Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численная модель адаптивной оптической системы и программная реализация модели 68
1.1. Основные элементы адаптивной системы 68
1.2. Модель распространения излучения в искажающей среде 70
1.3. Модель адаптивного зеркала с непрерывной отражающей поверхностью 87
1.4. Две модели датчика Гартмана 99
1.5. Алгоритмы регистрации особых точек в волновом фронте излучения 102
1.6. Программная реализация модели адаптивной системы 110
Основные результаты Главы 1. Выводы 113
Глава 2. Предельные характеристики адаптивных систем, предназначенных для компенсации атмосферной турбулентности 114
2.1. Турбулентные искажения лазерных пучков 115
2.2. Принцип оптической обратимости, фазовое сопряжение и обращение волнового фронта 120
2.3. Использование апертурного зондирования для компенсации турбулентных искажений 129
2.4. Реализация амплитудно-фазового управления в двухзеркальной адаптивной системе 133
Основные результаты Главы 2. Выводы 140
Глава 3. Особенности компенсации теплового самовоздействия 142
3.1. Тепловые искажения пучков, использование для компенсации алгоритмов фазового сопряжения и обращения волнового фронта 142
3.2. Модификация фазового сопряжения с целью повышения устойчивости управления 149
3.3. Градиентные алгоритмы и симплекс-метод, оптимизация числа вызовов целевой функции управления 154
3.4. Управление пучком по неустановившимся параметрам на основе градиентных методов 161
3.5. Проблема локальных экстремумов в градиентных алгоритмах 169
3.6. Коррекция самовоздействия с использованием двухзеркальной адаптивной
Основные результаты Главы 3. Выводы 176
Глава 4. Особые точки волнового фронта. Методы генерации и регистрации, зарождение в регулярных и случайно-неоднородных средах, статистика 177
4.1. Генерация оптических вихрей 178
4.2. Регистрация дислокаций с использованием датчика Гартмана 182
4.3. Дислокации в регулярных средах. Зарождение особых точек при модуляции
фазы 188
4.4. Дислокации в условиях турбулентных искажений. Статистика для гауссовского пучка 192
Основные результаты Главы 4. Выводы 199
Глава 5. Влияние упругого зеркала на эффективность и устойчивость адаптивного управления лазерным пучком 200
5.1. Зеркало - исполнительный элемент в системе компенсации теплового самовоздействия 200
5.2. Коррекция турбулентных искажений с учетом ограничений, вносимых упругим зеркалом 204
5.3. Адаптивное управление пучком с учетом колебаний отражающей поверхности зеркала 207
Основные результаты Главы 5. Выводы 210
Глава 6. Включение в модель датчика Гартмана. Полная адаптивная система 212
6.1. Восстановление с использованием датчика заданной фазовой поверхности и эффективность работы прибора в системе фазового сопряжения 213
6.2. Влияние дислокаций на точность восстановление фазы датчиком Гартмана... 219
6.3. Принципиальная возможность регистрации фазовой поверхности, имеющей разрывы 223
6.4. Анализ алгоритмов восстановления сингулярной фазовой поверхности 227
6.5. Полная модель системы. Эффективность адаптивного управления пучком... 236
Основные результаты Главы 6. Выводы 239
Глава 7. Искажения в оптическом тракте наземного телескопа. Фазирование первичного зеркала 241
7.1. Численная модель наземного адаптивного телескопа 241
7.2. Искажения в оптическом тракте телескопа 244
7.3. Фазирование составного зеркала. 2-я проблема 248
7.4. Расширение динамического диапазона алгоритма 253
7.5. Первые эксперименты по фазированию составного зеркала 257
Основные результаты Главы 7. Выводы 260
Список литературных источников 261
- Модель распространения излучения в искажающей среде
- Принцип оптической обратимости, фазовое сопряжение и обращение волнового фронта
- Модификация фазового сопряжения с целью повышения устойчивости управления
- Регистрация дислокаций с использованием датчика Гартмана
Введение к работе
В настоящей диссертационной работе представлены результаты исследований по отдельным темам адаптивной оптики, полученные автором за последние двадцать лет. Приблизительно этот же период охватывает входящий в диссертацию обзор публикаций. Подобная структура позволяет сформировать представление об основных тенденциях и уровне развития адаптивной оптики в конце XX, начале XXI веков, оценить достижения различных групп, работающих в данной области, и сопоставить данные, полученные непосредственно автором с результатами, опубликованными в литературных источниках.
Диссертация состоит из восьми разделов. Первый раздел - это обзор литературных источников, в котором описываются области применения методов адаптивной оптики и приводятся компоненты типовой адаптивной системы. Основное внимание здесь уделяется приборам, предназначенным для регистрации волнового фронта и формирования фазового профиля излучения.
В частности приводится оптическая схема датчика Гартмана и Шэка-Гартмана, пирамидального датчика, предложенного Роберто Рагаззони, датчика кривизны а так же рассматриваются интерференционные методы регистрации фазы. Здесь же отмечается проблема регистрации фазы при наличии особых точек в волновом фронте излучения.
Последний параграф посвящен адаптивным зеркалам и другим приборам, предназначенным для управления лазерным пучком.
На основе материала, входящего в обзор и характеризующего современный уровень развития адаптивной оптики, в его заключительной части формулируются основные задачи диссертации и отмечается их актуальность, приводятся положения, выносимые на защиту, подчеркивается практическая значимость работы и кратко описывается апробация результатов.
Так как значительный объем материала представляемого в диссертации получен на основе методов вычислительного эксперимента, в первой главе рассматриваются используемые при расчетах численные модели. Представлены модели
гауссовского пучка, распространяющегося в условиях теплового самовоздействия и в турбулентной атмосфере;
плоской волны;
датчика Гартмана;
упругого деформируемого зеркала;
полная модель адаптивной системы, включающая все основные ее компоненты. В остальных главах помещены результаты выполненных автором исследований.
В главах 2 и 3 рассматривается работа идеальной системы, эффективность которой исследуется в условиях теплового самовоздействия и при наличии турбулентных искажений. Отмечается, что распределенная искажающая линза не может быть полностью скомпенсирована на основе методов чисто фазового управления пучком, и развиваются методы амплитудно-фазовой коррекции.
В четвертой главе рассматривается зарождение дислокаций и приводится их статистика, характерная для турбулентной атмосферы.
В главах 5 и 6 в идеальную систему, обеспечивающую максимальную эффективность управления, вводятся датчик Гартмана и зеркало. Эффективность управления здесь оценивается с учетом конечного разрешения этих приборов. В этих главах также рассматривается реализация коррекции при наличии дислокаций в опорном излучении.
В главе 7 рассматривается использование методов адаптивной оптики в астрономии. В частности представлен анализ искажающих факторов в наземном телескопе и приведены результаты фазирования главного зеркала.
Завершается диссертация списком литературных источников.
Модель распространения излучения в искажающей среде
Для построения полных моделей рассмотренных в 1.1 адаптивных систем необходимо создание модели распространения излучения в искажающей среде. Причем для системы передачи энергии (схема приведена на рис. 1.1) требуются модели гауссовского и супергауссовского пучков, для изучения коррекции искажений в адаптивном телескопе (схема компенсации искажений изображения показана на рис. 1.2) - модель плоской волны. При моделировании излучения естественных внеатмосферных источников (астрономические объекты), желательно также учитывать немонохроматичность и неполную когерентность излучения. Эти факторы могут вносить дополнительные особенности в процесс адаптивной фокусировки. Например, можно ожидать, что учет немонохроматичности приведет к возникновению хроматических аберраций на оптических элементах [160]. Частично когерентное излучение используется при фазировании составного зеркала телескопа [161]. Ниже приводятся хмодели перечисленных типов излучения.
Гауссовский пучок. Распределение амплитуды Е0(х,у) одномодового пучка гауссовского и супергауссовского профилей в плоскости апертуры источника задается формулой Е0(х,у) = хр(-(х" + у")/2а20), (1-1) в которой х, у - координаты в плоскости перпендикулярной направлению распространения, AQ - значение амплитуды при х = 0, у = 0, а0 - начальный радиус пучка, п - число (обычно целое), характеризующее степень супергауссовости пучка. Если п = 2 пучок гауссовский, при больших значениях этой величины пучок имеет супергауссовскую форму (более плоская по сравнению с гауссовским вершина). При отражении от зеркала, имеющего прогиб W(x,y) коллимированный пучок приобретает фазу р(х,у) = 2кЩх,у), (1.2) где к = 2п/ X - волновое число, X - длина волны. В соответствии с этим, комплексная амплитуда светового поля на входе в среду определяется как Е(х, у) = Е0 ехр0 (х, у)). (1.3) Плоская волна. С точки зрения численного эксперимента построение данной модели означает, что создается объект, обладающий свойствами плоской волны. То есть, это волна, для которой в свободном пространстве амплитуда и фаза неизменны в плоскостях, задаваемых формулой rk = const, (1.4) здесь г - радиус-вектор точки на плоскости, к- волновой вектор [10].
Подобными свойствами обладает центральная область гауссовского пучка, для которой решение задачи распространения в вакууме иллюстрируется на рис. 1.3. Можем видеть, что в центре амплитуда и фаза практически не отличаются от плоскости. Недостаток данного подхода - это малый по сравнению со всей расчетной сеткой диаметр области, где гауссовскии пучок возможно считать плоской волной. Так на сетке 256x256 узлов размер области, в которой изменение амплитуды пучка не превышают 3% составляет 12x12 точек. При таких параметрах практически невозможно моделировать турбулентные искажения и решать задачи, в которых оценивается неизопланатизм трасс распространения [163].
Моделирование плоской волны как центральной части гауссовского пучка, (а), (б) - начальное (z = 0) распределение амплитуды и фазы пучка (поперечное сечение), расчетная сетка 256x256. (в), (г) - начальное (z = 0) распределение амплитуды и фазы в центральной области пучка, расчетная сетка 12x12. (д), (е) -распределение амплитуды и фазы (центральная область) пучка прошедшего расстояние z = 0,50, расчетная сетка 12x12.
Более "плоским" является распределение амплитуды супергауссовского пучка, которое для /7 = 4 приводится на рис. 1.4 (а). Но в процессе дифракции супергауссовский пучок претерпевает значительные изменения (рис. 1.4 (в)) и размеры "плоского" участка сокращаются, т.е. переход к данному типу излучения не позволяет значительно увеличить размеры расчетной сетки.
Для выполнения дальнейших исследований предлагается в качестве плоской волны использовать модель супергауссовского пучка, распространяющегося в условиях, когда дифракция пучка как целого исключена, но учитывается дифракция на неоднородное! ях показателя преломления. Если среда неискажающая и поглощение не учитывается, подобная модель обеспечивает одинаковые распределения амплитуды в плоскости z = 0 (z - нормированная переменная, правила нормировки см. в 1.2.3) и в любой другой плоскости, независимо от расстояния до апертуры источника. Пример распространения пучка при исключенной дифракции приводится на 1.5, соответствующие данные для его центральной части помещены на рис. 1.6.
Для исключения дифракции на трассу распространения был помещен набор фокусирующих линз, разделенных малыми промежутками (рис. 1.7 (а) -схематическое изображение распространения пучка при наличии дифракции, рис. 1.7 (б) - исключение дифракции). Фокусное расстояние каждой линзы вычислялось таким образом, чтобы дифракционное уширение было полностью скомпенсировано.
Как можем видеть, в данной модели, как амплитуда, так и фаза супергауссовского пучка остаются без изменений при распространении (рис. 1.5, 1.6). Несмотря на то, что свободная дифракция исключена, любые другие возмущения фазы будут влиять на пучок. Например, если в начальное распределение волнового фронта ввести искусственную дислокацию - это повлечет изменение амплитудного и фазового профилей (рис. 1.8). Атмосферная турбулентность также приводит к изменениям как амплитуды, так и фазы излучения (рис. 1.9).
Распространение в турбулентной среде пучка как плоской волны показано на рис. 1.10. Расчетная сетка для этого примера составила 80x80 узлов, а полная сетка, включая буферное пространство - 256x256 узлов. Излучение проходило только один фазовый экран. Начальное распределение амплитуды поля однородно (рис. 1.10(a)). На расстоянии z 0 за фазовым экраном (экран расположен в плоскости z = 0 и показан на рис. 1.10(B)) наблюдается модуляция амплитудного распределения (рис. 1.10(6)).
Фазовый профиль волны повторяет (т.к. дифракция на неоднородностях не исключена из задачи, это повторение не является абсолютно точным) вариации показателя преломления на экране. Распределение фазы приводится на рис. 1.10 (г)). Центральная часть гауссовского пучка, прошедшего слой турбулентной среды. Расчеты выполнены на сетке 12x12. Полная длина трассы z = 0.1, фазовый экран расположен в плоскости апертуры источника, (а) - начальное распределение амплитуды, (б) - турбулентные изменения показателя преломления на фазовом экране, (в) - фаза волны после распространения.
Здесь снова заметны изменения амплитудного профиля и соответствие между неоднородностями на трассе и фазовым профилем излучения. Основное отличие от рассмотренной выше модели плоской волны в том, что для решения задачи требуется значительно большая буферная зона. Так в приводимом примере при общей размерности сетки 256x256 пучок можно считать плоской волной лишь на сетке 12x12.
Для исследования волн оптического диапазона, генерируемых тепловыми источниками, была построена модель некогерентного излучения. В простейшем случае полагалось, что излучение является монохроматичным гауссовским пучком, но данный подход может быть использован и для плоских волн. В рассматриваемой расчетной схеме световое поле в плоскости наблюдения вычислялось как результат суперпозиции пучков, имеющих некоторый относительный фазовый сдвиг. Полагалось, что увеличение интервала для выбираемых фазовых сдвигов обратно пропорционально степени когерентности.
Известно, что когерентность связана с контрастом интерференционных полос, поэтому иллюстрация свойств введенной модели была выполнена на примере интерференции света двух источников.
Принцип оптической обратимости, фазовое сопряжение и обращение волнового фронта
Принцип оптической обратимости [1], является ключевым положением для адаптивной оптики, на основе которого построен алгоритм обращения волнового фронта (ОВФ), алгоритм фазового сопряжения (ФС) и различные его модификации [1] и [233]), используемые для компенсации атмосферных искажений излучения. Авторами монографии "Принципы адаптивной оптики" [1] показано, что при соблюдении принципа достигается полная компенсация турбулентных искажений на трассах любой длины (алгоритм ОВФ). Недостатком этого метода является сложность практической реализации, поэтому управление в системах адаптивной оптики обычно осуществляется на основе алгоритма фазового сопряжения, в котором изменяется только фаза пучка, а амплитуда остается гауссовской. Принцип обратимости при этом нарушается, но коррекция позволяет увеличить концентрацию поля на объекте фокусировки. Здесь возникает следующий вопрос: почему фазовое сопряжение 120 алгоритм построенный с нарушением основного принципа оптики, приводит к компенсации искажающих факторов атмосферы?
Для ответа на него в настоящем параграфе выполнено сравнение фазового сопряжения и обращения волнового фронта, проведен анализ коррекции искажений, обусловленных только одним фазовым экраном и распределенной турбулентной линзой, рассмотрены характеристики пучков, формируемых в результате ОВФ и ФС.
Абсолютная компенсация турбулентного слоя протяженностью 0,50. (а), (в) - амплитудное распределение светового поля в плоскости наблюдения до выполнения коррекции (без управления), (б), (г) - после выполнения коррекции. Верхний ряд рисунков получен при г0 = 0,1, нижний ряд при г0 = 0,03.
Результаты коррекции искажений вызванных протяженным турбулентном слоем представлены па рис. 2.8. Здесь показано распределение амплитуд в плоскости наблюдения до и после компенсации для различных значений радиуса Фрида и приведены характеристики пучка в плоскости наблюдения: критерий фокусировки J (уравнение (1.14)), пиковая интенсивность /ш (1.15), энергетический радиус пучка (1.19) и параметр s, характеризующий отклонение амплитудного распределения пучка от гауссовской формы. Параметр задается следующей формулой:
При численном моделировании вся трасса разбивается на отдельные участки, включающие фазовый экран и отрезок, на котором пучок распространяется в условиях свободной дифракции. Можно полагать, что каждый из участков соответствует тонкому искажающему слою реальной турбулентной атмосферы. Очевидно, что для компенсации искажений на трассе, которая достигается при ОВФ, необходима компенсация каждого из экранов. Для детального анализа коррекции рассмотрим распространение "прямого" и опорного пучков в сценарии численного эксперимента, приведенном на рис. 2.1. т.е. в случае, когда в середине трассы помещен только один фазовый экран (искажающий слой).
При распространении от плоскости приемника к плоскости источника на экран (рис. 2.9 (а)) падает опорный пучок с гауссовским распределением амплитуды (рис. 2.9 (б)) и почти плоской фазой. В результате прохода через экран в пучок вносятся фазовые искажения (рис. 2.9 (в)).
После выполнения ОВФ в плоскости апертуры источника распределение амплитуды может иметь сложную форму (рис. 2.7 (г)), но на фазовый экран падает "прямой" пучок с гауссовским амплитудным профилем (рис. 2.10 (а)) и фазой, обратной относительно пучка прошедшего экран. После прохода через экран фаза пучка становится плоской, амплитуда остается без изменений. В результате на объекте фокусировки наблюдается абсолютная компенсация искажений.
Распространение через искажающий фазовый экран пучка, сформированного в результате ОВФ. (а) - амплитуда пучка, падающего на экран, (б) - фаза пучка, падающего на экран, (в) - фаза пучка после прохода через экран.
Анализ распределения амплитуды и фазы пучка проходящего через набор экранов позволяет заключить, что для компенсации влияния любого линейного экрана необходимо, чтобы амплитуда прямого пучка, падающего на экран, была равна амплитуде опорного излучения на экране и фаза являлась обратной, относительно фазы опорного пучка, прошедшего через экран. Оба эти условия выполняются в случае обращении волнового фронта.
Распространение через искажающий фазовый экран пучка, полученного в результате выполнения фазового сопряжения. Условия такие же, как для эксперимента, представленного на рис. 2.10. (а) - амплитуда пучка, падающего на экран, (б) - фаза пучка, падающего на экран, (в) - распределение светового поля в плоскости объекта фокусировки.
Естественно, что полная компенсация искажений невозможна (рис. 2.12 (в)). Тем не менее во многих работах [234 - 236J отмечалось увеличение концентрации светового поля на объекте, полученное в результате фазового сопряжения. Здесь нужно вспомнить вопрос, поставленный в начале параграфа. Для ответа на него рассмотрим компенсацию экрана (генератор псевдослучайных чисел позволил во всех расчетах задать одинаковые турбулентные искажения), находящегося на различных расстояниях от апертуры источника.
1. Экран в плоскости апертуры. Искажения, обусловленные экраном максимальны (рис. 2.13), т.к. после внесения дополнительного фазового набега пучок проходит наибольшее расстояние по сравнению со всеми другими случаями. Но искажения опорного сигнала отсутствуют - после экрана опорная волна проходит нулевое расстояние и отклонение амплитуды в плоскости источника от амплитуды в плоскости наблюдения обусловлено только дифракционной расходимостью. При фазовом сопряжении в плоскости источника гауссовская амплитуда заменяется гауссовской, минимальным является отклонение от принципа оптической обратимости, коррекция искажений практически полная.
Результаты численного эксперимента для данной геометрии трассы представлены на рис. 2.13 (а), где приведены значения критерия фокусировки до и после коррекции и на рис. 2.13 (б), где помещено квадратичное отклонение s амплитуды от заданного профиля для плоскости источника и плоскости наблюдения. Можем видеть, что полученные значения критерия J не зависят от интенсивности искажений (одинаковы при любых г0) и равны значению критерия для коллимированного пучка, распространяющегося в вакууме (для вакууме J = 0,5). Значения ошибки є малы как в плоскости источника, что означает, что задаваемая амплитуда мало отличается от требуемой, так и в плоскости наблюдения, т.е. на объекте фокусировки пучок почти такой же, как в плоскости z = 0.
2. Экран находится в середине трассы распространения (результаты коррекции на рис. 2.13 (в) и (г)). Искажения излучения для этого случая несколько меньше, чем для предыдущего, т.к. после экрана пучок проходит меньшее расстояние (уменьшение искажений видно из сравнения кривых 1 на рис. 2.13 (а) и (в)). Квадратичная ошибка, возникающая при замене опорного пучка гауссовским, в этом случае составляет от 40% до 100% (кривая 2 на рис. 2.13 (г)) в зависимости от радиуса Фрида. Следовательно, при выполнении фазового сопряжения существенно нарушается принцип оптической обратимости. Это приводит к тому, что не достигается полная коррекция искажений - значения критерия ниже, чем 0.5 (величина соответствующая абсолютной компенсации), квадратичная ошибка в плоскости наблюдения не равна нулю. После коррекции форма пучка отличается от гауссовской, но достигается увеличение концентрации поля на объекте.
3. Экран помещен в самом конце трассы (рис. 2.13 (д) и (е)). Амплитудных искажений "прямого" пучка в этом случае нет, критерий фокусировки /для системы с отключенным управлением равен 0,45 и не зависит от интенсивности турбулентности. Критерий меньше, чем 0,50 только из-за дифракционной расходимости.
Модификация фазового сопряжения с целью повышения устойчивости управления
С целью повышения устойчивости фазового сопряжения В.П. Кандидовым, С.С. Чесноковым и К.Д. Егоровым была предложена модификация алгоритма [47], в которой фаза пучка п\х,у) на каждой из итераций вычислялась с использованием уравнения: п\х,у) = п-х\х,у)-а п-х\х,у) + ф,у)). (3-1) Здесь п х\х,у) - фазовый профиль на итерации п-1, у(х,у) - фаза опорного излучения, а - коэффициент, меньший единицы, аналог градиентного шага в алгоритме апертурного зондирования. При а = 1 уравнение (3.1) преобразуется к виду {п)(х,у) = -ф,у), т.е. выполняется фазовое сопряжение. Авторами [47] было показано, что при управлении по установившимся параметрам (после завершения переходных процессов в системе "пучок-среда") модификация обеспечивает устойчивую коррекцию теплового самовоздействия. Так как практический интерес представляет приближение численной модели к реальным условиям, в настоящем параграфе рассматривается процесс управления пучком с учетом осцилляции параметров, связанных с протеканием переходных процессов.
Переходные процессы развиваются после начального включения лазерного импульса и при любом изменении амплитудного или фазового профилей излучения. Изменение критерия фокусировки, обусловленное процессом первого, типа иллюстрируется на рис. 3.1. Протекание процесса связанного с вариациями фазы показано на рис. 3.4, где приведены значения J(t) в интервале времени, следующем за изменением фазы.
Возможно предположить, что с изменением таких параметров задачи, как длина трассы Z, параметр нелинейности Rv и амплитуда вариаций фазового профиля, вообще говоря, должны измениться эффективные размеры и местоположение области максимального выделения тепла. Это, в свою очередь, может привести к изменению характера процесса установления температуры и, как следствие, к изменению ха или Хф. Выполненные расчеты показали, что ха остается постоянным в интервале Rv от 5 до -50, тогда как Хф увеличивается до 2,5 xv при увеличении амплитуды изменений фазового профиля.
Устойчивость некоторых алгоритмов управления пучком зависти от соотношения характерного времени (как правило, времени между итерационными шагами) и времен ха, Хф (параграф 3.4). В тоже время, для алгоритма фазового сопряжения и его модификации (3.1) эти соотношения являются несущественными. Сходимость/расходимость сопряжения определяется только мощностью излучения (параметром Ry), и для (3.1) - коэффициентом а.
Динамика изменения критерия фокусировки при коррекции самовоздействия на основе (3.1) показана на рис. 3.5. Время между последовательными итерациями фазы составило и 0,5xv, т.е. было меньшим, чем ха или Хф. Из рисунка видно, что сходимость алгоритмов действительно зависит от значения коэффициента. При неудачном выборе а (кривая 2, ос= 0,1) в системе возникают незатухающие осцилляции. Уменьшение коэффициента позволяет добиться повышение устойчивости коррекции (кривая 1, а = 0,05), но оно может негативно повлиять на процесс управления- привести к увеличению времени, необходимого для компенсации искажений. Таким образом, основным недостатком предложенной модификации фазового сопряжения является необходимость априорного задания коэффициента а, входящего в уравнение (3.1).
На начальных итерациях критерий J{t) испытывает значительные осцилляции, которые в дальнейшем затухают. За время порядка 20 xv определяется максимум целевой функции управления. Как показали численные эксперименты, это время может увеличиться, если коэффициент а задан неоптимальным.
Особенность (3.3) является то, что для выбора утах(х,у) и изменения а необходима текущая информация о параметрах поля на объекте фокусировки, которая будет достоверной только, если х, та и т2 іф. В противном случае невозможно определить, что вызывает изменение целевой функции управления -осцилляции поля в переходном процессе или изменение фазового профиля пучка. Таким образом, не удается сократить время между итерациями и полное время определения экстремума функционала фокусировки J(i).
В целом, сравнивая алгоритмы заключаем, что эффективность модификации фазового сопряжения (3.3) не ниже, чем у (3.1). Преимущество по сравнению с (3.1) -неудачное задание коэффициента а не приводит к расходимости, хотя и вызывает увеличение времени, необходимого для компенсации тепловой дефокусировки.
Апертурное зондирование основано на градиентном методе поиска экстремума целевой функции управления. В условиях стационарной ветровой рефракции алгоритм может быть записан как [1, 237, 239] F„=F„_,+awgrad(JJ. (3.4) Здесь п - номер итерационного шага, а - коэффициент, величина которого изменяется в процессе управления (уменьшается на итерациях, в которых целевая функция J{t) уменьшается), F - вектор координат управления. Компонентами вектора F обычно являются смещения сервоприводов зеркала [241] или коэффициенты полиномов Цернике [240, 242]. Компоненты вектора grad(J„) - это производные bJijbFi, / изменяется от 1 до N, N- число координат управления. В качестве целевой функции выбирают критерий фокусировки [240] или некоторую комбинацию параметров пучка в плоскости наблюдения [242]. В приведенных работах, посвященных апертурному зондированию [1, 237, 239] алгоритм рассматривался в стационарном приближении, переходные процессы в системе "лазерный пучок -нелинейная среда" не учитывались.
Схема работы алгоритма апертурного зондирования (3.4) при поочередном варьировании координат управления представлена на рис. 3.7, где также отмечены осцилляции целевой функции после изменений амплитуды (начальное включение) и фазы пучка. Адаптивная система имеет следующие характерные времена: xj - время между включением импульса и началом пробных вариаций, х2 - промежуток времени между пробными вариациями, х3 - промежуток времени между началом смещения зеркала на градиентном шаге и началом пробных вариаций на следующей итерации. Полное время одного градиентного шага составляет xd = х3 + 4х2 и полное время "восхождения на холм" (определения максимума целевой функции управления) topt = iVopt id, iVopt - число итерационных шагов.
Регистрация дислокаций с использованием датчика Гартмана
В главе 1 настоящей диссертационной работы было предложено два метода регистрации дислокаций. Первый из них основан на анализе распределения фазы излучения, во втором для локализации особых точек применялась дифракционная картина, полученная с использованием пучка несущего оптический вихрь. Основным недостатком обеих методик является сложность их экспериментальной реализации. В то же время, координаты и топологические заряды дислокаций могут быть найдены из распределения градиентов светового поля, определенного с помощью датчика Гартмана. Предлагаемый здесь алгоритм может быть непосредственно включен в программное обеспечение датчика, т.е. изменение компьютерного кода позволяет получить прибор, имеющий более широкие возможности по сравнению с используемым в настоящее время. Описание алгоритма приводится в работе [257].
Известно, что значение интеграла от проекции градиента фазы по замкнутому контуру равно 2л V , где V - порядок особой точки, находящейся внутри контура интегрирования. Основанные на вычислении этого интеграла методы не дают точных результатов потому, что значение градиента фазы в окрестности дислокации стремится к бесконечности, и погрешность интегрирования может многократно превосходить 2тг. В частности это приводит к нахождению ложных вихрей и неправильному определению их порядка. Следовательно, необходимо создание более точных, чем действия «по определению», алгоритмов.
Для нахождения особых целесообразным является применение теорем из теории векторных полей и топологии. Так авторы [258] рекомендуют теорему Пуанкаре-Хопфа [259] как критерий непротиворечивости идентификации особых точек в сингулярном оптическом поле. Напомним её формулировку. Пусть М - компактное многообразие, со - гладкое векторное поле на М с изолированными нулями. Если М имеет край и векторное поле со в каждой точке края направлено наружу, то сумма Е/ индексов нулей векторного поля со равна эйлеровой характеристике %(М).
В частности, эта сумма индексов является топологическим инвариантом многообразия М, т.е. она не зависит от конкретного выбора векторного поля. Можно заключить, что в теореме Пуанкаре-Хопфа формулируется свойство сохранения суммы индексов нулей особых точек векторного поля. Так как величине (или знаку) индекса однозначно соответствуют точки определенного типа, то из теоремы следует свойство сохранения соотношений количеств особых точек разных типов.
Однако эта теорема имеет ограничение: "векторное поле со в каждой точке края направленно наружу". Между тем, упомянутое условие теоремы Пуанкаре-Хопфа выполняется далеко не всегда. Более того, возможно проявление ситуации, в которой требуется исследовать область, на границе которой векторное поле имеет различные (как внутрь, так и наружу области), направления. Заметим, что при решении задачи свободной дифракции в параксиальном приближении невозможно выделить трехмерное многообразие, удовлетворяющее обсуждаемому условию. Но выделить двумерное многообразие довольно просто, в его качестве можно взять достаточно большую область в плоскости поперечного сечения дифрагирующего пучка.
По мнению авторов [260] более удобно использовать следующую теорему об алгебраическом числе особых точек: "Если в замкнутой области векторное поле имеет конечное число особых точек, лежащих внутри этой области, то их алгебраическое число равно вращению поля на границе области [261]". Данная теорема является аналогом теоремы Пуанкаре-Хопфа, лишенным отмеченного выше недостатка, но она применима лишь для векторных полей на плоскости. Данное ограничение несущественно, если мы исследуем структуру оптического пучка через построение его сечений двумерной плоскостью. Напомним, что индекс угУ(М\) изолированной особой точки М\ - это вращение векторного поля на замкнутой кривой, охватывающей лишь эту особую точку, а алгебраическое число особых точек это сумма их индексов: Ъх % [261]. Нетрудно убедиться, что индекс седла равен -1, а узла, фокуса, или центра +1.
Эта теорема положена в основу алгоритма поиска оптических вихрей и других особых точек, построенном на основе вычислений вращения поля проекции градиента фазы на малых замкнутых кривых [260]. Алгоритм правильно определяют положение дислокаций с =1 и знак топологического заряда, но может «не заметить» вихрь, если он находится в одной ячейке расчётной сетки вместе с седлом поля градиента фазы.
Ограничение точности можно объяснить тем, что в ряде случаев две и более дислокаций попадают в пределы одной субапертуры датчика. В этом случае их количество и координаты регистрируются неправильно или не регистрируются совсем. Иллюстрация этой особенности работы программы показана на рис. 4.7.
Возможность практического использования предложенного метода регистрации дислокаций исследовалась в численных и лабораторных экспериментах, построенных согласно следующей схемы. Лазерный пучок проходит через фазовую пластинку, подобную представленной на рис. 4.8, затем падает на апертуру датчика Гартмана, находящемся на некотором расстоянии за пластинкой. Датчик регистрирует локальные наклоны и определят положение дислокации.
Численный эксперимент, в котором моделировалась данная оптическая схема, представлен на рис. 4.9. Для его реализации было построено распределенное приложение, в нем датчик Гартмана являлся сервером, а программа, моделирующая распространение излучения - клиентом (интерфейс программы-клиента находится в левой части рисунка). На рис. 4.9 видно, что в рассмотренном примере датчик точно определяет положение особой точки.
Анализ процесса появления дислокаций и получение достоверной статистики при распространении пучков в случайно-неоднородных средах является достаточно сложным, прежде всего, из-за малой точности алгоритмов регистрации особых точек. Поэтому здесь развивается следующий подход: основные закономерности появления дислокаций рассматриваются при фазовой модуляции излучения в регулярной среде, затем, с учетом полученных результатов, объясняются статистические характеристики особых точек в турбулентной атмосфере. Итак, попытаемся ответь на вопрос: "Почему зарождаются дислокации?"
