Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние вопроса 7
1.1 Общая история проблемы 7
1.2 Обзор научных проблем, возникающих при моделировании горения полидисперсных смесей 8
1.2.1 Особенности математического описания исследуемой среды.. 8
2 Математическая модель турбулентного горения полидисперсных топливно-воздушных смесей
2.1 Моделирование динамики газовой фазы 19
2.1.1 Осреднение характеристик сжимаемой среды 20
2.1.2 Осреднение по Фавру уравнения динамики газовой фазы 22
2.1.3 Моделирование турбулентности в рамках Ка-эпсилон модели 27
2.1.4 Рабочий вид уравнений, моделирующих газовую фазу 31
2.1.5 Уравнения динамики газовой фазы в цилиндрической системе координат 33
2.1.6 Химические взаимодействия в газовой фазе 35
2.1.7 Граничные условия для характеристик газовой фазы 39
2.1.8 Начальные условия в газовой фазе 40
2.2 Моделирование диспергированной фазы 42
2.2.1 Характеристики набора модельных капель 42
2.2.2 Динамика модельной капли 44
2.2.3 Граничные и начальные условия для модельной капли 50
2.2.4 Потоки массы, импульса и энергии от модельной капли 52
2.3 Замыкание модели. Потоки в газовую фазу и зажигание 53
2.3.1 Пересчет потоков от модельных капель на эйлерову сетку и расчет объемного содержания диспергированной фазы 53
2.3.2 Проблемы пересчета вектора импульса на эйлерову сетку в цилиндрической системе координат 56
2.3.3 Моделирование зажигания смеси 58
3 Численная модель турбулентного горения полидисперсных топливно-воздушных смесей и ее алгоритмическая реализация 61
3.1 Численный расчет параметров газовой фазы 62
3.1.1 Расчетная сетка для полей характеристик газовой фазы 63
3.1.2 Векторная запись основных уравнений газодинамической части задачи 64
3.1.3 Расщепление временного шага газовой фазы по координатам и процессам 67
3.1.4 Стадия применения локального источника 70
3.1.5 Стадия учета конвективных потоков 77
3.1.6 Стадия учета вязких или диффузионных членов уравнений газовой фазы 82
3.2 Численный расчет параметров диспергированной фазы и расчет межфазных потоков 91
3.2.1 Расчет одного шага по времени движения модельной капли... 91
3.2.2 Расчет потоков от одной модельной капли 93
3.2.3 Расчет энергии зажигания, приходящейся на модельную каплю и на узел эйлеровой сетки 96
3.2.4 Расчет величины шага по времени 97
3.2.5 Стратегия расчета одного шага по времени 98
4 Результаты вычислений
4.1 Моделирование тепломассробмена при взаимодействии капли жидкости с потоком газа 100
4.1.1 Результаты расчетов по использованной модели 101
4.2 Взаимодействие ударной волны с аэрозолем 113
4.2.1 Результаты расчетов 113
4.3 Исследование перехода горения в детонацию 124
4.3.1 Верификация теорической модели 124
4.3.2 Исследование зависимости условий инициирования детонации от параметров зажигания и начальной турбулентной энергии 126
4.3.3 Распределение некоторых параметров гетерогенной смеси при инициировании детонации в цилиндрической трубе 129
4.3.4 Исследование зависимости условий инициирования детонации от начальной температуры и начального давления смеси 134
4.3.5 Исследование зависимости условий инициирования детонации от видов функций распределения капель по размерам и от размеров 136
4.3.6 Влияние неравномерности пространственного распределения конденсированной фазы на характер переходных процессов... 140
Заключение 151
Список литературы ^2
- Обзор научных проблем, возникающих при моделировании горения полидисперсных смесей
- Осреднение характеристик сжимаемой среды
- Расчетная сетка для полей характеристик газовой фазы
- Результаты расчетов по использованной модели
Введение к работе
Актуальность темы. Повышение внимания к процессу перехода горения в детонацию вызвано новейшей разработкой пульсирующих детонационных камер сгорания. Вероятное использование этих принципов в создании новых поколений двигателей поставило проблему перехода горения в детонацию на вершину современных исследований. Переход горения в детонацию является ключевым фактором, который характеризует цикл операции пульсирующего детонационного двигателя. Поэтому стала острой проблема управления переходом горения в детонацию в газо-воздушных смесях. Проблемы образования горючих смесей и инцирования детонации в полидисперсных топливно-воздушных смесей являются ключевыми аспектами, которые предоставляют разные ограничения для создания пульсирующих детонационных устройств, особенно для пульсирующих детонационных двигателей.
Помимо указанной проблемы, остается актуальной проблема пожаро- и взрывобезопасности при аварийных выбросах сжиженных газов. Воспламенение вскипающего сжиженного газа является одним из самых опасных сценариев аварийной ситуации на объектах промышленности и транспорта, зачастую приводящей к человеческим жертвам и практически всегда - к крупным разрушениям. Опасность эта связана в частности с тем, что сжиженный горючий газ является высокоэнергетическим топливом, быстрое неконтролируемое горение которого приводит к повышению температуры окружающей среды до величин, при которых разрушается большинство конструкционных материалов, а также с тем, что в смеси пара сжиженного топлива с воздухом легко может возникнуть детонационная волна. В связи с этим актуальным является расчет условий возможного возникновения горения и детонации в топливо-воздушной смеси.
Настоящая работа посвящена как теоретическим, так и программно-алгоритмическим аспектам моделирования горения топливно-воздушных смесей. В работе подробно рассматриваются этапы построения математической модели и ее численной реализации.
Цели и задачи исследования. В настоящем исследовании решается проблема разработки математической модели горения полидисперсных топливно-воздушных смесей в рамках эйлерово-лагранжева подхода с учетом турбулентности течения, полидисперсности смеси и физико-химических превращений в газовой фазе. При моделировании используется эйлеров подход к газовой фазе и лагранжев подход к фазе диспергированной. Такой подход позволяет описать полидисперсность аэрозольной среды и изменение
размеров и свойств капель в результате физико-химических процессов, в том числе испарения и дробления, без введения дополнительных фаз.
Для достижения указанного результата необходимо решить следующие задачи.
Моделирование динамики газовой фазы - турбулизованнои смеси химически реагирующих газов с объемными потоками массы, импульса и энергии извне: от диспергированной фазы и от источника зажигания. При этом используется эйлеров подход, и турбулентность моделируется с использованием ка-эпсилон модели, к которой добавлено уравнение динамики отклонения температуры от средней.
Моделирование динамики конденсированной фазы - распыленной в турбулизованнои газе полидисперсной (то есть имеющей капли различных размеров) системы. Расчет фазы аэрозоля строится с использованием вспомогательной модели динамики единственной капли. В ней рассматривается зависимости интегральных параметров капли - скорости, массы, диаметра, температуры и др. - от условий в потоке газа в окрестности капли. Расчет ведется с учетом возможности дробления капли в потоке окружающего газа за счет возникновения неустойчивости ее поверхности. Одновременно моделируются потоки массы, импульса и энергии от капель к газу, связанные с физико-химическими взаимодействиями. При моделировании конденсированной фазы используется лагранжев подход; модель турбулентности, предложенная для конденсированной фазы, использует моделирование хаотической составляющей силы, действующей на каплю со стороны газа, на основе турбулентных параметров газа.
Моделирование химических процессов в газовой фазе. Для этого в настоящей диссертации используется система сокращенной кинетики, состоящая из трех брутто-реакций: окисление углеводорода, горение водорода и горение монооксида углерода; из этих реакций две последние -обратимые,
Разработка эффективного механизма пересчета потоков от лагранжевых модельных капель на эйлерову сетку. Проблема заключается в том, что эффективная реализация требует несколько тысяч модельных частиц, распределенных по расчетному объему, и несколько тысяч ячеек эйлеровой сетки для описания текущего состояния газовой фазы. Потоки от лагранжевой капли, вообще говоря, попадают в несколько соседних ячеек сетки, и для полного перечета их на сетку может потребоваться очень большое число операций (включая выявление номеров соседних ячеек и долей потоков, идущих туда от лагранжевой капли). Этот этап
расчета требуется значительно оптимизировать для того, чтобы добиться общей эффективности численной реализации.
Помимо моделирования поведения гетерогенной полидисперсной среды, в диссертации содержатся:
Общая постановка задача для закрытого объема, включая граничные, начальные условия, способ инициирования горения, симметрию системы и др. Фиксация набора определяющих параметров задачи.
Построение численной модели на основе математической, ее реализация и расчеты задач в конкретной постановке. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными.
Определение направлений дальнейшего развития модели.
Научная новизна. Научная новизна настоящей диссертации заключается в следующем:
Разработана новая модель горения полидисперсных топливно-воздушных смесей в закрытом объеме, использующая эйлеров подход для газовой фазы и лагранжев - для диспергированной.
В модели учтены турбулентность обоих фаз, полидисперсность диспергированной фазы и химические реакции в газовой фазе. Турбулентность учитывается с помощью ка-эпсилон модели для газовой фазы и введения стохастической составляющей силы для диспергированной фазы. Полидисперсность конденсированной фазы учитывается при помощи ее описания методом модельных лагранжевых капель. Кинетический механизм химических реакций учитывает три брутто-реакции в газовой фазе (из них две обратимых).
Учтены неравновесные эффекты при испарении и дроблении капель.
Численная модель процесса состоит, в порядке реализации перехода системы с одного временного слоя на другой, из следующих стадий:
расчета шага по времени диспергированной фазы (что реализовано полунеявным образом с решением независимых дифференциальных уравнений для каждой модельной капли);
получения потоков массы, импульса и энергии от модельных капель (сделано на основе их баланса, независимо для каждой капли);
перечета потоков на эйлерову сетку;
расчета шага по времени для газовой фазы (использовано расщепление по координатам и по процессам - конвекция, диффузия и локальный приток).
К численной модели относятся также:
процедура, связывающая вышеперечисленные стадии в определенном порядке для эффективной реализации временного шага;
процедура ввода определяющих параметров;
процедура главного цикла, описывающая прохождение процесса с течением времени.
Для реализации конвективной стадии численного расчета газовой фазы использован явный метод FCT (коррекции потоков). Для реализации диффузионной стадии использовался неявный метод с решением получающихся систем трехдиагональных уравнений методом бинарного исключения (редукции). Для локальной стадии, на которой рассчитывались баланс газовых компонент в результате химических реакций и динамика турбулентной энергии в результате ее производства и диссипации, использовались неявные методы решения получающихся дифференциальных уравнений независимо для каждой расчетной ячейки.
Был разработан эффективной механизм численного пересчета потоков массы, импульса и энергии от модельных лагранжевых капель на эйлерову сетку, служащую для описания текущего состояния газовой фазы.
Математическая и численная модели процесса построены таким образом, что они допускают дальнейшее развитие отдельных своих элементов независимо друг от друга. К таким элементам относятся, например, модель турбулентности, химическая кинетика, численная модель течения в газовой фазе, модель инициирования горения, граничные и начальные условия и др. Этот факт существенно увеличивает ценность работы, поскольку дает возможность расширять область применения уже разработанных алгоритмов к математическим моделям некоторых других процессов при добавлении к алгоритму дополнительных составляющих или их модификации.
Проведены расчеты по полученной модели с выявлением деталей процесса и со сравнением с экспериментальными данными.
Практическая значимость работы состоит в реализации теоретических исследований и методических выводов в виде замкнутой и пригодной к численной реализации математической модели процессов горения полидисперсных топливно-воздушных смесей, а также рабочих алгоритмов и программ, позволяющих проводить расчеты по этой модели. Модель позволяет рассчитывать изменение распределенных в пространстве параметров гетерогенной среды: давления, температуры, плотности, концентрации химических компонент, скорости и степени турбулизации фаз, размера диспергированных капель и других. Кроме этого модель позволяет
определить положение и скорость фронта горения. В связи с практической актуальностью тематики исследования горения и детонации полидисперсных топливно-воздушных смесей как на предмет оценки взрывоопасности промышленных объектов, так и на предмет разработки пульсирующих детонационных двигателей, эта модель может иметь значительные перспективы. Поскольку модель допускает расширение области своего применения, то перспективность ее не подлежит сомнению.
Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается использованием в исследованиях обидах уравнений механики многофазных сред, применением классических (эйлерова и лагранжева) подходов для описания фаз, сравнением результатов с экспериментальными данными, полученными независимо от автора.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы:
Хадем Дж., Никитин В.Ф., "Моделирование тепломассобмена при взаимодействии капли жидкости с потоком газа", Вестник Моск. Ун-та., сер 1 Математика, механика, 2005, № 3. (принято в печать)
Никитин В.Ф. , Хадем Дж., "Модели взаимодействия капли жидкости с потоком газа", Ломоносовские чтения, Апрель 2003, с. 107.
Хадем Дж., Никитин В.Ф. , "Взаимодействие ударной волны с аэрозолем", Ломоносовские чтения, Апрель 2004, с. 165.
N.N. Smirnov, V.F. Nikitin, J. Khadem, V.M. Shevtsova, J.C. Legros, "Detonation initiation in dispersed fuel-air mixtures", XIII symposium on combustion and explosion, Chernogolovka, February 2005.
Результаты диссертации докладывались также на семинарах кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета Московского Государственного Университета.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 156 страниц.
В первой главе сделан обзор истории рассматриваемой проблемы и современного ее состояния. Приведен обзор научных проблем, возникающих при моделировании горения полидисперсных смесей. Рассмотрены особенности математического описания исследуемой среды, учитывающие турбулентность, полидисперсность конденсированной фазы и проблема зажигания смеси. По каждой из этих проблем указываются особенности моделирования, присущие настоящей диссертационной работе.
Во второй главе изложена математическая модель проблемы. Приведены все этапы ее вывода, а также полный список определяющих параметров
конкретной задачи о горении полидисперных топливно-воздушных смесей в замкнутом объеме цилиндрической формы. Основными разделами второй главы являются: моделирование динамики газовой фазы (вывод уравнений движения в рамках эйлерова подхода, динамики турбулентных параметров и химических взаимодействий в рамках ка-эпсилон модели, к которой добавлено уравнение динамики отклонения температуры от средней); моделирование диспергированной фазы (моделирование динамики пробных капель в рамках лагранжева подхода, расчет потоков в газовую фазу); моделирование зажигания, а также перечета межфазных потоков на эйлерову сетку в целях замыкания модели.
В третьей главе рассматривается численная реализация математической модели. В начале главы приводится обзор основных численных методов, используемых для решения отдельных частей проблемы, далее рассматриваются отдельно: реализация моделирования динамики газовой фазы (с расщеплением шага по времени по гиперболическим, параболическим и локальным процессам, а также по координатам); реализация моделирования диспергированной фазы с расчетом межфазных потоков и их пересчетом на эйлерову сетку; реализация моделирования зажигания и общая конструкция алгоритма прохождения временного шага.
В четвертой главе представлены результаты расчетов, сделанных на основе решения конкретных задач с использованием численной модели, изложенной в предыдущей главе. В первой задаче, тестируется модель испарения и дробления капель жидкости при взаимодействии с потоком газа. Во второй задаче рассмотрено взаимодействие полидисперсного облака капель с набегающей на них ударной волной. В третьей задаче исследованы вопросы перехода горения в детонацию в полидисперсных углеводородо-воздушных смесях.
В заключении приводятся основные выводы, касающиеся построения и апробации модели.
Автор считает своим долгом поблагодарить своего научного руководителя профессора Смирнова Николая Николаевича за его постоянное внимание к работе, поддержку и ценные замечания. Автор благодарит доцента Никитина Валерия Федровича за помощь и за то большое влияние, которое он оказал как при построении математической модели, так и при подготовке программ вычисления и визуализации, которые легли в основу настоящей работы. Автор выражает глубокую благодарность всему коллективу кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ за заботу и поддержку. Самую глубокую признательность и благодарность автор выражает своей семье за терпение, выдержку и понимание.
Обзор научных проблем, возникающих при моделировании горения полидисперсных смесей
Процессы горения полидисперсных смесей весьма сложны. Они включают турбулентное взаимодействие газовой и распыленной фазы, тепло- и массоперенос, термическое и механическое разрушение капель, химические процессы в газовой фазе. На все эти процессы влияет турбулентность, а случайным образом распределенная полидисперсная фаза делает затруднительными экспериментальные исследования, поскольку невозможно на микроуровне создать одинаковые начальные условия от эксперимента к эксперименту и поскольку невозможно варьировать единственный из многочисленных параметров процесса (для оценки его влияния), оставляя все прочие параметры неизменными в экспериментальных исследованиях.
Таким образом, численные исследования дают единственную возможность исследования влияния отдельных параметров облака капель на чувствительность к зажиганию. Целью настоящей диссертации является построение модели горения полидисперсных топливно-воздушных смесей. Этот процесс обладает следующими характерными особенностями, математическое описание которых в настоящее время еще далеко от завершения: турбулентный характер течения; полидисперсность конденсированной фазы, диспергированной в газовой фазе-носителе; проблема зажигания, возникающая при моделировании гетерогенной турбулентной смеси. Эта проблема связана с распределением потока энергии от источника зажигания между фазами. Рассмотрим подробнее эти явления и методы, которыми в настоящей диссертации будем решать связанные с ними проблемы.
Известно, что при значениях чисел Рейнольдса, превышающих 1500 - 2000 характер течения, вызванного любыми факторами, меняется. Течение становится хаотичным, линии тока, бывшие достаточно регулярными при Re 1000, начинают испытывать волнообразные возмущения, при больших значениях числа Рейнольдса они начинают взаимно пересекаться, "путаться" и по прошествии короткого времени от начала движения течение становится хаотическим. Такое движение называется турбулентным, в отличие от регулярного течения при низких значениях числа Re, называемого ламинарным. Оно имеет особенности, препятствующие либо сильно усложняющие использование классических моделей сплошной среды для его описания.
В настоящее время имеется огромное число теоретических и экспериментальных работ по проблеме изучения турбулентных течений. Вместе с тем они и в настоящее время остаются теоретически менее исследованными по сравнению с ламинарными. Это связано с тем, что пульсационное, нерегулярное изменение исследуемых величин при турбулентном течении требует совершенно нового математического аппарата для теоретического исследования динамики характеристик непрерывных сплошных сред. Такой аппарат - теория случайных полей - создан в течение последних 50 лет, но до сих пор является из-за своей сложности больше предметом изучения физиков-теоретиков, чем прикладных гидромехаников. В то же время прикладная статистическая гидромеханика основывается на предположении, что система корреляционных функций характеристик потока различного порядка может достоверно описать турбулентный поток. Однако при попытке вывести уравнения для статистических характеристик турбулентного потока, их система оказывается бесконечномерной (уравнения Фридмана - Келлера). Следовательно, для практических целей такую цепочку уравнений на некотором порядке необходимо оборвать и затем моделировать такое ее замыкание, которое обеспечивает наилучшее совпадение с экспериментом для каждой отдельно выбранной модели. Именно по этой причине в нашем веке появилось такое множество сильно отличающихся друг от друга полуэмпирических моделей турбулентности. Первые полуэмпирические теории турбулентности связаны с работами Тейлора, Прандтля (1925) [18] и Кармана (1948) [19].Они сводятся к описанию динамики осредненных значений параметров потока, которые отличаются от исходных уравнений Навье-Стокса дополнительным членом, зависящим от так называемого называемым тензора Реинольдса.
Последний член в выражении (1.2.2), будучи перенесенным в правую часть уравнения импульсов, имеет такой же физический смысл, как и дивергенция тензора напряжений в уравнениях Навье-Стокса. Тензор (vV) - осредненное диадное произведение пульсационной скорости на себя - называется тензором Реинольдса; он пропорционален тензору турбулентных напряжений. По аналогии с моделью Навье-Стокса для вязкой жидкости, для моделирования тензора турбулентных напряжений в классических моделях (для несжимаемой жидкости) используется зависимость {n tt = -jUr(v i, + (v{i,))r), (1.2.3) где fij - турбулентная вязкость. Кроме тензора Реинольдса, в моделях турбулентности появляется дополнительное уравнение для описания динамики кинетической энергии турбулентных пульсаций к = (v-w)/2, называемое уравнением Реинольдса. В ранних моделях турбулентности, называемых моделями первого порядка, авторы фактически предложили гипотезы моделирования тензора Реинольдса и замыкания уравнения Реинольдса для градиентных турбулентных потоков [20]. Из всех предложенных гипотез замыкания градиентных потоков наибольшее развитие в современных моделях получила гипотеза Прандтля (1925) [18], которая сводится к следующему: турбулентный поток скалярной величины пропорционален градиенту осредненного значения этой величины с обратным знаком, или: {№} = -кУ{ф) лг 0. (1.2.4) Коэффициент пропорциональности к в гипотезе Прандтля может зависеть от различных параметров турбулентного течения, но в классическом варианте он пропорционален турбулентной вязкости.
Идея локально-изотропной турбулентности для мелкомасштабной структуры течений, предложенная Колмогоровым А.Н. (1942) [21], позволила привлечь к описанию статистических характеристик турбулентности не только законы баланса массы и импульса, но и закон баланса энергии, а также ускорила составление модельного уравнения для характерной компоненты мелкомасштабной турбулентности - скорости диссипации. Тем самым, эта идея дала основание для аналитической записи моделей турбулентности второго порядка.
Осреднение характеристик сжимаемой среды
Для моделирования газовой фазы используется эйлеров подход. Это означает, что газовая фаза моделируется в рамках механики сплошной среды в системе координат, неподвижной относительно сосуда. Поскольку движение среды является турбулентным, будем применять подход, ставший стандартом для исследования турбулентных течений сжимаемой многокомпонентной газовой смеси. Другим, более приемлемым для нестационарных течений, определением среднего значения характеристики / является пространственное фильтрование: {f(x,0)= \f{xj)Pf(x-x)dx, где временно-инвариантная функция Р. имеет свойства плотности вероятности распределения / и нормировку \Pf(x)dx = 1. Пульсационная составляющая в обоих случаях определяется как разность между актуальным и усредненным значением. Применяя операцию осреднения к среднему значению произведения двух характеристик течения / и g (используя любой из указанных способов), получим: (/« = /}( }+ /« } Если применить осреднение, например, к уравнению баланса массы газа (считая среду для простоты однофазной): - + div(pD)=0, at то в итоге получится следующее уравнение; В правой части осредненного уравнения возникает источниковый член в виде дивергенции корреляции пульсаций плотности и скорости. Моделирование подобного члена весьма сложно, более того, при осреднении уравнений баланса компонент, импульса и энергии газа возникнут еще более сложные корреляции, в которых будет участвовать пульсация плотности. Чтобы избежать этих трудностей, при моделировании турбулентных течений сжимаемой среды применяется осреднение по Фавру [26]: /-(/ + / = [/] + / , где [Г] = 0. Величина [/] называется осредненной по Фавру характеристикой течения / и определяется следующим образом: і/1=м ш (р) Для осреднения по Фавру характерны следующие соотношения: (pf)= p)[fl {pfs)={p)[f]U\ {p)[fY], (pf)=o, что позволяет избавиться от явного моделирования корреляций, в которые входит пульсация плотности.
Уравнения движения, как и прочие уравнения переноса, имеют при осреднении по Фавру ту же форму, что и до осреднения, только средние и мгновенные характеристики имеют разные значения. При этом из конвективного члена транспортных уравнений выделяется член, пропорциональный корреляции скорости и переносимой характеристики. Осреднение характеристики течения по Фавру, описанное выше, можно назвать осреднением с весом р. Для наших целей удобнее вместо истинной плотности газа р в качестве веса использовать "размазанную" плотность ар. Указанные выше свойства осреднения по Фавру при этом сохраняются. Здесь Ij - вектор потока тепловой энергии (включающий помимо кондуктивного потока тепла поток кинетической энергии молекулярной диффузии и диффузионный лоток химической энергии), Ё - приток энергии от диспергированной фазы, а Ё - приток энергии к газовой фазе извне (например, при зажигании смеси от внешнего источника энергии). Источниковые члены в правой части уравнения (2.1.18) означают соответственно: работу сил давления, ламинарный приток тепла в газовой фазе, работу сил вязких напряжений, приток энергии от диспергированной фазы и приток энергии извне. Энергия единицы массы газа Е представляет собой сумму внутренней, химической и кинетической энергии. Обозначив удельную внутреннюю энергию к -го компонента через ек, а химическую (приведенную к Г = 0) через й , получим выражение для удельной энергии газа (калорическое уравнение состояния) в виде: = Л+«+ - (2.1.9) Если считать, что для газовой смеси используется модель смеси калорнчески совершенных компонент, то калорическое уравнение состояния (2Л .9) примет вид: где константы сА представляют из себя удельные теплоемкости компонент при постоянном объеме; химические потенциалы для условия приведения температуры Т к нулю И$к также являются константами.
Термическое уравнение состояния для смеси калорически совершенных газов будет выглядеть как: p pRGTY— = p—Tt (2.1.11) где Ї ІДж моль-К) - универсальная газовая постоянная, Wk - масса моля к -го компонента, W - суммарная молярная масса. Осреднив по Фавру уравнение баланса энергии (2.1,8), получим: + V.({ )[]M) = -V.( )-V.(lf4M[V]) + +V. T(f - «) + () + {«). (2.1,12) В правой части уравнения (2.1.12) к осредненным членам правой части уравнения (2.1.8) добавились члены, связанные с турбулентным потоком энергии и работой сил турбулентных напряжений. Для их явного выделения необходимо привлечь осредненные уравнения состояния.
Воспользовавшись калорическим (2.1.10) и термическим (2.1.11) уравнениями состояния» преобразуем некоторые члены из правой части уравнения (2.1.12). Выразив из (2.1.11) значение (ар) и из (2.1.10) - значение Е", получим после некоторых преобразований: + (apv) + (ap)[E"v"] = [aP)[v] + (op)f cpk \(YkT)v =i (ар) кЬк\"] + (ар)К [у]. k=\ L J Здесь константа cpi =cvk + /И - удельная теплоемкость jfc-го компонента при постоянном давлении. Подставляя последнее равенство в (2.1.12), получим; 3-№1+v. (МИН)=-v. «„„)[„]) + (2 л -V-I, + V-(r.[»]) + (E) + {Ei). Здесь суммарный (турбулентный и ламинарный) приток тепловой энергии обозначен как: 1,,0 + 1.и. С =( V )t(cJ(YtT) r ] + hM[1 ]ї. Рассмотрим теперь кинетическую часть Еш удельной энергии газа. Ее осреднение по Фавру представляет собой сумму: v2 L inJ Щ- + Щ- = Ек0 + к. (2.1.14) Первый член суммы в выражении (2.1.14), Ек0 можно назвать долей кинетической энергии, вычисленной по средним скоростям газа, второй же -удельной энергией турбулентных пульсаций. Моделирование динамики этой величины, являющейся половиной следа тензора Рейнольдса R является ключевым пунктом выбранной модели турбулентности. Без каких-либо предположений, кроме указанных выше, динамика к моделируется уравнением Рейнольдса, выводящимся из уравнения баланса массы (2.1.1) и импульсов (2.1.6) с учетом их осредненных вариантов (2.1.2) и (2.1.7) соответственно.
Расчетная сетка для полей характеристик газовой фазы
Для расчета вышеперечисленных параметров газовой фазы введем разностную сетку в расчетной области, и будем искать значения этих параметров в определенных точках (узлах), связанных с этой сеткой. Таким образом, в каждый момент времени непрерывные поля характеристик будут заменяться набором их дискретных значений. Кроме того, при численном решении временные зависимости также представляются на дискретных интервалах. Эти интервалы, называемые шагами по времени, описывают приращение времени, на которое продвигается численное решение.
Расчетная область в настоящей диссертации представляет собой цилиндр, и в цилиндрических координатах описывается как совокупность точек (JC, г), где 0 x xve3,Q r Rves. Значения х = 0 и x = xvei соответствуют нижнему и верхнему торцу области, г-О и r rves оси симметрии и боковой стенке. При введении сетки каждый узел внутри расчетной области получит номер, индексирующийся двумя значениями (i,j)- При этом координаты узлов сетки будут иметь значения: їх 1Г ,-=- . ;= Т ПРИ 0 i nx, 0 j nr, (3.1.1) пх-\ пг \ где пх и пг - число узлов по осевому и радиальному направлениям. Из (3.1.1) видно, что сетка, введенная нами, является прямоугольной и равномерной. При і = О, i-nx-l, j = 0 или j = nr \ узел сетки лежит на границе расчетной области. Таким образом, расчетная сетка в настоящей диссертации будет описываться двумя одномерными массивами {л:} и {rj, каждый из параметров же газового потока - двумерным массивом и индексом (i,j), соответствующим координатам соответствующего узла сетки { ,, г,}.
Гиперболическая часть источникового члена разделена нами на "аксиальную" Нх и "радиальную" Нг части. Вместе с конвективными потоками в отсутствие прочих частей источникового члена она соответствует уравнениям динамики газа в отсутствие вязкости, теплопроводности и диффузии; помимо этого она описывает динамику турбулентных характеристик как пассивных скаляров. Кроме этого, в гиперболическую часть источникового члена мы включаем потоки массы, импульса и энергии от диспергированной фазы.
Локальная часть источникового члена представляет собой следующее: для уравнений баланса массы компонент - это приток компонент за счет химических реакций в газовой фазе, для уравнений динамики турбулентных характеристик - их производство и диссипацию. Она разделяется на аксиальную и радиальную части искусственно Sx = Sr =0,55,, (цель подобного разделения будет объяснена ниже).
В настоящей диссертации мы будем применять схему, в которой проводится расщепление временного шага по координатам, а внутри каждого расщепления по координатам - расщепление по процессам (гиперболический, параболический, локальный). Такая схема была впервые предложена MacCormack [60]; ее идея подробно описана в [61]. Можно заметить, что именно по этой причине локальная часть источникового члена так же, как и остальные члены, оказалась разделенной на аксиальную и радиальную части.
Таким образом, шаг по времени та разбивается на два полушага, на каждом из которых применяется расщепление по координатам х и г. Как указано в [61], порядок последовательного применения операторов должен обязательно чередоваться (как в выражениях (3.1.11) или (3.1.12)). Для дополнительного уменьшения зависимости решения от порядка чередования координат, на полном шаге по времени применяется либо схема (3.1.11) либо (3.1.12) в зависимости от четности номера шага п,
На каждом этапе применения оператора Л или Лг происходит дополнительное расщепление по процессам. Как указано в [61], при расщеплении по процессам чередование операторов, аналогичное таковому при расщеплении по координатам, не обязательно. В нашем случае мы применяем следующий порядок расщепления по процессам: вначале локальная часть, затем гиперболическая, затем параболическая. Этот порядок можно упрощенно рассматривать как последовательность: образование параметра из источника - перенос - диффузионное сглаживание. Рассмотрим этот процесс подробнее на примере оператора ЛЛ (оператор Л, рассматривается аналогично).
Можно заметить, что в выражении (3.1.15) отсутствуют члены, связанные со средней скоростью потока, поскольку на "локальном" этапе средняя скорость потока не модифицируется. Из вида уравнений (3.1.14) можно сделать вывод, что они неявные, поскольку выражение Sx, являющееся разностным аналогом дифференциального оператора Sx, зависит и от U . Забегая вперед, укажем, что система (3.1.14) является жесткой системой, которая решается по неявной схеме, хотя уравнения этой системы независимы в каждой точке области решения.
Результаты расчетов по использованной модели
Для того, чтобы оценить влияние различных факторов, учитывающихся в построенной модели, на поведение капли, рассматривалась серия модельных задач, при которых капля заданного диаметра внедрялась в покоящийся газ с заданной скоростью. При этом теплофизические свойства вещества капли и окружающего газа во всех расчетах были фиксированы; температура газа была при этом существенно выше температуры кипения, а концентрация испаряющегося вещества вдали от капли равнялась нулю, что должно всегда приводить в конечном итоге к полному испарению капли с наибольшей возможной интенсивностью.
Были фиксированы следующие определяющие параметры задачи: р = 1,013бар, Г = 1000К, состав окружающего газа - воздух, состав капли углеводород класса керосинов (Н-декан). Температура и состав окружающего газа и капли определяет такие параметры как плотность, массу моля, температуру кипения, теплоту испарения, вязкость, теплопроводность, диффузию, поверхностное натяжение. Начальная температура капли во всех расчетах бралась равной 300K.
Начальное состояние этих кривых на рисунке соответствует как бы различной начальной температуре, но этот эффект связан с тем, что время релаксации капли в потоке для данных условий значительно меньше времени испарения, а интенсивность теплообмена при высокой относительной скорости значительно выше, чем при покое капли относительно газа. Тем самым за время релаксации капля с различной начальной скоростью приобретает различную температуру, и большая часть эффектов, проявляющихся в различии поведения капли связана с условиями, приобретенными на этапе релаксации относительной скорости капли. В режиме релаксации соблюдается условие Nu»2, или, с учетом выражения (2.2.13) для числа Нуссельта и того факта, что число Прандтля для газа имеет порядок единицы, Re » 40. Когда число Рейнольдса, рассчитанное по относительной скорости, становится ниже 40, интенсивность теплообмена по порядку величины становится равной интенсивности для стационарных условий. Участок же релаксации скорости капли на рис. 4.3 а находится вблизи нуля по шкале времени и представлен практически только различной степенью роста температуры на начальном этапе.
После релаксации скорости капли ее температура падает вследствие эффекта поглощения тепла, но затем, по мере уменьшения диаметра, начинает возрастать снова из-за того, что начинают проявляться эффекты неравновесности испарения, замедляющие его по сравнению с теплообменом. При г 1,4 мсек температура капли во всех рассмотренных случаях быстро увеличивается до тех пор, пока капля не испарится полностью. Время существования капли при этом наибольшее для того случая, когда начальная скорость капли была наименьшей, что связано с меньшей температурой капли, приобретенной на этапе релаксации (при t 0,005 мсек).
То, что в течение этапа релаксации скорости размер капли в данном случае практически не изменился, показывают кривые 1,2 и 3 на рисунке 4.3, соответствующие изменению диаметра капли со временем. Видно, что увеличение интенсивности испарения происходит при уменьшении значения радиуса до 0,1 мкм и ниже.
Следующая серия расчетов соответствует исследованию влияния коэффициента аккомодации (параметра, отвечающего за неравновесность испарения) на динамику испарения капли. Рисунки 4.4 и 4.5 показывают зависимости температуры и диаметра капли от времени для начальной скорости 10 м/сек и начального диаметра d0 = 1 мкм при различной коэффициенте аккомодации. Кривое 2 соответствует повышенному значению коэффициента аккомодации (е=0,08), то есть более близкому к равновесному режиму испарения. Из рисунка видно, что при увеличении коэффициента аккомодации в два раза (и соответственного уменьшения степени неравновесности), с одной стороны, снижение температуры вследствие поглощения теплоты испарения почти в два раза сильнее. С другой стороны, подъем температуры капли на конечном этапе испарения происходит раньше. Соответственно, время существования капли при увеличении коэффициента аккомодации сокращается. И тот, и другой эффект объясняется большей интенсивностью процесса испарения при приближении процесса к равновесному.
Кривые зависимости температуры от времени, изображенные на рис. 4.7, для различных значений начального диаметра ведут себя по разному. Если диаметр не превышает Юмкм (кривые 1-3), вначале происходит нагрев капли за счет усиленного теплообмена при большой относительной скорости. После релаксации скорости температура капли начинает понижаться за счет поглощения теплоты испарения, которое не компенсируется притоком тепла. Падение температуры продолжается вплоть до времени 500-1500 единиц характерного времени релаксации скорости, а затем температура капли снова возрастает из-за замедления интенсивности испарения по сравнению с притоком тепла для капли очень малого диаметра, после чего капля испаряется полностью. Подъем температуры капли на этапе релаксации скорости тем больше, чем больше начальный диаметр. Если начальный диаметр равен 50 мкм или превышает его (кривые 4-7), то на этапе релаксации скорости температура капли возрастает вплоть до температуры кипения, после чего испарение идет в режиме постоянной температуры, описываемом уравнением (2.2.14). При этом время существования капли оказывается существенно меньшим по сравнению с временем существования капель начального диаметра Юмкм и ниже.
