Содержание к диссертации
Введение
1 Влияние слабой локализации на спиновую релаксацию 17
1.1 Введение 17
1.2 Интерпретация слабой локализации в терминах малой поправки к сечепию рассеяния на примеси 22
1.3 Вывод кинетического уравнения 31
1.4 Решение кинетического уравнения. Асимптотика, спиновой поляризации на больших временах 39
1.5 Специальный случаи 41.
1.6 Подавление долговременной асимптотики спиновой поляризации в магнитном поле 43
1.7 Выводы 46
2 Влияние слабой локализации на эффект Ханле 50
2.1 Введение 50
2.2 Качественное рассмотрение 54
2.3 Основные уравнения 57
2.4 Частный случай 1: квантовая яма с направлением роста [100] 59
2.5 Частный случай 2: квантовая яма с направлением роста [110] 61
2.6 Общее решение 62
2.7 Неаналитическая зависимость степени спиновой поляризации от внешнего магнитного поля 65
2.8 Выводы 66
3 Классические эффекты памяти в спиновой релаксации 67
3.1 Введение 67
3.2 Решение для системы с сильными рассеивателями 70
3.3 Решение для системы с плавным беспорядком 76
3.4 Выводы 78
4 Релаксация спина в ограниченном объеме 80
4.1 Введение 80
4.2 Качественное рассмотрение 82
4.3 Строгая постановка задачи 83
4.4 Вывод диффузионного уравнения с граничными условиями 84
4.5 Анализ диффузионного уравнения в безразмерных параметрах . 85
4.6 Область применимости классического подхода, 87
4.7 Выводы 88
5 Релаксация спина в режиме прыжковой проводимости 89
5.1 Введение 89
5.2 Релаксация спина при Т 3> W (модельный случай) 96
5.2.1 Релаксация на оптимальных примесных конфигурациях . 97
5.2.2 Аналог механизма. Дьяконова-Переля для электронов в примесной зоне 100
5.2.3 Релаксация за. счет ухода на протекательпый кластер . 102
5.2.4 Релаксация в режиме ловушек 105
5.3 Релаксация спина при Т <С W 106
5.4 Выводы 108
Заключение 110
Список литературы 112
А Выражение оператора момента через угол поворота спина ф 117
- Интерпретация слабой локализации в терминах малой поправки к сечепию рассеяния на примеси
- Подавление долговременной асимптотики спиновой поляризации в магнитном поле
- Неаналитическая зависимость степени спиновой поляризации от внешнего магнитного поля
- Анализ диффузионного уравнения в безразмерных параметрах
Введение к работе
Спиновые эффекты в полупроводниковых гетероструктурах представляют интерес как с физической точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений в области спинтроники [1]. Основным предметом изучения спинтропики являются механизмы генерации поляризованных по спину носителей, динамика спина в полупроводниках, а также механизмы детектирования спиновой поляризации. С практической точки зрения целью таких исследований является создание нового типа электронных устройств, в которых, наряду с зарядом, используется спин частиц. Для эффективного управления спином в таких устройствах необходимо, чтобы характерное время жизни поляризованных по спину носителей было достаточно большим. В связи с этим особую важітость представляет изучение динамики спина и, в частности, спиновой релаксации в полупроводниковых гетероструктурах.
В настоящее время известен ряд механизмов, приводящих к релаксации спина электронов в полупроводниковых гетероструктурах, например, рассеяние на магнитных примесях, взаимодействие с ядерным спином и т.д. В полупроводниковых гетероструктурах на основе материалов типа Л3В5 основным механизмом спиновой релаксации обычно является механизм Дьяконова-Псреля [2]. Особенностью таких материалов является отсутствие в них центра инверсии, что обуславливает наличие спинового расщепления, зависящего от импульса электрона [3]. Расщеи-
Рис. 1: Механизм релаксации Дьяконова-Переля. При рассеянии на примесях импульс электрона и, соответственно, направление оси прецессии спина меняются случайным образом, что приводит к угловой диффузии вектора спина.
ление спектра по спину описывается следующим слагаемым в гамильтониане:
Hs = Шро-/2, (1)
где h - постоянная Планка, сг - вектор, составленный из матриц Паули, Пр - нечетная функция импульса электрона р. Выражение (1) по своей структуре совпадает с гамильтонианом, описывающим взаимодействие спина с внешним магнитным полем. Таким образом, расщепление спектра но спину можно рассматривать как взаимодействие спина с эффективном магнитным полем, зависящим от импульса электрона, при этом Qp - есть частота прецессии спина в эффективном магнитном поле, а направление вектора $7Р задает направление оси прецессии. При рассеянии на примесях импульс электрона и, как следствие, направление оси прецессии меняются случайным образом, что приводит к угловой диффузии вектора спина (рис.1) и, соответственно, к спиновой релаксации [2]. Такой механизм релаксации получил название механизма Дьяконова-Переля.
В объемных материалах типа А3В5 расщепление спектра по спину проиорцио-
(І
наявно третьей степени импульса электрона [3]:
Яр* = аРх{Ру-РІ)і (2)
ttvy = <Щ,{&~РІ)> (3)
fip, = арМ-РІ); (4}
где а - некоторая константа. Наличие линейного по импульсу вклада в спиновое расщеплении в объемных материалах запрещено имеющимися в кристалле группами симметрии.
В двумерных квантовых ямах расщепление спектра может быть связано как со свойствами объемного материала, из которого выращена квантовая яма (эффект Дрсссельхауза Щ), так и с асимметрией самой квантовой ямы (эффект Бычкова-Рашбы [4]). Эффективный гамильтониан, описывающий «двумерный» электрон, находящийся на нижнем уровне размерного квантования, получается усреднением исходного «трехмерного» гамильтониана, с собственной волновой функцией нижнего уровня размерного квантования:
ЯМ={Ф0|Я|ФП), (5)
где Фо - собственная волновая функция нижнего уровня размерного квантования.
зависящая от координаты в направлении, перпендикулярном плоскости квантовой ямы. В результате такого усреднения в спиновом расщеплении появляются слагаемые, линейные по импульсу электрона в плоскости квантовой ямы р и квадра,-тичные по характерному импульсу в направлении, перпендикулярном квантовой яме [5] pi ^ h/w (здесь w - ширина квантовой ямы). Рассмотрим для примера случай квантовой ямы, лежащей в плоскости (х,у), причем оси х и у совпадают с направлениями кристаллографических осей, В этом случае выражение (1), в котором Гір дается уравнениями (2), (3) и (4), следует усреднить с волновой функцией
Ф(). Усреднение tip приводит к следующему результату:
Пръ = opx(pl~p[), (6)
%у = аруіРІ-РІ), СО
їїрв = 0, (8)
где р]_ ~ (pi) (кроме того, мы учли, что среднее значение оператора, импульса на локализованном состоянии равно нулю {pz) = 0).
Как мы видим, выражения (6); (7) и (8) содержат как линейные, так и кубические по импульсу в плоскости квантовой ямы слагаемые. В ситуации, когда концентрация электронов и температура, достаточно малы, все электроны находятся на нижнем уровне размерного квантования и р -С р±. Тогда кубическими членами в спиновом расщеплении можно пренебречь. Конкретный вид линейных по импульсу членов в спиновом расщеплении зависит oi направления роста квантовой ямы.
Спиновое расщепление, обусловленное асимметрией квантовой ямы. может быть записано в виде Н$ -- а[Е х р]сг, где Е - встроенное электрическое поле в направлении, перпендикулярном плоскости квантовой ямы, а - некоторая константа [4]. Данный вклад в спиновое расщепление представляет собой релятивистскую поправку к уравнению Щредингера и описывает взаимодействие спина с магнитным полем, которое появляется в собственной системе отсчета электрона при движении в электрическом поле.
Б общем случае гамильтониан, описывающий спиновое расщепление в системе двумерных электронов, может быть представлен в виде:
Н3 = Шрст/2, (9)
где Sip = ар - частота прецессии спина в эффективном магнитном, а - тензор 3x2. Вид тензора а зависит как от направления роста., так и от профиля квантовой ямы.
При этом можно выделить два качественно различных случая.
В первом случае 1р зависит от обеих компонент р и, соответственно, всегда
лежит в некоторой выделенной плоскости. Такой случай реализуется, например, в
симметричной квантовой ямс, выращенной в направлении [100]. Если, например.
данная квантовая яма лежит в плоскости (х.у), то, как видно из (б); (7) и (8),
тензор а записывается в виде:
/-1 0\
Й = ар\\ 0 1. (10)
' V о о/
Возможен также случай, когда ilp зависит только от одной компоненты импульса и направлено вдоль некоторой фиксированной оси. Такой случай представляет особенный интерес с практической точки зрения, так как при этом одна из компонент спина практически не релаксирует. Так, ряд последних исследований [6, 7, 8, 9, 10, 11] посвящен симметричным квантовым ямам на основе GaAs, выращенным в направлении [ПО]. В таких структурах эффективное магнитное иоле оказывается всегда перпендикулярным плоскости квантовой ямы. В результате, компонента спина, перпендикулярная плоскости квантовой ямы, не релаксирует [5] (точнее, релаксирует очень медленно за счет более слабых эффектов). Аналогичная ситуация может быть достигнута в асимметричных квантовых ямах, выращенных в направлении [100], в случае, когда члены Дрсссельхауза и Бычкова-Рашбы в спиновом расщеплепии имеют одинаковую силу [12, 13, 14, 15, 16] (в этом случае случайное магнитное поле лежит в плоскости квантовой ямы, однако оно по-прежнему параллельно некоторой фиксированной оси) *.
Рассмотрим более подробно механизм релаксации Дьяконова-Переля. По мере движения электрона по кристаллу его спин прецессирует с частотой Гїр вокруг вектора, Пр. Импульс электрона и, соответственно, направление оси прецессии ме-
1 Спиновое расщепление Бычкова-Рашбы обусловлено встроенным полем в квантовой яме и может регулироваться с помощью приложенного напряжения па затворе [17].
няются случайным образом при рассеяниях на примесях. Это позволяет рассматривать эффективное магнитное поле, обусловленное спиновым расщеплением, как случайно меняющуюся величину. Угловое движение вектора спина под действием такого поля носит диффузионный характер (рис.1). При этом время одного шага диффузии совпадает с транспортным временем т. а, характерный угол поворота за один шаг диффузии ф = Пт. где Q - характерная частота прецессии спина в эффективном магнитном ноле. В результате, коэффициент угловой диффузии спина по порядку величины равен:
Ds*
Для того чтобы произошла релаксация спина, вектор спипа в процессе угловой диффузии должен отклониться на угол порядка единицы. Таким образом, обратное время спиновой релаксации 1/тд по порядку величины совпадает с Ds [2]:
1/т5 и Ds « 02т. (12)
В двумерном случае, когда движение электрона в одном направлении ограничено квантовой ямой, расщепление спектра и, соответственно, частота прецессии спина пропорциональны скорости электрона в плоскости квантовой ямы Q ~ v. В результате, скорость спиновой релаксации для двумерных электронов оказывается пропорциональна коэффициенту диффузии электронов и, соответственно, проводимости2:
1/rg ~ D ~ (Т. (13)
Наличие связи между скоростью спиновой релаксации и проводимостью предполагает, что ряд широко известных в проводимости эффектов также влияет и на скорость спиновой релаксации. К таким эффектам можно отнести:
2 Проводимость связана с коэффициентом диффузии соотношением Эйнштейна, которое носит универсальный характер.
Эффект слабой локализации; обусловленный интерференцией электронных воли, обошедших замкнутую траекторию в противоположных направлениях.
Переход из металлической в диэлектрическую фазу по мере увеличения беспорядка (переход металл-диэлектрик).
Классические эффекты памяти, обусловленные процессами баллистического или диффузионного возврата электронов к некоторой примеси.
Связь между проводимостью и скоростью спиновой релаксации (13) предполагает наличие аналогичных эффектов в спиновой динамике. Такие эффекты представляют не только теоретический, но и практический интерес, так как могут приводить к замедлению спиновой релаксации. В частности, эффекты памяти могут приводить к долговременным корреляциям, в том числе на временах, превышающих время спиновой релаксации по механизму Дьякопова-Переля. Локализация электронов приводит к переходу системы в диэлектрическую фазу и экспоненциальному подавлению проводимости с уменьшением температуры, что также предполагает подавление спиновой релаксации. В связи с этим представляется актуальным:
Исследовать влияние эффекта слабой локализации на спиновую релаксацию.
Исследовать динамику спиновой поляризации во внешнем магнитном поле в режиме слабой локализации для разного вида спинового расщепления. Изучить влияние слабой локализации на зависимость стационарной спиновой
поляризации от внешнего магнитного поля (эффект Ханле).
3. Исследовать влияние классических эффектов памяти на динамику спина на
временах, превышающих классическое время спиновой релаксации по меха
низму Дьяконова-Переля.
Исследовать влияние пространственной локализации электронов на спиновую релаксацию.
Исследовать релаксацию спина электронов в примесной зоне полупроводника с расщепленным по спину спектром. Исследовагь связь спиновой релаксации с проводимостью в та.кой системе.
Цель работы: Теоретически изучить влияние эффектов локализации и эффектов памяти на динамику спина в режиме металлической проводимости. Исследовать влияние впешпего магнитного поля иа динамику спина, а также на стационарную спиновую поляризацию с учетом данных эффектов. Исследовать релаксацию спина б полупроводниковых структурах с расщепленным по спину спектром в случае, когда проводимость носит активационный характер.
Научная новизна работы заключается в том, что:
Развит метод описания динамики спиновой поляризации в режиме слабой локализации с помощью кинетического уравнения для функции распределения спина- Показано, что эффект' слабой локализации может быть учтен путем введения в уравнение, описывающее динамику спина, нелокальной по времени поправки к интегралу столкновений.
Описана динамика спиновой поляризации на больших временах с учетом квантовых и классических эффектов памяти. Показано, что такие эффекты приводят к замедлению релаксации спина, на временах, превышающих классическое время спиновой релаксации по Дьяконову-Перелю. Также показано, что на таких временах релаксация спина носит пеэкспоненциалытый характер.
Исследовано влияние внешнего магнитного поля на долговременную динамику спиновой поляризации, а также на стационарную спиновую поляризацию
б режиме слабой локализации. Показано, что в области слабых нолей чувствительность стационарной спиновой поляризации к внешнему магнитному полю может существенно повышаться за счет интерференционных эффектов.
Показано, что в двумерных системах ограничение классического движения электрона областью малых размеров может приводить к существенному подавлению спиновой релаксации.
Исследована релаксация спина в примесной зоне полупроводника с расщепленным по спину спектром. Разработан подход, позволяющий использовать результаты теории протекания для описания спиновой релаксации в указанной системе. Проведен анализ роли протекательного кластера в спиновой
релаксации.
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволили предложить новые механизмы замедления спиновой релаксации, а также предсказать режим с повышенной чувствительностью стационарной спиновой поляризации к внешнему магнитному полю.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на международных конференциях: «Nanostructures: Physics And Technology» (Санкт-Петербург, 2004-2006 гг.), «Fundamentals of Electronic Nanosystcms NATO Advanced Workshop» (Санкт-Петербург, 2005-2006 гг.). а также на семинарах сектора теории конденсированного состояния ПИЯФ им. Б. П. Константинова РАН (2006 г.) и сектора теории электрических и оптических явлений в полупроводниках ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН (2004-2006 гг.).
Расследования в данном направлении были поддержаны Российским Фондом
Фундаментальных Исследований, фондом некоммерческих программ «Династия», а. также грантами РАН и грантами ведущих научных школ РФ.
Публикации.
По результатам исследований, выполненных в диссертационной работе, опубликовано семь научных работ, список которых приведен в заключении диссертации.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной литературы, а также двух приложений.
В первой главе рассмотрено влияние слабой локализации на релаксацию спина в двумерных полупроводниковых структурах с расщепленным по спину спектром. Мы покажем, что релаксация спина замедляется за счет интерференции электронных волн, распространяющихся вдоль замкнутой траектории в противоположных направлениях. В результате, средний спин электрона затухает на больших временах как І/і. Также будет показано, что динамика спина может быть описана уравнением, аналогичным уравнению Болъцмана, в котором эффект слабой локализации учтен как нелокальная по времени поправка к интегралу столкновений. Данная поправка выражается через зависящую от спина вероятность возврата. Будет рассмотрена физическая природа данного явления и показано, что. в отличие от аналогичного эффекта в проводимости, существенную роль в нем играет интерференционная поправка, связанная с рассеянием на произвольный угол. Также будет показано, что как продольное, так и поперечное магнитное поле подавляет степенной хвост в спиновой поляризации.
Во второй главе будет рассмотрено влияние эффекта слабой локализации на. зависимость стационарной спиновой поляризации от внешнего магнитного поля. Как известно, эффект слабой локализации в проводимости даст только маленькую поправку к классическому результату. Нами будет показано, что в случае спина
это не так и что в слабых магнитных полях величина стационарной спиновой поля-ризадии может полностью определяться интерференционными эффектами. Кроме того, будет показано, что механизм влияния внешнего магнитного поля на стационарную спиновую поляризацию существенно зависит от вида спин-орбитального расщепления.
В третьей главе будет рассмотрено влияние классических эффектов памяти, обусловленных диффузионными возвратами электрона в некоторую область пространства., на релаксацию спина. Будет показано, что в интересном с практической точки зрения случае, когда спин-орбитальное магнитное поле зависит только от одной компоненты импульса, классические возвраты приводят к замедлению спиновой релаксации. Как и в режиме слабой локализации, эффекты памяти могут быть учтены с помощью нелокальной по времени поправки к интегралу столкновений в кинетическом уравнении для спиновой функции распределения.
В четвертой главе рассмотрена классическая релаксация спина в конечной двумерной системе. Показано, что пространственное ограничение движения электронов приводит в такой системе к параметрическому замедлению спиновой релаксации. При этом тензор скорости спиновой релаксации становится сильно анизотропным, а именно, его компоненты различаются параметрически.
В пятой главе будет рассмотрена, релаксация спина в примесной зоне полупроводника в режиме прыжковой проводимости. Будет показано, что в зависимости от силы спинового расщепления в такой системе могут рсализовываться различные режимы спиновой релаксации. При очень слабых спиновых расщеплениях систему можно считать однородной. При этом релаксация спииа носит экспоненциальный характер. С усилением спинового расщепления реализуется режим, при котором релаксация происходит за счет ухода электронов на бесконечный протскатель-ный кластер, который играет роль «черной дыры», на которой сини релаксирует
практически мгновенно. При очень сильном спиновом расщеплении релаксации определяется уходом с изолированных примесей.
Интерпретация слабой локализации в терминах малой поправки к сечепию рассеяния на примеси
Теоретически изучить влияние эффектов локализации и эффектов памяти на динамику спина в режиме металлической проводимости. Исследовать влияние впешпего магнитного поля иа динамику спина, а также на стационарную спиновую поляризацию с учетом данных эффектов. Исследовать релаксацию спина Б полупроводниковых структурах с расщепленным по спину спектром в случае, когда проводимость носит активационный характер.
Научная новизна работы заключается в том, что: 1. Развит метод описания динамики спиновой поляризации в режиме слабой локализации с помощью кинетического уравнения для функции распределения спина- Показано, что эффект слабой локализации может быть учтен путем введения в уравнение, описывающее динамику спина, нелокальной по времени поправки к интегралу столкновений. 2. Описана динамика спиновой поляризации на больших временах с учетом квантовых и классических эффектов памяти. Показано, что такие эффекты приводят к замедлению релаксации спина, на временах, превышающих классическое время спиновой релаксации по Дьяконову-Перелю. Также показано, что на таких временах релаксация спина носит пеэкспоненциалытый характер. 3. Исследовано влияние внешнего магнитного поля на долговременную динамику спиновой поляризации, а также на стационарную спиновую поляризацию Б режиме слабой локализации. Показано, что в области слабых нолей чувствительность стационарной спиновой поляризации к внешнему магнитному полю может существенно повышаться за счет интерференционных эффектов. 4. Показано, что в двумерных системах ограничение классического движения электрона областью малых размеров может приводить к существенному подавлению спиновой релаксации. 5. Исследована релаксация спина в примесной зоне полупроводника с расщепленным по спину спектром. Разработан подход, позволяющий использовать результаты теории протекания для описания спиновой релаксации в указанной системе. Проведен анализ роли протекательного кластера в спиновой релаксации. Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволили предложить новые механизмы замедления спиновой релаксации, а также предсказать режим с повышенной чувствительностью стационарной спиновой поляризации к внешнему магнитному полю. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях: «Nanostructures: Physics And Technology» (Санкт-Петербург, 2004-2006 гг.), «Fundamentals of Electronic Nanosystcms NATO Advanced Workshop» (Санкт-Петербург, 2005-2006 гг.). а также на семинарах сектора теории конденсированного состояния ПИЯФ им. Б. П. Константинова РАН (2006 г.) и сектора теории электрических и оптических явлений в полупроводниках ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН (2004-2006 гг.). Расследования в данном направлении были поддержаны Российским Фондом Фундаментальных Исследований, фондом некоммерческих программ «Династия», а. также грантами РАН и грантами ведущих научных школ РФ. По результатам исследований, выполненных в диссертационной работе, опубликовано семь научных работ, список которых приведен в заключении диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной литературы, а также двух приложений. В первой главе рассмотрено влияние слабой локализации на релаксацию спина в двумерных полупроводниковых структурах с расщепленным по спину спектром. Мы покажем, что релаксация спина замедляется за счет интерференции электронных волн, распространяющихся вдоль замкнутой траектории в противоположных направлениях. В результате, средний спин электрона затухает на больших временах как І/і. Также будет показано, что динамика спина может быть описана уравнением, аналогичным уравнению Болъцмана, в котором эффект слабой локализации учтен как нелокальная по времени поправка к интегралу столкновений. Данная поправка выражается через зависящую от спина вероятность возврата. Будет рассмотрена физическая природа данного явления и показано, что. в отличие от аналогичного эффекта в проводимости, существенную роль в нем играет интерференционная поправка, связанная с рассеянием на произвольный угол. Также будет показано, что как продольное, так и поперечное магнитное поле подавляет степенной хвост в спиновой поляризации.
Во второй главе будет рассмотрено влияние эффекта слабой локализации на. зависимость стационарной спиновой поляризации от внешнего магнитного поля. Как известно, эффект слабой локализации в проводимости даст только маленькую поправку к классическому результату. Нами будет показано, что в случае спина это не так и что в слабых магнитных полях величина стационарной спиновой поля-ризадии может полностью определяться интерференционными эффектами. Кроме того, будет показано, что механизм влияния внешнего магнитного поля на стационарную спиновую поляризацию существенно зависит от вида спин-орбитального расщепления.
В третьей главе будет рассмотрено влияние классических эффектов памяти, обусловленных диффузионными возвратами электрона в некоторую область пространства., на релаксацию спина. Будет показано, что в интересном с практической точки зрения случае, когда спин-орбитальное магнитное поле зависит только от одной компоненты импульса, классические возвраты приводят к замедлению спиновой релаксации. Как и в режиме слабой локализации, эффекты памяти могут быть учтены с помощью нелокальной по времени поправки к интегралу столкновений в кинетическом уравнении для спиновой функции распределения.
В четвертой главе рассмотрена классическая релаксация спина в конечной двумерной системе. Показано, что пространственное ограничение движения электронов приводит в такой системе к параметрическому замедлению спиновой релаксации. При этом тензор скорости спиновой релаксации становится сильно анизотропным, а именно, его компоненты различаются параметрически.
В пятой главе будет рассмотрена, релаксация спина в примесной зоне полупроводника в режиме прыжковой проводимости. Будет показано, что в зависимости от силы спинового расщепления в такой системе могут рсализовываться различные режимы спиновой релаксации. При очень слабых спиновых расщеплениях систему можно считать однородной. При этом релаксация спииа носит экспоненциальный характер. С усилением спинового расщепления реализуется режим, при котором релаксация происходит за счет ухода электронов на бесконечный протскатель-ный кластер, который играет роль «черной дыры», на которой сини релаксирует практически мгновенно. При очень сильном спиновом расщеплении релаксации определяется уходом с изолированных примесей.
Подавление долговременной асимптотики спиновой поляризации в магнитном поле
Экспериментальные данные [25] показывают, что переход металл-диэлектрик в полупроводниках сопровождается особенностью в спиновой релаксации. Действительно, переход в диэлектрическую сразу обусловлен локализацией электронных состояний. Существенной особенностью механизма Дьяконова-Переля является то, что в релаксации не задействованы неупругие процессов. Таким образом, для делокализоваппых частиц механизм Дьякопова-Переля остается эффективным при сколь угодно низких температурах. В случае локализованных частиц релаксация спина может происходить только в меру неупругих процессов, то есть механизм Дьякопова-Переля для них оказывается подавлен. Отсюда следует, что при нулевой температуре в системе, находящейся в диэлектрической фазе, будет существовать незатухающий со временем хвост спиновой поляризации.
Изучение спиновой релаксации в режиме сильной локализации в рассматриваемой системе наталкивается на существенные трудности. Поэтому, как и в случае с проводимостью, представляется интересным использовать результаты, полученные в режиме слабой локализации, для предсказания поведения системы в области сильного беспорядка. В частности, более медленная, по сравнению с экспоненциальной, зависимость спиновой поляризации от времени в режиме слабой локализации может являться «предвестником» незатухающего хвоста спиновой поляризации.
В первой главе будет рассмотрена спиновая релаксация в двумерной системе в режиме слабой локализации. Сначала будет представлена интерпретация эффекта слабой локализации в терминах малой поправки к борновскому сечению рассеяния. Также будет получено решение кинетического уравнения для произвольного вида спинового расщепления с учетом интерференционной поправки и показано, что иа больших временах спиновая поляризация затухает как І/і.
Стандартный подход к расчету корреляционных функций в режиме слабой локализации основан на использовании формулы Кубо [20, 21]. Альтернативный подход [26, 27, 28] заключается в обобщении кинетического уравнения таким образом, чтобы оно учитывало слабую локализацию. Такой подход может оказаться более продуктивным при изучении нелинейных и сильно неравновесных явлений. Для количественного описания эффекта слабой локализации в рамках кинетического подхода необходимо модифицировать кинетическое уравнение, введя в него нелокальную по времени поправку к интегралу столкновений.
Основной вклад в интеграл столкновений, описывающий упругие рассеяния, может быть получен в приближении независимых рассеяний на примесях: где / - функция распределения, щ - концентрация примесей, а (в) - дифференциальное сечение рассеяния, а в - угол скорости. Для нахождения п{в) в бор-новском приближении необходимо решить задачу о рассеянии плоской волны на уединенной принеси, при этом а (в) будет пропорционально квадрату амплитуды рассеянной волны.
В рамках данного подхода слабую локализацию можно описывать в терминах поправки к интегралу столкновений. Такая поправка, обусловлена, сложными процессами рассеяния на комплексе из нескольких примесей [28]. Иптсрфсренциоппая поправка к а(0) обусловлена интерференцией волн, обошедших одни и те же примеси в противоположном порядке (рис.1.2). На рис.1.2а показан процесс, в ходе которого обе волны, обошедшие примеси в противоположных направлениях, рассеиваются на примеси 1 по одному разу, а во второй раз проходят вблизи примеси 1 без рассеяния. На рис.1.2Ь показан процесс в ходе которого одна волна, дважды рассеивается па примеси 1, а вторая дважды проходит вблизи примеси 1 без рассеяния. При этом фазы волн, показанных на рис.1.2а, совпадают, в го время как фазы волн, показанных на рис.1.2Ь, отличаются на тг, что связано с тем, что одна волна испытывает па два рассеяния больше, чем другая.
Амплитуда волны в конечной точке / складывается из суммы двух волн, обошедших примеси в противоположном порядке: Первые два слагаемых в (1.8) описывают последовательные рассеяния на нескольких примесях в борновском приближения. Такие процессы уже учтены в рамках классического кинетического уравнения. Последнее слагаемое описывает интерференцию двух волн и отвечает за эффект слабой локализации. В случае произвольного расположения точки / разность фаз двух волн будет сильно осциллировать при смещении точки /, причем изменение разности фаз будет пропорционально отклонению точки / от начального положения. В этом случае, вклад интерференционного слагаемого сокращается за счет быстрых осцилляции. Для того чтобы этого ые происходило; необходимо, чтобы выполнялось условие стационарности фазы, то есть, чтобы изменение разности (раз было пропорционально квадрату отклонения точки /. На рис.1.2 положения точки / выбраны именно таким образом, чтобы данное условие выполнялось.
Рассмотрим небольшое отклонение конечной точки / от направления, отвечающего условию стационарности фаз (см. рис. 1.3). Так как характерное расстояния между примесями по порядку величины равно длине свободного пробега I, то при отклонении конечной точки на угол в, разность фаз меняется на величину порядка Аф в2Ы. Неисчезающдй при усреднении по быстрым осциллнциям вклад в дифференциальное сечение рассеяния дают траектории, для которых Аф тг. Таким образом, направление рассеянной волны может меняться в пределах АО yXfl. Как легко показать, направление падающей волны может изменяться в том же диапазоне. В результате, интерференционная поправка к транспортному се іению рассеяния оказывается пропорциональна Х/1.
На рис.1.4 приведено дифференциальное сечение рассеяния с учетом интерференционной поправки (рис.1.2). Оно имеет узкий пик шириной y/\Jl при 9 — тг, обусловленный рассеянием назад (рис.1.2а). Общее проседание графика по сравнению с пунктирной линией, отвечающей борновскому приближению, обусловлено процессом рассеяния на произвольный угол (рис.1.2Ь). При этом площадь под графиком для обоих линий совпадает. Это означает, что интерференционная поправка не меняет полного сечения рассеяния.
Неаналитическая зависимость степени спиновой поляризации от внешнего магнитного поля
В первой главе мы рассмотрели влияние слабой, локализации иа релаксацию спина двумерного электронного газа. Наши вычисления были основаны на интерпретации эффекта слабой локализации как двух дополнительных процессов рассеяния: когерентного рассеяния назад (рис.1.2а.) и когерентного рассеяния на. произвольный угол (рис.1.2Ь). В рамках данной интерпретации существование долгоживу-іцего хвоста спиновой поляризации можно объяснить следующим образом. Оба. приведенные процесса рассеяния могут занимать время, значительно превышающее классическое время спиновой релаксации т$. Если бы в ходе таких процессов рассеяния поведение спина соответствовало классическому вращению, то по завершению процесса рассеяния спин был бы экспоненциально подавлен как ехр(-/тд), где t - время, которое занимает рассеяния. Однако, оказывается, что поведение спина электрона в процессе рассеяния не является классическим, так как электронные волны обходят траекторию в противоположных направлениях (при этом поворот спина для двух волн отличается знаком). В результате, хотя направление слина после рассеяния s меняется случайным образом в зависимости от конфигурации примесей, в среднем при больших временах рассеяния спин рассеянного электрона s равен половине начального спина (s } = s/2 (действительно, из уравнений (1.65) и (1.66) видно, что VKjfc(0,t) 5ц, и что при наличии спинового расщепления ядро W;i-(0, і) оказывается в два раза больше, чем в его отсутствие). В результате такого неклассического поведения электроны сохраняют память о начальной спиновой поляризации на временах, много больших времени спиновой релаксации I т3. Степенной закон І/і возникает за счет наличия линейной связи между вероятностью когерентного рассеяния и вероятностью диффузионного возврата.
Нами было показано, что при изучении влияния слабой локализации на спиновую релаксацию необходимо учитывать процесс когерентного рассеяния на произвольный угол (см. рис. 1.2Ь). Исключив этот процесс из рассмотрения, мы получили бы 6 Js; ф 0, что привело бы к физически бессмысленному результату, а именно - к возможности нарастания спиновой поляризации. Таким образом, правильный учет влияния слабой локализации на спиновую релаксацию, а также на диффузию спина возможен только с учетом процессов рассеяния на произвольный угол. Обычно при вычислении интерференционной поправки к проводимости такие процессы не рассматриваются. Это связано с особенностями используемого метода вычислений. Как правило, квантовые поправки к проводимости вычисляются с помощью формулы Кубо. В этом подходе основной упор делается на вычисление коррелятора скор ость-скор ость, который зависит только от анизотропной части функции распределения /а. При изучении спиновой релаксации, напротив, необходимо знать изотропную часть функции распределения, что делает необходимым учет дополнительного процесса рассеяния.
С учетом двух рассмотренных процессов когерентного рассеяния интерференционная поправка не меняет полного сечения рассеяния. Воспользовавшись уравнениями (1.60),(1.61), (1.64) и (1.65), мы находим поправку к интегралу столкновений: "Уравнение (1.101) подразумевает, что влияние эффектов локализации на угловую диффузию спина, так же как и на. диффузию частиц, можно учесть как зависящую от частоты поправку к транспортному времени. Однако, квантовая поправка к транспортному времени имеет1 разный знак для случая диффузии частиц и для случая угловой диффузии спина: Таким образом, слабая локализация нарушает связь между проводимостью и скоростью спиновой релаксации 7&. Точнее, I/TS оказывается пропорционально не Ttr, a rt r и, соответственно, коэффициенту диффузии спина.
В заключение, обсудим возможность экспериментального наблюдения предсказанного явления. Наиболее эффективным способом накалки спина является оптическое возбуждения межзонных переходов циркулярно-поляризовапным светом [33.. Для наблюдение режима, слабой локализации необходимо, чтобы выполнялось условие Tph Tg. В оптических экспериментах сбой фазы происходит как за. счет неупругих процессов (электрон-фононного и электрон-электронного взаимодействия), так и за счет электронно-дырочной рекомбинации. Рекомбинация поляризованных по спину электронов оказывается подавленна в сильно-легированных квантовых ямах и-типа при низкой интенсивности накачки. В этом случае число поляризованных по спину электронов мало по сравнению с их полным числом. В результате, дырки с большой вероятностью рекомбинируют с неполяризован-ными по спину электронами и их стационарная концентрация будет мала, так что рекомбинацией поляризованных по спину электронов с дырками можно будет пренебречь. Характерное время нсупругого рассеяния и, как следствие, время сбоя фазы при низких температурах можно считать достаточно большими при условии, что накачка происходит близко к уровню Ферми. В этом случае излучение оптических фопонов запрещено и сбой фазы происходит в основном за счет электрон-электронных столкновений.
Анализ диффузионного уравнения в безразмерных параметрах
В этой главе мы рассмотрим ситуацию, когда спин вбрасывается в систему с постоянной скоростью, например, за счет возбуждения электронно-дырочных пар циркулярно-поляризованным светом. В ходе таких процессов угловой момент фотона передается электронно-дырочной паре, что приводит к возникновению спиновой поляризации как у электронов, так и у дырок [31. Так как скорость спиновой релаксации и валентной зоне гораздо вьште чем в зоне проводимости, можно считать, что дырки мгновенно теряют начальную спиновую поляризацию. Поэтому спиновая поляризация сохраняется только в электронной подсистеме. Межзонная рекомбинация поляризованных по спину электронов и иеполяризованных дырок приводит к поляризации фотолюминисцет-щии. При этом степень поляризации определяются динамикой спица исключительно в зоне проводимости. Внешнее магнитное поле приводит к изменению стационарной спиновой поляризации и, соответственно, поляризации излучаемого света. Это явление называется эффектом Ханле. Величина изменения стационарной спиновой поляризации зависит от отношения частоты прецессии спина в магнитном иоле к скорости спиновой релаксации - fin s (здесь fi0 = дц В/Н - частота прецессии спина во внешнем магнитном поле, }1Q — eh/2rriQC - магнетон Бора, тщ - масса свободного электрона, д - -фактор, 1/тд - характерная скорость спиновой релаксации).
Рассмотрим простейший случай, когда скорость спиновой релаксации одинакова для двух компонент спина, перпендикулярных внешнему магнитному полю (будем считать, что оно направленно по оси z). Пусть в начальный момент времени спин электрона направлен по оси х. Тогда со временем спин будет меняться по экспоненциальному закону:
В случае стационарной накачки в зоне проводимости будут присутствовать неравновесные электроны, заброшенные туда в различные предшествующие моменты времени. Спин каждого электрона определяется временем , прошедшим с момента, когда этот электрон был заброшен в зону проводимости. Полный спин неравновесных электронов пропорционален интегралу (2.2) по всем временам с заменой n па Idt (здесь I - интенсивность накачки, Idt - спин, забрасываемый в систему в интервал времени dl). В результате, находим выражение для стационарной спиновой поляризации: Как видно из (2.3), внешнее поле приводит, во-первых, к отклонению стационарной спиновой поляризации на угол порядка OQTS, во-вторых, к уменьшению степени поляризации в исходном направлении (см. рис.2.1). Как мы видим, в области слабых магнитных полей отклонение стационарной спиновой поляризации от начального направления пропорционально времени сни- Формула (2.4) получена в предположении, что релаксация спина описывается экспоненциальным законом. Как было показано выше, на больших временах спиновая релаксация замедляется за счет эффекта слабой локализации, причем закон спада становится ыеэкшоненциагсьным. Мы увидим, что такое замедление приводит к аномалии в эффекте Ханле. Рассмотрим сначала простой модельный случай, когда зависимость спиновая поляризация от времени может быть представлена в виде суммы быстро релакси-рующей основной компоненты Si и медленно релаксирующей добавки А 2, причем оба вклада релаксируїот экспоненциально. Начальные значения спиновой поляризации и времена релаксации связаны соотношениями б го $іо и r$2 TSI соответственно. Тогда отклонение стационарной спиновой поляризации в слабых магнитных полях может быть записано как: Как мы видим, вклад медленно затухающей добавки S2 (второе слагаемое в круглых скобках) может быть не мал за счет большого отношения TS /TSI- Такая добавка может быть обусловлена, например, захватом на локализованные состояния с временем жизни, превышающим время релаксации свободных электронов. Аналогичная ситуация реализуется в режиме слабой локализации. В этом случае в зависимости спиновой поляризации от t также можно выделить быстро затухающий экспоненциальный участок ехр(-і/т ) и медленно спадающую добавку (l/kl)(rs/t). В отличие от приведенного выше примера спад на больших временах происходит не экспоненциально, а по более медленному закону Ijt. что приводит к качественно отличным результатам. В данной главе мы покажем, что в системах, где эффективное магнитное ноле, обусловленное спиновым расщеплением, направленно вдоль фиксированной оси1, эффект слабой локализации приводит к радикальному изменению в зависимости стационарной спиновой поляризации S от внешнего магнитного поля В, а именно, к неаналитической зависимости S от В. При этом вектор S меняется скачком в точке В — 0. Таким образом, при малых значениях В поворот стационарной спиновой поляризации во внешнем магнитном поле полностью определяется интерференционными эффектами.
