Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Аналитический критерии устойчивости баллонных мод в токамаке с некруглым сечением
1.1. Исходные уравнения для идеальных баллонных мод в токамаке 18
1.2. Метод эквивалентных гармоник для исследования высоких мод баллонной неустойчивости 24
1.3. Локальный критерий устойчивости для круговых магнитных поверхностей 27
1.4. Локальный критерий устойчивости для некруговых магнитных поверхностей 32
1.5. Анализ критерия устойчивости 36
1.6. В ы в о д ы 42
ГЛАВА II. Радиальная структура высоких мод баллонной неустойчивости
2.1. Постановка задачи 43
2.2. Вариационная формулировка задачи о радиальной структуре 44
2.3. Радиальная структура беспороговой диссипативной неустойчивости баллонных мод 48
ГЛАВА III. Обощенный критерии устойчивости идеальных баллонных мод в токамаке
3.1. Постановка задачи 55
3.2. Метод получения критерия и его анализ 57
3.3. Моделирование устойчивости плазмы при большом давлении 65
3.4. Выводы 70
ГЛАВА ІУ. Численное моделирование энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием
4.1. Физическая модель и исходные уравнения 72
4.2. Эволюция плазменного шнура на начальной
стадии разряда до сжатия 88
4.3. Модель дополнительного нагрева 92
4.4. Результаты моделирования энергобаланса
плазмы в режимах с комбинированным сжатием 97
4.4.1. Влияние степени рециркуляции частиц на параметры плазмы в разряде 98
4.4.2. Зависимость конечных параметров плазмы при сжатии от величины дополнительного нагрева 100
4.4.3. Определение режима с оптимальной средней плотностью плазмы перед сжатием 102
4.4.4. Зависимость параметров разряда от величины начального тока перед сжатием 105
4.5. Применение обобщенного критерия устойчивости для учета влияния баллонных мод на энергобаланс в токамаке с адиабатическим сжатием П4
Заключение 120
Литература
- Метод эквивалентных гармоник для исследования высоких мод баллонной неустойчивости
- Вариационная формулировка задачи о радиальной структуре
- Моделирование устойчивости плазмы при большом давлении
- Зависимость конечных параметров плазмы при сжатии от величины дополнительного нагрева
Введение к работе
Актуальность проблемы. Успешное развитие работ по магнитному удержанию плазмы в установках типа токамак /І/ в последнее время создало условия для перехода к новой стадии исследований по управляемому термоядерному синтезу. Эта стадия характеризуется проектированием и сооружением целого ряда больших установок, которые входят в строй в настоящее время и будут запущены в ближайшие годы. Основной задачей исследований на этих экспериментальных установках является изучение физических закономерностей поведения плазмы с параметрами, близкими к термоядерным.
Одной из важнейших и актуальных проблем, возникающих при исследовании плазмы с термоядерными параметрами, является проблема, связанная с ограничением на величину давления плазмы, которое могут накладывать баллонные моды в токамаке. Важность изучения вопроса о предельном достижимом значении параметра
6 = 89Кр)/Е>о , характеризуемого отношением давления плазмы к давлению тороидального магнитного поля, определяется тем, что от величины этого параметра существенно зависит возможность создания экономически выгодного термоядерного реактора.
Получить информацию о свойствах термоядерной плазмы можно и на установке не очень значительного масштаба, используя способ организации эксперимента на токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием плазмы по малому и большому радиусу /2, 3/. Адиабатическое сжатие является эффективным способом дополнительного нагрева плазмы в токамаке. Однако оно может приводить к появлению в разрядах крутых профилей давления, локально неустойчивых относительно баллонных мод, а развитие неустойчивости баллонных мод сопровождается увеличением потерь энергии из плазмы и умень- шением ее энергетического времени жизни. Это обстоятельство необходимо учитывать при анализе энергобаланса плазмы в токамаке с адиабатическим сжатием. Поэтому актуальной задачей является теоретическое исследование устойчивости плазмы по отношению к баллонным модам, а также проведение численного моделирования энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием с учетом эффектов, связанных с взаимным влиянием профилей параметров плазмы и зависимостью от них энергетического времени жизни, которое может существенно снижаться при получении в разрядах профилей давления, неустойчивых относительно баллонных мод, то есть не являющихся предельными.
Цель настоящей работы состоит в теоретическом исследовании устойчивости плазмы относительно баллонных мод и моделировании их влияния на процессы переноса в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием плазменного шнура по малому и большому радиусу.
Диссертация состоит из четырех глав. В первых трех главах диссертации представлены результаты теоретического анализа устойчивости плазмы в токамаке относительно баллонных мод желобковой неустойчивости, которые могут приводить к усилению выноса энергии из плазмы при некотором критическом значении давления в ней. Сам факт возникновения ограничения на величину давления был впервые обнаружен в численных расчетах /4, 5/. Однако интерпретация этих результатов была затруднена из-за несовершенства аналитической теории, имевшейся в то время.
Начало исследованиям баллонных мод было положено работой Фюрта, Киллена, Розенблюта и Коппи /6/. В этой работе переменная кривизна силовых линий магнитного поля токамака моделировалась в плоской геометрии введением эффективной силы тяжести. Было - б - показано, что несмотря на выполнение критерия Сайдема /7/ плазма оказывается неустойчивой при давлении большем критического. Величина критического давления определялась соотношением длин участков силовых линий с "плохой" и "хорошей" кривизной. В токамаке участки с "плохой" кривизной находятся на внешнем обводе тора, а участки с "хорошей" кривизной - на внутреннем обводе. Соотношение длин участков фиксировано. Поэтому возник вопрос о том, как получить критерий устойчивости, учитывающий баллонный эффект в случае реальной геометрии токамака.
Кадомцев и Погуце предложили метод расчета, использующий малость отношения полей в токамаке В3/В0 (Во - магнитное поле тока, 5о - тороидальное магнитное поле), и получили следующий критерий устойчивости для токамака с круглым кожухом /8/: U' + ^f & -4+^ -0. (I)
Здесь S -ГО JQ - шир, Q -rB0/RBj - коэффициент запаса ус тойчивости. - большой радиус тора, U - магнитная яма в токамаке. В этом критерии первые два члена - сай- демовские, то есть они имеются и в цилиндрической геометрии. Вид но, что шир стабилизирует рассматриваемые возмущения, а градиент давления - причина неустойчивости. В тороидальной геометрии поя вились два новых эффекта: дестабилизирующий баллонный, пропорци ональный с(2~2* ( ^з=8эТ<р>/Вз , =r/R ), и сред няя магнитная яма, играющая стабилизирующую роль.
Более аккуратные вычисления, проведенные Шафрановым и Юрчен-ко, показали, что происходит взаимное сокращение членов, связанных с тороидальной кривизной, и критерий устойчивости принимает вид /9/
Независимо критерий (2) был получен из энергетического принципа Уэйром и Хаазом /10/, кроме того Шафранов и Юрченко показали /9/, что этот критерий следует также и из общегеометрического критерия Мерсье /II/.
В критерии (2) баллонный эффект отсутствует, так как он целиком сократился с углублением магнитной ямы в токамаке за счет конечного давления плазмы, и поэтому при Q > і не существовало ограничения на допустимое давление. Шафранов и Юрченко сделали попытку получить ограничение на давление, учитывая более высокие члены разложения по параметру В3 << \ /12/, но аккуратные вычисления Михайловского показали, что члены порядка &^р5 являются стабилизирующими /13/. Таким образом, казалось, что баллонные моды не представляют опасности.
Ситуация резко изменилась после опубликования результатов расчетов /4, 5/, которые показали, что неустойчивость начинает развиваться при давлении плазмы выше критического значения. Необходимо было получить аналитический критерий устойчивости баллонных мод, чтобы понять физическую природу ограничения на давление плазмы.
Прогресс в аналитических исследованиях баллонных мод в этот период в значительной мере связан с методом расчета, развитым Коннером, Хасти и Тейлором /14/ и независимо Ли и Ван Дамом /15/. Этот.метод позволил отказаться от предположения о сильной локализации рассматриваемых возмущений, которое было существенным моментом всех предшествующих вычислений, и свел исследование системы уравнений в частных производных, к которой приводит задача об устойчивости плазмы, к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения в фурье-пространстве. Вначале это уравнение, имеющее как периодические, так и непериодические коэффициенты, было решено численно /14/, а затем Погуце и Юрченко /16/, предложив вариационный асимптотический способ для исследования этого уравнения, получили аналитический критерий устойчивости баллонных мод для круговых магнитных поверхностей:
,2 о -1/1SI } + <*єО-Л)-^-|Ле~- >0. О)
Этот критерий показывает, что при спадающем профиле тока, когда шир S > 0 , существует ограничение на давление плазмы, накладываемое неустойчивостью из-за баллонного эффекта, связан о/2 / -VIs1ного с широм bd . Дестабилизирующим является и член оСе , отражающий эффект перекрытия возмущений на близких рациональных магнитных поверхностях. Критерий (3) дает достаточно жесткое ограничение на величину давления плазмы. Однако этот критерий был получен для круговых магнитных поверхностей. В то же время хорошо известно, что за счет изменения формы магнитных поверхностей можно существенно улучшить устойчивость плазмы. В связи с этим возникает вопрос о получении аналитического критерия для некруговых магнитных поверхностей. Такой критерий может существенно помочь в процессе оптимизации формы поверхностей в токамаке наряду с использованием численных кодов /17 - 19/.
Первая глава диссертации посвящена выводу и анализу аналитического критерия устойчивости плазмы относительно баллонных мод желобковой неустойчивости в токамаке с некруглым сечением /20/. В I изложена процедура получения двумерного уравнения в частных производных, являющегося исходным при нахождении критериев, дающих границу устойчивости плазмы относительно идеальных гидромагнитных неустойчивостей. В основу этой процедуры положен метод разложения исходных уравнений по малому параметру frj / 50 > определяемому отношением магнитных полей в токамаке, предложенный впервые Кадомцевым и Погуце /8/. Полученное уравнение записано в симметричной форме, что позволяет легко доказать самосопряженность его дифференциального оператора. Поэтому можно написать для этого двумерного уравнения в частных производных функционал, который представляет собой потенциальную энергию возмущений. Показано, что этот функционал сводится к виду, полученному Погуце и Юрченко /21/ для потенциальной энергии прямой процедурой упрощения общего энергетического принципа методом разложения по малому параметру отношения полей. Во втором параграфе описывается, как, используя приближение эквивалентных гармоник /17/ при исследовании высоких мод баллонной неустойчивости ( ПО » і , п -тороидальный номер гармоники возмущения, Q - коэффициент запаса устойчивости), можно существенно упростить математическую задачу, сводя ее к анализу обыкновенного дифференциального уравнения в фурье-пространстве /14/, имеющего как периодические, так и непериодические коэффициенты, и соответствующего этому уравнению функционала. В 3 приводятся результаты расчета критического давления плазмы, выполненного автором для установки токамак Т-ІІ /22/ с помощью аналитического критерия устойчивости относительно баллонных мод, полученного ранее Погуце и Юрченко /16/ для круговых магнитных поверхностей, и с помощью численного кода Захарова /17/. Отмечено соответствие результатов этих двух способов исследования устойчивости, показывающих, что баллонные моды же-лобковой неустойчивости дают достаточно жесткое ограничение на величину допустимого давления плазмы в случае токамака с круглым сечением,
В 4 проводится вывод аналитического критерия устойчивости плазмы относительно баллонных мод желобковой неустойчивости в токамаке с некруглым сечением плазменного шнура, а в пятом параграфе этот критерий анализируется. Наибольший практический интерес, по-видимому, представляет случай совместного действия эллиптичности и треугольности ( D - образная форма сечения). Расчеты величины допустимого давления плазмы для токамака D -образной формы сечения, проведенные с помощью выведенного локального аналитического критерия устойчивости /20/, показывают, что хорошо подобранные профили тока и давления позволяют достигнуть относительно больших значений давления плазмы ( J5 ~ 4 ? 6 /о ), которые в два-три раза выше значений, получаемых для шнура круглого сечения.
Во второй главе рассмотрен вопрос о радиальной структуре баллонных мод с высокими номерами /23 - 25/. Анализ радиальной структуры является вторым важным этапом при исследовании устойчивости плазмы после получения на первом этапе локальных критериев, о которых шла речь в первой главе. Для решения задачи о радиальной структуре идеальных баллонных мод Коннером, Хасти и Тейлором /26/ была разработана операторная теория возмущений, использующая малость отношения ширины огибающей гармоник возмущения к характерному размеру неоднородности. С использованием этой техники было показано, что локальный инкремент, получаемый на первом этапе исследования устойчивости, фактически является потенциалом радиального уравнения для огибающей гармоник, а наименьшее собственное значение для этого уравнения определяет истинный инкремент. В 2 второй главы описывается предложенная вариационная формулировка задачи о радиальной структуре. Идея метода - II - демонстрируется на уже известной задаче о радиальной структуре идеальных баллонных мод. В 3 предложенный вариационный способ применяется для анализа радиальной структуры беспороговой дисси-пативной баллонной моды /27/, которая важна потому, что согласно локальной подходу она может существовать и при давлении плазмы ниже критического значения, определяемого идеальными баллонными модами. Проведенное рассмотрение радиальной структуры этой неустойчивости показало, что, как и в случае идеальных баллонных мод, зависимость локального инкремента неустойчивости от радиуса определяет вид потенциала для радиального уравнения. Из конкретных расчетов следует, что локальный инкремент беспороговой диссипа-тивной баллонной моды нарастает к границе плазменного шнура, а потенциал радиального уравнения не имеет минимумов и монотонно спадает от центра плазмы к ее границе. Поэтому сделан вывод о том, что беспороговые дисеипативные баллонные моды не могут локализоваться в центральной области плазменного шнура, а "сваливаются" к границе плазмы. Для идеальных баллонных мод, возникающих при превышении порога по давлению, возможность локализации во внутренней области плазмы доказана.
В работах Мерсье /28/, Фильдинга и Хааза /29/, Захарова /17/ по идеальным баллонным модам было обнаружено, что при дальнейшем повышении давления выше критического плазма вновь становится устойчивой. Появление второй зоны устойчивости естественно связать с эффектом самостабилизации плазмы высокого давления, обнаруженным Михайловским и Шафрановым /30/. Для учета этого эффекта было необходимо получить аналитический критерий устойчивости баллонных мод с точностью до членов порядка d /ЗІ/. Проведя последовательные расчеты, учитывающие члены такого порядка, Михайловский и Юрченко получили аналитический критерий устойчи- вости баллонных мод, связанных с широм, который описывает обе зоны устойчивости /32/. В этом же приближении был записан и критерий устойчивости типа Мерсье. Оба эти критерия являются необходимыми. Поэтому представлялось важным получить аналитический критерий устойчивости, который включал бы в себя ранее полученные критерии как частные случаи.
В третьей главе диссертации получен обобщенный аналитический критерий устойчивости плазмы в токамаке относительно идеальных баллонных мод желобковой неустойчивости /33, 34/. Этот критерий устойчивости является более жестким по сравнению с критерием устойчивости баллонных мод, связанных с широм /32/, и критерием типа Мерсье. В первых двух параграфах третьей главы дан вывод и анализ обобщенного критерия устойчивости. В 3 проведено модельное рассмотрение устойчивости плазмы при большом давлении, учитывающее эффект насыщения магнитной ямы при увеличении давления плазмы. Такое рассмотрение показало высокую чувствительность второй зоны устойчивости к изменению параметров равновесной конфигурации. Полученный в третьей главе обобщенный аналитический критерий устойчивости используется в следующей главе для учета влияния баллонных мод на энергобаланс в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием.
Четвертая глава посвящена численному моделированию энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием плазмы на основе разработанной расчетной модели /35 - 38/. Эта работа была выполнена в связи с проводившимися в ИАЭ исследованиями по возможности применения адиабатического сжатия в токама-ках в качестве метода получения плазмы с термоядерными параметрами /2, 3/. Выводы работ /2, 3/ основаны на результатах расчетов, полученных с помощью "нульмерной" модели для описания энерго- - ІЗ - баланса плазмы, с адиабатическим пересчетом /39/ ее параметров при сжатии. Подход, основанный на "нульмерной" модели, обладает несомненным достоинством - простотой, дающей возможность проводить оценки вклада многих физических эффектов, а также учитывать инженерные проблемы. Поэтому такой подход полезен при первоначальном анализе энергобаланса в установках и часто испольуется /40, 41/. Тем не менее он требует уточнения и дополнения на основе использования более совершенных моделей для описания процессов переноса и в первую очередь одномерной модели.
Следует отметить, что впервые расчеты процессов переноса для токамака на основе одномерной модели были представлены в докладах Днестровского и Костомарова, а также Мерсье и Суббарамай-ера в 1969 году на конференции в Дубне /42/ по удержанию плазмы в замкнутых системах. В этих работах описаны результаты численного моделирования энергобаланса для разрядов в токамаке с омическим режимом работы. Предложенные модели энергобаланса оказались очень полезными для описания медленных эволюционных процессов в токамаке и поэтому получили широкое распространение и дальнейшее развитие /43 - 47/ с целью улучшения количественного согласия результатов расчета с экспериментом. Первые расчеты энергобаланса с включением эффектов поджатия по малому радиусу были выполнены в 1971 году Днестровским, Костомаровым и Павловой /48/. В этой работе было отмечено улучшение теплоизоляции плазмы при отрыве ее от стенок.
Использование сжатия по большому радиусу для нагрева плазмы было предложено Арцимовичем /49/. Такой способ нагрева плазмы исследовался на установке АТС в Принстоне с 1972 года /50/. В это же время проводились ранние эксперименты по поджатию плазмы по малому радиусу на установках типа "Туман" в ЛФТИ /51/.
Эксперименты по изучению возможности применения адиабатического сжатия в токамаках успешно ведутся и в настоящее время /52 - 55/. Параллельно с экспериментальными исследованиями проводятся и расчеты энергобаланса, причем в последнее время начинают использоваться транспортные модели, включающие расчет равновесия плазмы и эволюции магнитных поверхностей /56/. Модели для описания явлений переноса, лежащие в основе численных транспортных кодов, непрерывно совершенствуясь в соответствии с задачами, выдвигаемыми экспериментом, используются не только для анализа экспериментальных данных, но и применяются для прогнозирования результатов проектируемых установок. Примером тому могут являться работы по обоснованию международного проекта реактора-токамака ЙНТОР /57, 58/.
Результаты, представленные * в четвертой главе диссертации, явились следствием численного моделирования энергобаланса, также выполненного с целью прогнозирования достижимых параметров плазмы в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием при различных режимах работы.
В I четвертой главы описывается физическая модель, положенная в основу численных расчетов энергобаланса, приведены основные уравнения, получены граничные условия, учитывающие влияние геометрии системы при сжатии. Во втором параграфе излагается используемый способ описания эволюции плазменного шнура на начальной стадии разряда до сжатия, когда происходит пробой и подъем тока в плазме. Так как в токамаке с комбинированным сжатием для повьшения эффективности сжатия предусмотрен дополнительный нагрев, в 3 описана модель дополнительного нагрева инжекцией пучка нейтралов. Эта модель учитывает, что в системах относительно малых размеров и со слабым током ширина банана запертого горячего Иона оказывается порядка размеров системы, и его энергия существенным образом распределяется по радиусу, а не передается плазме лишь на той магнитной поверхности, где произошел акт ионизации нейтрала /59/. В 4 представлены результаты расчетов динамики плазмы в режимах с комбинированным сжатием. Для построения общей картины энергобаланса прослеживается эволюция параметров плазмы на всех стадиях разряда. Рассмотрено влияние степени рециркуляции частиц на параметры плазмы в разряде. Показано, что во время сжатия по большому радиусу при полном рециклинге происходит ски-нирование плотности плазмы, обусловленное сгребанием диффузионных хвостов плазмы, так как плазменный шнур переходит в область с меньшим по размеру радиусом камеры. Анализируется зависимость конечных параметров плазмы при сжатии от величины мощности дополнительного нагрева, а также зависимость параметров разряда от величины начального тока перед сжатием. Отмечается существенное увеличение энергетического времени жизни при сжатии по малому радиусу. В результате расчетов найден режим с оптимальной средней плотностью плазмы перед сжатием, при которой можно получить наибольшую мощность термоядерного выхода. Проведенный анализ энергобаланса позволяет сделать вывод о возможности получения в тока-маке с комбинированным адиабатическим сжатием плазмы с параметрами, близкими к термоядерным. При таких параметрах в плазме возможно возникновение баллонных мод желобковой неустойчивости, для которой энергетическим резервуаром является тепловая энергия плазмы. Приведенные в 5 результаты численных расчетов энергобаланса, в которых моделировался эффект увеличения потерь энергии при возникновении неустойчивости баллонных мод путем резкого увеличения локального коэффициента электронной теплопроводности /60/ в момент нарушения обобщенного аналитического критерия ус- тойчивости, дополняют представленный в предшествующих параграфах анализ энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием.
Научная новизна. В диссертации рассмотрено влияние повышения давления плазмы на ее устойчивость. Получен аналитический критерий устойчивости плазмы относительно баллонных мод желобковой неустойчивости в токамаке с некруглым сечением.
Исследован вопрос о радиальной структуре беспороговой дис-сипативной баллонной моды. Показано, что эта неустойчивость стремится локализоваться на границе плазмы.
Выведен обобщенный локальный критерий устойчивости плазмы с закрепленной границей в токамаке относительно идеальных баллонных мод желобковой неустойчивости. Полученный критерий уточнил границу области устойчивости и разъяснил вопрос о связи критерия Мерсье с критерием баллонных мод.
Разработана численная модель для анализа энергобаланса в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием, учитывающая влияние баллонных мод с помощью обобщенного аналитического критерия устойчивости. В результате численного моделирования обнаружено существование режима с оптимальной средней плотностью плазмы перед сжатием, позволяющей получить наибольший выход термоядерной мощности в момент максимального сжатия. Показано, что баллонные моды начинают приводить к снижению максимально достижимых параметров в токамаке с комбинированным сжатием при достаточно высоких значениях давления плазмы ( J5 ~2 % ).
Практическая ценность работы. Полученные в работе аналитические критерии устойчивости плазмы относительно баллонных мод могут применяться для оценок критических градиентов давления плазмы и достижимых значений параметра 6 в токамаке.
Результаты, полученные в данной диссертации, были использованы при анализе возможности получения в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием плазмы с параметрами, близкими к термоядерным.
Автор выносит на защиту.
Аналитический критерий устойчивости плазмы относительно баллонных мод желобковой неустойчивости в токамаке с некруглым сечением. Анализ этого критерия показал, что в плазменном шнуре с D -образной формой сечения критические градиенты давления существенно больше, чем в шнуре круглого сечения, а допустимое давление плазмы может быть увеличено в два-три раза.
Вариационный подход для изучения радиальной структуры высоких мод баллонной неустойчивости, с помощью которого показано, что беспороговые диссипативные баллонные моды не локализуются в центральной области плазмы, а "сваливаются" к ее границе.
Обобщенный локальный критерий устойчивости плазмы с закрепленной границей в токамаке относительно идеальных баллонных мод, который является более жестким, чем критерий Мерсье и критерий баллонных мод, связанных с широм.
Результаты численного моделирования энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием при учете влияния баллонных мод с помощью обобщенного критерия устойчивости.
Апробация работы. Основные результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались на УШ конференции МАГАТЭ по физике плазмы и УТС (Брюссель, 1980), на X Европейской конференции по физике плазмы и УТС (Москва, 1981), на УП объединенном семинаре по вычислительной физике (Сухуми, 1981), на XI Европейской конференции по физике плазмы и УТС (Аахен, 1983) и опубликованы в работах /3, 20, 23-25, 33-38, 60/.
Метод эквивалентных гармоник для исследования высоких мод баллонной неустойчивости
Функционал W - это потенциальная энергия возмущений. Первое выражение в функционале (I.I9), заключенное в квадратные скобки, представляет собой энергию возмущенного магнитного поля. Она всегда положительна и поэтому играет стабилизирующую роль. Член, пропорциональный градиенту давления, может служить источником неустойчивости плазмы относительно баллонных мод, а член, содержащий плотность тока, - источником винтовой неустойчивости.
Путем интегрирования по частям с использованием соотношений, приведенных при доказательстве самосопряженности оператора L в (I.I3), можно показать, что выражение (I.I9) для потенциальной энергии сводится к виду, полученному для W в работе /21/ прямой процедурой упрощения общего энергетического принципа /63/ методом разложения по малому параметру отношения полей Bj/В0
Условие положительности потенциальной энергии (I.I9) является необходимым и достаточным условием устойчивости плазмы по отношению к малым возмущениям. Его удобно использовать для получения аналитических критериев устойчивости прямыми вариационными методами.
Баллонные моды - это колебания плазмы в тороидальных системах, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка для возмущений, обычно представляемых в виде набора гармоник:
Из-за тороидальности системы гармоники по угловой переменной В зацепляются друг за друга, результатом чего является выпирание возмущений на наружном обводе тора. Это зацепление гармоник приводит к необходимости решать бесконечную систему связанных дифференциальных уравнений по радиальной переменной для амплитуд фурье-гармоник.
Это преобразование удобно тем, что оно осуществляет переход от возмущения в реальном пространстве, заданного на интервале 0 9 25Г , к функции {ам) , определенной на бесконечном интервале -оо п оо # Причем вид уравнения для возмущения при использовании преобразования (I.2I) не меняется, просто происходит замена переменной 0 на и и функции (аД ) на nt y) Функция cfn(a,u) не обязана быть периодической. Это дает возможность выбрать ее в эйкональной форме что позволяет хорошо описать поведение наиболее опасных возмущений, которые сильно вытянуты вдоль магнитного поля и локализованы вблизи резонансных поверхностей.
Рассмотрим физичеекие предпосылки введения преобразования (I.2I). В случае высоких мод ( m = по » і ) расстояние мезвду резонансными поверхностями для гармоник с близкими номерами стремится к нулю в пределе ПС) - - = = , вследствие чего соседние гармоники оказываются локализованными в областях с близкими параметрами плазмы и мало отличаются друг от друга. Поэтому для высоких мод естественно ввести приближение, заключающееся в том, что все гармоники эквивалентны и могут быть получены одна из другой простым сдвигом по радиальной переменной /17/
В уравнение (1.26) параметрически входит зависимость от радиальной переменной Q . Поэтому основанный на его использовании анализ устойчивости баллонных мод соответствует локальному приближению. Для учета радиальной зависимости "квази-мод" F(a,u) требуется рассмотреть следующее приближение по параметру 1 / ПО Такой анализ радиальной структуры для идеальных баллонных мод был выполнен в работе /26/. Было показано, что радиальная структура определяется зависимостью локального инкремента от радиуса. Возмущения локализуются вблизи магнитной поверхности с максимальным локальным инкрементом. Истинный инкремент неустойчивости несколько меньше локального на величину порядка 1/n . Поэтому он растет при увеличении номера моды n , приближаясь к величине максимального локального инкремента в пределе nq- -&= .
Аналитический локальный критерий устойчивости плазмы относительно баллонных мод желобковой неустойчивости можно получить, используя уравнение (1.26) совместно с соответствующим ему функционалом:
Вариационная формулировка задачи о радиальной структуре
Теперь ограничение на величину критического давления накладывает периферийная область плазмы. В этой области устойчивость существенно зависит от профиля давления. На рис. 1.8 и 1.9 показано, что наиболее неблагоприятным является пара болическое распределение давления , так как оно имеет наибольший градиент давления на границе плазменного шнура. Уве личение показателя I в выражении для профиля давления (1.30) приводит к улучшению устойчивости на периферии и ухудшению ус тойчивости в средней части плазменного шнура, что является след ствием соответственно уменьшения и увеличения градиента давления плазмы в этих областях. Минимальное значение параметра р по всей области плазмы может увеличиваться и уменьшаться с ростом показателя ъ в зависимости от профиля тока. Уплощение про филя тока, как видно из сравнения диаграмм на рис. 1.8 и 1.9, улучшает устойчивость плазмы в токамаке по отношению к баллонным модам желобковой неустойчивости. Таким образом проведенные рас четы показывают, что хорошо подобранные профили тока и давления позволяют достигнуть относительно больших давлений плазмы в то камаке с D -образной формой сечения.
Получен локальный аналитический критерий устойчивости плазмы относительно идеальных баллонных мод в токамаке с некрутлым сечением. Для токамака с круглым сечением из этого критерия следует, что баллонная неустойчивость, развиваясь в основном на периферии плазменного шнура, дает достаточно жесткие ограничения на величину допустимого давления плазмы.
Анализ критерия устойчивости позволил выяснить, что в токамаке с чисто эллиптическим сечением существенное ограничение на величину допустимого давления может возникнуть за счет развития неустойчивости в центральной части плазменного шнура. Это ограничение можно снять, увеличивая коэффициент запаса устойчивости в центре шнура или за счет введения треугольности, то есть путем создания D -образной формы сечения шнура.
Показано, что в плазменном шнуре с D -образной формой сечения величина допустимого давления плазмы может быть увеличена в два-три раза по сравнению с шнуром круглого сечения. Из аналитического критерия наглядно следует, что уплощение профиля тока приводит к увеличению допустимого давления плазмы по отношению к баллонным модам. Используя этот критерий, можно для конкретных установок провести более подробный анализ с целью поиска оптимальных характеристик токамака, требующихся для получения наибольшей величины допустимого давления плазмы.
Для исследования высоких мод баллонной неустойчивости используется принцип эквивалентности гармоник возмущения. При этом считается, что все гармоники могут быть получены одна из другой простым сдвигом по радиусу /17/ (см. также главу I, 1.2.). В реальной ограниченной по радиусу системе такой сдвиг может быть реализован лишь приближенно. Учет наличия границы приводит к слабой дополнительной зависимости амплитуд гармоник от радиальной переменной. Уравнение, описывающее эту зависимость (то есть радиальную огибающую отдельных гармоник), может быть получено в следующем приближении по малому параметру: (па) 1 , П -номер тороидальной гармоники, Q - коэффициент запаса устойчивости. Только после нахождения огибающей можно считать, что проблема линейной устойчивости полностью решена. Дело в том, что первый этап решения задачи об устойчивости плазмы относительно баллонных мод с высокими номерами дает локальный инкремент уо(С1) как функцию радиуса. Следующий этап позволяет связать этот локальный инкремент с истинным. Для решения вопроса о радиальной структуре возмущений ранее была разработана операторная теория возмущений, использующая малость отношения ширины огибающей гармоник к характерному радиальному размеру неоднородности /26/. Эта методика была создана только для идеальных баллонных мод и ясно, что она примет еще более громоздкий вид при распространении ее на другие случаи (например, для учета диссипации).
Моделирование устойчивости плазмы при большом давлении
Обобщенный критерий, полученный в предыдущем параграфе, был выведен при условии ck - 1 .В этом случае обычный баллонный эффект пропорциональный , полностью уничтожился углублением магнитной ямы за счет давления плазмы, а баллонный эффект, связанный с широм Sd , сравним по величине во второй зоне устойчивости с членами, характеризующими самостабилизацию плазмы о( . Другими словами поведение плазмы во второй зоне устойчивости весьма чувствительно к параметрам равновесной конфигурации. При аналитический расчет равновесия вызывает большие трудности, поэтому будем моделировать основные свойства равновесной конфигурации, что позволит нам получить количественные оценки влияния равновесных параметров на устойчивость.
При малых значениях cL относительное смещение магнитных поверхностей, создающее магнитную яму, пропорционально ск , что видно из уравнения равновесия /9/. При увеличении давления происходит замедление роста смещения и его насыщение /67/. Из физических соображений ясно, что это насыщение смещения приведет к насыщению магнитной ямы /68/, поэтому напишем модельное выражение для магнитной ямы следующим образом:
Здесь радикал позволяет описывать насыщение магнитной ямы. Член, пропорциональный ск , связан с самостабилизацией плазмы; коэффициент У 0 моделирует насыщение. Баллонный эффект и шир не связаны со смещением плазмы, поэтому будем полагать, что при с( Н для описания этих эффектов можно использовать формулы, полученные при о\ 1 . Используя выражение для магнитной ямы (3.23), запишем модельный критерий устойчивости баллонных мод при большом давлении:
Критерий Мерсье в этом случае примет вид Обобщенный критерий устойчивости по аналогии с (3.21) запишем следующим образом: Hm mXme [l U , (3.26) где m и Xm определяются выражениями (3.19) и (3.21).
Вначале рассмотрим случай, когда "геометрическая" магнитная яма отсутствует 11 /=0 .На рис. 3.3 - 3.5 представлены результаты расчетов для трех значений коэффициента У . При У = 2,5 10 (рис. 3.3) имеется широкая вторая зона устойчивости (заштрихована область неустойчивости), определяемая из обобщенного критерия устойчивости (3.26) (кривые I, 2 и 3). Кривая 3, ограничивающая область устойчивости со стороны максимальных значений ск , дается также и критерием Мерсье (3.25) (точечная кривая). Пунктиром отмечена область неустойчивости по критерию баллонных мод (3.24). При увеличении коэффициента У вторая зона устойчивости начинает закрываться. Видно, что при У = 5е10" (рис. 3.4) вторая зона существует по критерию баллонных мод и почти закрылась по обобщенному критерию. При значении коэффициен-та Y = 7,5в10 (рис. 3.5) вторая зона устойчивости существует лишь при умеренном шире ( S 0,8). Работа токамаков при малых значениях коэффициента запаса устойчивости ( С)(сО 2 и о (0) 1), когда существует магнитный бугор 8 ( 1 -ОТ ) = -0,1, моделируется расчетами, представленными на рис. 3.6-3.8. Поведение второй зоны устойчивости при увеличении коэффициента V аналогично случаю, когда магнитный бугор отсутствует, но в области малых значений шира и л зона неустойчивости расширяется за счет сильно локализованных возмущений. В этом случае критерий Мерсье (точечная кривая) дает две области неустойчивости.
Проведенные расчеты показывают, что использование порознь необходимых критериев как критерия баллонных мод, так и критерия Мерсье может привести к существенной переоценке второй зоны устойчивости в первом случае и к недооценке области неустойчивости во втором.
Зависимость конечных параметров плазмы при сжатии от величины дополнительного нагрева
Без подробного нелинейного рассмотрения трудно с полной определенностью сказать что-либо о процессах, к которым приводит баллонная неустойчивость. Однако можно сделать некоторые качественные заключения. Основной причиной баллонной неустойчивости является градиент давления плазмы, поэтому она будет развиваться в сторону уменьшения этого градиента, то есть приводить к потере энергии. При превышении критического градиента давления в плазменном шнуре возникнут отдельные моды колебаний, которые приведут к образованию островной структуры. В результате увеличения коэффициентов переноса система сбросит избыток давления и остановится около порога устойчивости.
Удобно для оценки влияния баллонных мод на энергобаланс плазмы использовать в транспортных моделях аналитический критерий устойчивости, увеличивая коэффициенты переноса при возникновении неустойчивости, как это было предложено нами в работе /60/. Такой подход, когда электронная теплопроводность считается бесконечной в областях плазменного шнура, неустойчивых относительно баллонных мод, был недавно с успехом использован Коннером, Тейлором и Тернером при объяснении отличия скейлингов для энергетического времени жизни, наблюдаемых в токамаках с дополнительным нагревом, от скейлингов, установленных для омического режима работы.
Нами была проведена серия расчетов, в которых модельно учитывалось влияние баллонных мод на энергобаланс в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием путем существенного увеличения локального коэффициента электронной теплопроводности при нарушении обобщенного критерия устойчивости /33/ (см. главу Ш).
Коэффициент электронной теплопроводности резко увеличивался по сравнению с алкаторным значением (см. 4.1.). Расчеты показали, что в областях плазменного шнура, где нарушается локальный критерий устойчивости (3.21), появляются характерные полочки на профиле электронной температуры (см. рис. 4.23). Соответствующая данному расчету радиальная зависимость коэффициента запаса устойчивости Q приведена на рис. 4.24. Снижение энергетического времени жизни, обусловленное неустойчивостью, приводит к уменьшению средней температуры электронов, получаемой в режимах со сжатием, с 5,5 кэВ до 4 кэВ (см. рис. 4.25). Уменьшение полного выхода нейтроноЕ за импульс, связанное со снижением температуры ионов плазмы дТ 0,5 кэВ, показано на рис. 4.26. Ограничение на давление плазмы, накладываемое неустойчивостью баллонных мод, хорошо видно из рис. 4.27. На этом рисунке показана зависимость от времени параметра (Ь3 - 8зі(р)/ и , где Bj - магнитное поле тока в плазме.
Это объясняется тем, что при большем токе достигаются меньшие значения параметра р3 (ср. рис. 4.21 и 4.27), а от величины этого параметра существенно зависит условие возникновения неустойчивости (3.21), так как (к $э . Оказывается, что в режиме с током перед сжатием I0 = 480 кА параметры плазмы лежат вблизи порога устойчивости.
Таким образом, результаты проведенного численного моделирования энергобаланса позволяют сделать вывод о возможности получения в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием плазмы с параметрами, близкими к термоядерным.
Перечислим основные результаты диссертации:
1. Проведено теоретическое исследование влияния повышения давления плазмы в токамаке на ее устойчивость. Впервые получен локальный аналитический критерий устойчивости плазмы в токамаке с некруглым сечением относительно баллонных мод желобковой неустойчивости, связанных с тиром. Из критерия наглядно следует, что наибольший интерес представляет D -образная форма сечения плазменного шнура, и что уплощение профиля тока приводит к увеличению допустимого давления плазмы по отношению к баллонным модам желобковой неустойчивости. В плазменном шнуре с D -образной формой сечения значения величины допустимого давления плазмы в два-три раза больше, чем в шнуре с круглым сечением.
2. Впервые рассмотрен вопрос о радиальной структуре беспороговой диссипативной неустойчивости баллонных мод, которая может существовать при давлении плазмы ниже критического значения, определяемого идеальными баллонными модами. С помощью предложенного вариационного подхода показано, что эта неустойчивость стремится локализоваться на границе плазмы.
3. Впервые выведен обобщенный локальный критерий устойчивости плазмы с закрепленной границей в токамаке относительно идеальных баллонных мод желобковой неустойчивости. Полученный критерий уточнил границу области устойчивости и установил связь между ранее существовавшими критериями. Обобщенный критерий устойчивости является более жестким, чем критерий Мерсье и необходимый критерий устойчивости баллонных мод, связанных с широм. Предложено использовать полученный обобщенный критерий устойчивости для оценки влияния баллонных мод на энергобаланс в токамаке.
4. Проведено моделирование энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием на основе разработанной численной модели, учитывающей влияние баллонных мод с помощью обобщенного локального критерия устойчивости. Отмечено существенное увеличение полного энергетического времени жизни при сжатии по малому радиусу, что объясняется отжатием горячих областей плазмы от стенки и запиранием теплового потока по электронному каналу. Обнаружено появление скинирования профиля плотности при сжатии по большому радиусу. Этот эффект существенно зависит от степени рециркуляции частиц. Найден режим с оптимальной средней плотностью плазмы перед сжатием, позволяющей получить наибольший выход термоядерной мощности в момент максимального сжатия. Показано, что баллонные моды желобковой неустойчивости начинают приводить к снижению максимально достижимых параметров в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием при достаточно высоких значениях давления плазмы ( б 2%).
