Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ ЛОВУШКА. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15
1.1. Постановка задачи. Основные уравнения 15
1.2. Стащонарное состояние 17
1.3. Уравнение для желобковых возмущении....... 24
1.4. Учет возмущений магнитного поля в расширителе 32
ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ ЛОВУШКЕ... 41
2.1. Качественное рассмотрение условий устойчивости плазмы в ГДЇЇ 41
2.2. Высокочастотные колебания 45
2.3. Низкочастотные колебания 48
2.4. Устойчивость ІДД с двухкомлонентной плазмой 53
ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗУЙ В АНТИПРОБКОТРОНЕ.. 60
3.1. Желобковне колебания в непараксиальных системах. Вывод и анализ уравнений 60
3.2. Жолобковая неустойчивость плазмы в антипробкотроне 68
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 74
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 76
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 78
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 80
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 82
ПРИЛОЖЕНИЕ 5 89
ПРИЛОЖЕНИЕ 6 91
ПРИЛОЖЕНИЕ 7 92
ЛИТЕРАТУРА 93
- Постановка задачи. Основные уравнения
- Качественное рассмотрение условий устойчивости плазмы в ГДЇЇ
- Желобковне колебания в непараксиальных системах. Вывод и анализ уравнений
Введение к работе
В последние годы в литературе интенсивно обсуждаются различные схемы открытых ловушек, магнитное поле которых является полностью аксиально-симметричным L ] . Главными достоинствами таких конфигураций поля являются: конструктивная и технологическая простота; отсутствие в них неоклассических процессов переноса, которые в аксиально-несимметричных системах могут приводить к значительному ухудшению поперечного удержания плазмы; возможность достижения больших значений В плазмы в области энерговыделения ( 15 - отношение давления плазмы к давлению магнитного позш).
Наиболее серьезная задача применительно к аксиально-симметричным схемам удержания плазмы заключается в обеспечении устойчивости системы относительно желобковых возмущений. Магнитное поле в желобковых колебаниях не возмущается, поэтому неустойчивость может проявиться даже при в —* 0. По сути это конвективная неустойчивость и для ее возникновения нужно только, чтобы удельный объем U* силовой трубки возрастал в сторону уменьшения давления плазмы Г J . Под удельным объемом 17 понимается величина W/VP , где V объем занятый плазмой между маишт-ными поверхностями с потоком Ф и Ф+сІФ .В обычном аксиально-симметричном пробкотроне это условие всегда выполнено и он неустойчив. Таким образом, для стабилизации пробкотрона необходимо создать условия, при которых плазма (в среднем) находилась бы в минимуме магнитного поля; при этом направление градиента 17 и градиента давления совпадают. На этом принципе и основаны практически все схемы стабилизации плазмы.
Настоящая диссертация посвящена исследованию устойчивости относительно желобковых возмущений предложенной в ИЯФ СО АН СССР газодинамической ловушки (ГДІ) [1,2,9]и антипробкотрона, который предполагается использовать в качестве стабилизатора в аксиально-симметричной амбиполярной ловушке L ] . Полученные в ней результаты представляют определенный интерес и для других типов открытых ловушек.
Исследование в диссертации ограничено случаем малого давления плазмы в « I и проводится в рамках уравнений одножидкост-ной магнитной гидродинамики. Строго говоря, уравнения магнитной гидродинамики корректно описывают колебания плазмы только в случае, когда частота ион-ионных столкновений велика по сравнению с частотой колебаний. Тем не менее, эти уравнения широко применяются для анализа устойчивости и бесстолкновительной плазмы и, как правило, дают не только верную качественную картину, но и правильный количественный результат.
В первых двух главах диссертации, основанных на работахі ], исследуется устойчивость ГДЛ. Газодинамическая ловушка (рис.1) представляет собой пробкотрон с очень большим пробочным отношением R » I и с длиной L , превышающей длину свободного пробега ионов по отношению к рассеянию на угол конуса потерь: l»\U\L/R, (I) где X - кулоновская длина свободного пробега ионов. Стационарное состояние плазмы в ней поддерживается за счет инжекции нейтралов на участке однородного магнитного поля, которая компенсирует потери через пробки. Истечение плазмы через торцы ловушки является газодинамическим и, соответственно, время жизни частиц в ней определяется простой газодинамической опенкой (соответствующей времени истечения газа из сосуда с маленьким отверстием): ПІПШ
Ь)
Обозначения: В »&*, &аЬ
Рисі. Газодинамическая ловушка: d) силовые линии магнитного поля (поглощающие поверхности заштрихованы); Ь) напряженность магнитного ноля на оси системы. - значения маг- нитного поля в пробке, в экваториальной плоскости ловушки и на поглотителе (отношение Bm0U/Bo изображено не в масштабе); L , 1-ы , |_е*- длины, соответственно, однородного участка, пробки и расширителя; d - поперечный размер плазмы на однородном участке. T~ RL/Cs (2) где Сs - скорость звука в плазме. При больших значениях пробочного отношения R время жизни (2) представляет интерес для термоядерных приложений. Существенно, что оценка (2) нечувствительна к микронеустойчивостям плазмы, которые во многих случаях заметно ограничивают продольное время жизни в ловушках другого типа.
Особенностью ГДЛ является также то, что плотность плазмы в пробке и непосредственно за пробкой по порядку величины та же, что и внутри ловушки. Вследствие этого при вычислении выталкивающей силы, действующей на желобок нужно учитывать не только внутреннюю область ловушки (обычно неустойчивую), но и область за пробкой, где силовые линии имеют благоприятную кривизну и которая поэтому оказывает стабилизирующее воздействие на систему в пелом[81 Это позволяет надеяться на то, что ГДЕ может быть сделана устойчивой в рамках простой аксиально-симметричной конфигурации магнитного поля простым подбором его величины в пробках и расширителях (см.рис.1) L2J . В этом отношении ГДД сильно отличается от обычного короткого ( L«X&vRVR. ) пробкотрона, где плотность плазмы за пробкой мала и где вклад в критерий устойчивости вносит только внутренняя область ловушки.
Указанные достоинства ГДІ делают ее перспективной в качестве основы будущего термоядерного реактора. Оценки реактора - ГДЕ приведены в работах [''J, где показано, что приемлемые энергетические характеристики реактора достигаются при мощности инжекпии порядка I * 2 гигаватт и длине системы масштаба І * 2 км.
Длина системы довольно велика, но не кажется нереально большой, так как практически вся она занята простым аксиально-симметричным соленоидом на поле всего лишь 10 * 15 кГс.
Плазма в реакторе - ГДЯ представляет собой равнокомпонент-ную смесь дейтерия и трития. Температура ионов 15-20 кэВ, электронов -в 1,5 f 2 раза ниже. Энергия инжекции в несколько раз превышает температуру ионов, поэтому в системе обязательно присутствует некоторое количество не успевших замедлиться быстрых частиц [2»I23 . Но вклад их в ядерное энерговыделение не слишком велик [ ] : основное энерговыделение обусловлено реакциями между тепловыми частицами.
Для установок малого масштаба - типа нейтронных источников -особый интерес представляет двухкомпонентная схема ГДІ с относительно холодной основной (дейтериевой) плазмой и малой примесью быстрых ионов трития Г J . Последние, с одной стороны, участвуют в реакциях с ядрами дейтерия и генерируют нейтроны, а, с другой стороны, служат источником энергии для основной плазмы. Основная плазма в этой схеме является мишенью и, кроме того, обеспечивает МЩ устойчивость системы. Так как инжектированные тритоны тормозятся на электронах намного быстрее, чем рассеиваются на ионах, их угловое распределение мало отличается от углового распределения первичных нейтралов, которое можно сделать достаточно узким. При этом инжекция под острым углом к оси системы позволяет добиться значительного локального усиления плотности потока нейтронов в области отражения быстрых тритонов от пробки, что представляет интерес для быстрого накопления необходимой дозы нейтронного облучения при технологических испытаниях материалов.
Отметим, что в отличие от реактора - ГДІ в этой схеме температура ионов Ті значительно ниже температуры электронов Те (Т;~ 100 эв, Те ^ I кэВ). Это обстоятельство будет существенно использоваться ниже (см. 2.4).
Из-за узкого углового распределения быстрые частицы не вылетают в пробку и находятся в основном в области неблагоприятной кривизны, поэтому условия стабилизации ГДІ в двухкомпонентном режиме должны быть более жесткими (см. 2.4).
Приведенное выше рассуждение о возможности стабилизации ІДЛ запробочной плазмой основано на качественном представлении, полученном при использовании известного критерия Кадомцева-Розен-блюта-Лонгмайра [ » J для стандартной задачи на МЩ-устойчи-вость заданной равновесной конфигурации, в котором в качестве р„ и р± берутся продольный и поперечный потоки импульса плазмы с учетом течения плазмы: p„«p+^v 9 рх = Р L J Для количественного же анализа условий устойчивости ГДЯ следует учесть два важных обстоятельства.
Первое из них - наличие истечения плазмы через пробки, приводящее к выносу возмущений из внутренних областей ловушки и изменению характера временной эволюции возмущений по сравнению с "классической" постановкой.
Второе обстоятельство связано с необходимостью учета инжек-ции частиц в плазму на участке однородного поля. Действительно, как известно, характерный инкремент I желобковой неустойчивости оценивается следующим образом: T-cs/L. (3)
С другой стороны, того же порядка (по крайней мере, при не слишком больших пробочных отношениях) обратное время жизни плазмы в ловушке (см. (I)). Это уже само по себе указывает на то, что источники, поддерживающие стационарное состояние плазмы, играют важну роль в рассматриваемой задаче s^. Проведенное в диссерта- й^ В этом отношении наша задача существенно отличается от задачи о желобковой неустойчивости короткого (L^XfcnR/R ) пробкотрона, где инкремент на много порядков превышает обратное время жизни плазмы, и поэтому инжекциеи частиц за время развития неустойчивости можно пренебречь. пжи исследование показывает, что учет источников может вызывать как существенную модификацию обычных желобковых колебаний, так и появление новой низкочастотной неустойчивости.
Отмеченные особенности рассматриваемой задачи не позволяют пользоваться при ее анализе ни обычным энергетическим принципом [ ] , ни его обобщениями, предложенными в работах [17~19] для исследования устойчивости плазмы с течением.
Следует отметить, что режим вытекания плазмы из ловушки, близкий к газодинамическому, уже сейчас реализуется на некоторых установках С J, поэтому анализ устойчивости таких систем в настоящее время весьма актуален.
Для более наглядного выявления эффектов, связанных с истечением плазмы и инжекщй, в диссертации не рассматриваются вопросы, связанные с учетом конечного давления плазмы, а также с наличием в системе электрического поля и вызываемого им вращения плазмы. В этом смысле результаты, полученные в настоящей диссертации, являются первым шагом в исследовании устойчивости подобных систем.
Расположение материала в первых двух главах следующее. В первой главе, основанной на работах С10»11] f содержится постановка задачи ( I.I), находятся стационарные распределения давления р , плотности Р и скорости V плазмы вдоль силовой линии в стационарном течении ( 1.2), выводятся уравнения, описывающие временную эволюцию желобковых возмущений ( 1.3). Как следует из результатов 1.2, при очень большой степени расширения во внешней области расширителя скорость плазмы становится больше альфвеновской; при этом магнитное поле в колебаниях искажается и возмущение перестает быть чисто желобковым. Количественному учету этого эффекта посвящен 1.4.
Во второй главе, основанной на работах Г J , с помощью полученных в 1.3 уравнений анализируется устойчивость плазмы в ГДЯ. Качественному рассмотрению условий устойчивости в ловушке, основанному на оценке вкладов различных слагаемых в уравнении желобковых колебаний в выталкивающую силу, действующую на желобок, посвящен 2.1. При этом оказывается, что существенное влияние на эволюцию желобка может оказывать инжекция. Соответствующий эффект наиболее существен в системах с очень малым отношением радиуса к длине. Он может проявляться и в обычных пробкотро-нах при не слишком малых значениях L /А .
Вынос поперечного импульса колебаний вместе с плазмой, вытекающей в расширитель, играет в колебаниях роль вязкости. Наличие этой "вязкости" не приводит к полной стабилизации колебаний, но может иметь следствием значительное снижение инкремента неустойчивости (вплоть до значений порядка обратного времени жизни 4/т).
На основе найденного качественного вида дисперсионного уравнения и оценок для его слагаемых, в этом же параграфе проводится классификация колебаний по частотам. При этом можно выделить два предельных случая: высокочастотные колебания с частотами to » cs /l и низкочастотные - с ю <*- c*/L . Анализу устойчивости в этих предельных случаях посвящены следующие два параграфа 2.2 и 2.3. Высокочастотные колебания представляют собой обычные желобковые колебаниЛдали 0Т іршшци неустойчивое-ти вклад в инкремент (частоту) колебаний от криволинейных участков магнитного поля может быть вычислен по обычным формулам же-лобковой неустойчивости анизотропной плазмы, в которые в качестве рп и рх следует'подставлять продольный и поперечный потоки импульса (с учетом течения плазмы), что соответствует изложенным выше качественным представлениям; одновременно оказывается, что если система устойчива по отношению к высокочастотным желоб- ковым возмущениям, в ней может проявиться низкочастотная неустойчивость, прямо связанная с наличием инжекоди и имеющая инкремент порядка обратного времени жизни частиц.
В 2.4 находятся условия устойчивости относительно высокочастотных желобковых возмущений двухкомпонентного варианта газодинамической ловушки.
Следует подчеркнуть, что полученные в этой главе результаты представляют интерес также и для других систем, в которых параметр не слишком мал.
Третья глава диссертации основана на работе Г 1 . В ней, как уже говорилось, исследуется устойчивость антипробкотрона, который предполагается использовать для стабилизации аксиально-симметричной амбиполярной ловушки I 1 . При этом возникают две задачи. Первая состоит в определении запаса устойчивости, который обеспечивает такой стабилизатор при заданных параметрах плазмы в нем. Решение ее дает возможность найти верхнюю границу допустимых значений В в центральном пробкотроне, при которых вся система устойчива относительно желобковых возмущений. Отметим сразу, что вследствие непараксиальности магнитного поля антипробкотрона, обычно используемый критерий устойчивости [14»153 в данном случае не применим. Вторая задача связана с тем обстоятельством, что вследствие усиленных потерь частиц, пролетающих вблизи точки нулевого магнитного поля (для этих частиц не сохраняется магнитный момент), во внутренней области антипробкотрона следует ожидать уменьшения плотности (и давления) плазмы в направлении к центру59*'. Такой ход давления является неблагоприят- х' Похожая схема рассмотрена в работе С J . ш' В работе С63 рассматривается конфигурация, в которой плазма отделена от области нулевого магнитного поля внутренней границей. При этом неблагоприятное направление градиента давления связано просто с уменьшением плотности при приближении к этой границе. ным в смысле желобковой неустойчивости (производная давления в направлении вектора кривизны силовой линии больше нуля), и если скорость спада достаточно велика, желобковая неустойчивость может развиваться во внутренней части самого антипробкотрона. Задача теории состоит в вычислении критической скорости спада давления.
Решению этих двух задач, основанному на использовании энергетического принципа, и посвящена третья глава диссертации. Задавшись определенной моделью распределения давления вдоль силовых линий, мы вычисляем потенциальную энергию плазмы в антипроб-котроне W , связанную с желобковым возмущением. Величина W характеризует свойства антипробкотрона как стабилизирующего элемента в амбиполярной ловушке: если обозначить через Wc потенциальную энергию желобкового возмущения в центральном пробкотро-не (она отрицательна, так как кривизна силовых линий в центральном пробкотроне в среднем неблагоприятна), то допустимые значения Wc будут ограничены условием — Wc < W . Одновременно требование W>0 определяет максимальную скорость спада давления вблизи центра антипробкотрона для того, чтобы плазма в его внутренней области была устойчива.
Наиболее адекватным рассматриваемой задаче является выражение для потенциальной энергии, полученное в работе Крускала и Обермана Г22!, wK0 . Однако для вычисления WK0 необходимо знать функцию распределения частиц плазмы по энергии и магнитному моменту. Поэтому мы используем более простое выражение для W, соответствующее гидродинамике плазмы в приближении Чу-Голдберге-ра-Лоу f23»16J , WCGil » позволяющее провести анализ в терминах продольного и поперечного давления ри и pj. . В силу теоремы сравнения Г 3 WC(-L>WK0 , полученные в настоящей главе критерии устойчивости являются необходимыми, а критерии неустойчи- вости достаточными.
Анализ устойчивости проводится в предположении малого давления плазмы: ft
В 3.1, главы 3 находится потенциальная энергия W локализованных вдоль силовой линии возмущений. Анализ выражения для W , проведенный в этом параграфе, показывает, что продольные смещения, которыми всегда можно пренебречь в параксиальных системах, в непараксиальной системе типа антипробкотрона оказывают существенное влияние на устойчивость плазмы. Работа Wu , затрачиваемая при соответствующем продольном перемещении, всегда может быть сделана отрицательной и при определенных условиях ее вклад в W становится определяющим. В этом же параграфе для случая "короткой" плазмы получено условие на магнитное поле, при выполнении которого система становится неустойчивой, даже если кривизна силовых линий магнитного поля всюду благоприятна. Таким образом, можно сделать вывод, что для анизотропной плазмы в непараксиальной системе благоприятная кривизна силовых линий магнитного поля, вообще говоря, не гарантирует устойчивости плазмы.
В 3.2 на основании полученных в 3.1 общих соотношений численно исследуется устойчивость антипробкотрона. Выводы, полученные в этом параграфе состоят в следующем. Запас устойчивости, который можно получить при помощи антипробкотрона, зависит от величины пробочного отношения в нем ЯЛ (на данной силовой линии) только при малых Р^ , а при пробочном отношении & 8*10 зависимость от R.^ очень слабая. Следовательно увеличение пробочного отношения на граничной силовой линии выше значений 84-10 не приводит к заметному улучшению устойчивости. Предельная скорость спада давления от периферии к центру антипробкотрона не слишком велика, поэтому чтобы внутренняя граница плазмы в анти- пробкотроне была устойчивой необходимо обеспечить достаточно хорошее удержание плазмы в области неадиабатичности.
Наконец, в Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Постановка задачи. Основные уравнения
В этой главе выводятся уравнения описывающие временную эволюцию желобковых возмущений в аксиально-симметричной газодинамической ловушке. Решение соответствующего дисперсионного уравнения позволит определить условия, при которых система устойчива.
При выводе мы ограничиваемся случаем малого давления плазмы: В« I. Более точно, предполагается, что параметры малы по сравнению с единицей. Это означает, что единственно возможными являются возмущения не искажающие магнитного поля, т.е. совмещающие одну силовую трубку с другой. Исследование проводится в рамках одножидкостной магнитной гидродинамики.
Уравнения, описывающие нашу задачу, отличаются от обычных уравнений магнитной гидродинамики наличием источников, связанных —» с инжекпией частиц в плазму. Обозначая через 9М , ,Р и Q в массу, импульс и энергию, поглощаемые единицей объема плазмы в единицу времени, можно записать эти уравнения в виде:
Способ, которым источники входят в уравнения (1.2) и (1.3), заранее очевиден. Что же касается уравнения (1.4), то его вывод дан в Приложении I.
Мы считаем, что источники вещества, импульса и энергии об-ладают аксиальной симметрией, причем источник импульса Ц имеет только 1г и 2 - составляющие и не имеет Ф - составляющей, т.е. вращательный момент плазме не сообщается.
В отношении поверхностей, ограничивающих продольный размер плазмы (рис.1), предполагается, что они полностью поглощают падающие на них частицы, сами не являются источниками частиц, и что плотность тока на них обращается в нуль. Считается также, что эти поверхности ортогональны силовым линиям магнитного поля.
В реальной газодинамической ловушке (ср. С » 3 ), вследствие высокой продольной теплопроводности электронов, их температура будет однородна по длине установки (тогда как для ионов можно с хорошей точностью пользоваться адиабатическим приближением). Это обстоятельство можно учесть путем соответствующего изменения выражений для / и bJ, Мы, однако, не будем этого делать, поскольку это не вносит принципиально новых особенностей в задачу об устойчивости плазмы и вызывает лишь появление излишне громоздких формул.
С целью минимизации энергетических затрат на создание магнитного поля длина участков сильного магнитного поля в области пробок будет делаться много меньше длины центральной части, т.е. будут выполняться неравенства
Качественное рассмотрение условий устойчивости плазмы в ГДП
Для качественного анализа устойчивости воспользуемся урав-нвнИем(1.41).К0Э№ш,вн1ЩИ % харак з иноРЩШ лобка, коэффициент при j описывает затухание колебаний вследствие выноса поперечного импульса при истечении плазмы через расширитель, а правая часть уравнения дает "выталкивающую силу", действующую на желобок, причем первое слагаемое связано с наличием инжекции, а второе с обычно только и учитываемым эффектом кривизны силовых линий. Начнем с оценки именно этого слагаемого.
В соответствии с уравнениями (1.33) и (1.36), во внутренней области ловушки (до максимума магнитного поля)
Область расширителя вносит положительный (стабилизирующий) вклад в интеграл. В расширителе давление быстро становится много меньше динамического "напора" (см. 1.2), скорость достигает своего предельного значения (I.2I) (порядка скорости звука), а плотность, согласно (1.20), падает пропорционально В/Б ах от своего значения в максимуме магнитного поля. Соответственно, в области расширителя имеем
Желобковне колебания в непараксиальных системах. Вывод и анализ уравнений
В этой главе исследуется МГД - устойчивость равновесного состояния плазмы малого давления ( В « І) в непараксиальных системах. Рассмотрение основано на использовании энергетического принципа в приближении Чу - Голдбергера - Лоу [16»23] .
Для интересующих нас малых значений в , когда допустимыми являются только моды колебаний, которые не возмущают магнитного поля выражение для возмущения энергии плазмы имеет следующий вид
Здесь - =VtV ; Я5 обозначает поток внутри силовой трубки, которая подвергается жолобковому смещению и вдоль которой берутся интегралы (3.4) - (3.6). Переменные t и „ в (3.4) - (3.6) рассматриваются теперь как функции длины силовой линии I , а штрих обозначает дифференцирование по с . При выводе выражения (3.3) предполагалось, что силовая линия X - плоская; оно, в частности, может быть использовано для анализа устойчивости в аксиально-несимметричных ловушках в окрестности плоскостей симметрии. Ниже, однако, мы ограничимся случаем осесимметричных систем. В этом случае соотношение (3.2) сводится к равенству ний, что давление уменьшается при удалении от оси системы (Ъ. ([рх -V- р,,") о) » в W" вносят положительный вклад области благоприятной кривизны ( эе 0) и отрицательный - области неблагоприятной кривизны ( е 0). В параксиальном приближении, когда поперечный размер плазмы г мал по сравнению с ее длиной L (при этом е г/if ) это слагаемое в W оказывается в L2/r pa3 больше \л/2 и W" , и критерий устойчивости принимает хорошо известный вид [14»15]
