Содержание к диссертации
Введение
1 Усредненная пондермоторная сила в магнитном поле 25
1.1 Адиабатическое дрейфовое движение 25
1.2 Пондермоторный барьер как демон Максвелла 34
1.3 Основные уравнения 36
1.4 Поперечный нагрев в неоднородном магнитном поле 41
1.5 Неадиабатическое ускорение частиц вдоль магнитного поля 44
1.5.1 Общие соотношения 45
1.5.2 Плавнонеоднородные поля 46
1.5.3 Разрывные поля 48
1.6 Условия поддержания асимметричности ВЧ барьера 54
1.7 Результаты численного моделирования 58
1.8 Генерация плазменного тока 65
2 Усредненная пондермоторная сила для релятивистских частиц 76
2.1 Дрейфовый лагранжиан релятивистской частицы 76
2.2 Дрейфовое описание ускорения электронов лазерным полем 84
2.3 Результаты численного моделирования 90
3 Усредненная пондермоторная сила в гидродинамике плазмы 95
3.1 Обратное рамановское рассеяние 95
3.2 Усиление лазерных импульсов при рамановском рассеянии 98
3.2.1 Одномерная задача 99
3.2.2 Модовое описание усиления импульсов в капилляре 101
3.2.3 Усиление в одномодовом и миогомодовом режимах 104
3.3 Объемная динамическая голография в рамановской среде 108
3.3.1 Основные уравнения 109
3.3.2 Запись и считывание оптической информация 110
3.3.3 Оптимальный режим хранения информации в плазме 116
Заключение 120
В Генерация плазменного тока «демоном Максвелла» 131
Литература 136
- Пондермоторный барьер как демон Максвелла
- Условия поддержания асимметричности ВЧ барьера
- Дрейфовое описание ускорения электронов лазерным полем
- Модовое описание усиления импульсов в капилляре
Введение к работе
Проблема аналитического описания движения заряженной частицы в произвольном поле электромагнитного излучения представляет собой одну из важнейших, и в тоже время, точно не решаемых задач в физике плазмы. В слабых полях, когда максимальная скорость v„, приобретаемая частицей под действием волны на одном периоде осцилляции, остается малой по сравнению со скоростью ее невозмущеииого движения v, задача допускает использование приближения линейного взаимодействия и, соответственно, решается относительно просто. В противном случае, когда v v, взаимодействие частицы с полем с необходимостью должно рассматриваться в рамках более сложного подхода, требующего учета нелинейных эффектов.
Часто нелинейное взаимодействие заряженной частицы с высокочастотным (ВЧ) полем удобно рассматривать в рамках так называемого усредненного пондермотор-ного описания (УПО) [1-4]. Так, если смещение частицы на периоде ее осцилляции мало по сравнению с масштабом неоднородности волнового пакета, влияние излучения на частицу может быть заменено ее взаимодействием с эффективным («пон-дермоторным»-) потенциалом, зависящим от локальной плотности энергии электромагнитного поля. Возможность усредненного описания в рамках модели консервативного движения является следствием сохранения адиабатического инварианта -квазиэнергии дрейфового движения частицы. Вследствие высокой точности сохранения квазиэнергии, приближение •«усредненной пондермоторной силы» (УПС), или «силы Миллера», позволяет адекватно описывать дрейфовую динамику частиц в широком диапазоне частот и интенсивностей электромагнитного излучения и находит широкое применение в физике плазмы.
В отличие от электростатического потенциала, для которого справедлива теорема Иршиоу (см., напр., [5,6]), пондермоторный потенциал может непосредственно использоваться для удержания заряженных частиц внутри ограниченного пространственного объема. Соответственно, одним из первых предложений по применению силы Миллера в экспериментах явилась идея удержання плазмы ВЧ полем в уста новках управляемого термоядерного синтеза (УТС) [3]. Однако исследования данной проблемы в приложении к термоядерной плазме, в том числе с использованием дополнительных средств магнитного удержания, показали низкую эффективность плазменных ловушек при приемлемых значениях мощности ВЧ излучения, вводимого в систему (см., напр., [3]). Тем не менее, несмотря на угасание интереса к ВЧ-удержанню плазмы, область применения усредненной пондермоторной силы в установках УТС остается достаточно широкой. Среди прочего можно отметить, например, стабилизацию низкочастотных мод в системах магнитного удержания [7,8], а также - создание и поддержание тороидального тока в токамаках [Э, 10]. Несмотря на то, что за последние десятилетия было предложено и апробировано значительное число методов по созданию плазменного тока с помощью ВЧ излучения [11-17], поиск наиболее эффективных схем, в которых затраты мощности на поддержание тока были бы минимальными, продолжается и по сей день.
Консервативная УПС может использоваться в качестве источника тока в плазме только при достаточно высокой частоте электрон-ионных столкновений1 [9,10]. С другой стороны, особые свойства, которые приобретает сила Миллера в магнитном поле, при определенных условиях делают ее неконсервативной, а значит, пригодной для поддержания тока и в бесстолкновлтелъном режиме. В отличие от аналогичного потенциала в незамагниченной плазме, пондермоторный потенциал в неоднородном магнитном поле является сингулярным и имеет полюс первого порядка в точке циклотронного резонанса. Данная особенность позволяет увеличивать высоту ВЧ барьера в плазменных ловушках [3,18-20], а также использовать УПС для разделения изотопов в многокомпонентных плазмах [21]. Однако, благодаря наличию сингулярности, пондермоторный потенциал проявляет также и свойство асимметричности: резонансный ВЧ барьер оказывается способным отражать поток частиц, налетающих со стороны слабого магнитного поля, и пропускать поток частиц со стороны сильного поля, производя тем самым продольный электрический ток. При адиабатической динамике пролетных частиц такой барьер был бы эквивалентен демону Максвелла, существование которого запрещено вторым законом термодинамики (см., напр., [22,23]). Следовательно, неадиабатические эффекты, то есть нагрев плазмы ВЧ полем при генерации тока, составляют неотъемлемое свойство резонансной УПС в магнитном поле.
1 В отсутствии столкновений работа консервативной по траектории каждой частицы вдаль магнитного поля равняется нулю, а значит, консервативная сила Миллера не ускоряет частицы, то есть не создает ток. Идея создания тока с помощью асимметричного ВЧ барьера высказывалась в работах [24,25], однако детальная разработка данного метода с учетом неадиабатических эффектов в области циклотронного резонанса была предпринята лишь в авторских работах [26,27]. Для исследования механизма генерации тока резонансным ВЧ барьером необходимо создание достаточно общей аналитической модели нелинейной динамики частиц вблизи циклотронного резонанса, где приближение консервативной силы Миллера становится несправедливым. Ранее данный вопрос исследовался во множестве работ, в большинстве посвященных проблеме ВЧ удержания и циклотронного нагрева плазмы в магнитных ловушках [3,18-20,24,25,28-33,33-35]. Среди прочего изучался слабый нагрев частиц, квазиадиабатически удерживаемых внутри ловушки [18-20], запирающим ВЧ полем, в то время как пролетные частицы, не удерживаемые ВЧ полем и покидающие плазму, не рассматривались достаточно подробно. В наиболее полной форме результаты исследования динамики пролетных частиц приводятся в обзорной работе [28], где основное внимание уделяется вопросу об ускорении электронов2 из области циклотронного резонанса. В других случаях эффекты, связанные с неоднородностью магнитного поля, либо полностью игнорировались [30,31], либо рассматривались эвристически [35] или на уровне элементарных оценок [3].
Более подробное обсуждение результатов ряда цитируемых работ представлено в основном тексте диссертации, однако заметим, что достаточно общее описание динамики частиц вблизи циклотронного резонанса, необходимое для изучения эффекта асимметричного отражения/пропускания частиц ВЧ полем, не было сформулировано до последнего времени. Данный эффект, тем не менее, заслуживает самого пристального внимания, так как является следствием фундаментальных свойств усредненной пондермоторнои силы в условиях резонансного взаимодействия и связывает адиабатическую динамику плазмы с неадиабатическими явлениями в условиях, когда дрейфовое описание движения частиц оказывается несправедливым. В настоящей работе предпринята попытка исследования особенностей функционирования асимметричного ВЧ барьера - пока лишь в рамках элементарной модели нерелятивистского движения3 - и обсуждается принципиальная возможность генерации
2 В данной случае правильнее было бы говорить о квазичастицах, так как для учета эффекта увлечения ионов в потоке холодной плазмы в работе [26] используется модель тензорной массы электрона,
3 Для установок УТС нерелятивистскан модель могла бы оказаться применимой в первую очередь к описанию динамики ионов (возможно, примесных), поскольку даже слабые релятивистскиеэффекты оказываются определяющими для динамики электронов в интенсивном ВЧ поле [24,25,281. плазменного тока с помощью подобного механизма. Вопрос о практической ценности источника тока на основе асимметричного ВЧ барьера (не обязательно в применении к установкам УТС) пока остается открытым, поскольку требует обобщения полученных результатов, составляющего предмет дальнейшего исследования.
Другой областью, где находит применение идея усредненного пондермоторного описания, является проблема взаимодействия интенсивного лазерного излучения с веществом. Последние успехи в лазерной технологии привели к созданию мощных систем, генерирующих излучение с интенсивностью до 1031 Вт/см2 [36-38]. Лазерные поля, получаемые на настоящий момент, способны ускорять электроны до ультрарелятивистских осцилляторных скоростей, недостижимых при лазерном ускорении еще в недавнем прошлом. Данный прогресс придает практический интерес исследованиям по взаимодействию сверхинтенсивного электромагнитного излучения с плазмой и определяет необходимость пересмотра ранее разработанных теоретических моделей в указанной области, в том числе и базовой модели дрейфовой динамики частиц.
При релятивистских интенсивностях (для электронов - / 1018 Вт/см2 при длине волны А = 1 /ял) влияние лазерного поля на заряженную частицу уже не может быть заменено ее взаимодействием с эффективным потенциалом, однако усредненное пондермоторное описание ее нелинейной динамики остается возможным. Ранее в определенных приближениях было показано (см., напр., [39 47]), что дрейфовый центр осциллирующей частицы в плавнонеоднородном лазерном поле ведет себя как релятивистская частица с эффективной массой т , зависящей от локальной интенсивности поля. Тем не менее, несмотря на значительный прогресс в аналитическом описании динамики частиц, работы в указанной области обычно обладают как минимум двумя из трех недостатков. Первый из них сводится к нечеткому определению понятия усреднения как такового, в то время как два естественных способа его введения - через усреднение либо по времени, либо по фазе лазерной волны - в общем случае совпадают лишь в нерелятивистском пределе. (О различии средних по времени и по фазе см. [48-50].) Работы, свободные от первого недостатка, используют формально математическое решение задачи о движении частицы в заданном поле в рамках гамильтоновых уравнений движения, не позволяющее увидеть причину консервативного характера УПС и применимости самой концепции эффективной массы. (Безусловно, речь идет лишь о методическом аспекте проблемы.) Наконец, третья проблема заключается в том, что ни в одной из указанных работ не описывается поведение частиц при наличии дополнительных низкочастотных («фоновых») полей, что не позволяет применять полученные результаты для исследования коллективных низкочастотных процессов в плазме под действием релятивистского излучения. Обобщение формализма, использующего понятие эффективной массы, на случаи взаимодействия с фоновыми полями может показаться очевидным [49]. Однако попытка провести подобное обобщение, предпринятая в работе [51], продемонстрировала нетривиальность данной проблемы и в итоге не была доведена до конца.
Указанные проблемы обусловлены выбором подхода к решению поставленной задачи - через усреднение уравнений движения или применение последовательности канонических преобразований. В результате, не было продемонстрировано, что консервативный характер дрейфового движения частицы под действием усредненной пондермоторной силы, в сущности, есть не более чем следствие существования принципа наименьшего действия и требования релятивистской инвариантности, как это показано в диссертации. Вместе с тем, упрощение релятивистского дрейфового описания в ряде случаев позволяет точнее определить условия его применимости4 и использовать полученные результаты в некоторых прикладных задачах, таких как, например, ускорение ультрарелятивистских электронов полем лазерного излучения [53-66].
Стоит отметить, что вследствие нелинейного взаимодействия с заряженными частицами, лазерное излучение в плазме и само подвергается влиянию силы Миллера, проявляющейся в виде кубичной нелинейности в уравнениях для огибающих лазерных импульсов [67,68]. Одним из эффектов, вызываемых действием усредненной пондермоторной силы, является рамановское рассеяние, заключающееся в обмене энергией между двумя электромагнитными импульсами посредством возбуждения ими низкочастотной плазменной волны - посредника взаимодействия [69].
В области высоких интенсивностей стимулированное обратное рамановское рассеяние (СОРР) является, пожалуй, наиболее перспективным методом усиления фемто-секундных лазерных импульсов [69-73], ие скованным технологическими ограничениями используемого в настоящее время метода усиления частотномодулированных импульсов [74]. На сегодняшний день одной из наиболее актуальных задач в области изучения данного механизма является исследование пространственного профиля взаимодействующих импульсов в различных схемах усиления. Форма импульсов определяет эффективность использования энергии накачки и максимальную мощность выходного излучения. Последнее особенно важно для использования метода в системах лазерного УТС - одного из основных потенциальных приложений СОРР. С других условиях применимости модели консервативной релятивистской УПС см., напр., [48,52]. гой стороны, механизм рамановекого взаимодействия при меньших интенсивностях также представляет определенный интерес в силу особенностей эволюции волновых пакетов в данном режиме. Например, как было показано в авторских работах [75,76], рамановское рассеяние может быть использовано с целью записи, считывания и обработки оптической информации Б плазме. В целом, данная область явлений («объемная динамическая голография»), представляет значительный практический интерес и может рассматриваться в приложении к другим нелинейным средам, в которых проявляется эффект трехволнового рамановского взаимодействия.
Таким образом, в различных областях физики плазмы существует большое число эффектов, весьма различных по своей природе, но равным образом описываемых в рамках общей концепции усредненной пондермоторной силы. Несмотря на почти пятидесятилетний срок с момента рождения идеи УПО, значительное число проблем, связанных с усредненной динамикой плазмы в ВЧ полях, по-прежнему остается нерешенным и сохраняет свою актуальность. Целью настоящей работы является аналитическое и численное исследование ряда таких проблем, включая решение следующих задач:
1. Выявление принципиальных особенностей функционирования резонансного пон-дермоторного барьера в магнитном поле с учетом неадиабатичпости динамики заряженных частиц вблизи циклотронного резонанса. Поиск условий, при которых достигается минимальный нагрев частиц ВЧ полем при сохранении барьером свойства асимметричности. Оценка эффективности генерации плазменного тока с помощью асимметричного пондермоторного барьера.
2. Развитие лагранжева формализма для описания динамики релятивистских частиц в плазме. Объяснение результатов численных экспериментов по ускорению релятивистских электронов лазерными импульсами в рамках концепции эффективной массы.
3. Классификация различных режимов взаимодействия коротких лазерных импульсов при стимулированном обратном рамановском рассеянии в плазме. Разработка принципов объемной динамической голографии.
При решении указанных задач получены следующие новые результаты, представленные в диссертации:
1. Исследована динамика нерелятивистских заряженных частиц под действием ВЧ излучения вблизи циклотронного резонанса в неоднородном магнитном по ле. Показано, что пропорциональность среднего приращения энергии и магнитного момента частиц при взаимодействии с ВЧ полем выполняется не только для плавнонеоднородных, но и для разрывных полей в широком диапазоне скоростей частиц; установлена точность, с которой выполняется данное соотношение. Определены условия минимизации нагрева частиц ВЧ полем при сохранении пондермоторным барьером свойства асимметричности.
2. Найдены фундаментальные ограничения на энергоемкость источника тока, основанного на асимметричном отражении/пропускании заряженных частиц пондермоторным барьером в неоднородном магнитном поле. Получены оценки для эффективности данного механизма при некоторых конфигурациях полей. Предложена схема генерации тока асимметричным ВЧ барьером с уменьшенным циклотронным нагревом пролетных частиц.
3. Показано, что консервативность дрейфового движения заряженной релятивистской частицы под действием плавнонеоднородного лазерного импульса, а также применимость концепции эффективной массы являются следствиями существования принципа наименьшего действия и требования релятивистской инвариантности. Получена функция Лагранжа, описывающая динамику ведущего центра релятивистской частицы в поле лазерного излучения в разреженной плазме в поле лазерного излучения в разреженной плазме в присутствии низкочастотных полей.
4. В рамках концепция эффективной массы объяснены результаты численных экспериментов по ускорению ультрарелятивистских электронов при туннельной ионизации [58]. Получены выражения для энергии ускоренных частиц, а также условия применимости усредненного описания к динамике электронов в сфокусированном лазерном поле.
5. Исследованы режимы взаимодействия коротких лазерных импульсов при обратном рамановском рассеянии в плазме капилляра. Показано, что в зависимости от амплитуды и длительности импульса накачки реализуются либо моде-вый (волноводяый), либо вакуумный тип взаимодействия. Обнаружен и изучен механизм нелинейной конкуренции мод при слабой накачке.
6. Предложена идея использования обратного рамановского рассеяния для реализации эффектов «объемной динамической голографии» Показано, что информация об амплитудной и фазовой структуре лазерного импульса может быть записана в виде пространственного профиля ленгвдоровской волны с помощью встречного сканирующего импульса; в последствии эта информация может быть считана повторным сканированием и воспроизведена в виде вторичного электромагнитного импульса с профилем, воспроизводящем структуру исходного сигнала. Показано также, что процедуры записи и считывания могут быть использованы дли цифровой и аналоговой обработки сигналов.
Научная и практическая ценность: Проведенные исследования имеют как теоретическое, так и прикладное значение. В теоретическом плане - это дальнейшее развитие концепции усредненного пондермоторного описания: разработка новых подходов к описанию дрейфового движения заряженных частиц в ВЧ полях, построение аналитических моделей неадиабатической динамики частиц под действием интенсивного электромагнитного излучения, объяснение и предсказание ряда гидродинамических эффектов, вызванных проявлением усредненной пондермоторной силы в плазме. Теоретические результаты могут найти применение в экспериментальных исследованиях в области магнитного и лазерного УТС, в экспериментах по ускорению релятивистских электронов, а также рамановскому рассеянию коротких лазерных импульсов.
Апробация работы: Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах ИПФ РАН, на следующих международных конференциях:
• 43rd Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics» (Лонг Бич, Калифорния, США, 29 октября - 2 ноября 2001 г.),
• «29th EPS Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion»- (Монтре, Швейцария, 17-21 июня 2002 г.),
• «44th Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics» (Орландо, Флорида, США, lb 15 ноября 2002 г.),
• «April Meeting of the American Physical Society» (Филадельфия, Пенсильвания, США, 5-8 апреля 2003 г.),
• «45th Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics» (Альбукерке, Нью Мексико, США, 27-31 ноября 2003 г.), а также на • Всероссийской XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, Московская обл., 25 февраля-1 марта 2002 г.),
• Всероссийской научной школе «Нелинейные волны» (Нижегородская обл., 2-9 марта 2002 г.),
• «Нижегородской сессии молодых ученых - 2002» (Дзержинск, Нижегородская обл., 22-25 апреля 2002 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в 18 статьях, трудах всероссийских и международных конференций и симпозиумов5.
Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Всего в работе 37 рисунков и 3 таблицы. Список литературы состоит из 118 наименований. Общий объем диссертации - 145 страниц.
Пондермоторный барьер как демон Максвелла
Среди всех областей резонансного взаимодействия частицы с ВЧ излучением, где Пф1 т nlfpj, особым свойством обладает область основного циклотронного резонанса Q ра ±о , где пондермоторный потенциал (1.6) претерпевает сингулярность. Поскольку в каждый момент времени частица испытывает на себе лишь конечную силу со стороны: электромагнитного поля, стремление Ф(г) к бесконечности объясняется неадекватностью принятой модели движения. В этом случае влияние "неадиабатн-ческих эффектов ва продольное движение частицы является определяющим и не может быть учтено в рамках теории возмущений. Ниже приводятся результаты более детального исследования, позволяющего адекватно описать неадиабатическую динамику частицы вблизи циклотронного резонанса.
Начнем с качественного рассмотрения движения частицы, перемещающейся под действием ВЧ излучения вдоль статического плавнонеоднородного магнитного поля Во = zB$)Z(z) + Bo fr, z), где Ва,т -С Д . Усредненная сила Лоренца, действующая на частицу вдоль магнитного поля, может быть представлена в виде {&F.)=F0 + F1+Fa, (1.45) где Fa — — ііВц(г) (вообще говоря, с переменным /л) - диамагнитная сила, выталкивающая частицу в область более слабого Во, а слагаемые F\ определяются выражениями Я. = - (vrf X В0Ь. ft = - Vrf X В,,),. (1 -46) Предположим для простоты, что электрическая компонента ВЧ поля имеет максимум на циклотронном резонансе, и, следовательно, амплитуда Brf меняет знак при переходе через резонанс (Рис. 1.1). В этом случае, поперечное смещение частицы под действием ВЧ поля rrf(z, t) и осцилляторная скорость Vrf(js,t) также меняют фазу на тг (см., напр., (1.18)). Следовательно, аналогично ведет себя малая поперечная компонента статического поля, В0)Г я —\тцВ , видимая» частицей в точке Ггг(,г,і). Таким образом, при любом z силы Fi и F2 оказываются направленными так же, как FQ - в сторону более слабого магнитного поля В0. (Более строго задача рассматривается в следующих параграфах.)
Из сказанного можно сделать важный вывод: в то время как частицы, движущиеся со стороны слабого магнитного поля (fl w), испытывают замедление и, в принципе, могут отражаться ВЧ барьером, частицы, движущиеся со стороны сильного поля (П а»), автоматически пропускаются и ускоряются электромагнитным Рис. 1.1: Пондермоторный барьер с максимумом электрической компоненты ВЧ поля в точке z — 0, где локальная циклотронная частота Г2 = еВо/тс сравнивается с частотой ВЧ поля и. Пондермоторный потенциал Ф(-г) испытывает сингулярность и меняет знак на циклотронном резонансе; средняя продольная сила Лоренца направлена в сторону более слабого В0 при всех z. полем. При условии сохранения адиабатичности динамики пролетных частиц резонансный потенциал мог бы функционировать как демон Максвелла (ДМ), отражая поток частиц, налетающих со стороны слабого магнитного поля, и пропуская поток частиц со стороны сильного поля [24,25], не совершая при этом работы. Поскольку существование демона Максвелла запрещено вторым законом термодинамики (см., напр., [22,23]), асимметричный ВЧ барьер обязан нарушать адиабатичность движения частиц, то есть обеспечивать их нагрев вблизи циклотронного резонанса. Данное утверждение может быть также переформулировано как следствие гамильтонова характера взаимодействия частиц с электромагнитным полем (Приложение А). При этом абсолютный минимум энергии, которую частицы должны получать в среднем от ВЧ поля для сохранения асимметричности пондермоторного барьера, может быть вычислен из первых принципов (Приложение В).
Ниже приводятся результаты исследования неадиабатической динамики заряженных частиц в области циклотронного резонанса с целью выявления принципиальных особенностей функционирования резонансного пондермоторного барьера в неоднородном магнитном поле. С использованием данных результатов будут найдены условия максимально эффективного нагрева заряженных частиц ВЧ излучением и опре делены конфигурации полей, при которых данный нагрев может быть минимизирован при сохранении пондермоторным барьером свойства асимметричности.
Для исследования принципиальных особенностей эффекта асимметричного отражения/пропускания частиц резонансным пондермоторным барьером в неоднородном магнитном поле ограничимся рассмотрением наиболее простого случая, демонстрирующего интересующие нас аспекты динамики заряженных частиц в ВЧ поле вблизи циклотронного резои&нса. Предположим, что движение заряженной частицы - иона или электрона - адекватно описывается в рамках нерелятивистской модели. (Пределы применимости указанной модели обсуждаются ниже.) Предположим также, что ВЧ излучение представляет собой поперечную плоскую стоячую волну произвольной продольной структуры (см. комментарий на с. 14), а продольное электростатическое поле, которое могло бы возникнуть в плазме вследствие разделения зарядов, не оказывает существенного влияния на динамику частиц. Последнее предположение справедливо, например, при взаимодействии низкоточных пучков частиц в вакууме, либо, отчасти, в плазме - в том случае, если рабочими частицами являются ионы.
Условия поддержания асимметричности ВЧ барьера
Используя результаты, полученные в 1.4, 1.5, определим условия, при которых ВЧ барьер может сохранять свойство асимметричности. Рассмотрим сначала частицы, налетающие на барьер со стороны слабого магнитного поля (Ь 1, или z 0) с начальной продольной скоростью щ = vKfi и магнитным моментом ц = %. Предположим, что такие частицы адиабатически отражаются барьером в некоторой точке Zf 0. В этом случае для любого г в области адиабатичности, удовлетворяющего неравенству z? z 0, выполняется следующее условие: где цро - начальная продольная энергия, Ь$ = Ь(±оо). Рассмотрим теперь частицы, налетающие на ВЧ барьер со стороны сильного поля (Ь 1, или г 0) с начальной скоростью vz = —VXIQ и тем же начальным магнитным моментом, /i = . Предположим, что эти частицы проходят через барьер с изменением продольной энергии, равным A5, = A/ (l-fc) + Q. (1.147) Из (1.109), (1.110) и (1.120) следует, что Q представляет собой «продольный нагрев» - неадиабатическое изменение энергии частицы вследствие резкой неоднородности ВЧ или статического поля. С использованием законов сохранения (1.54) равенство (1.147) можно записать в виде )\ + (мо + Дм) Kz) + Ф{г) = Єц 0 + Д/1 + Ь0 + Q. (1.148) Следовательно, поскольку ц является положительно определенной величиной, пролетная частица не может быть найдена в точке z 0, если %о + № - Kz)) - Ф(«) Да (&( ) - 1) - Q. (1.149) Таким образом, для пропускания барьером частиц со стороны сильного поля и отражения их со стороны слабого поля, необходимо выполнение требования Ар (&(г) - 1) - Q W{z) 0, (1.150) где W обозначает левую часть неравенств (1.146), (1.149). Следовательно, необходимым условием асимметричности барьера является "YTfr- (1-151) Бели ПРФ и ПЭТ справедливы, и, соответственно, (Q) = 0 согласно (1.120а), (1.134), неравенство (1.151) переписывается в виде (Д/І) , (1.152) что означает, но крайней мере, необходимость выполнения условия (Afi) 0.
Оценим теперь величину минимального нагрева, необходимого для поддержания асимметричности барьера, более точно. Предположим, что ВЧ поле адиабатически отражает частицы с продольной энергией цт0 » и пропускает частицы той же энергии с противоположной стороны. Тогда для любого {1,0 имеем zr(\\to) z , где z, = Zr{ ) 0. Необходимым условием того, что пролетные частицы достигают точки z , является %о + МЬа - Kz,)) - Ф( ,) Д/1 ( ( ) -1)-0, (1-153) что может быть аналогично представлено в виде Ар ( («.) - 1) - Q Ф(а,) - () + W{z;), (1.154) где мы пренебрегли членом (IQ ZJ) — b(z,)) = 0(є2). По определению Zr, имеем Wfc) = 0 и b(zm) 1, так что полученное условие может быть записано ссак При выполнении ПРФ и ПЭТ, пренебрегая A fit, имеем {Q) = 0. Следовательно, принимая, что для большинства частиц z% — zT составляет величину порядка 2, получаем следующее условие минимального поперечного нагрева: (Дм) = О ( Л) 0. (1.156) Напомним, что в общем случае значение (А/І) не обязательно составляет величину порядка Л. Так, при пространственной структуре полей є{г) и Ь(г), удовлетворяющей условию (1.89), нагрев частиц может быть уменьшен до величины (Ад) є2. Однако, в этом случае автоматически исчезает и асимметричность ВЧ барьера за счет взаимной компенсации приращений продольной скорости частиц на участках резонансного и нерезонансного взаимодействия с ВЧ полем.
Динамика частиц численно моделировалось при профилях полей с параметрами, представленными в Таблице 1.1 и uZo v. Рассмотрим сначала частицы, налетающие на ВЧ барьер со стороны сильного магнитного поля (Ь 1). Как видно из Рис. 1.5, 1.6, все частицы данного сорта проходят сквозь область циклотронного резонанса, испытывают поперечный нагрев вблизи s = 0, и в последствии - диамагнитное ускорение, которое тем больше, чем больший магнитный момент приобретается частицей при ее взаимодействии с ВЧ полем. В свою очередь, магнитный момент зависит от времени, которое частица проводит вблизи резонанса, и является убывающей функцией начальной скорости. Асимптотическая формула (1.61) для поперечного нагрева (Д к А±) находится в удовлетворительном соответствии с результатами численного эксперимента даже для vXfo v {Рис. 1.7).
Рассмотрим теперь частицы, налетающие на ВЧ барьер со стороны слабого магнитного поля (Ь 1). Как видно из Рис. 1.8, частицы с VS Q t; адиабатически отражаются от ВЧ барьера без существенного изменения своей поперечной энергии. Напротив, частицы с vx$ v проникают в область резонансного взаимодействия, испытывая циклотронный нагрев вблизи z = 0 (Рис. 1.9), и из-за приобретения ненулевого магнитного момента впоследствии продолжают испытывать воздействие замедляющей диамагнитной силы.
Дрейфовое описание ускорения электронов лазерным полем
Как следует из существования гамильтониана (2.26), дрейфовое движение частицы под действием плавнонеоднородного лазерного поля является обратимым. По выходе из электромагнитной волны частица сохраняет лишь ту энергию, которой она обладала до взаимодействия с импульсом, причем данный закон сохранения выполняется с экспоненциальной точностью по малому параметру Л/1 - отношению длины волны импульса к масштабу его неоднородности. Эффективный набор энергии в поле волны требует нарушения адиабатичности дрейфовой динамики частицы, что, однако, не означает принципиальной неприменимости концепции эффективной массы к задачам об ускорении заряженных частиц лазерным полем.
Заметим, что как для нерелятивистских (а & 1), так и для релятивистских (а 1) частиц изменение энергии одинаково пропорционально квадрату амплитуды поля, то есть первой степени интенсивности излучения (ср., напр., [83-86]).
Использование выражения (2.43) позволяет составить качественное представление о влиянии неадиабатических эффектов на процесс ускорения частиц лазерным полем и предсказывает хорошо согласующуюся с результатами экспериментов [59-62] зависимость Д7 " ао- Однако, для более точного вычисления изменения энергии частицы в фокусируемых полях, используемых на практике, модель плоской волны, принятая при выводе (2.43), является не вполне адекватной. Как показано в ряде работ [53-56], результат ускорения частицы в сфокусированном поле определяется в первую очередь ее движением в направлении, перпендикулярном распространению волны. Следовательно, возможность «поперечного» ухода частицы из области взаимодействия с лазерным импульсом должна быть включена в рассмотрение.
Уточнение модели ускорения с учетом поперечной неоднородности волнового поля может быть проведено в рамках усредненного пондермоторного описания. Примером ситуации, где использование концепции эффективной массы позволяет получить точную (в пределах ошибки самого дрейфового описания) величину энергии рассеянной частицы, является метод ускорения релятивистских электронов лазерным излучением после туннельной ионизации, предложенный в работе [58] (см. также [60,101,102]). Идея метода состоит в следующем. Как было отмечено, свободный электрон практически невозможно ускорить лазерным импульсом, обладающим плавным профилем интенсивности, поскольку под действием пондермоторной силы частица будет вытолкнута из области ВЧ поля, сохранив свою начальную энергию. Данную проблему можно обойти, использовав электрон, изначально находящийся в связанном состоянии - например, на одной из низших оболочек многозарядного (Z 20) иона. В процессе нарастания амплитуды ВЧ поля связанный электрон практически покоится, однако по достижении некоторой (релятивистской) интенсивности он отрывается и практически моментально выносится из области существенного взаимодействия с ионом. Таким образом, ускорение частицы можно рассматривать в рамках модели свободного электрона, который начинает «видеть» лазерное поле только с момента отрыва от ядра. При этом величина потенциала ионизации не влияет на процесс ускорения, а лишь определяет амплитуду поля, при которой происходит отрыв частицы; скорость же электрона в момент туннельной ионизации пренебрежимо мала [58]. Поскольку адиабатичность движения частицы нарушается уже в самом акте ионизации, последующее действие пондермоторной силы не приводит к полному торможению электрона (в общем случае). Следовательно, электрон может сохранить значительную часть полученной от импульса энергии и по окончании взаимодействия, даже если амплитуда лазерного поля, «видимая» частицей после ионизации, спадает адиабатически.
Для описания акта ионизации примем, что электрон, отрываясь от ядра, мгновенно покидает область существенного взаимодействия с ионом, обладая в этот момент (t = t0, или rj = /) пренебрежимо малой скоростью. Эффективное лазерное поле, «видимое» электроном, «включается» в момент ионизации, то есть его интенсивность претерпевает неадиабатический скачок при t = t0. Однако, считая, что при t ip амплитуда поля меняется плавно, примем, что электрон покидает область взаимодействия с излучением адиабатически. Последнее позволяет описать динамику частицы в рамках модели усредненного движения, для использования которой необходимо ввести эффективные начальные условия для дрейфовых переменных в момент ионизации5.
Качественно, предложенный подход состоит в следующем. Рассмотрим нулевую начальную скорость частицы как суперпозицию дрейфовой скорости v,j в лабораторной системе отсчета К и осцилляторной скорости V в системе К , движущейся относительно К со скоростью v j. Из релятивистского правила сложения скоростей следует, что в момент t = t0 квазичастица - ведущий центр электрона - обладает дрейфовой скоростью vd = — v . В силу инвариантности амплитуды вектор-потенциала а [50,51], в ультрарелятивистском пределе (я»1) имеем, что 7d = У во, где У = l/i/l — Vа 1 ? - релятивистский фактор оспилляторного движения. Вспомним, что ведущий центр обладает эффективной массой тп в тац, а модуль его скорости равняется г/. Следовательно, в результате акта ионизации энергия ведущего центра электрона гп& УйС возрастает до величины порядка mAi2,. С другой стороны, как следует из уравнения (2.27), энергия ведущего центра совпадает со средней энергией самого электрона, а значит, 7 OQ Для более точного определения релятивистского фактора рассеянного электрона 7 сформулируем начальные условия для дрейфовых переменных в момент ионизации. Как следует из определения, поперечный дрейфовый импульс pdj± в момент t = to равняется каноническому импульсу Р± = (е/с)А(т?о).
Уравнения (2.44) представляют собой начальные условия для дрейфового движения частицы, описываемого при t Ц гамильтонианом (2.26). С их использованием можно сформулировать условия применимости концепции эффективной массы Аналогичный додход к решению нерелятнвистской задачи обсуждается в работе [103]. в приложении к рассматриваемой задаче. (Для задачи о рассеянии изначально свободного электрона подобные условия исследуются, например, в работе [52].) В дополнение к относительно слабому требованию, что амплитуда колебаний электрона должна быть малой по сравнению с масштабом неоднородности поля, необходимо потребовать также медленности дрейфового движения: частица должна выполнить как минимум несколько осцилляции до выхода из области существенного взаимодействия. Число осцилляции может быть вычислено как отношение времени Tint, проведенного электроном в области взаимодействия, к релятивистки модифицированному периоду осцилляции Т 27го/ш.
Модовое описание усиления импульсов в капилляре
Как следует из существования гамильтониана (2.26), дрейфовое движение частицы под действием плавнонеоднородного лазерного поля является обратимым. По выходе из электромагнитной волны частица сохраняет лишь ту энергию, которой она обладала до взаимодействия с импульсом, причем данный закон сохранения выполняется с экспоненциальной точностью по малому параметру Л/1 - отношению длины волны импульса к масштабу его неоднородности. Эффективный набор энергии в поле волны требует нарушения адиабатичности дрейфовой динамики частицы, что, однако, не означает принципиальной неприменимости концепции эффективной массы к задачам об ускорении заряженных частиц лазерным полем. Заметим, что как для нерелятивистских (а & 1), так и для релятивистских (а 1) частиц изменение энергии одинаково пропорционально квадрату амплитуды поля, то есть первой степени интенсивности излучения (ср., напр., [83-86]).
Использование выражения (2.43) позволяет составить качественное представление о влиянии неадиабатических эффектов на процесс ускорения частиц лазерным полем и предсказывает хорошо согласующуюся с результатами экспериментов [59-62] зависимость Д7 " ао- Однако, для более точного вычисления изменения энергии частицы в фокусируемых полях, используемых на практике, модель плоской волны, принятая при выводе (2.43), является не вполне адекватной. Как показано в ряде работ [53-56], результат ускорения частицы в сфокусированном поле определяется в первую очередь ее движением в направлении, перпендикулярном распространению волны. Следовательно, возможность «поперечного» ухода частицы из области взаимодействия с лазерным импульсом должна быть включена в рассмотрение.
Уточнение модели ускорения с учетом поперечной неоднородности волнового поля может быть проведено в рамках усредненного пондермоторного описания. Примером ситуации, где использование концепции эффективной массы позволяет получить точную (в пределах ошибки самого дрейфового описания) величину энергии рассеянной частицы, является метод ускорения релятивистских электронов лазерным излучением после туннельной ионизации, предложенный в работе [58] (см. также [60,101,102]). Идея метода состоит в следующем. Как было отмечено, свободный электрон практически невозможно ускорить лазерным импульсом, обладающим плавным профилем интенсивности, поскольку под действием пондермоторной силы частица будет вытолкнута из области ВЧ поля, сохранив свою начальную энергию. Данную проблему можно обойти, использовав электрон, изначально находящийся в связанном состоянии - например, на одной из низших оболочек многозарядного (Z 20) иона. В процессе нарастания амплитуды ВЧ поля связанный электрон практически покоится, однако по достижении некоторой (релятивистской) интенсивности он отрывается и практически моментально выносится из области существенного взаимодействия с ионом. Таким образом, ускорение частицы можно рассматривать в рамках модели свободного электрона, который начинает «видеть» лазерное поле только с момента отрыва от ядра. При этом величина потенциала ионизации не влияет на процесс ускорения, а лишь определяет амплитуду поля, при которой происходит отрыв частицы; скорость же электрона в момент туннельной ионизации пренебрежимо мала [58]. Поскольку адиабатичность движения частицы нарушается уже в самом акте ионизации, последующее действие пондермоторной силы не приводит к полному торможению электрона (в общем случае). Следовательно, электрон может сохранить значительную часть полученной от импульса энергии и по окончании взаимодействия, даже если амплитуда лазерного поля, «видимая» частицей после ионизации, спадает адиабатически.
Для описания акта ионизации примем, что электрон, отрываясь от ядра, мгновенно покидает область существенного взаимодействия с ионом, обладая в этот момент (t = t0, или rj = /) пренебрежимо малой скоростью. Эффективное лазерное поле, «видимое» электроном, «включается» в момент ионизации, то есть его интенсивность претерпевает неадиабатический скачок при t = t0. Однако, считая, что при t ip амплитуда поля меняется плавно, примем, что электрон покидает область взаимодействия с излучением адиабатически. Последнее позволяет описать динамику частицы в рамках модели усредненного движения, для использования которой необходимо ввести эффективные начальные условия для дрейфовых переменных в момент ионизации5.
Качественно, предложенный подход состоит в следующем. Рассмотрим нулевую начальную скорость частицы как суперпозицию дрейфовой скорости v,j в лабораторной системе отсчета К и осцилляторной скорости V в системе К , движущейся относительно К со скоростью v j. Из релятивистского правила сложения скоростей следует, что в момент t = t0 квазичастица - ведущий центр электрона - обладает дрейфовой скоростью vd = — v . В силу инвариантности амплитуды вектор-потенциала а [50,51], в ультрарелятивистском пределе (я»1) имеем, что 7d = У во, где У = l/i/l — Vа 1 - релятивистский фактор оспилляторного движения. Вспомним, что ведущий центр обладает эффективной массой тп в тац, а модуль его скорости равняется г/. Следовательно, в результате акта ионизации энергия ведущего центра электрона гп& УйС возрастает до величины порядка mAi2,. С другой стороны, как следует из уравнения (2.27), энергия ведущего центра совпадает со средней энергией самого электрона, а значит, 7 OQ Для более точного определения релятивистского фактора рассеянного электрона 7 сформулируем начальные условия для дрейфовых переменных в момент ионизации. Как следует из определения, поперечный дрейфовый импульс pdj± в момент t = to равняется каноническому импульсу Р± = (е/с)А(т?о). Уравнения (2.44) представляют собой начальные условия для дрейфового движения частицы, описываемого при t Ц гамильтонианом (2.26). С их использованием можно сформулировать условия применимости концепции эффективной массы Аналогичный додход к решению нерелятнвистской задачи обсуждается в работе [103]. в приложении к рассматриваемой задаче. (Для задачи о рассеянии изначально свободного электрона подобные условия исследуются, например, в работе [52].) В дополнение к относительно слабому требованию, что амплитуда колебаний электрона должна быть малой по сравнению с масштабом неоднородности поля, необходимо потребовать также медленности дрейфового движения: частица должна выполнить как минимум несколько осцилляции до выхода из области существенного взаимодействия.