Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор современного состояния исследований 13
1.1. Исследования стабилизации плазмы в ловушках со спадающим полем большой кривизны 13
1.2. Условия отсутствия конвективной неустойчивости в спадающем поле 27
1.3. Двухдипольная ловушка магнетор 36
2. МГД равновесие и конвективная устойчивость плазмы в мгд описании, случай частых столкновений 43
2.1. Обзор работ и постановка задачи 43
2.2. Алгоритм кода ESPHTB 45
2.3. Исследуемые конфигурации 49
2.4. Обсуждение результатов расчетов 54
2.5. Сравнение с измеренным распределением 59
2.6. Транспорт плазмы в области слабого поля 61
2.7. Алгоритм численного кода amd1ff 63
2.8. Результаты расчета диффузионных распределений плотности плазмы 65
2.9 Оценка погрешности диффузионного кода amdiff 69
3. Расчеты равновесия согласованного с бесстолкновительным кинетическим описанием конвективной устойчивости плазмы 73
3.1. Обзор расчетных работ 73
3.2. Описание численного алгоритма 74
3.3. Результаты расчета кинетических профилей давления в вакуумных конфигурациях 81
3.4. Согласование кинетического профиля с анизотропным равновесием 84
3.5. Результаты расчетов равновесных конфигураций плазмы с кинетическим профилем давления 86
3.6. Определение вида функции анизотропии из измерений на магнеторе 90
3.7. Удержание плазмы в ловушках со спадающим полем в зависимости от анизотропии 95
3.8. Код для быстрого расчета вакуумных полей 101
4. Новая многосвязная конфигурация 105
4.1. Постановка задачи 105
4.2. Результаты расчетов. допустимые профили давления 107
4.3. Обсуждение 111
4.4. Обнаруженный пик на «кинетическом» профиле давления в конфигурации с внутренним витком 112
4.5. Особенности формирования пика давления 115
4.6. Обзор предшествующих близких работ 121
4.7. Суммирование результатов 123
Заключение 129
- Условия отсутствия конвективной неустойчивости в спадающем поле
- Обсуждение результатов расчетов
- Описание численного алгоритма
- Удержание плазмы в ловушках со спадающим полем в зависимости от анизотропии
Введение к работе
Актуальность темы
Прогресс исследований удержания термоядерной плазмы в тока маках и начало строительства экспериментального токамака-реактора ИТЭР [1] позволяет говорить не только о развитии физики и техники управляемого термоядерного синтеза, но и о начале его практического освоения. Вместе с тем, в долгосрочной перспективе следует обратить внимание на возможности наиболее эффективных альтернативных систем удержания, изученных недостаточно. Один аспект связан с использованием перспективных топливных циклов D- Не и D-D, для реализации которых требуются лучшие, чем достигнуты на сегодня параметры [2]. Второй аспект связан с поисками эффективного и простого источника нейтронов в гибридном реакторе [3].
Особенного внимания заслуживают ловушки со спадающим полем, в которых наиболее опасная - конвективная (желобковая) неустойчивость плазмы подавляется [4,5] за счет естественного, но не очень резкого спада давления наружу. К ним относятся простые осесимметричные конфигурации пробочной геометрии [6,7]; их замкнутые цепочки в виде гофрированных торов [8,9]; ловушки с внутренними проводниками, окруженными плазмой [10,11], в том числе на основе диполя [12,13]; а также обращенные конфигурации с плазменными токами с высоким давлением [14]. Указанные конфигурации должны обладать заметной кривизной силовых линий. При этом силовые линии должны быть замкнутыми или иметь небольшое вращательное преобразование. К основным достоинствам подобных ловушек, помимо стационарности и высокого бета fi=8np/B , относится их простота, так как в них не требуется создания ни (среднего) минимума поля, ни перекрещенности силовых линий. Спектр применения подобных магнитных ловушек может быть шире удержания термоядерной плазмы. Они применимы там, где требуется эффективное удержание энергии в плазме для различных целей. Это и мощные ЭЦР источники многозарядных ионов, и устройства для разделения изотопов, и плазмохимические реакторы высокой мощности.
Общей проблемой является поиск оптимальной конфигурации, обеспечивающей удержание плазмы с наибольшей энергией в центре и наименьшей на периферии, то есть с наибольшей локализацией плазмы. При этом определяющими параметрами являются: вид конфигурации -размер и форма магнитной сепаратрисы, градиент магнитного поля, а также параметры плазмы - уровень давления, столкновительность, анизотропия.
Целью настоящей работы является создание методики исследований и применение ее для анализа магнитоплазменных конфигураций со спадающим полем, обеспечивающих оптимальные параметры удержания при сохранении крупномасштабной устойчивости плазмы конечного давления.
Для достижения этой цели требуется решение следующих задач:
1. Создание численных алгоритмов для анализа ловушек со спадающим полем. В расчетах требуется самосогласованный учет равновесия плазмы конечного давления, конвективной устойчивости в МГД и в кинетическом описаниях, реальной магнитной геометрии с сепаратрисой, заданного уровня анизотропии.
2. Проведение с помощью этих алгоритмов расчетов равновесных конвективно-устойчивых конфигураций. Сравнение результатов, полученных при более простом - МГД описании, с полученными при необходимом и достаточном — кинетическом описании конвективной устойчивости.
3. Формулирование на основании проведенных исследований предложений по достижению наиболее выгодных параметров в указанных ловушках со спадающим полем и разработка на их основе новой магнитной конфигурации.
Научная новизна работы заключается в следующем
1. Разработан численный алгоритм, позволяющий проводить расчет конвективно-устойчивого равновесия в реальной геометрии магнитного поля, что особо существенно для ловушек, имеющих у сепаратрисы протяженные участки со слабым полем.
2. Разработанный алгоритм позволяет исследовать конвективную устойчивость плазмы в ловушках большой кривизны в соответствии и с МГД критерием, и с (необходимым и достаточным) бесстолкновительным кинетическим критерием, как для вакуумного, так и для равновесного поля, что дает возможность согласовать конвективную устойчивость и равновесие при заданном давлении и анизотропии плазмы.
3. Установлено существование ограничения на конвективно-устойчивое равновесие с сепаратрисой, которое определяет наибольшую величину давления плазмы в центре конфигурации. При более высоком давлении происходит либо быстрое расширение сепаратрисы, либо «филаментация» градиентного плазменного тока у нее, что определяется соответственно большим, либо малым размером участков со слабым полем у нулей на сепаратрисе.
4. Кинетические расчеты конвективной устойчивости показали возможность удержания плазмы в рассматриваемых ловушках со значительно более высокими параметрами, чем это следовало из МГД расчетов, не только для 3—Ю, но и при конечном (равновесном) давлении плазмы.
5. Предложена новая магнитная конфигурация, которая может привести к заметному повышению энергосодержания плазмы в концептуальных стеллараторных ловушках типа ДРАКОН [7], EPSILON [8] а также в открытых системах). В предложенной конфигурации при кинетическом анализе конвективной устойчивости обнаружено формирование радиального пьедестала на устойчивом профиле давления в слое силовых линий со слабой, но знакопеременной кривизной.
Практическая ценность работы состоит в:
1) разработанных расчетных методиках, применимых для анализа конвективной устойчивости при равновесном давлении плазмы в широком классе магнитных конфигураций;
2) полученных с их применением результатах анализа конкретных ловушек со спадающим полем, позволивших сформулировать условия для достижения более оптимальных параметров удержания в таких системах;
3) предложенной на их основе новой магнитной конфигурации, позволяющей повысить достижимые параметры плазмы в ряде концептуальных систем.
Положения, выносимые на защиту
1. Численные алгоритмы для расчета равновесия плазмы, согласованного с ее конвективной устойчивостью в спадающем поле в ловушках большой кривизны в соответствии как с МГД, так и с (необходимым и достаточным) кинетическим критерием устойчивости.
2. Результаты расчетов, показавшие, что достижение высокого давления плазмы в центре при конвективно-устойчивом равновесии ограничено либо расширением сепаратрисы (в случае протяженных участков со слабым полем), либо «филаментацией» градиентного плазменного тока (в случае малых участков со слабым полем, когда основное падение давления происходит вблизи сепаратрисы).
3. Результаты сравнения двух моделей, показавшие, что кинетическое описание конвективной устойчивости дает лучшие параметры удержания плазмы в ловушках со спадающим полем с позиции равновесия и появления непотенциальных баллонных мод, чем более простая МГД модель, и позволяет еще более улучшить эти параметры при задании определенного вида анизотропии.
4. Новая многосвязная конфигурация для удержания плазмы на основе ловушек типа ДРАКОН и EPSILON, позволяющая существенно повысить содержание энергии в центральных приосевых областях. В предложенной конфигурации при кинетическом описании устойчивости обнаружена возможность формирования радиального пьедестала давления, расположенного на границе средней магнитной ямы в слое силовых линий со слабой, но знакопеременной кривизной.
Апробация работы. Результаты исследований, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: 32-я - 36-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, Звенигород (2005, 2006, 2007, 2008, 2009); 28 International Conference on Phenomena in Ionized Gases (ICPIG), July 15-20, 2007, Prague, Czech Republic; 35th European Physical Society (EPS) Conference on Plasma Physics June 9-13 2008, Hersonissos, Crete, Greece; International Congress on Plasma Physics (ICPP), September 8-12 2008 Fukuoka, Japan; Российский Научный Форум с международным участием "Демидовские чтения" Москва, 25-28 февраля 2006.
Личный вклад соискателя отражен в постановке задач, создании, реализации и отладке требуемых численных алгоритмов, проведении расчетов, анализе полученных результатов.
Необходимые численные коды были созданы с использованием Borland Delphi 7.0 Enterprise.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 140 страниц и включает 90 рисунков. В первой главе дается обзор современного состояния исследований ловушек со спадающим полем. Обсуждаются условия отсутствия конвективной неустойчивости в спадающем поле. Приводится описание и основные характеристики двухдипольной ловушки Магнетор.
Во второй главе рассматривается конвективная устойчивость, согласованная с равновесием плазмы в МГД приближении (частых столкновений), а также амбиполярная диффузия плазмы в слабом поле.
Проводится сравнение рассчитанных распределений с экспериментальными измерениями в Магнеторе.
В третьей главе согласованная с равновесием конвективная устойчивость рассматривается в бесстолкновительном кинетическом описании. Рассчитываются вакуумные и равновесные магнитоплазменные конфигурации осесимметричных ловушек с большой кривизной при различной анизотропии и давлении.
В четвертой главе предлагается новая многосвязная конфигурация, дающая возможность существенно повысить энергосодержание в центральных областях длинных замкнутых ловушек с гофрировкой. Расчет конвективной устойчивости показал наличие пика (разрыва) на критическом профиле давления в области слабой знакопеременной кривизны силовых линий.
Список публикаций по теме диссертации
1. Цвентух М.М. // "Равновесие плазмы в двухдипольной ловушке с сепаратрисой", Физика плазмы, 2007, том 33, №7, с. 591-598.
2. Цвентух М.М. // "Применение внутренних витков в длинных замкнутых магнитных ловушках", Физика плазмы, 2009, том 35, №4, с. 381-384.
3. Вовченко Д.Е., Крашевская Г.В., Курнаев В.А., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // "Исследование профилей давления плазмы в магнитной ловушке Магнетор". Вопросы Атомной Науки и Техники (ВАНТ). Сер. Термоядерный синтез, 2006, вып. 4, с. 68—76. 4. G. V. Krashevskaya, V. A. Kurnaev, and M. M. Tsventoukh, "Plasma parameters distribution in the experimental model of the compact-dipole magnetic confinement device", Proc. of 28th International Conference on Phenomena in Ionized Gases, July 15-20, 2007, Prague, Czech Republic, P. 393-396. http://icpig2007.ipp.cas.cz/files/download/cd-cko/ICPIG2007/pdf/lP04-18.pdf
5. M.M. Tsventoukh, EQUILIBRIUM AND STABILITY OF THE PLASMA CONFINED BY DOUBLE-DIPOLE DEVICE, Proc, 35th European Physical Society (EPS) conference on Plasma Physics, 9-13 June 2008, Ffersonissos, Crete, Greece, P-4.057.
6. Valery A. Kurnaev, Galina V. Krashevskaya, Mikhail M. Tsventoukh, Dmitry E.Vovchenko, Georgy V. Khodachenko, and Gayar H.Salahutdinov, PLASMA CONFINEMENT IN THE COMPACT DOUBLE-DIPOLE MAGNETIC TRAP, in Proc. of 14th International Congress on Plasma Physics (ICPP2008), Fukuoka, Japan, September 8-12, 2008.
7. Цвентух M.M. II "Параметры плазмы в ловушках со спадающим полем в зависимости от анизотропии". Тезисы докладов XXXVI Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 9-13 февраля. Москва 2009. С.53.
8. Бойко С.А., Крашевская Г.В., Курнаев В.А., Салахутдинов Г.Х., Цвентух М.М. // "Быстрые электроны в ЭЦР плазме низкого давления удерживаемой в двухдипольной ловушке Магнетор". Тезисы докладов XXXVI Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 9-13 февраля. Москва 2009. С.54.
9. Цвентух М.М. // "Равновесие плазмы согласованное с конвективной устойчивостью". Тезисы докладов XXXV Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 11-15 февраля. Москва 2008. С.96. 10. Цвентух М.М. // "Использование внутренних витков для стабилизиции плазмы в замкнутой гофрированной системе". Тезисы докладов XXXV Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 11-15 февраля. Москва 2008. С.97.
11. Цвентух М.М. // "Амбиполярный транспорт плазмы в области слабого поля вблизи сепаратрисы двухдипольной ловушки". Тезисы докладов XXXV Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 11-15 февраля. Москва 2008. С.98.
12. Цвентух М.М. // "Конвективно-устойчивое равновесие плазмы в конфигурации с сепаратрисой при высоком бета". Тезисы докладов XXXIV Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 12-16 февраля. Москва 2007. С.83.
13. КрашевскаяГ.В., Курнаев В.А., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // "Пространственное распределение параметров СВЧ плазмы в сильно неоднородном магнитном поле". Тезисы докладов XXXIV Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 12-16 февраля. Москва 2007. С.84.
14. Цвентух М.М. // "Удержание плазмы в двухдипольной ловушке Магнетор в широком диапазоне значений бета". Тезисы докладов XXXIII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 13-17 февраля. Москва 2006. С.86.
15. Вайтонене A.M., Вайтонис В.В., Вовченко Д.Е., КрашевскаяГ.В., Курнаев В.А., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // "Исследование плазмы в ловушке Магнетор при вариации магнитной конфигурации и СВЧ питания". Тезисы докладов XXXIII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 13-17 февраля. Москва 2006. С.61.
16. БердниковаМ.М., Вайтонене A.M., Вайтонис В.В., Вовченко Е.Д., Ивашин СВ., Колтунов М.В., КрашевскаяГ.В., Курнаев В.А., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // Исследование удержания и распределения параметров плазмы в ловушке би-дипольной конфигурации «Магнетор» // 32-я звенигородская конференция по физике плазмы и проблеме УТС. С.78.
17. БердниковаМ.М., Вайтонене A.M., Вайтонис В.В., Крашевская Г.В., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // Распределение давления плазмы в ловушке би-дипольной конфигурации «Магнетор» // Труды научной сессии МИФИ. М - 2005. Т4. С 74.
18. Цвентух М.М. // "Особенности удержания плазмы в двухдипольной ловушке Магнетор". Сборник трудов Научной Сессии МИФИ 2006 Москва 25-26 января. Москва 2006. Т.4. С.90.
19. Цвентух М.М. // "Давление плазмы в двухдипольной ловушке Магнетор при произвольном бета". Сборник трудов Научной Сессии МИФИ 2006 Москва 25-26 января. Москва 2006. Т.4. С.92.
20. Цвентух М.М. // "Разряд на электронно-циклотронном резонансе для моделирования и оптимизации систем магнитного удержания управляемого термоядерного синтеза" // Материалы Российского научного форума с международным участием "Демидовские чтения" Москва, 25-28 февраля 2006г. Москва 2006. С. 43-44.
21. Вовченко Д.Е., Крашевская Г.В., Курнаев В.А., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // "Исследование профилей давления плазмы в магнитной ловушке Магнетор". V Российский семинар «Современные средства диагностики плазмы и их применение для контроля веществ и окружающей среды» Москва, МИФИ, 27-29 июня 2006 г.
22. БердниковаМ.М., Вайтонене A.M., Вайтонис В.В., Крашевская Г.В., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // Исследование распределения параметров плазмы в ловушке би-дипольной конфигурации «Магнетор». Материалы 2-й Курчатовской молодёжной научной школы. 2004. С. 234-237.
Условия отсутствия конвективной неустойчивости в спадающем поле
Одной из наиболее опасных неустойчивостей плазмы в ловушках со спадающим полем является конвективная, называемая также перестановочной или желобковой. Опасность ее связана, как известно с тем, что, во-первых, она приводит к быстрым крупномасштабным потерям плазмы, а во-вторых, развивается и при низком давлении плазмы - в случае, когда (3 = Вир/В2 «1. При этом возмущение является потенциальным. Так как энергия плазмы мала в сравнении с энергией магнитного поля, то возмущение должно приводить к наименьшему изменению магнитного поля. Откуда следует, что возмущение имеет вид "желобка" вытянутого вдоль всей силовой линии. Сам вид желобковой (конвективной) неустойчивости был получен уже в работе Крускала-Шварцшильда [81], в которой получена неустойчивость плазмы гравитационном поле «поддерживаемой» магнитным полем. Выше отмечался МГД критерий устойчивости плазмы удерживаемой в спадающем поле (то есть, при V V/ 0) к конвективным возмущениям. Условие конвективной устойчивости плазмы в МГД описании было получено в работах Розенблюта и Лонгмайра [17], Бернштейна, Фримана, Крускала и Кульсруда [22,23], Кадомцева [4,18-21]. Первой работой являлась [17], затем появилась крупная статья Бернштейна и др. [22,23] содержащая обоснование энергетического принципа и указание на возможность развития непотенциальных - баллонных возмущений при высоком давлении плазмы [82,83]. При этом именно в работах Кадомцева был сделан акцент на стабилизирующее действие плавного спада давления в непараксиальных ловушках с большой кривизной силовых линий. Им также были проанализированы конкретные магнитные конфигурации, в том числе предложенные им годом ранее совместно с Брагинским [16] ловушки с охраняющими проводниками, и указан метод стабилизации в виде окружения конфигурации магнитной сепаратрисой Согласно Кадомцеву [4] плазма устойчива, если градиент давления не выше чем определяется из условия VpVC/ yp(vuf/\if\, где U = -\cll/B.
Отсюда следует, что нейтрально устойчив профиль вида /?се[/ 7 или р= p0-(U0/uy. Интегрирование в U = -\dl/B проводится вдоль (каждой) силовой линии по сечению ловушки, при этом, очевидно, что вклад участков со слабым полем будет более высоким. В пределе — на сепаратрисе интеграл U логарифмически расходится (Us — -), что, следовательно, позволяет иметь нулевое давление без потери устойчивости (Ps 0). Из картины силовых линий (рис. 1.2, 1.4, 1.6, 1.10) можно видеть, что сепаратриса разделяет линии, окружающие разные проводники с током. Конвективная неустойчивость, возникающая из-за градиента давления, не возмущает конфигурацию магнитного поля (т.к. 3«1). То есть возмущение не может распространиться за сепаратрису, так как снаружи от нее силовые линии имеют иную топологию. Подобное ограничение возмущений сепаратрисой как твердой границей описывалось в [32] в виде идеального проводящего кожуха [84]. Действительно, профиль давления у сепаратрисы имеет вид [21] р(\[/ — \\is) осln(\/5 -\\i)[ (\j/ - магнитный поток (поперечная к силовым линиям координата)), откуда следует, что градиентный (или диамагнитный) ток в плазме на сепаратрисе j ос ф/Зц/ -» оо. Сам критерий устойчивости pazU 1 не накладывает никаких ограничений на саму величину плазменного давления [85]. Ограничения на наибольшее давление плазмы - на величину бета, определяется развитием непотенциальных - баллонных возмущений. Известна оценка максимальной величины бета ограниченной баллонными модами $ n2aR/l} [83,84], где а - малый радиус плазмы, R - радиус кривизны силовых линий, L — наибольшая длина волны возмущения (длина ловушки). При этом условие устойчивости в виде pozU 1 можно использовать и в случае конечного давления плазмы, если совместно с ним решить уравнение МГД равновесия плазмы. В этом случае расчет профиля U следует проводить не по вакуумному, а по равновесному магнитному полю - с учетом плазменных токов. Здесь, однако, существует проблема для расчетов равновесия состоящая в росте плазменного диамагнитного тока при приближении к сепаратрисе, на которой он бесконечен j ос др/ду - оо, согласно р к U y. Таким образом, для корректного согласования конвективной устойчивости и равновесия требуется, строго говоря, определить уровень потерь плазмы из периферийной области, где нарушается адиабатичность движения частиц, который сгладит градиент давления. Как известно, МГД критерий дает наиболее жесткое условие устойчивости, отвечая наиболее пологому градиенту давления. В то время как кинетическое описание конвективной устойчивости, требуемое в случае систем с большой кривизной и редких столкновений, может приводить к заметно большим градиентам [82,83]. Рассмотрение устойчивости плазмы в кинетическом описании проводилось в работах Крускала и Обермана [24] (1958), Кадомцева [19] (1958), Розенблюта и Ростокера [25] (1959). Сам полученный кинетический критерий называется иногда критерием Крускала-Обермана. В работе Кадомцева [19], где рассматривалась динамика плазмы в сильном магнитном поле, было показано, что ее движение поперек поля может быть описано гидродинамическими уравнениями, а вдоль поля -кинетическими.
При этом был получен (необходимый и достаточный) критерий конвективной устойчивости плазмы низкого давления для заданной функции распределения, и указан частный случай для изотропного распределения. В соответствии с энергетическим принципом устойчивости плазмы отвечает положительный знак потенциальной энергии возмущения V 0. Потенциальная энергия V желобковых возмущений электрического потенциала ф(у)ехр(ш70) (для плазмы с (3— 0; 0 - азимутальный угол) имеет вид [19]: J и = J v и ell - продольный адиабатический инвариант, т ц = J(d//v ц ) - время движения между отражениями от пробок, v и = 2(c - ц5) - продольная скорость, интегрирование ведется вдоль силовой линии между точками отражения частиц. Условие устойчивости [19]: wf + w( 0. Для простоты будем полагать, что давление одной компоненты (например, электронов) много выше чем другой, тогда условие конвективной устойчивости: В работе Крускала и Обермана [24] получено необходимое и достаточное условие устойчивости плазмы в более общем виде - при произвольном давлении - без ограничения на вид возмущения. В опубликованной годом позже работе Розенблюта и Ростокера [25] аналогичный результат получен при другом подходе. В обеих работах сформулированы и доказаны теоремы сравнения, показывающие, что МГД приближение и приближение Чу-Гольдбергера-Лоу (ЧГЛ) [86] являются предельными случаями для описания устойчивости плазмы, а именно: приближение ЧГЛ - есть необходимое условие, а приближение МГД -достаточное. То есть кинетическое описание по критерию Крускала-Обермана дает критический градиент давления больший, чем МГД, но меньший, чем ЧГЛ: p\4_H_D Чр\к_0 Ур _L. Следует отметить, что работа [25] по используемой методике и стилю изложения гораздо более ясна, нежели [24]. При этом авторы [25] ограничились рассмотрением изотропной плазмы. Однако полученные в [24] и [25] критерии в общем виде крайне сложны, что делает практически невозможным напрямую использовать их для анализа конкретных конфигураций. Существенное упрощение без потери общности было получено только в недавней работе [87] (а перед этим в [88] - для изотропной плазмы), однако, практическое применение полученных условий устойчивости еще предстоит осуществить. Основными наиболее значимыми применяемыми упрощениями являются: рассмотрение плазмы низкого давления - при Р 0; и рассмотрение предельных случаев - МГД или ЧГЛ. Так результаты полученные в работе Кадомцева [19] относятся к упрощению для случая Р -»0, когда наиболее опасными являются конвективные (потенциальные) возмущения.
Обсуждение результатов расчетов
Установлено, что устойчивый спад давления в конфигурациях, имеющих протяженные участки со слабым полем, происходит более плавно по сечению ловушки до нуля на сепаратрисе (рис. 2.7). Напротив, конфигурации с малыми по размеру участками со слабым полем (вида Магнетора со сжатой сепаратрисой, а также пробкотрона с дивертором), характеризуются спадом большей части давления вблизи сепаратрисы. Что находится в согласии с результатами работ [103,91]. Так, в сильно непараксиальном пробкотроне с «кольцом устойчивости» Рютова-Ступакова был получен плавный спад давления к сепаратрисе [103 ], а в [91] для более равномерного спада давления рекомендовалось «искусственно» увеличивать длину силовых линий у сепаратрисы. Приведенное на рис. 2.8 сравнение перепада давления в Магнеторе и пробкотроне при (условно) фиксированном относительном градиенте (dlnP/дм/ 0.01) также показывает, что в конфигурации Магнетора профиль давления спадает сильнее. Видно, что при d\nP/d\\f 0.01 давление в пробкотроне падает из центра на периферию почти на порядок, а в Магнеторе (в основной конфигурации) почти три порядка величины. Следует отметить, что в действительности плазма будет ограничена не сепаратрисой, а некоторой силовой линией внутри нее. Эта линия является границей адиабатичности движения частиц, и проходит через участки с относительно слабым полем, из которых возможен бесстолкновительный поперечный уход. Соответственно, чем большая часть давления будет спадать вблизи сепаратрисы, тем большая часть профиля может попасть в область неадиабатичности, то есть тем меньше будет и общий перепад устойчивого давления. И, наоборот - при более значительном спаде давления в центральных областях - до сепаратрисы достижимый перепад давления может быть больше. 2. Обнаружено два основных ограничения на МГД равновесие, согласованное с конвективной устойчивостью со стороны наибольшего достижимого давления, в зависимости от характера спада давления к сепаратрисе. В случае наличия протяженных участков со слабым полем и (связанного с этим) значительного спада давления еще до приближения к сепаратрисе основным ограничением является расширение сепаратрисы (направление такого расширения видно на рис. 2.4). Которое происходит, очевидно, тем быстрее, чем слабее поле у сепаратрисы.
Это расширение можно ограничить, сокращая размер участков со слабым полем. В этом случае - «сжатой» дипольной конфигурации (типа 2.3.2), а также пробкотрона с дивертором - основным ограничением на равновесие согласованное с конвективной устойчивостью является «филаментация» тока (рис. 2.9). Так как теперь более значительная часть давления спадает вблизи сепаратрисы, то значит и градиент давления (ток) dP/d\y=j/cr у сепаратрисы больше. На некоторой стадии итераций происходит образование сгустка градиентного плазменного тока в относительно слабом поле вблизи сепаратрисы. В геометрии Магнетора сгусток имеет кольцевую форму, в геометрии пробкотрона - вид радиального слоя силовых линий. В сгустке протекает ток сравнимый по величине с током в витках (с плотностью тока). При этом существенно искажается топология силовых линий у сепаратрисы, из-за чего итерации не сходятся. Особенность проводимых расчетов конвективно-устойчивого равновесия в том, что выход сепаратрисы за пределы сетки либо филаментацию тока трудно предугадать в начале итераций. Для более точного определения наибольшего давления плазмы, которое может удерживаться в заданной конфигурации, нужно плавно повышать значение давления, проводя итерации по величине р\ Отметим, что указанные ограничения по наибольшему давлению (бета) являются критичными для равновесия согласованного с конвективной устойчивостью именно в конфигурациях ограниченных сепаратрисой - являющихся оптимальными. Если ограничится рассмотрением лимитерного режима удержания, как было сделано в работе [63], то можно рассчитать конвективно-устойчивое равновесие и при крайне высоком давлении ф»1). 3. Для характеристики равновесных конвективно-устойчивых конфигураций предложены следующие интегральные параметры. Из распределений Р в ловушках (рис. 2.6.III) видно, что его значения могут меняться в широких пределах и быть очень велики вблизи нулей ПОЛЯ, и очень малы в пробках. Имеет смысл вычислить отношение энергий, заключенных в плазме и в магнитном поле: где Уф Vgrid — объемы плазмы и всей сетки. Величина л имеет смысл интегрального значения бета. (В действительности, для определения полной энергии магнитного поля \B2/8KC!V требуется проводить интегрирование по бесконечному объему; однако, этот интеграл конечен, так как давление магнитного поля спадает быстрее, чем растет объем: В(г - оо) ос г"1, dV a: rdr, и В2dV ос г-4 - 0 при г —» со.) Для характеристики удержания важны также количество энергии в удерживаемой плазме Q = (3/2) \ppldVpl и уровень потерь.
Последний связан с профилем Р в присепаратрисном слое. Установление такой связи является, как уже говорилось, отдельной задачей. Однако и без решения этой задачи можно утверждать, что чем выше давление на сепаратрисе, тем потери больше. Если предположить, что есть "граница" удержания на периферии, попав за которую частицы уходят; давление на этой границе Рт[П = Р(\\іПш) не равно нулю, а имеет конечное значение, и плазма уносится за сепаратрису именно с этим давлением, то потери растут с увеличением Ртт. В какой-то мере качество ловушки (а именно, локализацию плазмы в ней) можно тогда охарактеризовать отношением среднего по объему давления \ppldVpll \dVpl к этому минимальному Ртш, или, если ввести энергию «по минимальному давлению» Ф = (3/2)Р1Ш]1 \dVpl , отношением энергий 0/Ф. Произведение этой величины и интегрального бета, % = (/Ф)г\, можно назвать "эффективностью" магнитной конфигурации (см. таблицу 3). В токамаке JET можно оценить интегральное бета как Г) 5х 10" . При перепаде давления 0/Ф 10", введенная указанным образом эффективность составляет % 0.05. Проведенное сравнение полученного экспериментального распределения [51] плотности плазмы и рассчитанного согласно МГД критерию конвективной устойчивости показало удовлетворительное согласие результатов. Расчет проводился по коду ESPHIB для реальной магнитной геометрии, при этом условие устойчивости соответствовало МГД критерию с изотропным давлением плазмы pUf=const, а величина давления для равновесия выбиралась из измеренной плотности и температуры электронов фоновой плазмы. Так как температура (электронов фоновой плазмы) примерно постоянна, удобно сравнивать профили концентрации. (Функция распределения электронов фоновой плазмы в ЭЦР, как известно, близка к Максвелловской.) Удобно провести специальные профили - осевые А и В, и радиальные С и D (рис. 2.10).
Описание численного алгоритма
При представлении функции распределения в виде F(,\i,\\i) = f(F.)-G(X,\\i)-pm(\\i), (где s = v2/2 -энергия, [x = v2L/2H -магнитный момент, \/ - потоковая функция (поперечная координата), X = ц/є = І/В -суть питч-угол между вектором скорости частицы и силовой линией; G(X,\\f) - функция анизотропии 0 G 1; рт(у) - профиль, определяющий вместе с G(X,\\f) профили продольного и поперечного давления плазмы, для изотропной плазмы рт=р), критерий устойчивости (1.1) [19] можно представить в виде [89,90]: определяются параметрами магнитной конфигурации. Величина J(k,\\i) -продольный адиабатический инвариант для частицы с заданным питч-углом А. (деленный на V2s); т(А.,\/) - время отражения этой частицы от магнитной пробки с полем В (умноженное на следует, что границе устойчивости отвечает критический градиент, равный: Для изотропного распределения плазмы профиль pm(\\i) представляет из себя просто давление плазмы рт - p(\\i). А условие устойчивости (3.1) можно представить в более простом виде [19,82,83]: В него переходит неравенство (3.1) при G=const=l (при этом A(\\i) = -2/3-d( dl/B)/d\\i, S(4i) = 5 -\dJ/d\\i)2dX). Выражение (3.7), будучи заметно проще (3.1) применялось для сравнения итогового профиля (3.6). Функция анизотропии G(k,\\i) бралась в виде изотропного распределения G(k)=l с трапециевидным вырезом в области сильного поля (рис. 1). (Ниже будут рассмотрены и другие виды анизотропии.) Степень анизотропии задается двумя параметрами а и 5 (а,8є[о,і]), где значение а -величина давления в пробке (в области Х. 1/5тах= тіп(у)), значение 5=() - бУ( тах- тіп) - определяет положение изотропного участка, а именно: в области, где Х Х6, G=l. Величина G в интервале [A.min; Х6] изменяется линейно от G = а при X=Xmin, до G = 1 при Х=Х6 (а именно G(X)=a+(l a)-(X-Хтт)/(Х6-Хтт)). Изотропному распределению G(A.)=1 отвечает выбор 0=8=1. Интегрирование по А. в (3.2), (3.3) проводится от нуля до тах, соответствующего минимуму поля на выбранной силовой линии \j/. Случай пустых конусов потерь, когда за нижний предел нужно выбирать Х„ п (максимальное на силовой линии поле), задается автоматически выбором для функции анизотропии а=0. Для вычислений кинетического профиля давления область Х-м/ разбивается на сетку в диапазоне \/sep — \лпп и 0 X Xmax(\\f) (рис. 3.2), где M sep и \/-шп - внешняя (у сепаратрисы) и внутренняя (у оси или у внутреннего витка) силовые линии соответственно, a Xmm(\\f)=l/Bm[n(\\f), где Bm\n(\\i) -наименьшее поле на длине силовой линии /. Применялись две схемы сеток. В первой (I) количество элементов было NyxN\, где Ny = 200 или 1000; Nx = 200. Шаг по \j/ переменный; шаг по X постоянный, свой для каждой силовой линии \/: ЬХ(\\і) = 2 (1)/)/200.
Во второй сетке (II) применялся "трапециевидный" динамический массив с плавающей внешней границей. Дробление по \j/ выбиралось прежним (Ny — 200 или 1000). А шаг по X выбирался единым для всех уровней \/, равным 8A.f=(min{ .max(\j/)} )/100 (минимальное значение из всех тах деленное на 100). При этом количество узлов по X на каждой линии было свое и задавалось равным: Л/ Ху) = Хтй1{(\\г)/ЬХ, (подразумевается округление до целого; во всем диапазоне \j/ величины М.(\]/) 100). В этом случае наибольшее количество узлов по X - на силовой линии ближайшей к сепаратрисе \/sep в случае пробкотрона с дивертором обычно не превышало MXYsep) 2000-5000; а общее количество узлов во П-й - динамической сетке было примерно в 1.5 раза выше, чем в 1-ой статической. В случае расчетов в конфигурации Магнетора наибольшее количество узлов по X на линии \j/sep у сепаратрисы не превышало Л (\/5ер) 20000. К достоинствам второй сетки следует отнести удобство вычислений производных и интерполяции между узлами. В первой же более просто вычисляются интегралы /ит. В обеих сетках большое количество узлов расположено в области большой кривизны поля - больших X. Интегрирование в J(X,\\J) = Ul-XBdl и z(X,\\i) = \dl/Jl-XB проводится по длине силовой линии / при заданном значении X, для значений поля В ЇІХ (там, где подкоренное выражение больше нуля). Значение X определяет точку отражения частицы на силовой линии.
Интеграл т представляет собой время движения частицы между отражениями от пробок, однако, по-сути, это время отражения от пробки так как основной вклад в т дают, очевидно, именно "края" области интегрирования, в, отличии от величины / которая слабо чувствительна к определению точки отражения (т.к. в точке отражения (где Xi?— 1) dJIdl- Q, тогда как дт/д1— со). Случайное расположение шагов интегрирования по dl, которые не попадают в точки отражения точно, предотвращает расходимость интеграла т. При этом виден определенный численный "шум" (рис. 3.4). Однако измельчение шага интегрирования показало, что т вычисляется с удовлетворительной точностью. На рисунке 3.4 приведены примеры зависимостей / т для некоторой силовой линии. Пики на зависимости т(Х) соответствуют магнитному полю в пробке и появляются, когда интегрирование вдоль силовых линий проводится вплоть до магнитных пробок или через них. Количество пиков соответствует количеству магнитных пробок, через которые проходит интегрирование силовой линии. Действительно, величина т, в основном, представляет собой время отражения частицы с заданным Х\ от магнитного поля равного В{ = 1/?ц. На частицу действует продольная сила /y=-u.gradS, выталкивающая частицу из сильного поля. В пробке же продольный градиент gradZ?— 0, соответственно, по мере продвижения в пробку сила выталкивания F уменьшается, и частица тормозится все меньше. Таким образом, для определенного питч-угла соответствующего отражению частиц именно в пробках, время отражения от пробки очень велико. Однако такие частицы - проводящие длительное время в пробках, вносят меньший вклад в стабилизацию плазмы - множитель т входит в интеграл S(\\f) (3.3) в знаменателе.
Удержание плазмы в ловушках со спадающим полем в зависимости от анизотропии
Крутизна профиля давления является ключевым параметром при поиске наиболее выгодной магнитной конфигурации с позиции локализации плазмы в ней. Выше было установлено, что "кинетические" профили давления более благоприятны и с позиции локализации плазмы и с позиции равновесия, чем критические по конвективной неустойчивости устойчивости профили в МГД описании. При этом "более" анизотропные распределения, где значительная часть частиц вытеснена из магнитных пробок в минимумы на силовых линиях, могут приводить к более крутым профилям давления, допускаемым конвективной устойчивостью. Рассмотрим более подробно вопрос о влиянии вида функции анизотропии G(k,\\f) на критическую скорость спада конвективно-устойчивых профилей давления в соответствии с бесстолкновительным кинетическим критерием. Принятое модельное распределение G(\,\\r) в виде изотропного распределения G(\,\\i)=l с трапециевидным вырезом в области сильного поля (рис. 3.1) имеет следующую особенность (рис. 3.18). Если задаваемые параметры а и 5 едины для всех силовых линий, то, очевидно, что величина А.д = Aax-(Xmax-Xmm)S = Х$(\у) зависит от м/ так, что у сепаратрисы Х5 сдвинуто в область больших значений X (рис. 3.1, 3.18). Это приводит к тому, что (в геометрии пробкотрона) производная dG(X,\\i)/dy О (рис. 3.18). При этом величина ДА.,\/) такова, что производная dJ(k,\\f)/dy О (рис. 3.18). (Действительно, длина линии j(X = 0)= \dl больше у сепаратрисы и меньше в сильном поле, также и наибольшее значение 1ах очевидно выше у сепаратрисы, так как поле у нуля слабее; при этом функция J(k) монотонно убывает от /(0) = \dl (при =0) до J(kmdlX)=0 (при Х=Хтах).) Таким образом, произведение производных dG/c\\f-dJ/d\\f 0 всюду отрицательно. Это произведение входит в интеграл S (3.3), где все остальные члены больше нуля (имея в виду, что cG(k,\\f)/cX 0), который, в свою очередь, входит в числитель отношения определяющего критический градиент давления.
Таким образом, факт присутствия отрицательного слагаемого в стабилизирующем интеграле снижает предельно допустимый градиент давления d\np„,/d\\f=S/A. Отсюда видно, что определенным выбором анизотропии G(k,\\i) можно поменять знак произведения dG/d\\f-dJ/ch\ , и получить больший градиент давления д\прт/дц. Отметим, что в случае геометрии Магнетора знаки производных меняются на противоположные симметрично: 8G/d\\i 0, dJ/d\\f 0, то есть при этом их произведение dG/chy-dJ/d\\i 0 также остается отрицательным. Данная особенность становится очевидной, если учесть, что, фактически, "количество плазмы" уменьшается к сепаратрисе за счет нарастающей анизотропии (рис. 3.18, 3.2). Соответственно "сложнее" поддержать резкий градиент давления без потери устойчивости, т.к. сама идея самосогласованного поддержания конвективной устойчивости в том, что давление плазмы спадает наружу не очень быстро. Имеет смысл рассмотреть "предельные" распределения анизотропии G(k,\\f), такие, что в одном случае (G=Gi) произведение dGJd\\i-dJ/d\\t О положительно для всех А,-\/; а в другом случае (G=G2) произведение dG2/dy-dJ/dy 0 отрицательно для всех значений Х-у. Зададим для этого зависимости G\% меняющимися по сечению ловушки с параметрами Рис. 3.19. Распределения анизотропии Gi(X,,v)/) - слева, Сг2(Х.,у) - справа, ось: \/=0 Для распределения G\ зададим параметр 5i(v/)=(v/inn - \/)/(\/ІПП - v/sep), так что i(v/mn)=0, 5i(v/scp)=l. Для распределения G2 зададим параметр o2(v)=(V - Vsep)/(Yinn - \/seP), так что 52(\}/1ПП)=1, 82(у5Єр)=0. ПРИ этом распределение G\ имеет анизотропный пик на оси (5(\/jnn)=0) и изотропное распределение на периферии - у сепаратрисы (5i(\/sep)=l). Распределение G2, наоборот, отвечает изотропной плазме на оси (52(\/inn)=l) с анизотропным пиком у сепаратрисы (52(v/sep)=0) (см. рис. 3.19, 3.20). Распределение G{ с пиком в центре может быть реализовано при сильном нагреве поперечной составляющей в центре, при этом периферия заполняется плазмой благодаря транспорту, где легко поддержать изотропное распределение из-за большого пробочного отношения у сепаратрисы. Распределение Go с пиком на сепаратрисе может быть реализовано через нагрев и продольной и поперечной компоненты в центре и дополнительный нагрев поперечной составляющей на периферии. То есть центрально-пикированное распределение выглядит естественным для единичной (открытой) ловушки, а с пиком на сепаратрисе выглядит более применимым к замкнутым системам. Из рис. 3.21 с радиальными профилями "энергосодержания" є(\/) нормированными на значение на оси видно следующее. Профиль с анизотропной периферией (и с анизотропным пиком на сепаратрисе) (Go) дает наибольшее "энергосодержание" во всей ловушке и наибольший спад энергосодержания к сепаратрисе. За ним идет профиль с анизотропным центром и изотропной периферией (GL), "энергосодержание" в нем также выше и спад с сепаратрисе сильнее, чем в профиле с изотропным распределением. Можно сформулировать следующий вывод. Выгодно иметь анизотропное распределение в области большой кривизны, где эффект стабилизации благодаря и кривизне и анизотропии проявляется наиболее сильно; и изотропное распределение в области слабой кривизны -там где сам допустимый градиент давления гораздо ниже.
Из сравнения зависимостей є(ц/) для центрально пикированного (Gi) и изотропного распределений видно, что при движении от сепаратрисы большая крутизна нарастания давления (обеспечиваемая нарастающей анизотропией), дает больший вклад в "энергосодержание", чем "сокращение" числа частиц (также являющееся сутью растущей при движении к центру анизотропии), и в итоге профиль энергии может проходить выше изотропного, несмотря на заметное сокращение числа частиц в центре (см. рис. 3.20, G\). То есть, при увеличении анизотропии, для роста "энергосодержания" большая крутизна нарастания давления важнее чем уменьшение количества частиц. Распределение G\ с пиком в центре на оси имеет смысл создавать в отдельном пробкотроне, с большим энерговкладом в центре. Распределение G2 с изотропной серединой и пиком у сепаратрисы может быть востребованным в (замкнутых) цепочках открытых ловушек, где требуется снизить энергию периферийной плазмы, например, для работы с большим бета. Представляет интерес применение описанной процедуры вычислений кинетического профиля давления для анализа ловушек без осевой симметрии по вакуумному полю (при (3=0). Для расчетов трехмерных конфигураций магнитных полей, заданных тонкими токовыми витками был разработан численный на основе сеточной аппроксимации компонент поля между узлами предварительно вычисленной сетки. Алгоритм вычислений следующий. Для одного витка единичного радиуса с единичным током по закону Био-Савара рассчитываются две равномерные прямоугольные цилиндрические сетки значений Brl[ijc] и Bz\[i,k]. Размер сеток 10 х10 элементов, при этом расстояние между узлами 0.01 радиуса витка (внешняя граница соответствует 10 радиусам единичного витка). Для интегрирования по Био-Савару виток дробился на 104 элементов. Сетки записываются в текстовые файлы; общий размер двух файлов -50М6. Для вычисления поля от нужного витка с использованием предварительно записанных сеток применялась (билинейная) интерполяция, при этом происходило масштабирование нормированных сеток на размер витка и на ток, протекающий в нем. Сокращение времени вычислений можно оценить, сравнивая количество строк, требуемых для расчета поля в одной точке. Интерполяционная процедура занимает на уровне -100 строк; цикл Био-Савара 20 строк. Дробление кольца производилось на 104 частей, так образом отношение времени расчета прямым интегрированием по закону Био-Савара к времени расчета по интерполяционной процедуре можно оценить как 20 104/100 = 2000.
