Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса и задачи исследования 9
1.1. Обзор конструкций типовых механизмов рельсовых технологических и транспортных машин 9
1.2. Обзор работ по исследованию структуры и динамики рельсовых технологических и транспортных машин. Задачи исследования 27
2. Структурный анализ и синтез механизмов рельсовых технологических и транспортных машин 35
2.1. Механизм передвижения машины 36
2.2. Анализ структуры механизма передвижения с индивидуальным приводом 44
2.3. Механизм передвижения тележки 45
3. Исследование динамических процессов в трансмиссии механизма передвижения 51
3.1. Аналитическое описание движения рельсовых транспортных машин 52
3.2. Аналитическое описание движения неподрессо-ренных рельсовых машин 63
3.3. Анализ решения системы дифференциальных уравнений движения моста 71
3.4. Исследование статически определимого механизма передвижения неподрессоренной рельсовой
машины 75
4. Исследование динмических процессов в механизмах стреловых конструкций грузоподъемных устройств 78
4.1. Динамическая модель колебательной системы 78
4.2. Составление расчетной схемы и аналитическое описание движения консольного грузоподъемного устройства напольной завалочной машины 87
4.3. Анализ решения системы дифференциальных уравнений колебаний хобота 104
Заключение из
Литература
- Обзор работ по исследованию структуры и динамики рельсовых технологических и транспортных машин. Задачи исследования
- Анализ структуры механизма передвижения с индивидуальным приводом
- Аналитическое описание движения неподрессо-ренных рельсовых машин
- Составление расчетной схемы и аналитическое описание движения консольного грузоподъемного устройства напольной завалочной машины
Введение к работе
На ноябрьском (1982г.) Пленуме ЦК КПСС отмечалось, что участились сбои в работе предприятий черной металлургии, связанные с тем, что значительная часть оборудования требует модернизации и реконструкции.
В современном машиностроении надежность и долговечность машин имеет первостепенное значение, поскольку простои в результате поломок и ремонта приводят к перебоям в выпуске готовой продукции, а значительные средства, расходуемые на ремонт действующего оборудования и создание резервного фонда машин, - к удорожанию выпускаемой продукции и,следовательно, к большим материальным потерям в народном хозяйстве.
Для надежной работы машин очень важно осуществить подбор параметров и элементов механизмов так, чтобы нагрузки, возникающие в кинематических парах, были ограниченными. Подбор схем и параметров, проведенный при проектировании машин, должен исключить возможность появления дополнительных нагрузок, кроме тех, которые необходимы для работы данной машины. Дополнительные нагрузки, возникающие в контурах звеньев механизмов машин при их работе, могут быть следствием структурных деффектов механизмов, а также нежелательного динамического режима. Поэтому при проектировании новых и при исследовании действующих машин с целью их реконструкции и модернизации следует прежде всего провести анализ структуры механизмов.
Структурный анализ механизмов передвижения технологических и транспортных машин таких как мостовые краны, слитковозы, завалочные машины сталеплавильных цехов и других машин подобного типа показывает, что на звенья механизмов наложены избыточные
связи, в результате действия которых при работе механизмов в контурах звеньев появляются нагрузки, многократно превышающие необходимые для перемещения. Практика эксплуатации машин такого типа показывает, что именно статическая неопределимость механизмов является причиной больших динамических нагрузок, возникающих в приводах механизмов.
Применение методов динамических расчетов в данной работе проиллюстрировано на примере исследований динамических нагрузок в звеньях механизмов напольной завалочной машины грузоподъемностью 15 тонн, применяющейся в сталеплавильном производстве. Машина имеет опорно-ходовую часть в виде мостовой конструкции с центральным (групповым) приводом ходовых колес. Рассматривая опорный механизм моста, можно сказать, что мост, будучи четырехопорным твердым телом, представляет собой статически неопределимую систему из-за наличия одной избыточной связи, реализуемой четвертым опорным колесом, в результате чего в элементах соприкасающихся поверхностей системы "колесо - рельс" при движении моста нагрузка на колеса будет неравномерной и непостоянной, возможна даже кратковременная потеря контакта одного из колес с рельсом и связанное с этим отсутствие реакции на данное колесо со стороны рельса, что приведет к динамической перегрузке. Восстановление контакта колеса с рельсом сопровождается обычно ударными нагрузками и проскальзыванием. Все это способствует более интенсивному износу и преждевременному выходу из строя деталей и узлов машины.
Статически неопределимым механизм передвижения моста напольной завалочной машины является также из-за наличия избыточной фрикционной связи. Механизм передвижения моста с групповым приводом ходовых колес образует с рельсами замкнутый
- б -
контур, в котором при движении моста формируется дополнительная, сверх необходимой для перемещения нагрузка на трансмиссионных валах. Геометрические размеры ходовых колес (их диаметры), расположенных на одной оси вращения, будут разными в пределах допуска на изготовление, поэтому при поступательном перемещении моста ходовые колеса имеют неодинаковые углы поворота, что приводит к закручиванию трансмиссионных валов, формированию и росту в них моментов сил упругости, при достижении которыми определенного значения происходит разрыв одной из фрикционных связей, реализуемой менее нагруженными в данный момент колесом и сопровождающийся проскальзыванием колеса относительно рельса. При дальнейшем движении моста по мере нарастания значений моментов упругих сил проскальзывание периодически повторяется, т.е. перемещение моста сопровождается фрикционными (релаксационными) автоколебаниями, в результате которых происходит преждевременный износ муфт валов, ходовых колес, зубчатых колес и подшипников редуктора механизма передвижения и опор трансмиссии, а также других деталей привода и самого рельсового пути.
Кроме завалочных машин, аналогичную структурно-кинематическую схему механизма передвижения, а следовательно, и такие же недостатки имеют различные типы мостовых кранов и их тележки, слитковозы и другие рельсовые машины.
Конструктивной особенностью завалочных машин, отличающей -... ее от других типов грузоподъемных и технологических машин, является наличие хобота основного рабочего органа машины, которым осуществляется жесткий захват груженой шихтой мульды и разгрузка содержимого мульды в печь. При транспортировке груженой мульды элементы приводов механизмов качания и вращения хобота подвергаются значительным перегрузкам из-за консольного расположения
- 7 -груза в виде сосредоточенной на конце массы. Ось качания хобота расположена на расстоянии 7 м от центра масс груженной мульды массой 15 т. Из-за наличия упругого звена в приводе механизма качания хобота, упругости материала самого хобота при отрыве мульды от платформы, резком торможении и особенно при разгрузке возбуждается колебательный процесс, дающий динамическую составляющую нагрузки. Зазоры в соединениях способствуют появлению ударных нагрузок, а переменность массы при разгрузке - параметрической составляющей колебаний. Подобные механические нагрузки испытывают несущие элементы экскаваторов, стреловых кранов и других грузоподъемных машин с консольным расположением подъемного устройства.
В настоящей работе показано, что типовые механизмы рельсовых технологических и транспортных машин имеют существенные недостатки, резко ограничивающие возможности повышения их надежности и долговечности и доведения до уровня современных требований. В связи с этим составлены полные динамические модели основных механизмов, проведены решения дифференциальных уравнений движения с помощью ЭВМ и разработаны предложения по усовершенствованию механизмов машин, как систем переменной структуры.
В диссертации изложены следующие новые результаты, которые и выносятся на защиту: структурный анализ и синтез типовых механизмов передвижения рельсовых технологических и транспортных машин; динамические модели и методы динамического расчета механизмов передвижения указанных машин с учетом упругих свойств звеньев, статической неопределимости, пространственных верти- '" кальных колебаний мостов; динамические модели и методику расчета консольных грузоподъемных устройств с учетом переменной структуры
механической системы, вызванной зазорами в механизмах, ступенчатым изменением массы ведомого звена и нелинейными характеристиками упругих связей.
Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах / 84 - 88, 99 /, написанных автором или с его участием.
Отдельные результаты работы приняты для внедрения Карагандинским металлургическим комбинатом.
Практическую и научную ценность работы автор видит также в том, что разработанные динамические модели могут быть использованы для исследования динамических процессов в подобных системах, а результаты расчетов - при проектировании механизмов передвижения рельсовых машин и консольных грузоподъемных устройств.
Обзор работ по исследованию структуры и динамики рельсовых технологических и транспортных машин. Задачи исследования
Большой вклад в разработку структурного анализа и синтеза механизмов внесли Л.В.Ассур, И.И.Артоболевский, Г.Г.Баранов, А.П.Малышев, С.Н.Кожевников, О.Г.Озол, Л.Н.Решетов / 9, 62 - 65, 67, 69, 83, 103 / и другие авторы.
В настоящее время теоретически и экспериментально установлено, что статически определимые механизмы с оптимальными параметрами звеньев гарантируют получение машины минимального веса и значительное увеличение срока службы отдельных деталей и узлов / 19, 63, 66, 67, 69, 97, 103, 117 /. Учитывая специфические особенности некоторых типов рельсовых машин, характеризующимися тяжелыми динамическими режимами, относительно большими деформациями от действия гравитационных сил, технологических нагрузок, а также термоупругих деформаций, связанных с местным нагревом отдельных деталей и узлов (мостов слитковозов, мульды и конца хобота завалочных машин), можно сделать вывод о целесообразности разработки статически определимых, адаптирующихся к всевозможным погрешностям изготовления и монтажа, деформациям звеньев механизмов. В связи с этим ставится задача структурного анализа и синтеза типовых механизмов передвижения рельсовых технологических и транспортных машин.
Вопросами динамического исследования несущих систем и трансмиссии технологических и транспортных машин занимались В.А.Лаза-рян, Ф.К.Иванченко, С.А.Казак, М.М.Гохберг, Н.С.Поляков, М.С.Комаров, И.С.Ефремов, П.С.Шахтарь, А.А.Ренгевич, С.В.Вершинекий, И.И.Николаев / б, 7, 16, 22, 25, 26, 30, 31, 37, 43-49, 51-53, 71, 79-82, 89, 94, 102, 118, 119 / и много других авторов.
Динамические процессы в приводах механизмов передвижения рельсовых машин в большинстве случаев рассматриваются без учета структуры механизмов.
В экспериментальных и теоретических работах /22, 34, 38, 44-48, 51, 52, 79, 80, 118 / показано, что в трансмиссии механизмов передвижения этих машин и их тележек возникает колебательный процесс, приведены графики изменения моментов сил упругости, но в результате анализа не всегда устанавливается, что является основной причиной возникновения автоколебаний в приводе механизмов передвижения, образующих в совокупности с рельсовыми путями замкнутый статически неопределимый контур, и каким образом эти колебания можно снизить.
Предлагаемые многими авторами и осуществляемые на практике методы повышения надежности сводятся в основном к упрочнению отдельных наиболее нагруженных деталей привода за счет увеличения массы и других мер, не исключающих статической неопределимости, например, применение индивидуального привода в механизме передвижения с общим трансмиссионным валом / 46, 116 /. Но практика эксплуатации таких машин показывает, что эти меры явно не достаточны для надежной работы.
В работах С.Н.Кожевникова, О.Г.Озола, Л.Н.Решетова, Е.Я.Антонюка / 7, 63, 66, 67, 69, 83, 103 / показано, что дополнительные, не связанные с технологическим циклом нагрузки, возникают как правило, при наличии в системе избыточных связей.
Очевидно, что для выявления истинной картины нагружения в приводе механизма передвижения рельсовых машин необходимо разработать динамическую модель, учитывающую влияние структурных деффектов механизма на формирование динамической нагрузки в приводе.
Общими вопросами теории и методами расчета колебаний стержней и балок, в частности с консольным расположением груза и задачами дискретизации таких систем занимались Рэлей, СП. Тимошенко, Я.Г. Пановко, В.Л. Бидерман, И.М. Бабаков, А.А. Яблонский, В.И. Феодосьев / 12, 90, 91, 101, 112, 115, 121 / и другие.
Фрикционные автоколебания, возникающие в трансмиссиях рельсовых машин и других системах, а также вопросы фрикционного взаимодействия звеньев механизмов рассмотрены в работах А.А.Андронова, В.Л.Бидермана, С.Н.Кожевникова, Я.Г.Пановко, А.Н.Голубенцева, А.П.Павленко, А.С.Пономарева / 4, 5, 14, 29, 56, 61, 66, 70, 89 - 91,. 96 / и других авторов.
В работах / 22, 27, 28, 37, 38, 42, 50, 54, 78, 81, 92, 104, 118 / рассматриваются вопросы взаимодействия колес с рельсами при движении транспортных и технологических машин с учетом погрешностей путевых устройств и износа цилиндров качения ходовых кодес.
Анализ структуры механизма передвижения с индивидуальным приводом
Статически определимыми системами будут также два рассмотренных вала, связанных промежуточным валом двумя кинематическими парами, образованными зубчатыми муфтами. Такие соединения допускают две подвижности - вращения относительно двух взаимно-перпендикулярных осей, не совпадающих с осью вала. Кроме того одна из них допускает также перемещение вдоль оси вала (рис.2.2,б), т.е. имеем 4+3=7 условий связи. Определим подвижность промежуточного звена между двумя валами в опорах: W = 6-і -4-1-3-4 = -/ , т.е. промежуточное звено является минус монадой. При соединении двух статически определимых валов, имеющих в сумме две степени свободы, минус монадой, она вносит одно условие связи, т.е. такая система остается статически определимой с одной степенью свободы w =. 2 +(-1) = /т
Концевыми парами механизма привода являются пары, образованные опорными поверхностями колес и рельсов. Каждая такая пара вносит дополнительно по одной фрикционной связи ( 32 = I )9 проявляющейся в том, что в известных пределах силового взаимодействия исключается проскальзывание колеса относительно рельса.
Итак, каждая присоединяемая структурная группа привода пары ходовых колес будет вносить yz = 2 4г - wz = г - У = у по одному избыточному условию связи. Учитывая, что присоеди - 43 няются два механизма привода ходовых колес, система ходового моста в целом будет иметь избыточных связей ? =f4 +2 = 1 + 2.=2.
Статическая неопределимость в реальных механизмах проявляется в том, что в замкнутых контурах возникают дополнительные напряжения снижающие надежность и долговечность машины. Физический смысл этого явления в данном случае заключается в том, что при неизбежных неточностях изготовления колес, их диаметры будут неодинаковы, а ввиду того, что проходимый колесами путь одинаков, будут различаться их углы поворота, т.е. происходить дополнительное, сверх вызванного передаваемым моментом для передвижения закручивание валов трансмиссии. Поэтому станет возрастать момент сил упругости, пока не наступит разрыв фрикционной связи (с проскальзыванием какого-либо колеса), после чего снова начнется рост момента сил упругости. Таким образом, при движении будет периодически происходить рост момента сил упругости до значения, существенно превосходящего необходимый для передвижения момент сил с последующим проскальзыванием. Все это будет способствовать преждевременному износу, поломкам, т.е. снижению долговечности. Для сохранения требуемой долговечности конструкции при наличии структурных дефектов необходимо существенно повысить прочность деталей, т.е. увеличить металлоемкость, расход энергии на передвижение и т.д. Однако, и при этом сохраняются неравномерный износ, повышенный шум при проскальзывании, выход из строя отдельных узлов из-за поломок деталей, т.е. подобные технические решения нельзя признать рациональными. Так, в результате проведенной в 1971 году подобным образом модернизации механизмов передвижения моста напольных завалочных машин, работающих на Карагандинском металлургическом комбинате общая масса конструкции увеличилась на 1760 кг, но существенных положительных результатов не получено.
Корректный путь заключается в создании статически определимых адаптирующихся систем. Для этого мост можно выполнить состоящим из двух частей образующих сложную кинематическую пару, как показано на рис.2.3 (поз. I и 2 ). Образованная система будет статически определимой.
Для ликвидации избыточных связей в механизме привода моста в каждую из трансмиссий необходимо ввести по дифференциалу. Система (рис. 2.3) в целом станет статически определимой. На рис.2.3 редукторы и муфты не показаны; I и 2 - сложная кинематическая пара, образованная двумя частями рамы моста; 3 и 4 - конические дифференциалы, размещенные в трансмиссии ходовой части механизма передвижения моста.
Аналитическое описание движения неподрессо-ренных рельсовых машин
Здесь обозначено: V;0 =ОС-Ч\П абсолютная скорость точки колеса в зоне контакта с рельсом »/0 - коэффициент трения скольжения при отсутствии проскальзывания ; fK - коэффициент трения при скольжении колеса относительно рельса ; А - коэффициент трения качения; Mj(F:)- моменты касательных составляющих реакций на колеса (сил трения), определяются из выражения
При необходимости более точного исследования динамических процессов вместо коэффициентов трения у , fK возможно использовать зависимость этого коэффициента от скорости скольжения V , полученную на основании экспериментальных данных. В ряде случаев эта зависимость может быть представлена в виде / 74 / где НІ , Я2 » А - постоянные положительные коэффициенты.
Выражения для момента сил реакций Мл;и силы трения Fi могут быть различными в зависимости от абсолютной величины действующего на колесо момента касательных составляющих реакции М; (F;) со стороны рельса и определенного значения момента силы трения /о Р/ Г- . Движению без проскальзывания колес соответствует неравенство M:(F.J f0 И- Г/ » переменные Moj и F; при этом определяются соответственно первыми и вторыми условиями в формулах (3.13) и (3.14). Очевидно, что при foQP; lMi(F i)l пеРвое - четвертое (или часть из них) уравне 0 4 я J ния системы (3.5) обращаются в тождества; в таком случае при решении системы (3.5) интегрируются кинематические соотношения X. - Р: Г: = О, из которых определяются переменные V/ .
При превышении абсолютным значением момента M;\F.) величины предельного момента силы трения /0 А г- происходит прос-кальзывание колеса относительно рельса, значение скорости 1Л0 в этом случае не равно нулю, момент »/о и сила трения Fj определяются третьими условиями в формулах (3.13) и (3.14).
В том случае, если неприводные колеса 3 и 4 свободно вращаются на оси, разность диаметров колес этой пары не будет способствовать формированию моментов сил упругости и, следовательно пробуксовывание колес исключается. Координаты вращения колес 3, 4 - Ч л и Р вычисляются интегрированием кинематических соотношений JC - Ф3 Г3 = 0 и ос - ЧРЧ Гч = 0.
Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (3.5) движения рельсовой машины может быть осуществлено на ЭВМ.
В ряде случаев математическое описание движения некоторых систем можно упростить без значительного влияния на точность исследования, как например при изучении движения неподрессоренной машины по абсолютно жесткому рельсовому пути, рассматриваемому в следующем параграфе.
Аналитическое описание движения неподрессаренных рельсовых машин
Для описания движения неподрессоренной машины и анализа динамических процессов рассмотрим один из двух симметрично расположенных идентичных приводов механизма передвижения моста на - 64 польной завалочной машины в предположении, что вторая пара соосных ходовых колес, свободно посаженных на оси, лишена привода. Расчетную динамическую модель механизма передвижения моста представим четырехмассовой с приведенными моментами инерции й , У , У у и массой ҐИ замкнутой системой (рис.3.2,а) с упругими связями, характеризуемыми жесткостями С1г и С,$ , приведенными к оси вращения ходовых колес.
Для анализа динамических процессов в трансмиссии привода составим систему дифференциальных уравнений движения моста, которая будет иметь переменную структуру из-за того, что в процессе движения будет происходить распадение и восстановление фрикционной связи.
Для составления и решения дифференциальных уравнений движения моста определялись такие параметры системы как приведенные моменты инерции якоря электродвигателя и вращающихся частей привода; приведенные крутильные жесткости валов, определяемые для системы последовательно соединенных валов разной длины и жесткости; приведенные коэффициенты диссипативных сопротивлений; коэффициенты трения и другие. Подбор и вычисление параметров, а также задачи приведения осуществлялись согласно справочным таблицам и методикам, приведенным в литературе /8, 9, 12, 17, 23, 46, 57, 59, 61-63, 66, 67, 70, 74, 82, 91, 108, III /. Обобщенные координаты системы: , - угол поворота якоря электродвигателя, приведенный к оси вращения ходовых колес; t" и з " Углы поворота соответственно правого и левого ходовых колес; ОС - поступательное перемещение моста.
Составление расчетной схемы и аналитическое описание движения консольного грузоподъемного устройства напольной завалочной машины
Конструктивная схема рассматриваемого механизма показана на рис.4.2,а. Здесь I - мульда с шихтой; 2 - тележка, на которой установлено консольное грузоподъемное устройство; 3 - упругий хобот; 4 - качающаяся рама, накоторой смонтированы хобот 3 и механизм привода 5 его вращения, необходимого для выгрузки шихты в печное пространство; б - упругая связь в шарнирном соединении рамы хобота (коромысла) с шатуном кривошипно-коромыслово го механизма качания хобота (рис.1.12); 7 - подшипники, обеспечивающие поворот хобота вокруг продольной оси. Ось Л поворота рамы с хоботом рассматривается как упругое звено с зазором.
Конструктивное исполнение упругого соединения (поз. 6, рис. 4.2,а) шатуна с рамой хобота и его силовая характеристика представлены на рис.4.3.
Наличие кусочно-линейной характеристики соединения объясняется ее конструктивной особенностью. Из рис.4.3,а видно, что деформация Е& пружины I будет происходить до соприкосновения расположенных на пальцах 3 ограничительных стаканов 2. В пределах этой деформации характеристика упругой связи выражается отрезком прямой на участке (- о& ,+) графика (рис.4.3,6). При дальнейшем воздействии упругой деформации растяжения будут подвергаться пальцы 3, с помощью которых зафиксированы амортизационные пружины. На этом рисунке коромысло (качающаяся рама) и шатун обозначены соответственно позициями 4 и 5 .
Упруго деформируемый при работе хобот с распределенной по длине массой приведем к дискретной системе с сосредоточенными в точках Ъ , А и & массами } ґп нр , т& и .
Для упрощения расчетов балку хобота (рис.4.2,а, поз. 2 ), имеющую переменное поперечное сечение,заменим балкой эквивалентной жесткости, выполненной в форме ступенчатого полого вала, имеющего два участка Я В и Ъ А с постоянными поперечными сечениями, характеризуемыми моментами инерции J І И J Z соответственно на участках ЪА длиной 1 и Яа длиной с .
Для последующих расчетов, связанных с определением приведенных дискретных масс Шъиь Вмр и изгиб-ной жесткости Сц используются численные значения, характеризующие параметры хобота напольной завалочной машины.
Основание хобота заключено в недеформированную качающуюся раму 4 (рис.4.2,а), которая с исходными дискретными массами Ш н Щ»р д, Wp7 , Mr; р (Рис-4-2»6) и моментом инерции поворотной рамы Зр может быть приведена к системе с одной массой ҐҐІ4 , равной " « e "Ц, + %, + W + "V + т + "V , (4.23) сосредоточенной в центре 0 масс данной системы, и с моментом инерции JJ , равным моменту инерции исходной системы относительно центра масс Р (4.24) Здесь приняты следующие обозначения Jр - момент инерции рамы относительно центра О масс системы; М$ - масса электродвигателя механизма вращения хобота; трЪ - масса редуктора механизма вращения; масса тормоза с муфтой механизма вращения; Hiр - масса недеформируемой качающейся рамы; ол , t-oB ,с-д,@/ Ъ,т - соответственно расстояния от центра масс системы до центров указанных масс.
Центр масс системы определяется расстоянием с 0 , отмеренным от точки S начала координат. Положение результирующей массы tffj показано на рис.4.2,в пунктиром. Таким образом, консольное грузоподъемное устройство (исходная система, рис.4.2,а) может быть заменено расчетной динамической схемой, показанной на рис.4.2,в. Участок 3)Е неде-формируемый. В точке Е (центре масс мульды с шихтой) сосредоточена масса m = mM + ні V где /77 х/ - переменная масса шихты; /77м - масса мульды. Переменная масса /77 v в первом приближении может быть представлена так. Считаем, что полная разгрузка содержимого мульды происходит за время поворота мульды на угол V . Также считаем, что изменение массы (разгрузка шихты) происходит по закону, описываемому непрерывной (на участке/? t Т ) функцией
Для уменьшения числа обобщенных координат системы и упрощения ее математической модели массу fflf , сосредоточенную в точке Е , заменим эквивалентной массой ґП ир » сосредоточенную в точке J) , что допустимо, если расстояние J)E невелико по сравнению с D Д
Тогда масса /pf , сосредоточенная в точке D на конце хобота, может быть записана в виде Для определения приведенной массы ПІСил найдем коорди-нату 2 . точки t: из предположения, что соединение мульды I ( рис. 4.2,а ) с головкой хобота 3 жесткое, т.е. направление отрезка ЪЕ (рис.4.2,в) недеформируемого участка в любой момент соответствует касательной к упругой линии хобота в точке Разность координат точек Е и V — Е х имеет ВИД где О - угол наклона касательной к упругой линии в точке Ввиду малости угла в 4 LH В = to 9 . поэтому можно записать где /ТГ - значение производной функции PAC J (4.7), вычисленное при и - сf , равное С учетом формулы (4.10) координата iE положения точки Е определится из выражения
