Содержание к диссертации
Введение
1 Сильные разрывы и ударно-волновые структуры в газовой динамике 22
1.1. Основные соотношения на двумерном нестационарном газодинамическом разрыве 24
1.2. Особые интенсивности и скорости распространения косой ударной волны 27
1.3. Основные соотношения на скачке уплотнения. Плоскость интенсивностей волн 31
1.4. Основные соотношения в волнах Прандтля - Майера. 35
1.5. Основные соотношения на ударной волне и в волне Ри-мана . 38
1.6. Ударно-волновые структуры и их отображения на плоскости интенсивностей волн , 40
1.7. Постановка задачи о взаимодействии двух плоских сверхзвуковых равномерных потоков, встречающихся под некоторым углом .1 43
1.8. Анализ задачи на плоскости интенсивностей волн 45
1.9. Решения задачи при больших значениях угла / 48
1.10. Решение задачи в случае, когда точка О принадлежит области, ограниченной огибающей и предельной кривой. 55
1.11. Решение задачи в случае, когда точка О расположена внутри области, ограниченной огибающей 60
1.12. Постановка задачи о распаде центрированной волны сжатия 64
1.13. Решение задачи о распаде центрированной волны 69
1.14. Обращение движения в задачах о движении нестационарной косой ударной волны 75
1.15. Регулярное отражение плоской ударной волны от клина. 77
1.16. Нестационарная ударно-волновая конфигурация, образующаяся при движении ветвящейся ударной волны в тройной конфигурации ударных волн 80
2 Взаимодействие сильных и слабых разрывов 85
2.1. Постановка задачи о связи производных на сильном разрыве. 86
2.2. Связь производных на сильном разрыве в случае неособой матрицы А 88
2.3. Связь производных на сильном разрыве в случае особой матрицы А 90
2.4. Основные уравнения, описывающие стационарные сверхзвуковые течения совершенного невязкого газа 97
2.5. Связь производных на криволинейном скачке уплотнения 100
2.6. Основные уравнения, описывающие нестационарное од
номерное течение совершенного невязкого газа 106
2.7. Связь производных на нестационарной одномерной ударной волне 108
2.8. Соотношения на слабых разрывах. Продолженные системы. Транспортные уравнения 114
2.9. Слабые разрывы в стационарном сверхзвуковом потоке. 119
2.10. Слабые разрывы в нестационарном одномерном потоке. 122
2.11. Взаимодействие сильного и слабого разрывов 126
2.12. Обобщенный инвариант Честера - Уизема 133
2.13. Взаимодействие скачка уплотнения со слабыми разрывами 135
2.14. Особые интенсивности скачка уплотнения 142
2.15. Взаимодействие нестационарной ударной волны со слабым разрывом , 144
2.16. Кривизна скачка уплотнения в перерасширенной струе, истекающей из источника 149
Взаимодействие простых волн между собой 151
3.1. Простые волны индекса к в 152
3.2. Простые волны в сверхзвуковой стационарной газовой динамике 156
3.3. Простые волны в нестационарной одномерной газовой динамике 163
3.4. Взаимодействие простых волн между собой 166
3.5. Схема взаимодействия простой волны Прандтля - Май-ера со сдвиговым слоем 169
3.6. Слой со слабой завихренностью 173
3.7. Построение равномерно пригодного разложения методом деформируемых координат 183
3.8. Построение решения в области за замыкающей характеристикой волны 188
3.9. Образование скачка уплотнения в отраженной от стенки волне 193
3.10.Взаимодействие вихревого слоя с простой волной, разворачивающей поток на малый угол. Разложение по параметру 197
3.11. Взаимодействие вихревого слоя с простой волной, разворачивающей поток на малый угол. Разложение по координате 201
3.12. Взаимодействие простой волны со встречной простой волной, кривизна линий тока в которой мала 207
Взаимодействие простых волн с сильными разрывами 211
4.1. Общая схема взаимодействия сильного разрыва со встречной простой волной 213
4.2. Приближенные аналитические методы решения задач взаимодействия сильного разрыва со встречной слабой волной 216
4.3. Схема взаимодействия скачка уплотнения со встречной волной разрежения 220
4.4. Анализ результатов численных расчетов поля течения в области взаимодействия 223
4.5. Построение решения в случае малой ширины падающей волны 229
4.6. Построение решения в случае малой завихренности потока в области за скачком 244
4.7. Приближенные интегральные соотношения, описывающие поведение газодинамических переменных на выходе из области взаимодействия 24S
4.8. Взаимодействие волны разрежения с догоняющим скачком уплотнения 262
4.9. Критерии типа отраженной волны 267
4.10. Приближенная аналитическая модель течения в первой бочке перерасширенной струи , 270
5 Простейшие задачи дискретного оптимального управления в газовой динамике 276
5.1. Ударно-волновые системы в стационарном двумерном потоке 277
5.2. Оптимальные ударно-волновые системы. Связь с теорией дискретного оптимального управления 281
5.3. Оптимальные системы с простыми волнами 282
5.4. Формулировка основных результатов в задаче о максимизации статического давления 285
5.5. Вспомогательные предложения 287
5.6. Оптимальные двухскачковые системы 291
5.7. Оптимальные трехскачковые системы. , 294
5.8. Оптимальные n-скачковые системы 297
5.9. Свойства экстремального значения целевой функции. , 301
5.10. Системы, оптимальные для плотности, скоростного напора и акустического импеданса 5.11. Системы, оптимальные для восстановления полного давления 307
5.12- Оптимальные волны Прандтля - Майера как предель---
ный случай оптимальных многоскачковых систем 311
5.13. Ударно-волновые системы в нестационарном одномерном потоке. 314
5.14. Оптимальные нестационарные ударно-волновые системы.317
6 Оптимальные ударно-волновые системы с дополнительными ограничениями-равенствами 319
6.1. Оптимальные ударно-волновые системы при дополнительных ограничениях на суммарный угол поворота потока 320
6.2. Ударно-волновая система, состоящая из двух косых скачков уплотнения 323
6.3. Поведение статического давления в системе из двух скачков 328
6.4. Особые интенсивности и числа Маха в системе из двух скачков 332
6.5. Связь двухскачковой системы с волной сжатия J334
6.6. Физический смысл отраженного разрыва в задаче о взаимодействии догоняющих скачков уплотнения 335
6.7. Ударно-волновая система "волна разрежения - скачок уплотнения" 338
6.8. Поведение статического давления в системе "волна разрежения - скачок уплотнения" 341
6.9. Поведение температуры в системе "волна разрежения -скачок уплотнения" 346
6.10. Ударно-волновая система "скачок уплотнения - волна разрежения" 347
6.11. Замечание о связи с задачами взаимодействия волн. 353
Заключение 354
Библиографический список использованной литературы
- Основные соотношения на скачке уплотнения. Плоскость интенсивностей волн
- Связь производных на сильном разрыве в случае особой матрицы А
- Простые волны в нестационарной одномерной газовой динамике
- Приближенные аналитические методы решения задач взаимодействия сильного разрыва со встречной слабой волной
Введение к работе
В широком классе задач проектирования устройств топливно-энергетического комплекса и ракетно-космической техники, создания новых наукоемких технологий в химической промышленности и металлургии необходимы эффективные методы расчета и управления параметрами газодинамических течений. Под управлением понимается получение таких параметров, или режимов, течения, при которых конкретное газодинамическое устройство, как рабочий инструмент, наиболее эффективно выполняет свои функции для рассматриваемой прикладной задачи.
-Традиционно для решения такого рода экстремальных задач в газовой динамике используются вариационные методы [34, 35, 47, 85, 97]. Помимо'несомненных достоинств, указанные методы обладают рядом ограничений. Точные аналитические решения вариационных задач можно получить в исключительных случаях. Как правило, такие решения получаются методом контрольного контура, необходимым условием применимости которого является отсутствие у искомых оптимальных образующих внутренних изломов [47, 97]. Непосредственное применение прямых методов вариационного исчисления требует больших вычислительных ресурсов - в процессе решения необходим многократный расчет обтекания семейства образующих, ни одна из которых не является оптимальной.
Для снижения вычислительных затрат необходим предварительный анализ структуры оптимальной конфигурации с выявлением ее характерных особенностей [35]. Как правило, такой анализ основан на применении упрощенных моделей. Наиболее популярными являются т.н. локальные модели, позволяющие связать давление в любой точке поверхности тела с углом наклона между нормалью к поверхности и вектором скорости набегающего потока. Основной их недостаток -ограниченные диапазоны чисел Маха, при которых применимы полученные на основе локальных моделей формулы. В представленной ра-
боте предлагается альтернативный подход к рассматриваемой проблеме, основанный на генерации в потоке оптимальных ударно-волновых систем и структур, обладающих особыми свойствами в отношении отдельных параметров течения. Задачи построения такого рода систем относятся к дискретным задачам оптимального управления, трудоемкость решения которых много меньше трудоемкости аналогичных задач прямыми методами вариационного исчисления.
Впервые понятие оптимальных ударно-волновых систем возникло в сороковых годах прошлого века в связи с проблемой торможения сверхзвукового потока до дозвуковых скоростей с минимальными потерями полного давления [18, 68]. В России данной проблемой занимался Г. И. Петров, в Германии - К. Осватич. В их исследованиях было установлено, что потери полного давления в системе из нескольких косых и замыкающего прямого скачков уплотнения всегда меньше потерь полного давления на одиночном прямом скачке. При этом для заданного числа скачков всегда можно подобрать их интенсивности так, чтобы потери полного давления были минимальными. Г. И. Петров в своих работах исследовал также поведение статического давления в системе из нескольких косых и замыкающего прямого скачков уплотнения. Он показал, что при некоторых числах Маха набегающего потока справедлив аналогичный результат - такие системы оказываются эффективнее одного прямого скачка.
Интенсивности косых скачков в оптимальных системах в работах Г. И. Петрова определялись численно. Из результатов расчетов следовало, что эти интенсивности должны быть примерно равны между собой. К. Осватич решал задачу об оптимальном восстановлении полного давления аналитически. Он показал, что в точке, подозрительной на экстремум, интенсивности косых скачков должны быть равны между собой. Однако явный вид решения в его работах получен не был. Это было обусловлено, прежде всего, отсутствием простых и удобных для проведения аналитических выкладок соотношений, связывающих значения газодинамических параметров как на отдельной волне, так и в ударно-волновой системе.
В современном, удобном для практики виде соотношения на косом
скачке уплотнения получил Ф. Шуберт в 1943 г. Однако до начала исследований, связанных с взаимодействием ударных волн, результаты Ф. Шуберта широкую известность не получили. В конце сороковых годов появилась группа работ, посвященных исследованию взаимодействия газодинамических разрывов между собой и с твердой поверхностью, и, в первую очередь, маховского отражения ударной волны. Первые комплексные (экспериментальные и теоретические) исследования отражения ударных волн от твердой поверхности были выполнены Г. Эгинком, Л. Смитом, В. Вликнеем и А. Таубом [103, 107]. Теория "разветвленных" скачков уплотнения, первоначально предназначенная для объяснения эффектов взаимодействия скачка с пограничным слоем на стенке, была разработана А. Вейзе, Г. Эгинком и Ф. Веккеном [16]. По совету Толмина в новой форме, более простой и удобной в применении на практике, эту теорию представил В. Вуст [17]. Для анализа течения в точке ветвления скачков он ввел "сердцевидные" кривые на плоскости Л = ln(pi/p),/3 {/3 — угол поворота потока на косом скачке уплотнения) и использовал соотношение Ф. Шуберта для описания параметров за скачком.
В наиболее удобной для практики форме соотношения на косом скачке уплотнения были записаны В. Н. Усковым [4, 78, 88]. В качестве основной независимой переменной им было предложено использовать интенсивность волны, представляющую собой отношение статических давлений за волной и до нее. Анализ изомах на плоскости Л,/? интенсивностей волн позволил В. Н. Ускову найти аналитическое решение задачи построения оптимальной для полного или статического давления системы, состоящей из косого и замыкающего прямого скачков уплотнения. Полученные результаты в начале 80-х годов прошлого века были доложены на семинаре у Г. И. Петрова, который предложил получить аналитическое решение задачи в общем случае n-скачковой системы.
Такое решение было предъявлено в работе [52], опубликованной в 1995 году. В ней наряду с системами, оптимизирующими статическое или полное давление, были исследованы системы, максимизирующие плотность или скоростной напор. В работах [24, 56] список ra-
зодинамических переменных, для которых существуют оптимальные ударно-волновые системы, был расширен, а в [55] была исследована геометрия таких систем. В работе [42] было отмечено, что рассматриваемые задачи относятся к задачам нелинейного программирования с нелинейными ограничениями-неравенствами. Для системы, оптимизирующей полное давление, были проверены достаточные условия локальной оптимальности в точке, подозрительной на экстремум. Однако вопрос о глобальной оптимальности и единственности полученного решения оставался открытым.
Наряду с одиночными волнами в ударно-волновую систему могут входить и более сложные ударно-волновые конфигурации, образующиеся при взаимодействии двух или нескольких волн. Простейшие ударно-волновые структуры образуются в результате взаимодействия сильных разрывов. Пересечение этих разрывов происходит в точке, из которой наряду с отраженными волнами исходит тангенциальный или контактный разрыв. Условия динамической совместности на этом разрыве позволяют свести задачу определения газодинамики в окрестности точки взаимодействия к решению алгебраической системы уравнений. Наиболее просто такая система решается в случае взаимодействия нестационарных одномерных ударных волн [8, 26,83,126]. Особенностью взаимодействия стационарных разрывов являются отсутствие решения при определенных значениях входных параметров, возможность смены типа исходящих волн, а также переход от регулярного к нерегулярному взаимодействию газодинамических разрывов [38, 40, 44, 66, 92]. Полученные в работах [4, 7, 66, 70, 74, 77, 78, 88], [107]-[113] результаты легли в основу современной теории интерференции сильных разрывов.
В случае регулярного взаимодействия любая задача об интерференции сильных разрывов может быть сведена к более общей задаче о распаде произвольного разрыва [76]. В случае изотермического газа задача о распаде нестационарного одномерного разрыва была впервые поставлена и решена Б. Риманом [75]. Качественное исследование этой задачи для политропных газов было проведено Н. Ё. Кочиным [33], а для нормальных газов - Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [40]. Похо-
жая задача о распаде разрыва на скачке сечения в полной постановке была решена В. Г. Дуловым [23] и И. К. Яушевым [101], а в линейной постановке - У. Честером [96]. Частные случаи задачи о распаде произвольного стационарного разрыва рассматривались в монографиях [20, 30] и в статье [57]. Качественный анализ задачи в общем случае проведен в работах [31, 32].
Более сложными являются задачи взаимодействия простых волн между собой и с сильными разрывами. Количество задач, допускающих точное аналитическое решение, сравнительно невелико. Как правило, эти решения получаются на основе группового анализа дифференциальных уравнений [11, 27, 48, 49, 50, 51, 80] или метода дифференциальных связей [76, 82]. Классическим примером такого рода является решение задачи взаимодействия изэнтропических волн Ри-мана [49, 76, 94]. Однако уже в случае взаимодействия простых волн Прандтля - Майера аналитическое решение задачи получить не удается. Аналогичная ситуация имеет место в задачах взаимодействия простых волн с сильными разрывами и с вихревыми слоями. Во всех этих примерах возможность получения аналитических решений связана, в основном, с наличием малого параметра. Если постановка задачи такие параметры содержит, решение можно строить на основе асимптотических разложений искомых функций в ряды по малому параметру [15, 45, 46].
Среди работ российских исследователей на эту тему следует прежде всего отметить монографию Г. Г. Черного [92], в которой на основе метода малых возмущений была решена задача об обтекании тела, близкого к клину, сверхзвуковым потоком газа. За рубежом аналогичные задачи рассматривались в [122, 130]. В этих работах было замечено, что строящееся асимптотическое разложение является неравномерным и оказывается непригодным вдали от профиля. М. Лайтхилл разработал общий метод устранения неоднород-ностей [121], применимый к широкому классу задач, описывающихся системами дифференциальных уравнений гиперболического типа [116,117,123,124,127,130,131], — метод деформируемых коориднат [15] или метод Пуанкаре - Лайтхилла - Го [91].
Отмеченные выше методы оказываются эффективными при решении задач взаимодействия простых волн между собой, а также простых волн с сильными разрывами в случае, когда интенсивности взаимодействующих волн малы. При больших интенсивностях входящих в ударно-волновую систему волн обычно используются т.н. иррациональные приближения [15]. Характерным примером таких приближений является обобщенный метод волн разрежения [90, 92, 98], впервые использованный в задаче определения давления на криволинейном контуре, обтекаемом сверхзвуковым потоком. В основе метода лежит предположение о малости отраженных от скачка уплотнения возмущений. Пренебрегая этими возмущениями, можно приближенно определить форму ударной волны, а также поле течения за ним. Аналогичные идеи были реализованы в задаче о распространении нестационарной ударной волны по каналу переменного сечения [104, 105, 132], а также в задаче взаимодействия скачка уплотнения со сдвиговым слоем [5, 125].
В основу метода волн разрежения и его обобщений положены результаты решения задач о взаимодействии сильного и слабого разрывов. Расчет такого рода взаимодействий, а также изучение течений за искривленными ударными волнами привели к необходимости получения соотношений, связывающих такие характеристики сильных разрывов, как кривизна скачка уплотнения, ускорение ударной волны, с производными газодинамических переменных по обе стороны от сильного разрыва. Первые результаты в этой области, полученные в [92,119, 129] еще в конце 40-х годов прошлого века, касались частного случая плоского или осесимметричного стационарного искривленного скачка уплотнения. Несколько позднее эти результаты были обобщены авторами работ [12, 29, 79, 120] на случай задач с большей размерностью. Удобные для практики соотношения для случая плоского или осесимметричного искривленного скачка уплотнения были получены в работах В.Н.Ускова (см., например, монографию [4]). Однако большинство соотношений, связывающих производные по обе стороны сильного разрыва, по-прежнему имеет довольно громоздкий вид.
Одновременно с решением конкретных газодинамических-задач в 50-60 годах появился целый ряд работ, касающихся теории сильных разрывов и волн в магнитной газодинамике [9,13, 36], теории детонации и горения [93, 94], а также обобщения полученных результатов на случай произвольных систем квазилинейных уравнений. Среди них особое место занимают монографии [39, 76]. Современное состояние рассматриваемых вопросов представлено в недавно вышедшей работе [37].
Уникальным объектом для исследований зарождения, развития и взаимодействия газодинамических разрывов является сверхзвуковая нерасчетная струя [2]-[4]. Скачки уплотнения возникают в сопле [69], в первой и последующей бочках затопленной струи. Отражение скачков от оси симметрии происходит нерегулярно, с образованием тройных конфигураций ударных волн. Неравномерность течения в струе вызывает искривление скачков уплотнения. Еще более сложная система волн образуется, если в поле течения струи имеется преграда [81]. Взаимодействие отошедшего от преграды скачка уплотнения с разрывами в затопленной струе приводит к новым ударно-волновым структурам. Неустойчивость к малым возмущениям является причиной возникновения нестационарных режимов течения. Введение в методики расчета струйных течений задач об оптимальном управлении параметрами течения существенно усложняет используемый математический аппарат. В связи с этим особую актуальность приобретают методы, основанные на генерации оптимальных ударно-волновых систем и структур.
Целью настоящей работы является создание единой методологии проектирования и расчета ударно-волновых систем и структур, обеспечивающих экстремальные значения газодинамических параметров за ними.
В главе 1 в рамках модели совершенного невязкого газа проводится анализ одиночных ударных и простых волн, а также ударно-волновых конфигураций, образующихся при взаимодействии ударных волн. С точки зрения рассматриваемых в работе задач дискретного оптимального управления указанные газодинамические объекты
выступают в качестве основных управляющих воздействий на поток. Решается задача о распаде произвольного стационарного разрыва.
Основные результаты этой главы опубликованы в работах [19, 31, 57, 63, 64]. В монографии [19] автором работы совместно с А.О.Кожемякиным и В.Н.Усковым подготовлена вторая глава. В„Н.Усков принимал участие в написании введения к главе и в постановке задачи, а А.О.Кожемякин - в формулировке численного алгоритма решения задачи о распаде разрыва. В статьях [31, 57, 63, 64] В.Н.Усков принимал участие в постановке рассматриваемых задач. В работе [31] А.О.Кожемякин провел численный расчет областей существования решения задачи о распаде. В статье [64] численные расчеты провел Тао Ган.
В главе 2 выводится связь производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными, приводящейся к нормальной форме. Приводятся решения задач взаимодействия сильного разрыва со встречными и догоняющими слабыми разрывами. В случае взаимодействия сильного разрыва со встречным слабым разрывом выводится инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [60, 61, 62].
В главе 3 проводятся исследования ударно-волновых структур, образующихся при взаимодействии простых волн между собой. Анализируется возможность получения аналитических решений данной задачи, базирующаяся, в основном, на асимптотических разложениях искомых функций в ряды по малым параметрам исходной задачи в случае, если постановка задачи такие параметры содержит. В качестве примера подробно разбирается задача о взаимодействии волны Прандтля - Майера со сдвиговым слоем, часто возникающая в сверхзвуковой стационарной газовой динамике. Основные результаты этой главы опубликованы в работе [65].
В главе 4 проводятся исследования ударно-волновых структур, образующихся при взаимодействии простых волн с сильными разрывами. Описывается общая схема расчета поля течения в области вза-
имодействия сильного разрыва с простой волной. Обсуждаются простые аналитические модели, описывающие такие взаимодействия. В качестве примера подробно разбирается задача расчета поля течения в области взаимодействия скачка уплотнения со встречной волной разрежения. Основные результаты этой главы опубликованы в работе [43]. В этой работе В.Н.Усков принял участие в постановке задачи, а В.Р.Мешков провел численные расчеты.
В главе 5 рассматриваются простейшие оптимальные ударно-волновые системы, состоящие из п скачков уплотнения. Показывается, что задачи построения оптимальных систем являются дискретными задачами оптимального управления. Используя метод динамического программирования, определяются точки, подозрительные на экстремум, а затем доказывается глобальная оптимальность и единственность полученных решений. Исследуются предельные свойства экстремального значения целевой функции как функции параметров задачи.
Основные результаты этой главы опубликованы в работах [24, 42, 52, 55, 56]. В статьях [24, 42, 55, 56] В.Н.Усков принимал участие в постановке задачи. В работе [52] ему также принадлежат результаты, связанные с построением одно- и двухскачковых оптимальных систем. В.К.Брофеев исследовал в статье [24] поведение акустического импеданса на тангенциальном разрыве. В.Н.Малоземов в работе [42] принял участие в доказательстве строгой локальной оптимальности полученного решения, а также в исследовании асимптотического поведения решения.
Заключительная, шестая глава посвящена важному с практической точки зрения подклассу дискретных оптимальных задач газовой динамики — задач с дополнительными ограничениями — равенствами, например, задач, имеющих ограничения на суммарный угол поворота потока. Последовательно исследуются на оптимальность ударно-волновая система, состоящая из двух стационарных косых скачков уплотнения, система "скачок уплотнения и последующая волна разрежения", а также система "волна разрежения - скачок уплотнения". Анализ областей немонотонного поведения статического давления в
рассматриваемых системах показывает, что границы этих областей совпадают с границами областей смены типа отраженных разрывов, образующихся при взаимодействии входящих в эти системы волн. Указанное наблюдение позволяет дать простое обьяснение возникновению отраженной волны, исходящей из области взаимодействия догоняющих волн. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [53, 54, 59]. В этих работах В.Н.Усков принял участие в постановке задачи, а также в физической интерпретации полученных результатов.
На защиту выносятся следующие результаты:
Основы теории построения оптимальных ударно-волновых систем и структур, обладающих особыми свойствами в отношении отдельных параметров течения.
Аналитические решения, описывающие ударно-волновые структуры, образующиеся при взаимодействии нестационарных косых ударных волн,
Аналитические критерии, определяющие тип исходящих из точки распада произвольного стационарного разрыва отраженных волн, а также соотношения, описывающие границы областей исходных параметров, в которых существует решение задачи распада.
Теоремы о связи производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными. Дифференциальный инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия сильного разрыва со встречным слабым разрывом.
Аналитические решения задачи о взаимодействии простых волн между собой и с вихревыми слоями в случае, когда интенсивность одной из приходящих волн является малым параметром задачи.
Аналитические модели, описывающие поведение газодинамических переменных в области взаимодействия сильного разрыва с
простой волной.
7. Аналитические решения задач построения оптимальных ударно-волновых систем, состоящих из произвольного числа косых скачков уплотнения, а также ударно-волновых систем с дополнительными ограничениями на суммарный угол поворота потока.
В работе получены следующие новые научные результаты:
Установлены основные особенности поведения газодинамических переменных за нестационарной косой ударной волной, а также за ударно-волновым и структурами, образующимися при взаимодействии таких волн между собой.
Решена задача о взаимодействии двух плоских сверхзвуковых равномерных потоков совершенного невязкого газа, встречающихся под углом fa (задача о распаде произвольного стационарного разрыва).
ф 3. Получена связь производных на сильном разрыве для общего слу-
чая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными.
Решена задача о взаимодействии волны Прандтля - Майера со сдвиговым слоем в случае, когда малы завихренность потока в сдвиговом слое или угол поворота потока в волне. Показано, что рассматриваемая задача относится к классу сингулярно возмущенных задач вихревой газовой динамики. С использованием метода деформируемых координат получено равномерно пригодное первое приближение.
Проведен численный и аналитический анализ задач взаимодействия скачков уплотнения и простых волн Прандтля — Майера. Доказан факт неравномерности течения за исходящими из области взаимодействия волнами. Предложены и обоснованы простые
аналитические модели, описывающие течение в области взаимодействия. Результаты исследования использованы при построении простой аналитической модели течения в первой бочке плоской перерасширенной струи.
*
С использованием метода динамического программирования найдены глобально оптимальные и единственные решения некоторого класса дискретных задач оптимального управления, возникающих в сверхзвуковой газовой динамике. Приведен анализ предельных свойств полученных решений.
Исследованы на оптимальность системы, имеющие ограничения на суммарный угол поворота потока. На основе анализа оптимальных для статического давления систем установлена связь задач построения оптимальных систем при наличии геометрических ограничений с задачами интерференции скачков уплотнения и простых волн.
Практическая ценность работы заключается в том, что на основе проведенных исследований получены простые аналитические решения, позволяющие для заданной газодинамической переменной проектировать оптимальные ударно-волновые системы, состоящие из произвольного числа волн. Анализ ряда конкретных газодинамических задач позволил обобщить полученные результаты на случай систем квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными.
Основные результаты работы доложены и обсуждены на Международной конференции "Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке" (Москва, ЦАГИ, 1994); XVI Всероссийском семинаре "Струйные и нестационарные течения в газовой динамике" (Новосибирск, 1995); IV, V, VI, VII, VIII и X научных конференциях ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2001); XVII, XVIII и XIX Всероссийских семинарах "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург,
1997, 2000, 2002); V международном конгрессе по звуку и вибрации (Adelaide, South Australia, 1997); Международном симпозиуме "Transport noise and vibration" (Tallinn, 1998); II, III, IV Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 1998; Москва, 2000; Санкт-Петербург, 2002); XII Международном симпозиуме по газовым потокам и химическим лазерам (Санкт-Петербург, 1998); первых и вторых Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 1997, 2000); X Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" (Переславль-Залесский, 1999); школе-семинаре "Аналитические методы в газовой динамике" им. Н.Н.Яненко (Санкт-Петербург, 2000); V Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург, 2001); Всероссийской школе - семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (САМГОП-2002) (Снежинск, 2002); X школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2002); научном семинаре кафедры Плазмогазодинамических импульсных систем БГТУ под руководством проф. В.Н. Ускова (Санкт-Петербург); научном семинаре кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета СПбГУ под руководством проф. В.Г. Дулова (Санкт-Петербург).
Полный список научных трудов по теме диссертации содержит 76 наименований, в числе которых 16 статей в российских журналах "Известия РАН. Механика жидкостей и газов", "Прикладная математика и механика", "Прикладная механика и техническая физика", "Журнал вычислительной математики и математической физики", "Журнал технической физики", "Письма в журнал технической физики", "Акустический журнал", "Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1", "Инженерно-физический журнал". Часть полученных в работе результатов опубликована в монографии [19].
Основные соотношения на скачке уплотнения. Плоскость интенсивностей волн
Так как полная энтальпия в стационарных волнах не меняется, то формула (1.20), связывающая числа Маха на скачке уплотнения,
Кривые Л(/?), построенные на основе зависимостей (1.36) и (1.35), изображены на рис. 1.4. Изомаха волны сжатия (кривая б для Mi = 2.5) построена во втором квадранте, а изомахи волны разрежения (кривые 9-11 для чисел Маха 1.4; 2; 3) — в нижней полуплоскости. Как видно из рисунка, изомахи /3( J) для волн разрежения и сжатия ведут себя монотонно по {З во всем диапазоне изменения интенсивности волны. В случае волны разрежения этот диапазон имеет вид Случай отвечает гиперзвуковому течению за волной (М2 —t со), а соответствующий этой интенсивности угол ограничивает сверху диапазон изменения угла поворота потока. Полагая в несложно получить максимально возможный угол поворота потока в волне разрежения:
Условие Мг 1 ограничивает значения интенсивности волны сжатия и угла поворота потока в волне величинами Jw и pf , рассчитываемыми по формулам (точка w на рис. 1.5). С ростом М\ функция pf (М) монотонно возрастает от нуля при Mi = 1 до максимально возможного значения угла поворота потока (1.39) в изоэнтропной волне.
Анализ изомах показывает, что при малых числах Маха граничная точка w изо мах и волны сжатия находится ниже вершины т сердцевидной кривой (рис.1.5). С ростом Mi появляется диапазон интен-сивностей волны сжатия, в котором статическое давление за волной сжатия превосходит статическое давление за прямым скачком уплотнения. Следовательно, существует особое число Маха Mi = Mm, при котором имеет место равенство Jw = Jm; значение Mm находится как корень уравнения а число Маха за волной с интенсивностью (1.43), как и в случае скачков уплотнения, рассчитывается по формуле (1.32).
Как видно из этих формул, огибающие изомах волн сжатия существуют только для Mi \/2, а огибающие изомах волн разрежения - в случае Мі Є [1, \/2] - Изомахи волны сжатия „с ML у/2 и изомахи волны разрежения с Mi у/2 лежат внутри изомахи, построенной для Mj = v 2. Основные соотношения на ударной волне и в волне Римана.
В нестационарной одномерной газовой динамике аналогами скачков уплотнения и волн Прандтля - Майера являются нестационарная плоская ударная волна и волна Римана [49, 83, 89]. Основные соотношения на нестационарной одномерной ударной волне можно получить из общих соотношений для косой ударной волны, полагая в них а = 0, а = 7г/2.
Анализ последних соотношений удобно проводить на плоскости относительных скоростей, на которой в нестационарном случае по оси абсцисс откладывается безразмерная относительная скорость потока а по оси ординат, как и в стационарном случае, логарифм Л интенсивности J волны (рис. 1.6). На этой плоскости кривые, построенные на основе зависимостей (1.46) и (1.47), отображают возможные значения интенсивности одиночной волны, а также безразмерной относительной скорости движения потока на ней при фиксированном значении скорости звука невозмущенного потока. При этом точки, расположенные выше оси абсцисс, отвечают ударной волне или волне сжатия, а точки с Л 0 соответствуют волне- разрежения.
На рис.1.6 для 7 = 1-4 в первом и четвертом квадрантах изображены зависимости Л($) для ударных волн (кривые 1) и волн сжатия (кривые 2). Изомахи волны разрежения (кривые 3) построены во втором и третьем квадрантах.
Плоскость относительных скоростей в нестационарном случае Заметим, что в отличие от скачков уплотнения, кривые на плоскости относительных скоростей зависят от единственного параметра - показателя адиабаты -у. При фиксированном 7 и типе волны мы имеем не семейство кривых, а одну единственную кривую, отображающую все возможные нестационарные одномерные волны данного типа.
Ударно-волновые структуры и их отображения на плоскости интенсивностей волн. Появление в потоке нескольких газодинамических разрывов обычно приводит к их пересечению (интерференции). Образующиеся в результате такого пересечения ударно-волновые структуры представляют собой более сложные управляющие воздействия на поток газа.
Под ударно-волновой структурой понимается совокупность газодинамических разрывов, имеющих на плоскости (xty) или (x,t) общую точку. По отношению к этой точке разрывы делятся на приходящие и исходящие. Приходящие разрывы являются причиной интерференции, а исходящие - следствием. Характеристики приходящих разрывов считаются заданными, и задача расчета ударно-волновых структур заключается в определении вида и интенсивно стей исходящих разрывов и параметров течения за ними.
Основные типы ударно-волновых структур в стационарном двумерном потоке представлены на рис.1.7. Ударно-волновые конфигурации, изображенные на рис.1.7,а,б, соответствуют регулярному взаимодействию догоняющих (рис.1.7,а) и встречных (рис. 1.7,6) скачков уплотнения, а ударно-волновая структура, показанная на рис.1.7,в — регулярному взаимодействию скачка уплотнения с тангенциальным разрывом. Аналогичные типы ударно-волновых структур образуются при взаимодействии нестационарных одномерных ударных волн. РОССИЙСКАЯ
Газодинамические разрывы, помеченные на рис.1.7,а,б цифрами 1 и 2, являются приходящими и служат причиной интерференции. В результате пересечения этих разрывов образуются исходящие волны 3 и 4, а также тангенциальный г. На рис.1.7,в причиной интерференции служат сильный разрыв 1 и тангенциальный разрыв т\, а следствием - сильный разрыв 2, тангенциальный разрыв Т2, а также отраженная волна 3. Условия равенства статических давлений и коллинеарности векторов скорости на исходящем тангенциальном разрыве, а также равенства давлений и относительных скоростей на контактном разрыве носят названия условий динамической совместности на тангенциальном (контактном) разрыве и позволяют определить характеристики исходящих из точки взаимодействия разрывов по заданным параметрам потока перед приходящими разрывами и интенсивностям приходящих разрывов.
Графическое решение стационарных задач удобно искать на плоскости интенсивностей волн (рис.1.8). Рассмотрим, к примеру, решение задачи о взаимодействии догоняющих скачков уплотнения (рис.1.7,а). По числу Маха Мі набегающего потока на плоскости интенсивностей строится изомаха (1), и на ней отмечается точка 1 с координатами (Ai(«7i),/3i(Mi, Jj)), отвечающая скачку уплотнения 1 с интенсивностью J\. По формуле (1.21) определяется число Маха Мг за скачком 1, из точки 1 по этому числу строится изомаха (2), и на ней отмечается точка 2 с координатами (Лг(Л))/Зі(М2,Л)), отвечающая второму скачку уплотнения, имеющему интенсивность Ji. В случае, когда точка 2 лежит внутри изомахи (1), из этой точки по числу Маха Мз за этим скачком строится изомаха 3 волны разрежения (рис.1.8,а). В противном случае из точки 2 строится изомаха 3" скачка уплотнения (рис. 1.8,6). В точке 3 пересечения изомахи 3 или 3" с основной изомахой 1 выполнены условия равенства давлений и углов поворота потока, и поэтому эта точка определяет графическое решение исходной задачи. Аналогично разобранной решаются задачи, представленные на рис.1.7,б,в.
Связь производных на сильном разрыве в случае особой матрицы А
Замечание Аналогично рассматриваются и более сложные случаи соотношений (2.3) на сильном разрыве. Так, в случае, когда вместо (2.7) на сильном разрыве выполняются соотношения вида и существует матрица G — (Е — д р/ди2) 1, производные функции и2(х% І) за сильным разрывом по-прежнему оказываются связанными с производными функции щіхуі) до него формулами (2.10), в которых вместо матриц G и F следует использовать матрицы G и Р = &(Е + д р/дщ).
Связь производных на сильном разрыве в случае особой матрицы А,
В ряде важных частных случаев специальным выбором системы координат можно добиться понижения ранга матрицы А. Так, переход от декартовой к естественной системе координат в случае сверхзвукового двумерного установившегося течения газа [90] или переход от эйлеровых к лагранжевым координатам в случае неустановившегося одномерного течения газа [76] позволяет понизить ранг этой матрицы до значения г = 2. Последнее позволяет несколько упростить полученные в предыдущем пункте соотношения.
Будем считать, что в результате перехода от старой системы координат (x t1) к новой {xjt) функция u(xyt) по-прежнему удовлетворяет системе вида (2.1), а линия сильного разрыва, задававшаяся в старой системе координат уравнением dx /dtf D, перешла в кривую W(T) , задаваемую уравнениями
В случае натуральной параметризации кривой W(T) , когда параметр г есть длина дуги этой кривой, существуют такие а, /3, что С = a.fs/oti + (З2, — /З/ч/а2 + J32. В случае, когда г = , функция = 1. В общем случае f = (x,t,u, D) и = (аг, і, и, D), и потому и могут быть различны по обе стороны разрыва. Как следствие, производные функций щ и щ по параметру г в направлении кривой W(T) задаются формулами
В случае систем, гиперболических в узком смысле слова, понижение ранга матрицы А возможно только на единицу. Мы в данном пункте рассмотрим более общий случай, когда г = тлпк(А\Ь) = гапк(А) га, га = JV. При этом мы по-прежнему будем считать, что условия единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных выполнены.
Неравенство г га означает, что среди п компонент вектора du/dt имеются только г линейно независимых, а оставшиеся п — г компонент однозначно через них выражаются:
Следовательно, не имеет смысла искать вектор du/dt[N2] с помо щью общих соотношений - достаточно с их помощью найти вектор является невырожденной, то производные du2/dt[Ni] и du2/dx[Ni] за сильным разрывом линейно выражаются через компоненты производной функции и2 по параметру т в направлении кривой w(r),
Доказательство Система (2.1), записанная для и = и2, вместе с первым из равенств (2.13) представляет собой линейную систему уравнений относительно частных производных функции и2 С учетом условия (2.14) эта система может быть переписана в следующем виде:
которые и доказывают лемму.
Лемма 3.2 Пусть выполняются условия Леммы 3.1, соотношения (2.3) на сильном разрыве имеют вид (2.7) и у матрицы Е — д р/д[и] существует обратная матрица G. Тогда производные функции и2{х ) за сильным разрывом линейно выражаются через компоненты производной функции и\ по параметру г в направлении кривой ш(г), а также через производную dD/dw} характеризующую ускорение сильного разрыва.
Доказательство Компоненты производных функций и2 и щ в направлении сильного разрыва связаны друг с другом очевидными соотношениями
В общем случае любая компонента [u][i] вектора [и] зависит как от [и][г\ и щ[г], так и от всех остальных компонент векторов [и] и щ. Следовательно, компоненты производной функции [и] с учетом (2.7) можно представить следующим образом: Используя индексную технику, можно записать Объединяя последние три выражения и вводя матрицы
Теорема 3.1 Пусть выполнены условия Леммы 3.2. Тогда производные du2jdt[N{\ и du2/dx[N{[ за сильным разрывом линейно выражаются через производные du\fdt[N \, dui/dx[N2] функции ui перед разрывом, а также через производную dD/dw, характеризующую ускорение сильного разрыва.
В практических задачах, как правило, имеется определенная свобода в выборе компонент вектора -а, пользуясь которой, можно в ряде случаев существенно упростить соотношения, связывающие производные на сильном разрыве. Рассмотрим, некоторые возможности такого рода упрощений.
Теорема 3.2 Предположим, что выполнены условия Теоремы 3.1 и подматрица A[NitN2] матрицы А системы (2.1) тождественно равна нулю. Тогда производные функции u2(x,t) за сильным разрывом можно представить следующим образом:
Простые волны в нестационарной одномерной газовой динамике
Используя найденную зависимость (3.13), несложно записать функции ri{ p) и гд( ), описывающие форму линии тока и характеристики второго семейства в центрированной волне. Действительно, из геометрических соображений следует, что
Интегрируя эти равенства, получим для линии тока и характеристики второго семейства, проходящих через точку с координатами (ri»Vi)i следующие выражения: Наконец, учитывая (3.9) и (3.11), несложно записать формулу для кривизны линии тока в центрированной волне:
В случае, если волна не является центрированной, форму линии тока можно восстановить, если вдоль произвольной кривой, транс-версальной к любой из характеристик первого семейства, заданы, к примеру, угол $ наклона вектора скорости к оси абсцисс и функция Р\{$). Действительно, в этом случае седьмое уравнение системы (3.7), переписанное в виде представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции х(д) и легко решается:
Входящие в эти выражения функции хс{&) и М($) определяются из соотношений (3.8) и (ЗЛО). Для нахождения функции описывающей форму характеристики второго семейства, следует взять четвертое уравнение системы (3.7). Аналогичные только что проделанным действия позволяют получить для уравнение (3.16), в котором вместо Ф/(#) следует использовать функцию
Рассмотрим теперь простую волну индекса 2, в которой Р% ф 0, Рх = рг = 0. Данный случай практически не отличается от только что рассмотренного. В частности, такая волна также является изэнтропи-ческой волной Прандтля - Майера, в которой любая газодинамическая переменная постоянна вдоль характеристики второго семейства, а во всей волне справедливы соотношения
Простая волна индекса 3, в которой -Рз 7 0, Pi = Рг = 0, является, согласно классификации [48], вырожденной простой волной. Действительно, как видно из (3.7), условия Pt = Р2 = 0 означают, что в такой волне р = const и # = const, т.е. данная волна представляет собой изобарическое движение, в котором все характеристики третьего рода (они же линии тока) являются параллельными друг другу прямыми. При этом, в силу равенства нулю производных dlnM/dv и dP$fdv%, в такой волне функции Р и М не меняются вдоль линий тока. Далее такую волну будем называть еще сдвиговым слоем.
Рассмотрим для простоты ситуацию, когда линии тока параллельны оси х ( = 0)-В этом случае из равенства dP3/dvz = О и соотношения (2.72) следует, что Q$ = О, а функции Р3 и М в сдвиговом слое зависят только от у и связаны формулой
По известной М(у) можно вычислить распределение энтропии в сдвиговом слое. Действительно, так как в рамках рассматриваемой модели функция OQ — const во всем поле течения, то формулу (2.40), связывающую энтропию с давлением и скоростью звука, можно записать в таком виде:
Здесь значения газодинамических переменных на некоторой линии тока. Так как удвоенный логарифм отношения а/ао равен — ln(fi/(l — є)), то последнее равенство переписывается так: Учитывая, что в сдвиговом слое р = const, окончательно получим:
Зачастую более важной характеристикой сдвигового слоя является не сама энтропия, а ее производная dS/dy, характеризующая завихренность потока в сдвиговом слое. Дифференцируя последнее равенство по у и учитывая (3.23), найдем, что
Следовательно, функция Рз(у) служит характеристикой завихренности потока в сдвиговом слое. Простые волны в нестационарной одномерной газовой динамике. Рассмотрим систему (2.82)-(2.83), описывающую нестационарные одномерные течения совершенного газа при отсутствии сильных и слабых разрывов. Добавляя к этой системе выражения для производных по , несложно получить следующие полезные для дальнейших рассуждений выражения, связывающие производные вдоль характеристик с основными газодинамическими функциями и производными Pk:
Как видно из этих соотношений, в простой волне индекса к любая газодинамическая переменная остается постоянной вдоль характеристики индекса к. При этом в простой волне индекса 1 во всем поле течения справедливы равенства
Определяемые данными формулами функции г и s являются инвариантами Римана, а сами простые волны - известными изэнтропичес-кими волнами Римана. При этом простая волна индекса 1 называется обычно г-волной, а простая волна индекса 2 - s-волной.
Используя систему (2.83), а также факт постоянства газодинамических переменных вдоль характеристик к -го семейства в fc-й волне, 163 несложно получить явные выражения для Рк , к — 1,2. Действительно, в простой волне индекса 1 откуда
Величины С могут меняться при переходе от одной характеристики индекса к к другой. Если этого не происходит, т.е. если С . = —to = const, то такая волна является центрированной волной Римана с центром в точке (а?о,і0). При этом любая функция в такой волне зависит от одной переменной - т.н. параметра автомодельности у := (х - x0)/(t - to).
Определим ускорение w —: N? потока в простой волне. Так как ускорение равно dujdv$, то, как видно из (3.26), оно линейно связано с Р\ и Рг. Следовательно, в случае центрированной простой волны функция N2 может быть записана со.:
Знак плюс в этом выражении соответствует простой волне индекса 1, а знак минус - простой волне индекса 2. Для определения входящих в это выражение функций а(у) и у(т) заметим, что в случае волны индекса 1
Приближенные аналитические методы решения задач взаимодействия сильного разрыва со встречной слабой волной
На рис-3.3-3.6 представлены результаты расчетов распределения завихренности Рз и функции Р% вдоль характеристик первого семейства, полученные для различных начальных данных. Рисункам 3.3 и 3.6 отвечают числа Маха Mi = 3 и М2 = 3.3, а также углы i?«,i поворота потока в волне, равные 3, 6 и 9 (кривые 1, 2 и 3 соответственно). Малый параметр $ для таких начальных данных равен 0.1. На рис.3.4 показано распределение Pz в случае, когда Mi = 3, М2 = 4 и 5 = 0.33. Кривые 1, 3 и 5 построены по результатам численного расчета для #«,1 =3, 6 и 9, а кривые 2, 4 и б - по асимптотическим формулам для тех же значений -&wi. Наконец, рисунку 3.5 отвечают значения Mi — 1.3, М2 = 1.6, S = 0.23; кривые 1 построены для i?wi = 7 (Mwi = 1.54), а кривые 2 - для -&wi = 15 (Mw\ = 1.8). Сплошным кривым на рисунках 3,3-3.6 отвечают значения, рассчитанные с помощью метода характеристик, а кривым, построенным точками - данные, полученные с использованием асимптотического разложения. На всех графиках профиль скорости в вихревом слое представляет собой кубическую параболу.
Как видно из рисунков, уже первое приближение дает неплохое совпадение с точным расчетом. Относительная погрешность, хотя и возрастает как с увеличением угла поворота в волне, так и с ростом завихренности, не превосходит нескольких процентов даже при больших углах и значениях 8.
Перейдем теперь к определению функций А и &№. Для этого воспользуемся первыми двумя уравнениями системы (3.7), описывающими изменения этих функций вдоль характеристик первого семейства. В полярной системе координат производная функции & вдоль
Заметим, что в рассматриваемом случае вихревого слоя конечной толщины функции Р% и р2 обращаются в ноль при г, большем некоторого J I . При таких г выражение для угла #W принимает следующий вид:
Интересно отметить, что при р = о функция (г, о)» а значит, и значения Ci(y o)) 2( 0) отличны от нуля. Как следствие, при всех т г\ угол 1? (г,у о) 7 0 и при г -4 оо стремится к постоянной величине Сг( о) Таким образом, уже при начальном значении р первые члены в разложении отличаются на величину порядка о от известного из постановки задачи значения угла #, тождественно равного нулю при (р = (рй .
Сказанное иллюстрирует рис.3.7, на котором для случая Mi = 3, М2 = 3.3 6 = 0.1, а также распределения по кубической параболе профиля скорости в вихревом слое построена функция 1? (г, (fo) вдоль характеристики ОА$ волны (кривая 2), а также прямая 1, соответствующая точному значению функции & на этой характеристике.
Покажем теперь, что вторые члены этого разложения содержат секулярные слагаемые. Действительно, коэффициенты при S2 в разложении левых частей первых двух уравнений системы (3.7) имеют
При г т\ выражения для д и А имеют вид (3.38). Следовательно, при интегрировании по г последнего выражения возникнут 182 члены вида /?(y )lnr, неограниченно возрастающие при г — оо. Та ким образом, строящееся асимптотическое разложение непригодно на больших расстояниях по г от вихревого слоя.
Для получения равномерно пригодного первого приближения воспользуемся методом деформируемых координат [15, 45, 46]. Перейдем от (г, tp) к деформированным переменным (s, t) по формулам
Несложно показать, что функции Р3 (si0 и 2 ( » ) определяются по формулам (3.35) и (3.37) с заменой в них г и ір на t и е. Измениться должны выражения для i 1 и А 1 , получаемые при разложении этих функций вдоль характеристик первого семейства. Действительно, в новых координатах разложение производной функции вдоль такой характеристики записывается в виде
На рис.3.8 и 3.9 представлены результаты расчетов распределения числа Маха M(s,t) и угла вдоль характеристик первого семейства, построенные для Mi = 3, М2 — 3.3 (S = 0.1), #wi = 3, 6 и 9 (кривые 1, 2 и 3 соответственно), а также распределения по кубической параболе профиля скорости в вихревом слое. Сплошные кривые отвечают значениям, рассчитанным с помощью метода характеристик, а кривые, построенные точками - данные, полученные с использованием асимптотического разложения. На рис.3.10 кривые 2 из рис.3.9 показаны в увеличенном масштабе, а на рис.3.11 для тех же начальных данных построены характеристики первого семейства в области взаимодействия.
Как видно из рисунков, как газодинамика, так и геометрия течения в области взаимодействия довольно неплохо восстанавливается с использованием первых двух членов асимптотического разложения -кривые, построенные численно и аналитически, практически сливаются между собой.
За последней характеристикой OBz волны w\ имеет место взаимодействие слабо завихренного слоя В1Е1В2Е2 со слабо искривленным течением в простой нецентрированной волне F1C1B2D2 (рис.3.12). Интенсивность вихревого слоя характеризует функция Рг, а интенсивность простой волны - функция Р2.
