Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Некоторые методические вопросы решения неустойчивых задач . 9
1. Вопросы постановки и методы решения обратных задач 9
2. Возможности итерационной схемы Ванттерта 14
3. Алгоритм Мартине-Крянева.. 20
4. Нелинейное интегральное уравнение с факторизо-ванныд ядром ... 25
5. О проблеме объединения статистических оценок 31
6. Краткие выводы по главе I 36
ГЛАВА 2. Локальная диагностика плазмы методами оптической спектроскопии . 33
7. Постановка обратных задач оптической локальной диагностики 33
8. Диагностика полупрозрачной плазмы на. основе параметризации функции источника 40
9. Новый метод диагностики без параметризации функции источника . 50
10. Диагностика пограничного слоя плазмы МГД-канала по контурам спектральных линий 55
11. Диагностика турбулентного потока плазмы дугового разряда спектроскопическим методом 64
12. Численное моделирование обратных задач спектроско пии лазерного рассеяния 71
13. Краткие выводы по главе 2 77
ГЛАВА 3. Обратные задачи зондовой диагностики плазмы ... 80
14. Постановка обратных задач теории ленгмюровеких зондов 80
15. Численное моделирование обратных задач зондовой диагностики 85
16. Диагностика плазмы канала ионного аргонового лазера зондовьм методом 96
17. Расчет зондовых вольт-амперных характеристик... 109
18. Краткие выводы по главе 3 118
Заключение 120
Литература
- Возможности итерационной схемы Ванттерта
- О проблеме объединения статистических оценок
- Новый метод диагностики без параметризации функции источника
- Диагностика плазмы канала ионного аргонового лазера зондовьм методом
Введение к работе
В связи с активными исследованиями по теории и применению плазмы с каждым годом все большее значение приобретают методы ее диагностики. Среди них выделяются методы сложной локальной диагностики, для которых существенной является корректная математическая (численная) обработка результатов измерений. Возникающие при этом задачи интерпретации диагностического эксперимента как правило относятся к классу некорректных обратных задач [1-4] . Некорректность таких задач прежде всего проявляется в очень большой чувствительности их к ошибкам эксперимента, что приводит к неустойчивым решениям.
Всевозрастающие требования к точности и достоверности локальных измерений стимулировали развитие и применение новых методов и алгоритмов решения неустойчивых задач, способствовали как более эффективному решению старых, традиционных проблем диагностики, так и развитию новых подходов.
К традиционным задачам решаемым новыми методами относятся, в первую очередь, многочисленные задачи, приводящие к интегральному уравнению Абеля [2,5~8J . Развитие методов и алгоритмов инверсии Абеля позволило в последние годы обратиться к задачам двух- и трехмерной томографии плазмы [9-12J .
Шесте с тем, во многие практически важные и актуальные разделы локальной диагностики современные методы исследования обратных задач - методы регуляризации и информационного анализа, фактически еще не проникали.
Одной из основных задач данной работы являлось развитие подходов, в известной степени альтернативных плазменной томографии, применение которой зачастую бывает затруднено, в особенности для замкнутых систем, отсутствием необходимого числа окон или реабсорбцией излучения [9] .
В данной работе основное внимание уделено повышению разрешающих возможностей методов оптической спектроскопии и зондо-вых методов, на основе алгоритмов регуляризации и информационного анализа.
Методы оптической спектроскопии весьма широко используются в диагностическом эксперименте [іЗ-Іб] . На их применении основано подавляющее большинство методов пирометрии плазмы, измерения концентрации ионов и электронов, населенностей уровней. Применение лазерного излучения многократно расширило возможности оптической спектроскопии плазмы [I7-I9J , в то же время, одним из важнейших объектов локальной диагностики является лазерная плазма. Обработка зондовых измерений плазмы ионного аргонового лазера составляет одну из задач, рассматриваемых в диссертации.
С самого начала нашего исследования предполагалось, наряду с предварительным: .численным моделированием обратных задач, применение современных методов решения неустойчивых задач в реальных диагностических экспериментах и получение результатов прикладного, количественного характера.
Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе рассматриваются методические вопросы решения некорректных обратных задач. Дан краткий обзор основных методов решения таких задач. Затем описываются некоторые новые результаты. Рассматриваются итерационные схемы повышения устойчивости обратных задач. Для итерационного алгоритма Мартине-Крянева изучена его связь с известным методом тихоновской регуляризации и дана оценка зависимости числа итераций от погрешности эксперимента. Проводится рассмотрение нелинейных интег- ральных уравнений 1-го рода с факторизованным ядром. Рассматривается объединение статистических оценок в параметрических задачах .
Вторая глава посвящена задачам локальной диагностики плазмы методами оптической спектроскопии. Рассмотрен подход, использующий параметризацию функции источника на основе известных моделей Коуэна-Дике и Брательса и оценены погрешности восстановления параметров моделей и локального профиля спектральной линии. Обсуждается новый - непараметрический метод локальной диагностики, не требующий многохордовых эмиссионных измерений, основанный на факторизации частотной и пространственной зависимостей коэффициентов эмиссии и поглощения в крыльях локальных линий испускания и поглощения. Развитый подход используется для диагностики плазмы МГД-генератора по контурам реабсорбиро-ванных спектральных линий. Проводится восстановление характеристик турбулентной плазмы дуги на основе интегральных спектральных измерений. Описаны результаты численного моделирования обратных задач томсоновского рассеяния.
В третьей главе рассматривается задача диагностики плазмы ионного аргонового лазера методом зондов Ленгмюра. Проводится численное моделирование задачи восстановления функции распределения (ФР) электронов по энергиям по зондовой характеристике. Приводятся результаты обработки зондовых измерений и проведено их обсуждение на основе укороченного кинетического уравнения для ФР-электронов. Рассмотрен метод расчета зондовых характеристик, одинаково пригодный как для плотной слабоионизованной плазмы, так и для бесстолкновительной плазмы.
На защиту выносятся:
Разработка и применение методов повышения устойчивости об- ратных задач локальной оптической и зондовой диагностики плазмы.
Вывод соответствия итерационного алгоритма Мартине-Крянева и метода тихоновской регуляризации. Разработка метода решения нелинейных интегральных уравнений 1-го рода типа Уры-сона с факторизованным ядром.
Разработка нового непараметрического подхода локальной диагностики, основанного на факторизации частотной и пространственной зависимостей характеристик плазмы в крыльях локальных недопплеровских спектральных линий. Вывод и обоснование интегрального уравнения 1-го рода, связывающего функцию источника в оптическом масштабе и реабсорбированный спектр. Применение непараметрического подхода для диагностики плазмы продуктов сгорания в МГД-генераторе по контурам реабсорбированных спектральных линий.
Применение методов повышения устойчивости в задаче локальной диагностики турбулентной плазмы электрической дуги по интегральным спектральным измерениям.
Использование методов регуляризации для обработки зон-довых измерений в плазме ионного лазера. Алгоритм расчета вольт-амперных характеристик зондов Ленгмюра.
Научная новизна работы.
Новым является рассмотрение итерационного метода Мартине-Крянева с точки зрения его связи с методом тихоновской регуляризации. Впервые изучены нелинейные интегральные уравнения с факторизованным ядром.
Предложена и апробирована новая диагностическая методика исследования полупрозрачных сред, основанная на факторизации частотной и пространственной зависимостей спектральных коэффи- циентов в крыльях линий испускания и поглощения. Разработанные и оттестированные на модельных задачах алгоритмы использованы для обработки реальных экспериментальных данных, в следующих задачах: а) Диагностика плазмы МГД-канала по реабсорбированным спектральным линиям. б) Локальная диагностика турбулентного потока плазмы в плазмотроне. в) Зондовые измерения ФР электронов в плазме ионного аргонового лазера.
Предложен новый метод расчета зондовых характеристик, пригодный как для случая бесстолкновительной плазмы, так и для зонда в режиме сплошной среды.
Практическая ценность.
Полученные в работе результаты методического характера могут использоваться для решения широкого круга неустойчивых задач. Схема решения нелинейных интегральных уравнений может быть полезной во многих задачах по определению потенциалов межмолекулярного взаимодействия. Новая диагностическая методика может найти применение во многих задачах спектроскопии плазмы. Самостоятельный интерес представляют результаты обработки диагностического эксперимента: распределение температуры в канале МГД-генератора, интенсивность тзфбулентных пульсаций и среднее значение температуры в плазмотроне, пространственные распределения ФР электронов в ионном аргоновом лазере. В целом, полученные в работе результаты методического характера, данные численного моделирования и методики обработки эксперимента можно применять при исследовании таких современных технологических устройств, как крупные МГД-установки,промышленные плазмотроны, лазерные системы, аэродинамические трубы.
Возможности итерационной схемы Ванттерта
При таком задании й(Х) решение заключено в пределах 0 Ч(Х)й I. Разумеется, вместо единицы можно взять любую другую положительную константу, несколько видоизменив выражение (2.6). Таким образом, этот алгоритм позволяет одновременно учитывать априорную информацию об ограниченности и неотрицательности искомой функции. Проведенные нами модельные расчеты по такой схеме подтвердили этот вывод. На рис. 3 представлено сравнение результатов решения обратной задачи по схемам (2.6) и (2.2). Хорошо видно, что решение, полученное по схеме Жансона, всюду положительно, в отличие от восстановления по алгоритму Ван-Циттерта. Отметим, что схема Жансона позволяет выбором константы О легко варьировать числом необходимых итераций. В заключение отметим, что в [36J предложен еще один вид 3(Х) » обеспечивающий получение решения в "коридоре" между некоторыми функциями А (X)
В практике решения неустойчивых обратных задач часто используется алгоритм Мартине-Крянева [26-28/ , где искомое решение находится по итерационной схеме где \Ъ - номер итерации, Т - параметр, 2 - сглаживающий оператор. Аналогичный алгоритм, по-видимому, несколько раньше рассматривал Морозов [29J .
В работах [26,27] доказана сходимость этой итерационной схемы, а также показано, что по числу эффективных сложений этот алгоритм имеет преимущество по сравнению с другтли известными методами. Это обусловлено тем, что в алгоритме Мартине-Крянева необходимо лишь одно обращение матрицы (К К -О./V ), в то время как, например, метод Тихонова требует многократного обращения матрицы fc+K +0CQ. для каждого значения параметра регуляризации К , получаемого в результате итераций.
Роль параметра регуляризации в итерационных схемах играет номер У1 последней итерации (правило остановки). Наиболее распространенное правило остановки основано на критерии невязки: IIКt/w-f f О-2) где ft - усредненная дисперсия экспериментальных: данных. В работе [37J , на основе критерия невязки, проводилось сравнение схемы (3.1) со стандартной процедурой регуляризации по Тихонову. При этом параметр V выбирался из условия: tllK KIIL HQl\Lz «.з)
Несмотря на существенные отличия упомянутых методов, результаты, которые они дают, часто оказываются сходными, в особенности при малых уровнях погрешности исходных данных.
К достоинствам схемы (3.1) нужно отнести также возможность простого задания начального приближения и гибкость алгоритма, которая обеспечивается выбором числа итераций и параметра 7? . B[49J нагли показано, что алгоритм Мартине-Крянева и метод тихо новской регуляризации связаны между собой, по крайней мере в первом дифференциальном приближении, что позволяет рекомендовать схему (3.1) для решения широкого круга неустойчивых обратных задач.
Заметим, что к схеме типа (3.1) можно прийти путем предельного перехода "t - - « в решении нестационарного уравнения 0"fc которое можно рассматривать таюке, как дифференциальное приближение [38J для неявной разностной схемы (3.1). Рассмотрим теперь алгоритм Тихонова, использующий тот же стабилизирующий оператор 2 : (К К -ЛЯ) / ,=/ 3.5) t . и Перейдем в комплексную плоскость ?6 = оО + Со(у , ь& + к кчкЧ при этом уравнение (3.5) определяет аналитическую в этой плос кости функцию tf(cL) . Поделив обе части уравнения (3.5) на А, и произведя обратное преобразование Лапласа, получим: Ж + v V?i , + (3.6) где f(t) = (2m) / сС УШЄХрШ)и Ь (3#7) Из (3.6) непосредственно видно, что мы получили нестационарное уравнение (3.4), и, таким образом, связали схемы (3.5) и (3.1). Аналитическая функция (cL) имеет конечное число полюсов J,K (если рассматриваются алгебраизованные уравнения), которые являются корнями уравнения
О проблеме объединения статистических оценок
Введем далее безразмерные параметры где 6 - усредненная дисперсия вектора экспериментальных данных с евклидовой нормой /(-/ // . Параметры jSp , очевидно, характеризуют относительную степень достоверности априорных оценок "Ч (по сравнению с точностью экспериментальных данных), причем возрастанию /Зр соответствует уменьшение априорной информации о параметре. Случаи А I и J3p С . I интерпретируются очевидным образом, а случай В " J I нуждается в более тщательном рассмотрении в каждой конкретной задаче.
Целесообразность объединения независимых статистических оценок набора параметров иллюстрирует рис. 6, где на примере рассмотренной в гл. 2 обратной задачи спектроскопии полупрозрачной плазмы (модель Коуэна-Дике) отчетливо видно, как меняется коэффициент "усиления" погрешности Ур в зависимости от
Д . Даже при сравнительно скудной априорной информации (неопределенность задания параметров на порядок выше погрешности эксперимента) обусловленность задачи сзпцественно улучшается. Наконец, отметим, что объединение независимых оценок полезно применять при задании граничных условий в краевой неустойчивой задаче. Подобного рода прием был использован и при обработке данных эксперимента на МГД-установке (гл.2).
Приведем еще один метод задания граничных условий в непараметрических задачах. Пусть исходное уравнение имеет вид:
Если в некоторых точках интервала [а, і] искомое решение или его производные имеют особенности, которые характерны для некоторой пробной функции fa , удобно перейти от задачи (5.9) к поиску "отклонения" от функции Ч а. . При этом уравнение (5.9) можно представить в виде:
Искомой функцией является V(J/) . Ее можно найти, используя известные методы регуляризации решения, причем априорная информация о гладкости может относиться непосредственно к VC j
В первой части данной главы ( 3,2) рассмотрены две итерационных схемы решения неустойчивых обратных задач - схема Ван-Циттерта и схема Мартине-Крянева. Первая из них исследуется в численном эксперименте, где выясняются возможности этой схемы для решения задачи устранения аппаратной функции (редукции к идеальному прибору). При этом, из численных экспериментов получены рекомендации по применению этой схемы, в частности, оценивается число необходимых итераций в зависимости от погрешности экспериментальных данных.
Алгоритм Мартине-Крянева, часто применяемый в настоящей работе, рассмотрен с точки зрения его связи с наиболее известным алгоритмом регуляризации по Тихонову. Переходя в область комплексных параметров регуляризации, удается показать, что эти регуляризующие алгоритмы связаны преобразованием Лапласа. Кроме того, проведенное рассмотрение позволило оценить число итераций в алгоритме Мартине-Крянева в зависимости от погрет
ности эксперимента, применительно к критерию невязки.
В следующем параграфе рассмотрено нелинейное интегральное уравнение с факторизованным ядром, представляющее собой частный случай уравнения Урысона, и изучены возможности решения такого класса уравнений. Показано, что для монотонных решений возможно сведение этого уравнения к линейному интегральному уравнению типа Фредгольма 1-го рода. На основе проведенного анализа сформирован комплекс програш! и проведено численное моделирование имеющей большой самостоятельный интерес обратной задачи восстановления потенциала парного межмолекулярного взаимодействия по температурной зависимости второго ви-риального коэффициента. Задача восстановления потенциала исследована также в параметрической постановке. При этом получены оценки коэффициентов усиления погрешности восстановления параметров.
Последний параграф главы посвящен проблеме объединения статистических оценок в многопараметрических обратных задачах. Показано, что априорная информация о характерных значениях параметров задачи и их дисперсиях может быть использована для своеобразной регуляризации параметрических задач. Что касается непараметрических задач, то объединение (независимых) статистических оценок можно использовать при задании граничных значений искомых функций. Обсуждается также метод введения аппроксимирующей функции для учета граничных значений и особен ноетей в решении неустойчивых обратных задач.
Новый метод диагностики без параметризации функции источника
В основе предлагаемого метода лежат следующие соображения. Как известно [I3J , с увеличением оптической плотности, форма контура реабсорбированной линии, выходящей из неоднородного слоя плазмы, деформируется таким образом, что максимумы самообращения все более смещаются в крылья исходного локального профиля. Поэтому, для оптически плотных сред определяющим оказывается перенос излучения в далеких крыльях локального контура линии. С другой стороны, в крыле линии для многих практически интересных случаев асимптотику зависимости локальных спектральных коэффициентов испускания и поглощения от частоты и координаты можно представить в факторизованном виде, т.е. в виде произведения функции частоты (длины волны) и функции координаты. Такое асимптотическое поведение характерно, например, для различных типов уширения линии, обусловленных эффектами давления. Это, в свою очередь, приводит к факторизации частотной и пространственной зависимостей функции источника и оптической плотности в крыле линии. Оказывается, что такая факторизация существенно упрощает уравнение переноса излучения и позволяет расщепить задачу. На первом этапе методом регуляризации определяется функция источника в оптическом масштабе, а на втором устанавливается связь оптического и геометрического масштабов.
Основные предположения предлагаемого подхода можно, таким образом, сформулировать в такой последовательности.
I. Оптические толщины достаточно велики, так что наиболее информативная часть спектра в окрестности максимумов реабсорбиро-ванного контура приходится на крылья локальных линий испускания и поглощения. Уточнение этого условия зависит от конкретной фор мы линии.
2. В крыльях локальных линий поглощения и испускания коэф фициент поглощения Эд(Х}д) и функция источника (Х,]}) представиш в факторизованном виде:
3. Для упрощения связи геометрического и оптического мас штабов будем считать известными зависимости коэффициента погло щения и функции источника от температуры Т . При этом в качестве функции источника, предполагая справедливость закона Кирхгофа, будем использовать функцию Планка. Температурная зави симость коэффициента поглощения вызывает большие затруднения, связанные с тем, что в общем случае последний может зависеть как от температуры, так и от плотности атомов или электронов, которую следует исключить из рассмотрения, воспользовавшись, ес ли это возможно, уравнением состояния или формулой Саха. В даль нейшем мы вернемся к этому вопросу в рамках допущения об ДТР.
Таким образом, остается одна неизвестная функция - температура Т(Х) . С учетом сделанных предположений оптическую плотность также можно представить в факторизованном виде: 2)
Используя определение оптического масштаба (8.2), нетрудно показать, что такая факторизация спектральных характеристик среды приводит к важному следствию - оптическая переменная ""f перестает зависеть от частоты и зависит лишь от координаты X . Формальное решение уравнения переноса в принятых обозначениях можно тогда- записать в следующем виде:
Уравнение (9.3) является, вообще говоря, нелинейным интег ральным уравнением относительно Т(Х) . Заметим теперь, что оптический масштаб монотонно зависит от текущей геометричес кой координаты вдоль луча, поскольку коэффициент поглощения всегда положителен: Ж 0. Поэтому можно установить взаимно однозначное соответствие между переменными X и Щ , что позволяет ввести в рассмотрение распределение температуры в оп тическом масштабе T("f) , а также функцию источника U( ) : UL(f) U[T(-f)] (9.4) При этом мы приходим уже к линейному уравнению относительно неизвестной функции bc( f) :
Как известно \1 J , задача решения этого уравнения, относящегося к классу интегральных уравнений 1-го рода типа Фредгольма, с учетом экспериментальной погрешности определения спектра У (v) , является условно-корректной и требует регуляризации.
Проведенное рассмотрение относится к случаю осесимметрично-го потока ПП, однако, оно без труда обобщается и на различные асимметричные конфигурации.
Диагностика плазмы канала ионного аргонового лазера зондовьм методом
В качестве исходных данных служили реабсорбированные спектральные контуры резонансного дублета калия 766.5-769.9 нм. Экспертлент был выполнен в Институте высоких температур АН СССР, на МГД-установке У-25. Для лучшего понимания сложного комплекса процессов, определяющих работу таких крупных установок, необходима локальная диагностика плазмы продуктов сгорания, являющейся рабочим телом генератора. Особый интерес при этом представляет распределение температуры в пограничном слое потока, поскольку пристеночный градиент температуры играет основную роль в теплофизических и электрических процессах МГД-генерато-ра. Использование зондов Ленгмгора, позволяющих непосредственно находить локальные параметры плазмы, ограничено недостаточным пространственным разрешением и пригодно лишь в случае развитого гидродинамического пограничного слоя - в конце канала, в диффузоре [54]
Описанный выше непараметрический подход к обратной задаче интерпретации реабсорбированных контуров спектральных линий позволяет преодолеть трудности, связанные с жестким заданием модели функции источника. По-видимому, этот подход может быть применен для исследования гидродинамических пограничных слоев в МГД-генераторе во всем интервале давлений и температур, представляющих практический интерес.
Заметим, что в работе [55] была предложена широкая диагностическая программа, основанная на специфической модели функции источника. Непараметрический подход в известной стпени позволяет проверить пригодность данной модели. Особую роль при этом играет корректная математическая обработка соответстующих измерений. Описание экспериментальной установки и схемы регистрации можно найти в Ї56І
На рис. 12 представлен типичный реабсорбированный контур дублета. Нужно отметить, что помимо искажений, связанных с конечной шириной аппаратной функции приемника излучения (0,4А), заметна деформация контура, связанная с зависимостью чувствительности приемника от длины волны, что проявляется в различии высот максимумов реабсорбированного профиля. Поэтому, прежде чем приступить к решению обратной задачи, необходимо было провести предварительную обработку спектра, в частности, "нормировать спектр таким образом, чтобы высоты максимумов совпадали. Такая обработка проводилась в предположении линейной зависимости чувствительности приемника от длины волны, причем для нахождения максимумов, спектр в их окрестности аппроксимировался кубическими полиномами с помощью метода наименьших квадратов. Кроме того, необходимо было уточнить интервал дискретизации (шаг) по длинам волн. Он оценивался по расстоянию между минимумами в спектре, которые расположены в центрах линий дублета. При нахождении минимумов также использовалась кубическая аппроксимация.
Далее производился учет аппаратурных искажений в выбранном участке спектра [2] . Характерные значения температуры в центре слоя, получаемые с помощью модели функции источника с однородной центральной частью, достигают 2500 - 2700 К, при давлении 1,2 атм и плотности присадки 10 10 см" . Размер излучающего слоя плазмы составлял 76 см. При таких условиях ширина регистрируемого спектра в сотни раз превышает допплеровекую и столкновитальную ширины. Допплеровская полуширина дости о о о гает 5.10" А, в то время как ширина спектра превышает 30 А, а о интервал дискретизации по длинам волн 1,5 А. Таким образом, практически весь реабсорбированный спектр можно считать расположенным в крыле локальных линий испускания и поглощения, что соответствует предположениям непараметрического подхода.
Поведение коэффициента поглощения в далеком крыле дублета калия изучалось в [5б] , где бьша экспериментально получена кусочно-линейная частотная зависимость в логарифмическом масштабе коэффициента поглощения в далеком крыле линии поглощения.
Вблизи центров линий ( 1д Х\ 4 10 А) исходный контур предполагался фойгтовским, причем для наших целей с учетом большого шага по длинам волн была достаточно лоренцова аппроксимация.
На рис. 13 представлены экспериментальный и расчетный (сплошная линия) спектр дублета калия в интервале 765,0 771,4нм. В ходе решения параметр g оценивался по минимуму нормы невязки для начального приближения, в качестве которого использовалась модельная функция источника в оптическом масштабе:
Здесь Т0 , Т оценки температуры в максимуме и вблизи стенки соответственно, Л0 - центральная длина волны спектра, Са - известная константа.. Полученное значение хорошо согласуется с оценками оптической толщины, полученными для модели с однородной центральной частью.
Для перехода от оптического масштаба к геометрическому, использовались результаты численных расчетов мольных концентраций X (Т) состава продуктов сгорания, по программе, описанной в работе [57J
