Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи 14
1.1. Основные уравнения модели 14
1.2. Плоские волны и линейные резонансы 20
Глава 2. Основные резонансы и квазинормальные формы 31
2.1. Плоские бегущие волны 31
2.2. Квазинормальные формы для основных резонансов ... 39
Глава 3. Бифуркации из состояния покоя для основных резонансов 45
3.1. Простой резонанс. Уединенные волны 45
3.2. Обобщенно - уединенные волны и уединенные волны с рябью 51
3,3. Уединенные волновые пакеты в пределе "холодной" плазмы 66
Заключение.. 72
Приложения 73
- Плоские волны и линейные резонансы
- Плоские бегущие волны
- Квазинормальные формы для основных резонансов
- Обобщенно - уединенные волны и уединенные волны с рябью
Введение к работе
В диссертации на примере двухжидкостной магнитогидродинами-ческой модели плазмы, помещённой в магнитное поле, исследуется влияние коротких волн на существование локализованных волновых структур постоянной формы (уединённых волн) и эволюция структурно близких к ним локализованных возмущений. Ведущую роль в уравнениях движения указанной модели при этом играют давление магнитного поля и давление в жидкостях. Поэтому - в зависимости от соотношения их величин - рассматривается либо модель "холодной" плазмы, когда магнитное давление существенно превосходит внутреннее, либо модель "нагретой" плазмы, когда их величины сравнимы. В некоторых случаях, например, при протекании изотермических волновых процессов, для которых времена релаксации между компонентами плазмы существенно больше, чем характерное время коллективных взаимодействий электромагнитного поля и вещества, можно отнести и бесстолкновительную плазму [5].
Уединенные волны относятся к общему классу непериодических бегущих волн постоянной формы, основной характеристикой которых является убывание или выход на периодическую асимптотику
на пространственной бесконечности. В средах с дисперсией уединённые волны появляются вследствие баланса эффектов нелинейности и дисперсии. Интерес, связанный с этими объектами математического и физического исследований, отражён в ряде книг и монографий, например: [1, 8, 20, 21, 25]. Помимо основного определения, в настоящее время в литературе принято давать название уединённая волна более общему классу непериодических бегущих волн, убывающих на бесконечности или выходящих на периодическую асимптотику. Поэтому в диссертации эти волны будут различаться как: классические уединённые волны (солитоны), обобщённые уединённые волны и уединённые волновые пакеты - с целью обозначения типов уединённых волн, отличающихся поведением в конечных областях пространства и асимптотикой на бесконечности.
Построение математической теории распространения локализованных возмущений в различных моделях плазмы началось с середины 60-х годов прошлого века и отражено в работах [24, 18, 64], в которых значительные реузльтаты достигнуты в рамках уравнений длинноволнового приближения. В частности, теоретическое исследование ионно-акустических волн в "холодной" плазме без магнитного поля представлено в работе [69], а солитонные решения для ионно--акустических волн с учётом конечности температур ионов найдены для модельного уравнения КдФ в [63]. Сравнение теоретических предсказаний с экспериментальными данными в различных аспектах приводится в обзорной статье [68]. Обширный материал накоплен в исследовании нелинейных гидродинамических волн в моделях "холодной" и "нагретой" плазмы. Систематическое изложение теории уединенных волн в многомерных моделях плазмы предпринято в [22]. Здесь за
основу изложения принимается вывод модельного уравнения, в котором явно выделены главные эффекты, а второстепенными поправками пренебрегается. Необходимым условием при этом является сохранение симметрии, а также интегральных характеристик, присущих исходным уравнениям.
Первые решения для плоской задачи о возмущении однородного потока квазинейтральной плазмы в постоянном магнитном поле и о возмущении состояния покоя в частных случаях были получены в [64, 65]. Анализ солитонных решений конечной амплитуды производился на основании качественной теории динамических систем и численных методов [47, 54, 64, 65]. Было показано, что среди волн конечной амплитуды физический смысл имеют только сопитоны продольного и поперечного направлений по отношению к постоянному магнитному полю. У прощеные системы уравнений моделей "холодной" и "нагретой" плазмы в предположении о квазинейтральном и нерелятивистском характере волновых явлений [47, 48], позволили исследовать более общие случаи распространения гидродинамических волн произвольной амплитуды и направления ("косых" волн) по отношению к вектору индукции однородного магнитного поля. Используя разные варианты метода многих масштабов, в этих моделях для длинных волн малой амплитуды удалось вывести уравнения КдВ: с квадратичной и кубической нелинейностью, а также обобщенные уравнения с пятой производной. Эти уравнения удовлетворительно описывают распространение и взаимодействие магнитозвуковых волн на фоне покоя и альфвеновских волн как возмущений среднего течения [49, 52]. Среди их решений найдены семейства косых волн, нормали к фронтам которых составляют уголы 9 с индукцией внешнего магнитного поля.
Они относятся к быстрыми магнитозвуковыми солитонами с разной полярностью ядра ("горб" или "яма"). Смена полярности происходит при переходе через некоторый критический угол 9С, уменьшающийся с ростом степени нагретости плазмы. Причём уединённые волны, бегущие под углами меньшими 9С, представляют солитоны разряжения, а под большими углами - сжатия. Косые классические уединённые волны, относящиеся к медленной магнитозвуковой ветви как решения уравнения КдВ, выведенного в модели нагретой плазмы, представляют только волны уплотнения. Найденные решения являются продуктами эволюции локализованных возмущений в силу модельных уравнений. Исследования их эволюции в рамках полной системы уравнений не проводилось, очевидно, что новых эффектов, связанных со взаимодействием длинных и коротких волн не выявлено.
Принято считать, что уравнение КдВ адекватно описывает эволюцию локализованных возмущений для волн малой амплитуды. Это позволяет предполагать, что локализованные возмущения одной полярности с упомянутыми выше солитонами должны с течением времени распадаться в цепочку уединённых волн того же семейства и той же полярности, как это имеет место в модели тяжёлой несжимаемой жидкости конечной глубины без дополнительных поверхностных эффектов [34]. В случае, когда в модели учтена квадратичная нелинейность второго порядка, классические уединённые волны в низшем приближении по малому параметру (амплитуде волны) имеют форму солитонов уравнения КдВ. Известно, что последние являются динамически устойчивыми относительно возмущений произвольной, но малой амплитуды [62]. Динамическая устойчивость также доказана и для солитонов уравения Кавахары: обобщённого уравнения КдВ с от-
рицательным коэффициентом при дисперсионном члене, пятой (старшей) производной [39, 40]. Такое уравнение, в частности, было выведено для волн быстрой магнитозвуковой ветви в окрестности критического угла вс [48] а его численное исследование проводилось в [53, 40]. Тем не менее, в ряде полных систем уравнений моделей, описывающих среды со слабой дисперсией и нелинейностью, при определённых значениях физических параметров солитонные решения отсутствуют, но одновременно такого рода волны имеют место в модельных уравнениях, полученных из исходных с помощью асимптотических методов. В этих областях параметров имеет место замещение солитонов обобщённо - уединёнными волнами (ОУВ) - бегущими волнами, подобными в центральной части классическим уединённым волнам, но имеющих периодическую, незатухающую асимптотику на бесконечности.
Они наблюдаются в моделях идеальной тяжёлой несжимаемой жидкости конечной глубины с поверхностным натяжением [28, 36, 66] и под упругой пластиной, моделирующей покров [16]; непрерывно стратифицированной идеально-несжимаемой жидкости конечной глубины [27], двухслойной идеально-несжимаемой жидкости с конечной глубиной слоев [35, 67]. В общем случае сформулированно условие наличия их периодической составляющей [57]. Присутствие в системе уравнений этих решений влечёт за собой распад локализованного возмущения за счёт излучения периодической волны, а не цепочки солитонов, как это имеет место в случае модельного уравнения. Исключения, когда при дискретном наборе значений свободных параметров периодическая составляющая отсутствует и ОУВ замещаются солитонами, также имеют место. Но они могут представлять только математи-
ческий интерес, поскольку даже малое возмущение параметров выводит эти решения в класс ОУВ [62]. Аналитическое доказательство их существования легче всего провести для волн малой амплитуды. Можно показать, что амплитуда асимптотики ОУВ имеет экспоненциально малый порядок по сравнению с её центральной частью. В этой ситуации время распада существенно превосходит характерные времена волновых явлений, и не представляет интереса с физической точки зрения. С другой стороны, это семейство решений в ряде случаев может быть продолжено до умеренного значения по амплитуде, и как показывают численные расчёты, интенсивное излучение успевает разрушить возмущение за достаточно короткое время [30, 31].
Целью настоящей диссертации является рассмотрение полной системы уравнений, учитывающей все длины волн, и выявление отличия от классического описания в рамках уравнения КдВ на примере широко принятых моделей плазмы. Совершенно ясно, что эти различия, в первую очередь, могут быть связанны с влиянием коротких волн, которое не учитывается в модельных уравнениях.
Диссертация организованна следующим образом. В первой главе приводится постановка задачи о нерелятивистском распространении волн в квазинейтральной плазме, построенной для гидродинамической модели плазмы как двух заряженных жидкостей с установившимися изотропными максвеловскими распределениями. В параграфах 1.1-2 приводится вывод обратимой в пространстве и времени системы уравнений, описывающей распространение нелинейных плоских волн в присутствии дисперсии. Рассматривается геометрия графиков ветвей линейного дисперсионного соотношения. Исследуется взаимное расположение касательных в нуле к графикам ветвей, также проходя-
щим через ноль. Известно, что классические уединённые волны, отвечающие некоторой ветви, имеют место в том случае, когда графики других ветвей лежат по одну сторону от её касательной.
В параграфах 2.1-2 второй главы для решений типа бегущих волн выведена нелинейная динамическая система. При построении возможных ветвей решений малой амплитуды, представляющих собой бифуркации из состояния покоя этой динамическая система сводится на центральное многообразие и приближается системами в "квазинормальной" форме. Метод редукции на центральное многообразие является классическим результатом качественной теории обратимых динамических систем. Он связан с заменой исходной динамичесой системы произвольного порядка на эквивалентную ей, но меньшего порядка, определённую на инвариантном многообразии. Теорема о центральном многообразии справедлива для решений, находящихся в окрестности состояния покоя системы [23, 44, 58]. Структурная устойчивость решений систем в квазинорм апьной форме в силу исходной динамической системы с обратимостью доказывается на основании общих теорем [45, 46]. Из основных работ, посвященных приложению этого метода в моделях механики жидкости, следует упомянуть [45, 41, 12, 13, 17].
В параграфах ЗЛ-3 третьей главы описаны бифуркации из состояния покоя при тех значениях свободных параметров, для которых в окрестности нулевого значения управляющего параметра среди семейств решений, ответвляющихся от состояния покоя, ожидаются го-моклинические кривые, описывающие уединённые волны. В случае общего положения множество значений физических параметров можно разделить на две области: в одной имеют место классические уеди-
нённые волны, а в другой - обобщённые уединённые волны. Доказано, что в первой области имеют место солитоны малой амплитуды, относящиеся к быстрой магнитозвуковой ветви. Причём численное моделирование данных Коши умеренной амплитуды в первой области, близких по форме к солитонам этого семейства, не претерпевают существенных искажений с течением времени. В этой области следует ожидать хорошо известный механизм распада локализованных возмущений с образованием цепочки солитонов [18, 14]. В параграфе 3.2 для малых амплитуд доказано существование так называемых уединённых волн с рябью [45], асимптотика которых на бесконечности представляет монохромотическую волну; её амплитуда сравнима с величиной "ядра". Нулевым пределом по амплитуде колебаний являются классические уединённые волны, которые удовлетворяют соответствующей квазинормальной форме с произвольной алгебраической степенью точности. С другой стороны, главное приближение таких солитонов, подставленное в исходную динамическую систему, даёт незатухающую асимптотику на бесконечности. Последняя найдена для волн быстрой и медленной магнитозвукой ветвей с помощью преобразования Фурье, примененного к исходной динамической системе. Проведённые численные расчёты подтверждают, что квазистационарное излучение солитоноподобными волновыми пакетами имеет место и для волн умеренной амплитуды.
В параграфе 3.3 рассматривается семейство быстрых магнитозву-ковых уединённых волновых пакетов (УВП) продольного направления в пределе "холодной" плазмы. Их появления следует ожидать в окрестности тех волновых чисел, при которых фазовая и групповая скрости линейных волн совпадают (т.е. наблюдается "1:1-резонанс"),
и кроме того, имеет место модуляционная неустойчивость. Уединённые волновые пакеты - бегущие волны с волновым числом промоду-лированной волны, близким к "резонансному", и огибающей, описываемой классической уединённой волной [48, 52]. В частности, в модели "холодной" и "нагретой" плазмы резонансные волновые числа существуют на быстрой магнитозвуковой ветви для углов меньших вс. Существование УВП в силу модельного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с кубической нелинейностью было доказано для косых и продольных волн в моделях "холодной" [50, 60] и "нагретой" [59] плазмы. В другой работе была рассмотрена ситуация, при которой модуляционная неустойчивость обусловлена нелинейным взаимодействием поляризованных поперечных альфвеновских волн-биений и продольной магнитоакустической волны [61]. Показано, что область существования УВП "смешанного" типа расширяется за счёт нелинейного резонанса. Обосновано предположение о наблюдаемости такого рода решений на основании данных, полученных в магнитосфере Земли. В диссертации на основании общей теории [14] доказано существование быстрых магнитозвуковых УВП первого вида для продольного и близких к нему направлений распространения волн. На тему диссертации опубликовано четыре работы [9, 10, 11, 70].
Таблица 1: Обозначения (СГС).
Обозначение
х, і 7гц,те
Vf,Ve
VA щ
Содержание введенного обозначения
физические координата (см) и время (сек)
массы покоя иона и электрона
плотности числа частиц ионов и электронов
векторы скоростей ионой и электроной жидкостей
вектор напряжённости магнитного поля
сектор напряжённости электрического поля
вектор невозмущенного магнитного поля
число частиц в од. объема в невозмущённом состоянии
постоянная Больцмана 1,38 Ю-23 Дж/К
давление в ионной (а = і) и электронной (а = е) жидкостях
равные, соответственно, ра — квпаТа
линейный пространственный масштаб
альфвеновская скорость Va = |В0|[47гпо(тгіе + тпі}]"1^2
характерная частота явления 0 = V^L-1
лэнгмюровская частота электронов шр ~ J&xnoe2/me
ионная и электронная циклотронные частоты
равные, соответственно, иа = e|BQ|/(mac), а = і,е
параметры дисперсии Ra = ша/ш0) а — г, е
дебаевский радиус Ар = і/^аТе/47гпое2
тепловые скорости ионов и электронов Va = иквТа/та, а = г,е
безразмереные тепловые скорости ионов и электронов
равные, соответственно, j3a = К,/1/д, a = i,e
угол между вектором В0 и нормалью к фронту волны
эффективная скорость звука 0 = у (те + гп^~~ (тф? 4- те/?|)
безразмеренные волновая частота и волновое число
безразмеренные характеристические скорости медленной (-)
и быстрой (+) бесконечно длинных волн
Таблица 2: Типичные значения параметров для космической плазмы двух видов (СГС).
Параметры плазмы Солнечный Плазма магкито-
ветер[56] сферы Земли [61]
Плоские волны и линейные резонансы
Таким образом, при допустимой в модели степени грубости, плотность числа частиц в электронной компоненте равна плотности в ионной, а средняя скорость движения электронов определяется из уравнения ( 1.1.8 ), вектор напряженности электрического поля, в свою очередь, задается соотношением ( 1.1.9 ). Систему ( 1.1.13 - 1.1.15 ) можно рассматривать как модель магнитной ионной динамики с учётом гидродинамического давления. Всюду ниже эта система будет называться моделью "нагретой" плазмы.
Очевидным приложением этой модели являются астрофизические задачи. Так из данных Таблицы 2 следует, что как в солнечном ветре, так и в магнитосфере Земли параметры плазмы удовлетворяют условиям ( ) а малые щ,р( е удовлетворяют предположениям модели.
К числу диссипативных механизмов и неустойчивостей кинетической природы, ответственных за разрушение гидродинамических волн, относится, например, затухание Ландау, которым можно пренебречь, если температуры ионной и электронной жидкостей существенно различны и выполняется соотношение pi 1 (Зе. Либо в тех случаях, когда влияние макроскопических диссипативных механизмов более существенно.
Следует заметить, что при изотермических процессах при известных макроскопических параметрах (магнитном поле, скорости жидкостей и плотности числа частиц) уравнение энергии, служит для определения потоков тепла qii6, возникающих при равновесных состояниях в жидкостях с заданными температурами. В соответствии с принятым предположением (oJiTe 1), правой частью можно пренебречь.
Физически оправданным явлется предположение об адиабатичнос-ти макроскопических волновых процессов в первом приближении, когда нет потерь за счёт выделения джоулева тепла [6], а внешними притоками тепла можно пренебречь. Ниже будет показано, что от выбора того или иного закона характер исследуемых волновых процессов качественно не меняется.
На основании системы ( 1.1.13 - 1.1.15 ) далее в работе рассматривается известная задача о распространении плоско- параллельных волновых возмущений под заданным уголом в по отношению к вектору внешнего магнитного поля [52, 47, 61]. За направление движения волн выбрана ось Ох. Основная система уравнений в безразмерной форме имеет вид ( 1.2.1 ). В системе участвуют: функция безразмерной плотности числа ионов (п — щ/щ), компоненты безразмерного вектора скорости ионной жидкости Vj/Уд = (uyv,w), компоненты безразмерного вектора магнитной индукции B/BQ = (BXi Ву) Bz), а также безразмерные временная (t = u ot) и пространственная (х = ж/L) переменные. В состоянии покоя функции u,v,w, В , Ву, Bz имеют значения 1, 0, 0, 0, cos0, sin#, 0, соответственно, а компонента Вх — cos9 - постоянная величина. и в этом смысле обладает свойством обратимости. Присутствие этой симметрии в системе обуславливает существование среди семейства решений чётных и нечётных функций. При выводе уравнения КдВ с использованием метода многих масштабов используются длинноволновые асимптотические приближения ветвей линейного дисперсионного соотношения системы ( 1.2.1 ). Причём исходным в модели "нагретой" плазмы выступает дисперсионное соотношение общего вида, описывающее линейные гидродинамические волны произвольной длины и малой амплитуды:
Плоские бегущие волны
Если в окрестности нуля на быстрой магнитозвуковой ветви имеет место положительная дисперсия, то ветвь и — tOf(k) при к О имеет ровно одну точку пересечения с прямой и) = kV при V Є (/?; V+), что обусловлено приближением графика этой ветви к своей асимптоте сверху. А при V Є (V+]Vfr) — ровно две таких точки. Причём значение V = Vfr для этой ветви является максимальным, и для него абсциссы точек пересечения "сливаются" при к = qr, так называемом волновом числе 1:1 - резонанса. При V = V+ — помимо касания в нуле — существует ровно одна точка пересечения с кривой при к = 5+(рис. 1.26). Следует заметить, что существуют такие значения Рс и 0+, для которых при J3 —V /3 и в — 6 точки с абсцисами к — q+ и к = qr сближаются и сливаются в нуле. При наличии у быстрой ветви в окрестности нуля отрицательной дисперсии фазовая скорость монотонно убывает от V = V+ рр V = /3 а, прямые ш = kV имеют с ней ровно одну ненулевую точку пересечения, так что при V = V+ имеет место простой резонанс (рис. 1.2а).
У медленной магнитозвуковой ветви при V = VL касательная в нуле пересекает альфвеновскую ветвь ровно один раз, в окрестности нуля имеет место отрицательная дисперсия и V Є (0; VI]. На примере этих двух ветвей видно, что в силу полной картины дисперсионного соотношения имеет место несколько вариантов резо-нансов с условием Vph = Vg. Соответствующие этим скоростям значения волновых чисел — волновые числа резонанса. Имеют место следующие виды резонансов: - При простом касании прямой в нуле: а) простой резонанс, когда эта касательная не имеет других общих точек с кривыми дисперсионного соотношения (в том числе и с первой); б) резонанс с короткой волной, когда при том же характере касания в нуле при к = q 0 касательная пересекает только одну ветвь. - При касании более высокого порядка: простой резонанс с дисперсией более высокого порядка, когда касательная в нуле только к одной кривой имеет порядок касания не ниже третьего. - При простом касании с общей касательной к двум ветвям в нуле: резонанс с короткой волной и касанием двух ветвей, когда касательная в нуле пересекает верхнюю ветвь. - При касании с кривой в точке 1:1 - резонанса, где к = qT. Б отличие от быстрой ветви, при отрицательной дисперсии длинных волн для альфвеновской ветви возможен как простой резонанс в нуле, в том числе и с дисперсией высокого порядка, так и резонанс с короткой волной, принадлежащей семейству быстрых магнитозвуко-вых волн. Очевидно, что последний вид резонанса наблюдается при условии {3 cos в, когда асимптота графика быстрой ветви лежит ниже касательной к альфвеновскои ветви, а первые два типа — в противном случае. При положительной дисперсии так же имеет место коротковолновой резонанс с волной собственной ветви и 1:1- резонанс при Va V /3. Формально, переход от резонанса с короткой волной на быстрой ветви к простому резонансу происходит при к = q — -4-со, а с волной собственной ветви при к кат —у О, где кат - число 1:1 -резонанса для альфвеновскои ветви. Выше было отмечено, что тип возможного резонанса - как для быстрой магнитозвуковой ветви, так и для альфвеновскои - определяется знаком коэффициента при к3 в разложениях ( 1.2.5 - 1.2.6). Границы областей основных резонансов составляют точки в плоскости в—/?, для которых этот коэффициент обращается в нуль. Ещё один критерий перехода между основными резонансами связан с совпадением касательной к альфвеновскои ветви в нуле и ассимптоты быстрой магнитозвуковой ветви. В силу симметрии ( 1.2.2 ) системы ( 1.2.1 ) и положительности параметра J5 достаточно рассмотреть только часть плоскости 6 — /3, которая представляет собой полубесконечную полосу: 0 в тг/2. Области основных резонансов для волн быстрой ветви показаны на рис, 1.3. Так, простой резонанс при нулевом волновом числе наблюдается в области // на рис. 1.3, лежащей выше кривой (3 /3 (0): Линейный резонанс с короткой волной, а также 1:1- резонанс на Положение кривой 0 = /Зе — 0 , разделяющей области существования обобщенно-уединенных волн / и классических уединенных воли //. блюдаются в области / на рис. 1.3. Более того, если параметр /3 превосходит критическое значение /3+ = v7 + 1 (в простой водородной плазме /З и 42,45), то при V+ в простой резонанс могут вступать косые волны всех направлений. Значения /3, при которых на альфве-новской ветви наблюдается простой резонанс, находятся в интервале COS0 (3 #(0), где При /3 cos в имеет место линейный резонанс с короткой волной быстрой ветви, а при (3 (Зс(9) с волной собственной ветви. В последнем случае также наблюдается и 1:1— резонанс. За исключением случаев продольного и поперечного направлений, в модели "нагретой" плазмы на медленной магнитозвуковой ветви из основных резон ансов осуществляется только резонанс с короткой волной альфвеновской ветви. К третьему типу основных резонансов относится 1:1-резонанс, который осуществляется в окрестности скоростей Vfr и Var, связанных с быстрой и альфвеновской ветвями, соответственно. Эти скорости находятся из условия двукратности волновых чисел к = qr, каг.
Квазинормальные формы для основных резонансов
Бифуркации резонанса длинной и короткой волн. Эти бифуркации связаны с возможностью распространения длинной волны и волны с конечным волновым числом с равными фазовыми скоростями (см. Главу 1.). В этом случае центральный спектр оператора A(Vo) состоит из двукратного нулевого собственного значения и пары простых сопряженных мнимых собственных значений ±iq, q 0. Движение собственных значений через ноль происходит также как и в предыдущем случае, причём одна пара мнимых собственных значений всегда остаётся на мнимой оси. Характер движения зависит от того имеет ли место резонанс с короткой волной сторонней ветви или собственной. В первом случае при ц 0 обе пары корней расположены на мнимой оси, и с ростом ц одна из них переходит на действительную ось; во втором случае наблюдается в точности противоположная картина (рис. 2.16). Обобщенные уединенные волны, будучи продуктом нелинейного резонанса, могут возникнуть при тех V = Vo-Ьд, при которых на мнимой оси лежит пара ±А. Так, в первом случае эта ситуация реализуется при (л 0, а во втором — при // 0, что согласуется с размерностью гиперболического подпространства. Причем при резонансе с волной сторонней ветви бифуркация такого типа происходит при VQ — V- и Va (для /3 cos в), а при резонансе с волной собственной ветви — при Vo = V+ и Va (для /3 /3). При этом асимптотика возникшей волны будет иметь вид где сі, С2 - постоянные векторы. Если ci = С2 = 0, то обобщённая уединённая волна представляет собой классический солитон. Ясно, что равенство нулю этих постоянных величин представляет собой исключительный случай и в случае общего положения периодическая компонента присутствует в рассматриваемом семействе решений. Тем не менее, в ряде задач теории упругости в тех, например, где имеют место резонансы волн, принадлежащих к разным ветвям дисперсионного соотношения, постоянные сі;2 могут зануляится и в качестве продукта бифуркации в системе будут присутствовать солитоны [14, 43].
Бифуркации 1:1 - "резонанса. Эти бифуркации характеризуются совпадением фазовой и групповой скоростей волны с ненулевым волновым числом k = qr. В этом случае оператор Л имеет две пары ненулевых кратных мнимых собственных значений к = ±гдг. С убыванием V в окрестности VQ эти значения попарно приходят из комплексной плоскости на мнимую ось, а затем по ней расходятся. Тем самым, фазовое пространство - первоначально являвшееся гиперболическим — становится центральным (на рис. 2.1в показана динамика корней при убывающем значении у). В последнем случае обыкновенные уединенные волны могут не существовать, поскольку собственные значения содержат ненулевую мнимую часть. Бифуркация данного типа имеет место при VQ = V/r и VQ = Var. Уединённый волновой пакет, представляющий собой локализованную модулированную монохроматическую бегущую волну, может существовать при тех V ф VQ, при которых собственные значения ±А ещё не пришли на мнимую ось. Асимптотика уединённого волнового пакета имеет вид: В случае, когда имеет место касание двух ветвей, особенность динамики собственных значений проявляется в том, что при малом /х произвольного знака они остаются на мнимой оси, и поэтому центральное подпространство совпадает с фазовым пространством. Другими словами, для малых значений параметра ц нет предпосылок к существованию уединенных волн какого-либо типа.
Как при резонансе с дисперсией высокого порядка в окрестности нулевого волнового числа, так и при простом резонансе, структуры собственных подпространств при малых \іф сходны. Поэтому данный вид резонанса также можно исследовать на вопрос о существовании уединенных волн.
Наконец, особый случай представляет VQ = (3, когда правая часть динамической системы ( 2.1.1 ) является не аналитической относительно V в окрестности точки (w, ji) — (0,0). Эту особенность можно наблюдать в следующих случаях: 1) Va = cos# = /3, О в тг/2; 2) V_ = /3,9 = 0,0 /3 1; 3) V+ = /3,в = 0,/? 1; 4) V+ = V. = Va = 1, 9 = 0,/3 = 1.
Обобщенно - уединенные волны и уединенные волны с рябью
Моды альфве-новской короткой волны не видны, волновое число в точке пересечения прямой ш = (V + fj)k и дисперсионной кривой приблизительно равно 63,9. Метод расчёта не позволяет рассматривать такие короткие волны; очевидно, что амплитуда резонансной моды альфвеновской ветви здесь чрезвычайно мала. "Ядро" пакета в виде уединённой волны имеет экспоненциальное убывание при — ±оо, этому убыванию соответствуют чисто мнимые значения к при решении уравнения ( 1.2.3 ) с указаной частотой и. Предельно допустимое значение д = дс, при котором чисто мнимое значение к еще существует для заданных в и /?, приблизительно равно 0,1337; при больших значениях д прямая ы = (V"- + ц) к одновременно пересекает альфвеновскую и быструю магнитозвуковую ветви, поэтому все корни к — действительные. С приближением к JJLC число к = q в точке пересечения с альфвеновской ветвью уменьшается и стремится к некоторому значению, приблизительно равному 0,82, а модуль чисто мнимого к стремится к бесконечности. Возможно, при этом длина резонансной моды альфвеновской ветви сопоставима с длиной ядра обобщенно-уединенной волны конечной амплитуды, если таковая существует, однако формулы ( 3.2.16 ) не могут быть использованы в качестве начальных данных вблизи значения дс, что выявляется уже при \i = 0,1 (q fa 55,6).
Качественно процесс эволюции начальных данных типа солитона медленной ветви для умеренных и малых значений д однотипен. Разница заключается в характерном времени распада и относительной амплитуде излучаемых волн. Время распада при уменьшении fi увеличивается, а относительная амплитуда уменьшается. Вначале идет сброс быстрой магнитозвуковой волны, движущейся влево, затем медленной, движущейся влево, затем быстрой, движущейся вправо. Эти волны со временем убегают от начального возмущения. По существу, это — исправление погрешности начальных данных, поскольку для описания уединенной волны используются асимтотические формулы ( 3.2.16 ) первого порядка точности по ц. В результате эволюции остается только медленная магнитозвуковая волна слева от начального возмущения, которая и ответственна за его последующее разрушениє. Необходимо отметить, что излучение волны такого типа наблюдается в аналогичном расчете для быстрой магнитозвуковои ветви, а также для обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза [31, 32]. Но в последнем случае длина волны в точке пересечения прямой w — kV и дисперсионной кривой сопоставима с длиной сопитона (по уровню 1/2), поэтому в большей степени наблюдается еще и квазистационарное резонансное излучение, которое вносит доминирующий вклад в распад.
В рамках рассматриваемой модели изотропной плазмы можно оценить размер длин волн для различных углов в. В частности, для плазмы в магнитосфере Земли при 9 — 89.5 вс и д = 0.01, например, длина быстрой магнитозвуковои уединенной волны составляет около 200 км. Амплитуда возмущения магнитного поля в такой волне порядка 4пТ = 4 х 10"5G. Для в 9С имеют место обобщенно - уединенные волны, которые испускают короткую волну. Ее длина близка к характерной ширине ядра обобщенно - уединенной волны в случае, когда в близко к 9С. Например, для в = 88.5 9С и /І = 0.01 с длиной ядра около 100 км, длина излучаемой уединенной волн (= 2irL/q+) порядка 60 км. Метод построения семейств решений уравнений (1.2.1), ответвляющихся от состояния покоя для модели с уравнением состояния идеального газа ионной и электронной компонент, применим и в случае, когда последние подчиняются уравнениям состояния идеального совершенного газа для адиабатических процессов. Оно связывает давление в ионной и электронной жидкостях с плотностью числа частиц по формулам только выражение для нелинейного члена во втором уравнении (1,2.1), содержащем производную от плотности числа частиц п. В силу четности функции п обратимость системы (1.2.1) не нарушается. Кроме того, линейная часть динамической системы ( 2.1.1 ) не изменяется по сравнению со случаем изотермического давления, рассмотренного в настоящей главе. Вследствие этих двух обстоятельств, центральный спектр будет полностью аналогичен изотермическому случаю, а приведенные уравнения будут также приближаться интегрируемыми уравнениями в квазинормальных формах, соответствующих основным резонансам.
