Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Ионно-звуковые колебания в низкотемпературной плазме:теоретико-методологическая основа исследования 10
1.1. Введение в теорию ионно-звуковых колебаний неограниченной плазмы 10
1.2. Обзор результатов теоретических и экспериментальных исследованийв ограниченной плазме 13
1.3. Проблема идентификации нижних мод колебаний плазмы ионных лазеров 18
1.4. Выводы 22
Глава II. Экспериментальная база оптической диагностики низкочастотных колебаний плазмы 24
2.1. Установка и параметры плазмы ионного лазера 24
2.2. Особенности оптической диагностики сильноточного разряда 30
2.3. Схема регистрации излучения плазмы 34
2.4. Выводы 36
Глава III. Определение дисперсионного соотношения ионно-звуковых колебаний плазмы ионного лазера 38
3.1. Применение метода спектрально-корреляционного анализа для исследования дисперсионных характеристик волн и колебаний плазмы 38
3.2. Измерение корреляционных функций спонтанного излучения плазмы ионного лазера 40
3.3. Вычисление дисперсионного соотношения нижней моды колебаний плазмы по корреляционным функциям 44
3.4. Выводы 48
Глава IV. Изучение особенностей метода эмиссионной томографии колебаний плазмы в численном моделировании 50
4.1. Принципы томографических исследований пространственных распределений колебательных процессов в излучающих средах 50
4.2. Определение спектра интегральных проекций излучения плазмы 53
4.3. Восстановление пространственной структуры колебаний плазмы из комплексного и амплитудного спектра проекций 57
4.4. Выводы 62
Глава V. Экспериментальное исследование пространственной структуры нижних мод ионно-звуковых колебаний 64
5.1. Результаты томографических измерений спонтанного излучения плазмы ионного лазера 64
5.2. Реконструкция пространственной структуры колебаний плазмы по измеренным проекциям 73
5.3. Идентификация полученной пространственной структуры мод 74
5.4. Выводы 77
Заключение 78
Список литературы 80
Список таблиц и рисунков 90
Список обозначений 92
Приложение
- Обзор результатов теоретических и экспериментальных исследованийв ограниченной плазме
- Особенности оптической диагностики сильноточного разряда
- Измерение корреляционных функций спонтанного излучения плазмы ионного лазера
- Определение спектра интегральных проекций излучения плазмы
Введение к работе
Ионные газовые лазеры в настоящее время являются наиболее мощными источниками непрерывного когерентного излучения в видимой и ультрафиолетовой областях электромагнитного спектра. Благодаря своим уникальным спектральным и энергетическим характеристикам ионные лазеры играют важную роль в научных исследованиях и получили широкое распространение в различных практических областях. В качестве активной среды ионных лазеров непрерывного действия используется положительный столб сильноточного разряда пониженного давления в однокомпонентном газе (Аг, Кг, Ne, Хе, СІ и др.) в цилиндрических разрядных трубках [1-3]. Наиболее значимым представителем этого класса лазеров является аргоновый лазер с наибольшими КПД и выходной мощностью непрерывной генерации видимого и ультрафиолетового излучения (более 500 Вт на сине-зеленых линиях в лазере МИЛ-2 [2]).
Ранее экспериментально установлено [2-10], что при условиях разряда, характерных для оптимума мощности генерации, в плазме ионных газовых лазеров могут самопроизвольно возбуждаться различные неустойчивости. Для улучшения характеристик работы лазера любые нестабильности разряда необходимо по возможности устранять. Например, раскачка некоторых неустойчи-востей может быть подавлена надлежащим устройством разрядной трубки [4, 5]. Однако впервые обнаруженная Дониным [6] неустойчивость разряда, приводящая к разрушению стенок разрядной трубки лазера, не может быть устранена каким-либо известным способом. Развитие этой неустойчивости в разряде сопровождается рядом нежелательных эффектов, принципиально ограничивающих рост выходной мощности и срок службы лазера. Основное внимание в диссертационной работе посвящено исследованию данной неустойчивости плазмы.
Причины возбуждения неустойчивости, развитие которой сопровождается принципиальным ограничением роста выходной мощности и срока службы ионного лазера, к настоящему времени остаются до конца не изученными.
Существуют различные гипотезы, в которых в качестве причин раскачки данной неустойчивости указаны двойные слои в плазме [3], продольные и радиальные неоднородности разряда [2,7], перегревная неустойчивость [11], разрядный ток [12]. В работах Донина [6], Ванга и Линя [7], Люти и Зилига [10] показано, что данная неустойчивость возникает при достижении током некоторого критического значения, которое зависит от диаметра разряда и давления наполнения газа, распределения концентрации атомов нейтрального газа в разряде.
В работе Алферова и др. [12] впервые высказана гипотеза об ионно-звуковой природе неустойчивости, которая качественно подтвердилась в рамках разработанной теории разряда ионного лазера: получено удовлетворительное согласие с экспериментом как для расчета зависимости порогового тока от давления, так и для диапазона частот возбуждаемых колебаний со Д, за исключением области самых низких частот со 10-2 Д (Д - ионная плазменная частота, со - круговая частота колебаний). Согласно результатам экспериментов [3, 8, 10, 13-16], низкочастотный спектр ионно-звуковой неустойчивости плазмы ионных аргоновых лазеров в разрядных трубках диаметром 5- 30 мм представляет собой отдельные пики, лежащие в диапазоне частот 0.1- -2 МГц. В пороговом режиме неустойчивости обычно наблюдается не более двух, наиболее низкочастотных, пиков. По мере увеличения превышения над порогом число пиков растет.
Существование таких низкочастотных колебаний не находило объяснения в рамках теории разряда ионного лазера [12]. В работах [13-15] данная теория была распространена на длинноволновую область колебаний, и проведены дальнейших эксперименты, в которых были исследованы низкочастотные колебания. Результаты работ [12-15] свидетельствуют в пользу того, что наблюдаемые в разрядах ионных лазеров низкочастотные колебания являются нижними (наиболее низкочастотными) модами ионно-звуковых колебаний сильноточной плазмы, ограниченной стенками цилиндрического разрядного канала.
-6 Тем не менее, всей совокупности имеющихся до начала проведения настоящего исследования результатов было недостаточно, чтобы определить номера нижних мод ионно-звуковых колебаний в рамках теории [13-15] и показать полное согласование этой теории с результатами выполненных экспериментов. В частности, в экспериментах [13-15] не были измерены дисперсионные соотношения и пространственная структура для двух исследованных мод колебаний - важнейшие характеристики для понимания и идентификации колебаний. Таким образом, цель диссертационной работы состояла в экспериментальном исследовании пространственной структуры и дисперсионных характеристик наиболее низкочастотных мод ионно-звуковой неустойчивости плазмы ионного аргонового лазера.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
1. Разработка экспериментальных методов и средств оптической диагностики плазмы непрерывного ионного лазера для исследования локальных и дисперсионных свойств ионно-звуковых колебаний.
2. Определение закона дисперсии основной моды неустойчивости.
3. Нахождение пространственных распределений интенсивности колебаний для двух нижних мод неустойчивости.
4. Проведение идентификации исследованных мод неустойчивости на основе существующих теоретических моделей.
Объектом исследования является положительный столб непрерывного сильноточного разряда пониженного давления в аргоне, создаваемый в разрядной трубке мощного ионного лазера. Нижние моды ионно-звуковых колебаний, самопроизвольно возбуждающиеся в вышеуказанной области разряда, представляют предмет исследования.
В основе экспериментальных методов, с помощью которых были получены основные результаты диссертационной работы, лежит эмиссионная диагностика колебаний плазмы, принцип которой заключается в исследовании локальных пространственно-временных распределений концентрации ионов плазмы по спонтанному излучению на ионных переходах. Для получения пространственных характеристик колебаний плазмы применялся специально адаптированный метод эмиссионной томографии плазмы. Обработка результатов экспериментов осуществлялась с использованием анализа Фурье, корреляционного анализа случайных процессов, алгоритмов реконструктивной вычислительной томографии.
Практическая ценность и теоретическая значимость результатов заключаются в следующем:
Во-первых, разработанные экспериментальные методы могут быть использованы для исследования пространственных распределений амплитуд, интенсивностей и фаз колебаний плазмы, определения дисперсионных характеристик колебательных и волновых явлений в плазме и других излучающих средах.
Во-вторых, полученные в диссертационном исследовании новые экспериментальные результаты о дисперсионных свойствах и пространственной структуре нижних мод ионно-звуковой неустойчивости плазмы ионного лазера могут послужить основой для доработки современных теоретических моделей ионно-звуковой неустойчивости низкотемпературной плазмы.
Научная новизна выполненной диссертационной работы заключается в следующем:
1. Разработана экспериментальная база, позволяющая с помощью методов оптической диагностики плазмы проводить исследования пространственных и дисперсионных свойств колебаний плотности ионов плазмы непрерывного ионного лазера, в том числе ионно-звуковых колебаний.
2. Разработан экспериментальный метод исследования двумерной пространственной структуры стационарных колебаний плазмы (метод эмиссионной томографии колебаний).
3. Проведены первые детальные экспериментальные исследования дисперсионных свойств и локальной пространственной структуры нижних мод ионно-звуковой неустойчивости в плазме непрерывного ионного лазера, в результате которых:
-8 - получено дисперсионное соотношение основной моды;
- определена двумерная пространственная структура двух нижних мод в виде распределений интенсивности каждой из мод в поперечных сечениях разряда.
4. По найденным распределениям интенсивности колебаний построена качественная трехмерная модель основной моды неустойчивости.
5. На основе гидродинамической модели ионно-звуковой неустойчивости плазмы ионного лазера проведена идентификация исследованных мод колебаний.
Основные результаты настоящей работы обсуждались на Международном конгрессе по физике плазмы, объединенном с 25-й Конференцией Европейского физического общества по управляемому термоядерному синтезу и физике плазмы (Прага, 1998), 26-й Конференции Европейского физического общества по управляемому термоядерному синтезу и физике плазмы (Маастрихт, 1999), Международной конференции "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999), Международной конференции LASTED -Международной ассоциации развития науки и технологии "Автоматизация, управление и информационные технологии - 2002" (Новосибирск, 2002), Международной конференции "Некорректные и обратные задачи", посвященной академику М.М. Лаврентьеву в связи с 70-летием со дня его рождения (Новосибирск, 2002), конференциях и семинарах Института автоматики и электрометрии СО РАН (1997-2003).
Основные результаты диссертационной работы изложены в 10 опубликованных печатных работах [17-26], в том числе в 3 статьях в рецензируемых научных журналах, в 2 статьях в трудах международных конференций, в 3 тезисах докладов на международных конференциях и в 2 препринтах. Список публикаций по теме диссертации приведен в хронологическом порядке в составе списка использованной литературы.
Выносимые на защиту положения:
1. При регистрации спектра Фурье временной зависимости одномерных интегральных проекций спонтанного излучения плазмы, полученных для разных ракурсов наблюдения в каким-либо ее сечении, может быть найдена двумерная пространственная структура гармоник стационарных колебаний ионов плазмы, например ионно-звуковых колебаний. Обработка комплексных компонентов спектра с использованием методов вычислительной томографии позволяет определить двумерные распределения амплитуд и фаз гармоник колебаний, а обработка амплитудного спектра - определить распределения интенсивностей гармоник колебаний.
2. Основная мода ионно-звуковой неустойчивости в разряде ионного аргонового лазера представляет собой волну, распространяющуюся вдоль продольной оси разряда в направлении дрейфа электронов плазмы с групповой скоростью, величина которой в пределах ошибок измерений близка к значению фазовой скорости волны и превышает значение скорости ионного звука в неограниченной плазме, что согласуется с существующими теоретическими моделями ионно-звуковых колебаний плазмы.
3. Две самые нижние моды ионно-звуковой неустойчивости разряда ионного лазера имеют различную пространственную структуру в поперечном сечении разряда, причем распределения интенсивности и фазы основной моды не обладают цилиндрической симметрией относительно продольной оси разряда.
4. В рамках гидродинамического описания ионно-звуковых колебаний плазмы ионного лазера основная мода неустойчивости соответствует первой радиальной моде с единичным азимутальным волновым числом, то есть обладает индексом (7,1).
Текст диссертации состоит из оглавления, введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы из 114 наименований, списка обозначений, списка таблиц и рисунков, двух приложений. Объем диссертации составляет 101 страницу текста и включает 30 рисунков, 1 таблицу.
Обзор результатов теоретических и экспериментальных исследованийв ограниченной плазме
Тонке и Ленгмюр [29] одними из первых экспериментально подтвердили факт существования ионно-звуковых колебаний в ионизированном газе при исследовании плазменных колебаний в разряде низкого давления на парах ртути. Они зафиксировали как высокочастотные колебания на частотах порядка электронной плазменной (в те ІМ раз большей Qi, те - масса электрона), так и колебания на более низких частотах, близких к Д. Однако в эксперименте [29] дисперсионное соотношение (1.4) не было получено. Реванс [36] первым наблюдал ионно-звуковые колебания в низкочастотной области со«2{ в разряде низкого давления на парах ртути, имевшем сферическую геометрию. Частотный спектр колебаний представлял набор дискретных значений, которые он классифицировал как основную (наименьшую) частоту ионно-звуковых волн и ее гармоники. Также им экспериментально показано существование стоячих ионно-звуковых волн в цилиндрическом разряде. В силу граничных условий спектр колебаний плазмы не является непрерывным, а состоит из резонансных частот, представляющих нормальные моды колебаний ионов плазмы в ограниченном объеме, своего рода "резонаторе", заполненном плазмой. Стоячие волны образуются при отражении бегущих волн от границы плазмы [37, 38]. Получившее в 50-60-е годы XX века широкое применение газовых разрядов в науке и технике обусловило дальнейший интерес к изучению свойств ионно-звуковых волн в плазме. Гордеев [39] одним из первых теоретически исследовал процесс возбуждения ионно-звуковых волн в неравновесной слабоионизированной плазме с электронами, обладающими дрейфовой скоростью относительно ионов плазмы. В экспериментах с различными типами разрядов исследовались как искусственно возбуждаемые ионно-звуковые колебания [40-42], так и развивающиеся самопроизвольно [43-46].
Васильева и др. [40] при изучении стратовых колебаний в столбе плазмы низкого давления зафиксировали распространение ионного звука. Кроуфорд [43] наблюдал три низкочастотных моды колебаний в цилиндрическом разряде на парах ртути, впервые связав значение основной частоты ох, измеренное радиальное распределение основной моды и отношения значений частот мод с функцией Бесселя первого рода нулевого и первого порядков. Алексеев и Нейдих [44, 45] изучали стоячие ионно-звуковые волны в сферической плазме диаметром D и в цилиндрической плазме со слабым внешним магнитным полем. В экспериментах с разрядами в различных газах (Н, Не, Ne, Аг, Кг, Хе) [44] они первыми показали зависимость частоты основной моды вида: Чен и Купер [46] при исследовании поведения спектра длинноволновой ионно-звуковой турбулентности в отражательном разряде в гелии от величины приложенного магнитного поля измерили величину скорости волн, на порядок превышающую значение Cs. Распространение ионно-звуковых волн в цилиндрическом разряде исследовалось Литтлом [41], позднее совместно с Барреттом [42]. В работе [41] ионный звук возбуждался в столбе ртутной плазмы радиусом R = 2.5 см и длиной 1 м при подаче модулированного на заданной частоте напряжения на катушку индуктивности, опоясывающую снаружи разрядную трубку, либо на пару проволочных сеток, размещенных внутри плазмы. Данный способ раскачки колебаний позволил впервые экспериментально определить закон дисперсии бегущих в направлении анода ионно-звуковых волн при измерении вдоль трубки из фазы. Эксперименты были проведены для длинноволновых колебаний О к 8 см-1 в плазме без магнитного поля и 0 к 2 см-1 в присутствии слабого продольного магнитного поля. Оказалось, что ионно-звуковые колебания с частотами ниже некоторой критической величины со1 не распространялись в виде волн, подтвердив эффект "отсечки" колебаний ниже граничной частоты, о котором ранее предполагал Кроуфорд [43].
В области к 2 см-1 полученные Литтлом [41] дисперсионные кривые демонстрировали отклонение от прямолинейности, вытекающей из формулы (1.4). Экспериментальные точки были аппроксимированы зависимостью вида: Здесь кс = Rl j0\, где j0l = 2.405 - первый нуль функции Бесселя нулевого порядка, a Cs рассчитывалась по формуле (1.2). Величина граничной частоты, определяемая из формулы (1.6) при к = 0, была близка к измеренной. Дальнейшие эксперименты [42] по возбуждению низкочастотных волн в водородной, аргоновой, неоновой и ртутной плазме с R = 1.5 -г- 2.5 см, получаемой в широком
Особенности оптической диагностики сильноточного разряда
Применение экспериментальных методов, хорошо зарекомендовавших себя при изучении газовых разрядов, как правило, связано с серьезными экспериментальными ограничениями при попытке исследования свойств сильноточного разряда ионного лазера. Так, например, применение зондовых методов [78], получивших широкое распространение в исследованиях низкотемпературной плазмы и в том числе - колебаний плазмы [58, 64, 68], для диагностики плазмы ионного лазера сильно затруднено. Во-первых, введенный в сильноточный разряд ионного лазера металлический электрод (зонд Ленгмюра) при наличии тока большой плотности может быть разрушен за счет термоэлектрической эмиссии. Следовательно, к конструкции таких зондов должны применяться повышенные требования, а интервалы измерений должны быть край не малыми, как, например, в экспериментальной схеме Овсепяна [79], в которой применялся подвижный зонд. Во-вторых, зонды могут послужить источником нежелательных возмущений плазмы, искажая картину неустойчивостей. Эти обстоятельства делают зондовые методы малопригодными для исследования представляющих интерес стационарных ионно-звуковых колебаний плазмы ионных лазеров.
Плазма ионного лазера является мощным источником спонтанного электромагнитного излучения в видимом и ультрафиолетовом диапазонах спектра. Это открывает широкие возможности для применения оптических методов исследований плазмы [80], в частности - бесконтактной пассивной диагностики. Обладая хорошей пространственной точностью, оптические методы являются наиболее привлекательными для определения различных параметров сильноточной плазмы (концентраций и температур частиц) и для исследования свойств колебаний плазмы [66, 81]. В отличие от зондовых методов, в оптических методах диагностики отсутствует возмущающий плазму эффект. Поэтому в настоящей работе для изучения свойств колебаний плазмы ионного лазера преимущественно используются оптические методы исследований. При изучении дисперсионных и пространственных характеристик ионно-звуковых колебаний плазмы основной интерес заключается в получении локальных характеристик зависящей от времени концентрации ионов плазмы. Поэтому разработанные нами методы исследований колебаний плазмы основаны на пространственно-временных измерениях спектра линий излучения ионов, являясь приложением спектроскопической диагностики плазмы [80]. Спектральный состав света, испускаемого плазмой непрерывного ионного аргонового лазера, определяется главным образом спонтанным излучением эмиссионных переходов конфигурации Ар -» 4s однократно заряженных ионов аргона Aril в возбужденном состоянии, излучающих в сине-зеленой области видимого спектра. Для иллюстрации укажем наиболее интенсивные линии генерации 5145, 4880, 4765 и 4965 А. Интенсивность линий испускания иона Aril определяется заселенностью верхних рабочих уровней и коэффициентами Эйнштейна. Поскольку механизм накачки верхних уровней в целом носит ступенчатый характер (возбуждение через долгоживущие ионные состояния), вы ражение для заселенности верхних уровней «,- имеет вид [2]: где индекс указывает на возбуждение уровня, As - вероятность спонтанного перехода с верхнего уровня на нижние, п+- концентрация однократных ионов в основном состоянии, твие и а ие - соответственно сечения возбуждения и разрушения уровня, усредненные по распределению скоростей электронов.
При небольших превышениях порогового тока концентрация возбужденных ионов плазмы от времени имеет вид: где ni - постоянная составляющая, 5h, (t) - малая (в нашем случае 3% от ni ) осциллирующая со временем t составляющая. В работе [2] отмечается, что в условиях существования колебаний величина п близка к насыщению по электронной концентрации, т.е. n {t) со n {t). Из формулы (2.1) при небольшом превышении над порогом неустойчивости (т.е. пренебрегая малыми нелинейными эффектами) следует: где крайняя справа величина - это осциллирующий компонент плотности ионов плазмы. Фактически это означает, что при регистрации временной зависимости интенсивности спектра ионных линий в излучении плазмы аргонового лазера (из некоторой локальной области разряда) можно с приемлемой точностью получить зависимость локальной концентрации ионов от времени. По этой зависимости можно определить представляющие интерес характеристики колебаний, в которых участвуют ионы плазмы, в том числе - ионно-звуковых колебаний. Отметим, что при таком подходе нет необходимости в проведении деталь ной интерпретации спектра излучения плазмы с помощью спектральных приборов. Данный метод диагностики основан на предположении о том, что исследуемая плазма является оптически тонкой для излучения на ионных переходах.
Измерение корреляционных функций спонтанного излучения плазмы ионного лазера
Имеющаяся экспериментальная установка позволяет измерять корреляционные функции спонтанного излучения плазмы из разных секций, т.е. из разнесенных по оси разряда участков плазмы. По полученным корреляционным функциям при помощи анализа Фурье был определен закон дисперсии колебаний. Используемая в эксперименте схема измерений показана на рис. 7. В схеме использовались анализатор типа СК4-59 с полосой частот входных сигналов В условиях описываемых далее корреляционных измерений спектр низкочастотных ионно-звуковых колебаний плазмы (см. рис. 4) состоял не более чем из двух пиков, т.е. измерения проводились вблизи порога неустойчивости. Поскольку исследуемые колебания имеют различную пространственную структуру мод, о чем качественно свидетельствуют результаты работ [13-15], каждую сканирующую волоконно-оптическую систему можно настраивать таким образом, чтобы в спектре регистрируемого с ее помощью излучения присутствовал только один пик с частотой V\ = 205 кГц (при ширине пика Avi 80 кГц), выделяя для регистрации только основную моду колебаний. Для корреляционных измерений выбиралось расстояние dz = 3 -s-15 см между двумя окнами разных секций, имеющих одну и ту же азимутальную ориентацию (с одинаковым ).
Спонтанное излучение плазмы от каждого из двух выбранных окон регистрировалось отдельной оптической системой с фотоумножителем. Усиленные электрические сигналы с фотоумножителей поступали на входы анализатора спектра и коррелятора. Коррелятор вычислял автокорреляционные и взаимно-корреляционные функции электрических сигналов. Время выборки (минимальное значение времени задержки) устанавливалось в диапазоне г0 = 0.5 -г-1.0 мкс. Для записи данных с выходов анализатора спектра и коррелятора использовался аналого-цифровой преобразователь, подключенный к персональному компьютеру. Важной особенностью используемой экспериментальной схемы является то, что для выделения частоты исследуемой моды V[ в спектре электрических сигналов с выходов усилителей ФЭУ частотные фильтры не применялись, как это обычно имеет место, см. например, эксперимент [52]. Дело в том, что фазочастотная характеристика полосового фильтра имеет в максимуме усиления резкое изменение фазы на я [96], что может приводить к нежелательной погрешности при вычислении дисперсионного соотношения по измеренным корреляционным функциям (корреллограммам). Взаимно-корреляционная функция плотности возбужденных ионов плазмы, измеренная в двух точках z , z + dz на оси разряда, с учетом формул (2.2) и (3.3) имеет вид: Сдвиг максимума С(т), изображенной на рис. 86, относительно максимума автокорреляционной функции на величину ST 12 мкс и взаимное расположение оптических систем при регистрации С(т) свидетельствовало о распространении колебаний в виде волн, бегущих вдоль оси разряда z в направлении от катода к аноду, что согласуется с результатами работ [13-16]. Величина групповой скорости ионно-звуковой волны оценивалась по смещению максимума по формуле SZ/ST в измерениях при разных значениях 7, r0, и в результате статистической обработки оказалась равной (1.23 ± 0.25) 106 см/с. Дисперсионное соотношение нижней моды ионно-звуковых колебаний найдено при помощи анализа Фурье по измеренным корреляционным функциям, согласно рассуждениям, сделанным в 3.1, с использованием формул (2.3), (3.2)-(3.8).
Локальная зависимость колебаний плотности ионов плазмы представлялась в виде волнового пакета, распространяющегося вдоль оси разряда z: Как показано выше, фазовый угол 6(v) комплексной функции взаимной спектральной плотности Z(v), модуль которой показан на рис. 9а, связан с запаздыванием волнового пакета при распространении его в плазме из области с координатой z до области с координатой z + Sz. Поэтому локальное дисперсионное соотношение для группы волнового имеет вид к2 (v) = 9{v) I dz. Значения функции 6{v), изображенной на рис. 96, находились из экспериментальных ко-релограмм. Отметим, что расчет значений дисперсионного соотношения kz(v) проводился только для частот v\ ± A V\ /2, т.е. в пределах ширины пика основной моды колебаний. На графике приведена часть имеющихся экспериментальных точек, только для значений частот V\, V\ ± A V\I2. Дисперсионная зависимость была аппроксимирована кривой, параметры которой определены при помощи регрессионного анализа по методу наименьших квадратов. Фазовая скорость нижней моды колебаний оказалась равной (1.15 ± 0.15) 106 см/с, что значительно больше (более чем в 3 раза) скорости ионного звука в исследуемой плазме Cs = 3.5-105 см/сек (рассчитанной для Tt = 0), и в пределах указанных ошибок близка к величине групповой скорости нижней моды.
Определение спектра интегральных проекций излучения плазмы
Рассмотрим две моды колебаний, имеющих разную пространственную структуру амплитуд и фаз. Первая мода представляет собой две раздельно расположенные в пространстве круговые гауссианы - двумерные центрально-симметричные функции с гауссовым профилем, совершающие синусоидальные колебания с одинаковой частотой в противофазе друг другу (рис. 12а). Модель описывается формулой [105]: где с-1 - параметр, связанный с полушириной гауссиан, А, В - их амплитуды, (д-j, ух) и (х2 .) _ координаты ми числами [107]. Расчет был проведен при следующих параметрах: р= 1, xje [-1,1] на регулярной сетке с разбиением 33x33 узлов, А = В = \, Х\= У\ =0.5, = 2=-0.5, с = 4.5, Vi = 3.8, v2 = 7.6. Моделировался колебательный процесс, представляющий суперпозицию двух мод гармонических колебаний, описываемых рассмотренными моделями. В последовательные моменты времени t є [0,32] с шагом 1 рассчитывался массив данных g(x,у,t) = g](х,y,t) + g2(x,y,t). Начальный фрагмент модуля этого массива g(x,.y,0 показан на рисунке 13а. -фурье-образ этой зависимости g(x0,yQ,v). На рис. 136 показано распределение амплитудного спектра (модуля комплексного спектра) функции g(x,y,v) для области частот 3 v 9. Характерно, что при дискретных значениях частоты, наиболее близких к V\ (или vi), мнимая и действительная части комплексной функции g(x, у, v) принимают максимальные значения, а их пространственная структура качественно совпадает со структурой соответствующей модели.
Далее по формуле преобразования Радона f( ,p,v) = Щ(х,у,у)} вычислялись комплексные проекционные функции (фурье-образы синограмм) Im f( ,p, v) и Re /(, p,v). Вычисления производились с использованием процедуры билинейной интерполяции в фурье-пространстве томограммы [105] на регулярном наборе параллельных линий (, р) при числе детекторов N=33 и числе ракурсов наблюдения К= 33. Модули полученных комплексных фурье-образов синограмм показаны нарис. 14. На следующем этапе моделировалась последовательность процесса измерения фурье-образов синограмм по рассматриваему методу в реальном эксперименте. Для каждого последовательного момента времени по формуле (4.3) рассчитывался массив временных синограмм f(%,p,t). В каждой точке ( 0,Ро) пространства синограммы выделялась зависимость функции от времени и вычислялся ее фурье-образ f( 0,p0,v). Сравнение показало, что f( ,p,v) и Щ(х,у,у)} совпадают с большой точностью (погрешность 0.1%), и в дальнейшем моделировании можно использовать любую из двух рассмотренных последовательностей вычисления фурье-образов синограмм. Реконструкция искомых комплексных томограмм g(x,у, v) проводилась с помощью алгоритма обратного проецирования с фильтром Шеппа-Догана (SL2), входящего пакет программ TOPAS - Micro, разработанного для решения задач вычислительной томографии газа и плазмы [105]. Процедуре реконструкции подвергались компоненты фурье-образа синограммы lmf( ,p,v) и Kef( ,p,v), из которых получали соответственно мнимую и действительную части оценки фурье-образа томограммы g(x, у, v).
На рисунке 15 показаны модули реконструированных комплексных томограмм, которые представляют ло кальные распределения модулей амплитуд обеих гармоник колебаний. При этом действительный и мнимый компоненты оценки фурье-образа томограммы являются функциями, сохраняющими фазовую структуру соответствующих моделей при v = V\ и v2 (см. рис. 12). Таким образом, из комплексного спектра Фурье интегральных проекций может быть найдена локальная фазовая структура (из аргумента комплексной томограммы) и распределения амплитуд исследуемых гармоник (например, из действительной части томограммы).
