Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Генерация неклассического света и его применение. Обзор литературы 11
1.1 Методы генерации неклассического света 11
1.2 Применение неклассического света 18
1.3 Поляризационно - сжатый свет; квантовое описание и методы измерения 23
Глава 2 Формирование поляризационно - сжатого света в кубично - нелинейных оптических средах 32
2.1 Подавление поляризационных флуктуации за счет эффектов самовоздействия и кросс - взаимодействия в изотропных гиротропных средах 32
2.2 Эффекты параметрического обмена энергией при образовании неклассических поляризационных состояний 39
2.3 О применимости метода заданного числа фотонов в задачах вырожденного четырехволнового смешения 55
2.4 Количественные оценки параметров 60
2.5 Краткие выводы 63
Глава 3 Диссипативные эффекты в нелинейно - оптических процессах генерации неклассического света 64
3.1 Квантовое описание диссипативных эффектов 64
3.2 Диссипативные эффекты в кубично - нелинейных средах; генерация квадратурно-сжатого и поляризационно-сжатого света
3.3 Диссипативные эффекты при преобразовании оптических частот. Метод выделения коррелирующей части операторов поля 86
3.4 Краткие выводы 89
Глава 4 Поляризационно - сжатый свет в квадратично нелинейных средах. Влияние частичной когерентности и диссипации излучения при смешении частот 91
4.1 Формирование неклассического света в диссипативной квадратично-нелинейной среде 91
4.2 Генерация сжатых состояний поля частично когерентным излучением 96
4.3 Количественные оценки параметров 104
4.4 Краткие выводы 105
Глава 5 Генерация неклассического света при встречном параметрическом усилении в последовательных взаимодействиях 107
5.1 Встречные последовательные параметрические взаимодействия; основные соотношения 108
5.2 Квадратурные компоненты 113
5.3 Корреляционные свойства выходного излучения 117
5.4 Особенности поведения квантовых флуктуации при встречном взаимодействии 121
5.5 Краткие выводы 129
Заключение 130
Литература
- Применение неклассического света
- Эффекты параметрического обмена энергией при образовании неклассических поляризационных состояний
- Диссипативные эффекты в кубично - нелинейных средах; генерация квадратурно-сжатого и поляризационно-сжатого света
- Количественные оценки параметров
Введение к работе
Актуальность исследования
В последнее время значительный интерес вызывают неклассические состояния света. Неклассический свет представляет собой излучение, в котором уровень квантовых флуктуации некоторых его параметров ниже так называемого стандартного квантового предела. К настоящему времени экспериментально получен свет с уменьшенными флуктуациями числа фотонов (свет с субдуассоповской статистикой фотонов), излучение с подавленными флуктуациями одной из квадратурных компонент, так называемый квадратурно - сжатый свет. Наблюдаемые свойства такого света не могут быть описаны классически. Интерес к неклассическому свету в настоящее время стимулируется активным развитием таких разделов квантовой оптики, как квантовая криптография, квантовая телепортация и квантовые вычисления. Так квадратурно-сжатый свет был применен в экспериментах по квантовой телепортадии, что позволило осуществить передачу информации с высоким уровнем надежности, недостижимым в классическом случае. Излучение с низким уровнем шума необходимо также для осуществления высокоточных оптико -физических измерений.
К настоящему времени разработан ряд методов получения поляризациошю - сжатого света. Свет данного типа характеризуется подавленными флуктуациями параметров, определяющих поляризационное состояние излучения. Исследована возможность генерации поляризационно - сжатого света в средах с квадратичной и кубичной оптическими нелинейностями. Свойства неклассического света существенным образом меняются при прохождении через оптические элементы. При этом наиболее существенное воздействие могут оказывать различные источники потерь, в первую очередь поглощение. В связи с этим актуальной проблемой является изучение влияния поглощения на подавление квантовых флуктуации поляризации. В выполненных работах, посвященных поляризационно - сжатому свету, исследована лишь возможность формирования такого света, реальные свойства нелинейных сред и возможные сопутствующие нелинейно - оптические процессы при этом нс принимались во внимание.
В настоящее время в пелипейной оптике развивается новое направление, связанное с одновременной реализацией в кристаллах с регулярной доменной структурой двух последовательных квазисинхронных процессов с кратными частотами. Разработана классическая теория последовательных процессов. Вместе с тем особый интерес могут представлять квантовые свойства воли, участвующих в этих взаимодействиях, которые еще не изучены.
Перечисленные вопросы явились предметом исследования, изложенного в диссертационной работе.
— 2 —
Цель диссертационной работы
Цель работы состояла в квантовом анализе двухмодового взаимодействия световых волн в средах с квадратичной и кубичной оптическими нелинейностями с учетом реальных свойств сред и частичной когерентности основного излучения. Главным предметом исследований было:
-
анализ формирования квадратурно - сжатых и поляризационно - сжатых состояний света в кубично - нелинейных средах в условиях параметрического энергообмена между волнами;
-
разработка простого метода учета влияния диссинативных эффектов при квантовом описании многомодовых взаимодействий и его применение для исследования влияния линейного поглощения излучения и тепловых шумов на процесс генерации неклассического света;
-
анализ квантовых свойств излучения, формируемого при параметрическом усилении во встречных последовательных взаимодействиях волн с кратными частотами.
Научная новизна
К оригинальным результатам работы относятся установление возможности генерации поляризационно - сжатого света в изотропных гиротропных средах и анализ влияния параметрического обмена энергией между взаимодействующими волнами и поглощения излучения на формирование данного типа неклассического света. Впервые проведено квантовое рассмотрение нелинейно - оптических процессов при встречном параметрическом усилении волн в последовательных взаимодействиях волн с кратными частотами.
Научная и практическая ценность работы
Результаты работы, связанные с учетом диссипации и частичной когерентности излучения, позволяют корректно оценить эффективность генерации поляризационно - сжатого света в реальных экспериментальных условиях.
Развитый в работе метод учета тепловых шумов среды позволяет рассчитывать статистические моменты квантовых полей при многочастотных взаимодействиях.
Результаты работы показывают возможность формирования при встречном параметрическом взаимодействии волн с кратными частотами неклассического света на частотах ниже и выше частоты накачки с частичной взаимной корреляцией фотонов. При этом ре-
— З —
ллизуемое параметрическое усиление при низкочастотной накачке позволяет в три раза ;низить значение частоты накачки для генерации квадратурно - сжатого света.
Положения, выносимые на защиту
-
При взаимодействии двух мод когерентного излучения одинаковой частоты в изотропных гиротропных кубично - нелинейных средах возможно формирование поля-ризационно - сжатого света.
-
Параметрические взаимодействия в анизотропных кубично - нелинейных средах могут приводить к более глубокому подавлению флуктуации стоксовых параметров и квадратурных компонент, чем в отсутствии энергообмена, и обуславливают изменение статистики фотонов поляризационных мод.
-
Поглощение излучения в нелинейной среде приводит к наличию оптимальной длины взаимодействия, на которой происходит максимальное подавление флуктуации стоксовых параметров и квадратурных компонент. На длинах взаимодействия, превышающих оптимальную, уровень флуктуации указанных параметров возрастает вследствие роста некогерентной шумовой добавка.
-
Частичная когерентность основного излучения приводит к уменьшению эффективности подавления квантовых флуктуации в выходном основном излучении в процессе генерации второй оптической гармоники смешением волн. При этом происходит также снижение уровня тепловых флуктуации основного излучения.
-
В последовательных процессах встречного параметрического взаимодействия с кратными частотами квадратурно - сжатый свет формируется как на низкой, так и на высокой частоте по отношению к частоте накачки. При этом фотоны усиливаемых полей частично коррелированы.
Апробация результатов работы
Материалы диссертационной работы были доложены на
- VI и VII Международных семинарах по квантовой оптике (Минск, 1996 и 1998) [8,
9],
Конференции молодых ученых в рамках юбилейных мероприятий, посвященных 70-ти летию Р.В. Хохлова (Москва, 1996) [10],
V International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations, ICSSUR'97 (Balatonfured, Hungary, 1997) [11],
XVI International Conference on Coherent and Nonlinear Optics, ICONO'98 (Moscow,
— 4 —
Russia, 1998) [12],
IV International Conference on Quantum Communications, Measurement and Computing QCM'98 (Evanston, USA, 1998) [13],
VI International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations, ICSSUR'99 (Naples, Italy, 1999) [14]
International Conference on Quantum Optics and VIII Seminar on Quantum Optics, ICQO'200 (Minsk, Belarus, 2000) [15]
и отражены в публикациях в журналах Квантовая электроника [5], Оптика и спектроскопия [3,6], Известия РАН [2], Laser Physics [7], Journal of Russian Laser Research [1] и Journal of NonUnear Optical Physics and Materials [4].
Список из 15 публикаций по материалам диссертации приведен в конце настоящего автореферата.
Личный вклад автора
Автором выполнены все расчеты по анализу квантовых состояний излучения в процессах формирования неклассического света в средах с квадратичной и кубичной оптическими нелинейностями и интерпретация полученных результатов.
Объем и структура диссертации
Применение неклассического света
Одной из динамично развивающихся областей квантовой оптики является исследования нелинейно-оптических процессов, приводящих к формированию неклассических состояний света. Неклассическим или сжатым светом принято называть излучение, уровень флуктуации параметров которого ниже, чем для когерентного излучения, получаемого в результате лазерной генерации. В зависимости от вида подавленных флуктуации различают квадратурно - сжатый свет, поляризационно -сжатый свет, излучение с антигруппировкой фотонов.
Интерес к сжатым состояниям света вызван возможностью их применения для повышения чувствительности систем регистрации или точности измерений при проведении различных оптико-физических экспериментов. В настоящий момент разрабатываются разнообразные применения неклассического света, включая интерферометрию, высокоточные измерения фаз оптических сигналов. Сжатые состояния света применяют в таких разделах квантовой оптики, как квантовая томография и криптография, квантовая телепортация.
Для генерации сжатых состояния света в настоящее время в основном используют такие нелинейно-оптические процессы, как параметрическое взаимодействие волн, генерация второй гармоники и самовоздействие. Ниже приведен краткий обзор методов получения света в сжатом состоянии и описание его применений.
К настоящему времени выполнено значительное число экспериментов, в которых получен квадратурно - сжатый свет. Впервые же сжатый свет в таком состоянии наблюдался в эксперименте по параметрическому усилению в процессе резонансного невырожденного четырехволнового смешения [1]. В этом эксперименте достигнуто 16% - ное снижение уровня амплитудных флуктуации по сравнению с уровнем вакуумных флуктуации.
Наиболее распространенным способом генерации квадратурно - сжатого света является процесс трехволнового смешения, а именно спонтанного параметрического рассеяния света в кристаллах с квадратичной нелинейностью [2]. В таком процессе фотон накачки (обычно используется инфракрасное излучение с длиной волны Л = 1,06 мкм, генерируемое пикосекундными лазерами на алюмо-иттриевом гранате) распадается на пару фотонов с приблизительно равными энергиями. При использовании кристаллов, в которых реализовано условие фазового синхронизма второго типа (е —» ое), каждый из выходных пучков содержит фотоны одинаковой поляризации, причем поляризации фотонов различных пучков ортогональны. В силу последнего обстоятельства в таком процессе могут быть получены фотоны, находящиеся в перепутанном поляризационном состоянии. Экспериментальное исследование квантовых корреляционных свойств таких фотонных пучков описано, например, в работе [3]. Флуктуации интенсивности выходных фотонных пучков исследованы в работе [4], где показано, что флуктуации разности интенсивностей в данном процессе оказываются существенно ниже классического уровня. Влияние фазовых флуктуации импульсной накачки на формирование сжатых состояний в процессе спонтанного параметрического рассеяния света при наличии групповой расстройки рассмотрено в работе [5].
В эксперименте [6] зарегистрировано 63%-ное подавление квадратур- ных флуктуации в выходном излучении, генерируемом в нелинейном кристалле LiNb03 при спонтанном параметрическом рассеянии при накачке излучением Nd : YAG лазера с длиной волны Л = 1, Об мкм. Столь высокое подавление квантовых флуктуации достигнуто благодаря использованию высокодобротного оптического резонатора. В отсутствии резонаторов высокая степень сжатия может быть достигнута при применении импульсной накачки. Так, в работе [7] сообщается о сжатии квадратурных флуктуации на 75% ниже когерентного уровня.
Недавно была установлена возможность получения квадратурно -сжатого света при последовательных трехчастотных взаимодействиях волн с кратными частотами [8,9]. Данные взаимодействия волн протекают при одновременном выполнении условий фазового синхронизма для двух трехчастотных процессов. В однородных нелинейно-оптических кристаллах не удается удовлетворить условию колинеарного синхронизма одновременно для нескольких трехчастотных процессов, поскольку для этого необходимо равенство фазовых скоростей трех волн с кратными частотами. Использование неоднородных сред дает возможность преодолеть это ограничение. Идея применения периодической модуляции квадратичной восприимчивости для компенсации расстройки волновых векторов взаимодействующих волн принадлежит Бломбергену [10]. В неоднородных средах расстройка волновых векторов компенсируется вектором обратной "нелинейной решетки", при этом могут быть удовлетворены условия так называемого квазисинхронного протекания параметрических взаимодействий.
Для осуществления квазисинхронных взаимодействий могут быть использованы кристаллы с регулярной доменной структурой (РДС-кристаллы). РДС-кристалл представляет собой совокупность чередую- щихся слоев, в которых оптические оси имеют противоположные направления. Такая структура приводит к модуляции нелинейных свойств, характеризующихся периодическим изменением знака нелинейной восприимчивости. Возможность одновременной реализации условий квазисинхронизма для протекания двух трехчастотных процессов впервые установлена Александровским с соавторами [11] для РДС-кристалла LiNb03- Чиркин и Волков установили возможность осуществления в РДС-кристаллах высокоэффективного процесса параметрического усиления при низкочастотной накачке [12]. Ими также проведен анализ динамики энергообмена при последовательной квазисинхронной генерации третьей гармоники и третьей субгармоники [13].
К настоящему моменту последовательные квазисинхронные взаимодействия наблюдались в экспериментах [14, 15]. В [14] сообщено о наблюдении генерации второй и третьей оптических гармоник при попутном взаимодействии волн, а в [15] - при встречном. Эксперименты по квазисинхронной генерации сжатых состояний на данный момент отсутствуют. Однако рост интереса исследователей к данной области должен, по-видимому, способствовать появлению экспериментальных подтверждений возможности формирования сжатых состояний в РДС-кристаллах.
Эффекты параметрического обмена энергией при образовании неклассических поляризационных состояний
Обратимся к анализу формирования неклассического света в изотропных гиротропных средах. В средах данного типа, обладающих не — 33 — линейностью третьего порядка, распространение двух волн одинаковой частоты сопровождается нелинейной модуляцией их показателей преломления, которая приводит к эффектами кросс - и взаимодействия самовоздействия волн. В силу изотропии линейных свойств среды процессы параметрического обмена энергией отсутствуют, что на квантовом языке выражается в сохранении числа фотонов каждой моды излучения равным значениям на входе в среду.
Рассмотрим распространение в кубично - нелинейной изотропной гиротропной среде двух мод различных круговых поляризаций, имеющих одинаковую частоту. На входе в нелинейную среду моды предполагаются полностью поляризованными и когерентными. —+ Используем обычное представление электрического поля Е и вектора - . нелинейной поляризации Р в виде суперпозиции плоских волн: Ё = T.Ei{khui) = EeA/e, ( f -w ), її _ (2 1) Pnl = EP (khu}i) = ЕеАіе кт?т-иті\ m ч m Тогда волновое уравнение, описывающее распространение световых волн в кубично-нелинейной гиротропной среде без поглощения, может быть записано в виде V х (Vx) - п2 E(k,uj) = Pnl(uj), V J с2 v ; (2.2) Pnl(cv) = х{Ъ)ЕЕЕ + y EEVE, где х и 7 тензоры, характеризующие нелинейную восприимчивость третьего порядка и пространственную дисперсию кубичной нелинейности, п - линейный показатель преломления.
Совершив в (2.2) переход к циркулярно поляризованным амплитудам, для изотропной гиротропной среды, согласно [65], получим следующие уравнения для медленно меняющихся амплитуд волн с циркулярной — 34 — поляризацией А+ и А_ dA+ (-Po + AA+2 + /9A_2)A+, M_ / . n і , 2 , n\ „ 2ч - VZ- где J3j, (3 - линейные комбинации ненулевых компонент тензоров, описывающих кубичную нелинейность и ее пространственную дисперсию, ро -константа линейной гирации.
Для записи уравнений (2.3) в каноническом виде необходимо подобрать функцию Гамильтона 7{(А+, А +1 А-,А _) так, чтобы данная система уравнений могла быть переписана в форме где д принимает значения {А+, А+, А-, At.}, а символ {.,.} обозначает классическую скобку Пауссона: if 1 = dg д1 д$ дд ІІ,дї dA±dA ± dA±dA ± Таким образом, в качестве обобщенных координат выбраны переменные і+иі_,ав качестве обобщенных импульсов - А + и А _. Сопоставив уравнения (2.3) и (2.4), получим следующее выражение для искомой функции 7І(Л+,А;,Л_,А _): с -- - -" - ч - 1 \2 л2 , Ъ ( л \2 л2 П = — [ро(А +А+ - А _А_) + Рі{А +уАг+ + lh{A _yAi + 20A +A+A _A Zi It (2.5) При выводе (2.5) в (2.3) произведена замена переменных z = ct/n, где с/п - фазовая скорость волны в среде.
С математической точки зрения процедура квантования заключается в замене классических амплитуд А+, А_ на операторы. Перейдем к операторам по следующему правилу:
Отметим, что, согласно [64] и выражениям (2.1), такой переход соответствует представлению оператора электрического поля Е через операторы рождения а+ и уничтожения dj фотонов г+ei(wt-kj?j) —i(wt—kjfj) aje Ej = iCej (2.7) Совершив переход к операторам в классической функции Гамильтона (2.5) получим квантовый гамильтониан, описывающий нелинейное взаимодействие полей Нш = Ц2ро(а аі - а а2) + /3i(af )2а\ + (32(а )2а\ + 2/3a aia a2). (2.8) Индекс "1" ("2") относится к моде с правой (левой) круговой поляризацией; /3, /Зі52 константы нелинейной связи волн, причем (3j = cC2/nf3, J = 1,2.
Первое слагаемое в (2.8) описывает линейный эффект поворота плоскости поляризации, второе и третье - отражают эффект самовоздействия волн, а четвертое — их кросс-взаимодействие.
С учетом гамильтониана (2.8) получим систему гайзенберговских уравнений эволюции для операторов a,j г(-Ро + Piaai + Р 4а2)а\, -fit = КРО + Pafai + (52а а2)а2. Данная система уравнений также может быть получена из уравнений (2.3) путем замены в них классических амплитуд полей операторами по правилу (2.6). Таким образом, уравнения (2.9) представляют собой квантовый аналог системы (2.3) и описывают нелинейное взаимодействие мод при прохождении через гиротропные кристаллы.
Полученная система квантовых уравнений соответствует полуклассическому подходу к описанию взаимодействий полей в нелинейных сре 36 —
дах. Так, нелинейные свойства среды описываются классически (посредством констант нелинейной связи /3j), а поля - квантованные. Такой подход справедлив, по крайней мере если частоты взаимодействующих полей далеки от собственных частот среды, то есть взаимодействие носит не резонансный характер. В дальнейшем будем предполагать, что условие отсутствия резонансного взаимодействия выполнено. Полу классический подход, использованный в настоящей работе, является общепринятым в квантовой оптике для описания эффектов, связанных с формированием неклассический состояний света в нелинейных средах. Правомочность его использования подтверждена результатами экспериментов (см., например, [6, 21, 23-27]).
Поскольку гамильтониан (2.8) может быть переписан через операторы числа фотонов мод rij(t) = aj(t)aj(t): Hint = Тг[2р0(пі - п2) + 2(3щп2 + Е/ І(ПІ - пз% і то операторы rij коммутируют с гамильтонианом. Следовательно, в процессе взаимодействия оператор числа фотонов в каждой из мод остается неизменным rij(t) = rij(0). Последнее обстоятельство позволяет легко найти точное решение нелинейной системы (2.9): ai(t) = e 0+/3ini0+/?n2)ai, (2 10) a2(t) = е Р+Рп10+132П а2. Здесь и далее а+, a,j - значения соответствующих операторов в момент времени t = 0 (на входе в среду). В предположении когерентности излучения мод, воспользовавшись найденной зависимостью операторов системы от времени и формулой алгебры операторов [66]
Диссипативные эффекты в кубично - нелинейных средах; генерация квадратурно-сжатого и поляризационно-сжатого света
В случае расстройки А ф 0 решение уравнений (2.39) можно искать в приближении заданной интенсивности, впервые рассмотренном в работе [88] (см. также [89]). Оно использует то обстоятельство, что при А ф 0 существенное изменение фаз взаимодействующих волн происходит на гораздо меньших расстояниях (z 1/А), чем изменение интенсивностей. При этом, следуя [69] можно произвести вторичное упрощение укороченных уравнений (2.39), полагая в уравнениях для комплексных амплитуд интенсивности взаимодействующих волн постоянными.
В приближении заданной интенсивности решения уравнений (2.39) полностью совпадают с выражениями, получающимися из (2.22) заменой операторов aj((ij) на с - числовые комплексные амплитуды aj(a ). В соответствии с полученными таким образом выражениями для нормированных интенсивностей имеем K2/a2 = lT-sm2(r7C/2). (2.45) Из сравнения (2.44) и (2.45) видно, что оба решения имеют осциллирующий характер. Однако период и амплитуда осцилляции в общем случае — 60 — несколько различаются. Лишь при г} — ALn/ 1 выражения совпадают полностью. Графики функций (2.44) и (2.45) для различных значений приведенной волновой расстройки изображены на рис. 2.7. На длинах z Lni зависимости рассматриваемых функций хорошо согласуются, на больших же расстояниях различия становятся заметными.
Из вышеизложенных результатов и рис. 2.7 можно сделать следующий вывод. Приближение заданного числа фотонов качественно правильно описывает процесс распространения в кубично - нелинейной анизотропной среде двух поляризационных мод. Количественные оценки, полученные по данному приближению, справедливы для длин среды порядка Lni = (тН2)-1 2.4 Количественные оценки параметров
Введенная нами нелинейная длина Ln\ — (7Н2)-1 имеет смысл расстояния, на котором нелинейная фазовая добавка равна одному радиану: Ф = j\a\2Lni = 1. Через измеряемые физические величины длину Ln\ можно выразить следующим образом [81] Lni — (к0п21о) Размерности величин п2 и IQ равны соответственно: [п2] = см2/Вт, [IQ] = Вт/см2. Оценим значения Ln\ для излучения пикосекундного лазера (А = 1.06 мкм) с интенсивностью 1ГВт/см2. В качестве кубично - нелинейной среды возьмем кварцевое волокно (п2 = 3.2 10 16см2/Вт), волновод на полупроводнике AlxGai_xAs (п2 = 10 14см2/Вт) и органическую пленку полидиацетилена (п2 = 10 12см2/Вт). Расчеты дают следующие значения нелинейной длины: для кварцевого волокна Ln\ = 50 см, для полупроводникового волновода Ln\ = 1.7 см, для органической пленки Ln\ — 0.02 см.
Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от длины нелинейной среды для различных значений волновой расстройки rj = ALn где Ln\ = (7Н2)-1 -нелинейная длина. Сплошная линия — точное классическое решение при /І = 0.25, пунктирная — решение в приближении заданного числа фотонов. ния нормальных волн. Обычно Дп имеет порядок 10 3, что приводит к волновой расстройке Д = 100см-1. С учетом приведенных выше значений нелинейных длин получаем, что диапазон возможных значений приведенной волновой расстройки составляет г\ — 2 -f- 5000.
Таким образом, в средах где нормированная волновая расстройка г/ составляет несколько единиц (например, в органических пленках), связанные с межмодовым энергообменом эффекты оказывают существенное влияние на формирование неклассического света. В таких средах за счет параметрических процессов может быть получено излучение с субпуассо-новской статистикой. В средах же, в которых нормированная расстройка волновых векторов имеет большое значение (несколько десятков единиц и более) вклад процессов энергообмена мал вследствие их низкой эффективности при больших волновых расстройках. Поэтому в подобных средах, например, в кварцевых волокнах, параметрические процессы энергообмена можно не принимать во внимание при рассмотрении генерации сжатого света.
Количественные оценки параметров
Таким образом, формирование поляризационно - сжатого света происходит наиболее эффективно в случае, когда нелинейные фазовые набеги 7jlaj2 Для взаимодействующих мод равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Наличие тепловых шумов, как и квадратурных компонент, приводит к появлению оптимальной длины взаимодействия, на которой достигается максимальное подавление флуктуации. При увеличении длины нелинейной среды добавочные шумы, связанные с поглощением излучения в среде, начинают превышать уровень шума когерентной составляющей, что приводит к росту дисперсии флуктуации поляризации. При достаточно больших длинах уровень флуктуации стоксовых параметров определяется характеристиками тепловых резервуаров и не зависит от внешнего воздействия.
В отличие от дважды вырожденного по частоте четырехволнового процесса, рассмотренного в предыдущем разделе, в процессах, приводящих к преобразованию частот излучения, даже в недиссипативном приближении число фотонов взаимодействующих мод не сохраняется. Математически это выражается в том, что гамильтониан Hint не коммутирует с операторами числа фотонов. Подобная ситуация реализуется, например, при формировании поляризационно - сжатого света в процессе генерации оптических гармоник. В подобных случаях применение приближения заданного числа фотонов не правомочно, и для анализа влияния диссипации необходим иной способ усреднения уравнений Ланжевена.
Из определения операторов Стокса (1.2) следует, что для расчета дисперсий, определяющих поляризационное сжатие, необходимо определить следующие статистически характеристики операторов поля а у. (a j aj)y ((a j aj)2) - средние значения и флуктуации числа фотонов каждой моды; ((ai ai)(a,2 CL2)) - кросскорреляции числа фотонов мод; (а а,2), {{а І)2(аг)2) - кросскорреляции операторов поля. На основании (3.6) можно установить, что поведение данных корреляционных функций описывается уравнениями fa к = —; 2 к(аІак) - {[ajak,Hint]} - yj6 j{h1 ak) - {ajbk}, ,+ = "2 \Kaj ak) ) - {[{aj ak) , tiintl) -\/fij((b] akafak) + {ajakbjak)) - /bk({ajbkajak) + (a1 akctfbk)). :3.29 Таким образом, для определения необходимых корреляционных функций нужно рассчитать корреляторы операторов поля а3 с операторами, описывающими тепловой резервуар bj. Поскольку операторы резервуара являются 6 - коррелированными, то есть для них выполнены условия (3.5), то bj вносит ненулевой вклад в коррелятор с оператором поля лишь на бесконечно малом промежутке времени. Поэтому для определения корреляторов предлагается использовать следующий метод.
Представим оператор поля в виде разложения на коррелирующую и некоррелирующую с операторами резервуара составляющую: aj(t) = ajnc(t - At) + ajcor(t). (3.30) При этом временной интервал At должен быть больше времени корреляции шума и меньше времени существенного изменения операторов системы. Тогда попарные корреляторы, стоящие в правой части (3.29) равны (b+(t)ak(t)) = (bj(t)akcor(t)), (4(t)bk(t)) = (a%or(t)bk(t)). Коррелирующая часть a,jcor определяется из уравнения (3.6) интегрированием по интервалу [t,t — At]. В результате имеем і а J""" At i t-At і = lim J -yf8]bj(t )dt . (3.31
Вклад от отброшенных слагаемых пропорционален (At)2. Здесь ситуация аналогична классическому случаю, рассмотренному в [81]. В случае -коррелированного шума выражения (3.31) с учетом операторных свойств (3.5) приводят к результату (Щак) = -yf6 k(bl(t) J bk(t )dt ) = - / (bj(t)bk(t ))dt = -V6 6kj t-At t-At (3.32) аналогично (ajbk) = —\j6j—"Ц—Sjk При определении статистических моментов более высокого порядка в предположении гауссовой статистики тепловых флуктуации соответствующие корреляторы могут быть представлены в виде попарных произведений, содержащих рассчитанные выражения. В результате находим (bjakajak) = (ajakapk) = - 6 Щ{п3) + \), 2./V- + 1 (3.33) Таким образом, изложенный метод позволяет рассчитать все необходимые коррелаторы для определения статистических характеристик операторов поля. При помощи данного подхода может быть исследовано влияние диссипации излучения и тепловых шумов на процессы формирования неклассических состояний. Метод наиболее эффективен для ajbka j ak) — (ajakbjak) = -y/6j6jk— — (п3х рассмотрения формирования неклассического света в процессах, идущих с преобразованием частот, так как позволяет определить статистические характеристики операторов поля без дополнительных предположений относительно эффективности частотного преобразования.
Описанный выше подход был применен для анализа эффектов диссипации в пространственно-периодических средах [104]. Особенность формирования поляризационно - сжатого света в средах данного типа заключается в наличии линейного энергообмена между модами. Необходимо отметить, что учет некогерентных шумов в кубично - нелинейных средах, проделанный ранее в настоящей главе при помощи формального решения уравнений (3.10), может быть также реализован изложенным методом.
