Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановка задачи и вывод системы уравнений 23
1.1. Постановка задачи 23
1.2. Система уравнений 25
1.3. Краткие выводы 34
Глава II. Тепературно-полевые пеэдодические автоколебания 35
2.1. Адиабатическое приближение 35
2.2. Условия возникновения температурно-полевых автоколебаний 36
2.3. Краткие выводы 43
Глава Ш. Температурно-концштрационно-полевые периодические автоколебания 45
3.1. Предварительные замечания 45
3.2. Условия возникновения автоколебаний 46
3.3. Краткие выводы 51
Глава ІV. Эффект 52
4.1. Предварительные замечания 52
4.2. Условия возникновения триггерного эффекта. 52
4.3. Устойчивость стационарных решений 55
4.4. Краткие выводы 58
Глава V. Стохастические автоколебания в полупроводниках с мелкими донорами в условиях примесного пробоя ... 60
5.1. Предварительные замечания 60
5.2. Условия возникновения стохастических авто колебаний 61
5.3. Краткие выводы 68
Сводка основных результатов диссертации 70
Приложения 73
Литература 84
- Система уравнений
- Условия возникновения температурно-полевых автоколебаний
- Условия возникновения автоколебаний
- Устойчивость стационарных решений
Введение к работе
Актуальность проблемы
Последние два десятка лет многие исследователи проявляют пристальный интерес к изучению различных механизмов высокочастотных неустойчивостей в полупроводниках /І-І7/. Это обусловлено, с одной стороны, возможностью практического использования указанных явлений в полупроводниках и, с другой стороны, этот интерес стимулирован дальнейшим прогрессом нелинейной теории динамических систем. В чем заключается этот прогресс?
Рассмотрим динамическую систему вида:
5Т" = &1 (Х^^-ЛО, (В.І)
—є» где X - УЬ -мерный вектор фазового пространства размерности П , в котором определена нелинейная дифференцируемая функция . Основы математического аппарата теории нелинейных систем вида (В.І) в значительной степени развиты (хотя и для других целей) в знаменитых работах Пуанкаре,и Ляпунова. На связь этого аппарата с задачами теории нелинейных колебаний впервые указал А.А.Андронов /19,20/ - ученик Л.И.Мандельштама, чья школа приблизительно в 1930 г. во многом определила дальнейшее развитие теории нелинейных колебаний в научном мире. Основы теперь уже классической теории нелинейных колебаний (теории динамических систем с одно- и двумерным фазовым пространством) логически полно изложены в монографии /21/. В последние двадцать лет теория динамических систем сделала шаг вперед как по проблематике работ /22-26/, так и по уровню развития своих математических методов /27-31/. Кроме систем с разрывными колебаниями /21,32-34/
4 новые направления теории включают в себя проблемы автоколебаний распределенных систем (в частности, описание гидродинамической турбулентности), стохастическую динамику простых систем с размерностью фазового пространства П >2 (странные аттракторы, если стохастичность в системе собственная, т.е. не связанная с воздействием шумов) /17,18,35-53,56,58,70-72/, а также прямо противоположную задачу - задачу о самоорганизации в очень сложных системах, как в отсутствие, так и при наличии флуктуации (синэргетика) /74-79/.
Коль скоро в дальнейшем нас будут интересовать в частности стохастические автоколебания, остановимся на этом подробнее.Рассмотрим стохастические автоколебания в динамической системе (B.I) на примере странного аттрактора и гомоклинической структуры. Под стохастическими автоколебаниями будем понимать установившиеся случайные процессы в неконсервативных динамических системах, поддерживаемые за счет регулярных источников энергии.Аналогично тому, как предельный цикл в фазовом пространстве динамической системы есть образ периодических автоколебаний, странный аттрактор и притягивающая гомоклиническая структура (см.ниже) могут служить математическим образом стохастических автоколебаний.
Остановимся сначала на странном аттракторе (этот термин ввели йоэль и Такенс /46/). Долгое время считалось, что никаких других аттракторов (притягивающих множеств) кроме состояний равновесия и предельных циклов не существует. Это, однако, верно лишь для фазового пространства размерности не более двух. Качественно же новые объекты, такие как странные аттракторы, появляются только
- 5 в фазовых пространствах размерности И Ь3 . Следуя работе /58/ стохастическим аттрактором (странный аттрактор есть частный случай) будем называть инвариантное замкнутое множество "W" в фазовом пространстве со следующими свойствами:
1) существует окрестность V,"Wc V , состоящая из таких
X. , что X (-L) -* XV при "t -* 0<=> ;
2) любое начальное распределение R> , сосредоточенное на
V , при -Ь -* > сходится к инвариантному распределению Р
на W , не зависящему от 1 ;
3) распределение вероятностей Р - перемешивающее (т.е.
аВТОКОрреЛЯЦИОННЫе фуНКЦИИ СТреМЯТСЯ К НуЛЮ При "С-^Схэ , см.
ниже (В.5) ).
Первое свойство отражает свойство притяжения к аттрактору всех фазовых траекторий, попавших в некоторую его окрестность. Второе свойство можно представить себе следующим образом.Пусть Р0 есть распределение вероятностей, с которым выбираются начальные данные. Другими словами, вводя 1 , мы допускаем наличие случайного механизма, действующего в начальный момент времени. Инвариантность распределения р означает, что для любой фазовой функции интеграл ^ ^(^t)c/РбК) не зависит от - . Третье свойство исключает существование предельных циклов.
Наиболее популярным сейчас примером установившихся хаотических автоколебаний служит аттрактор Э.Лоренца /48/:
У=Х-У-ХЕ (в.2)
Ъ — ЬЪ+Vi
Система (В.2) приближенно описывает конвективные движения в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости /49/. К системе (В.2) приводится ряд интересных задач. Например, Хакен и Грэхем показали, что уравнения одномодовой генерации твердотельного лазера сводятся к (В.2) /50,51/. В работе /52/ показано, что система (В.2) описывает нелинейный осциллятор, частота которого инерционным образом зависит от энергии колебаний. Как показывает численное интегрирование, при значениях параметров
>=2/з , t «28, G.^T^&^O в системе (В.2) имеется единственное устойчивое предельное множество - странный аттрактор Лоренца. Можно построить фазовое пространство системы Лоренца. Однако, для понимания структурных особенностей аттрактора проще воспользоваться отображением Пуанкаре (отображением последова-ния) /55,21,28/. Это значит, что вместо исследования поведения самих траекторий в фазовом пространстве, мы будем исследовать задаваемое ими отображение точек некоторой секущей поверхности
2 в себя. При этом каждой точке ставится в соответствие последующая, в которой данная траектория вновь пересекает 2* Понятно, что если удается построить отображение лк«-'/пк-*| ( 4fc-f vi пк - координаты предыдущей и последующей точек отображения), то о системе дифференциальных уравнений можно забыть. Дивергенция потока системы (В.2) отрицательна
(w + *Ш+*%г~-0+^+&)<0 ] > поэтому фазовый объем системы сжимается до нуля. Следовательно притягивающее множество -аттрактор - имеет меру нуль. В этом легко убедиться и наглядно. Хенон /53/ предложил отображение плоскости в себя в виде
Hri-yi+i-axl ; yLi1 ~ё>уг (в.з)
- 7 которое (при CL »1,4; о =0,3) сохраняет основные свойства аттрактора Лоренца; системы типа (В.З) часто встречаются в проблемах, связанных с биологией и экологией.
дискретность времени в таких задачах связана с сезонностью или сменой поколений /54/.
Странный аттрактор системы (В.З) имеет вид, показанный на рис.1,2 и 3 /53/. В пределах аттрактора координаты всех предыдущих и последующих точек отображения "гуляют" совершенно хаотически не достигая никакого видимого асимптотического режима. Как видно из рисунков, каждая "линия" при последовательном увеличении расщепляется на множество других линий. Это - множество типа хорошо известного в математике канторова множества. Последнее нигде не плотно, но его нельзя представить в виде набора изолированных точек - оно имеет мощность континуума. Его можно представить себе как иерархию структур типа, изображенных на рис.4. Будем вырезать кружочки так, как показано на рисунке. Тогда бесконечное множество таких кружочков будет представлять собой пример канторова множества.
Нерегулярность блуждания фазовых траекторий внутри аттрактора объясняется неустойчивостью всех или почти всех этих траекторий /35/: точки на секущей поверхности Ж* , близкие друг к другу в начальный момент времени, расходятся в дальнейшем сколь угодно (в пределах аттрактора).
В настоящее время еще не найдены явные и общие аналитические критерии, гарантирующие существование странного аттрактора в динамической системе (B.I) (практически в каждом конкретном случае приходится выполнять численное интегрирование). Поэтому одной из наших целей будет нахождение аналитических условий,
;:>- 8 -
-0.5
0.5
\.Ъ
45 -f.0
Рис. "I. 10 последовательных
точек отображения (В-З) L53].
0.55 0.60 0.65 0Л0
Pwc. 2. Увеличение кЬабратика на Рис. {. Ь /о раъ. [ъъ\
0.625 0.630 0.6Ъ5 0.640
Рис. 3. У&еличение кваЭратика
HQ Рис. 2: Ь Ю роз» [53].
- II -
Рис. k. к! npeB с плавлению о «анторо&ом нножест&е.
- 12 -при которых в системе следует ожидать возникновения стохастических автоколебаний. В этой связи мы приходим к понятию гомо клинической структуры (гомоклинические или двоякоасимптотичее-кие решения впервые рассмотрел А.Пуанкаре в связи с проблемами небесной механики /55/).
Давно было замечено, что эти структуры играют важную роль для возникновения хаоса /28,31/. Гомоклиническая структура представляет собой сложное образование, не встречающееся у двумерных динамических систем. Однако, для многомерных систем ее существование столь же естественно, как и существование состояний равновесия или предельных циклов.
Следуя работе /56/, под гомоклинической структурой будем понимать окрестность гомоклинической траектории. Вопрос о том, как определяется указанная окрестность, будет рассмотрен ниже. Гомоклиническая траектория возникает в результате пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий (сепаратрис) седловых циклов или состояний равновесия. При этом гомоклиническая траектория двоякоасимптотическая к седловому циклу или седловому состоянию равновесия, т.е. при -* - она стремится к одному из указанных простейших движений.
Заметим, что гомоклиническая траектория (в отличие от гомоклинической структуры) встречается уже в двумерных динамических системах /56/ (рис.5). Она представляет собой петлю - выходящая из седла сепаратриса возвращается в него же. Действительно, такая гомоклиническая (дврякоасимптотическая) траектория стремится при С~*'-сж> к единственному седловому состоянию равновесия.Однако, такая траектория исчезает при малом возмущении параметров системы (т.е. она не груба /21/). Наоборот, гомоклиническая
Рис. 5 R объяснению
гомонлинической траектории
Рис. 6. Пример іра<ра . 6
символической динамике
- 14 структура (ґіУ Z) может быть грубой /28,80/. Перейдем к описанию таких структур.
Пусть фазовое пространство более чем двумерно и имеется единственная особая точка типа седло-узел или седло-фокус. В этом случае реализуются устойчивые и неустойчивые сепаратрис-ные поверхности. Пересечение этих поверхностей образует гомо-клиническую траекторию. Рассмотрим поведение фазовых траекторий в окрестности гомоклинической траектории. Пусть поток фазовых траекторий попадает внутрь гомоклинической структуры (т.е. в окрестность гомоклинической траектории). Под потоком фазовых траекторий будем понимать траектории выходящие, например, из неустойчивой особой точки (таковою может быть, в частности, абсолютно неустойчивая бесконечность). Здесь возникает ряд вопросов: все ли входящие траектории останутся в гомоклинической структуре или, может быть, часть выйдет, или, наоборот, все покинут ее? Для ответа на эти вопросы удобно воспользоваться методом секущей поверхности. Допустим, что поверхность ^_ пересекает все фазовые траектории гомоклинической структуры. Тогда на этой поверхности имеется точечное отображение ' . Обозначим через Ь.2 и ib 2 устойчивую и неустойчивую сепаратрис-ные поверхности, соответственно, а через 5і и Ъх - кривые пересечения этих поверхностей с поверхностью ^-, .А.Пуанкаре /55/ показал, что кривые Ьй и 0>± пересекаются в бесконечной последовательности точек, называемых гомоклиническими. Нетрудно понять, что эти точки порождает гомоклиническая траектория при своем пересечении с секущей поверхностью. Рассмотрим достаточно малую окрестность гомоклинических точек, которую обозначим через . Тогда для такой окрестности имеют
15 место следующие утверждения /28/: I) существует множество be точек топологической меры нуль, которые как при преобразовании / , так и при преобразовании / (обратном) не выходят за пределы окрестности Є ; 2) существуют множества точек также топологической меры нуль, не покидающих окрестность либо только при преобразованиях / , либо толь-
~і
х А .... х . ; 3) все остальные точ-
ки рано или поздно покинут указанную окрестность (при этом необходимо проделать разное, но конечное число преобразований или / ).
Теперь можно уточнить определение гомоклинической структуры. Окрестность гомоклинической кривой, для которой имеют место утверждения D-3), называется гомоклинической структурой.
Совокупность описанных выше движений носит довольно сложный и тонкий характер. При этом гомоклиническая структура выступает как сложный разделитель потока фазовых траекторий: часть потока выходит из структуры, часть остается, чтобы затем опять разделиться.
Представим теперь, что выходящий из гомоклинической структуры поток фазовых траекторий затем опять вливается в поток траекторий, входящих в гомоклиническую структуру. В этом случае в динамической системе установятся стохастические автоколебания.
Следуя работе /80/, назовем гомоклиническую структуру притягивающей, если из некоторой ее окрестности фазовые траектории при возрастании времени не могут выходить и все близкие к ней фазовые траектории в нее входят. Из сказанного выше следует, что притягивающая гомоклиническая структура (наряду со странным
аттрактором) может служить математическим образом стохастических автоколебаний.
Отметим, что гомоклинические структуры имеют прямое отношение к странным аттракторам. Например, при изменении параметров в системе Лоренца (Б.2) гомоклиническая структура непосредственно предшествует возникновению странного аттрактора. Однако, ответа на вопрос: возможны ли странные аттракторы, представляющие собой притягивающие гомоклинические структуры, пока нет.
С появлением символической динамики удалось дать полное описание фазовых траекторий в окрестности гомоклинической структуры /27,28,31,57/ (Море, например, описал все движения биллиард-ного шара на плоскости Лобачевского).
Согласно методам символической динамики, каждой фазовой траектории ставится в соответствие траектория графа (рис.6), т.е. бесконечная в обе стороны последовательность нудей и единиц.Нуль означает, что траектория проходит вблизи периодического движения, а единица - делает оборот вблизи гомоклинической траектории. Простой гомоклинической траектории соответствует последовательность (...0001000...), другим гомоклиническим траекториям соответствует любая другая последовательность нулей и единиц с нулями по краям. Периодическим траекториям соответствует периодическая последовательность нулей и единиц. Заметим, что если представить себе последовательность нулей и единиц как дробную часть числа в двоичной системе, то рациональные числа будут соответствовать периодическим движениям, а иррациональные - стохастическим. При этом множество периодических движений (рациональных чисел) - счетное, а стохастических - континуум (оба множества - всюду плотные). Следовательно, для динамических систем
17 размерности /ъУ/ 3 стохастические движения - отнюдь не экзотика, а нечто внутренне данным системам присущее.
Отметим, наконец, некоторые^ татистические^войства стохастичес
ких движений наблюдаемых величин /58/. Имеются общие теоремы,
согласно которым в ограниченном фазовом пространстве имеется
хотя бы одно инвариантное (относительно динамической системы)
распределение вероятностей Jr . Напомним, что инвариантность
означает, что для любой фазовой функции J интеграл
j~ (yit) dР (xj не зависит от времени. Если выбрано инвариантное распределение, то можно проводить обычное усреднение по времени:
/
- &т jr/f(x^dt (в. 4)
Т-^оо
О стохастичности динамической системы можно судить по автокорреляционной функции:
. (-6)= г/ ГхД і Гх)> ф Ш(х) d> 00 (в.5)
Когда Ъ ()—* 0 при t -*- <= для любой функции j-
p/iP^ » т0 Г0В0РЯТ» чт0 в системе есть перемешива-
ние, которое свидетельствует о стохастичности динамической системы.
Цель работы.
Задача настоящей диссертации состояла в исследовании сильно неравновесных динамических процессов в полупроводниках с мелкими донорами в условиях примесного пробоя и, может быть, примесной подсветки образца. Для системы третьего порядка исследуются условия возбуждения периодических и стохастических автоко-
- 18 -лебаний, а также триггерный эффект (эффект переключения) электронной температуры, напряженности электрического поля и концентрации свободных электронов (фазовое пространство размерности П «З). В связи с этим необходимо:
Обосновать исследуемую модель.
Исследовать количество и устойчивость особых точек системы (включая бесконечность) в зависимости от вариации параметров задачи.
Найти условия на параметры задачи, при которых реализуется тот или иной динамический режим в системе (т.е. та или иная фазовая структура):
а) простой аттрактор (предельный цикл), соответствующий пе
риодическим автоколебаниям;
б) три состояния равновесия (из них два устойчивых и одно -
неустойчивое), соответствующие триггерному эффекту;
в) гомоклиническая структура, соответствующая возможным сто
хастическим автоколебаниям.
4. Убедиться в устойчивости нетривиальных решений.
5. Потребовать устойчивости однородного состояния образца.
Научная новизна.
В диссертационной работе для системы третьего порядка (трехмерное фазовое пространство) в явной форме найдены условия возникновения как периодических, так и стохастических автоколебаний электронной температуры, напряженности электрического поля и концентрации свободных носителей заряда.
Получены условия, при которых полупроводник работает как триггер. Выбор размерности (как и физических величин, описываемых фазовыми переменными) фазового пространства имеет принципи-
19
альное значение, т.к. отражает не только физику дела, но и вы
являет богатство динамических режимов в системе. В связи с
этим следует сделать два замечания. Во-первых, в ряде работ
/9,10,12,13/ в связи с задачей о микроволновом излучении в
полупроводниках показано, что в режиме ударной ионизации могут
возникать периодические автоколебания напряженности электричес
кого поля и концентрации свободных электронов. При этом для воз
никновения автоколебаний в П- (Т=77 К) требовалось элек
трическое поле напряженности Г^350 В/см, а в кремнии с
мелкими донорами (Т«27 К) - Ея45 В/см. При этом статическая
дифференциальная проводимость образца оказывалась положительной
и возникновение неустойчивости объяснялось наличием отрицатель
ной динамической дифференциальной проводимости образца на оп
ределенных частотах. Однако, при указанных выше полях, вообще
говоря, надо учитывать и разогрев носителей заряда. При этом
статическая дифференциальная проводимость может оказаться отри
цательной /2,59-61/ со всеми вытекающими отсюда последствиями.
Во-вторых, при исследовании периодических автоколебаний до сих пор ограничивались, в основном, системами второго порядка. Однако, в двумерном фазовом пространстве невозможен стохастический режим автоколебаний.
Практическая ценность.
Полученные в диссертации результаты можно использовать для проектирования радиофизических объектов с различными функциональными возможностями. Варьируя физические параметры системы (нагрузочное сопротивление, ЭДС батареи постоянного тока, интенсивность примесной подсветки и т.д.) можно менять ее динамические режимы. При этом система может работать как генератор перио-
20 дических или стохастических автоколебаний, или как триггер.
Апробация работы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на XI совещании по теории полупроводников (г.Ужгород, октябрь 1983 г.), на семинаре по теории полупроводников физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова и на семинаре кафедры физики полупроводников.
Публикации.
Основные результаты диссертационной работы представлены в публикациях /59-62/.
Содержание работы.
Система уравнений
Исследование динамических эффектов в полупроводниках проведем в рамках сравнительно простой модели: будем рассматривать однородный легированный полупроводник, находящийся при достаточно низких температурах (см.ниже) и включенный последовательно в цепь с сопротивлением нагрузки () и источником постоянной ЭДС (&г) (рис.7). Конденсатор (С) , включенный параллельно образцу, учитывает возможную собственную емкость образца. Будем считать, что полупроводник легирован мелкими донорами. Присутствием глубокой примеси будем пренебрегать (достаточно низкие температуры). Заметим, что настоящее исследование не ориентировано на конкретный полупроводник. Однако, в рамки нашего рассмотрения укладываются при достаточно низких температурах все образцы, в которых подвижность электронов увеличивается с ростом их энергии, а преобладающий механизм рассеяния энергии - любой, кроме рассеяния на акустических фононах через потенциал деформации. В 2.2 показано, что при последнем механизме рассеяния энергии в рассматриваемой модели возможно только устойчивое состояние равновесия. Будем учитывать также примесную подсветку образца. С ее помощью можно регулировать концентрацию электронов до пробоя в образце (в отсутствие подсветки доноры почти все заполнены - температура считается достаточно малой).
При этом интенсивность примесной подсветки будет выступать как один из варьируемых параметров системы. Например, меняя этот параметр, можно осуществить переключение системы из одного состояния равновесия в другое, когда ползшроводник работает как триггер /62/ (см. также гл.4).
Для однородного образца напишем систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение электронной температуры (рассматриваемой как мера средней энергии электронного газа), концентрации горячих электронов и напряженности электрического поля в образце.
1. Уравнение баланса энергии электронов имеет вид: Здесь (е, и і - температура горячих электронов и решетки, ТСТе) - время релаксации энергии, зависящее от механизма рассеяния, - - элементарный заряд, П. - концентрация свободных электронов, [U(%) - их подвижность, Є -напряженность электрического поля в образце.
2. Уравнение непрерывности для концентрации горячих электро нов напишем с учетом ударной, тепловой и фотонной ионизации мелких доноров и захвата на заряженные доноры. Согласно /63/ в пространственно однородной системе ЗЬ - п+ п (1.2.2)
Здесь tKfi - темп захвата электронов на ловушки, Qf\ - темп генерации электронов с доноров в зону проводимости: R.= A/4 -:f№e)-MJ (1.2.3) 2«= ад«/№/щ\ (1.2.4)
Через бЬп\Р(7е)п &иУСТе) обозначены, соответственно, коэффициент захвата электронов и коэффициент ударной иониза-ции примеси (далее достаточно будет знать, что )Р(Т ) 0 , Y (%) О ). Далее, Nd есть концентрация доноров, $ - неравновесная функция их заполнения NJ (1-2-5) Пі = С Л& еу г г Л (1-2-б) Qc и Q - степени вырождения пустого и заполненного до-норного уровня. Наконец, Д/jJ есть эффективное число состояний в зоне проводимости, а (У - энергия ионизации донора. Второе слагаемое в правой части (1.2.4) описывает фотоионизацию доноров, причем: = Є&отТ (1.2.7) где 6LOT - сечение фотоионизации, J. - интенсивность примесной подсветки (квантовый выход внутреннего фотоэффекта полагается равным единице).
Условия возникновения температурно-полевых автоколебаний
Для удобства перепишем систему (1.2.27) еще раз: Зададим сначала численное значение параметра р в уравнении (2.2.1а). В 1.1 указывалось, что при преобладающем механизме рассеяния энергии электронов на акустических фононах через потенциал деформации, в системе (2.2.1) возможно только устойчивое состояние равновесия. Покажем это.
1. Рассеяние энергии электронов на акустических фононах через потенциал деформации. Согласно /64/ мы имеем в этом случае р-:-1/2 л. Нетрудно построить кривые р()} и 2пСх) » определяемые равенствами Р 0 -) и fi) 0 и убеди - 37 -ться, что эти кривые пересекаются в единственной особой точке (Хс гЬ А (рис.9). Она будет неустойчивой, если (см. Приложение 2)
Пользуясь уравнением (2.2.1в), легко убедиться, что гГгС ь, о) 0 Ниже будет показано (см.Приложение 3), что г о, если р(Хо) 0 &) 5 если р & ) 0 (5) (2.2.3)
Из рис.9 и (2.2.36) видно, что г-у (Уо/ 0) О. Следовательно, неравенство (2.2.2) не выполняется, и состояние равновесия fVo, 0) при рассеянии энергии электронов на акустических фононах через потенциал деформации устойчиво.
2. Пусть преобладающий механизм рассеяния энергии электронов обусловлен их взаимодействием с акустическими пьезоэлектрическими фононами (Р 2 ) Такая ситуация имеет место, в частности, в Г)-ьаА% , h %Sh и h-3hfti при гелиевых температурах /65-67/.
Далее нас будет интересовать взаимное расположение кривых "гГьОО И РСХ) » изображенное на рис. 10 (условия на параметры выписаны ниже). Особая точка CYo,?0) на рис.10 выбрана на спадающем участке кривой р(У) не случайно. Из (2.2.2) и (2.2.3а) видно, что только такие особые точки могут быть неустойчивыми. Заметим, что условие неустойчивости состояния равновесия (2.2.3а) лишь необходимое, достаточным будет выполнение условия (2.2.2). Пусть кривая г?р(х) достигает своих экстремумов в точках У-Qf и = (рис. 10). Тогда для выполнения условия (2.2.3а) достаточно потребовать выполнения следующих неравенств: Т?Р са,) 2а Се,) (а) Л \ л (2.2.6) С учетом выражений (2.2.4) и (2.2.5) неравенства (2.2.6) приводятся к виду Х- Упростим неравенства (2.2.7). Согласно (1.2.28) и (1.2.29) мы имеем: - 40 d _ ejue Toj (2.2.8) Далее, согласно (1.2.33): где Кс( - сопротивление образца в условиях, когда все доноры ионизованы и
Дифференцируя функцию р( ) , легко показать, что & =, далее Q ttXi » где У - верхняя граница температур, при которых доминирует рассеяние импульса электронов на заряженной примеси (рис.8). Левое неравенство (2.2.7) можно заменить более жестким, положив X- X/f . По результатам экспериментов /65-67/ в Приложении 4 даны численные значения ХІ ДЛЯ некоторых материалов. G учетом сказанного и формул (2.2.8) и (2.2.9) неравенства (2.2.7) можно переписать в виде Для выполнения условия (2.2.2) достаточно потребовать, чтобы Яг + -н С2.2.П)
Однако, в дальнейшем удобно будет предполагать неравенство (2.2.II) сильным. Итак, условия (2.2.10) и (2.2.II) суть, с одной стороны, условия существования единственной и неустойчивой особой точки в системе; с другой стороны, эти неравенства ограничивают снизу и сверху, как ЭДС батареи, так и сопротивления нагрузки и образца. В свою очередь ограничения на сопротивление образца переносятся на концентрацию свободных электронов. Если неравенствам (2.2.10) и (2.2.II) удается удовлетворить, а пробой в образце не наступил, то величину концентрации электронов можно регулировать примесной подсветкой. Можно также варьировать подвижность, которая зависит от температуры решетки. Из соотношений (2.2.10) видно, что при увеличении /?н растет и нижняя граница для ЭДС батареи. При этом в пределе при Rn Ron (режим заданного тока) из формул (2.1.2) и (2.2.II) г следует, что должны иметь место неравенства Cdtn Л Г» t/w » Со (2-2Л2) где iM - S R.oSp/4 trL . Неравенства (2.2.12) определяют соотношения между скоростями релаксационных процессов в образце. С учетом (2.2.9) неравенства (2.2.10) при этом можно переписать в виде где J = &/RH S = COhib - плотность тока. Т.к. по определению Xj 2 » то, как видно из неравенств (2.2.13), выражение, стоящее в левой части неравенства больше выражения в правой части при любом стационарном значении кон """СОСР - 42 центрации электронов U . Это означает, что два неравенства (2.2.13) совместны и, следовательно, необходимые условия возникновения автоколебаний реализуемы. Заметим, что любое стационарное значение концентрации электронов можно легко найти из уравнения (2.2.16), полагая там Q(Xy Q-fJ O . Мы имеем: ІІ (2.2.14) H/Mx)J оІЩ+ррм
Итак, при Rcfip RH УСЛОВИЯ существования автоклебаний в адиабатическом приближении (2.I.I) и (2.1.2) даются неравенствами (2.2.10) и (2.2.II). В частности, при $ц»@ор (Режим заданного тока) указанные неравенства принимают вид (2.2.12) и (2.2.13).
Условия возникновения автоколебаний
Пусть проекция изображающей точки на плоскость (х7"2) соответствует точке I на рис.II. При этом, согласно (3.2.4а), Q(y U) 0 Следовательно, концентрация электронов в сис теме будет уменьшаться. В этом случае, как следует из (2.2.5), точка I будет перемещаться вверх по кривой Mfv на рис.ІІ. В точке /у устойчивая особая точка I исчезнет и прооекция изображающей точки перескочит в точку Р другое устойчивое состояние равновесия. Однако, согласно (3.2.46) на кривой FK мы имеем (Q 0 и концентрация электронов в системе будет увеличиваться. Как следует из (2.2.5), точка 3 будет перемещаться при этом вниз по кривой р 1 на рис.ІІ. В точке К1 устойчивая особая точка 3 исчезнет и проекция изображающей точки окажется в точке /Ч на кривой Далее все повторится вновь - в системе будут наблюдаться незатухающие автоколебания.
Легко показать, что необходимые для возникновения автоколебаний условия (3.2.4) выполняются, если (& ) # f№2), (3.2.5) где функция \ (х) определяется равенством Q (У- Кх))= О и дается формулой (2.2.14). Неравенства (3.2.5) ограничивают концентрацию свободных электронов снизу и сверху. Теперь необ ходимо позаботиться о том, чтобы при прохождении проекции, изо бражающей точки по контуру на рис.ІІ, концентра ция электронов, U , не выходила за пределы интервала, опи сываемого неравенствами (3.2.5). В противном случае нет гаран 49 тии того, что неравенства (3.2.4) будут выполняться и точки I или 3 не окажутся устойчивыми состояниями равновесия в пространстве (Y?zv?) . Концентрация электронов не выйдет за пределы интервала (3.2.5), если потребовать выполнения неравенств : (3.2.6)
Раскрывая эти неравенства с помощью (2.2.4), (2.2.5) и (2.2.8), получаем где fc-oSoPO " сопРотивление образца на постоянном токе. Далее, воспользовавшись теми же рассуждениями, что и при выводе неравенств (3.2.3), неравенства (3.2.7) можно упростить и привести к виду:
Итак, неравенства (3.2.3) суть условия существования фазовой структуры, изображенной на рис.11. Они ограничивают сверху и снизу ЭДС, длину образца и отношение Ru/Rcl . Неравенства (3.2.9) совместно с (3.2.5) гарантируют отсутствие в трехмерной системе устойчивых состояний равновесия. Оценим период автоколебаний в системе. Точка I проходит участок Mfv (рис.II) за время порядка характерного времени захвата электронов на доноры - на участке М А/ концентрация электронов уменьшается. Отрезки л/Р и к»м система проскакивает за времена порядка характерного времени изменения электронной температуры, Т0 . Точка 3 проходит участок ptf за время порядка характерного времени ударной ионизации доноров.
Поэтому период автоколебаний будет определяться наибольшим из характерных времен: (ol /vd) или C hNdfJ (в принятом нами адиабатическом приближении время релаксации энергии электронов гораздо меньше этих двух).
Оценим теперь амплитуды автоколебаний концентрации, электрон ной температуры и напряженности электрического поля. Очевидно, концентрация электронов колеблется приблизительно в пределах интервала, указанного неравенствами (3.2.5), т.е. будет изменя ться в пределах Afc//jOCf)- f (2)7 Далее интервал измене ния температур - порядка длины отрезков /\/Р и VM на рис.11, которые в размерных единицах по порядку величины рав ны: Наконец, из рис.11 видно, что интервал изменения напряженности электрического поля равен 2 ( )-2 (( или в размерном виде, к которому легко перейти по формулам (1.2.2бв), (2.2.4) и (2.2.8):
Следует отметить, что, как и ранее, в интересующих нас условиях дифференциальная проводимость образца отрицательна и вольт-амперная характеристика имеет о -образный вид. Во из бежание эффекта шнурования необходимо ограничить поперечные размеры образца. Это ограничение дается неравенством (2.2.15). Краткие выводы
В настоящей главе рассмотрены условия возникновения разрывных автоколебаний электронной температуры, концентрации электронов и напряженности электрического поля в образце. Механизм их генерации общий для широкого класса систем "переключательного" типа, содержащих малый параметр в правой части одного из динамических уравнений (B.I).
Траектория изображающей точки в такой системе состоит из участков, лежащих на поверхности медленных движений, и быстрых перескоков с одной части этой поверхности на другую.
Устойчивость стационарных решений
1. Исследованы различные виды высокочастотных неустойчиво-стей в однородных полупроводниках с мелкими донорами. Система уравнений, описывающая предложенную модель, учитывает разогрев электронной подсистемы, примесный пробой и ток смещения в образце. В число внешних параметров, позволяющих изменять динамический режим системы, входят ЭДС батареи, нагрузочное сопротивление, интенсивность примесной подсветки, размеры образца, его температура и т.п.
2. В адиабатическом приближении найдены условия возбуждения температурно-полевых периодических автоколебаний. Явно указаны условия применимости адиабатического приближения. При этом характерные времена релаксации электронной температуры и напряженности электрического поля должны быть гораздо меньше характерного времени захвата свободных электронов. Показано, что рассматриваемая неустойчивость может возникнуть при любом механизме рассеяния энергии электронов, кроме рассеяния на акустических фононах через потенциал деформации. В последнем случае в рассматриваемой системе возможно только устойчивое состояние равновесия. Условия возбуждения автоколебаний найдены как при сравнимых сопротивлениях нагрузки и образца, так и в режиме заданного тока, когда сопротивление образца много меньше нагрузочного. Указаны условия устойчивости однородного состояния образца.
3. В адиабатическом приближении найдены условия возникновения разрывных автоколебаний электронной температуры, концентрации свободных электронов и напряженности электрического поля в образце. Механизм их генерации - общий для широкого класса систем "переключательного" типа - нужно лишь, чтобы хотя бы в одной из правых частей системы (B.I) фигурировал малый параметр. Траектория изображающей точки в такой системе состоит из участков, лежащих на поверхности медленных движений, и быстрых - перескоков с одной части этой поверхности на другую. Даны оценки для амплитуды и частоты возникающих разрывных автоколебаний.
4. В адиабатическом приближении найдены условия, при которых полупроводник работает как триггер. Эти требования сводятся к нахождению условий существования в трехмерном фазовом простран стве двух устойчивых состояний равновесия.
Показано, что при изменении внешних параметров системы ЭДС батареи и/или интенсивности примесной подсветки - систему можно переключать из одного состояния равновесия в другое. Соответствующее время перескока - порядка характерного времени релаксации энергии электронов. Эти состояния отличаются друг от друга различными значениями сопротивления образца. При условии, что сопротивление последнего много больше нагрузочного, явно найдены значения электронной температуры в указанных стационарных состояниях. Доказана устойчивость полученных стационарных решений.
5. Найдены явные условия возникновения стохастических автоко лебаний электронной температуры, концентрации свободных электро нов и напряженности электрического поля. Для этой цели адиабати ческое приближение недостаточно и оно не используется. Дано ка чественное и количественное описание необходимой фазовой струк - 72 -туры в трехмерном фазовом пространстве - гомоклинической структуры. При этом к стохастическим автоколебаниям неизбежно будет приводить "перемешивание" траекторий в фазовом пространстве, вызванное "внешним" шумом (не учитываемым в динамической системе). Показано, что такая структура возникает, в частности, при наличии единственной особой точки типа седло-фокус или седло-узел (если бесконечности абсолютно неустойчива). При решении сходных задач может оказаться полезным прием, использованный для нахождения условий существования указанной особой точки.
