Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 4
1.1 Актуальность темы работы 4
1.2 Цели работы 7
1.3 Научная новизна работы 7
1.4 Практическая значимость работы 8
1.5 Основные методы 8
1.6 Основные результаты и выводы 10
1.7 Основные положения, выносимые на защиту 11
1.8 Апробация работы и публикации 12
1.9 Структура и объем работы 12
2. Конечно-разностный метод 13
2.1 Введение 13
2.2 Уравнения для планарного волновода 14
2.3 Конечно-разностная схема решения краевой задачи для планарного волновода 16
2.4 Уравнения для цилиндрического волновода 19
2.5 Конечно разностная схема решения краевой задачи для цилиндрического волновода 22
2.6 Скалярное приближение 25
2.7 Выводы 30
3. Оптимизация брэгтовских световодов 31
3.1 Введение 31
3.2 Модель брэгговского волновода 32
3.3 Анализ модели 37
3.4 Практическое применение модели 39
3.5 Выводы 41
4. Параметрическое описание волн в периодических средах 42
4.1 Введение 42
4.2 Параметрическое решение волнового уравнения 43
4.3 Периодический показатель преломления. Решения Флоке 46
4.4 Приложение к задаче синтеза интерференционного зеркала 50
4.5 Приложение к задаче синтеза брэгговского волновода 56
4.6 Выводы 59
5. Численное моделирование процессов установления мод и изгибных потерь в планарных брэгговских волноводах методом параболического уравнения 60
5.1 Введение в метод параболического уравнения 60
5.2 Основные уравнения 64
5.3 Численная реализация 69
5.4 Результаты численного моделирования для однородной среды 71
5.5 Моделирование брэгговского волновода без изгиба 74
5.6 Моделирование брэгговского волновода с изгибом 77
Выводы 83
- Апробация работы и публикации
- Модель брэгговского волновода
- Приложение к задаче синтеза интерференционного зеркала
- Результаты численного моделирования для однородной среды
Введение к работе
1.1 Актуальность темы работы
В последнее время в оптике интенсивно развивается новое научное направление — фотонные кристаллы [1]. Фотонные кристаллы — это периодические или квазипериодические структуры, формирующиеся из диэлектриков с различными показателями преломления. Периодичность приводит к кардинальному изменению фазовой скорости и дисперсии распространяющихся волн, в частности, к появлению фотонных запрещенных зон. Локальные дефекты (отклонения от симметрии) в таких структурах создают возможность локализации фотонов в области данных дефектов [2]. В случае протяжённых дефектов это приводит к образованию волноведущих структур. Такого типа структуры получили название «световодов на основе фотонных кристаллов» или «микроструктурированных световодов». Механизм распространения излучения в таких световодах принципиально отличается от полного внутреннего отражения и связан с интерференцией, возникающей при отражении от периодической оболочки, окружающей сердцевину. Если структура представляет собой одномерный фотонный кристалл, т.е. когда показатель преломления меняется лишь в одном направлении, то ее принято называть «брэгговским световодом» или «брэгговским волноводом» в случае плоской симметрии.
Впервые идея использования резонансного отражения в волоконных световодах была предложена в 1978 г. [3]. В дальнейшем широкое распространение брэгговские световоды получили благодаря различным применениям [4, 5, 6, 7], которые связаны с их необычными свойствами по сравнению с традиционными диэлектрическими световодами. Например, преимуществами брэгговских световодов являются: теоретически предсказанные низкие излучательные потери [8, 9], способность передавать мощные лазерные импульсы [10, 11], одномодовость для волокон с большим диаметром сердцевины [12, 13], возможность смещения нуля дисперсии в коротковолновую область [14]. Изменение структуры брэгговских световодов (размеров и показателей преломления слоев и сердцевины) дает широкие возможности в получении различных оптических свойств волокон. Техническая реализация таких световодов основана на современной технологии модифицированного химического осаждения из газовой фазы (MCVD).
На данный момент имеется множество аналитических и численных методов исследования брэгговских световодов. Почти все существующие методы моделирования брэгговских световодов, так или иначе, связаны с методом матрицы перехода [3, 15, 16, 17, 18]. Поиск модовых решений осуществляется путем решения трансцендентного дисперсионного уравнения. Данный подход имеет ряд недостатков, связанных с возможностью накопления ошибок из-за плохой обусловленности многократно перемножаемых матриц [19], а также со сложностью поиска корней дисперсионного уравнения, требующего больших вычислительных затрат. Все эти проблемы обостряются при моделировании световодов с большим числом периодических ступенчатых слоев или с гладким профилем показателя преломления. В связи с этим актуальной проблемой является развитие прямых методов моделирования, одинаково применимых для любого распределения профиля показателя преломления и в то же время достаточно быстрых и точных. Такие методы являются в данной работе инструментами в поиске нужных решения волнового уравнения, оптимизации структуры и конструирования световодов в соответствии с поставленными физическими задачами.
Помимо задачи расчёта световода с заданными параметрами, очень важны задачи оптимизации: получение наилучшей локализации моды в сердцевине брэгговского световода и минимизация радиационных потерь на определённой длине волны. Этим вопросам посвящено множество работ [5, 12, 20, 21]. Как правило, оптимизация сводится к анализу плоскопараллельной ступенчатой структуры. Наилучшие параметры для такой структуры давно известны, а именно, максимум декремента затухания в периодической оболочке обеспечивается набором четвертьволновых пластинок [22, 23]. В тоже время нет ни одной работы посвященной оптимизации структур с гладким профилем показателя преломления и формулировке строгой задачи на максимальную локализацию поля в сердцевине. Трудность решения-этой задачи заключается в том, что даже для одномерного распределения показателя преломления в общем случае невозможно выписать аналитическое решение волнового уравнения и, как следствие найти явный вид декремента затухания. Для цилиндрического волновода трудности ещё возрастают, поэтому большинство подходов основано на использовании асимптотических оценок [15, 16].
Как уже отмечалось, сфера применений брэгговских световодов чрезвычайно широка. Одним из важнейших направлений представляется использование таких световодов в качестве волноведущих структур для-волоконных, лазеров и усилителей [24]. В этой области актуальной задачей является.расчет брэгговской структуры, для подавления нежелательного излучения на побочных (не основных) линиях генерации активного вещества в сердцевине брэгговского световода [25].
Хотя в идеализированных моделях могут быть получены очень малые потери для основной моды брэгговского световода, при практическом изготовлении и использовании возникают проблемы устойчивости к малым изменениям: неточностям изготовления профиля, локальным неоднородностям и т.д. Наиболее часто встречающееся отклонение от идеальной формы - это изгиб световода, приводящий к искажению поля и дополнительным потерям [26]. Влияние изгиба световодов началось исследоваться на заре появления волоконной оптики. Точные методы решения этой задачи довольно сложны. Тем не менее для обычных диэлектрических световодов получены надежные асимптотические оценки [26, 27]. Изгиб брэгговских световодов изучен гораздо меньше, получены лишь качественные оценки дополнительных потерь на излучение [28, 29, 30, 31]. Большинство численных методов основано на использовании модели эффективного показателя преломления, в которой к исходному профилю добавляется линейная поправка, учитывающая кривизну [32]. Пока не изученными для брэгговских световодов с изгибом остаются интересные эффекты, такие как: изменение структуры поля вдоль волокна, интерференция волн в периодической оболочке, межмодовое перетекания энергии при уменьшении радиуса кривизны.
Перспективы широкого применения брэгговских световодов и необходимость создания надежной теоретической основы для анализа их оптических свойств, позволяющей ответить на поставленные выше вопросы, определили тему диссертации.
1.2 Цели работы
Диссертация направлена на решение следующих проблем
1. Разработка прямого метода расчёта полного спектра мод брэгговского световода.
2. Решение задачи о наилучшей локализации моды в сердцевине брэгговского световода и связанная с ней минимизация радиационных потерь.
3. Расчет частотного фильтра, обеспечивающего минимум радиационных потерь на рабочей длине волны и подавление моды на близкой длине волны отсечки.
4. Разработка численного метода вычисления изгибных потерь для брэгговских волноводов.
1.3 Научная новизна работы
1. Разработан новый численный метод расчёта полного спектра мод брэгговского световода. 2. Показано, что относительно небольшое уменьшение показателя преломления сердцевины позволяет существенным образом изменить спектр потерь брэгговского световода.
3. Для одномерного волнового уравнения получены явные выражения для фундаментальной системы решений и декремента затухания при произвольной зависимости показателя преломления от фазового параметра.
4. Предложен и численно реализован способ моделирования изгиба в слабоконтрастных брэгговских волноводах, основанный на использовании метода параболического уравнения с граничными условиями прозрачности.
1.4 Практическая значимость работы
1. Реализованный в виде программы, конечно-разностный метод может быть использован для поиска нужных решений волнового уравнения, оптимизации структуры и конструирования брэгговских световодов в соответствии с поставленными физическими задачами.
2. Рассчитан брэгговский световод с депрессированной сердцевиной для неодимового волоконного лазера.
3. Предложен метод, позволяющий точно моделировать пространственное распределение поля любых изогнутых слабоконтрастных планарных волноводных структур.
1.5 Основные методы
Для брэгговских световодов характерно многообразие мод с различными свойствами. В связи с тем, что в различных приложениях (линии передачи, волоконные лазеры и т.д.) возникают самые разнообразные и нередко противоречивые условия, которым должен удовлетворять световод, при его конструировании необходим учет полного спектра мод. С точки зрения теории брэгговский световод представляет собой сложный микроструктурированный объект, существенно отличающийся от традиционного ступенчатого диэлектрического световода. Поэтому для описания его свойств необходимы тонкие аналитические приемы и эффективные численные методы. В данной работе используются следующие подходы:
1. Метод конечных разностей.
Метод конечных разностей применяется в диссертации для численного решения системы уравнений Максвелла. Полный спектр мод брэгговского световода определяется комплексными собственными значениями волнового дифференциального оператора с условием излучения на бесконечности. Методом конечных разностей их нахождение сводится к матричной задаче на собственные значения, решающейся методами линейной алгебры. Этот подход обладает высокой вычислительной эффективностью, применим к световодам с произвольным профилем показателя преломления и позволяет единым образом описать направляемые и вытекающие моды. Для того чтобы иметь возможность моделировать идеализированные профили со скачкообразным изменением показателя преломления, мы используем интегро-интерполяционный подход. Он дает рецепт построения разностного аналога дифференциального оператора даже для разрывных коэффициентов исходной системы уравнений.
2. Параметрическое описание волн в периодических структурах.
Для аналитического расчета брэгговских волноводов и решения задачи о наилучшей локализации моды в сердцевине мы развиваем новый подход к описанию волн в периодической структуре. Параметризация коэффициентов волнового уравнения в терминах фазы искомого решения сводит его к системе дифференциальных уравнений первого порядка, имеющих точное аналитическое решение для произвольного профиля показателя преломления. Предлагаемый способ параметризации волнового уравнения удобен в задачах оптимального синтеза. Он позволяет найти явное выражение для декремента затухания поля в периодической структуре и использовать стандартные ме тоды вариационного исчисления для поиска оптимального решения.
3. Метод параболического уравнения. Метод параболического уравнения является мощным вычислительным средством современной теории дифракции и распространения волн. Сводя задачу описания однонаправленных волновых пакетов к расчету медленно меняющейся комплексной волновой амплитуды, он обладает высокой эффективностью, позволяя моделировать пространственное распределение волнового поля в протяженных областях, содержащих тысячи длин волн. В диссертации с помощь метода параболического уравнения исследуются процессы возбуждения, установления и распространения мод в брэгговских волноводах. Особое внимание уделяется эффектам вытекания энергии при изгибе волновода. Численное решение этой задачи требует аккуратной формулировки- граничных условий на краях вычислительной области, обеспечивающих отсутствие паразитных отражений, которые нарушают энергетический баланс вытекающей моды. Наиболее точным подходом является развиваемый в диссертации метод нелокальных условий прозрачности.
1.6 Основные результаты и выводы
1. Для решения задачи поиска полного спектра мод брэгговского световода разработан конечно-разностный метод, сводящий спектральную задачу к матричному уравнению на собственные значения, которое решается методами линейной алгебры. Этот подход позволяет избежать решения трансцендентного дисперсионного уравнения, обладает высокой вычислительной эффективностью и единым образом описывает захваченные и вытекающие моды. С помощью данного метода выполнено моделирование реальных брэгговских световодов.
2. Проведён анализ областей прозрачности брэгговского волновода с диэлектрической сердцевиной. Показано, что относительно небольшое уменьшение показателя преломления сердцевины позволяет увеличить радиационные потери на нежелательном участке спектра, сохраняя низкие потери основной моды на рабочей длине волны. Рассчитан брэггов-ский световод с депрессированной сердцевиной для неодимового волоконного лазера, в котором потери основной моды на длине волны 0.925 мкм в 104раз меньше, чемна близкой длине волны І.Обмкм.
3. Предложен метод фазовой параметризации одномерного волнового уравнения, позволяющий найти- его аналитическое решение при произвольной зависимости показателя, преломления от фазового параметра. Найденная- форма решения5 использована для исследования структуры волновой функции, при периодической.модуляции показателя преломления. Впервые получены явные выражения 1 для фундаментальной системы решений и декремента затухания. Приведены примеры применения метода к задачам оптимального конструирования многослойного интерференционного зеркала и брэгговского волновода.
4. Найдена аналитическая форма и осуществлена численная аппроксимация граничных условий- прозрачности для параболического волнового уравнения в криволинейных координатах. Продемонстрировано соответствие решений, получаемых методом параболического уравнения, решениям спектральной задачи, определяющей моды брэгговского волновода. Выполнено численное моделирование амплитуды-поля, потока энергии и изгибных потерь в зависимости от радиуса кривизны и параметров брэгговского волновода.
1.7 Основные положения, выносимые на защиту
1. Полный, спектр мод брэгговского световода (захваченные и вытекающие моды) может быть найден с помощью разработанного в диссертации конечно-разностного метода.
2. Относительно малое уменьшение показателя1 преломления сердцевины брэгговского световода позволяет при наилучшей локализацииосновной моды на рабочей длине волны изменить спектр потерь таким образом, чтобы подавить эту же моду на заданной близкой длине волны.
3. Декремент затухания поля в периодической структуре в точности пропорционален второй гармонике разложения логарифма показателя преломления в ряд Фурье как функции фазового параметра.
4. Пространственное распределение поля и радиационные потери в изогнутом, брэгговском волноводе могут быть с большой точностью вычислены, предложенным в диссертации вариантом метода параболического уравнения с граничными условиями прозрачности.
1.8 Апробация работы и публикации
Основные результаты диссертацию докладывались на российских и международных, конференциях: I Всероссийской конференции по волоконной-оптике (Пермь, 10-12 октября; 2007г.); 4th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering (Gebze, Turkey, September 18-22, 2006);- 9tfo International Conference omTransparent Optical Networks (Rome; Italy, July 1-5, 2007); 10th International Conference onransparent Optical Networks (Athens, Greece, June 22-26, 2008). Обсуждались на семинарах в Научном центре волоконной оптики РАН, на семинарах в Отделении квантовой радиофизики и в Отделении теоретической физики Физического института им. П.Н.Лебедева РАН.
Материалы диссертации,опубликованы в 8 работах, из них 4 публикации [А1-А4] в трудах конференций и 4 публикации [А5-А8] в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК.
1.9 Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, выводов и списка литературы, включающего 81 наименование. Работа содержит 107 страниц текста, 2 таблицы, 46 рисунков.
Апробация работы и публикации
Основные результаты диссертацию докладывались на российских и международных, конференциях: I Всероссийской конференции по волоконной-оптике (Пермь, 10-12 октября; 2007г.); 4th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering (Gebze, Turkey, September 18-22, 2006);- 9tfo International Conference omTransparent Optical Networks (Rome; Italy, July 1-5, 2007); 10th International Conference onransparent Optical Networks (Athens, Greece, June 22-26, 2008). Обсуждались на семинарах в Научном центре волоконной оптики РАН, на семинарах в Отделении квантовой радиофизики и в Отделении теоретической физики Физического института им. П.Н.Лебедева РАН. Материалы диссертации,опубликованы в 8 работах, из них 4 публикации [А1-А4] в трудах конференций и 4 публикации [А5-А8] в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК. Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, выводов и списка литературы, включающего 81 наименование. Работа содержит 107 страниц текста, 2 таблицы, 46 рисунков. 2;Г- Введение-Наряду с микроструктурированными полыми световодами и другими типами фотонно-кристаллических волноводов, брэгговские; световоды используются в видимом и инфракрасном диапазонахдля генерациии передачи-электромагнитного, излучения: Как уже отмечалось. BiГлаве 1, первоначальная идея полого брэгговского световода была высказана в работе [3]. Практически её сложно реализовать из-за необходимости создания большого ко-личестващиэлектрических слоев [33] либо; периодических структур с: контра-стомшоказателя преломления Ап/п 1, что трудно достижимо в,большинстве технологий. G другой?стороны, как показано вфаботах [34, 35]- хорошей локализации: моды и низких потерь можно добиться уже при небольшом числе слоев, если показатель преломления сердцевинымало отличается от показателя преломления брэгговской: оболочки; Высокая? добротность достигается при малом; контрасте показателя- преломления гАп/п \О-2 н-10 3], что вызывает естественный интерес к более детальному изучению таких световодов. Анализ показывает, что свойства брэгговских световодов сильно зависят от периода профиля показателя преломления и от резкости границ слоев. Существует технологическая возможность улучшения точности воспроизведения идеального теоретического профиля, влияющего на результирующие характеристики брэгговских световодов; Связи с этим возникает задача разработки эффективного численного подхода для описания модовой структуры брэгговских- световодов с заданным профилем «(г). Решению этой задачи посвящена данная-глава.
При разработке численного метода расчета брэгговских световодов, целесообразно первоначально исследовать плоскую модель волновода, а затем обобщить применённый метод уже на реальный брэгговский световод. Рассмотрим плоский волновод с периодически меняющейся диэлектрической проницаемостью є = п2 [х) (Рис.2.1). Пусть электромагнитная волна распространяется вдоль оси z и имеет только одну компоненту электрического поля Е = E(x,z). ИЗ уравнений w(x)exp(//?z). Т.к. в данной работе исследуются брэгговские волокна с малым контрастом, то удобно показатель преломления представить в виде га2(х) = я2[і + а:(л;)], где а«;1 и а— 0 при х—»оо. Если обозначить продольный волновой вектор как р-кл\\ — уг, где к=кп, а у = sin в — синус угла скольжения вытекающей моды, то волновое уравнение (2.2) примет несколько другой, удобный для нас вид: Граничными условиями для четного решения уравнения (2.3), являются обращение в нуль производной и излучательное поведение на бесконечности: Решая уравнение (2.3) с граничными условиями (2.4), получим спектр мод рассматриваемого брэгговского волновода, т.е. дискретный набор собственных значений / и собственных функций и(х;у). Величины у и /?, вообще говоря, комплексны, и если обозначить /? = /? + і/З", а у = у - iy", то в отсутствие поглощения (1ти = 0) будет иметь место равенство /З /З" = к2у у". Физический смысл имеют те моды, для которых /3 0 (т.е! распространяющиеся в положительном направлении оси z) и /?" 0 (т.е. не возрастающие вдоль оси волновода), поэтому из условия следует, что уУ О, т.е. у и у" имеют одинаковые знаки. Таким образом, пропорциональная exp(ikyx\ вытекающая мода, бегущая в положительном направлении поперечной координаты х (при этом у 0), будет возрастать на бесконечности (поскольку у" 0). Брэгговскими модами назовём локализованные в сердцевине слабозатухающие решения, такие, что выполняется соотношение Потери, которые в волоконной оптике принято выражать в дБ/км, тако- вы: Существенными характеристиками волновода является зависимость потерь брэгговской моды от длины волны и хроматическая дисперсия [36] пс кмхнм 2.3 Конечно-разностная схема решения краевой задачи для планарного волновода Построим разностную схему для решения краевой задачи (2.3)-(2.4). Сделаем замену и{х) = й(х)ехр(ікух), тогда уравнение (2.3) примет вид: Граничные условия (2.4) преобразуются к виду где В - линейный размер области, на которой строится конечно-разностная схема. В отличие от исходного уравнения (2.3), спектральный параметр у входит в уравнение (2.9)-(2.10) линейным образом, что существенно упрощает формулировку задачи на собственные значения. Расширив эту область (хт = mh є [0;В], h - шаг сетки, m = 0,1,..., М) добавлением фиктивных узлов т = -1 ,М +1 получим разностный аналог уравнения (2.9): где m = 0,l,...,M, wm=w(jcm), am=a(xm). Уравнение (2.11) можно переписать в векторном виде: Таким образом, решение дифференциального уравнения (2.9) свелось к линейно-алгебраической задаче на собственные значения. Уравнение (2.12) имеет (М + l) -решений, конечно-разностных мод [jul,u]i {t = 0,1,...,М). Нужные нам моды дифференциального уравнения (2.9), выделяются из всего набора решений условием существования конечного предела \\my = \im(/j/kh) при стремлении к нулю шага сетки h. Для нахождения брэгговских мод используем критерий малости потерь (2.6), дополненный условием локализации амплитуды моды в сердцевине волновода Результаты численного решения уравнения (2.12) представлены в виде поперечной структуры мод и зависимости излучательных потерь от длины волны на Рис.2.2-2.4 для волновода с тремя периодическими слоями и со следующими параметрами профиля показателя преломления: 2а = 20мкм.
Модель брэгговского волновода
Хорошо известно, что многослойная четвертьволновая структура является оптимальной оболочкой брэгговского волновода, обеспечивая, максимальную локализацию моды в его сердцевине и минимальные потери на излучение [22, 23]. Этот факт, строго доказанный для планарных волноводов и с большой точностью- справедливый для цилиндрических многослойных структур [5, 43, 44], широко используется для выбора оптимальных параметров реальных брэггговских световодов [13]. На практике, кроме минимизации, потерь на рабочей длине волны, бывает необходимо удовлетворить.определенным, условиям на других длинах волн (спектральная полоса, дисперсия и т.п.) [31, 45, 20]: Несмотря на то, что брэгговские световоды,со ступенчатым профилем показателя преломления исследовались в большом числе работ, общий подход к задаче оптимизации их свойств пока отсутствует. Основная трудность - это многопараметрический характер задачи, даже при использовании простейших моделей. В данной главе рассматривается конкретный пример расчета частотного фильтра, обеспечивающего минимум радиационных потерь А на заданной длине волны \ и подавление моды на близкой длине волны Л, \. Такая задача возникает при конструировании волоконных лазеров на основе брэгговских световодов [46, 47]. Как показано в работах [48, 49], если заданы показатели преломления слоев структуры и, и п2, показатель преломления сердцевины п0 и её радиус а, то однозначно определяются толщины соответствующих слоев /, и /2, удовлетворяющие условию локального минимума потерь, на длине волны \ для заданной моды. При этом на длине волны \ невозможно удовлетворить каким-либо дополнительным условия, т.к. все параметры структуры световода уже найдены. В этой главе предлагается алгоритм нахождения параметров брэгговского световода, удовлетворяющего одновременно условию минимизации потерь на рабочей длине волны Л и условию подавления брэгговской моды на длине волны отсечки \ для произвольных Лд и Л,. Показано, что для выполнения (3.1), достаточно относительно небольшой вариации показателя преломления сердцевины, которая, в свою очередь, позволяет существенно менять спектр потерь брэгговского световода.
Как пример реализации алгоритма, приводится расчет реального брэгговского световода с параметрами, оптимизированными для использования в неодимовом. волоконном лазере. Рассмотрим планарный брэгговский волновод, состоящий из однородной сердцевины ширины 2а с показателем преломления w0, окружённой брэгговской оболочкой, а именно, бесконечной ступенчатой структурой с периодически меняющимся показателем преломления п{х) = п{х + К). Слои с показателями преломления w, и п2 имеют толщины 1Х и /2 соответственно, период структуры Л = /, + /2. Пусть электромагнитная волна распространяется вдоль оси z волновода. Рассмотрим ТЕ-волну, для которой напряжённость электрического поля имеет только одну компоненту Е =E(x,z} перпендикулярную плоскости {x,z) (Рис.3.1). Напряжённость электрического поля будем искать в виде бегущей волны E(x,z) = u(x)exp(ij3z) тогда из уравнений Максвелла легко получить волновое уравнение для и(дг): Рис.3.1. Схематическое изображение брэгговского волновода. где к = 2ж/Л - волновое число для свободного пространства, /3 - постоянная распространения (продольное волновое число). Обозначим через поперечные постоянные распространения в областях с показателями преломления п0, я, и п2 соответственно. Решением волнового уравнения (3.2) в брэгговской оболочке является сумма гармонических функций с некоторыми, подлежащими определению, коэффициентами. На первом периоде а х а + Л решение уравнения (3.2) имеет вид на втором периоде а + А х а+ 2Л - вид Из условий непрерывности решений w, и2 и их производных на границах раздела х-а + 1х и х = а + А, легко найти матрицу перехода Здесь введены вектор-столбец коэффициентов wm=(y4OT i?„) , т = 1,2,... и обозначения с, = cos#,/,, с2 = cos q2l2, 5,= sin#,/,, я2 =sin#2/2. В периодической структуре матрица Т не зависит от номера периода т. Поэтому общее решение рекуррентного уравнения (3.6) можно представить в виде Постоянные М, 2 определяются краевыми условиями на границе периодиче- ской оболочки. Коэффициенты v, 2 — собственные значения матрицы Т, находятся из характеристического уравнения выражение для них имеет вид где г = 1/2(qjq2 + ЧгЫ\)- Нас будет интересовать только действительное, по модулю меньшее единицы, собственное значение v, которое соответствует затухающему решению и{х).
Такое v всегда будет существовать, если дискриминант уравнения (3.8) положителен: Второе решение в силу очевидного соотношения J/,V2 = 1 соответствует экспоненциально растущей волне, которая исключается по физическим соображениям. Неравенство (3.10) удобно переписать в фазовых переменных X -q{lx и Y = q2 /2 [50], соответствующих набегу фазы квазипериодического решения и{х) в каждом слое брэгговской оболочки: Для того чтобы графически отобразить неравенство (3.11) необходимо зафиксировать толщины слоев /, и /,. Это можно сделать, если потребовать, чтобы на длине волны \ был локальный минимум потерь для основной симметричной относительно оси z, ТЕ-моды. Тогда /, и /2 должны удовлетворять вышеупомянутому четвертьволновому условию [А5] Рис.3.2 иллюстрирует неравенство (3.11) для толщин, найденных из условия, (3.12). В закрашенных областях строго выполняется неравенство (3.10) , т.е здесь существуют действительные, как убывающие, так и нарастающие решения м(х). Такие области в фотонике [1, 23], по аналогии с физикой твердого тела, принято называть «запрещенными зонами», мы же, в соответствии со спецификой задачи, будем называть их областями прозрачности волновода. В незакрашенных областях существуют только комплексные решения и{х), эти области соответствуют так называемым «разрешённым зонам», мы их будем называть областями непрозрачности. Границы областей отвечают чисто периодическим по х решениям и(х). Таким образом, Рис.3.2 полностью описывает все типы решений и{х) в брэгговской оболочке. Чтобы из всего множества возможных решений в периодической среде, выделить те, которые будут являться модами брэгговского волновода, необходимо наложить дополнительные условия.
Приложение к задаче синтеза интерференционного зеркала
Выражение (4.21) является точным математическим описанием физического явления параметрического резонанса при совпадении периода модуляции параметров осциллятора или периода среды распространения соответственно с полупериодом колебаний или с длиной полуволны. Формула (4.35) соответствует следующему резонансу, когда период возмущения совпадает с периодом колебаний. В соответствии с общей теорией [55] в NTT-периодических структурах: g(y/ + N7t)= g(ys) возникают резонансы высшего порядка. При этом четные N соответствуют Л -периодическим, а нечетные -2Л-периодические блоховским волнам. Предлагаемый способ параметрического описания волнового распространения в периодических структурах может показаться тривиальным искусственным приемом: «сначала придумаем решение, а потом найдем уравнение, которому оно удовлетворяет», если бы не два обстоятельства. Во-первых, чрезвычайно простые формулы (4.21) и (4.35)отражают фундаментальную природу резонансного нарастания или затухания поля в периодической среде и указывают на физическую адекватность введенной в разделе 4.1 фазовой переменной у/. Во-вторых, такой способ конструктивного построения волнового поля и соответствующего ему профиля показателя преломления радикально упрощает решение обратной задачи — оптимального синтеза. Имея в замкнутой форме решение для произвольной функции Q(i//), можно в явном виде выписать параметр, подлежащий оптимизации и найти функцию Qopl (i//), удовлетворяющую заданным требованиям. Затем получить соответствующую волновую функцию /ор/(у/) и по формулам (4.4)-(4.10) вернуться к физической переменной х = Х(у/}. Таким образом будет найден оптимальный профиль Яор,{х) = 0ор,{у/) и явный вид волнового поля uoPi {х) - Uopt (у) с искомыми параметрами. В качестве примера рассмотрим задачу оптимизации структуры многослойного интерференционного зеркала. Из практических соображений ясно, что оптимальное интерференционное зеркало должно не только иметь максимальный коэффициент отражения, но и обеспечивать быстрое спадание амплитуды волны в периодической структуре, позволяя ограничиться небольшим числом отражающих слоев. В связи с этим возникает задача нахождения оптимального профиля показателя преломления п{х) , обеспечивающего максимальное затухание поля вглубь периодической структуры.
В классе кусочно-непрерывных функций решение хорошо известно — это набор четвертьволновых пластинок с чередующимися показателями преломления [1, 22, 23]. Более того, в работе [А5] было показано, что такой ступенчатый профиль показателя преломления где пхх = п22 = Я/4, А = х + 2, обеспечивает абсолютный максимум декремента затухания на заданной длине волны Л в произвольной периодической структуре. Этот результат является тривиальным следствием формулы (4.21). Действительно, пусть технологические ограничения диктуют верхнюю и нижнюю границы показателя преломления: п2 п(х) пх. Полагая q{x)-kn{x), где к = 27г/Л - волновое число в свободном пространстве, видно, что функция g(y/) = \nn[X(y)j/n заключена в пределах gx g(y) g2, gl2 = \nnX2/n (n - параметр, зависящий от к, пх, п2). Учитывая смену знака множителя sin2# при (р-ж/І, из формулы (4.21), легко видеть, что при заданных ограничениях на п{х)ъ абсолютный максимум декремента затухания v доставляется ступенчатой функцией соответствующей оптимальному четвертьволновому профилю (4.37). В общем случае я--периодической функции g(iy) разлагается в ряд Фурье В силу ортогональности тригонометрических функции вклад в затухание поля в периодическом многослойнике дает только гармоника 2sin2j//, при Описанный анализ позволяет конструировать бесконечное число структур в которых волны не затухают или затухают с заранее определенным декрементом затухания. Например, на Рис.4.3 изображена незатухающая волна в структуре с периодически изменяющимся показателем преломления, логарифм которого \пп(х) = g(y/} + \nq не содержит в разложении по фазовому параметру гармоники Ъг sin 2у/ . При этом добавление ненулевой компоненты b2 в функцию g(tff), автоматически приводит к убывающей волне (см. Рис.4.4). Построим модель гладкого профиля показателя преломления, близкую к оптимальной и допускающую явное решение волнового уравнения (4.1). Оставим в разложении (4.40) единственную существенную гармонику В рассматриваемой задаче, проникновения волны вглубь многослойного зеркала, параметры модели определяются максимумом и минимумом показателя преломления Подставляя функцию (4.42) в полученные выше общие формулы (4.9)-(4.10), получим в простом виде зависимость координаты х от фазы волны и параметрическое представление убывающего решения Флоке Отсюда мгновенно находится период многослойной структуры где I0(S) - модифицированная функция Бесселя. Показатель Флоке (затухание волны на периоде Из формулы (4.44) видно, что преобразование х-Х(у) взаимно однозначно при условии S 2, т.е. даже при очень большом контрасте Выпишем явный вид второго фундаментального решения и растущего 2Л -периодического решения Флоке который полезен для решения краевых задач. Нужно отметить ряд привлекательных свойств предлагаемой модели: — простота и возможность явного вычисления интересующих параметров Рис.4.5. Оптимальный профиль показателя преломления W(JC) и соответствующая ему волновая функция и(х).
Сплошные кривые относятся к набору четвертьволновых пластинок, штриховые кривые соответствуют профилю (4.42)-(4.43), содержащему только одну гармонику Ъг bWilif/ . Длина волны в свободном пространстве Юмкм; параметры профиля Я/4 : п{ = 2.5, п2 = 1.5, /[ = 1 мкм , /2 = 1.67 мкм ; параметры гладкого профиля (4.42)-(4.43): — адекватность физическим представлениям о параметрическом резонансе; — более реалистичный (гладкий) профиль показателя преломления по сравнению с обычно используемыми ступенчатыми структурами; — пригодность для описания высококонтрастных многослойников (в отличие от теории возмущений); — для гладкого профиля, близкого к ступенчатому четвертьволновому, декремент затухания (4.47) составляет тг/4 от абсолютного максимума (см. Рис.4.5). 4.5 Приложение к задаче синтеза брэгговского волновода Полученное аналитическое решение уравнения (4.1) может быть непосредственно использовано для оптимизации структуры брэгговского волновода, состоящего из однородной сердцевины ширины 2а с показателем преломления п0 окруженной диэлектрической оболочкой с периодическим показателем преломления и(х). Поскольку волновое поле в периодической оболочке брэгговского волновода описывается уравнением вида (2.2) где р — продольное волновое число распространяющейся моды Е =M(jt)exp(z/?z), полученный результат немедленно даёт оптимальный профиль, обеспечивающий максимальную локализацию поля в сердцевине волновода. Заменив в уравнении (4.1) я(х) эффективным показателем преломления Jn2 (JC) - 0і/к1, получим из выражения (4.37) условия на толщины слоев периодической структуры в зависимости от показателей преломления щ, п2 и постоянной распространения /?: 2 2и2-Д2 2 2 42-Д2 Дискретный набор оптимальных значений Д определяется условием обращения в нуль амплитуды поля на внутренней границе оболочки и для симметричной моды имеет вид где ґ — номер распространяющейся моды. Помимо четвертьволнового профиля, легко можно найти параметрическое решение уравнения (4.51) и показатель преломления для модели ч{х) = ЇЇ ехр(sin2у/). Симметрична ТЕ мода волновода имеет в однородной сердцевине распределение (4.53), а в бесконечной периодической оболочке пропорциональна экспоненциально убывающему решению Флоке (4.45) с амплитудой А, определяемой из условия гладкого сопряжения полей на границе х = а: Начальная фаза периодической структуры y/Q может быть выбрана произвольно. Система (4.55) сводиться к трансцендентному уравнению В предположении непрерывности показателя преломления имеем q0 = ЇЇ exp(sin2y/0) и уравнение (4.56) решается явно: q0a = y/Q + п/2. Таким образом, все параметры модели и решение выражаются через у/й, а, п0, и, и п2, где, и, и п2 - максимальный и минимальный показатель преломления в периодической оболочке.
Результаты численного моделирования для однородной среды
В качестве тестового примера, численной реализации МПУ, было рассмотрено распространение волны (Я = Імкм)? в однородной среде с показателем преломления п= 1.449. Начальная амплитуда пучка выбрана? в виде косинуса где 2a - 20MKM - ширина щели. На Рис.5.3. показано рассчитанное численно решение параболического уравнения, а именно, распределение модуля амплитуды поля H(JC,Z) . Этот пример демонстрирует хорошо знакомое явление из курса общей физики - дифракцию плоской монохроматической волны на щели в однородной среде [78]. На больших расстояниях R (в зоне Фраун- Этот же пример, где увеличена область в начале координат, изображен на Рис.5.4. Здесь уже заметны боковые дифракционные максимуму (лепестки), вызванные дифракцией на краях щели. На Рис.5.5 и Рис.5.6 также изображено поле в однородной среде только в криволинейной системе координат с ра- диусами кривизны р = 1см и р = -1см соответственно (криволинейная (x,z) показана на Рис.5.1). Распределение полей получено именно как решение уравнения (5.20) в криволинейных координатах (x,z) с граничными условиями прозрачности (5.27)-(5.28). Видно что, при изменении знака кривизны граничные условия (5.27)-(5.28) демонстрируют полную симметрию. Сами по себе Рис.5.5 и Рис.5.6 не несут никакого физического смысла. Но если выполнить обратное преобразование (например, для Рис.5.5) из криволинейных координат в декартовые прямоугольные (см. Рис.5.7) и сравнить с решением уравнения (5.12) (см. Рис.5.8), то мы получим, что поля практически совпадают. Это говорит о достоверности результатов, получаемых с помощью уравнения (5.20), а также, что приближённые граничные условия (5.27)-(5.28) хорошо аппроксимируют точные условия прозрачности (5.21)-(5.24) для радиусов кривизны р 1 см. По отсутствию интерференции видно, что от границ моделируемой области нет никаких отражений даже в том случае, когда главный лепесток дифракционной волны направлен на самую границу (см. Рис.5.7). Рассмотрим теперь брэгговский волновод с тремя периодическими слоями, сердцевина которого имеет диаметр 2а = 20 мкм и показатель преломления п0 =й = 1.449. Периодические слои /,=1.19мкм и, =«+0.015 и /2=10.0 мкм п2 = Л оптимизированы под длину волны А = 1мкм, т.е. для этой длины волны эта структура соответствует наименьшим возможным потерям [А6].
Волновод окружен однородной средой с показателем преломления it. На Рис.5.9 и Рис.5 Л 0 изображено распределение амплитуды поля в брэггов-ском волноводе. M(X,Z) получено из численного решения уравнения (5.12) с граничными условиями вдоль волновода (5.19) и начальным условием (5.33). На Рис.5.9, при Я = 1мкм поле в основном сконцентрировано в сердцевине, брэгговские слои имеют оптическую толщину кратную нечётному числу Л/4 (где Л - "поперечная длина волны" ) и дают максимальное отражение для поперечной волны. На другой длине волны Я = 0.5мкм, брэгговские слои уже имеют оптическую толщину кратную Л/2 и поле полностью высвечивается через периодическую оболочку, что наглядно продемонстрировано на Зная поток можно вычислить волноводные потери которые легко пересчитываются в привычные дБ/км с помощью формулы (2.7). График потерь в зависимости от расстояния z в брэгговском волноводе представлен на Рис.5.13. Более детально изображены потери при Z = 7CM, 44см, 149см. Для малых z 0-н10см количество возбужденных в волноводе мод велико, а т.к. каждая имеет свою комплексную постоянную распространения Д=Д + ; Д", то модуль амплитуды результирующей волны H(X,Z) осциллирует и как следствие потери тоже. При z 30 + 50 см остаются минимум две слабозатухающие моды — колебания потерь имеют вид гармонической функции, далее при увеличении г амплитуда осцилляции потерь уменьшается - по волноводу распространяется одна ТЕ, мода с наименьшим затуханием. Потери вычисленные конечно-разностным методом для ТЕ, мо- ды на длине волны Л = 1 мкм: А = 41.25 дБ/км, используя точную аналитическую формулу [A3, А6] А = 41.37 дБ/км, а с помощью МПУ: У4 = 41.5±0.3 ДБ/КМ. Это демонстрирует хорошую точность МПУ и возможность применения метода для вычисления потерь основной моды (моды с наименьшими потерями) для слабоконтрастных брэгговских волноводов. Физический механизм увеличения потерь при изгибе ступенчатых диэлектрических волноводов известен давно [26]. В ступенчатом волокне основные моды являются захваченными, т.е. волноводное распространение определенной моды с эффективным показателем преломления neff - Р /к соответствует тому, что neff находится в диапазоне Если же волновод изогнут, то к исходному ступенчатому, эффективному показателю преломления добавляется линейная поправка, учитывающая кривизну [26, 32, 79]. При увеличении расстояния от центра кривизны существует такой радиус, при котором нарушается условие (5.37), а именно rueff соге /З /к, таким образом мода начинает вытекать через оболочку волновода. Для брэгговских волноводов такая модель увеличения потерь при изгибе не работает, т.к. отличается сам механизм распространения излучения в таких волноводах. Будем следовать рассмотрению зонной структуры, выполненному в работах [31, 80], где исследовался изгиб слабоконтрастных микроструктурированных световодов.
Построим зонную структуру брэгговского волновода — зависимость эффективного показателя преломления neff от волнового числа к. Согласно уравнению (3.3) связь между переменными (к,пеЛ и ( 5 ) задается выражениями Xjlx-qx—kAr -Yreff и, Г//2 = q2 = kyjnl - n]ff . Поэтому можно изобразить решение дисперсионного уравнения (3.14) с учетом неравенства (3.11) в терминах \к,п еЛ (см. Рис.5.14). На Рис.5.14 закрашенные области соответствуют зонам прозрачности волновода, незакрашенные — непрозрачности. Вертикальная прямая отвечают за фиксированную длину волны, её пересечение с решение дисперсионного уравнения (3.14) (черная точка) дает значение эффективного показателя преломления ТЕ, моды. Таким образом, модовый эффективный показатель преломления j3 /k лежит в интервале нижнее значение п соответствует границе зоны отражения брэгговской структуры, а верхнее п условию того, что мода вытекает в оболочку с по- казателем преломления п (при /З /k п — излучение локализуется в волноводе за счет полного внутреннего отражения). Как показано в работах [31, 30], при изгибе волновода зонная структура (5.38) изменяется так, что существуют такие расстояния от центра кривизны, при которых neff /З /к. Это приводит к сильному уменьшению коэффициента отражения брэгговской оболочки и увеличению излучательных потерь. На Рис.5.15 представлено вычисленное с помощью МПУ распределение амплитуды поля u(x,z) в брэгговском волноводе с радиусом изгиба р = 10 см, вытекание излучения происходит через дальнюю по отношению к центру кривизны оболочку. Это хорошо видно по асимметричному поперечному распределению поля (см. Рис.5.16). При уменьшении радиуса изгиба волновода возрастают потери. Критический радиус изгиба, т.е. радиус при котором значительно увеличиваются излучательные потери можно оценить из формулы [28, 31] радиуса изгиба (см. Рис.5.21). При р рс потери почти не зависят от р: А(р = 500см) = 41.8дБ/км, Л(р = 300см)-42дБ/км, тогда как при р рс потери резко увеличиваются по сравнению с прямым волноводом: А(р = 30см) = 89.3 дБ/км, А(р = 20см) = 179 дБ/км . Если еще увеличить изгиб, то при р 7см, произойдет срыв основной ТЕ, моды и волноводе останутся (с малой амплитудой) только захваченные оболочкой моды, локализованные в слоях с повышенным показателем преломления (см. Рис.5.17 и Рис.5.18). Эти моды имеют весьма малые потери А \ дБ/км (см. Рис.5.19), но при их возбуждении теряется почти вся запасенная в волноводе энергия (см. Рис.5.20). Процесс такой трансформации мод при увеличении изгиба брэгговского волновода имеет весьма сложный характер и вряд ли может быть количественно описан без детальных численных расчетов.
