Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Современные методы реализации многоволновых процессов в нелинейно-оптических кристаллах
1.1 Нелинейные фотонные кристаллы и квазисинхронные взаимодействия 13
1.2 Кристаллы с пространственной модуляцией нелинейной восприимчивости 18
1.3 Последовательные квазисинхронные процессы 22
1.4 Кристаллы с апериодической модуляцией нелинейной восприимчивости и реализация связанных многоволновых взаимодействий 24
ГЛАВА II Неколлинеарные и последовательные коллинеарные взаимодействия в нелинейных фотонных кристаллах
2.1 Основные уравнения 30
2.2 Последовательные процессы самопреобразования в активном НФК в режиме модуляции добротности 34
2.2.1 Основная система уравнений для процессов самопреобразования частоты 35
2.2.2 Последовательное самоутроение частоты 39
2.2.3 Последовательное параметрическое самопреобразование частоты вверх 45
2.3 Генерация второй гармоники в геометрии Лауэ фемтосекундны ми лазерными импульсами 50
2.3.1 Основные уравнения 54
2.3.2 Угловое распределение излучения ВГ 55
2.3.3 Энергия импульсов ВГ 58
2.4 Выводы 59
ГЛАВА III Метод суперпозиции модуляции нелинейной восприимчивости
3.1 Основная идея метода модуляции нелинейной восприимчивости 60
3.2 Апериодичность функции модуляции нелинейной восприимчивости g(z) 66
3.3 Нелинейные коэффициенты связи волн
3.3.1 Периодическая структура НФК 70
3.3.2 Структура АНФК для двух связанных процессов 72
3.3.3 Структура АНФК для трех связанных процессов 3.4 О реализации квазисинхронных взаимодействий в ІлІМЬОз 77
3.5 Влияние пространственных фаз на динамику иптенсивностей взаимодействующих волн 80
3.6 Выводы 84
ГЛАВА IV Многоволновые процессы в апериодических нелинейных фотонных кристаллах
4.1 Процесс параметрического усиления при низкочастотной накачке 86
4.1.1 Приближение заданного поля 86
4.1.2 Перестроечные кривые 88
4.1.3 Динамика процесса 90
4.1.4 Частотная полоса параметрического усиления
4.2 Генерация высших гармоник в АНФК 95
4.3 Формирование субфемтосекундных импульсов
4.3.1 Суперпозиция четырех волн с эквидистантными частотами 103
4.3.2 Суперпозиция восьми и шести оптических гармоник 106
4.3.3 Поле на выходе АНФК 106
4.4 Выводы 111
ГЛАВА V Случайное нарушение условия квазисинхронизма в связанных нелинейно-оптических процессах
5.1 Численный метод моделирования флуктуации границ доменов 115
5.2 Процесс параметрического усиления 117
5.2.1 Численный подход 118
5.2.2 Приближение заданного поля; аналитический стохастический подход 121
5.3 Случайное нарушение условий квазисинхронизма в многоволно вых связанных процессах 125
5.3.1 Генерация высших оптических гармоник 126
5.3.2 Параметрическое усиление при низкочастотной накачке 129
5.4 Выводы 131
Заключение 132
Литература
- Кристаллы с пространственной модуляцией нелинейной восприимчивости
- Последовательные процессы самопреобразования в активном НФК в режиме модуляции добротности
- Апериодичность функции модуляции нелинейной восприимчивости g(z)
- Формирование субфемтосекундных импульсов
Введение к работе
В настоящее время отмечается возросший интерес к феномену Золотого сечения. Наряду с анализом различных форм проявления Золотого сечения и соответствующих ему Золотых пропорций в искусстве, живой и неживой природе все большее внимание уделяется его эвристическим возможностям. Можно привести много примеров, когда указанный феномен стал ориентиром при обнаружении и изучении новых явлений и эффектов в физике. Так, известен факт использования представлений о Золотом сечении при открытии структуры фуллеренов. К свойствам Золотого сечения приходится обращаться при изучении сценариев перехода динамических систем к детерминированному хаосу, а также при анализе некоторых фундаментальных уравнений в термодинамике и теории элементарных частиц. Важную роль сыграли ассоциации, связанные с Золотым сечением, при исследовании и интерпретации свойств квазикристаллов, обнаружение которых кардинально изменило взгляды на природу и различие живой и неживой материи.
Существует ряд работ, в которых одномерная модель квазикристалла и связанные с Золотым сечением числовые последовательности Фибоначчи используются для построения нового типа оптических элементов: апериодических дифракционных решеток и многослойных структур. Несмотря на то, что в этих работах затронут ряд актуальных вопросов, важных как в общетеоретическом, так и практическом отношениях, в них не нашли освещение некоторые важные аспекты. Так, остаются неизученными общие закономерности, связывающие признаки самоподобия в структуре оптических элементов с соответствующими характеристиками формируемых ими световых полей. Неясно, в какой степени свойства оптических устройств, построенных с использованием принципа Золотого сечения, уникальны по сравнению с иными апериодическими структурами. Недостаточно проработанными остаются вопросы о практическом использовании свойств такого рода оптических структур, связанных, в частности, с целенаправленным изменением их характеристик и точностью изготовления.
Последние вопросы приобретают особую актуальность в связи с новым этапом развития интегральной оптики, использующим достижения современных нанотехнологий. Среди них следует
отметить разработку вертикальных лазеров на квантовых ямах и квантовых точках, в которых обратная связь обеспечивается с помощью многослойных структур, а также создание нового класса логических элементов на основе фотонных кристаллов, действующих по принципу управления светом при помощи света. Кроме того, сохраняет актуальность проблема совершенствования уже известных оптических элементов, таких как дифракционные решетки, интерференционные светофильтры и зеркала.
Основной целью данной диссертационной работы является поиск на примере дифракционных решеток и многослойных структур общих физических закономерностей, определяющих связь между геометрией апериодических оптических элементов, отражающей принцип Золотого сечения, и свойствами взаимодействующих с ними световых волн.
Кроме того, цель работы включает решение ряда вспомогательных задач. Среди них: 1) сравнение характеристик оптических элементов, построенных на основе различных апериодических закономерностей; 2) оценка устойчивости свойств апериодических элементов к возмущению их параметров; 3) анализ возможностей практического использования особенностей апериодических структур для совершенствования элементной базы оптических устройств.
Структура оптических элементов с Золотым сечением и самоподобными признаками находит отражение в характеристиках прошедшего излучения, которые обнаруживают фрактальные свойства, сочетающиеся с Золотыми пропорциями. При этом коэффициент скейлинга положения экстремумов оказывается равным коэффициенту Золотого сечения, а проявление Золотых пропорций носит многочастный фрактальный характер подобно тому, как это имеет место в многочисленных природных объектах и произведениях искусства. В графическом представлении зависимости оптических характеристик от параметров элементов подчиняются определенному геометрическому инварианту, на основе которого реализуются самоподобные структуры с Золотыми пропорциями.
Среди разнообразных апериодических оптических элементов наиболее близким аналогом устройств Фибоначчи с точки зрения
проявления самоподобных свойств являются дифракционные решетки и многослойные структуры, построенные с использованием числового ряда Серебряного сечения.
3. Самоподобные оптические свойства многоэлементных
апериодических устройств Фибоначчи практически не зависят от
параметров отдельных элементов, а определяются прежде всего
законом их чередования. Они проявляют также достаточно высокую
устойчивость к случайному возмущению их геометрических
параметров и изменению условий наблюдения.
4. Существуют возможности улучшить с точки зрения практического
использования характеристики многослойных структур Фибоначчи. В
частности, путем внесения линейного тренда в оптические толщины
слоев можно реализовать эффект широкодиапазонного отражения
излучения как по углам, так и по частотам. При этом обеспечивается
высокая чувствительность фазы отраженной волны к малым
изменениям параметров слоев. Перспективным также
представляется использование многослойных структур в качестве
многоканальных оптических переключателей.
Достоверность результатов обеспечивается тщательной проработкой и тестированием методик расчетов, многократностью проведения при разных условиях численного моделирования изучаемых явлений и эффектов, отсутствием противоречий между полученными результатами и фундаментальными физическими законами, а также хорошим согласием с экспериментальными данными.
Установленная связь между фрактальными характеристиками апериодических оптических систем и прошедших их световых пучков может быть использована при оценке качества их изготовления.
Существуют возможности расширения оптической элементной базы путем использования устройств Фибоначчи. Особенно перспективными представляются возможности улучшения характеристик интерференционных фильтров, зеркал, модуляторов фазы, оптических переключателей и некоторых других типов оптических элементов.
Впервые на основе численного моделирования установлены общие для дифракционных решеток и многослойных структур
Фибоначчи закономерности, определяющие связь их геометрии с самоподобием характеристик прошедшего излучения. Показано, что наблюдаемое самоподобие тесным образом связано с многочастным проявлением Золотых пропорций, характерных для целого ряда произведений искусства и природных объектов. На основе развернутого сравнительного анализа оптических свойств апериодических устройств установлено, что характеристики систем Фибоначчи не являются абсолютно уникальными. С точки зрения формы проявления самоподобия они оказываются весьма близкими к соответствующим характеристикам систем, построенных путем использования числового ряда Серебряного сечения. Сформулирован ряд новых предложений по улучшению параметров и применению устройств с самоподобными оптическими характеристиками.
Все изложенные в диссертационной работе оригинальные результаты получены автором лично, либо при его непосредственном участии.
Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры оптики и спектроскопии физического факультета МГУ; а также на следующих конференциях: международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2007» (Москва, 2007); «Ломоносовские чтения» (Москва, 2007, 2008, 2009); международная конференция «Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS)» (Moscow, 2009); 3 всероссийская молодежная школа-семинар с международным участием «Инновационные аспекты фундаментальных исследований по актуальным проблемам физики» (Москва-Троицк, 2009).
Основной материал диссертации отражен в 13 публикациях (из них 5 статей, 6 тезисов и аннотаций докладов в материалах международных и российских конференций, один препринт и учебное пособие). Перечень публикаций приведен в конце списка литературы.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении содержится обоснование актуальности выбранной темы, излагаются цели диссертационной работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, приводятся сведения об апробации результатов работы и о публикациях автора.
В первой главе, дан литературный обзор свойств феномена Золотого сечения (ЗС). ЗС и связанные с ним Золотые пропорции чаще всего ассоциируются с геометрической задачей деления отрезка на две неравные части в таком соотношении, когда большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей части. Величина этих отношений равна иррациональному числу
Ф = (і + л/5J/2 * 1,618, называемому коэффициентом ЗС.
Кратко рассмотрены различные формы проявления ЗС в природных объектах, в произведениях искусства, в физических системах и явлениях, представляющих ценность с точки зрения научных исследований. Показано, что проявления Золотых пропорций чаще всего носит многочастный фрактальный характер. Его можно обнаружить в структуре человеческого тела, в формах животных и растений, памятниках архитектуры, в скульптуре, живописи, художественной литературе, музыке и поэзии. Сказанное иллюстрирует рис. 1., приведенные на нем стрелки характеризуют присутствующие на изображениях Золотые пропорции.
Рис. 1. а - Главное здание МГУ; б - Агесандр «Афродита Ми л осекая».
В обзоре рассмотрена также группа вопросов, относящаяся к анализу эвристической ценности феномена ЗС. Обращается
внимание на то, что ассоциации, связанные с ЗС, сыграли важную роль при открытии структуры фуллеренов, при изучении и интерпретации свойств квазикристаллов, обнаружение которых кардинально изменило существовавшие взгляды на различие живой и неживой материи, при анализе сценариев перехода динамических систем к детерминированному хаосу. Математическая модель, описывающая апериодическую структуру квазикристаллов, нашла применение и в оптике.
Одномерная модель квазикристалла (рис. 2) может быть использована для построения нового типа оптических элементов: апериодических дифракционных решеток (ДР) и многослойных структур (МС). Такие решетки и структуры имеют разнообразные практические применения. Одновременно указанные элементы являются удобным средством для исследования физических эффектов, связанных с формированием самоподобных световых структур.
S L L S L L S L S L L S L S Рис. 2. Структура одномерного квазикристалла.
Все вышеприведенные объекты (математические структуры, природные объекты, произведения искусства) обладают одним общим свойством: свойством самоподобия (фрактальности). При этом присутствующие в них Золотые пропорции реализуются в многочастной форме. Выполненный анализ литературных данных показывает, что остается открытым вопрос о существовании общих закономерностей, характеризующих форму проявления Золотых пропорций в объектах различной природы. В последующих главах этот вопрос рассмотрен применительно к световым структурам, формирующимся при прохождении излучения через апериодические оптические элементы.
Во второй главе с учетом литературных сведений, изложена схема построения ДР Фибоначчи и подробно рассмотрены особенности дифракции на них световых волн.
Чередование элементов решетки определялось суммационным принципом Фибоначчи. В качестве таких элементов в случае амплитудных решеток можно рассматривать ширины щелей или
расстояния между ними; в случае фазовых решеток - высота, наносимых на подложку штрихов. В общем случае фигурировали два вида элементов: А и В.
Процедуру построения последовательности {ЛВ} можно также осуществить путем объединения блоков элементов, определяющих
различные структурные уровни п. При начальных блоках S0=B, Sl=A, блок Sn удовлетворяет рекурсивному правилу: Sn = Sn_xSn_2
(для п>2). Это правило совпадает с алгоритмом построения последовательности Фибоначчи, где каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих.
Анализ поля дифракции световой волны на ДР Фибоначчи осуществлялся в контексте общей проблемы прохождения излучения через фрактальные объекты. Однако проведение этого анализа требовало учета некоторых особенностей геометрии ДР, которые в строгом смысле не являются фрактальными объектами. Присутствующие в них элементы самоподобия проявляются опосредованно. Так, если рассмотреть последовательность порядковых номеров элементов А, то при увеличении всех ее членов в Ф раз она переходит в последовательность индексов для В. Это указывает на наличие самоподобия, сочетающегося с Золотыми пропорциями, в структуре решетки. При этом коэффициент самоподобия оказывается равным Ф.
Для расчета поля дифракции световых волн, прошедших амплитудные решетки Фибоначчи с изменяющейся шириной щелей, использовался метод суммирования световых пучков, распространяющихся от отдельных элементов решетки. Поле дифракции в дальней зоне характеризуется выражением
К + \
N л
Л(^)=^Е-Тт)
п)
;ГотшИ
d„s
к
ехр-
Hits
К + \
0 ^ п
Здесь N - число щелей в решетке, к - пространственная частота,
0<к<К, К - число значащих точек, / = Л/-Т, A, s -
масштабирующие множители, dn - ширина я-ой щели, Dn
определяет положение я-ой щели. Считалось, что ширины щелей значительно уступают размерам непрозрачных зон, количество щелей равно N = 500. Рассчитанное для этих параметров
распределение амплитуды поля дифракции приведено на рис.3,а. Для сравнения на рис. 3,6 показана картина дифракции света на периодической решетке.
Анализ графиков показывает, что основное отличие решеток Фибоначчи от обычно применяемых периодических решеток состоит в наличии в поле дифракции системы дополнительных пиков, положение которых соответствует принципу ЗС. Так, дополнительные максимумы D и Е, делят в соответствии с ЗС расстояние между максимумами А и В. Максимумы F и G находятся в точках ЗС между максимумами D и Е и т.д. При этом структура дифракционных максимумов в интервале АВ подобна структуре максимумов в интервалах DE и FG. Дробление самоподобных фрагментов может происходить до бесконечности при соответствующем увеличении числа щелей.
Рис. 3. Картина дифракции на амплитудной решетке, а - решетка Фибоначчи, б- периодическая решетка.
Расположение максимумов обладает высокой степенью устойчивости. Расчеты полей дифракции на ДР Фибоначчи (как амплитудных, так и фазовых) с другими размерами и конфигурацией отдельных элементов показали, что и для них сохраняется указанная выше закономерность расположения дифракционных пиков при условии выполнения принципа Фибоначчи для чередования двух типов элементов решеток.
Таким образом, можно утверждать, что самоподобие в структуре ДР Фибоначчи, сочетающееся с Золотыми пропорциями, находит отражение в структуре поля дифракции световых волн. При этом скейлинг положения дифракционных пиков характеризуется
коэффициентом Ф. Скейлинг же в общей конфигурации дифракционных пиков определяется коэффициентом г = 4,2.
Расчеты показывают, что ширина дифракционных пиков решетки Фибоначчи, как главных, так и дополнительных, совпадает с шириной пиков периодической решетки стой же площадью штрихов. Следовательно, решетки Фибоначчи обладают той же самой разрешающей способностью, что и периодические решетки.
і lLLljM|i0 .1 ііійі, A .ill іііл
\А(л
Характерные для решеток
Фибоначчи особенности
Л^У4ЛккЛу^ШЛ,'к|Л
распределения амплитуды
световых колебаний в поле
дифракции устойчиво проявляются
и при изменении в широких
пределах расстояния z от решетки
до плоскости, в которой
рассматривается картина
дифракции. Формирующиеся уже на
расстояниях z < (2tz/X)l2 от
О "4000
решетки размера L дифракционные
максимумы, хотя и обладают
значительной шириной,
Рис. 4. Структура поля
дифракции на разных
расстояниях от решетки:
z=10 250(a);z=25 000(6);
z=50 000(e);z=100 000(2);
z=200 000 (д).
расположены в точках ЗС. В этом
можно убедиться, анализируя
графики (рис. 4), которые
определяют структуру поля дифракции на амплитудной ДР Фибоначчи с бесконечно узкими
щелями. Графики рассчитывались по формуле
+ Z
А(х) = А^
ехр<^ I
oiJ(x-xnY+z2 І Ь
>/(*-*„)
хп - координата щели. Считалось, что число щелей 7V = 78, длина
волны ^ = 10^(^2-^). Размеры решетки соответствуют области
изменения поперечной координаты (в количестве значащих точек) х от 0 до ПО.
Отдельно был рассмотрен вопрос о точности воспроизведения Золотых пропорций в дифракционных картинах. Для этого
рассчитывались поля дифракции для решеток с различающимися значениями геометрических параметров. Расчеты показали, что отклонения в значениях соответствующих пропорций не превышали 1%, что говорит о высокой степени воспроизводимости ЗС в картинах дифракции.
Также был изучен вопрос об устойчивости картин дифракции света на решетках Фибоначчи к различным случайным возмущениям их структуры. Использовались два варианта рандомизации характеристик решеток: случайное «перемешивание» положения определенной части образующих элементов и смещение в некотором диапазоне по случайному закону каждого из элементов решетки. Показано, что структура поля дифракции обладает высокой степенью устойчивости к возмущениям. Даже в тех случаях, когда высота дополнительных дифракционных пиков с усилением рандомизации оказывалась сопоставима с уровнем шумов, их положение практически не изменялось.
В третьей главе изучение проблемы прохождения излучения через самоподобные апериодические структуры распространено на МС Фибоначчи.
Как и решетки Фибоначчи, МС Фибоначчи строились на основе апериодической последовательности {АВ}. Для этого каждому элементу последовательности ставился в соответствие слой с определенным показателем преломления. Например, элементу А -слой с большим показателем преломления Nmax, элементу В - слой с меньшим показателем преломления Nmm.
С помощью матричного метода определялась зависимость
коэффициентов пропускания МС Фибоначчи с диэлектрическими
слоями от величины фазовых набегов в слоях. Фазовые набеги в
отдельных слоях считались одинаковыми. Поведение
коэффициентов пропускания апериодической системы
принципиальным образом отличается от аналогичных зависимостей для периодической системы. В апериодической системе по мере увеличения числа слоев растет количество зон (запрещенных зон) с близким к нулю пропусканием и количество четко выраженных пиков в центральной области графиков. При этом целая система пиков формируется в области, где периодическая система практически не пропускает свет. Расположение запрещенных зон самоподобно и
сочетается с Золотыми пропорциями (рис. 5).
Рис. 5. Зависимость коэффициентов пропускания периодической (пунктир) и апериодической (непрерывная линия) МС из 144 слоев от фазовых набегов
В ОТДеЛЬНОМ СЛОЄ. TVmJn = 1,46, TVmax = 2,35.
Наличие самоподобных признаков в спектрах доказывается их сравнением с растянутыми модификациями. Так кривая пропускания МС из 233 слоев, растянутая в 4,9 раз по оси абсцисс (рис. 6,6) подобна изначальной (рис. 6,а).
">
0ІЩ
Рис. 6. Графики зависимости коэффициента пропускания от величины фазовых набегов, а - изначальный, б- растянутый.
Подобие спектров пропускания, относящихся к разным структурным уровням, имеет место, если сравниваются системы с уровнями генерации Sn и Sn+6 (если п = 6к и п = 6к + 3,
к = 1,2,3...); а также Sn и Sn+3 (если п = Зк + \ и п = Зк + 2).
В ходе расчетов было установлено, что самоподобие и Золотые пропорции присущи также зависимости коэффициента пропускания МС Фибоначчи от числа слоев и распределению интенсивности света по слоям. При этом отклонения пропорций от «золотых»
величин составляют 3-4%, что немного уступает решеткам.
Таким образом, существенная особенность МС Фибоначчи состоит в проявлении самоподобия не в одной, а в целой системе оптических характеристик. При это скейлинг положения экстремальных точек определяется коэффициентом Ф.
Также была рассмотрена
A DFGE В группа вопросов о влиянии
поглощения в материале слоев и случайных возмущений геометрии МС Фибоначчи на самоподобные характеристики. Это позволило определить критический набор параметров.
Было проведено сравнение
структуры графиков,
определяющих характеристики
МС Фибоначчи, с картиной поля
дифракции света на
амплитудной ДР Фибоначчи.
Результаты сравнения
приведены на рис. 7.
'\\J WajuJ Uj J vJ UjlaV UV
Рис. 7. Характеристики систем
Фибоначчи, а - картина дифракции
на амплитудной ДР (200 щелей);
Ъ - зависимость коэффициента
отражения МС из 233 слоев от
частоты излучения (A^min=l,46,
7Vmax=2,35) ; с - зависимость
коэффициента отражения МС от
числа слоев N; d- распределение
интенсивности света по слоям МС
(/- номер слоя).
Общий вид представленных
графиков, а также положения
сопрягающих их вертикальных
реперных линий несомненно
указывают на определенную
схожесть в их поведении.
Вертикальные линии проведены
через ряд экстремумов,
находящихся в точках ЗС.
Положение вертикальных линий
характеризуют точки
A,B,D,E,F,G. (Точки D и Е
делят в соответствии с ЗС расстояние между точками А и В. Точки F
и G находятся в точках ЗС по отношению к отрезку DE.) Хорошо
видно, что анализируемые оптические структуры имеют
самоподобный характер. Структура максимумов в интервале АВ
подобна структуре максимумов в интервалах DE и FG.
Это дает основание говорить о существовании некоторого геометрического инварианта, на основе которого реализуются самоподобные структуры с Золотыми пропорциями при прохождении света через системы Фибоначчи. Данный результат уточняет применительно к оптическим системам известные ранее формы реализации ЗС в разнообразных физических объектах и процессах.
Четверная глава посвящена исследованию оптических свойств модифицированных систем Фибоначчи, отражающих суммационный принцип построения обобщенной последовательности Фибоначчи и числового ряда так называемых Металлических сечений.
На основе численного моделирования показано, что системы, построенные на основе обобщенного ряда Фибоначчи, не обладают в полной мере самоподобными признаками. В то же время оптические элементы, отражающие структуру числового ряда Серебряного сечения, проявляют свойства близкие к свойствам элементов Фибоначчи. Блоки элементов ряда Серебряного сечения
обладают следующей структурой: S0=B, SX=A, S2= S^Sq ,
IJi — UjlJjlJ] , *Jj — tJTtJTtJo " Т.Д.
В данной главе проанализирован также эффект широкодиапазонного отражения излучения от МС. Этот эффект связан с возможностью обеспечить высокий коэффициент отражения R световых волн при всех углах падения и в достаточно широком спектральном интервале.
Применительно к МС Фибоначчи в узких диапазонах частот проблема эффективного отражения излучения отсутствует. Если центральные частоты этих диапазонов известны, то не представляет большого труда изготовить соответствующую МС. Расширить спектральную область полного отражения и уменьшить зависимость от контраста показателей преломления слоев можно путем внесения линейного тренда в оптическую толщину слоев. При наличии такого тренда фазовые набеги в слоях описываются выражением
Фу =!+&(у -1), где j - номер слоя, Фг - фазовый набег в
первом слое, к- коэффициент. При оптимальной величине А;удается значительно расширить область с практически полным отражением. Дополнительно расширить спектральную область с высоким R
можно путем увеличения числа слоев МС.
При проведении расчетов было обнаружено, что для достижения широкодиапазонного отражения линейное изменение толщин можно заменить на ступенчатое изменение. Такой вариант приводит практически к тому же самому результату, но гораздо проще реализуется технически.
В ходе изучения
характеристик МС
Фибоначчи с трендом
R flll'l I толщин слоев было
установлено, что в спектральном диапазоне, характеризуемом высоким R, формируются области с резким изменением фазы 0-^лотраженного сигнала. Их
Рис. 8. а - спектр отражения от МС Фибоначчи из 55 слоев, б - изменения
фазы отраженной волны. модуляторов фазы. На
рис. 8 показан спектр
отражения от МС Фибоначчи с 55 слоями, сопряженный с графиком изменения фазы отраженной волны. Из рисунка видно, что эти области находятся в пределах диапазона практически полного отражения. Точка А на графике изменения фазы соответствует наиболее крутому участку. Если эту точку использовать в качестве рабочей, то при изменении толщин слоев на 0,1%, изменение фазы отраженного сигнала может превосходить значения равного % .
В пятой главе обсуждаются вопросы практического применения апериодических систем. Уникальные свойства решеток и МС Фибоначчи указывают на перспективность их использования для создания новых и совершенствования известных оптических элементов и устройств. Они нашли применение в селективных волноводных устройствах, в системах компрессии импульсов и преобразованиях частоты оптического излучения. Дополнительные возможности применения МС Фибоначчи дает перенесение на них
концепции одномерных фотонных кристаллов, использующейся, в частности, при создании оптических переключателей и быстродействующих логических ячеек для вычислительной техники. При создании оптических переключателей на основе МС Фибоначчи следует воспользоваться нелинейными эффектами. Их можно реализовать, изготовляя отдельные слои из материалов, показатель преломления которых увеличивается под действием интенсивного излучения. Учитывая, что увеличение разности показателей преломления слоев приводит к уширению запрещенной зоны и, в общем случае, к смещению спектров как целого, присутствие таких слоев в многослойной ячейке позволяет изменением интенсивности управляющего светового пучка управлять прохождением через МС Фибоначчи пробных сигналов сразу по нескольким каналам. Характерная для МС Фибоначчи трансформация спектра пропускания при подаче на нее управляющего сигнала показана на рис. 9 Верхняя стрелка определяет значение частоты управляющего сигнала, нижние стрелки определяют частоты пробных сигналов. Из рисунка видна высокая эффективность управления переключением пробных сигналов на целом ряде частот.
tt t1"17
Рис. 9. Графики зависимостей коэффициента пропускания МС Фибоначчи из 110 слоев от частоты излучения в отсутствие управляющего сигнала (кривая черного цвета) и при его включении (кривая серого цвета). A^min=l,45,
N„
3,3.
Весьма перспективной областью для применения апериодических оптических элементов является оптика лазеров. В качестве таких элементов могут выступать многослойные диэлектрические зеркала оптических резонаторов, являющихся атрибутом многочисленных типов лазеров. В данной главе показано, что переход к апериодическому чередованию слоев в покрытиях
зеркал позволяет трансформировать полосу генерации с целью
селекции отдельных генерируемых частот. Подбором показателей
преломления слоев, их числа или переходом к другому виду
апериодической последовательности можно обеспечить нужное
положение пиков и осуществить селекцию требуемых частот
генерации. Дополнительные возможности оптимизации состава
генерации появляются, если использовать в резонаторе лазера
комбинацию периодического многослойного зеркала и
апериодического зеркала, в котором чередование слоев
осуществляется по принципу Фибоначчи Апериодические
многослойные отражающие системы могут оказаться весьма полезными при создании лазеров с вертикальными микрорезонаторами. Подбирая апериодический закон чередования слоев в многослойном отражателе можно обеспечить требуемый спектральный состав лазерного излучения.
Таким образом, бурное развитие оптики фотонных кристаллов, ее тесная связь с исследованием МС, включая их апериодические модификации, указывают на открывающиеся широкие возможности качественного обновления с их помощью элементной базы разнообразных оптических устройств.
ВЫВОДЫ
Разработаны способы расчета, обеспечивающие сопоставление в широком диапазоне параметров структуры и оптических характеристик дифракционных решеток и многослойных систем, геометрия которых определяется суммационным принципом Фибоначчи.
Установлено, что связь структуры рассматриваемых оптических элементов с Золотым сечением и самоподобными признаками находит отражение в свойствах прошедшего излучения, которое обнаруживает фрактальные признаки, сочетающиеся с Золотыми пропорциями. Оценка коэффициента скейлинга по положению экстремальных точек оптических характеристик показала, что он равен коэффициенту Золотого сечения Ф = 1,618. При этом графики оптических характеристик элементов подчиняются определенному геометрическому инварианту, на основе которого реализуются многочастные самоподобные структуры с Золотыми пропорциями. Примечательно, что этим многочастным структурам можно найти
аналоги в строении разнообразных природных объектов и произведений искусства.
Произведено сравнение оптических характеристик дифракционных решеток, построенных на основе обобщения суммационного принципа Фибоначчи. Расчеты картин дифракции света на решетках разных типов показали, что самоподобие положения и конфигурации дифракционных пиков наблюдается лишь в решетках, построенных на основе Золотого и Серебряного сечений. При этом коэффициенты скейлинга положения пиков (коэффициент 0) и их конфигурации (коэффициент г) для решетки Фибоначчи равна 0 = Ф и г = 4,2, а для решетки Серебряного сечения - 0 = г = а12, где an = 2,41 коэффициент Серебряного сечения.
Осуществлено сопоставление оптических свойств многослойных структур, отличающихся типом используемого суммационного принципа. Установлено, что лишь многослойные структуры, построенные на базе ряда Серебряного сечения, подобно системе Фибоначчи, имеют оптические характеристики, в которых признаки самоподобия по положению и конфигурации экстремумов сочетаются с Серебряными пропорциями. Этот факт ставит под сомнение часто встречающийся в литературе тезис об уникальности свойств объектов и систем, построенных по принципу Золотого сечения. Близость характеристик дифракционных решеток и многослойных структур, отражающих принципы Золотого и Серебряного сечений, можно объяснить тем, что они обладают более высоким уровнем структурного самоподобия по сравнению с другими апериодическими элементами.
Фрактальный анализ спектров пропускания апериодических многослойных структур показал, что их фрактальная размерность слабо реагирует на увеличение числа слоев, оставаясь близкой к 1. В то же время спектры сингулярности обнаруживают заметное уширение, расширяясь от нуля (34 слоя) до 0,54 (233 слоя). Это указывает на мультифрактальность спектров пропускания при большом числе слоев.
Численное моделирование показало, что самоподобные оптические свойства элементов Фибоначчи весьма устойчивы к возмущениям их структуры. Так, в частности, случайное «перемешивание» положения 10-ти процентов щелей в дифракционной решетке или слоев в многослойной структуре не приводит к существенным
изменениям в их оптических характеристиках.
Осуществляя несложную модификацию геометрии систем Фибоначчи, можно внести заметные изменения в спектры пропускания и отражения излучения. В частности, путем внесения линейного тренда в толщины многослойной структуры можно реализовать широкодиапазонное отражение как по углам, так и по частотам световых волн от многослойной структуры. При этом появляется возможность эффективной модуляции фазы отраженной волны путем слабого изменения оптической толщины слоев. Существует возможность расширить области использования оптических элементов Фибоначчи. В частности, применение многослойных зеркал Фибоначчи в лазерных резонаторах может улучшить их селективные свойства; наличие в спектрах пропускания элементов Фибоначчи системы запрещенных зон позволяет работе некоторых типов оптических переключателей и фильтров придать многоканальный характер. Установленные в данной работе свойства и характеристики оптических элементов можно использовать при оптимизации их параметров.
1. Н.В. Грушина, К.А. Девятилова, Ю Мин. Особенности дифракции
света на решетках Фибоначчи. // Сборник тезисов международной
конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по
фундаментальным наукам "Ломоносов-2007". Секция "Физика".
Физический факультет МГУ. 2007. с. 132-133.
Н.В. Грушина, П.В. Короленко, М.С. Маганова. Фрактальные структуры и «Золотые» пропорции в оптике. // Сборник тезисов докладов научной конференции «Ломоносовские чтения 2007» Секция физики. Подсекция Оптика и Лазерная Физика. Москва, апрель, 2007, с.5-8.
Н.В. Грушина, П.В. Короленко, П.А. Пересторонин. Фрактальные структуры и "Золотые" пропорции в оптике // Препринт физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, 2007, № 6, 58 с.
Н.В. Грушина, A.M. Зотов, П.В. Короленко, А.Ю. Мишин. Оптические свойства одномерных апериодических систем // Сборник тезисов докладов научной конференции «Ломоносовские чтения 2008» Секция физики. Подсекция Оптика и Лазерная Физика, Москва, апрель, 2008, с.5-7.
Н.В. Грушина, П.В. Короленко, С.Н. Маркова. Особенности дифракции света на оптических решетках Фибоначчи // Вестник Московского университета. Физика. Астрономия. 2008. №2. с.40-43.
Грушина Н.В., Зотов A.M., Короленко П.В., Мишин А.Ю. Оптические свойства одномерных апериодических систем // Сборник тезисов докладов научной конференции «Ломоносовские чтения 2009» Секция физики. Подсекция Оптика и Лазерная Физика, Москва, апрель, 2009, с.12-14.
Н.В. Грушина, A.M. Зотов, П.В. Короленко, А.Ю. Мишин О Золотом сечении и самоподобных структурах в оптике // Вестник Московского университета. Физика. Астрономия. 2009. №4. с.47-51.
N.V. Grushina, P.V. Korolenko, A.Y. Mishin, A.M. Zotov. Broad omnidirectional band of reflection from Fibonacci one-dimensional photonic crystals II Progress In Electromagnetics Research Symposium Abstracts, Moscow, Russia, August 18-21, 2009, p.829.
N.V. Grushina, P.V. Korolenko, A.Y. Mishin, A.M. Zotov. Broad omnidirectional band of reflection from Fibonacci one-dimensional photonic crystals II PIERS Proceedings, Moscow, Russia, August 18-21, 2009, p.1788-1792.
Н.В. Грушина, A.M. Зотов, П.В. Короленко. "Золотое сечение" в оптике // Физическое образование в вузах. 2009. т. 15. №3. с.63-72.
П.В. Короленко, Н.В. Грушина. Золотое сечение и самоподобные структуры в оптике. М.: Книжный дом «Либроком», 2009. Учебное пособие. 136 с.
Грушина Н.В., Зотов A.M., Мишин А.Ю., Ю Мин. Апериодические многослойные структуры: свойства и применения // Краткие сообщения по физике, №12, 2009, 37-42.
Н.В. Грушина, А.М.Зотов, А.Ю.Мишин, Ю Мин. Апериодические многослойные структуры: свойства и применения // Сборник аннотаций III всероссийской молодежной школы-семинара с международным участием «Инновационные аспекты фундаментальных исследований по актуальным проблемам физики», Москва-Троицк, октябрь, 2009. с.21.
Кристаллы с пространственной модуляцией нелинейной восприимчивости
Для эффективной реализации одного трехчастотного процесса можно применять технику квазисинхронных взаимодействий. Основной их принцип заключается в периодической корректировке фазовых соотношений взаимодействующих волн с помощью модуляции нелинейной восприимчивости среды. Применение квазисинхронных взаимодействий существенно расширяет возможности нелинейной оптики, позволяя использовать наибольшие нелиней Нелинейные фотонные кристаллы и квазисинхрон- ... 14 ные коэффициенты и реализовывать нелинейно-оптические процессы даже тогда, когда условия обычного фазового синхронизма за счет двулучепрелом-ления не удается выполнить. Впервые использовать периодическую модуляцию коэффициента квадратичной нелинейной восприимчивости для компенсации волновой расстройки взаимодействующих волн предложил Бломбергеп в 1962 году [38].
Для кристаллов с такой периодической структурой в настоящее время применяется несколько терминов: кристаллы с регулярной доменной структурой (РДС-кристаллы), периодически поляризованные нелинейные кристаллы (ППНК), нелинейные фотонные кристаллы (НФК). Последний термин обусловлен аналогией с фотонными кристаллами, в которых линейные оптические свойства, то есть показатель преломления п, периодически меняется в пространстве. В НФК среда, будучи однородной по своим линейным свойствам (скачок показателя преломления An на границе доменов, как правило, очень мал и составляет около 10 3-10 4), периодически пространственно неоднородна по своим нелинейным характеристикам, квадратичная нелинейность меняет знак от домена к домену. При этом характерный размер периода в большинстве случаев оказывается сравним с длинами волн, участвующих в процессе.
В случае апериодической нелинейной структуры подобные кристаллы называют апериодически поляризованными нелинейными кристаллами (АПНК) или апериодически нелинейными фотонными кристаллами (АНФК). Приведенные выше термины равнозначны как для регулярных (РДС, ППНК, НФК), так и для апериодических (АПНК, АНФК) нелинейных структур. В работе будут применяться термины «нелинейный фотонный кристал» и «апериодический нелинейный фотонный кристал». В качестве одного из аргументов данного выбора можно указать на широкое его использование в англоязычной литературе в последнее время (см. например, [33,34,37,46,83,121,129]).
На рис. 1.1 приведен характерный вид функции модуляции нелинейной восприимчивости для реализации квазисинхронного взаимодействия.
Для иллюстрации принципа квазисинхронного фазового согласования рассмотрим процесс генерации второй гармоники (ГВГ) ш -J- ш = 2ш, где ш — ча Глава I. 1.1. Нелинейные фотонные кристаллы и квазисинхрон-... 1 Л 1 21 31 и Ы 6/ z
К принципу квазисинхронного фазового согласования. Ач — амплитуда волны ВГ, z — продольная координата стота волны накачки. На рис. 1.2 изображена зависимость амплитуды волны ВГ от пространственной координаты z при квазисинхронном взаимодействии. При фиксированной фазовой расстройке Л/г = к ш — 2кш ф 0 динамика энергообмена между волнами накачки с волновым числом kw и волной ВГ имеет осциляторный характер (пунктирная кривая). Максимального значения интенсивность ВГ достигает на так называемой когерентной длине 1С = тг/Ак и возвращается в начальное значение на длине 21с при условии, что на когерентной длине малы потери и влияние других нелинейно-оптических эффектов отстутсвует. При этом фазы взаимодействующих волн изменяются на 2тт.
Однако если в точках z = mlc, т — 1,3, 5 ..., скачкообразно изменить фазы на 7Г, процесс на отрезке [mlc, (m + l)lc] будет протекать так, как он осуществлялся на отрезке [О, /J и, таким образом, возможно осуществление непрерывного нарастания амплитуды волны второй гармоники в поле интенсивной накачки. Число т называется порядком квазисинхронизма, а Л = 2/с — периодом модуляции нелинейной восприимчивости.
Вызвать скачок относительной фазы на 7г волн, участвующих в нелинейно-оптическом взаимодействии, можно, например, путем смены знака квадратичной восприимчивости нелинейного кристалла, т. е. обращением направления его оптической оси. Для одноосного кристалла обращение оптической оси является обращением направления оси z кристалла. Компоненты тензора квадратичной восприимчивости хару (здесь а, (3, 7 —- декартовы индексы ж, у или z), в индексы которых z входит нечетное число раз, меняют свой знак на противоположный при замене z — — z.
Вектор д (\д\ = 27г/Л) называют вектором обратной нелинейной решетки, он имеет размерность пространственной частоты и направлен перпендикулярно стенкам доменов. Из условия квазисинхронизма Ah = 2тгт/А следует, что вектор д компенсирует волновую расстройку. Это справедливо не только для коллинеарного случая, когда волновые векторы взаимодействующих волн параллельны друг другу, но и в неколлинеарной геометрии взаимодействия. Тогда условие квазисинхронизма преобразуется в векторное условие Ak = к2 — 2&i = тд. Рис. 1.3 иллюстрирует условие коллинеарного и векторного квазисинхронизма. Для трехчастотного квазисинхронного взаимодействия ир = ші + LU2 показаны возможные ориентации векторов &рд]2 и д для коллинеарного и иеколлинеарного процессов.
Последовательные процессы самопреобразования в активном НФК в режиме модуляции добротности
Система (2.9) описывает динамику плоских электромагнитных волн, задействованных в стационарных связанных мпоговолновых процессах, в диспергирующей среде с пространственной модуляцией квадратичной нелинейной восприимчивости для трех трехчастотных процессов, при этом не учитываются линейные потери. Это справедливо в случае, если длипа кристалла невелика и поглощение на длинах волн, участвующих во взаимодействии, мало. Поскольку здесь рассматривается случай преобразования излучения не в резонаторе, а на проход, длины кристаллов не превышают нескольких сантиметров, а линейный коэффициент поглощения составляет около 0.01 см-1, данное приближение применимо. Из системы (2.9) легко получить следующее соотношение: Y Jj(z) = const, (2.10) где Ij — gn\Aj\2, с — скорость света в вакууме. Действительно, = A3 dt + A ilif i если кажДе J Q уравнение системы (2.9) домножить на cnkoj) д ij — р; i; _ 4), взять комплексное сопряжение и сложить все левые и правые части полученых равенств, то получим у cnjujj) dA) cnjujj) dAj _ 2 8тг j dz + 8тг j dz U Глава П. 2.2. Последовательные процессы самопреобразования в... 34 при выполнении условии Сп( р) (1) _ сп(ці) (і) СП( 2) (і) 8тг 7р 8тг 7l + 8тг Ъ 8тг 72 8тг Ъ + 8тг 7l l ] сп( з) (з) _ cn(wp) (3) , сгг(а;2) (3) 8тг 7з 8тт 7р + 8тт Ъ Эти соотношения, в свою очередь, следуют непосредственно из (2.1) и (2.3) для слабодиспергирующих кристаллов, то есть при выполнении соотношений (2.5)-(2.6), что и означает, что J23 J(Z) является интегралом движения для системы (2.9). В случае, когда частоты взаимодействующих волн лежат в области прозрачности кристалла, это справедливо.
Отметим, что g(z) может быть задана произвольным образом. Фактически g(z) корректирует фазовые соотношения взаимодействующих волн, меняя их на 7Г в точках изменения знака. Как будет показано ниже, выбор вида функции g(z) позволяет реализовать многоволновые процессы в нелинейно-оптических кристаллах.
В численных расчетах при решении системы уравнений вида (2.9) использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Критерием достоверности полученных результатов являлся интеграл движения (2.10): его изменение 51 на длине кристалла при нормировке комплексных амплитуд на модуль начальной амплитуды волны накачки не должно было составлять больше заданной величины (как правило, результат считался удовлетворительным при 51
Данный раздел посвящен теоретическому анализу двух последовательных процессов самопреобразования частоты в режиме модуляции добротности резонатора: самоутроения частоты оо+со —» 2оо, оо-\-2оо —» Зи , и параметрического самопреобразования частоты вверх to —» w/2 -f cu/2, со/2 + со —» 3w/2. Основная задача, решаемая в данном разделе, состоит в оценке средней выходной
Последовательные процессы самопреобразования в... 35 мощности излучения на частотах Зи и (3/2)ы в режиме модуляции добротности резонатора. Для ее решения в разделе также детально рассматривается динамика и энергетические характеристики исследуемых процессов внутри резонатора.
Рассмотрим активный НФК и модулятор добротности, расположенные внутри резонатора, образованного двумя плоскими зеркалами (рис. 2.1). Период модуляции нелинейной восприимчивости НФК считаем подобранным таким образом, что в кристалле возможна реализация сразу двух нелинейных процессов, в которых участвуют волны с частотами ш\, ы2, з и 4, удовлетворяющими соотношениям uji+t02 = ШзИШ2+ооз = 4- Конкретные порядки зависят от длин взаимодействующих волн и дисперсионных свойств кристалла. При этом одна из взаимодействующих волн (какая именно — зависит от рассматриваемого процесса) усиливается за счет активных свойств НФК. Зеркала резонатора полностью отражают излучение на основной (усиливаемой) частоте, для волн с другими частотами одно из зеркал (Мі) является полностью отражающим, а другое (выходное зеркало М2) — частично пропускающим. Предполагается, что характерное время изменения добротности модулятором пренебрежимо мало по сравнению с характерными временами открытого (за + -у(2) _ (2) UJ\ + LU2 = 3 Схематическое изображение активного НФК и модулятора добротности (МД), расположенных внутри резонатора. М г — зеркала резонатора
Последовательные процессы самопреобразования в ... 36 крытого) резонатора, а частоты модуляции могут меняться в диапазоне от О до десятков кГц. В качестве такого модулятора может использоваться, например, электрооптический модулятор, время переключения которого может составлять несколько не.
Рассмотрим сначала уравнения, описывающие комплексные амплитуды волн, участвующих во взаимодействии, без учета усиления активной средой, распространяющиеся в противоположных направлениях внутри резонатора для процесса генерации суммарной частоты и; і + и 2 = ш3 в кристалле с пространственной модуляцией нелинейной восприимчивости, знак которой задается функцией g(z): Здесь + и — означают волну, распространяющуюся в положительном и отрицательном направлении оси z соответственно, otj — коэффициент линейных потерь, и3 — групповая скорость волны с частотой ujj, Ак — волновая расстройка, 7j — коэффициент нелинейной связи. Обратимся к уравнениям, описывающим комплексную амплитуду волны с частотой ш\:
Апериодичность функции модуляции нелинейной восприимчивости g(z)
Видно, что при частотах модуляции от нуля до нескольких кГц энергия импульсов не меняется, а при дальнейшем увеличении частоты модуляции энергия импульсов уменьшается. Это связано с тем, что инверсная населенность среды при высоких частотах модуляции достигает существенно меньших величин на момент открытия резонатора, чем при низких частотах.
На рис. 2.4 приведена зависимость энергии генерируемых импульсов внутри резонатора от мощности излучения накачки. Как показывает анализ, при мощностях накачки менее 0.2 Вт энергия импульсов основного излучения и второй гармоники растет линейно с увеличением мощности накачки, а энергия импульсов третьей гармоники — квадратично. При дальнейшем увеличении мощности накачки рост энергии импульсов основного излучения и второй гармоники замедляется, что, видимо, связано с сильным энергообменом взаимодействующих волн.
На рис. 2.5 представлена зависимость длительности импульсов от частоты модулирующих импульсов, из которой видно, что длительность импульсов не меняется при частотах модуляции от нуля до нескольких кГц при дальнейшем увеличении частоты модуляции длительность импульсов увеличивается, поскольку пиковые значения интенсивности импульсов при увеличении частоты модуляции уменьшаются.
Зависимости средних мощностей излучения на различных частотах от частоты повторения модулирующих импульсов изображены на рис. 2.6. Видно, что существует оптимальное значение частоты модуляции добротности, при которой мощность излучения третьей гармоники максимальна.
На рис. 2.7 представлен график зависимости средней мощности излучения третьей гармоники на выходе резонатора от коэффициента отражения выходного зеркала на частоте третьей гармоники при различных значения коэффициента отражения на второй гармонике. Из рис. 2.7 видно, что существует оптимальное значение коэффициента отражения, при котором мощность третьей гармоники максимальна. Наличие оптимального значения коэффициента отражения определяется балансом потерь излучения третьей гармоники и его усиления за счет процесса сложения частот основного излучения и второй гармоники: для увеличения внутрирезонаторной мощности третьей гар Последовательные процессы самопреобразования в... моники, с одной стороны, необходимо увеличение коэффициента отражения, с другой стороны, для вывода излучения необходимо его уменьшение. Как уже упоминалось, в стационарном режиме теоретически можно достичь средней выходной мощности «100 мВт излучения на преобразованной частоте. Из рис. 2.6 видно, что в случае модуляции добротности резонатора (даже при неоптимальных с точки зрения максимальной выходной мощности третьей гармоники значениях коэффициентов отражения) можно получить большие значения выходных мощностей на частоте Зил
Рассмотрим теперь случай последовательного параметрического самопреобразования частоты — генерацию излучения на частоте Зо;/2, когда одновременно имеет место лазерная генерация излучения на частоте со, параметрический распад его частоты и —» си/2 +и)/2 и процесс сложения частот основного излучения и субгармоники и + и/2 —» Зо;/2. Тогда uj\ — w2 = ш/2, о 3 = ш, со?4 = 3w/2, и уравнения (2.17) — (2.21) с учетом усиления волны с частотой UJ принимают вид: dt = ЪГТ ( UlAl + 1 АъАХ + л/ 44Л ), (2.29) 3 ИМ ) + зМз + o-la NLA3 + гл/є А21 + І ААА\) , (2.30) dt 2n3Tc dAA 1 dt 2щТс d2L = .N( Л4 = -»(± + + - Ф)+П . (,32) {-щАА + гу ІАіА ), (2.31) На рис. 2.8- 2.12 изображены рассчитанные характеристики излучения для рассматриваемого процесса в активном НФК Nd:Mg:LiNb03 с длиной L = 0.5 см, периодом Л = 20.7 мкм (ш2 = гпз — 1), Лі = 2ТЇС/Ш\ — 2.168 мкм, Л3 = = 2тгс/о;з = 1-084, Л4 = 2-KcfuA = 0.782 мкм.
На рис. 2.8 представлены рассчитанные временные профили интенсивности импульсов внутри резонатора. Как видно из рис. 2.8, в пределах длительности импульса излучения на основной частоте наблюдается один или
Зависимость средней мощности излучения на частоте на выходе резонатора (Рз /г) от коэффициента отражения выходного зеркала (Рзш/г) Для волны на частоте Зы/2 при мощности накачки Рр — 1 Вт для различных значений Rwn- I — Рш/2 = h2- Ru/2 = 0.98, 3 - Rw/2 = 0.97, 4 - Яш/2 = 0.95. /mod = 1 кГц
Последовательные процессы самопреобразования в... 49 несколько импульсов субгармоники и излучения с частотой 3w/2. Этот эффект можно объяснить следующим образом. Параметрический процесс генерации субгармоники является пороговым, в отличие от процесса генерации суммарной частоты. Поэтому волна с частотой 3CJ/2 появляется только при наличии волны на основной частоте и превышении порога параметрической генерации субгармоники. Однако сам процесс генерации излучения с частотой Зи/2 является источником потерь для субгармопики. При истощении волны накачки может эффективно протекать только один процесс, а именно процесс удвоения частоты субгармоники, в результате чего энергия перекачивается обратно в волну на основной частоте. Таким образом формируются импульсы субгармоники и импульсы излучения с частотой Зсо/2, длительность которых значительно меньше длительности излучения на основной частоте. В зависимости от мощности накачки, коэффициентов отражения зеркал и частоты модуляции количество импульсов субгармоники в пределах импусльса основного излучения может меняться. В представленных на рис. 2.8 ситуациях в пределах импульса лазерного излучения формируется один импульс субгармопики и один импульс на частоте Зси/2, при этом длительность импульса на основной частоте составляет около 30 не, а длительности импульсов субгармоники и излучения на частоте Зи/2 — порядка нескольких не.
На рис. 2.9 представлена зависимость энергии импульсов в резонаторе от частоты модулирующих импульсов. Аналогично всем рассмотренным выше процессам самопреобразования, здесь также существует область частот, где энергия импульсов не меняется с изменением частоты модуляции. Видно также, что при высоких частотах модуляции процесс самопреобразования не происходит вовсе, что связано с малыми интенсивностями импульса основного излучения. На рис. 2.10 представлена зависимость энергии импульсов в резонаторе от поглощенной мощности накачки. Видно, что параметрический процесс самопреобразования является двухпороговым, то есть имеется порог лазерной генерации и порог параметрического процесса. Для представленной на рис. 2.10 ситуации пороговая мощность накачки для лазерной генерации составляет около 0.1 Вт, а для параметрического процесса — примерно 0.4 Вт. В зависимости от исследуемых параметров генерация субгармоники (а следо Глава II. 2.3. Генерация второй гармоники в геометрии Лауэ фем-... 50 вательно, и излучения с частотой Зш/2) может или вообще не осуществляться, или количество импульсов субгармоники в пределах импульса основного излучения может изменяться.
На рис. 2.11 представлена зависимость средних мощностей излучения от частоты модулирующих импульсов. Видно, что для данного процесса также существуют оптимальные значения частот повторения модулирующих импульсов, при которых средние мощности субгармоники и излучения па частоте Зсо/2 на выходе резонатора максимальны.
На рис. 2.12 представлен график зависимости средней мощности излучения на частоте 3CJ/2 на выходе резонатора от коэффициента отражения выходного зеркала для данной волны при разных значениях коэффициента отражения для субгармоники. Сложный характер зависимости связан с изменением количества импульсов субгармоники и излучения на частоте Зсо/2 при изменении коэффициентов отражения. Как и в случае самопреобразования в третью гармонику, в рассматриваемом процессе в режиме модуляции добротности резонатора достигаются большие средние выходные мощности излучения на частоте За;/2 по сравнению с максимально возможными для стационарного процесса самопреобразования.
Формирование субфемтосекундных импульсов
Таким образом, необходимым и достаточным условием периодичности }{х) является выполнение условий - Є Q. Соответственно, необходимым и достаточным условием апериодичности функции f(x) является выполнение соотношения $ Q хотя бы для одной пары і
Как правило, в расчетах wfc є Q и, строго говоря, функция, характеризующая знак нелинейной восприимчивости g(z) — X =i sinuJkZ, определенная на (—со, со), — периодическая, однако в реальности g(z) — финитная функция, отличная от нуля на промежутке длины кристалла и, соответственно, непериодическая. В то же время нелинейные фотонные кристаллы (или РДС-кристаллы) также ограничены в пространстве и для них g(z) в строгом смысле тоже непериодична. Однако на длине такого кристалла помещается большое количество периодов модуляции.
Как следует из утверждения 3, период g(z) в АНФК Л = Лід. Оценим период для процесса параметрического усиления при низкочастотной накачке, который, как было сказано выше, обсуждается в разделе 4.1. В этом случае одновременно протекают три процесса, каждому соответствует свой рассчитанный период квазисинхронизма (округленный до десятых микрона)
Нелинейные коэффициенты связи волн — 17.5, Л2 = 10.7 иЛ3 = 15.4. Для данных значений q = 2354. Это означает, что период Л « 845 мкм, в то время как длина кристалла составляет около нескольких сантиметров и на ней помещаются единицы периодов структуры. Естественно, периоды Л/г не равны в точности приведенным значениям, а если для построения g(z) взять более точные значения Ajfc, округлить при расчетах до сотых микрона, то q — 1651605 и соответствующий период будет Л 59.2 см, что заведомо много больше длин взаимодействия и длины кристалла. Для большего количества реализуемых процессов период, очевидно, увеличивается.
Таким образом, без ограничения общности созданную в кристалле методом суперпозиции модуляции восприимчивости нелинейную структуру можно считать апериодической в том смысле, что период структуры, как правило, либо больше длины кристалла, либо сравним с ней.
С точки зрения расчета параметров структуры важным вопросом является связь пространственных гармоник а.,- с коэффициентами нелинейной связи. Нахождение аналитической зависимости gm(ai,... ,ам), где дт связано с g(z) соотношением (3.8) и обратной к ней функции позволило бы находить необходимые пространственные амплитуды а7- по заданным коэффициентам нелинейной связи jj дт. Аналитическая оценка коэффициентов нелинейной связи волн в АНФК может быть осуществлена следующим способом. Функцию сигнатуры можно представить в виде
Как будет показано в разделе 3.5, без ограничения общности можно положить р = 0. Воспользуемся разложением по функциям Бесселя от действительного аргумента при подстановке (3.11) в (3.10):
Здесь т = (2q+l) определяет порядок квазисинхронизма. Таким образом, как и следовало ожидать, порядок квазисинхронизма может быть только нечетным. Отметим, что в случае регулярной структуры пет зависимости коэффициентов разложения от а. Так и должно быть, поскольку sign/(,z) — знаковая функция и для периодической зависимости f(z) амплитуда изменения значений оказывается не важной.
В случае квазисинхронизма тп-го порядка получаем хорошо известный результат — эффективный коэффициент нелинейной связи волн равен
Действительно, как видно из рис. 3.2, максимум F(K) для периодической функции g(z) на первом порядке синхронизма (га = 1) составляет около 0.62 « 2/тт. Однако за счет того, что кристалл имеет конечную длину, имеет место уширение спектральных максимумов.
Обратимся к более сложной ситуации. Рассмотрим АНФК, в котором создана нелинейная структура для реализации двух трехчастотных процессов. В соответствии с (3.5), в этом случае знак нелинейной восприимчивости характеризует функция g(z) = sign [ai sin(Kiz) + a2 sm(i 22)]. Воспользуемся (3.10) и тригонометрическим соотношением sin(a + Р) — sin a cos /3 + cos a sin /?,
В рассматриваемом случае существует бесконечно большое число высших пространственных гармоник от sin(A iz) и sin(K2z) и их комбинаций. Но их амплитуды уменьшаются с ростом порядка гармоник и, кроме того, они не будут
Глава III. 3.3. Нелинейные коэффициенты связи волн компенсировать фазовые расстройки. Вследствие этого можно ограничиться лишь теми слагаемыми, которые компенсируют расстройки для двух исследуемых процессов в первом порядке квазисинхронизма. Тогда имеем: g{z) = і- (h(aua2)e-iKlZ + І2{аиа2)е ІК ) +к.с, (3.28)
На рис. 3.4 изображены зависимости коэффициентов 7іі2 от отношения г = a2/ai. Как и следовало ожидать, при г = 0 значение коэффициента совпадает со случаем регулярной нелинейной решетки и равно 2/іг и 0.637. По мере увеличения г \gi\ уменьшается, а #2І увеличивается, пока при г = 1 (то есть а\ = аг) не становятся одинаковыми. Аналитическое нахождение обратных функций представляется нетривиальной задачей, однако с точки зрения практического применения можно ограничиться графическими прямыми зависимостями.
Как уже отмечалось, два связанных процесса можно относительно легко реализовать в кристаллах с регулярной нелинейной решеткой. Однако эта задача является практически неосуществимой для трех и более связанных трех-частотных взаимодействий и может быть решена только за счет использования более сложных структур, в частности, АНФК. Проведем аналитический
Похожие диссертации на Многоволновые нелинейно-оптические взаимодействия в средах с пространственной модуляцией квадратичной восприимчивости
