Содержание к диссертации
Введение
1. Общая характеристика работы. анализ существующих методов планирования оптимальных методик контроля 11
1.1. Цель работы и задачи исследований 11
1.2. Методы исследования 11
1.3. Научная новизна 11
1.4. Практическая ценность работы 12
1.5. Реализация н внедрение результатов работы 12
1.6. Публикации по теме диссертации 13
1.7. Обзор опубликованных работ 13
1.8. Современное состояние проблемы 16
1.9* Анализ опубликованных работ 18
2. Оптимальный алгоритм планирования при контроле партии однотипных изделий на основе однократной случайной выборки при заданных ограничениях на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода 21
2.1. Выбор варианта контроля партии изделий 21
2.3. Определение критерия, характеризующего качество партии. Классы эквивалентности партий ... 23
2.4. Оценка уровня дефектности партии 24
2.5. Оперативная характеристика для гипер геометрического закона распределения. Анализ оперативной характеристики 25
2.6. Оперативная характеристика для пуассоновского закона распределения. Анализ оперативной характеристики 27
2.7. Оперативная характеристика, учитывающая ошибки оценки качества изделий в случайной выборке 29
2.8. Постановка задачи формирования оптимального плана контроля 32
2.9. Алгоритм формирования оптимального допустимого плана контроля при оценке качества партии для пуассоновекого закона распределения , 34
2.10. Алгоритм формирования оптимального допустимого плана контроля при оценке качества партии для гипергеометрического закона распределения 36
Выводы по главе 2 38
3. Разработка математической модели затрат производителя как функции ограничений от вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода 40
3.1- Структура затрат производителя при сплошном контроле партии 40
3.2. Математическая модель затрат производителя при сплошном контроле партии (NJ) 48
3.3. Структура затрат производителя при контроле партии на основе однократной случайной выборки 52
3.4. Математическая модель затрат производителя на формирование партии с использованием однократной случайной выборки с пуассоновским распределением 56
3.5. Алгоритм определения оптимального значения ограничения а0 при /?0=const по критерию минимума приведенных затрат производителя в точке xt =хт 60
3.6. Математическая модель затрат производителя при кусочно-линейной аппроксимации оперативной характеристики 61
Выводы по главе 3
4. Разработка программного пакета для расчета оптимальных значений вероятностей 65
4.1. Назначение программного пакета 65
4.2, Структура н схема взаимодействия программных модулей 66
4.3* Тестирование программного пакета 72
Выводы по главе 4 76
аисслвдовАшадсиотол 78
5.1. Исследование характера поведения функций /}(а,/3), f2{cc,fi)? h(ct,(3) 78
5.2. Исследование функций Si(atfi)9 2{ct,fl)y ъ{а^р) в зависимости от коэффициента компенсации щ 82
5.3 Исследование зависимости объема выборки п от ограничений на вероятности ошибок ^0,/ 88
5.4. Исследование зависимости <50(Д>) 91
5.5. Выбор оптимальных ограничений для задачи контроля партии автоматических выключателей 95
Выводы по главе 5 101
Заключение 103
Список литературы
- Практическая ценность работы
- Определение критерия, характеризующего качество партии. Классы эквивалентности партий
- Математическая модель затрат производителя при сплошном контроле партии (NJ)
- Структура н схема взаимодействия программных модулей
Введение к работе
В современном мире вопросам повышения качества продукции уделяется огромное внимание. Наличие эффективной системы качества на производстве определяет успех любой компании в различных отраслях промышленности. Сертификация в соответствии со стандартами серии ИСО 9000 демонстрирует возможность управлять производственным процессом так, что гарантируется обеспечение качества продукции. Одним из элементов системы качества является организация измерительного контроля.
Измерение разнообразных физических и химических свойств является основой для решения разнообразных проблем науки и техники. Особую роль играют измерения в научных экспериментах, технике, строительстве, средствах коммуникации, информационной технологии, транспорте и обороне, а также когда разрабатываются, испытываются и эксплуатируются технические средства производства.
Основными современными проблемами метрологии и измерительной техники являются: увеличение точности измерения; разработка новых высокоэффективных методов измерений и приборов; теоретические и практические вопросы по обеспечению единства мер; усовершенствование и разработка новых эталонов для воспроизведения основных единиц измерений; разработка новых методов сличения эталонных приборов, прецизионных приборов и? так называемых, рабочих приборов с эталонами и другие задачи.
Актуальность теоретических и практических работ в этих областях особенно возросла в связи потребностями науки и техники, возникших при изучении новых высоких и сверхвысоких энергий, скоростей, ускорений, давлений, вакуума, температур, а также с возрастанием конкуренции на мировых промышленных рынках, усложнением конструкций изделий, и повышением требований к производителю продукции особенно, с позиций её безопасности для потребителя и надежности.
По данным некоторых исследований, передовые индустриальные страны тратят на операции связанные с измерениями от 3 до 6% валового национального продукта. Измерения становятся не единичной технологической операцией, а превращаются в комплекс измерительных технологий, направленных на получение информации заданного уровня качества.
Метрологическое обеспечение выполняется на протяжении всех этапов "жизненного цикла" изделий и систем, а именно - при разработке, производстве, испытаниях и эксплуатации- Результаты, полученные при измерениях, позволяют не только контролировать качество выпускаемых изделий, но и дать рекомендации по изменению технологических процессов для повышения эффективности производства. В ряде случаев, информация, полученная на основании метрологических исследований позволяет найти более оптимальную и совершенную конструкцию технических узлов, агрегатов, комплексов.
Например, в современных радиоэлектронных комплексах число контролируемых параметров достигает десятков тысяч единиц, при этом используется около тысячи измерительных приборов. Так, при техническом обслуживании и ремонте на радиолокационной станции обнаружения и наведения измеряется около 10 тысяч параметров, а на радиоприемной станции - более Зх тысяч параметров. Трудозатраты на измерение и контроль параметров таких комплексов, достигает порядка 70% всех трудозатрат, связанных с техническим обслуживанием и ремонтом такой аппаратуры. В авиационно-космической технике камеры, применяемые при имитационном моделировании поведения спутников в условиях космического пространства, осуществляется контроль множества показателей. При этом стоимость испытательных установок резко возрастает при дальнейшем увеличении числа параметров, подлежащих контролю.
В связи с этим, основной тенденцией в развитии метрологического обеспечения является эволюция от задачи обеспечения единства и требуемой точности измерений, к более широкой и важной задаче обеспечения качества измерений по всем его составляющим: точности, надежности» стоимости, продолжительности. Эту задачу можно решить только при одновременном совершенен вовании составных частей метрологического обеспечения: определению оптимального числа контролируемых параметров, правильном выборе методов и средств измерений, современному математическому обеспечению процессов измерений и контроля.
В то же время, увеличение точности измерений ограничивается методическими и техническими возможностями средств измерений. Во многих случаях невозможно дальнейшее увеличение точности измерений посредством улучшения средств измерения, модификации конструкций приборов или применения новых высокоэффективных материалов. Поэтому, возникает необходимость разрабатывать новые методы измерений и применять специализированные алгоритмы для планирования эксперимента и обработки результатов измерений, в том числе и многократных.
Решение измерительной задачи на основе многократных измерений проводится в соответствии с планом измерения. Синтез плана измерения является оптимизационной процедурой. В работах [1,6] приводятся алгоритмы формирования оптимального плана контроля в предположении, что ограничения на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода ( ао и ро ) заданы. Выбор конкретных значений этих величин, в основном базируется на опытных данных и интуитивных соображениях. Однако, в условиях жесткой конкуренции, решающее значение для производителя имеют характеристики производительности и затрат. При неправильной организации сплошного и выборочного контроля (в том числе при поверхностном отношении к вопросу выбора конкретных значений «о и Ро ) изготовитель может понести огромный экономический ущерб либо за счет неоправданно высоких затрат на контроль либо из-за расходов на рекламации. Таким образом, разработка надежных алгоритмов планирования, оптимальных по критерию затрат, является важной научно-практической задачей. О необходимости таких исследований указывается в работах [3,7 12,18,31,32,47] щ
При решении актуальных проблем метрологического обеспечения произ-водства возникает ряд задач, среди которых :
1 .Исследование влияния точности измерительных приборов(в том числе образцовых средств измерения) на величину рисков производителя и потребителя.
2. Разработка алгоритмов выбора контрольных допусков, обеспечивающих выполнение требований на величину рисков потребителя и изготовителя,
3. Разработка методов планирования методик выполнения измерений (МВИ), обеспечивающих требуемую точность измерений и оптимальных по критерию стоимости измерений.
4. Разработка алгоритмов планирования методик выполнения измерений (МВИ), обеспечивающих требуемую точность измерений и оптимальных по критерию стоимости измерений.
5. Разработка алгоритмов планирования методик выполнения контроля (МВК), обеспечивающих требуемую достоверность результатов контроля и оптимальных по критерию стоимости затрат на контроль.
Эти задачи являются актуальными при планировании новых МВИ и МВК и при анализе уже существующих методик, с целью их корректировки.
При решении этих проблем возникает много вопросов. В диссертационной работе рассматривается задача разработки алгоритмов нахождения оптимальных ограничений на вероятности ошибок 1-го в 2-го рода, при оценке качества партии однородных изделий.
Рассматриваемая задача актуальна для самых различных отраслей произ-водства(машиностроение, электротехника, электроника и др.)- Особую ценность, подобные алгоритмы, представляют для предприятий, выпускающих прецизионные элементы, где затраты на производство и контроль единичного изделия являются достаточно высокими и, в то же время, требуется обеспечить требование минимизации риска потребителя.
Например, при производстве микросхем, элементов высоконадежных распределительных автоматов, подшипников, силовых пружин, ответственных полимерных деталей (элементы приводов и регулирующих механизмов, компоненты медицинского назначения, резервуары для хранения и транспортировки агрессивных жидкостей ) и других изделий. При этом, чтобы производитель мог на практике использовать подобные методики, необходимо создать программное обеспечение, которое позволяет решать указанные выше задачи метрологического обеспечения производства.
Практическая ценность работы
Влияние погрешности измерений на достоверность допускового контроля рассматривалось в ряде работ, например [3,7,12,14,2,17,18,88-92]. Ряд вопросов, возникающих при решении задач разработки методик выполнения измерения, анализа данных и повышения точности и достоверности контроля рассмотрено в работах таких ученых как Беляев Ю.К., Колмогоров А.Н., Дунаев Б.Б., Шору Я/Б.? Колмогоров А.Н., Лумелъский ЯЛ,, Коуден Д.Д., Марков H.R, Сычев Е.А., Гличев А,В., Бородачев RA., Цапенко МП, Земельман М-А., Шабалин ЮЗ., Новицкий П.В., Рубичев Н. А,, Цветков Э.И., Немировский А.С. и других. Базовой работой в этой области является работа Бородачева И.А. [9] в которой выводятся общие теоретические зависимости и поясняющие графики. Приведенные в данных работах графики позволяют в некоторых случаях обосновать требуемую точность измерения, обеспечивающую требуемую достоверность контроля. В работах ученых Беляева Ю.К.[88], Шора Я.Б, [90], Лумельского ЯЛ [89 ] и др. подробно рассмотрены задачи, возникающие при планировании выборочного статистического контроля изделий и рассматриваются методы получения статистических оценок результатов контроля партии изделий.
В работах [17,18], авторы на основе зависимостей, изложенных в работе [2] переходят к анализу частных случаев распределения погрешностей измерения (нормальное и равномерное) и контролируемых показателей. На основе этих рекомендаций в ряде частных случаев можно обосновать требуемую точность измерения, гарантирующую необходимую достоверность контроля. В качестве закона распределения погрешности измерения и контролируемых показателей используется гауссовский закон распределения.
В качестве критериев достоверности результатов контроля используются вероятности ошибок первого и второго рода а и /7. Их оправданность пока зана в работах [2,4,5 и др.]. В этих работах также проведено исследование выбора контрольных допусков, обеспечивающих заданную достоверность контроля при выполнении установленных требований на величину риска потребителя, а также рассматриваются возможные методы планирования допускового контроля при неполной информации о распределении значения контролируемого параметра и погрешности измерения.
В разных работах существуют различные подходы к нахождению риска производителя и риска потребителя[2-536-10327)32,64177].
Однако наиболее распространенными подходами к вычислению средних рисков производителя и потребителя являются следующие: 1. Риск потребителя вычисляется для множества всех изделий данного типа признанных годными, (средний риск потребителя) Rn Этот подход наиболее применим в случае контроля, когда объем партии больше 1000 единиц. Также этот метод оценки рисков можно применить если известно, что изделие будет проходить дополнительный контроль. 2- Риск изготовителя.
Рассматривая риск изготовителя как причину, вызывающую увеличение себестоимости продукции, предлагается не рассматривать конкретные условия эксплуатации и применения приборов и характеризовать этот риск усредненной величиной. В качестве такой величины используется среднее относительное количество ошибочно забракованных годных изделий Ru ,
В работе [17] приводится математический аппарат для вычисления указанных характеристик , общая структура этих формул такова: лл-1-—, Л„-1- —, где І\9І29 определенные интегралы, в которых подынтегральное выражение содержит функции, зависящие от вида распределения контролируемого па раметра , от вида распределения погрешности измерения и от отношений контрольных допусков к нормативным показателям
В этой же работе обобщаются результаты работы в области анализа достоверности допускового контроля и приводятся методики расчета рисков изготовителя и потребителя для различных случаев: контроль одного параметра, многопараметрический и многоэтапный контроль; контроль при ограниченности априорной информации о распределении значений контролируемого параметра. Автор заостряет внимание на вопросах управления достоверностью контроля и его оптимизации подчеркивая важность дальнейших исследований в этой области.
Показывается, что при проектировании допускового контроля необходимо учитывать экономические показатели как при выборе точности СИ (когда стоимость системы контроля может оказаться сопоставимой со стоимостью всей партии контролируемых изделий), так и при расчете рисков изготовителя и потребителя. Таким образом, стоимостной критерий оптимальности является универсальным, при обеспечении всех предъявленных технических требований. В каждом случае экономические затраты, связанные с допусковым контролем будут иметь минимум при некотором оптимальном значении точности.
Причем задача выбора оптимальной точности СИ требует проведения необходимых экономических исследований по выражению потерь из-за ошибок контроля и специфична для каждого вида контролируемой продукции.
Приведенные в книге [17] соотношения показывают, что из-за высокой сложности расчетов для получения результата необходимо использовать вычислительную технику.
Определение критерия, характеризующего качество партии. Классы эквивалентности партий
Под партией понимается совокупность изделий, обрабатываемых в соответствии с единой технологией и требующих одинаковой подготовки производства.
Объем партии - это число однородных изделий, деталей или сборочных групп в партии. Обозначим партию изделий (N,2) где N - общее количество изделий в партии; І- количество дефектных изделий. А граничное значение, являющееся максимально допустимым количеством дефектных изделий в партии, при котором партию можно считать годной равно i0. Величина І не учитывает объема конкретной партии. Для её учета следует ввести величину - уровень дефектности: N Величина х, = — является дискретной величиной, значения которой лежат в интервале 0 Xj 1, На основе данной величины можно сформировать ограничения, определяющие два альтернативных класса эквивалентности партий объема N с уровнем дефектности х, : vx0) = {(JV,x,- : дг,- XQ,(N4Xj)e V }- класс годных партий (гипотеза Я0) V ={(Nyxi):xi XQ,(N,xi)eVN}- класс бракованных партий ( гипотеза где х0 = —, (N, ХІ ) - обозначение конкретной партии с объемом N и уров N НЄМ ДефеКТНОСТИ Xj.
Для того чтобы отнести партию (N, xf) к одному из классов эквивалентности нужно получить оценку величины х;, Эту оценку можно сделать на основе случайной выборки (п, і ) из партии (N, х,) и сплошного контроля изделий, входящих в выборку. Пусть і - количество дефектных изделий в выборке (п, і ).
Так как рассматривается случайная выборка, то величина і является возможным значением случайной величины / (/). Тогда для оценки измеряемой величины і можно принять величину 7 (О Тогда оценку уровня дефектности контролируемой партии х, можно представить в виде: У( І) = = ХІ+ПІЄІХІ) + Е, (2Л.) где те(хі) систематическая погрешность оценки; о Е - центрированная случайная составляющая оценки, дисперсия которой равна De. Случайная величина Y(xt) является дискретной случайной величиной, у которой : Vy = )Хп хп х..лп2} - множество возможных значений величины Y{xt), Р{у(х )=ху), г = л1?н2 - закон распределения случайной величины F( ),
Вероятность случайного события , состоящего в том, что случайная выборка объема п будет содержать у - дефектных изделий равна; ,(/«=,)=2К= «i»-wi»-v :V=— (2.2) v ; с-у vl(i-v)l(n-v)\[N-i-(n-v)]l№ L v где С - количество сочетаний из / - дефектных изделий в партии по v -дефектных изделий в выборке, С# - число сочетаний из N изделий в партии по п изделий в выборке , С# - количество сочетаний из N-i годных изделий в партии по n-v годных изделий в выборке.
Этот закон является гипергеометрическим законом распределения с математическим ожиданием т. и) =—і Ф и N и дисперсией D.(0 = A/ N -n і і = и———(1 }. N-1N N Решающая функция при оценке качества партии строится исходя из возможных значений случайной оценки Y(XJ) : / / І0 У&іїs 0 " годная партия s{y{xt)) = i (2.3) II, У\ХІ) Уо - орагсованная гюртия где о 0 - уровень приемки партии, В этом случае оперативная характеристика решающей функции (2.3 )для гипергеометрического закона распределения имеет вид: L{xi/1\ y0) L(i/N ,kQ)= Pfa/N xi)- J P{v/Ntnj), (2.4) где 0 = yi}N - приемочное число. Значения оперативной характеристики определяют вероятность принять гипотезу Нц (что означает - партия годная). На основе оперативной характеристики можно найти вероятности ошибок 1-го и 2-го рода, математические выражения для которых имеют следующий вид: a(ifN9n,kQ) = l-L{i/NtntkQ\ / = 0, -вероятность ошибки первого родаа P(ifNfn,kQ)- L(ifNtn,kQ)9 i = tQ+l9N - вероятность ошибки второго рода. План контроля в этом случае имеет вид (Лг,яД0), в котором N - объем партии, n-объем выборки ко - приемочное число.
Математическая модель затрат производителя при сплошном контроле партии (NJ)
После выполнения указанных выше операций над партией изделий (N ,i) к потребителю поступит партия (JV ). В результате использования бракованного изделия потребитель будет нести затраты, а производитель обязан компенсировать эту потерю(различным образом). Затраты производителя на компенсацию за единичное бракованное изделие обозначим Ск. И представим следующим выражением CK=ijKSn (3.14) CV где TJ „ = —— коэффициент, определяющий число кратных и дольных частей величины 5\, которые производитель обязан возместить потребителю за бракованные изделия. . Математическая модель затрат производителя при сплошном контроле партии (7VV) Используя введенные выше обозначения затрат производителя выражение для суммарных затрат будет иметь вид: C(a9fi) = SlN + C](a,f?)N + C N2+&Sli2+CKii9 (3.15) где S\N - затраты на производство партии (NJ), Ci(a9fi)N = Slf} l(a 7fim)fk{a9fi)N- затраты на сплошной контроль партии усиленный контроль изделий из множества (N2,h): ASii2=S:r/si() - /?)- затраты на доработку бракованных изделий CKix = S{qKifl- компенсация потребителю за бракованные изделия. С учетом введенных выражений для слагаемых в правой части уравнения (3.15) получим: с(в,у?) = я1 + (а /г )[(/1(Аг ) + а) + (316)
Разделив обе части этого равенства на объем партии, получим следующее выражение для затрат на единичное изделие: .У где хх- = i/N - уровень дефектности партии. После группировки членов с сомножителями а и /7 получим: где Ла =?];(а\/Г)(1-хг) = Ла; 0 Л ,) 1, {Щ-Л,—П\іа\0 ))х, = Л,(х,); А/,(х1) 0,клыЛл(ж,) 0,
Разделим обе части равенства (3.17) на величину S}. В результате получим выражение для приведенных затрат производителя на единичное изделие: и (а /х1) = = г,;(а\ )/к(а,Ю Л Яеа + Л . (3.18) Таким образом, введенные обозначения и выражения позволяют записать следующую математическую модель затрат производителя. C(a,f1) = lk(a,pfxi)SlN (3.19) где величина ехк{а,р) определяется выражением(3.18) Очевидно, что технологическая себестоимость S] и уровень дефектности xt являются взаимно связанными величинами. Характер этой связи можно установит из следующих рассуждений: по мере совершенствования технологического процесса технологическая себестоимость возрастает, а уровень дефектности падает. Поэтому, в модели (3,19) сомножитель 5, следует рассматривать как убывающую функцию аргумента xt. Математическую модель этой зависимости можно обосновать следующим образом.
Пусть 50 - технологическая себестоимость для бездефектного производства изделий. В этом случае исключается контрольные испытания и партия (JV,0) поступает потребителю. Затраты изготовителя на такую партию будут максимальными и определяются выражением С = Sl0N.
Стремясь уменьшить затраты, производитель будет применять более дешевый технологический процесс, который обеспечил бы уровень дефектности не превышающий некоторого предела xi2 (xt xi2). Технологическую себестоимость на этом пределе обозначим Clnihl. Тогда на интервале [0,xj7] функция 5 (я,) должна монотонно убывать от значения 510 до Slmm.
Блок схема операций производителя при контроле партии на основе однократной случайной выборки представлена на рис.3,3. Прямоугольниками выделены операции, связанные с затратами производителя. Рассмотрим подробнее эти операции. 1. Производственный процесс. Формируется партия (JV,*). Себестоимость единичного изделия, обозначается Si. Случайная выборка реализуется на основе оптимального плана (й(й0,/?0), {#0,Д))). Константы tfo>A) являются ограничениями на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода. Обозначим реализацию случайной однократной выборки (n(ao>flo%У)Х где у - количество бракованных изделий. Оставшуюся после изъятия выборки часть партии обозначим (JV^fV)), где Nx = N-й(а0,/?0), где ii(v) = i-v - количество бракованных изделий в этой части партии.
Структура н схема взаимодействия программных модулей
Разрабатываемый программный пакет предназначен для решения прикладных производственных задач, связанных с выбором оптимальных параметров технологии производства на стадии контроля и испытания продукции при котором производитель обеспечивает себе риски в пределах установленных им ограничений. Зная эти ограничения можно спроектировать план измерения и план контроля , а затем обработать результаты в соответствии с выбранным алгоритмом.
Программный пакет обеспечивает решение следующих задач : - обоснование ограничений на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода с учетом экономического критерия; - расчет параметров плана многократного измерения (вариант сплошного контроля изделий в партии) или плана контроля (вариант контроля партии изделий с использованием однократной случайной выборки) с учетом рассчитанных ограничений; - аппроксимация полученных результатов для получения аналитической зависимости; - печать отчетов (формат выдаваемых отчетов может редактироваться пользователем самостоятельно). Данный комплекс может быть использован совместно с блоком съема информации в составе ИВС. Программный продукт разрабатывался для работы в операционных системах Windows 98/2000/ХР, Программный пакет функционально состоит из четырех автономных модулей.
Схема взаимодействия модулей показана на рис.4. В этом модуле представлен интерфейс пользователя позволяющий вводить исходные данные к расчетам. Предусмотрен как ручной ввод так и экспорт/импорт файлов содержащих необходимые данные из внешних файлов- В модуле реализована защита от некорректных действий пользователя и контроль исходной информации на корректность её ввода.
Модуль2. Расчет оптимальных значений вероятностей аопти0опт Логика работы модуля построена на математических моделях, рассмотренных в главе 3 данной работы. Программный алгоритм работы этого модуля представлен на рис 4.2.
Для представления выходной информации использовалась интеграция с системой Mathcad . На основе экспорта выходньтх данных была реализована возможность построения 3D трафиков в этой среде. При разработке программы использовался объектно-ориентированный подход, что позволяет, при необхо димости легко дополнить модули необходимыми функциональными возможностями.
На выходе работы модуля пользователь имеет возможность получить следующую информацию: -значения аоптиртт -графики функций C{a,p) = s (a )S N ,/(а,0),є{а ІХі), є(а0,/30 fxt) и другие зависимости; -изображения поверхностей С(а,/7) = )(0:,/7)5 , f(a,fl). Для дальнейшей работы с визуальной информацией (графики, диаграммы), исходные данные могут быть экспортированы в систему MathCAD. Кроме того, исходные данные и результаты могут экспортироваться в систему MS Excel.
При построении аппроксимационных кривых минимизировалась сумма квадратов отклонений точек экспериментальных данных от аппроксимационно-го полинома.
Пусть F{cc) - функционал, представленный в виде: (а)=1(гДа,0-й,.)2, /=1 где Zj- рассчитывается по формуле; т где а - параметры, подлежащие определению a = 1../-, г- число параметров, т - число функций, N - число пар экспериментальных точек, t- аргумент функции, А,-- экспериментальное значение, соответствующее значению fj, і = 1,2,-.,N.
Далее функционал F(a) минимизируется, что приводит к системе из г алгебраических уравнений:
Решая систему алгебраических уравнений находим г - мерный вектор параметров а.В разрабатываемый программный комплекс заложены несколько видов возможных моделей аппроксимаций (с возможностью дальнейшего пополнения библиотеки) в числе которых следующие: - полином m-Й степени z(t) = ccjtJ ; /=0 - обратный полином z(t) = — ; ./=0 - показательная функция z = аех; - экспоненциально-степенная z = е х .
При решении конечномерной задачи оптимизации некоторой функции f(x) использовался следующий алгоритм: 1) Поиск точек х, удовлетворяющих необходимому условию 1 порядка дх1 дх„ 2) Нахождение матрицы вторых производных 3) Проверка вьшолнения достаточных условий экстремума: расчет главных миноров матрицы Л:
