам. При этом задача значительно усложняется по сравнению со случаем, когда спин-орбитального взаимодействия нет, поскольку тогда в импульсном представлении коррелятор не зависит от импульсов и следовательно в координат- ном представлении остаётся лишь простой функцией координат. С другой стороны, как было показано выше, в рамках диффузионного приближения влияние угловой зависимости коррелятора не существенно и поэтому при подстановке в уравнение для нахождения куперона коррелятор можно усреднить по углам аргументов. При этом, хотя форма коррелятора остаётся матричной, зависимость от импульсов пропадает, и при переходе в координатное представление он опять записывается в виде функции, а не оператора. В соответствии с этим, вне рамок диффузионного приближения при наличии спин-орбиталыгого взаимодействия, в координатном представлении коррелятор представляет собой оператор, состоящий из различных производных по координатам.
Поэтому удобно использовать не сам коррелятор, а диаграмму на (Рис. 4,4). Выражение, описывающее эту диаграмму (полученное преобразованием Фурье из выражения для этой диаграммы в импульсном представлении) будет иметь вид: Поскольку в классически слабых магнитных полях импульс Ферми кр значительно превосходит обратную магнитную длину 1/1 в при вычислении градиентов усреднённых по примесям функций Грина в магнитном поле (4.14) можно пренебречь зависимостью фазы Ф(г, г ) от координат. Вследствие этого, выполняются соотношения Таким образом, выражение для диаграммы (Рис. 4.4) принимает вид: Видно, что коррелятор в координатном представлении может быть переписан в виде функции от направлений из точек 1, 2 на точки i, f, g, h, в которой отсутствуют операторы дифференцирования. В отличие от уравнения (Рис. 4.3) в импульсном представлении уравнение в координатном представлении должно содержать функции Грина с незамкнутыми концами для того, чтобы заменить операторы дифференцирования в корреляторе и куперонс на орты направлений (Рис. 4.5). После замены операторов дифференцирования в ку пероне на орты эти функции Грина можно убрать и получить следующее уравнение на Г: (4.18) где r f fijfb) представляет собой крайне левую диаграмму (куперон) из которой удалены функции Грина со свободными концами в точках i,f,g и h, Г / (гз, гг) - аналогичную крайне правой диаграммы (Рис. 4.5). Верхние индексы обозначают концы удалённых функций Грина, а нижние индексы являются спиновыми. Таким образом Гл Дт т ) является аналогом Га/з7г(й, к ) в импульсном представлении, а уравнение (4.18) подобно уравнению (4.6). Видно, что решение уравнения (4.18) - Г Л(г1, г2) должно зависеть не от точного положения точек г, /, д, /г, а лишь от направления ортов ец, е/ь ё 2о, Єг/i- Аналогично разобранному методу нахождения проводимости в импульсном представлении для того, чтобы вычислить обе петлевые диаграммы, необходимы не вес компоненты куперона, а лишь те у которых число положительных (или отрицательных) спиновых индексов четно. А имен-но:
