Проблема случайных блужданий без самопересечений в физике полимеров Алхимов, Валерий Иванович

Введение к работе

Актуальность проблемы. Диссертация посвящена исследованию проблемы, возникшей впервые в статистической физике линейных полимеров при вычислении юс средних геометрических размеров. Линейные полимеры, как известно, представляют собой чрезвычайно длинные цепные молекулы (макромолекулы), число звеньев которых может достигать десятки и даже сотни тысяч. К таким системам относятся как синтетические полимеры, так и биополимеры. Каждое звено линейного полимера обладает некоторой ориентационной свободой относительно положений соседних звеньев, что обусловливает гибкость полимерной цепи. Число степеней свободы у таких макромолекул очопь велико и по порядку равно числу мономеров в них. Это позволяет рассматривать макромолекулу как макроскопическую систему и для определения средних значений величин, характеризующих, например, ее пространственные размеры, применять статистические методы. Многочисленные опытные факты показывают, что пространственное распределение мономеров макромолекулы относительно ее центра масс оказывает существенное влияние на такие макроскопические свойства полимерных растворов как вязкость, диффузия, светорассеяние и другие.' Наиболее важными величинами, характеризующими пространственные размеры макромолекул и измеряемыми на опыте, являются средний квадрат расстояния между концами макромолекулы и средний квадрат ее радиуса инерции.

Чрезвычайно важным эффектом, оказывающим очень сильное влияние на пространственные размеры макромолекул, является так называемый эффект "исключенного объема". Суть этого эффекта заключается в том, что. в одном и том же элементе объема пространства не может находиться одновременно более одного монотера. Учет влияния эффекта "исключенного объема" на распределение плотности

мономеров внутри макромолекулы и, в конечном итоге, на ее размеры получил название проблемы "исключенного объема" в полимерных цепях. Эффект "исключенного объема" является эффектом дальнего порядка, поскольку он обусловлен главным образом взаимодействием мономеров с большими разностями их номеров на полимерной цепи. Но существует еще и эффект ближнего порядка, связанный со взаимодействием мономеррв, соседних в цепной последовательности. Однако ведущую роль в формировании пространственной конфигурации достаточно длинных полимеров играет эффект дальнего порядка.

Геометрическая структура линейной полимерной цепи позволяет использовать идеи и методы теории случайных блужданий броуновской частицы. Именно цепочечный характер траектории блуждающей частицы и линейного полимера является главным свойством, на котором основана аналогия.в описании этих систем. Однако существенным моментом в теории, полимеров оказывается учет аффекта "исключенного объема". В терминах теории случайных блужданий этот эффект означает запрет блуждающей частице пересекать свою собственную траекторию. В связи с этим проблему "исключенного объема" в линейных полимерах в последнее время чаще называют проблемой случайных блужданий без.самопересечений (СББС)* В этом случае мы имеем дело с некарковским процессом, поскольку блуждающая частица должна избегать те участки пространства, которые, она посещала во все предыдущие моменты времени, т.е. должна . "помнить" весь свой путь. Наличие "памяти" в рассматриваемой проблеме наделяет последнюю исключительными свойствами, не.имеющими аналогов среди известных физических задач. Цель ра1оты заключается в разработке теории СББС, имеющей важное теоретическое и прикладное значение в физике паи::.:еров. Главной величиной в исследуемой проблеме является плотность вероятности

- Б -w\(R) распределения вектора R , соединяющего концу тра-

ектории, состоящей из М отдельных перемещений частицы. Определение функции W (R) позволило бы сразу получить важную пространственную характеристику траектории-среднеквадратичное расстояние N(R) . Тогда следующий этап развития теории состоит в поиске и исследовании решений этого уравнения при различных условиях. Научная новизна работы выражается как в самом подходе к пробле-т мэ, так и в полученных результатах. Кратко перечислим их.

1. Установлено точное уравнение для функции

a(z,p)= Zz^N|e^i?Sw„(R)d"R

где U?.(R) = Q_M"W(R) t Qj4 - нормировочный множитель, определяемый так, чтобы при отсутствии эффекта "исключенного объема" он был равен единице. Это уравнение по своей форме аналогично уравнению Дайсона и в исследуемой проблеме играет основополагающую роль, в связи с чем оно названо основным уравнением. Важнейшим;свойством основного уравнения является его инвариантность относительно , не прерывной группы мультипликативных преобразоваяий-ренормгруппы (РГ), что позволяет использовать для его решения метод, аналогичный ренормгрупповому методу в квантовой теории поля.

2. В случае достаточно малой величины "исключенного объема"
1?₀ частицы, блуждающей, без самопересечений в п. -керном еысли-

довом пространстве, во втором порядке по tf₀ получены асимптотические формулы для W_M ( Ю і когда Н ~* 0 , а так-же для среднеквадратичного расстояния < R Х^ между концами траектории частицы.

3. С помощью РГ-метода найден явный вид асимптотики плот
ности вероятности W^R.) » когда п * 4 . Вытекающий от-
сюда результат для величины < R У хорошо согласуется со
значением » полученным при помощи численных методов.

Однако РГ-метод в пой форме, в какой он обычно применяется в квантовой теории поля и статистической физике, эффективен пока при исследованиях лишь в пространстве размерности П * 4 или П = 4 - Є ,где О < *< і. В диссертации изложен рецепт для использования РГ-метода в данной проблеме, когда П.< 4 , что позволило определить искомую асимптотику функции "W ( R) . По-лученная отсюда формула для X R X, практически совпадает с соответствующим классическим результатом Флори.

4. Развит феноменологический подход для вычисления величи
ны корреляции - среднего косинуса угла между направлениями двух
достаточно удаленных друг относительно друга отдельных переме
щений сферической частицы, блуждающей без самопересечений в

П. -мерном пространстве. Предложенный метод позволяет также вычислить и величину К. Я X .

5. Непосредственно для функции U?" (й) дан вывод ин-
тегро-дифференциального уравнения, которое для достаточна боль
ших значений N может быть аппроксимировано уравнение-ч типа
уравнения Фоккера-Плаяка. При этом получено общее выражение для
т.н. самосогласованного потенциала, с помощью которого можно
развить способ приближенного решения данной задачи в духе мето
да саг/ооогласованлого поля.

6. Основное уравнение обобщено яа тог случай самоизбегающих блужданий в П -мерном пространстве, когда величины отдельных перемещений частицы и углов между направлениями любых двух соседних перемещений ее подчинёны некоторым, вообще говоря, произвольным распределениям. .

7., Предложен новый подход к задаче о блуждании частицы без самопересечений в однородном внешнем поле. Для не очень сильных полей найдена асимптотика плотности "W^ ( R ) - , когда Н ~* Теоретическая и практическая ценность. Установленное автором диссертации основное уравнение, а также развитый им метод решения этого уравнения составляет основу теории случайных блужданий без самопересечений., Изложенный в работе подход к решению рассматриваемой проблемы более прост и эффективен, чем все из-, вестные до сих пор. способы, предложенные'для той же цели разными авторами. Разработанный в диссертации метод учета эффекта "исключенного объема" в.линейных полимерных цепях может быть использован,в статистической, теории растворов полимеров, а также в теории высокоэластичностй полимерных сеток. Апробация'работы. Отдельные результаты, изложенные в диссертации,, были представлены в виде'стендовых докладов на II, III и ІУ Всесоюзных совещаниях.под названием "Математические методы для исследования полимеров" соответственно в 1981, 1983, 1985гг. ;. СгіПущияо), а также в виде, доклада на международном совещании :^:"Рбнормтруппа - 86" в 1986, г." (г.Дубна)..Кроме того, наиболее важные; результаты автора, данной диссертации докладывались на следувдих научных:семинарах: . ':;. -,.''..' '^:/У г', , '.'

I) по физике полим&ров (рук.акад.И.М.Лифшиц. Физический факультет МГУ, г. Москва, 1982 г., 1986 г., 1988 г.).

1. по квантовой теории поля (рук.член-корр. АН СССР Д.В.Ширков. Лаборатория теоретической физики ОИЯИ, г. Дубна, 1984 г., 1985 г., 1987 г.).

2. по квантовой химии (рук.член-корр. АН СССР А.А.Овчинников. Институт химической физики АН СССР, Москва, 1984 г., 1988г.).

3. по статистической физике (рук.акад. УССР И.Р.Юхновский. Институт статистической физики АН УССР, г.Львов, 1985 г., 1988г.).

5. по статистической физике (рук.проф. Ф.М.Кунн. Институт физики ЛГУ, г. Ленинград, 1985 г.).

6. по турбулентности и стохастичности (рук.проф. Г.М.Заславский и проф. С.С.Моисеев. Институт косіличєских исследований АН СССР, г. Москва, 1986 г.).

7. по математическим проблемам в статистической физике (рук.проф. Р.Л.Добрушия, проф. Я.Г.Сияай, проф. В.А.Малншев, проф. Р.А.Миялос, Механико-математический факультет МГУ, 1986г.).

8. по физике твердого тела (рук.проф. A.M. Косевич, Физико-технический институт низких температур АН УССР, г. Харьков, , 1988 г.). . ^;

9. по статистической радиофизике (рук.проф. С.Ы.Рытов, член-корр. АН СССР В.И. Татарский, Институт физики атмосферы АН СССР, 1989 г.).

Объем работа. Диссертация изложена на 236 страницах машинопис-* ного текста и состоит из введения, литературного обзора, четн-. рех глав основного текста, приложений и выводов. Работа содержит I таблицу и 15 рисулк.ов. В списке литературы цитипуется 94 наименований.