Содержание к диссертации
Введение
1. Электрохимическое формообразование и гидродина мика течения электролита катодом-инструментом с изоляцией на торце 20
1.1. Постановка задач стационарного электрохимического формообразования катодом-инструментом с изоляцией на торце 22
1.2. Разработка метода расчета анодной границы в случае плоского изолированного торца катода-инструмента 25
1.3 Метод расчета гидродинамического поля и построение линий тока в случае плоского изолированного торца катода-инструмента . 34
1.4. Алгоритм построения гидродинамических линий тока 35
1.5. Влияние излома на анодное формообразование 40
2. Электрохимическое формообразование при априор ном предположении о характере анодной границы 56
2.1. Задача симметричного анодного формообразования при стационарной электрохимической обработке катодом-инструментом с изоляцией на торце 57
2.2. Алгоритм расчета формообразования при рассмотрении всей физической области 67
2.3. Расчет и построение линий тока для трех различных схем подачи электролита в межэлектродный зазор 70
2.4. Расчет поля давления и построение изобар для разных схем подачи электролита в межэлектродный зазор 80
3. Асимметричное электрохимическое формообразова ние и гидродинамика течения при отборе и подаче электролита через катод-инструмент 87
3.1. Электрохимическое формообразование при стационарной электрохимической обработке катодом-инструментом с изоляцией на торце в случае асимметрии 88
3.2. Метод расчета гидродинамических линий для схемы обтекания 99
3.3. Метод расчета гидродинамических линий для схемы истечения и ком бинированной схемы 103
4. Электрохимическое формообразование и гидродина мика течения электролита с использованием катода инструмента с выступающей сеткой на торце 106
4.1. Метод и методика расчета формообразования при стационарной электрохимической обработке катодом-инструментом с сеткой на торце 106
4.2. Метод и методика расчета линий тока при схеме с частичным отсосом 115
4.3. Методи методика расчета линий тока при схеме обтекания 119
4.4. Метод и методика расчета поля давлений и алгоритм построения изобар 123
4.5. Метод и методика расчета касательных напряжений 128
4.6. Метод и методика расчета гидродинамического воздействия на выступ сетки 135
Заключение 149
Литература 151
Приложение 160
- Разработка метода расчета анодной границы в случае плоского изолированного торца катода-инструмента
- Алгоритм расчета формообразования при рассмотрении всей физической области
- Метод расчета гидродинамических линий для схемы обтекания
- Метод и методика расчета линий тока при схеме с частичным отсосом
Введение к работе
Современное производство выдвигает такие задачи, решение которых возможно только комплексным объединением достижений различных областей науки. Настоящая работа касается рассмотрения некоторых математических методов, широко применяющихся в гидродинамике, для анализа важного технологического процесса в машиностроении - электрохимической размерной обработки металлов (ЭХРО). Развитие математической теории с повышением эффективности ее использования в прикладных целях, в том числе для совершенствования указанного процесса - весьма актуальная задача.
Потребность в ЭХРО вызвана применением таких сплавов и деталей из них, изготовление которых традиционными механическими способами либо затруднительна, либо невозможна. Методом ЭХО изготавливаются лопатки турбин, ковочные штампы, компрессоры, имплантаты и специальное медицинское оборудование, осуществляется сложно контурная вырезка тонколистовых деталей приборостроения, выполняется клеймение, построчная обработка поверхностей и т.д.
Важной задачей является повышение точности размерной электрохимической обработки. Одним из методов достижения этой цели является обработка на малых межэлектродных зазорах. При этом особенно при выборе режимов обработки и выходе на расчетный режим, не исключены короткие замыкания между электродами. Это приводит к порче дорогостоящего катода-инструмента. Одним из методов, гарантирующих исключение короткого замыкания, является нанесение на инструмент диэлектрических покрытий. Особо ответственным является прогнозирование влияния этого нанесения на размерное электрохимическое формообразование и, главным образом, в области торцевой рабочей части.
Процесс размерной электрохимической обработки реализуется при обязательной прокачке электролита в зазоре. Решение проблемы исключения коротких замыканий возможно с использованием в торцевой части катода-инструмента диэлектрической сетки, через которую может подаваться и отбираться электролит. Актуальным при этом является задача описания характера течения электролита.
Как показывают экспериментальные данные, на точность обработки также влияет осаждение продуктов реакции на катод-инструмент (КИ), которое может препятствовать и протеканию электрического тока в электроде-инструменте. Негативное влияние катодных отложений сказывается в изменении рабочего профиля катода-инструмента, в невозможности точной установки межэлектродного зазора. Они способствуют локальному изменению электрического сопротивления и электрохимических свойств катодной поверхности, возникновению погрешности формы детали и уменьшению межэлектродного промежутка. Это делает невозможным выполнение ряда технологических операций (например, получение глубоких отверстий малого диаметра и узких криволинейных пазов). Учесть влияние катодных отложений на анодное формообразование можно также при использовании модели катода с изоляцией на торце.
Метод ЭХРО основан на высокоскоростном растворении обрабатываемой поверхности в потоке электролита под воздействием электрического напряжения, подаваемого на электроды. Последними являются деталь и инструмент, практически не изнашивающийся.
Электрохимические процессы в ячейке между электродами начали изучаться еще в XIX в. Майклом Фарадеєм. В патенте ленинградских ученых В.Н. Гусева и Л.А. Рожкова 1928 г. зафиксирована необходимость интенсивной прокачки электролита в зазоре для реализации точного формообразования при малых межэлектродных зазорах /18/.
Исследование теоретических проблем, связанных с размерной электрохимической обработкой, представляют большой научный и практический интерес. Здесь переплетаются вопросы теоретической электрохимии, электродинамики, массопереноса многофазных сред, гидродинамики и теплопередачи в этих средах, управления процессом при непрерывном и импульсном режимах, многочисленных конструкционных вариантов проектирования и изготовления оборудования. Важную роль в решении этих проблем на современном этапе отводится математическому моделированию процесса ЭХО.
Большое влияние на развитие исследований в области ЭХО оказали крупные отечественные и зарубежные ученые, в частности, В.Н. Гусев, Ф.В. Седыкин, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, Л.М. Щербаков, В.П. Смоленцев, А.Х. Каримов, Г.Н. Корчагин, Ю.С. Волков, А.Л. Крылов, Л.Б. Дмитриев, В.И. Филин, В.В. Любимов, А.И. Дикусар, Г.Н. Зайдман, А.Д. Давыдов, В.П. Житников, А.Н. Зайцев, Е.М. Румянцев, Л.М. Котляр, З.Б. Садыков, В.В. Клоков, Е.И. Филатов, В.М.Волгин, Y.G. Nilson, Н. Tipton, J.A. McGeough, J. Kozak, R.C. Hewson-Browne, Y.G. Tsuei, H. Rasmussen, M.B. Nanayakara, V.K. Jain, RC. Pandey, L. Dabrowski и другие.
В общем виде задачу описания процесса ЭХО аналитически решить достаточно сложно. Поэтому, как и любое исследование сложного процесса, оно облегчается при возможности разделения на более простые определяющие его стороны. Для конкретных условий процесса ЭХО оценивают степень влияния различных факторов, учитывают основные, принимают систему допущений и на основе математического описания составляют упрощенные частные модели /19 ,20, 22, 26, 31, 46, 51, 53, 55, 59, 62, 71/. Определяющей составляющей электрохимической обработки являются электрические поля в межэлектродном промежутке. Вторичными принято считать гидродинамические процессы и процессы тепломассопереноса /30/.
Самой распространенной моделью является модель, использующая основную систему уравнений электрического поля, которая позволяет получить выводы, удовлетворительно согласующиеся с экспериментом.
Уравнение для потенциала электрического поля их следует из рассмотрения системы уравнений Максвелла /6/
_ 1 дЁ1 - і дЙ)
то\Нх= j + , xotEx = L, divHl=0, div-Ej =4яре,
с dtx с dtx
где H] - напряженность магнитного поля, Ех - напряженность электрического поля, j - плотность тока, ре - плотность распределенных зарядов, с
- скорость света. При переходе к безразмерным переменным в этих уравнениях с учетом типичных значений электрических и магнитных параметров ЭХО, получаем уравнение для потенциала электростатического поля Amj = 0 /30/. Потенциальность электрического поля является следствием
малого влияния изменения по времени напряженности магнитного поля в межэлектродном промежутке, а удовлетворение потенциальной функцией уравнения Лапласа следствием электронейтральности среды.
Модель идеального формообразования основана на допущениях: малого влияния изменения по времени напряженности магнитного поля в межэлектродном промежутке, электронейтральности среды, постоянства удельной электропроводности электролита, что приводит к удовлетворению функции потенциала электрического поля уравнению Лапласа; предположениях: процессы на электродах и вблизи них таковы, что граничные условия следуют из постоянства выхода по току металла анода и постоянной поляризации электродов. В диссертации при решении задач используется модель идеального формообразования.
Расчет электрических полей при допущениях их потенциальности аналогичен расчету потенциальных течений идеальной несжимаемой жид-
кости. Гидродинамическая аналогия уравнений и граничных условий для этих уравнений облегчает формулировку краевых задач ЭХО. Это позволяет разработать эффективные методы расчета электрохимического формообразования посредством применения мощных гидродинамических методов расчета /1,17, 23, 24, 29, 32, 45, 48, 49, 57, 58, 61/.
Влияние электрических полей, характер поляризационных зависимостей системы сплав - электролит, гидродинамика потока электролита и ряд других факторов не позволяют при ЭХО использовать катоды-инструменты с границами, эквидистантными границам получаемой детали. Возникают, в частности, две важные проблемы - определить границу катода-инструмента по заданной границе анода-детали и, обратно, определить границу детали, которую можно получить заданным инструментом при так называемом стационарном режиме обработки - режиме, когда форма зазора не меняется.
Стационарный режим наблюдается при обработке с постоянной скоростью подачи инструмента в направлении обрабатываемой поверхности. В этом случае съем в каждой точке поверхности компенсируется перемещением катода, и межэлектродный промежуток по времени не изменяется. Нестационарный режим характеризуется изменением формы анодной поверхности в процессе электрохимического формообразования.
В диссертации рассматриваются обратные задачи - по задаваемой форме катода-инструмента находится стационарная анодная граница.
С учетом ряда допущений идеального формообразования задачи могут быть решены с привлечением аппарата теории функций комплексного переменного. На возможность применения этого аппарата в теории ЭХО впервые обратил внимание профессор А.Л.Крылов, что в дальнейшем использовалось в работах исследователей в Варшаве, Цинциннати (США), Казани.
Задача расчета формообразования при заданном катоде-инструменте сводится к решению обратных смешанных краевых задач теории аналитических функций. На это практически одновременно и независимо друг от друга было указано в работах D.T. Collet, R.C. Hewson-Browne, W. Windle DE. /68/, B.B. Клокова, A.B. Костерина, M.T. Нужина /27/.
Математические модели ЭХО, согласно допущениям об одно- двух-или трехмерности электрического поля в межэлектродном промежутке, можно разделить на одно-, двух- и трехмерные. Расчет анодных сложно-профильных поверхностей производится по двумерным и трехмерным моделям. Одномерные модели не дают удовлетворительных результатов для сложнопрофильных анодных границ, особенно в местах резкого изменения границ. Трехмерные модели очень трудны для применения, анализа и выполнения серийных технологических расчетов. Двумерные модели дают более точное описание электрохимической обработки и проще трехмерных моделей при расчетах сложных деталей.
Из множества методов и источников, посвященных проблеме решения обратной задачи для двумерной модели электрохимического формообразования, отметим следующие.
Метод квазистационарного приближения при решении краевых задач с подвижной границей в применение к ЭХО позволяет по истечению достаточного количества времени выйти на стационарную форму анода /8, 65/. Этот метод связан с применением численных методов. Метод решения задач Дирихле, основанный на разложении искомого уравнения Лапласа, реализован в работах /25, 74/. В работе /68/ при решении задачи, интерпретируемой обратной задачей ЭХО, восстанавливается функция в виде бесконечного ряда Фурье, связывающая точки физической области межэлектродного зазора и области комплексного потенциала, по значениям вещественной и мнимой частей на отдельных участках анодной границы. В работе /70/ получили дальнейшее развитие методы теории функции комплексного
переменного для решения задач ЭХО. В работе /44/ обратная задача сведена к задаче Гильберта для полуплоскости, решение которой построено посредством перехода к неоднородной задаче Гильберта. В работе /75/ для определения криволинейной границы катода разработан метод последовательных приближений, опирающихся на специальную форму представления условий стационарности и отыскания координат анодной границы в виде функций в области комплексного потенциала.
В работе /73/ впервые дано представление граничного условия стационарности в виде связи модуля и угла наклона вектора скорости фиктивного течения идеальной несжимаемой жидкости. Это позволило установить важную гидродинамическую аналогию задач ЭХО. Для решения задач электрохимического формообразования был применен метод перехода в область годографа в работах /27, 28/. Этим методом было решено большое количество задач для различных конфигураций катодных устройств /26, 30/.
Различные задачи анодного формообразования при ЭХО были решены в работах В.М.Волгина 111, В.В.Любимова, В.П. Житникова, А.Н. Зайцева /22/, В.Г.Насибулина /54/, А.С. Тихонова, А.Н. Салихова /37, 38/, А.Ю.Шкарбан /64/, Т.Р.Идрисова, K.R.Rajurkar, De Barr, D.E. Collet /68/. В работах В.П. Житникова рассматриваются осесимметричные задачи формообразования.
Необходимо отметить работы польских ученых Е. Козака, П.Домановского /71/, рассматривающие прямые и обратные задачи ЭХО, работу M.Zybara-Skrabalak и A. Ruszaj /76/, в которой изучается влияние геометрии электрической поверхности на структуру формообразования, работы Л.Дамбровского, который также рассматривают динамику формообразования при ЭХО.
В работах В.В. Клокова, Д.В. Маклакова, СЕ. Шишкина. Е.Р. Газизова получены первые результаты по расчету анодного формообразования по модели, отклоняющейся от идеальной.
А.В. Кузнецов разработал оригинальный метод получения требуемой поверхности детали путем специального распределения потенциала на не-профилированном катоде /47/.
А.Н.Зайцевым был разработан метод построчной электрохимической обработки.
Проблемы расчета формообразования заданным катодом-инструментом рассматриваются в работах J.A. McGeough, A.K.De Silva /72/ (Великобритания). Нидерландский ученый H.S.J.Altena для решения задач формообразования использует графический метод решения.
Для повышения точности электрохимического формообразования П.Н. Корчагиным изготавливались и использовались сотовые катоды-инструменты с подводящей и отводящей полостью, отверстиями, изучалось движение электролита с помощью фотосъемки /55/.
Влияние диэлектрических покрытий на анодное формообразование изучалось в работах В.В. Клокова, Н.М. Миназетдинова /35/, А.Н.Салихова /37,38/. Рассматривался катод, имеющий изоляцию на боковой поверхности.
В работах Н.А. Амирхановой 121, Н.И. Маркеловой, А.Н.Зайцева исследуется механизм удаления катодных отложений (шламов, продуктов реакции оседающих на КИ и фактически изменяющие процесс) и их влияние на анодное формообразование.
В докторской диссертации К.М.Газизуллина изучается влияние загазованности на анодное формообразование.
Процесс электрохимической размерной обработки реализуется при обязательной прокачке электролита в межэлектродном зазоре и его гидродинамическое описание является сложной задачей. Сложность описания
обусловлена многофазностью среды, совершающей движение в зазоре; она состоит из твердых частиц (шлама), пузырьков газа (газообразных продуктов реакции), переносимых водным или неводным раствором электролита. Особая проблема описания таких движений имеет место в областях подачи электролита в межэлектродный зазор или его отбора. Способы подачи электролита в зазор определяются различными технологическими схемами, но все они предназначены для подвода и отвода продуктов реакции из узких межэлектродных зазоров. Существуют схемы перфорированных и даже пористых катодов инструментов. Большие трудности возникают при описании гидродинамических потоков в окрестности кромок катодов-инструментов, в областях подтравливания под изоляцию. При этом следует учитывать изменения границ областей течения, вызванные возможным движением катода-инструмента и растравливанием анодных границ в процессе электрохимического формообразования. В ряде режимов электрохимической обработки наблюдаются запирания зазора газовыми пузырьками или твердыми продуктами реакции, приводящими к коротким замыканиям.
Расчет течения электролита в межэлектродном промежутке при электрохимической размерной обработке металлов одна из важных задач описания процесса. Течения электролита может оказывать заметное влияние на процесс электрохимического формообразования. Так в областях пониженного давления расширение пузырьков приводит к образованию газовых полостей, каверн, оказывающих существенное влияние на ход процесса.
Проблемы изучения гидродинамики при ЭХО были поставлены в первых теоретических исследованиях процесса, они были предметом обсуждения на специальных научных конференциях и являются актуальными и в настоящее время. Решение этих проблем осуществлялось на основе гипотез, главным образом, одномерного описания движения. Но при решении всех гидродинамических задач необходимо учитывать влияние на это движение процесса формообразования. Одномерные методы расчета формо-
образования и гидродинамика течения были представлены в работе /28/. Описание гидродинамики течения с учетом неодномерного характера течения в межэлектродном зазоре при стационарном режиме обработке до настоящего времени проведено недостаточно. В работе /30/ дан метод расчета гидродинамических полей при стационарном режиме ЭХО, основанный на установлении соответствия плоскопараллельных потенциальных электростатических и гидродинамических полей. Этим методом был решен ряд задач о течении электролита в окрестности электродов-инструментов в виде пластинки конечной и бесконечно малой толщины при некоторых вариантах подачи электролита в межэлектродный зазор. Выполнялся расчет полей давления. В работах профессора Л.М.Котляра, Н.М.Миназетдинова, А.И.Воронковой (г. Набережные Челны) учитывалось влияние развитой каверны на процесс формообразования, основанный на тех же гипотезах соответствия полей /46/.
Решение задач стационарного формообразования при допущениях потенциальности электростатических и гидродинамических полей позволило разработать алгоритм расчета течения электролита в межэлектродном зазоре. Были рассчитаны линии тока течения, изобары и изотермы в области сложной конфигурации, в частности, в окрестности острой кромки катода-инструмента, в зонах подтравливания под изоляцию и т.д. Анализ течения в окрестности истечения электролита в зазор позволил оценить области возможной кавитации в потоке.
Гидродинамика при стационарной ЭХО рассчитывалась в работах /5, 21, 33 - 40, 54/. В работах /21, 33, 35, 37, 38, 54/ проведен расчет плоскопараллельных гидродинамических полей для идеальной несжимаемой жидкости при стационарной электрохимической обработке. Линии тока и изобары для катода-пластинки построены в /33/ при подаче электролита из бесконечно удаленной точки и из торцевой точки катода-инструмента. В этой работе также рассчитываются линии тока при подтравливании под
изоляцию. Расчет поля скоростей при обработке катодом с изолированной боковой гранью выполнен в работе /33/. В работе /34/ был выполнен расчет поля давления при обработке наклонным прямоугольным трехгранным катодом-инструментом с изоляцией на боковой грани и части торцевой грани и без изоляции, и, как частный случай, рассмотрено гидродинамическое поле при обработке наклонной пластинкой с изолированной стороной и без изоляции, когда электролит подается из бесконечно удаленной точки. Гидродинамические поля рассчитаны для катода-инструмента с наклонной к подаче рабочей поверхности и изолированными боковыми гранями в работе /37/, подача электролита осуществляется через щель в теле катода. При обработке прямоугольным катодом с изолированными боковыми гранями в работе /21/ выполнен численный расчет линий тока и поля скоростей при подаче электролита из бесконечно удаленной точки. Расчет гидродинамики при фрезеровании трехгранным электрод инструментом с двумя изолированными гранями при подачи электролита из точечного источника на рабочей поверхности выполнен в работе /38/.
В работах /5,34,39/ рассчитываются гидродинамические поля в межэлектродном зазоре. Потенциальное ядро течения рассчитывается по модели идеальной несжимаемой жидкости. Вязкость учитывается моделью турбулентного пограничного слоя. В работе /34/ рассчитаны вязкие напряжения при ЭХО трехгранным катодом с источником электролита на рабочей поверхности. Для катода-пластинки, когда течение индуцируется источником на боковой поверхности катода, гидродинамика рассчитывается в 151.
Построение теории расчета потенциальных течений в ядре потока позволило в рамках допущений пограничного слоя оценить величину касательного напряжения на границах электродов (Л.Л. Лебедев 151, А.Н.Салихов /37,38/, А.Ю.Шкарбан /64/). Это важно с точки зрения решения проблемы отрыва и выноса продуктов реакции из зазора. На основе
тех же решений выполнен анализ тепловых полей в зазоре с учетом джо-улева тепловыделения и переменности температуры на границах электродов в зависимости от локальной плотности тока (А.Ю.Хасанова /36/). При допущениях малого влияния течения в областях торможения потока проведен расчет движения продуктов реакции в этих областях под действием гидродинамического поля давления (А.Ю.Шкарбан /64/). Показана возможность скопления на границе продуктов реакции и возникновения в силу этого обстоятельства зон, локализующих процесс ЭХО. Разработан метод расчета анодной поверхности при наличии указанных зон локализации.
Таким образом, приведенный обзор работ свидетельствует о недостаточно изученной проблеме влияния изоляции на катоде-инструменте, а особенно на торце катода-инструмента на формообразование, изменение характера гидродинамики течения с учетом этого обстоятельства.
Поэтому цель настоящей работы состоит в следующем:
Разработать метод и методику расчета стационарного электрохимического анодного формообразования и гидродинамики электролита катодом-инструментом с изоляцией на торце, применяемых при изготовлении пазов и резки электродов, для вариантов обработки по схеме скруглення острых кромок и заточки. Катоды-инструменты могут иметь специальную выступающую диэлектрическую сетку, что приводит к асимметричности характера анодной границы. Разработать программный комплекс для расчета на персональных ЭВМ с возможной реализацией диалогового режима.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах /9-16, 63/. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит следующее: в работах 19, 10, 63/ метод расчета формообразования и гидродинамики течения, алгоритмическая и программная реализация расчета, построение анодной границы и гидродинамических линий, анализ результатов расчета. Соавтору - постановка задачи и анализ результатов.
В первом разделе диссертации рассматриваются задачи формообразования и гидродинамики течения электролита при стационарной электрохимической обработке катодом-инструментом с изоляцией на торце.
В первом пункте данного раздела приводится постановка задачи электрохимического формообразования катодом-инструментом с изоляцией на торце.
Во втором пункте приводится алгоритм расчета анодной границы в случае плоского изолированного торца катода-инструмента.
В третьем пункте производится расчет гидродинамических линий тока по схеме обтекания электролитом катода-инструмента.
В четвертом пункте приводится алгоритм расчета анодной границы в случае изломанной изоляции на торце катода-инструмента.
В пятом пункте приведен анализ влияния излома изоляции на анодное формообразование и гидродинамику течения электролита в межэлектродном зазоре.
Результаты этого раздела изложены в работе /63/.
Во втором разделе диссертации рассматривается решение задачи двумерного стационарного электрохимического формообразования методом годографа для вариантов обработки по схеме скруглення острых кромок и заточки инструмента. Рассчитывается гидродинамика течения электролита в межэлектродном зазоре.
В первом пункте данного раздела приводится постановка задачи электрохимического формообразования катодом-инструментом с изоляцией на торце при априорном характере границы.
Во втором пункте дан алгоритм и результаты расчета анодной границы.
В третьем пункте производится расчет гидродинамических линий тока и эквипотенциалеи для различных схем истечения электролита в МЭЗ. Это схема обтекания электролитом катода-инструмента, схема пода-
чи электролита в МЭЗ через торец КИ, схема с дополнительной подачей и отбором электролита в МЭЗ.
В четвертом пункте приводится расчет поля давления и построение изобар для вышеуказанных схем истечения электролита в МЭЗ.
Результаты этого раздела опубликованы в работах /9, 10, 11, 13/.
В третьем разделе диссертации рассматривается решение задачи асимметричного электрохимического формообразования. Приведены результаты расчета и дан анализ влияния асимметрии зазора на анодное формообразование и гидродинамику течения.
В первом пункте дан алгоритм и выполнен расчет анодной границы.
Во втором и третьем пункте дан метод расчета линий тока и эквипо-тенциалей для трех различных схем течения электролита. Приведены результаты расчета и их анализ.
Результаты этого раздела опубликованы в работах /12, 13/.
В четвертом разделе диссертации рассматривается задачи расчета формообразования и гидродинамики течения электролита при стационарной электрохимической обработке катодом-инструментом с выступающей сеткой на торце. Рассматриваются различные способы подачи электролита в межэлектродный промежуток.
В первом пункте данного раздела приводится алгоритм расчета анодной границы при ЭХО катодом-инструментом с сеткой на торце.
Во втором пункте производится расчет гидродинамических линий тока и эквипотенциалей для трех различных схем подачи электролита в МЭЗ.
В третьем пункте приводится расчет поля давления и построение изобар для двух схем истечения электролита в МЭЗ.
В четвертом пункте в рамках модели турбулентного пограничного слоя разработан алгоритм и выполнен расчет касательных напряжений на
анодной границе в зависимости от схем межэлектродного зазора и способа подачи электролита.
В пятом пункте приведен алгоритм расчета гидродинамического воздействия на выступ сетки. Расчет давления жидкости на выступ сетки осуществляется на основе интеграла Бернулли. Прочностные характеристики рассчитываются в рамках теории сопротивления материалов. По этим зависимостям можно выбирать технологические параметры процесса.
Результаты этого раздела опубликованы в работах /14 - 16/.
В заключении кратко подведены итоги выполненной работы.
Результаты проведенных числовых расчетов представлены в диссертации в виде рисунков, графиков и таблиц.
На защиту выносятся:
Разработка метода и методики решения задач по расчету симметричного формообразования при стационарной ЭХО катодом-инструментом с изоляцией на торце.
Разработка метода и методики решения задачи по расчету асимметричного анодного электрохимического формообразования катодом-инструментом с изоляцией на торце.
Разработка метода и методики решения задачи по расчету электрохимического анодного формообразования катодом-инструментом с выступающей сеткой на торце.
Разработка метода и методики расчета гидродинамики течения электролита в межэлектродном зазоре при стационарном ЭХО для различных схем подачи электролита.
Численные расчеты по разработанным методикам и их анализ.
Диссертационная работа выполнена на кафедре аэрогидромеханики Казанского государственного университета. Тема диссертации связана с выполнением плановой темы «Краевые задачи теории электрохимической размерной обработки» № Гос. Регистрации 01910049980, 01960002006, являющейся частью основного научного направления КГУ «Краевые задачи и их приложение». Диссертация выполнялась также в рамках и при поддержки грантов: Фундаментальным исследования технологических проблем производства авиакосмической техники (головная организация МГА-ТУ им. Циолковского) на тему: «Развитие системы программного обеспечения проектирования катода-инструмента и расчета формообразования размерной электрохимической обработки деталей». (1996-1997гг.); гранта АН Республики Татарстан №01-18 на тему: «Математическая модель процесса размерной электрохимической обработки (ЭХО) металлов» (1998г.,2002г.).
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета ( 1993,1996-2003 гг.), на городском научно-методическом семинаре по теоретической механике (г. Казань 1997г.), на I Международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительной технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении.» (г. Казань 1997), на Международной научно-технической конференции «Механика машиностроения» (г. Н.-Челны 1997), на II Международном научно-практическом семинаре «Современные электрохимические технологии в машиностроении» (г. Иваново 1999), на Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (г. Казань 2000), на Молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2002» (г. Казань 2002), на Международной научно-практической конференции «Наука и практика. Диалоги нового века» (г. Набережные Челны 2003).
Разработка метода расчета анодной границы в случае плоского изолированного торца катода-инструмента
В данном разделе решена задача анодного формообразования при стационарной электрохимической обработке плоским катодом, имеющем изоляцию на торце. Получены анодные линии с учетом двумерности электрических полей в зазоре. Схема правой симметричной части межэлектродного зазора (МЭЗ) показана на рисунке 1.1, где 1 - катод-инструмент с изоляцией DC и рабочей гранью СВ, параллельной направлению подачи, DC ортогональна этому направлению; 2 - обрабатываемая деталь с неизвестной анодной границей АМВ. На линии АМВ выполняется условие стационарности. Ось симметрии совпадает с осью у, начало координат с точкой D. Ширина катода-инструмента 2/ является заданной. Требуется определить границу области Dz существования аналитической функции W{z) = ф + і \/, (где \/ - потенциал электростатического поля, ф- функция электрического тока) при выполнении следующих граничных условий: w\AMB - 0; w\BC - Я (условия эквипотенциальности границ); р\ = 0 (условие не протекания тока через изоляцию); \dW\dz\ =cos# (условие стационарности, 9-угол наклона касательной АМВ к оси х-ов), ф. = 0. Последнее равенство является условием симметричности анодной границы и катода-инструмента при рассмотрении не всей области Dz, а только ее правой половинки относительно оси у (или условием на изоляцию). Изоляции или линиям симметрии соответствуют линии непрерывно распределенных источников. Параметр q определяется известной величиной тока, протекающего между электродами. В расчетах полагаем q = 1.
При решении задачи используется ее гидродинамическая интерпретация. За величину V принимается скорость безотрывного фиктивного потока идеальной несжимаемой жидкости, истекающей на участке AD и DC из непрерывно расположенных источников. В силу указанных условий в плоскости dW/dz-V = Vx-i-Vy анод НОИ границе АМВ соответствует окружность \vx— +{-vyf = —, а другим участкам - лучи. Соответствие точек указано на рис 1.2. Выполним преобразование инверсии д = l/V области Dp относительно окружности единичного радиуса. Тогда область Dp, соответствующая Dz, перейдет в область D , представляющей собой четырехугольник с двумя вершинами в бесконечности и углами: ав = О, аА = л/2, aN = 2п, OLD=- ТІ/2 (рис. 1.3). Введем вспомогательную переменную t с областью изменения в верхней полуплоскости Dt (рис. 1.5). При соответствии граничных точек, указанных на рис. 1.1-1.5, осуществим с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца конформное отображение Dt на D и Dw. Функция отображает Dt на D . Здесь учтено соответствие tc = у, C,z = 0. Коэффициент С определяется из рассмотрения приращения функции С, при обходе точки В и равен С = — . Функция "(/) после преобразований выражается через элементарные аналитические функции и имеет вид: Согласно граничным условиям область комплексного потенциала Dw есть полуполоса (рис. 1.4), треугольник с одной вершиной в бесконечности и углами: ав = 0, аА =п/2, ас = тг/2. Отображение верхней полуплоскости D, на Dw осуществляется интегралом Кристоффеля-Шварца вида ds (1.6) W(t) = Cx\ Здесь учтено соответствие точек tA = 0 и WA = 0. Коэффициент С] определяется из рассмотрения приращения функции W при обходе точки В и равен В соответствии с определением сопряженной скорости V можно установить связь комплексных переменных z и t: В рассматриваемом случае имеем 9) Для нахождения параметрических уравнений анодной границы проинтегрируем выражение dz по вещественной оси t от точки А и выделим вещественную и мнимую части в результате интегрирования: Интеграл J6 после замен переменных s = \ju, s - sjyu -1, приводится к табличному интегралу и равен Алгоритм расчета анодной границы состоит в следующем.
Задается ширина катода-инструмента 21. По формулам (1.8),(1.11) вычисляются параметры у и 1-v, по формуле (1.12) - начальная точка анодной границы (0,уА). Затем, предварительно создав массив t (0 t; 1), по формулам (1.13) находятся остальные точки анодной границы ( /( -), ,- ( /)) Алгоритм работает при условии, что половина ширины КИ / не превышает величины 0.448 : / 0.448. При увеличении длины изоляции анодная граница подтягивается к торцу КИ, но удаляется от боковой рабочей поверхности КИ, межэлектродное расстояние уменьшается и это ограничивает длину /, при которой решается задача. В качестве примеров были рассчитаны анодные границы для /=0.01,0.1,0.25,0.3,0.4,0.44 (рис. 1.6,1.7). Особенностью анодной границы является наличие при / 0.259 (v 0) точки перегиба. Это объясняется
Алгоритм расчета формообразования при рассмотрении всей физической области
Рассмотрим теперь всю физическую область Dz (рис.2.8). Всей области Dz будет соответствовать плоскость Dt (рис.2.10) с разрезом по положительной вещественной оси (правой симметричной части соответствует верхняя полуплоскость Dt, левой - нижняя полуплоскость Dt). Отобразим эту плоскость на верхнюю полуплоскость Dx преобразованием х = лд (рис. 2.11). Итак, сделав замену переменной t на х , приходим к тому, что все формулы, полученные при решении задачи для правой симметричной части МЭЗ, будут справедливы для всей области Dz. Производная функции, конформно отображающая область Dx на область Dw определяется по формуле Кристоффеля-Шварца вида: Функция, отображающая конформно область Dx на DQ имеет вид: Функция, устанавливающая соответствие точек области Dx и Dz, определяется следующей формулой: где p. - математический параметр и yN N (V = 1, ф = \/ = 0) вычисляются по формулам: ордината точки Таким образом, для того чтобы решить задачу по отысканию анодной границы AMXNM2B для случая симметричного формообразования, достаточно: 1) решить задачу для правой симметричной части Dz; 2) ввести переменную x = yjt. Важной проблемой теории ЭХО является описание движения электролита в МЭЗ. В данном пункте рассмотрены три схемы течения электролита в МЭЗ. Первая схема - схема обтекания: подача электролита через МЭЗ; вторая схема - схема истечения: подача электролита через торец катода-инструмента; третья схема - обобщение двух предыдущих схем: подача электролита через МЭЗ с дополнительной подачей и отбором электролита через торец катода-инструмента. В качестве модели течения электролита используется модель идеальной, несжимаемой среды, совершающей установившееся потенциальное плоскопараллельное движение. Решается гидродинамическая задача по нахождению гидродинамического комплексного потенциала Wr, удовлетворяющего следующим граничным условиям: 1) для схемы обтекания - \ц\ш = 0; y\DCB = 1; Ц \ш = 0; 2) для схемы истечения - y\DNB = 0; \\f\CB -1; q \DC = 0; 3) для общей схемы - \\f\NB = 0; \\i\CB = 1; ?\NDC = 0. В основе решения задачи лежит положение о соответствии потенциального гидродинамического и электростатического полей, описываемых соответственно комплексными потенциалами Wr и W3. Потенциал фиктивного потока W3 определяется формулой (2.4):
Области гидродинамического комплексного потенциала всех трех схем, описанных выше, приведены на рис.2.11 (а, б, в). Они представляют собой полуполосы шириной q. Величина q характеризует расход жидкости, протекающей в межэлектродном пространстве (и без ограничения общности можно считать q = 1). Введем вспомогательную переменную s с областью изменения в верхней полуплоскости Ds (рис.2.12). Функция конформно отображает соответствующую полуполосу Z) (рис.2.11 а,б,в) на соответствующую верхнюю полуплоскость $ (рис.2.12а,б,в) с указанным соответствием точек. Обратная ей функция Wr(is ) имеет вид: Конформное отображение верхних полуплоскостей Ds на полуплоскость Д(рис.2.10) осуществляется дробно-линейной функцией s(t), конформное отображение области Ds на Dw - формулой Кристоффеля-Шварца вида: для 1-ой схемы Для построения линий тока и линий эквипотенциалей течения жид кости имеем исходную формулу24) получим выражение, связывающее точки области комплексного потенциала Dw с физической областью Dt: где вспомогательная переменная s(Wr) находится из (2.16). Полагая Wr - ф + / \\f, получим для нее следующее выражение: s = COSTI\J/ сп(щ) + isinny - sh(n p) (2.26) Разделяя вещественную и мнимую части в (2.25) и интегрируя по линии ці = const (Wr = ф + іСк, 0 Ск 1, ф 0, dWY =d p) получим параметрические уравнения линий тока: ф/ х(фг) = Re \dz + л;к о Фі Яф/) = Im \dz + yK (2.27) Интегрируя по линии ф = const (Wp = Ск +i\/, Ск 0, 0 \j/ 1, cfffr = /сгц/) получим параметрические уравнения эквипотенциален: Здесь хк, ук - координаты начальной точки К линии тока VJ/ = Ск (эквипо-тенциали ф = Ск), для нахождения которых полагаем: Wr=iCK (Wr = CK). Учитывая связь s(Wr), t(s), координаты точки К находим интегрируя выражение (2.5) от точки D (N, С). Для первой схемы обтекания имеем следующую формулу для построения линий тока и эквипотенциалей: В расчетах полагаем q = 1. Для линии тока VJ/ = 0 переменная s будет иметь вид 5 = c/j(rap). Разделяя Re и Im части в выражении (2.29) и интегрируя их от точки А, получим параметрические уравнения гидродинамических линий. Для линии тока \/ = 0 имеем следующие уравнения
Результаты расчета показывают совпадение нулевой линии тока с анодной границей, что подтверждает достоверность алгоритма расчета линий тока. Для построения линии тока i/ = С - начальная точка К берется на DN ( є(-оо,0]). Координата точки К в области Dt находится по формуле (2.18). С учетом зависимости s(Wr) (2.26) и граничного условия ф =0, она имеет вид Интегрируя выражение (2.5) от точки N до точки К, после подстановок s = , u = yjs получим выражения для нахождения координат точки К в физической области Dz: построения эквипотенциали ф = С начальная точка К берется на анодной границе NMB (0 tK 1). Учитывая граничное условие \у\ NMB в выражении (2.29), из (2.18) получим координату точки К в области Dt В физической области Dz координаты точки К находятся по параметрическим формулам анодной границы (2.8). В случае второй схемы, схемы истечения, исходная формула для построения гидродинамических линий с учетом зависимости t(s) (2.20) и вы ражения (2.34) симости t(s) (2.20) по следующей формуле: В физической области Dz координаты точки К находятся после интегрирования dz (2.5) от точки D до точки К. После устранения слабополярных особенностей в подынтегральном выражении подстановками t = l/s, и = yfs, s = yjl-yu , формула для нахождения координаты точки К имеет вид:
Метод расчета гидродинамических линий для схемы обтекания
Важной проблемой теории ЭХО является описание движения электролита в МЭЗ. Разработан метод расчета гидродинамики течения для схемы обтекания. Граница изоляции при такой схеме является линией тока. Течение электролита, как и в предыдущих задачах, будем моделировать потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. В области гидродинамического комплексного потенциала имеем следующие граничные условия: q (рис.3.10). Производная функции, конформно отображающая верхнюю полуплоскость Dx (рис.3.4) на область Dw определяется по формуле Кри стоффеля-Шварца вида: Здесь учтено соответствие точек xD = со и Wr\D=iq. Из (3.14) найдена явная зависимость т = x(WT): Исходной формулой для построения линий тока и эквипотенциалей является следующая формула: выражение, устанавливающее соответствие между областью Dw и физической областью Dz : Разделяя вещественную и мнимую части в (3.17) и интегрируя по линии \/ = const (Wr = ф + і Ск, 0 Ск 1, dJFr = Й?ф) получим параметрические уравнения линий тока: В расчетах для ф 0 использовали выражение dz в виде Интегрируя по линии ф = const (Wr = Ск + і if/, Ск 0, 0 і/ 1, J p = г іц/) получим параметрические уравнения эквипотенциален: Здесь хк, ук - координаты начальной точки К линии тока у = Ск (экви-потенциали ф = Ск), для нахождения которых полагаем:
По формуле (3.14) находится координата хк начальной точки К в Dx. Она равна Интегрируя выражение dz (3.4) от точки D (zD =оо) до точки К и учитывая граничное условие zD = 0, получим выражение для координат точки К в физической области Dz: ds Выполним замену переменных u = \/s,s = uih в подынтегральном выражении, приводящую к выражению интеграла с вещественными пределами. Разделим полученное выражение на вещественную и мнимую части и в итоге получим параметрические формулы для нахождения координат точки К: НарисЗ.П представлены линий тока и эквипотенциали Как видно из результатов расчета, для схемы обтекания сгущение линий тока характерно в МЭЗ. Линии тока \j/ = 0.1, у = 0.3, у = 0.5, как и анодная граница, имеют точку перегиба. При рассмотрении двух других схем будем предполагать, что точка D является точкой разветвления потока. Тогда области гидродинамического потенциала будут симметричными, и нахождение линий тока будет аналогично симметричной задаче. Были получены следующие параметрические уравнения линий тока. Для 2-ой схемы истечения: ф/ J о dz определяется по формуле (2.34) для симметричной задачи. Для 3-ей схемы: где dz - определяются по формуле (2.38) для симметричной задачи. Здесь хк, ук - координаты начальной точки К линии тока vj/ = Ск (экви потенциали ц = Ск), для нахождения которых полагаем: Расчеты линий тока представлены на рис.3.14, 3.15. рис.3.15 Линии тока (схема истечения) /г=0.1, /2=0.25. 1 .\\f = 0.1;2.\/ = 0.3;3.\/ = 0.5;4.\/ = 0.7;5.\/ = 0.9 Как видно из результатов расчетов линии тока имеют асимметричный вид и при л: 3 представляют собой лучи. Итак, в данном разделе решена задача расчета асимметричного формообразования и гидродинамики течения электролита в МЭЗ при ЭХО. Катод-инструмент имеет форму пластины с изолированным торцом, в качестве которого может служить диэлектрическая сетка для подачи и отбора электролита. Разработан алгоритм расчета стационарной анодной границы указанным катодом-инструментом при допущении ее асимметрии.
При расчете этой границы использован аппарат теории функции комплексного переменного, возможность применения которого определена моделью идеального анодного формообразования. Установлено, что величина выхода по току оказывает влияние на геометрические размеры электрохимического формообразования. На основе гипотезы потенциальности электростатических и гидродинамических полей получены выражения комплексного потенциала течения жидкости. Разработан алгоритм расчета линий тока в МЭЗ для схемы обтекания, схемы истечения и комбинированной схемы. Приведены результаты расчета. Изучено влияние асимметрии на анодное формообразование и гидродинамику течения.
Метод и методика расчета линий тока при схеме с частичным отсосом
Истечение электролита в ячейку описываем следующими двумя схемами. Первая схема - схема с частичным отсосом электролита через диэлектрическую сетку на катоде-инструменте (рис. 4.5), вторая - схема обтекания катода-инструмента (рис. 4.7). Течение электролита будем моделировать потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. VAAE -ЯГ, Vr\cB = 1Г Vr\ANB =0, Ц Г\ЕОС=0. В основе решения задачи о гидродинамике течения лежит так же положение о соответствии потенциальных гидродинамического и электростатического полей, описываемых соответственно комплексными потенциалами Wr и W3. Потенциал гидродинамического потока Wr определяется с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца. Коэффициент Сз определяется из рассмотрения приращения функции Wr при обходе точки А и равен а при обходе точки В имеет вид Учитывая тождественность этих выражений, получим зависимость q\y от дг и математических параметров задачи е и у: Задача решена в варианте, когда qw=q\3=q\ и 7г- 7э=1 Для нахождения \\і на участках сетки CD и ED проинтегрируем выражение (4.11), предварительно устранив слабополярные особенности и Из определения комплексно-сопряженной гидродинамической ско - dW Idt рости Vr = r — с учетом формул (4.1), (4.2), (4.3), (4.12) получим C,[t)dW/dt электролита установившееся, поэтому в качестве основных уравнений для получения расчетных формул по построению линий тока берутся выражения скорости Vx = dx/dt, V - dyjdt, где dt приращение по времени. Записав уравнения движения через конечнораз-ностные соотношения, получим рекуррентные формулы для координат (х,у) линий тока: Для определения t\ имеем систему нелинейных уравнений где x(tj), y(tj) определяются формулой (4.6).
Эта система решается модифицированным методом Ньютона-Канторовича, который описан в первом разделе. Алгоритм расчета линий тока заключается в следующем: 1.Задаем начальную точку t(a,o). 2.Находим ее координаты в области Dz z(x,y0) по формуле (4.6). 3. По формуле (4.17) находим гидродинамическую скорость V(Vpx,VpAв этой точке. 4. Находим следующую точку (хьуі) линии тока по формуле (4.18). 5. Решая систему (4.19), найдем ее координату в области Dt t a b1). 6. Задаем t= t1 . Цикл повторяется 1-6. Результаты расчетов линий тока представлены на рис. 4.6. Через МЭЗ протекают линии тока v/ = C, 0 C \/D. Линии тока i/ = C, \\fD C qir протекая через сетку EDC, смещаются вдоль оси х влево, к рабочей поверхности катода-инструмента ВС. Если торец катода-инструмента представляет собой диэлектрическую поверхность (не сетку), то поток электролита будет обтекать эту поверхность, и тогда решается задача по нахождению комплексного гидродинамического потенциала Wp, удовлетворяющего следующим граничным условиям: Область гидродинамического комплексного потенциала схемы обтекания представляет собой полосу шириной qv (рис. 4.7). рис. 4.7 Величина qr характеризует расход жидкости, протекающей в межэлектродном пространстве. Расчеты проведены для г = 1. Производная функции Wr определяется из рассмотрения приращения функции Wr при обходе точки В и равен C = -2q/%2. После интегрирования функция Wp{t) имеет вид: Для построения линий тока и линий эквипотенциалей течения жид Учитывая выражение (4.13), получена следующая формула Разделяя вещественную и мнимую части в (4.22) и интегрируя по линии \\t = const (Wr =ц +іСк, 0 СК 1, ф 0, dWT = dip) получим параметрические уравнения линий тока: ф/ лг(ф,-) = Re J dz + хк о Ф/ Яф/) = 1т \dz + yK (4.24) Интегрируя по линии ф = const (Wr =CK+i\\i, Ск О, 0 \}/ 1, dWT = id\\f) получим параметрические уравнения эквипотенциалей: (i/;) = Re jdz + .x:K о V/ 3 (V,-) = bn J fe + Здесь хк,ук - координаты начальной точки К линии тока \/ = Ск (эквипотенциали ф = Ск), для нахождения которых полагаем: Для нахождения начальной точки К сначала найдем ее координаты в области D, по формуле (4.23) а потом - в физической области Dz, проинтегрировав dz (4.6) по следующему пути NPK, где на NP =г\, О t2 Ъ, на Ж г , a, t2=b, и разделяя Re и Im части:
Результаты расчетов линий тока представлены на рис. 4.8. Для достоверности результатов разработанного алгоритма был выполнен расчет линии тока \\i = 0, которая совпала с анодной границей (табл.4.5). Анализ расчетов показывает наличие зоны застоя в окрестности точки С и сгущение линий тока в окрестности точки D, где V = оо. Для анализа динамики известного течения на процесс ЭХО необходимо знать поле статического давления. Из интеграла Бернулли для идеальной жидкости при пренебрежении полем силы тяжести следует, что изобары соответствуют изохорам течения. Поэтому о поле давления можно судить, если знаем поле скоростей. - dW Известно, что Vr = ——. Тогда для схемы обтекания выражение для dz гидродинамической комплексно-сопряженной скорости получим из формул ы(20):
