Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса и постановка задачи 9
1.1. Термоакустическая диагностика различных материалов, включая полупроводниковые структуры 9
1.1.1. Типы источников термоупругих возмущений 9
1.1.2. Типы возбуждаемых акустических волн 13
1.1.3. Нелинейные акустические исследования 15
1.2. Акустоэмиссионные методы контроля дефектной структуры 17
2. Тепловое действие импульсного тока на структуры металлизации .. 22
2.1. Анализ температурных полей структур металлизации при импульсном токовом воздействии 22
2.1.1. Случай точечного источника нагрева 23
2.1.2. Случай прямоугольной дорожки бесконечной длины 27
2.2. Методика проведения эксперимента 30
2.3. Динамика температуры импульсно нагреваемой дорожки металлизации 33
3. Возбуждение звукового излучения тонкой пластины термоударами 39
3.1. Анализ возбуждения изгибных колебаний пластины точечным источником импульсного нагрева 39
3.2. Экспериментальные результаты и их обсуждение 45
3.2.1. Результаты регистрации изгибных колебаний в полупроводниковой пластине 47
3.2.2. Вероятность пластической деформации пластины при термоударе 57
4. Акустическая эмиссия (АЭ) при образовании и скольжении дислокаций 61
4.1. Анализ спектральной плотности АЭ при зарождении и скольжении краевой дислокации в изотропной среде 62
4.1.1. Приближение волновой зоны 65
4.1.2. Приближение малых частот и больших расстояний 74
4.1.3. Приближение для малых расстояний от системы дислокаций 78
4.2. Методика проведения эксперимента 83
5. Ультразвуковые исследования ангармонизма упругих свойств монокристаллов кремния 92
5.1. Анализ вклада носителей заряда в модули упругости кремния п- ир типов проводимости 93
5.1.1. Влияние перераспределения электронов по долинам на ангармонизм упругих свойств кристалла 93
5.1.2. Влияние перераспределения дырок в валентной зоне на ангармонизм упругих свойств кристалла 96
5.2. Методика измерения модуля упругости 4-го порядка 100
5.3.1. Концентрационный ангармонизм 104
5.3.2. Дислокационный ангармонизм 107
Основные результаты и выводы 111
Приложение
- Типы источников термоупругих возмущений
- Динамика температуры импульсно нагреваемой дорожки металлизации
- Результаты регистрации изгибных колебаний в полупроводниковой пластине
- Приближение для малых расстояний от системы дислокаций
Введение к работе
Одной из основных проблем современной микроэлектроники является обеспечение устойчивой работы полупроводниковых приборов. Отказы электронного оборудования преимущественно связаны с эксплуатационным изменением физико-химических свойств материалов под воздействием внешних факторов [1-3], таких как образование микродефектов в полупроводниковой матрице, электромиграционная деградация слоев металлизации и т. д. При высоких уровнях интеграции особенно остро встает деградационная проблема, связанная с термическим разрушения металлизации [1, 2]. Этому способствует приближение локальных плотностей тока к критическим значениям 10й А/м2 [4, 5].
Связанные с токовым нагревом высокие перепады температур приводят, за счет термоупругого эффекта, к возбуждению в материале микросхемы звукового излучения. Распространение акустических волн, эффективно взаимодействующих с упругой средой, оказывает влияние на прочность соединения элементов конструкции прибора, и, следовательно, его долговечность [6]. В то же время, звуковая волна несет подробную информацию о происходящих в источнике ее возбуждения процессах, на чем основаны методы термоакустической диагностики состояния полупроводников и полупроводниковых структур [7-9].
Из вышесказанного вытекает необходимость детального исследования акустических явлений в слоях металлизации, что позволит подобрать оптимальные для работы приборов режимы токовой нагрузки.
Другой наиболее распространенной причиной отказов интегральных схем является генерация дефектов в области высоких термических напряжений, способствующих накоплению усталости материала при частых включениях-выключениях полупроводникового прибора [3, 10]. Такое образование и разрастание дислокационной структуры характеризуется специфическим излучением звука - акустической эмиссией [11], регистрация и анализ которого дают информацию о скорости и масштабах деградации в полупроводниковой матрице.
Несмотря на повышенный интерес к исследованиям акустической эмиссии и возбуждения термоупругих волн, имеющаяся на сегодняшний день информация отражает не все аспекты данной проблемы. Так, например, имеются трудности с созданием аналитических моделей, описывающих термоакустические явления и позволяющих производить расчет критических режимов функционирования слоев металлизации. Это позволило бы производить неразрушающий контроль сформированных в полупроводниковой пластине микроэлектронных приборов с помощью регистрации звукового излучения.
Поэтому основной целью настоящей работы явилось теоретическое и экспериментальное изучение связанных с тепловыми процессами звуковых волн в кремниевых структурах.
Типы источников термоупругих возмущений
В последние годы в микроэлектронике отчетливо прослеживается растущий интерес к акустическим неразрушающим методам диагностики полупроводниковых структур, к которым относятся в основном термоакустические и акустоэмиссионные методы, основанные на изучении вызванного локальным кратковременным нагревом или динамикой дефектной структуры материала звукового излучения. Рассмотрим их подробнее. Методы термоакустической диагностики базируются на нагреве ограниченной области исследуемого образца с последующей регистрацией колебаний его поверхности или прилегающей к ней воздушной среды [12, 13]. Время термического воздействия зависит от толщины материала, уменьшаясь с толщиной пленок [13]. Эффект термоупругого возбуждения звукового излучения имеет универсальную природу и находит применение для измерения теплофизических параметров [13-15] или диагностики упругих напряжений [16-18] в металлах [15, 16], керамиках [13, 17] и полупроводниках [14, 18]. По типу источника нагрева различают фотоакустический [12], электронно-акустический [19] эффекты, а также термоупругий эффект при токовом нагреве поверхности металлической пленкой [20], причем первые два способа термического воздействия связаны с объемным прогревом среды. Авторы большинства из перечисленных публикаций [13-15, 17-20], предпочитают использовать гармонически модулированные по времени нагреватели. При таких условиях возбуждения звука тепловая волна за счет термоупругого эффекта преобразуется в акустическую волну с тем же значением частоты. Это позволяет при теоретическом анализе эффекта отсечь модулированную часть решения акустической задачи с помощью гармонических подстановок или преобразования Фурье и рассматривать только амплитуды.
На этом принципе строится современная теория термоакустических процессов в однородных изотропных твердых телах, основная система динамических уравнений которой приведена в монографиях Лямшева Л.М. [12, 19] Здесь ФиТ- соответственно скалярный и векторный потенциалы вектора смещения твердого тела є = grad Ф + rot F; ct и Q - соответственно скорости распространения продольных и поперечных звуковых волн, у = с, / с і, ат - коэффициент линейного термического расширения среды, AT - разность температур твердого тела в нагретом (7) и нормальном (7о) состояниях; а, с , р -температуропроводность, удельная теплоемкость и плотность среды; Q - плотность мощности тепловых источников. Первое из уравнений системы (1.1) описывает продольную часть термоупругого смещения s. Второе уравнение (1.2) отражает баланс тепла. Причем первое слагаемое левой части есть обычный диффузионный член, а второе связано с изменением температуры тела при распространении продольной волны и носит название дилатационного слагаемого. Выражение (1.3) представляет собой волновое уравнение для поперечных волн. Трудность формулировки практически приложимых задач термоупругости состоит в том, что уравнения теорий упругости [21] и теплопроводности [22], как правило, полностью интегрируются только в случае сферической либо цилиндрической симметрии геометрии исследуемого образца с источником нагрева, что позволяет задавать симметричные граничные условия. Это требование легче всего реализуется в случае оптического либо радиационного типов нагревателя, когда используется лазерный или электронный луч круглого сечения. Подобные случаи изучены лучше всего [12-15, 17, 19]. Характерно, что в теоретических моделях амплитуда упругих полей звукового излучения, определяемых вектором колебательной скорости и тензором напряжений, всегда пропорциональна мощности лазерного излучения или энергии электронов. Экспериментально это подтверждено в работе [15], где приводятся результаты исследований зависимости амплитуд акустических импульсов продольных и сдвиговых волн от мощности и энергии лазерного излучения, а авторам [13, 18] удалось получить решения оптоакустиче-ских задач, с помощью которых экспериментально определялись температурные зависимости температуропроводности [13] и упругих постоянных материала [18]. В случае же использования в качестве источника термоупругих напряжений нагреваемого электрическим током металлического слоя имеются трудности с созданием нагревателя круглой формы, которая для реально используемых в технологии дорожек металлизации не актуальна. Поэтому рассмотрение сводится либо к одномерной задаче, либо используется стандартный метод построения решения для прямоугольного источника нагрева, описанный в монографии [23]. Суть метода заключается в разбиении металлической пленки на элементарные квадраты, при анализе замещаемые кругами.
Результирующее температурное поле получается как суперпозиция полей от всех элементарных источников. Сведение задачи о нагреве поверхности полупроводника металлической пленкой к одномерному случаю использовалось в работах Орлова A.M. с коллегами [24-26]. Здесь исследование термоакустических явлений осуществлялось поэтапно. Сначала было получено и проверено экспериментально выражение для температурного поля дорожки металлизации, нанесенной на кремниевую пластину [24] S ср\а где / - сила тока;, 7 - сопротивление дорожки металлизации при комнатной температуре, S - площадь поверхности теплоотвода, t - время. Здесь использовался смодулированный нагрев прямоугольными токовыми импульсами. В следующей их работе [25] изучались отклонения динамики нагрева от параболического закона (1.4) при экспериментальной регистрации пропорционального температуре потенциала U(t) на дорожке металлизации (рис. 1.1). Причем аномальное понижение температуры (кривая 2) связывалось авторами с контактным плавлением в двухфазной системе Al-Si, увеличивающим сечение проводящего ток слоя и, соответственно, снижающим его сопротивление, а резкое возрастание температуры при более высоких токовых нагрузках объяснялось оплавлением металлизации, сопротивление которой в жидком состоянии значительно возрастает. На основании полученных в [24-25] данных строились экспериментальные исследования возбуждаемых в пластине изгибных звуковых волн, опубликованные в [26]. Оказалось, что энергия акустических колебаний напрямую связана с интенсивностью токового воздействия (рис. 1.2). Также отмечено резкое увеличение звуковой энергии при критических с точки зрения необратимой деградации металлической пленки плотностях тока, приводящих к плавлению в описанной структуре.
Динамика температуры импульсно нагреваемой дорожки металлизации
Формула (2.19) является корректной только при равномерном распределении сопротивления и, следовательно, температуры по всей поверхности дорожки металлизации. Но, согласно полученному в параграфе 2.1.2. выражению (2.17), температура прямоугольной дорожки Т(у,т), помимо непостоянства во времени, изменяется также и вдоль ширины Ь, что описывается зависимостью от координаты у. Распределение Т по у будет детально изучено в следующей главе. Здесь же мы ограничимся только оценкой существенности разброса значений температуры между центром (у = 0) и краем (у = ± b /2) металлической пленки. С этой целью проведем параллельный анализ температурных режимов для обоих координаты у, переписав (2.17) следующим образом значений Для упрощения выкладок слагаемые, связанные с охлаждением, здесь опущены, то есть рассматривается интервал времени 0 т т о. Видно, что расчетные формулы для центра (2.20) и края (2.21) длинной дорожки представляют собой одинаковые функциональные зависимости, различающиеся только аргументами z\, ъ-i- аналогами числа Фурье F0 - xlyJAax решений задач теории теплопроводности [22, 62, 63]. Это говорит о единообразном изменении температуры на всех участках металлизации. При дальнейших вычислениях Т(у,т) требовалось учесть, что данная математическая модель строилась для постоянных значений величин сопротивления дорожки металлизации R, а также коэффициентов теплопроводности X и температуропроводности а = Х/(ср) полупроводниковой подложки.
Но так как эти параметры в исследуемом диапазоне 290 -т- 800 К имеют сильную температурную зависимость в выражениях (2.20) и (2.21) следовало использовать их усредненные соответствующим образом значения. В предшествующих работах Орлова A.M. и др. [24, 25], где изучались температурные режимы коротких участков дорожки металлизации (На рис. 2.4 эти участки ограничены ближайшими потенциальными контактами, например, 4 и 8.) усреднение всех параметров производилось по температуре. Это имело смысл, когда используемое ими для определения Г(т) выражение (2.18) было разрешимо относительно т. Поэтому вычислялось время достижения определенного уровня нагрева т(7), а температура участвовала в расчетах в качестве независимой переменной. Из формул же (2.20) и (2.21) невозможно аналитически выразить время, таким образом, усреднение R, а и X по температуре становится некорректным. Вследствие вышесказанного зависящие от температуры параметры приходилось усреднялись по времени, прошедшему с момента начала импульсного воздействия. Для этого исследуемый временной промежуток разбивался на малые интервалы Ат = 500 не, соответствующие подобранной в предыдущем параграфе дискретизации измерительного оборудования. И усредненная величина каждого параметра вычислялась как среднее арифметическое значений, принимаемых им на всех элементарных интервалах. Полностью алгоритм машинного расчета временной зависимости изменения температуры дорожки АГ(т) = Г(т) - 7о по методу последовательных приближений приведен в приложении I. Вычисления показали, что температура в центре дорожки всегда несколько выше, чем на краю (рис. 2.7). Этот результат качественно подтверждается тем, что оплавление металлизации при повышенных плотностях тока всегда начинается от центра. Расчетная же разность температур при докрити-ческих значениях тока не превышала 11 С. В таких условиях максимальный разброс R по ширине металлической пленки не превосходит 5%, что позволило пренебречь неоднородностью распределения сопротивления, и считать температуру всей дорожки равной температуре в ее центре. Расчеты возрастания температуры дорожки (2.20) при пропускании токового импульса демонстрируют хорошее согласование с пересчитанными по (2.19) экспериментальными осциллограммами включения (рис. 2.8). К сожалению, методика определения температурных режимов по временным зависимостям потенциала U(x) не позволяет измерять Т(т) после отключения токового воздействия. Но можно произвести качественную оценку скорости охлаждения металлизации, изучая динамику нагрева дорожки при повторном пропускании импульса через еще не остывшую структуру. Аналитическое решение для случая токового воздействия парными импульсами получается из (2.17) по аналогии с (2.11) путем добавления запаздывающих по времени слагаемых, соответствующих каждому акту включения или выключении тока Здесь тої, тог - длительности парных импульсов, тс - скважность.
Общий алгоритм вычислений по формуле (2.23) повторял приведенный в приложении I. Сопоставление теоретических зависимостей с результатами осцилло-графических измерений (рис. 2.9) показывает корректность разработанной математической модели, что обосновывает ее применение не только для построения температурных профилей в толще полупроводниковой пластины, но и для анализа возбуждаемого термоударом звукового излучения. Методы акустической диагностики изменения состояния полупроводниковых структур основаны на том, что любое внешнее воздействие приводит к возбуждению в твердом теле звукового излучения [29]. Локальные нестационарные источники тепла за счет термоупругого эффекта [21] также передают твердому телу информацию о частотном и фазовом режиме своей работы, которую можно расшифровать, анализируя распространяющиеся звуковые волны [12, 26, 31]. Тонкие пластины характеризуются возбуждением волн изгиба, по виду которых можно судить не только о мощности и форме импульсного теплового воздействия [26], но и о наличии неровностей на поверхности полупроводника [31]. Поэтому далее предлагается анализ изгибных колебаний, возбуждаемых нагревом токопроводящих дорожек, который представляет интерес в связи с возможностью термоакустического зондирования структур металлизации.
Результаты регистрации изгибных колебаний в полупроводниковой пластине
В результате совместных измерений динамики потенциала на дорожке металлизации Щт), пропорционального температуре тестовой структуры Г(т), и сигнала с пьезодатчика Us(x), пропорционального колебательной скорости поверхности пластины vz(R,x), получались массивы данных, из акустической части которых US(T) перед дальнейшей обработкой требовалось выделить неискаженную электромагнитными возмущениями информацию. Это делалось путем сравнения акустических откликов от токовых импульсов положительной и отрицательной полярности (кривые 2, 4 рис. 3.1), но с одинаковой амплитудой. Наибольшие расхождения наблюдались на участках графиков, которые следовали за моментами включения или выключения импульса, что видно при наложении на акустические кривые осциллограммы включения (1, рис. 3.1). Причем эти расхождения имеют противоположную полярность и быстро затухают во времени. Поэтому полезный сигнал (3, рис. 3.1) находился как среднее арифметическое акустооткликов US(T), возбуждаемых разнополярными импульсами. На усредненной кривой (3 рис. 3.1) отчетливо виден участок запаздывания начала акустического отклика относительно момента включения токового импульса. Путем измерений времени ожидания появления сигнала US(T) для тестовых структур, удаленных на различные расстояния от пьезодатчика, удалось определить скорость распространения изгибных колебаний в исследуемой кремниевой пластине (h = 350 мкм), которая оказалась равной 1.5 км/с. Найденное значение скорости должно соответствовать волновой гармонике максимальной из фиксируемых частот, поскольку скорость распространения гармонических изгибных волн характеризуется возрастающим законом дисперсии [29]. Для определения этой частоты следует рассмотреть спектральный состав звукового излучения. С этой целью массив данных акустического отклика US(T) (рис. 3.2.а) пересчитывался с использованием стандартного алгоритма быстрого преобразования Фурье по методу периодограмм Уэлча [65]. Полученный спектр (!${/) приведен на рис. 3.2.6. Видно, что зависимость и$ (/) убывает с частотой f, причем в интервале от 60 кГц до 10 МГц никаких всплесков амплитуды больше не обнаруживается. Отсюда следует (рис. 3.2.6), что гармоника с максимальной регистрируемой частотой и амплитудой, превышающей фоновые значения, не превосходит 30- 35 кГц. ченным выше соотношением (3.14).
Согласно предложенной математической модели амплитуда колебаний v"(R) убывает с частотой ю 7/4. Однако, как видно на рис. 3.2.6, монотонность убывания не наблюдается в области низких частот 0-г5 кГц. Это, очевидно, связано с физической невозможностью бесконечного возрастания амплитуды. Для оставшейся части частотного диапазона показатель убывания можно определить, перестроив рис. 3.2.6 в двойном логарифмическом масштабе и произведя линейную аппроксимацию по области высоких частот (рис. 3.3). Полученное значение - 1.7 ± 0.1 хорошо коррелирует с предсказанным теорией - 7/4. Помимо убывания амплитуды в экспериментальном спектре обращают на себя внимание всплески интенсивности при некоторых значениях частоты, нарушающие общую монотонность спада. Это явление связано с тем, что в области, ограниченной краями любой реальной пластины, создается акустический резонатор, отфильтровывающий волны определенных частот. Частотный состав получаемого таким образом гребенчатого спектра зависит от размера пластины, формы края и способа его закрепления [23]. Подробное изучение возбуждаемых термоударом мод изгибных колебаний для круглой пластины было проведено в [26]. Поэтому при построении представленной модели форма края колеблющейся плоскости не учитывалась, что значительно упростило задание граничных условий при формулировке уравнения движения. Однако остались не исследованными параметры затухания акустического сигнала (рис. 3.2.а). Звуковое излучение в нашем случае затухает не столько по причине цилиндричности волнового фронта (3.13), сколько в результате диссипации акустической энергии, не учтенной в математической модели. Поэтому нижеследующие рассмотрение произведено для дополнения теории. Очевидно, что наиболее надежная информация о диссипации звукового излучения может быть получена путем исследования затухания той части акустоотклика, которая регистрируется после отключения токового импульса, когда генерация колебаний уже завершилась. Если время регистрации затухающего акустического сигнала достаточно велико , то коэффициент затухания легко может быть определен по огибающей Us(т-то) всего волнового пакета (рис. 3.2.а). Значительно больший интерес представляют характеристики затухания каждой из отфильтрованных пластиной гармоник. ДО) Временной коэффициент затухания различных частотных полос волн изгиба в тонкой кремниевой пластине. руемого акустоотклика. Сущность этой процедуры заключалась в следующем. Над выбранным из массива экспериментальных данных «окном», состоящим из неизменного количества точек, производилось преобразование Фурье, и фиксировались амплитуды различных гармоник. Затем «окно» сдвигалось по времени на одну дискрету и вычисления повторялись.
В результате получались зависимости амплитуд исследуемых гармоник А(т) от времени, которые перестраивалась в полулогарифмическом масштабе (рис. 3.4). Далее путем линеаризации по ним определялись временные коэффициенты затухания Результаты этих вычислений приведены в таблице 3.1. Они хорошо согласуются с коэффициентом затухания всего волнового пакета Го = 1103 с-1, определенным по огибающей полного сигнала, приведенного на рис. 3.2.а. Рассмотрим теперь влияние температурной зависимости кинетических параметров теплопереноса в пластине А, и а на возбуждение звукового излучения. Допущение об их постоянстве привело ранее (3.14-3.15) к выводу, что акты включения и выключения постоянного тока, протекающего через дорожку металлизации, приводят к возбуждению идентичных колебаний. В случае зависящих от температуры А, и а это не очевидно, так как пропускание токового импульса начинается при комнатной температуре, а когда происходит отключение, тестовая структура уже заметно нагревается. Причем конечная температура зависит от длительности действия нагрева (рис. 2.7). Следовательно, возбуждение звука при включении и выключении импульса происходит в разных температурных условиях, отличие которые может повлиять на интенсивность термоудара. Для изучения этого вопроса выделим три стадии зарождения механических колебаний. Первая связана с тепловым ударом при включении импульса,
Приближение для малых расстояний от системы дислокаций
Как было показано выше, критерием малости расстояний является wR-R \1са « 1, а асимптотика спектральных компонент упругих полей в этом случае описывается выражениями (4.21), (4.22). а) случай однократного отрыва дислокации от точек закрепления. Фурье образ колебательной скорости элементов среды для элементарного акта пластической деформации кристалла определяется подстановкой функции плотности потока дислокаций (4.8), описывающей начало равномерного скольжения, в (4.21), что дает следующий результат 1(0 гральный косинус Сі аргумента ± —(х±іу). Так как дальнейшая работа с и указанными функциями затруднительна, вместо этого будем искать решение в виде степенного ряда. Для этого разложим все экспоненты (4.25) и (4.26) в ряд Маклорена и произведем почленное интегрирование. В результате, после перехода к цилиндрическим координатам x±iy = IR е±/ср, имеем Поскольку степенная функция с увеличением аргумента растет быстрее логарифмической, первым слагаемым в квадратных скобках пренебрегаем, а из оставшихся выберем наибольшее. Для этого рассмотрим функцию Ч к-к\ где q велико. При малых к она растет с ростом к, а при /:— со стремится к нулю. Используя для больших к формулу Стирлинга, можно показать, что мак симального значения эта функция достигает при к q. Это значение равно 4btqV1
Тогда, оставив в обеих суммах (4.27) только одно максимальное слагаемое, в результате элементарных преобразований получим асимптотическое приближение для колебательной скорости среды на малых расстояниях от системы дислокаций Тензор напряжений также находим асимптотически. При этом полагаем скорость движения дислокации после отрыва от точек закрепления значительно меньшей скорости звука в исследуемой среде (и « са), и потому, не смотря на условие co\R - R \/са « 1, полагаем, что coR/z/ » 1. Поэтому пренебрегаем в производимых преобразованиях всеми постоянными слагаемыми, которые суммируются с членами вида COR/M . Таким образом, после подстановки (4.8) в (4.22), почленного интегрирования суммы степенного ряда и отыскания максимального слагаемого определяем ненулевые компоненты тензора nfk при малых скоростях скольжения дислокаций Вид степенной зависимости упругих полей (4.28)-(4.29) от частоты со таков, что нахождение свертки afk vf, определяющей Фурье-образ плотно сти потока звуковой энергии (4.10), возможно только для третьей производной этой функции по времени так как для младших производных и самой функции при вычислении сверток получается неопределенность типа оо - оо. Третья же производная (4.30) с учетом (4.28)-(4.28) имеет вид Последующее деление (4.31) на (/со)3 в пространстве Фурье-образов равносильно трехкратному интегрированию оригинала по времени [58], что в результате даст искомые спектральные компоненты плотности акустического потока.
Подстановка их в (4.12), как и во всех предыдущих случаях, приведет к окончательному решению задачи о нахождении спектра дифференциальной интенсивности звукового излучения в элементарный угол dq Сопоставление (4.32) с полученным в приближении волновой зоны спектром (4.13) показывает, что на малых расстояниях от системы дислокаций должно происходить интенсивное затухание сигнала АЭ, обратно пропорциональное R3. В волновой зоне мы имеем дело с уже установившейся амплитудой акустического отклика. Кроме того, в рассматриваемом приближении спектральная плотность энергии излучения имеет монотонно спадающий с частотой характер 1 /со4
