Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние биомеханических исследований гибких элементов медицинских систем 25
1.1. Проблемы исследования гибких элементов макроструктур человеческого организма 25
1.2. Проблемы исследования механических свойств биологических тканей . 41
1.3. Проблемы проектирования и исследования упругих элементов 52
1.4. Биомеханические принципы и задачи диагностики гибких элементов медицинских систем 63
2. Теоретические основы построения математических моделей для исследования и проектирования гибких элементов медицинских систем
2.1. Основные соотношения теории тонких оболочек 68
2.,2. Постановка задачи для оболочки вращения 72
2.,.3. Разрешающие уравнения для осевого растяжения оболочки враще ния и чистого изгиба стержня- оболочки 75
2. 4. Разрешающие уравнения для поперечного изгиба оболочки враще ния и пространственного изгиба и кручения стержня- оболочки — 79
2.5. Основная гипотеза теории тонкостенных стержней 84
2.6. Решение задач для тонкостенных элементов в тригонометрических рядах 85
3. Математическое моделирование гибких упругих элементов произвольного профиля 91
3.1. Математическое моделирование осесимметричных гибких упругих элементов 91
3.1.1. Разрешающие функции в задачах об осесимметричной деформации гибких тонкостенных элементов 91
3.1.2. Определение разрешающих функций при чистом изгибе 103
3.1.3. Определение разрешающих функций при поперечном изгибе... 106
3.1.4.0пределение разрешающих функций по методу Бубнова-Галеркина при осесимметричной деформации гибких элементов 111
3.1.5. Расчет перемещений 124
3.1.6. Расчет напряжений 130
3.1.7. Расчет собственных частот колебаний 133
3.2. Математическое моделирование неосесимметричных гибких эле ментов по схеме тонкостенного стержня 139
3.2.1. Геометрия тонкостенного стержня 139
3.2.2. Выбор координатных функций 145
3.2.3 Основные зависимости 147
3.2.4. Основные соотношения 150
3.2.5. Задание геометрических параметров трубчатых упругих элемент тов 153
4. Моделирование и исследование гибких элементов структур чело веческого организма в норме, патологии и при хирургических опе рациях 159
4.1. Моделирование и исследование биотехнической системы при ма- лоинвазивных интервенционных хирургических операциях на клапан ном аппарате сердца 160
4.1.1.Строение и функционирование клапанного аппарата сердца 160
4.1.1.1. Аортальный клапан 161
4.1.1.2. Митральный клапан 172
4.1.1.3. Клапанный аппарат правых камер сердца 178
4.1.1.4. Миокард, папиллярные мышцы, хорды 179
4.1.2. Биомеханика патологических образований в клапанном аппарате сердца и способы их устранения 186
4.1.3. Моделирование состояния фиброзных колец клапанного аппарата при баллонной вальвулопластике 191
4.1.4. Моделирование дилатации створок клапанного аппарата сердца 200
4.2. Моделирование и исследование биотехнической системы при ангиопластике сосудов 211
4.2.1. Функционирование стенозированных сосудов 211
4.2.2. Биомеханика патологических образований в кровеносных сосудах и способы их устранения 215
4.2.3. Моделирование и исследование напряженно - деформированного состояния при дилатации кровеносных сосудов. Математическое обоснование технологии операций 219
4.3. Моделирование и исследование аневризматических образований... 227
4.3.1. Биомеханика аневризматических образований и способы их устранения 227
4.3.2. Моделирование и исследование напряженно - деформированного состояния в аневризматических образованиях - 229
4.4. Моделирование и исследование барабанной перепонки в норме, па
тологии и при хирургических операциях 238
4.4.1. Строение и функционирование барабанной перепонки 238
4.4.2. Моделирование и исследование напряженно - деформированного состояния барабанной перепонки в норме 238
4.4.3.Моделирование и исследование напряженно - деформированного состояния в барабанной перепонке при патологиях среднего
уха и хирургических операциях 242
4.5. Моделирование и исследование деформированного состояния участка кожи 248
4.5.1. Биомеханические свойства кожи 248
4.5.2. Моделирование участка кожи 249
5. Моделирование, разработка и исследование осесимметричных гибких элементов медицинских технических систем 251
5.1. Исследование перемещений 251
5.2. Исследование напряжений 262
5.3.Исследование собственных частот колебаний 279
5.4. Функциональная взаимозаменяемость гибких элементов 287
6. Исследование конструктивно неосесимметричных гибких эле
ментов 290
6.1. Исследование чувствительности витой трубчатой пружины, находящейся под действием давления ,. 290
6.2. Исследование чувствительности витой трубчатой пружины, находящейся под действием крутящего момента 294
6.3. Исследование тягового момента, развиваемого витыми трубчатыми пружинами 306
6.4. Исследование напряжений в витых трубках 316
6.5. Функциональная взаимозаменяемость витых трубчатых пру
жин 326
6.6. Исследование тонкостенных криволинейных труб с продольным разрезом 333
6.7. Моделирование стентов 338
7. Клиническое примененеие и исследование БТС - МН 341
7.1. Исследование биомеханических свойств кровеносных сосудов in vivo с помощью БТС - "Кровеносные сосуды" 341
7.2.Предоперационное прогнозирование результатов рентгенохирургических операций 345
7.3.Исследование влияния технологии рентгенохирургической операции на напряженное состояние при функционировании реконструированной ангиопластикой коронарной артерии 355
7.4.Исследование свойств сосудов с имплантатами, заменяющими патологически измененные участки кровеносного русла 358
7.5.Клинические исследования дилатации фиброзного кольца аортального клапана сердца 364
Заключение. Основные результаты работы 369
Список литературы.
- Проблемы исследования механических свойств биологических тканей
- Разрешающие уравнения для осевого растяжения оболочки враще ния и чистого изгиба стержня- оболочки
- Разрешающие функции в задачах об осесимметричной деформации гибких тонкостенных элементов
- Биомеханика патологических образований в клапанном аппарате сердца и способы их устранения
Введение к работе
Специалисты разных областей знаний, профессиональная деятельность которых связана как с изучением и коррекцией органов и структур человеческого организма, так и с созданием медицинской техники, сталкиваются в своей работе с необходимостью прогнозировать поведение гибких элементов макроструктур человеческого организма и гибких элементов технических систем при различных внешних воздействиях. Элементы этого обширного класса отличаются от других структур человеческого организма и других элементов конструкций тем, что при функционировании в норме в них происходят перемещения одного порядка с толщиной их стенок.
Гибкие элементы макроструктур биологических объектов являются объектами коррекции, а гибкие технические элементы - имплантатами, инструментами для выполнения манипуляций и преобразователями в датчиках для измерения физиологических параметров. Исследование их поведения при различных внешних воздействиях связано с необходимостью углубления знаний о функционировании биологических структур, внедрением новых медицинских технологий и созданием новой медицинской техники. И биологические, и технические гибкие элементы являются составными частями многих биотехнических систем медицинского назначения (БТС- МН), созданных и создаваемых как для диагностики, так и для коррекции структур человеческого организма. При этом они либо функционируют совместно в живом организме, либо являются совокупностью биологических и технических составляющих при проведении различных медицинских процедур.
Функционирование таких сложных систем, какими являются БТС - МН, возможно только при условии согласования характеристик, определяющих поведение каждого элемента системы. Следовательно, их анализ должен строиться на единых принципах с учетом медицинских и технических проблем, а сами биологические и технические элементы должны быть биомеханически, биофизически и биохимически совместимыми.
Изучение этих элементов связано с преодолением трудностей технического и математического порядка. Их гибкость, обеспечивающая оптимальное распределение напряжений, достигается сложной формой и особым характером соединения с другими структурами или элементами конструкций. Кроме этого, гибкие элементы макроструктур человеческого организма представляют собой сложно организованную биологическую конструкцию, а их механи-
ческие свойства зависят от расы, пола, возраста, степени активности биологических функций, вида и степени патологических изменений.
В то же время широкий диапазон возможностей БТС-МН определяет поиск рациональных медицинских технологий и приемлемых конструкций для их реализации. Во всех принципиальных направлениях возникающих при этом проблем - медицинских, технических и фундаментальных, неотъемлемой частью является моделирование биологических объектов на основе клинической анатомии, морфологии, физиологии, патофизиологии, биомеханики, теории оболочек и механики твердого деформированного тела. При этом эффективность построенных моделей функционирования гибких элементов макроструктур человеческого организма в норме, патологии и при хирургических операциях и функционирования гибких элементов технических систем как независимо друг от друга, так и при совместном выполнении функций, зависит как от глубины познания сути происходящих в организме процессов, так и от использования всего арсенала новых методов и средств исследования.
Разработано крайне незначительное, по сравнению с потребностями современной медицины, количество математических моделей гибких элементов макроструктур биологических объектов. Как правило, эти модели построены для изучения отдельных состояний биологического объекта, не позволяют учитывать его реальные геометрические характеристики, механические свойства и характер связи с соседними структурами. Таким образом, они не могут быть включены в аналитическую часть БТС - МН. Математические модели для каждого типа гибкого технического элемента строятся независимо. Для некоторых важных типов не разработаны алгоритмы расчета и отсутствуют исследования. Для большинства типов не учитываются граничные условия, а сами алгоритмы, как правило, строятся в геометрически линейной постановке. Это не позволяет применять в БТС — МН наиболее рациональные формы и размеры гибких технических элементов. До настоящего времени не выработаны единые подходы и биомеханические принципы диагностики биологических гибких элементов, а так же методы проектирования технических гибких элементов. Таким образом, актуальность работы обусловлена необходимостью:
выработки биомеханических принципов диагностики и методов проектирования гибких элементов БТС - МН;
создания БТС - МН диагностики и прогнозирования критического состояния структур человеческого организма;
подойти к проектированию гибких элементов медицинских биотехнических систем,
функционально адекватных и биомеханически совместимых со структурами человеческого
организма.
Объект исследования - гибкие элементы макроструктур человеческого организма в норме, патологии и при хирургических операциях и упругие элементы технических средств медицинских систем.
Предмет исследования — процессы поведения гибких биологических и технических элементов, методы описания и параметры состояния для диагностики этих элементов.
Целью работы является разработка биомеханических основ диагностики структур человеческого организма, методов проектирования технических гибких элементов, функционально адекватных и биомеханически совместимых со структурами человеческого организма, и построение специальных БТС - МН на их основе.
Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие задачи:
изучение потребностей диагностической и лечебной медицины, известных подходов для построения диагностики гибких элементов макроструктур человеческого организма и методов проектирования гибких элементов БТС — МН и разработка на основе этого изучения принципов диагностики и методов проектирования БТС - МН;
разработка математических моделей, методов теоретического анализа и расчета напряжений и перемещений в гибких элементах биологического происхождения;
разработка методов проектирования и построение инженерных методов расчета систем осесимметричных и неосесимметричных гибких технических элементов БТС - МН;
разработка биомеханических основ создания БТС - МН на примерах создания систем предоперационной диагностики малоинвазивных интервенционных хирургических операций;
экспериментальное подтверждение и разработка рекомендаций по использованию предлагаемых принципов диагностики гибких элементов макроструктур человеческого организма, а также перспективности применения разработанных методов проектирования гибких элементов для БТС - МН.
Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, механики твердого деформированного тела, нелинейной теории гибких оболочек, теории гибких стержней, компьютерного моделирования, теории синтеза биотехнических систем. Экспериментальные исследования выполнены путем обработки и анализа клинического материала (рентгенограмм, эхокардиограмм), полученных во 2 -ой многопрофильной больнице и в больнице Св. Георгия г. Санкт - Петербурга.
Научные положения выносимые на защиту.
1. В основу диагностики гибких элементов макроструктур биологических объектов и проектирования гибких упругих технических элементов медицинской техники должны быть
10 положены принципы синтезного подхода, основанного на необходимости комплексной одновременной разработки инструментального, метрологического, методического и информационного обеспечения БТС - МН.
Реализация биомеханических принципов при создании диагностических и лечебных БТС - МН должна основываться на предложенных в работе математических моделях, методах теоретического анализа и расчета, позволяющих исследовать напряжения и перемещения в гибких элементах макроструктур человеческого организма (в норме, патологии и при хирургических операциях) и в гибких элементах технических систем.
Построение математических моделей для исследования и проектирования всего многообразия гибких элементов произвольного профиля основано на трех методах теоретического анализа, направленных на изучение:
а) осесимметричных упругих элементов: бесшовных и сварных сильфонов, гофрирован
ных мембран и т.п. на основе геометрически нелинейной теории гибких оболочек вращения;
б) неосесимметричных упругих чувствительных элементов, включающих в себя одновит-
ковые и витые манометрические пружины, на основе единого алгоритма, построенного на
базе технической теории стержней-оболочек;
в) неосесимметричных биологических гибких элементов и имплантатов произвольного
профиля при разбиении их на конечные элементы трехмерного тела.
Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в разработке и исследовании:
принципов диагностики состояния гибких элементов макроструктур биологических объектов и их биомеханической совместимости с имплантатами;
математических моделей для исследования напряженно-деформированного состояния гибких биологических элементов на примерах клапанных аппаратов сердца, кровеносных сосудов, аневризматических образований, барабанной перепонки, деформируемых участков кожи;
методов теоретического анализа и расчета для исследования напряжений и перемещений в гибких элементах макроструктур человеческого организма ( в норме, патологии и при хирургических операциях), при этом в качестве примеров были выбраны клапаны сердца, сосуды с бляшками разной степени развития и с имплантатами, аневризматические образования, барабанная перепонка;
методов теоретического анализа и расчета конструктивно осесимметричных гибких элементов БТС - МН;
методов теоретического анализа и расчета конструктивно неосесимметричных гибких элементов БТС - МН;
Достоверность полученных результатов подтверждена согласованностью с экспериментальными и клиническими данными, соответствием результатов, полученных аналитическими и численными методами, а также сравнениями с результатами других авторов.
Практическую ценность работы составляют:
параметрические модели для предоперационной диагностики дилатации клапанных аппаратов сердца, дилатации стенозированных сосудов с бляшками разной степени развития, критического состояния аневризм;
методики исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) гибких элементов макроструктур человеческого организма в норме, патологии и при хирургических операциях;
единые методики расчета НДС и собственных частот колебаний конструктивно осесим-метричных гибких элементов и конструктивно неосесимметричных упругих чувствительных элементов;
три алгоритма и программы по расчету НДС сильфонов, гофрированных мембран и витых трубчатых элементов;
инженерные методики расчета НДС и собственных частот колебаний конструктивно осе-симметричных гибких элементов и конструктивно неосесимметричных упругих чувствительных элементов;
биотехнические системы предоперационной диагностики малоинвазивных интервенционных хирургических операций.
Результаты диссертационной работы внедрены: на отделении эндоваскулярной хирургии 2-й многопрофильной больницы г.Санкт-Петербурга; на предприятии п/я Г-4213; на Смоленском опытном заводе НИИ Техноприбор; в ЗАО "Научно-производственная фирма "Центральное конструкторское бюро арматуростроения"; в ГУН Российского ордена Трудового Красного знамени НИИ травматологии и ортопедии им.Р.Р.Вредена; в учебные процессы по дисциплинам Прикладная механика и Биомеханика и биоматериалы в Санкт -Петербургском электротехническом университете (ЛЭТИ).
Достигнутые при этом результаты и объективность диагностических параметров позволяют считать выполненное исследование как новое направление в разработке БТС - МН, имеющее важное народно - хозяйственное и социальное назначение. В работе получены результаты, подтверждающие этот вывод.
12 Апробация работы. Основные научные и практические результаты работы докладывались и обсуждались на 42 всесоюзных, республиканских и международных научных и научно-технических конференциях и 2-х рабочих совещаниях, проводимых Академией наук — "Биомеханика - 2001", "Биомеханика- 2003", в том числе:
международных конференциях по электроннолучевым технологиям (Варна, 1991 г., 1994 г.), "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1991 г., 1994 г.), "Информатика в медицине" (Рига, 1991 г.), "Методы расчета электронно-оптических систем" (Алма-Ата, 1992 г.), "Измерительно-информационные технологии в охране здоровья" (Санкт-Петербург, 1995 г.), по теории оболочек и пластин (Казань, 1995 г., Пермь, 2001 г.), "Человек и его здоровье" (Санкт-Петербург, 1997 г.), "Физика и радиоэлектроника в медицине и биотехнологии" (Владимир, 1998 г., 2000 г.), по электростимуляции и электрофизиологии сердца (Санкт-Петербург, 1998 г.), "Современные методы дифференциальной и топической диагностики нарушения слуха" (Москва, 1999 г.), "Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья - 99" " (Санкт-Петербург, 1999 г.), по мягким вычислениям и измерениям " (Санкт-Петербург, 2000 г., 2002 г.), "Информационные технологии в образовании, технике и медицине" (Волгоград, 2000 г.), по биомедицинскому приборостроению "БИОМЕДПРИБОР-2000" (Москва, 2000 г.), "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2001 г.), Society of Biomechanics (Wroclaw, 2002 г.), "Третьи Поляховские чтения" " (Санкт-Петербург, 2003 г.); всесоюзных и республиканских конференциях и симпозиумах по пневматическим (газовым) приводам и системам управления (Москва- Тула, 1977 г.), "Перспективы развития упругих чувствительных элементов приборов" (Казань, 1977 г.), "Измерения и контроль при автоматизации производственных процессов" (Барнаул, 1982 г., 1991 г.), "Проблемы проектирования и механизации производства гибких металлических трубопроводов и сильфонов" (Уфа, 1982 г.), "Теория пластин и оболочек", (Таллин, 1983г.), "Системы для аналитических преобразований в механике" (Горький, 1984 г), "Методы прогнозирования надежности проектируемых РЭА и ЭВА" (Пенза, 1987 г., 1988 г.), "Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика" (Кутаиси—Ткибули, 1988 г.), "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте" (Ленинград, 1990 г.), "Аналитические преобразования на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ" (Вильнюс, 1990 г.), конференция по биомеханике (Нижний Новгород, 1994 г., 1996 г., 2000 г., 2002 г.), "Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность" (Санкт - Петербург, 1996 г., 1997 г., 1998 г.), "Прогресс и проблемы в лечении заболеваний сердца и сосудов" (Санкт- Петербург, 1997 г., 2000 г.), по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), по эндоваскулярной хирургии врож-
13 денных и приобретенных пороков сердца, коронарной и сосудистой патологии (Москва,
г.), "История и тенденции развития науки на пороге XXI века" (Санкт - Петербург,
г.)
Публикации. По теме диссертации опубликованы 86 научных работ, из них - 1 монография, 33 статьи, 6 материалов и трудов конференций, 3 алгоритма и программы, авторское свидетельство на изобретение, тезисы к 42 - м докладам на международных, всесоюзных и республиканских конференциях. Материалы диссертации включены в два учебника с грифом министерства.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы, включающего 192 наименования. Основная часть работы изложена на 244 страницах машинописного текста. Работа содержит 213 рисунков и 33 таблицы.
В первой главе проведен анализ проблем, связанных с разработкой биомеханических принципов диагностики и методов проектирования гибких элементов медицинских систем и созданием биотехнических систем на их основе, и сформулированы биомеханические принципы диагностики. Широкий диапазон возможностей методов коррекции патологий определяет поиски путей рационального хирургического воздействия и приемлемых конструкций для их реализации. Во всех принципиальных направлениях рассмотренных проблем - медицинских, технических и фундаментальных -неотъемлемой частью является моделирование биологических объектов на основе биомеханики. При этом построение моделей функционирования структур человеческого организма в норме, патологии и при хирургических операциях целиком и полностью зависит от использования всего арсенала новых методов и средств исследования. Проведенный анализ показывает, что, несмотря на значительное разнообразие в строении и функционировании биологических структур, в величинах и характере испытываемых ими внешних воздействий, при их биомеханическом моделировании встают общие проблемы, а сами построенные модели страдают общими несовершенствами: упрощены формы биологических объектов, не учитывается неоднородность механических свойств составляющих их структур, характер сопряжения с соседними структурами. Основная сложность при построении математических моделей для исследования напряженно-деформированного состояния биологических объектов заключается в выборе адекватной модели для описания структуры ткани и ее механических свойств.
В медицинских технических системах широко применяют гибкие упругие элементы: сильфоны, мембраны, манометрические трубки в качестве преобразователей в датчиках для измерения физиологических параметров (артериального и венозного давлений, вентиляци-
онных функций легкого, контактных давлений между подвижными и неподвижными биологическими структурами), компенсаторов деформаций, разделителей сред. Одно из основных свойств тонкостенных гибких элементов, влияющих на конструкцию изделия в целом,- жесткость. Для одних изделий важно обеспечить постоянную жесткость (линейную характеристику) упругих чувствительных элементов во всем диапазоне нагружения, для других - заданную нелинейность характеристики этих элементов. Для компенсаторов деформаций и разделителей сред, особенно важно добиться минимальной жесткости. Для борьбы с динамическими погрешностями изделий, при их конструировании и расчете необходимо обеспечить определенную частоту колебаний упругих чувствительных элементов, которая зависит от их геометрических параметров, механических характеристик и нагрузки. Статическая и динамическая прочность гибких тонкостенных элементов, долговечность и усталость определяются возникающими при нагружении напряжениями. Следовательно, основная общая задача теоретического исследования и расчета этих гибких тонкостенных элементов состоит в определении перемещений, напряжений и частоты колебаний как функций геометрических параметров, свойств материала, численного значения и характера действующей нагрузки. До недавнего времени, алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния строился независимо для каждого типа гибкого упругого элемента. Для некоторых важных типов конструкций алгоритмов не существовало, отсутствовали исследования. Для большинства типов не учитывались граничные условия, алгоритмы строились, как правило, в геометрически линейной постановке. Для гофрированных конструкций отсутствовали расчеты собственных частот колебаний. Это тормозило широкое внедрение в производство необходимых типов упругих элементов, не позволяло выбрать их наиболее рациональные формы и размеры, а, следовательно, снижало качество медикотехнических систем, основанных на применении упругих элементов, и ограничивало создание различных устройств новой техники.
Заменители биологических тканей используют как для временного, так и пожизненного внутритканевого протезирования. При их создании необходимо познать сложные закономерности взаимодействия биологических тканей и их заменителей. Внедренные в организм заменители биологических тканей должны быть биологически, биомеханически, физически и химически совместимы с ними. Патологические процессы, протекающие в органах, значительно изменяют механические свойства тканей как в локальной зоне патологического образования, так и в соседних структурах. В литературе отсутствуют сведения о механических свойствах патологических образований. В то же время, для разработки предоперационных диагностик и технологий медицинских операций, необходимы исследования механических свойств тканей и патологических структур конкретного больного, полученные in vivo.
15 Для выработки четких опознавательных признаков, по которым можно методами биомеханики прогнозировать эффективность лечебного воздействия, необходимо создать систему оценок, состоящую в : 1) выделении основополагающих биомеханических признаков патологии; 2) создании модели поведения измененной ткани и естественных конструкций в условиях инструментального воздействия; 3) определении на базе разработанных моделей границы механических воздействий, направленных на коррекцию биологической структуры; 4) прогнозировании поведения различных элементов восстановленной биологической структуры.
Проведенный анализ позволяет обосновать выбранное направление исследований, сформулировать цели и задачи работы, решение которых является основой для создания нового направления - биомеханические принципы диагностики и методы проектирования гибких элементов медицинских систем и разработка биотехнических систем на их основе.
Вторая глава носит методический характер. С единых позиций механики деформируемого твердого тела и при единой терминологии, крайне сжато, без промежуточных выкладок представлены необходимые для дальнейших преобразований основные соотношения и разрешающие уравнения, полученные при построении теоретических основ расчета напряженно - деформированного состояния тонкостенных оболочек (Ляв А., Власов В.З., Вольмир А.С., Гольденвейзер А.Л., Лурье А.И., Новожилов В.В., Черных К.Ф., Аксельрад Э.Л.) и тонкостенных стержней (Тимошенко СП., Власов В.З., Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Г., Уманский А.А., Аксельрад Э.Л., Голубев О.Б.). Необходимость включения в работу главы такого характера предопределяют громоздкость преобразований и различие в терминологии и обозначениях, принятых в работах по теории оболочек, теории стержней, методам конечных элементов, и возможность избежать большого числа ссылок на формулы из этих первоисточников при построении математических моделей для гибких элементов БТС - МН. Приведена оценка погрешностей, обусловленных гипотезами и допущениями, введенными при построении теорий. Рассмотрен единый способ решения задач теории оболочек и теории стержней. Аналитические решения для прикладных задач в рядах Фурье (Ланцош К.), применяемые для пластин и оболочек (Тимошенко СП., Вольмир А.С, Аксельрад Э.Л.) в удобной матричной форме (Лурье А.И., Аксельрад Э.Л ), распространены на аналитические решения задач естественно закрученных тонкостенных гибких элементов.
Приведены, используемые для построения математических моделей осесимметричных гибких элементов, системы уравнений типа Мейсснера четвертого порядка, определяющие функции напряжения * и функции угла поворота нормали к срединной поверхности Э. Через эти функции представлены выражения внутренних сил и параметров деформации.
Вопросы, связанные с введением исходных гипотез теории тонкостенных стержней,
рассмотрены Джанелидзе Г.Ю. и Пановко Я.Г.. Работы Голубева О.Б. и Аксельрада Э.Л. обобщают ранее разработанные теории стержней и позволяют учитьшать кривизну и кручение стержня. В них введены две координатные функции, учитывающие только депланацию стержня. Разработанная теория не учитывает деформацию стержня в своей плоскости. Характер деформации естественно закрученных и искривленных гибких элементов произвольного профиля предопределяет необходимость введения функций, учитывающих деформацию стержня в своей плоскости.
Аналитические методы, являющиеся самостоятельным аппаратом для исследования гибких элементов, в то же время необходимы для проверки результатов вычислений, полученных методом конечных элементов. Недостаток метода конечных элементов состоит в сложности получения априорных оценок проводимых вычислений. Для проверки надежности метода необходимо сопоставлять результаты вычислений с данными экспериментальных исследований, либо с результатами, полученными при использовании других методов. Экспериментальные исследования далеко не всегда осуществимы для гибких элементов макроструктур биологических объектов и использование аналитических методов порой единственный путь проверки результатов, полученных методом конечных элементов.
В третьей главе рассмотрены теоретические основы построения моделей для исследования и проектирования гибких элементов медицинских систем. Дано обоснование разделения при построении математических моделей всех типов гибких элементов на два вида - конструктивно осесимметричные и конструктивно неосесимметричные. Обсуждается целесообразность использования в качестве разрешающих уравнений для конструктивно осесиммет-ричных моделей нелинейных уравнений осесимметричной деформации тонкостенных оболочек вращения.
Предусмотрено задание геометрических параметров: формы профиля, высоты и шага гофрировки, толщины при различных законах изменения вдоль меридиана осесимметрично-го гибкого элемента как в аналитическом виде, так и координатами точек. Математические модели для конструктивно осесимметричных гибких элементов построены для исследования осесимметричной деформации, чистого и плоско - поперечного изгибов. За один полупериод геометрии упругого элемента произвольного профиля, на концах которого % = 0,л, можно выбрать как всю длину меридиана упругого элемента, так и какую-то его часть, например полугофр, Рассмотрено частное решение уравнений Мейсснера для каждого полугофра в отдельности и обеспечено сопряжение полугофров путем построения общего решения. В уравнениях форма поперечного сечения к -го полугофра гибкого элемента учитывается величинами sin or, cosa, как функциями от независимой переменной (- безразмерная координа-
17 та , равная отношению длины меридиана срединной поверхности полугофра sk, отсчитываемой от выбранного начала координат, к приведенному радиусу Ък = L/ t где Lk -длина
развертки полугофра к). Эти функции представлены разложениями в ряд Фурье.
Действующие на гибкий элемент при осесимметричной деформации нагрузки — распределенная q и сосредоточенная Р2 - разделены на несколько ступеней нагружения qf, Р21. Для
значений <7,, Pzl, последовательными m приближениями при решении исходных систем
уравнений определены значения функций Мейсснера «9*, ц/кт для каждого к - го полугофра.
После подстановки выражения #*, ц/кт в исходные системы уравнений, получены основные системы разрешающих уравнений для каждого к -го полугофра. На линии сопряжения полугофров выполнены четыре граничных условия: 1) равенство относительных окружных удлинений; 2) равенство изменений углов поворота нормали к срединной поверхности; 3) равенство радиальных усилий и 4) равенство меридиональных изгибающих моментов.
Методика расчета и исследования гофрированных мембран неравномерного профиля по методу малого параметра представляет собой решение комбинации уравнений метода Буб-нова-Галеркина в варианте Папковича и в варианте Власова. Угол поворота 3 задан девятью координатными функциями. Выбраны координатные функции трех типов, учитывающие общее перемещение мембраны, разгибание гофров, растяжение - сжатие гофрировки параллельно средней плоскости мембраны. Расчет собственных частот колебаний проведен по методу Рэлея и по методу Галеркина. При расчете колебаний нагруженной мембраны, наряду со статической распределенной нагрузкой учтена составляющая инерционных сил
Разработаны теоретические основы конструктивно неосесимметричных гибких элементов. Положение произвольной точки естественно закрученного и искривленного стержня произвольного поперечного сечения определим в правых координатных системах s,x,y и д,,г]. Координатная линия s - линия центров тяжести поперечного сечения стержня, координата S - длина дуги, измеренная от некоторой начальной точки 0. Начало координат х,у совпадает с точкой оси стержня, а направление осей х,у - с главным осями инерции сечения. Координатные линии tj - линии пересечения срединной поверхности с плоскостями поперечных сечений, -прямые, лежащие, как и 77,в плоскостях поперечных сечений и направленные по внешней нормали к профилю. Координатные линии (rj = const,х = const,у = const) не ортогональны линиям jj и плоскостям х, у вследствие естественной закрученности стержня.
Для рассмотрения напряженно-деформированного состояния витой манометрической пружины введено четыре координатные функции. Первая - функция депланации - определяется из решения задачи о чистом кручении цилиндрической оболочки того же сечения. Для обеспечения равенства нулю направленных по нормали к контуру поперечного сечения касательных напряжений, введена сопутствующая функция, определенная по функции депланации. Третья и четвертая координатные функции связаны с деформацией поперечных сечений. Вектор перемещений произвольной точки гибкого элемента представлен в виде суммы составляющих векторов перемещений: перемещений точки оси, перемещений при повороте сечения как жесткой плоскости, перемещений при деформации сечения в плоскости и перемещения в направлении продольной оси при депланации сечения. Уравнения равновесия составлены при посредстве принципа виртуальных перемещений приравниванием вариации потенциальной энергии элементарной работе внешних сил. Для рассматриваемых профилей использовано кусочно- аналитическое задание функций.
В четвертой главе разработаны математические модели: 1) для исследования напряженно-деформированного состояния в клапанных аппаратах сердца и кровеносных сосудах; 2) для определения критического состояния аневризматических образований; 3) для исследования напряженно- деформированного состояния в барабанной перепонке при ее патологии -мезатампаните, при фенестрации и при образовании в зоне перфорации структур с отличными от нормы механическими свойствами; 4) для исследования деформированного состояния участков кожи. Результаты вычислений сопоставлены с клиническими и экспериментальными данными.
Малоинвазивные хирургические операции основываются на катетеризации сосудов и сердца и активном изменении русла внутри сосудов и клапанов сердца. Эффективность хирургического вмешательства достигается селективным воздействием на патологически измененную часть структуры человеческого организма. Операции выполняются на работающем органе. Для выбора технологии и тактики хирургических операций на клапанах сердца и сосудах, необходимо иметь четкое представление: 1) о морфологии и геометрических параметрах оперируемого объекта и сред, функционально связанных с ним и входящих в пространство воздействия инструмента, 2) о механике работы клапанов и сосудов и механических свойствах их структур, 3) о гемодинамике процессов, происходящих в сосудах, клапанном аппарате и камерах сердца, 4) об изменениях механических свойств и функционирования сосудов и клапанного аппарата при различных патологиях. При малоинвазивных интервенционных хирургических операциях в настоящее время превалируют технологии баллонной ди-латации. Проанализированы наиболее вероятные отклонения от нормы в процессе патологи-
19 ческой перестройки клапанов и сосудов и рассмотрено влияние различных патологий на структуру и механические свойства элементов клапанного аппарата и кровеносных сосудов. Створки и лепестки клапанов могут иметь разную толщину, длину, гибкость, подвижность, выраженность изменений подклапанных образований, фиброз и кальциноз, степень открытия отверстия. Все это, вместе взятое, влияет на выбор технологии операции. При дилатации клапанов и кровеносных сосудов применяют баллоны двух модификаций — "гибкие" и "жесткие". "Гибкие" баллоны увеличивают размеры по мере увеличения давления. "Жесткие" баллоны имеют ограниченный максимальный диаметр. Операция на клапанах должна быть направлена на то, чтобы, с одной стороны, расширить отверстие и увеличить площадь его сечения, а с другой - сформировать его по-новому, сделать его элементы более гибкими, подвижными и максимально приблизить их к нормальному состоянию. Вероятность разрушения комиссур и сохранения целостности створок различна при разных сочетаниях изменений створок, подклапанных структур и сращений. Поэтому, для того, чтобы судить о механизме вальвулопластики при воздействии на клапан со стороны деформирующего баллона, необходимо принимать во внимание три основных фактора: реальную конструкцию патологически измененного клапанного аппарата, механические характеристики материалов и значения допускаемых напряжений. При дилатации стенозированного клапана может происходить существенная деформация как на уровне створок и лепестков, так и на уровне фиброзного кольца. Построены математические модели для исследования перемещений и напряжений при дилатации фиброзных колец и створок клапанов. Нагрузка на аортальный, легочный и трикуспидальный клапаны приложена по всей внутренней поверхности фиброзного кольца, а на митральный клапан на участке, составляющем 50% от внутренней поверхности фиброзного кольца. Математические модели построены при следующих допущениях: 1) макроструктуры клапанных аппаратов — трехмерные тела; 2) материалы створок, атриовентрикулярной перегородки, фиброзных колец, фиброзных треугольников и сухожилия артериального конуса однородные и изотропные; 3) начальные напряжения в структурах клапанных аппаратов отсутствуют; 4) нагрузка р распределяется равномерно по всей внутренней поверхности фиброзного кольца аортального, трикуспидального и легочного клапанов, а на фиброзном кольце митрального клапана, в начале нагружения, на участке, составляющем 50% от его внутренней поверхности. Вычисления проведены методом конечных элементов при разбиении биологических структур на 100 - 120 тысяч тетраэдальных элементов. Приведены результаты вычислений перемещений и напряжений при дилатации фиброзных колец и створок клапанов.
На различных стадиях развития бляшки изменяются ее морфологические, геометрические и механические характеристики. Атеросклеротическая бляшка на ранней стадии развития имеет фибромускулярное строение. При баллонной дилатации таких бляшек происходит растяжение сосудистой стенки и вдавливание массы бляшки в стенку артерии. Атеросклеро-тические бляшки поздней стадии развития являются самыми частыми объектами коронарной ангиопластики. Обычно часть внутренней эластичной мембраны повреждена и затронут также медиальный слой стенки сосуда. Фиброзная крышка бляшки или организованный пристеночный тромб на ней сужают просвет артерии.
Построены две математические модели дилатации стенозированного сосуда. В первой математической модели дилатируемый сосуд представлен пятислойной оболочкой. Слои отражают механические свойства медии, интимы, бляшки, крышки бляшки и баллона. Материал каждого слоя однородный и изотропный. Вторая математическая модель позволяет также учитывать воздействие гибких структур, окружаюших венечную артерию -перикарда и миокарда, а так же радиус кривизны рассматриваемого участка миокарда в систолу RMC и в диастолу R^ и относительное сужение миокарда в систолу. Вычисления проведены методом
конечных элементов при разбиении биологических структур на 100 тысяч тетраэдальных элементов. Проведены результаты вычислений перемещений и напряжений в венечных артериях с осесимметричными и неосесимметричными бляшками разной стадии развития, дила-тированных баллонами различной жесткости.
Для решения вопросов активной восстановительной хирургии сосудов с аневризматиче-скими образованиями, необходимы точные сведения о размерах аневризмы, толщине ее стенки, особенностях топографо-анатомического расположения, условиях взаимодействия с окружающими тканями, сведения о гемодинамике в окрестности аневризмы и о механических свойствах стенки аневризмы. Одной из важных задач для построения системы предоперационной диагностики является анализ критического состояния аневризмы. В основе этого анализа лежат исследования напряженно-деформированного состояния аневризматического образования. Математические модели аневризм построены при допущениях, что материал аневризм однородный и изотропный. Приведены результаты вычислений перемещений и напряжений для сферических и неосесимметричных аневризм.
При построении математической модели барабанной перепонки введены следующие допущения: материал барабанной перепонки однородный и изотропный, барабанная перепонка - гибкая неосесимметричная, жестко защемленная по наружному контуру оболочка, барабанная перепонка находится под воздействием избыточного гидростатического давления со стороны наружного слухового прохода и распределенной нагрузки по поверхности в зоне
контакта барабанной перепонки и рукоятки молоточка, не учитывается предварительное напряженное состояние оболочки, площадь контакта головки молоточка с барабанной перепонкой 1 мм2, центр площадки контакта находится на расстоянии 3,68 мм от вершины барабанной перепонки.
Математическая модель деформируемого участка кожи построена в предположении, что материал кожи однородный, изотропный, с конструктивным модулем упругости Ек = 0,01 МПа. Вычисления проведены по методу конечных элементов и использованием пакета прикладных программ COSMOS.M при разбиении участка кожи на 480 тетрагональных элементов.
В пятой главе рассмотрены инженерные методы расчета гибких упругих элементов медицинских технических систем. В широком диапазоне изменения геометрических параметров на базе разработанного и реализованного на ЭВМ алгоритма расчета проведены вычисления напряжений и перемещений для несимметричных сварных сильфонов со складывающимися гофрами, имеющими утолщения вдоль оси сопряжения. По результатам вычислений построены графики упругих характеристик и экстремальных напряжений в зависимости от действующей нагрузки и геометрических параметров УЭ и проведен анализ этих зависимостей. Расчет перемещений, напряжений и собственных частот колебаний проведен для гофрированных мембран, у которых высота и шаг от гофра к гофру изменяются по геометрической прогрессии с соотношением наименьшей высоты к наибольшей от 0,2 до 1. Исследовано влияние высоты гофрировки, толщины, радиуса заделки, радиуса плоского центра, числа гофров и параметра неравномерности профиля на характеристику гофрированных мембран. Исследовано напряженное состояние мембран, находящихся как под действием распределенной, так и сосредоточенной нагрузок. Экстремальные значения мембранных и изгибных напряжений в мембранах различной толщины и формы возникают при различных значениях относительно радиуса р. При прочих равных условиях, напряжения в гофрированной мембране уменьшаются при увеличении высоты гофрировки, толщины мембраны и коэффициента неравномерности профиля и возрастают при увеличении наружного радиуса. Гофрированные мембраны большей толщины, с более высоким модулем упругости, меньшим радиусом заделки и меньшей плотностью имеют более высокую частоту собственных колебаний, причем величина радиуса заделки сказывается наиболее существенно.
Все расчетные формулы для определения прогибов, напряжений, собственной частоты колебаний приведены к такой структуре, когда правая часть представляет собой произведение физических и геометрических параметров на некоторый безразмерный параметр, величина которого определяется через функции у/ и 3. Для определения этих безразмерных па-
22 раметров построены графики в широком диапазоне изменения геометрических величин. Результаты расчета сопоставлены с экспериментами.
Получены выражения, определяющие величины частных погрешностей прогибов, напряжений и собственных частот колебаний гофрированных мембран в зависимости от величин, характеризующих полуразность предельных отклонений «толщины наружного радиуса, модуля нормальной упругости и плотности.
В шестой главе построена инженерная методика расчета конструктивно неосесиммет-ричных упругих элементов и проведено исследование напряженно-деформированного состояния манометрических пружин и свертываемых тонкостенных трубок с продольным разрезом прзадании сен-венановых граничных условий. На базе разработанного и реализованного на ЭВМ алгоритма расчета проведены вычисления жесткости, тягового момента, тягового усилия, напряжений, собственных частот колебаний для витых трубчатых пружин двухперьевых: линзообразного, плоскоовального, овального, восьмерчатого и эллиптического профилей, а также трехперьевых и четырехперьевых шюскоовального профиля. Исследованы и проанализированы зависимости характеристик и экстремальных значений напряжений от действующей нагрузки и геометрических параметров УЭ. Установлены взаимосвязи между отклонениями основных функциональных параметров витых пружин и отклонениями их геометрических размеров и механических характеристик материала.
Для свертываемых тонкостенных трубок с различными углами охвата, при нагружении в плоскостях, расположенных под углами от 0,5л- до 1,5л- от продольного разреза, проведены вычисления жесткости и напряжений и проанализирована их зависимость от параметров тонкостенности и изменения кривизны. На жесткость и напряженное состояние этого УЭ существенно влияют величина угла охвата и расположение плоскости изгиба относительно оси симметрии.
Вычисления, проведенные на ЭВМ, позволили вывести простые формулы для расчета и исследования углов поворота 0. витых трубчатых пружин под действием внутреннего давления q, углов поворота 0да в зависимости от действующего на конце крутящего момента
М, и для расчета и исследования тягового момента. Для определения параметров чувствительности построены графики. Аналогично представлены формулы и графики для расчета и исследования экстремальных значений поперечных напряжений ащ, о^ от действующего
давления q приложенного на конце пружины момента М^ и продольных напряжений <х в
естественно закрученной тонкостенной трубке, нагруженной осевой сосредоточенной силой Q на торце:
23 В седьмой главе рассмотрены вопросы клинического применения и исследования частью БТС - "Кровеносные сосуды" и БТС -"Клапанные аппараты". Их составной биомеханической частью являются таблицы, содержащие сведения о механических свойствах биологических структур, таблицы с характеристиками дилатирующих систем, параметрические модели кровеносных сосудов и клапанных аппаратов сердца, геометрическая программа Solid Works, программа для расчета напряженно-деформированного состояния Cosmos, алгоритмы проведения исследований и предоперационной диагностики результатов операций при использовании БТС - МН. Для рассматриваемых математических моделей необходим компьютер класса не ниже, чем Pentium Ш 750 МГц, с объемом оперативной памяти не менее 512 Mb и объемом жесткого диска не менее, чем 20 Gb. Расчет каждой из моделей на компьютерах подобного класса, при разбиении на 120 тысяч элементов, занимает порядка 20 - 30 минут
Для решения вопроса, при каких напряжениях структуры стенок кровеносных сосудов теряют свои функциональные свойства, проанализированы клинические данные (18 эхокар-диографических и 37 ангиографических изображений), на которых зафиксированы сечения стенозированных и реконструированных в результате дилатации коронарных артерий с диаметром сосуда в норме Гн = 2,8 - 3,2 мм и стенозом от 50 до 80 % (возраст 45 - 70 лет) и достижении в момент дилатации радиуса сосуда гд= (1 — 1,1)ГН , и проведено сопоставление
этих данных с результатами вычислений напряжений и перемещений в сосудах при аналогичных нагружениях. Предложена гипотеза, дающая объяснение постоянству величины упругого последействия у сосудов, дилатированных только баллоном - 0,3 Гн(гн - внутренний радиус сосуда в норме), - с последующей установкой полужесткого стента типа Multi Link -0,15 /*„, - с последующей установкой жесткого стента типа Palmaz - 0,1 гн .При деформации сегмента стенки сосуда, по мере вытеснения из него воды, пружинообразные структуры существенно деформируются и цилиндрические оболочки медиального слоя накладываются одна на другую, образуя, по мере увеличения нагрузки и вдавливания в стенку сосуда бляшки, незначительно увеличивающуюся по толщине, но значительно увеличивающуюся по жесткости многослойную конструкцию. При усилиях, возникающих между накладывающимися друг на друга оболочками, межоболочечные пружинообразные конструкции разрушаются. При баллонной дилатации только 30% наружной части стенки сохраняет свои упругие свойства. Напряжение на границе зоны сохранения функциональных свойств сосуда, в соответствии введенной гипотезой о 30% - ой зоне сохранения сосудом упругих свойств, [(Ту] = 0,61
МПа.
Рассмотрены возможности БТС - "Кровеносные сосуды" при предоперационном прогнозировании результатов рентгенохирургических операций.
Проведенные исследования влияния технологии рентгенохирургической операции на напряженное состояние при функционировании реконструированных ангиопластикой коронарных артерий позволили сделать следующие заключения. Характер распределения перемещений в зоне сопряжения дилатированного сегмента с сосудом при разных технологиях операций (дилатация только баллоном, дилатация с установкой полужесткого или жесткого стентов) заметно изменяется, но сама величина максимального перемещения изменяется незначительно, возникают незначительные деформации, столь малые, что величины экстремальных значений напряжений в зоне сопряжения дилатированного при разных технологиях сегмента и сосуда остаются фактически постоянными (1,33-104 Па) и при этом превышают экстремальное значение напряжения в сосуде в 2,6 раза. Это увеличение экстремального значения напряжения в локальной зоне в несколько раз по сравнению с экстремальным значением напряжения в сосуде, не позволяет в случае реваскуляризации проводить повторную дилатацию в окрестности сегмента в прежнем режиме нагружения и добиваться необходимого расширения сосуда.
Разработанная БТС -"Кровеносные сосуды" позволяет исследовать влияние механических свойств протеза и вновь образованного слоя на концентрацию напряжений на границе сосуд - протез. Вычисления проведены для артерии со следующими геометрическими характеристиками и механическими свойствами: наружный и внутренний диаметры сосуда соответственно D = 3,5 мм, d = 1,5 мм, dx = 2мм, внутренний диаметр протезаd2 =2,5 мм, длина протеза 30 мм, модули нормальной упругости сосуда и вновь образованного слоя Ес = 2,5 МПа, модуль нормальной упругости протеза с проросшими клетками фиброзной ткани Еп = 5 МПа. В зоне сопряжения напряжения превышают напряжения в сосуде в 2 раза.
Проведены клинические исследования дилатации фиброзных колец клапанов сердца. Выявленные существенные нарушения морфологии биологических структур и возможные разрушения клапанного аппарата определяют отрицательное отношение к проведению таких операций.
В заключении сформулированы основные результаты выполненной работы.
Проблемы исследования механических свойств биологических тканей
Моделирование биологических объектов — метод исследования явлений и процессов, происходящих в биологических структурах , основанный на построении и изучении их моделей.
Создание физических моделей основано на воспроизведении физическими способами биологических структур, функций или процессов.
Математическое моделирование биологических объектов представляет собой аналитическое описание идеализированных процессов и систем, адекватных реальным. Оно необходимо для понимания закономерностей функционирования биологических объектов в норме, патологии и при хирургических операциях и совершенствования методов ранней диагностики нарушений биомеханических свойств биологического объекта.
Исследование биологических объектов при использовании математического моделирования дает широкую возможность проводить анализ роли различных параметров в функционировании всего органа или его части.
Построив общий алгоритм выполнения организмом или его частью заданных функций, можно определить, каким набором свойств должен обладать выделенный биологический объект, входящий в рассматриваемую систему.
Идеальных систем и процессов в природе не существует, однако, полученные в результате моделирования результаты, в известных пределах можно применить к реальным процессам и системам, так как они имеют общие свойства с идеальными. Математические модели строят либо на основе экспериментальных данных, либо умозрительно, используя гипотезу или известную закономерность какого-либо явления. При этом математическое моделирование требует последующей опытной проверки.
Попытка учесть при математическом моделировании все известные особенности структуры биологического объекта приводит к резкому усложнению описывающих его выражений.
Чем сложнее исследуемая часть организма, тем менее определенной становится задача разделения ее на обособленные части и тем более неопределенными требования к характеристикам расчетных схем и математических моделей этих объектов.
Поэтому одним из основных условий математического моделирования биологического объекта является возможно более полный анализ и формализация той функции, которую он выполняет в процессе жизнедеятельности организма или его соответствующей части.
Построение математических моделей связано с очень большой и кропотливой работой по выявлению необходимых количественных данных по анатомии, морфологии и физиологии исследуемого объекта и его механических свойств. Многие необходимые данные отсутствуют в литературе, а механические свойства исследуемого объекта, если и удается обнаружить, часто получены при исследованиях in vitro. Поэтому при выполнении работы необходим тесный контакт с представителями медицинских специальностей, специализирующихся в конкретной области. Расчетные схемы и математические модели строят при введении большого числа гипотез. Это необходимо помнить, анализируя результаты исследований и высказывая определенные суждения как о функционировании биологического объекта, так и о диагностике заболеваний органа и системы.
Биомеханические модели биологических объектов должны удовлетворять следующим требованиям: 1) качественно воспроизводить реальные механические процессы в структурах и органах биологического объекта в физиологических состояниях; 2) описываемые ими процессы должны соответствовать фундаментальным законам функционирования биологической системы.
В [2] выделены основные области исследований в биомеханике. Моделирование в биомеханике привлекает внимание многих исследователей [3-6]. Это связано с большим количеством проблем, затрагиваемых при изучении биологических объектов. С использованием методов и результатов моделирования биологических объектов связаны интересы представителей разных специальностей - от практикующего врача до математика-теоретика.
Основными проблемами, рассматриваемыми в процессе изучения моделей биологических объектов, являются: 1. Познание принципов функционирования биологических объектов; 2. Развитие представлений о функционировании и патологии биологических объектов; 3. Изучение методов улучшения функционирования биологических систем при различных внешних воздействиях; 4. Разработка методов лечения болезней; 5. Разработка и совершенствование систем диагностики; 6. Зависимость характеристик моделей биологических объектов от значений вводимых в модель параметров; 7. Познание процессов функционирования биологических систем.
Проводимые на моделях исследования позволяют строить диагностику нарушений функций организма и медикаментозную оптимизацию функций организма.
Модель дает значительно больше информации о биомеханике биологического объекта, чем можно получить современными средствами измерений. При анализе поведения модели, варьирование значениями параметров дает возможность определить роль каждого из них на проявление синдрома, а, следовательно, рассмотреть множество его вариантов и сочетаний с другими симптомами.
Важнейшие вопросы современной хирургии - внедрение новых медицинских технологий, выбор технологии хирургического вмешательства в каждом конкретном случае и прогнозирование результатов этого вмешательства. Решение этих вопросов возможно в результате фундаментальных исследований биологических структур в норме и патологии на базе биомеханических моделей. Проиллюстрируем сказанное на примерах кардиохирургии [7-16]. Огромные успехи хирургии сердца и сосудов в сочетании с обширным арсеналом медикаментозных средств спасли от внезапной смерти и вернули к активной жизни многие миллионы больных.
Любые хирургические вмешательства на сердце и сосудах предполагают устранение причин, нарушающих нормальный кровоток, на максимально длительный срок. Условием успешного выполнения операций является топическая (местная) и функциональная диагностика поражения, использование наиболее рационального пути его устранения и создания конструкций, оптимально отвечающих требованиям длительного непрерывного существования в условиях механической и биологической совместимости.
Различные технологии, которые используются для реализации этих целей, далеки от совершенства. Основным их недостатком является отсутствие достоверной информации о механических свойствах объекта хирургического вмешательства.
Знания общебиологического характера о вероятном строении стенки миокарда и сосуда или клапана сердца не позволяют точно смоделировать индивидуальные адекватные условия на месте поражения. В результате во многих случаях не удается достичь желаемого лечебного эффекта и операция сопровождается многими, часто мало прогнозируемыми осложнениями.
Разрешающие уравнения для осевого растяжения оболочки враще ния и чистого изгиба стержня- оболочки
При решении задачи о поперечном изгибе оболочки вращения , нагруженной на краях = ,,2 усилиями ,статически эквивалентными Рх и Му (см. рис. 2.2,а), и задачи о пространственном изгибе и кручении стержня-оболочки, нагруженного на краях 9 = 0, , усилиями , статически эквивалентными моменту Мх и силе N (см. рис. 2.2,6), используется полная система соотношений теории тонких оболочек. Внешние нагрузки, действующие на оболочку вращения и стержень - оболочку и периодические по параметру (р, задаются разложениями по формулам (2.10) , (2.11) при / = 1. Внутренние силовые факторы также представляют разложениями в тригонометрические ряды в соответствии с выражениями coscp, sirup при / = 1. При решении задачи в линейной постановке, внешним силам, изменяющимся по закону cos , sin 9, соответствуют внутренние силовые факторы и параметры деформации, изменяющиеся также по закону coscp, sin 9.
Выражения для параметров кривизны деформированной оболочки с учетом формул (2.1), (2.9), (2.10), (2.11) принимают следующий вид:
Разрешающие уравнения получим в результате подстановки в формулы (2.31) , (2.32) выражений для амплитуд внутренних усилий (2.38) и параметров деформаций (2.40) при учете соотношений упругости и устранении пренебрежимо малых по отношению к главным членам. Так как теория тонких оболочек построена на допущении, что толщина h мала сравнительно с интервалом А изменяемости функций, описывающих напряженное состояние, то при \/}ЛУу) /А величина /j2 и следовательно, члены разрешающих уравнений, величина которых сравнительно с главными порядка
Теория тонкостенных стержней открытого и замкнутого профилей [80] построена в развитие работ [81 - 84]. Она объединяет теории тонкостенных стержней открытого [82] и закрытого [83] профилей и позволяет, как и работа [84], учитывать кривизну и кручение стержня.
Вопросы, связанные с введением исходных гипотез теории тонкостенных стержней, рассмотрены в [85]. Основная из них содержит предположение о том, что для построения теории стержней достаточно предположить, что вектор перемещения Lf(s,X,y) произвольной точки стержня можно аппроксимировать при помощи небольшого числа выбранных функций U \х,у) суммой вида где: її - поступательное перемещение поперечного сечения; 0- поворот поперечного сечения как жесткой плоскости вокруг точки г = 0, лежащей на оси s. Функции U (х,у) определяют депланацию сечения \UJ2T) И деформации в его плоскости \UJxi + Ujyj). В [80] введены только 2 координатные функции, учитывающие депланацию. Разработанная теория не учитывает деформацию стержня в своей плоскости.
Если функции, определяющие геометрию тонкостенных элементов и напряженно-деформированное состояние, периодические, их можно представить разложениями в ряды Фурье. Например, подставив разложения функций в разрешающие уравнения (2.24), (2.46) и приравняв коэффициенты при cosj%, siny , j = 0,1,... в обеих частях каждого уравнения, получим систему линейных алгебраических уравнений. Эта система определяе5 оэффициенты Фурье искомых функций Мейсснера S{), Р() Функцию, представленную рядом Фурье, можно рассматривать как вектор, компонентами которого являются коэффициенты Фурье.
Символьный язык, введенный для рассмотренных операций, значительно упрощает все преобразования и дает возможность представить разрешающие уравнения в компактной форме.
В рассматриваемых ниже задачах, разрешающие функции 4 , 9 представлены тригонометрическими рядами по cosy , sinу . Функции Ч? , 9 и их производные связаны отношениями через интервал изменяемости функций: 1 1 I.V.I 1 —№ —№;-у 0 —-ДО; А = —, и, А1 (2.61) где п - номер некоторой средней из основных гармоник.
Если известно, что интервал изменяемости разрешающих функций A 0,\R и, следовательно , \rni. 0,01, (2.62) то можно оценить и отбросить в разрешающих уравнениях (2.24), (2.46) пренебрежимо малые члены, после чего разрешающие уравнения примут вид
Разрешающие функции в задачах об осесимметричной деформации гибких тонкостенных элементов
При выбранных пределах интегрирования =0, 0 = Z , для случая нагружения гибкого упругого элемента равномерным (нормальным) давлением по формуле (2.17), выделим осевую силу Pz =Рг\уіЛ. Используя формулы (2.26) и (2.27), представим выражение для безразмерного параметра осевой силы на к -м полугофре Pl=ql\trk_{skm)s\njtdt . о М
Толщина стенки гибкого упругого элемента может изменяться по любому закону вдоль меридиана полугофра. По известному закону изменения толщины вычисляем значения параметров tk( ,), dk{ ) в точках вдоль меридиана срединной поверхности. По вычисленным значениям tk{gj, dk{g ), пользуясь одним из стандартных методов (например, методом наименьших квадратов), определяем коэффициенты А0,А1,А2, для функций /( ) и коэффициенты В0,В],В2, для выражения функции d{%) /fe) = А0 + А, - Аг ; d{4) = В0 + в, - в242. Функции /( ff), d{) представляем разложениями в ряды Фурье, в которых нулевые члены имеют вид: 1Г 7Г « а все последующие от /=1 до п t) »-V(0cos/$/ ; =l)dk(g)cosj&4. Я" 0
На линии сопряжения полугофров (рис.3.3) должны быть выполнены четыре граничных условия: 1) равенство относительных окружных удлинений; 2) равенство изменений углов поворота нормали к срединной поверхности; 3) равенство радиальных усилий и 4) равенство меридиональных изгибающих моментов #(0)=4.(0) ; Г(о)= (о); 7 (0)=72,(0); На линии сопряжения каждого і-1-гои &-го полугофров все функции представим значениями при = 0. С учетом формул (2.26), (2.27) эти условия принимают следующий вид:
В системе уравнений (3.21)-(3.24) функции Мейсснера представлены в виде (3.7), (3.8). На линии сопряжения к- го и к + 1-го полугофров условия сопряжения аналогичны (3.21)-(3.24), но все функции необходимо представить значениями при = п. В месте сопряжения крайнего полугофра N при , = я с заделкой или с абсолютно жестким фланцем необходимо запретить угол поворота и окружное удлинение:
Если гибкий упругий элемент сопрягается с элементом соизмеримой жесткости, то необходимо выполнить граничные условия, аналогичные условиям на границе сопрягаемых полугофров. Последовательно для каждого значения каждого полугофра следует решать системы уравнений (3.16)- (3.18) и определять ,........... .
Значения z\m,z m,xk2m,xktm для всех значений к от 1 до N дают решение системы уравнений (3.21)-(3.25).
В [99] принят следующий порядок задания значений безразмерных параметров нагрузки и выбора числа шагов приближений на каждой ступени нагружения. На первой ступени нагружения для первого полугофра задается один из следующих параметров: ql0i =0,001; Р0 , = 0,001; 7oi - -0,001; Р0 , = -0,001, а значения безразмерных параметров для остальных полугофров пересчитывают по формулам (2.23). На каждой последующей /-й ступени нагружения параметры нагрузки задают величинами Яо, 1 0((-0 о, = К\Ро(,-\) (3.26) гДе #0(/-1) Ро{,-\) параметры нагрузки на предыдущей ступени нагружения. Угол поворота нормали к срединной поверхности полугофра сильфона на первом шаге приближения для каждой 1-й ступени нагружения задают так: при і 3 9\ = К$_х; при і 3 0 = ОД , - #_,, (3.27) где і9, ,, 9( 2- углы поворота, определенные на двух предыдущих шагах нагружения. Вычисления для каждой ступени нагружения прекращают после выполнения на каждом полугофре условия K( )-fm-M 00011 (3 28) где 9кт (л-), і9 _,(тг) -углы поворота при % = тг , рассчитанные для одной ступени нагружения при двух последовательных приближениях.
Общее число шагов приближения на каждой ступени нагружения задано равным шести. При выполнении условия (3.28), в течение шести шагов приближения на всех предыдущих ступенях нагружения для каждой последующей параметр в выражениях (3.27) принимают равным 10. Если на 1-й ступени нагружения при q\t =q\, , РІ =Р , в течение шести шагов приближения условие (3.28) не выполнено, задается другой параметр нагрузки
Биомеханика патологических образований в клапанном аппарате сердца и способы их устранения
Аневризма - значительное расширение кровеносного сосуда за счет ограниченного выпячивания его стенки или равномерного растяжения ее на определенном участке вследствие ее патологических изменений или аномалии развития. По происхождению различают врожденные и приобретенные аневризмы. Частой причиной образования аневризм служит механическое повреждение сосуда. Различают расслаивающиеся, истинные и ложные аневризмы [149, 158, 159].
Расслаивающаяся аневризма (рис. 4.54,а) образуется чаще всего в артериях и в аорте вследствие разрушения внутренних слоев сосудистой стенки и нагнетания крови через дефект в ее толщу с образованием сообщающейся с просветом сосуда гематомы.
Истинная артериальная аневризма (рис. 4.54,6) развивается, главным образом, под влиянием патологических изменений, возникших в самой стенке сосуда, и лишь изредко вследствие аррозии и травмы. Измененная стенка артерии не может противостоять давлению крови и постепенно растягивается и выпячивается. При этом она сохраняет структурные элементы, присущие данному сосуду.
Ложная аневризма (рис. 4.54,в) - патологическая полость, возникающая вследствие организации пульсирующей гематомы. Она сообщается с просветом сосуда через сквозной дефект его стенки. Этот дефект образуется в результате травмы сосуда, разрушения его стенки патологическим процессом или аррозии сосудистого анастамоза.
Истинные аневризмы имеют веретенообразную или мешковидную форму. Веретенообразная аневризма - это диффузное расширение всего периметра сосуда, связанное с циркулярным поражением его стенки на определенном протяжении (рис. 4.55,а). Мешковидные аневризмы (рис. 4.55,6) возникают при локализованном поражении одной из сосудистых стенок. В результате этого происходит выбухание стенки в виде тонкостенного мешка. В нем можно обычно различить дно, среднюю часть и шейку. Реже аневризма имеет вид круглого сферического образования (рис. 4.55,в). Большинство аневризм — приобретенные.
В настоящее время считают, что наиболее частой причиной возникновения аневризм аорты и ее ветвей является атеросклероз. Аневризматические изменения могут развиваться в любых артериях (начиная от восходящей аорты и кончая артериями диаметром до 2 мм). Сдавливания аневризмой соседних органов являются обычными осложнениями, а разрыв аневризмы практически всегда приводит к быстрой гибели.
В зависимости от размеров и локализации аневризмы, ее естественное течение приводит к развитию одного из следующих осложнений: 1. Разрыв аневризмы; 2. Расслоение стенок аневризмы; 3. Эмболизация дистальных артерий; 4. Инфицирование стенок и содержимого аневризмы; 5. Формирование фистулы с соседними органами; 6. Сдавливание соседних органов; 7. Тромбоз аневризмы [149,158,159].
Разрыв аневризмы сопровождается интенсивным, часто смертельным, внутренним кровотечением. Летальность при разрывах аневризм составляет 80% [158]. При расслаивании аневризмы кровь поступает через разрыв интимы в стенку сосуда. Эмболизация дистальных мелких артерий происходит унесенными током крови в дистальном направлении фрагменти-рованными атероматозными массами и пристеночными тромбами, сформировавшимися в просвете аневризмы.
При распространении воспалительных изменений инфицированных стенок аневризмы на их внешнюю стенку, увеличивается вероятность их разрыва, а также возможность вовлечения в воспалительный процесс соседних структур с последующей диструкцией их стенок и формированием фистулы. По мере роста, аневризма все более тесно контактирует с соседними органами. Между ними образуются сращения и появляется возможность возникновения свища между полостью аневризмы и просветом соседнего органа.
Увеличенная в размерах аневризма может сдавливать соседние органы и нарушать их проходимость. Давление стенок аневризмы аорты на жесткие ткани (кости, хрящи) может сопровождаться постепенной диструкцией последних. Так как внутренняя поверхность аневризм лишена нормального эндотелия, а в самой аневризме происходит резкое замедление кровотока, в просвете аневризмы происходит формирование тромба. Это может привести к выраженному стенозу сосуда. Более половины всех аневризм составляют аневризмы брюшного отдела аорты. В настоящее время аневризмы брюшного отдела аорты входят в первую десятку наиболее частых причин смерти у лиц пожилого и старческого возраста. Не существует эффективных методов неоперабельного лечения аневризм. Типичное хирургическое вмешательство заканчивается замещением сегмента с аневризматическим образованием сосудистым протезом (рис. 4.56) или аутовенозным шунтом [158].
При небольших аневризмах, например, аневризмах головного мозга, используют методы эмболизации и тромбирования (рис. 4.57, 4.58). Артериальные аневризмы головного мозга являются одной из частых причин внутричерепных кровоизлияний [159].
Для решения вопросов активной восстановительной хирургии сосудов с аневризматиче-скими образованиями необходимы точные сведения о размерах аневризмы, толщине ее стенки, особенностях топографо-анатомического расположения, условиях взаимодействия с окружающими тканями, сведения о гемодинамике в окрестности аневризмы и о механических свойствах стенки аневризмы. Одной из важных задач для построения системы предоперационной диагностики является анализ критического состояния аневризмы. В основе этого анализа лежат исследования напряженно-деформированного состояния аневризматического образования.
Расчетные схемы аневризм построим при следующих допущениях: 1. Материал аневризмы однородный, изотропный; 2. Купол аневризмы осесимметричен (рис. 4.59, а), а стенка аневризмы однослойная с конструктивным модулем упругости Ек.; 3. Основание аневризмы жестко закреплено в сосуде.
Математические модели для исследования напряженно - деформированного состояния аневризм мешотчатого типа различной формы (рис. 4.59) построены по схемам гибких непологих неосесимметричных оболочек [160]. Алгоритмы расчета реализованы методом конечных элементов. Исследования проведены для сосудов мозга, коронарной артерии и аорты. На рис. 4.60 - 4.61 приведены результаты вычислений перемещений и напряжений в аневризмах типа рис.4.60 с толщиной стенки 1,6 мм, диаметром ножки 5 мм, высотой аневризмы 7,5 мм, модулем нормальной упругости стенки 0,4 МПа, коэффициентом Пуассона 0,45 при внутреннем давлении 9,6-10"3 МПа и типа рис.4.61 с толщиной стенки 0,16 мм, диаметром ножки 5 мм, с максимальным радиусом кривизны меридиана аневризмы 14 мм, модулем нормальной упругости стенки 0,4 МПа, коэффициентом Пуассона 0,45 при внутреннем давлении 9.6-Ю-3 МПа.
