Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Свойства поверхностных слоев твердых тел,проявляемые при их адгезии 18
1.1 Проблема теоретической оценки характеристик прочности адгезионных и когезионных соединений упругих тел 18
1.2 Представления об адгезии твердых материалов и методах оценки ее прочности. Теоретическое описание механических процессов, происходящих вблизи границы адгезионного
контакта двух тел 39
1.3 Оценка напряженно-деформированного состояния в пленках 51
1.4 Концентраторы напряжений в окрестности вершины плоского клина 55
1.5 Общие представления о физическом состоянии приповерхностного слоя твердого тела 57
1.6 Допущения о механическом поведении деформируемых твердых тел вблизи приповерхностного слоя 62
1.7 Выводы по первой главе 73
Глава 2 Градиентная теория термоупругости 74
2.1 Деформированное состояние материала 74
2.2 Напряженное состояние материала 77
2.3 Определение характеристик термоупругого состояния материала через его свободную энергию 79
2.4 Методика расчета параметров и коэффициентов термоупругого состояния материала 84
2.5 Методика расчета потенциалов парного и тройного взаимодействий частиц среды 90
2.5.1 Основа расчета - потенциал Морзе 90
2.5.2 Основа расчета - потенциал Лондона 98
2.6 Выводы по второй главе 100
Глава 3 Поверхностный слой твердого тела в рамках предложенной модели термоупругой среды 102
3.1 Уравнения равновесия материала в поверхностном слое 102
3.2 Расчет компонент тензоров начальных напряжений и характеристик упругого состояния 107
3.3 Система дифференциальных уравнений и краевых условий для расчета распределений параметров, определяющих компоненты вектора перемещений 118
3.3.1 Дифференциальные уравнения 118
3.3.2 Краевые условия 120
3.3.3 Окончательный вид краевой задачи для вектора перемещений частиц поверхностного слоя 124
3.4 Свойства поверхностного слоя 125
3.5 Учет свойств поверхностного слоя с помощью двухмерной модели 128
3.5.1 Теоретические положения 128
3.5.2 Теория взаимодействия тела и его поверхности 130
3.5.3 Дифференциальная форма закона сохранения массы для двухмерного случая 136
3.5.4 Уравнение состояния
3.6 Модель учета свойств поверхностного слоя с помощью представления о внутреннем потенциальном поле 139
3.7 Выводы по третьей главе 142
Глава 4 Методы расчета поверхностной энергии твердого тела 143
4.1 Существующие представления о поверхностной энергии 145
4.2 Общий метод расчета поверхностной энергии на основании градиентной теории упругости 151
4.3 Расчет поверхностной энергии тел с границей малой кривизны и больших размеров 157
4.4 Поверхностная энергия тела с однородными механическими свойствами 162
4.5 Расчет поверхностной энергии. Сопоставление результатов 168
4.6 Теоретическое обоснование экспериментального определения поверхностной энергии жидкости методомопределения краевого угла смачивания (метод капли) 172
4.7 Выводы по четвертой главе 194
Глава 5 Расчет характеристик адгезионного состояния двух тел 195
5.1 Анализ вступления твердых тел в адгезионный контакт 195
5.1.1 Процесс вступления двух тел в адгезионный контакт 195
5.1.2 Характеристика переходного слоя, возникающего при адгезии, признаки адгезионного контакта 204
5.2 Постановка задачи об адгезии двух тел 211
5.2.1 Общая постановка задачи об адгезии двух твердых тел 211
5.2.2 Постановка задачи о поиске распределения избытка свободной энергии, получаемого системой тел при их адгезии 213
5.3 Упрощенный вариант постановки задачи об адгезии двух тел 226
5.3.1 Адгезия полубесконечных тел 226
5.3.2 Выражение энергии адгезии через поверхностные энергии контактирующих тел 228
5.4 Метод расчета энергии адгезии, основанный на мгновенности выделения и соединения тел 233
5.5 Сравнение результатов расчета поверхностной энергии, различными методами 237
5.6 Несплошность адгезионного контакта 240
5.6.1 Общая постановка задачи 240
5.6.2 Аналитическая оценка несплошности адгезионного контакта
2 5.7 Адгезионная и когезионная прочность 246
5.8 Влияние добавок к материалу на свойства смеси 253
5.8.1 Основные положения и допущения расчетной модели для сред, моделирующих сплав 253
5.8.2 Экспериментальная проверка теории 255
5.9 Выводы по пятой главе 260
Глава 6 Адгезионно-диффузионное контактное взаимодействие упругих тел 261
6.1. Общие представления о влиянии диффузии на полноту адгезионного контакта 261
6.2 Основные положения и допущения об адгезионно диффузионном процессе 263
6.2.1 Формирование слоистой структуры 264
6.2.2 Диффузионный процесс 268
6.3 Расчет адгезионно-диффузионного процесса,
переводящего неполную адгезию в полную 270
6.4 Методика расчета параметров процесса диффузионной сварки заданной пары материалов 281
6.5 Выводы по шестой главе 283
Заключение 284
Список литературы
- Оценка напряженно-деформированного состояния в пленках
- Определение характеристик термоупругого состояния материала через его свободную энергию
- Система дифференциальных уравнений и краевых условий для расчета распределений параметров, определяющих компоненты вектора перемещений
- Поверхностная энергия тела с однородными механическими свойствами
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время большой практический интерес представляет изучение контактных механических явлений, возникающих между твердыми деформируемыми телами. При описании и количественной оценке этих явлений существенную роль играет учет их адгезионного взаимодействия. Это особенно важно при изучении прочности композиционных материалов, вопросов развития трещин, трения качения и скольжения упругих тел, как с гладкими, так и с шероховатыми поверхностями, определении параметров технологических процессов, таких как: диффузионная сварка; сварка давлением; сварка трением и др.
Методы механики деформируемого твердого тела, в частности, механики контактного взаимодействия и механики разрушения, позволяют провести аналитические исследования явлений разрушения однородных и расслоения слоистых материалов, их адгезии, если известны значения ее характеристик (поверхностного натяжения, поверхностной энергии, энергии и силы адгезии и когезии, поврежденность адгезионного контакта и т.д.). Исследования в этих направлениях, опирающиеся на работы Юнга, Лапласа, Гиббса, Грифиффитса, Орована и других классиков механики и термодинамики, широко освещены в трудах Дерягина Б. В., Муллера В. М., То-ропова Ю. Н., Кравчука А. С., Гольштейна Р. В., Морозова Н. Ф., Пальмова В. А., Повстенко Ю. З., Джонсона К. Л., Maugis D., Greenwood J. A., John Comyn, Kinloch A. J., Горячевой И. Г., Маховской Ю. Ю., Лурье С. А., Глаголева В. В., Маркина А. А., Шоркина В. С. и других авторов. В этих работах использовались как классическая теория упругости (Гольштейн Р. В., Горячева И. Г., Морозов Н. Ф. и др.), так и ее неклассические варианты: теория упругости сред с внутренними степенями свободы (Пальмов В. А. и др.); градиентная теория упругости (Лурье С. А., Шоркин В. С. и др.). При этом учитывалось, что тело создает возле своей поверхности силовое поле, потенциал которого и силы создаваемого им притяжения быстро убывают по мере удаления от нее. Влияние этого поля на контактное взаимодействие упругих тел рассматривалось в рамках различных теорий. Энергия этого поля приравнивалась поверхностной энергии, которую необходимо знать при проведении конкретных расчетов, для исследуемых конструкционных материалов.
Теоретические исследования по определению адгезионных характеристик методами физики твердого тела освещены в трудах видных советских, российских и зарубежных ученых: Дерягина Б. В., Кротовой Н. А., Лифшица Е. М., Гамакера Г., Партенского М. Б., Вакилова А. Н., Векилова Ю. Х., Вернера В. Д., Самсоно-вой М. Б., Мамоновой М. В., Магомедова М. Н., Прудникова В. В., Ferrante J.,
Smith J. R., Vashishta P., Singwi K. S., Buhmann S. Y., Welsh D. I., Grinfeld M. A., Fo-methe А. и др. Результаты этих исследований использовались в работах по изучению контактных явлений упругих тел из однородных материалов и их прочности. Но в полной мере их нельзя применить для реальных конструкционных материалов из-за необходимости детального учета микро-, нано- и мезоструктуры, а экспериментальные исследования не всегда возможны или являются дорогостоящими.
Таким образом, теоретическая оценка характеристик прочности адгезионных и когезионных соединений упругих тел, включающая разработку новых методов расчета адгезионных характеристик контактного взаимодействия в рамках механики деформируемого твердого тела, в настоящее время, по-прежнему остается весьма актуальной научной проблемой и является темой настоящего исследования.
Работа выполнялась в рамках: федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы, Государственный контракт № 14.740.11.0271 от 17 сентября 2010 г.; Хозяйственного договора, регистрационный номер ИТЭР – 425/2011 (55/4-11).
Цель работы – установление, в рамках градиентной теории упругости, законов деформирования, повреждения и разрушения материалов, на основании которых осуществляется разработка методов постановки и решения краевых задач для прогноза поведения и прочности с помощью оценки величин поверхностной энергии, энергии и сил адгезии и когезии деформируемых упругих тел.
Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи.
-
Обосновать возможность использования градиентной теории упругости для количественной оценки характеристик прочности адгезионных или когезион-ных соединений.
-
Разработать новый вариант градиентной теории упругости, основанный на учете парного и тройного нелокального взаимодействия ее частиц и построенном на базе этого учета выражении, определяющем свободную энергию изучаемой среды для нахождения характеристик упругого состояния материала без проведения дополнительных экспериментов.
-
Исследовать связь между свойствами материалов упругих тел и потенциалами парного, тройного и т. д. взаимодействия их бесконечно малых частиц.
-
Поставить и решить задачу о распределении и расчете поверхностной энергии вдоль свободных границ линейно упругих тел.
-
Проанализировать упругое поведение переходного слоя, возникающего в
окрестности поверхности контакта тел, находящихся в состоянии адгезии.
-
Поставить и решить задачу о распределении и расчете энергии и сил адгезии и когезии линейно упругих тел, граничащих вдоль произвольной гладкой поверхности.
-
Оценить влияние диффузионных процессов на характеристики прочности адгезионного соединения.
Объектом исследования являются контактирующие тела.
Предметом исследования являются характеристики прочности адгезионных и когезионных соединений упругих тел.
Методология и методы исследования. Все исследования осуществлялись на основе принципов системного подхода. В теоретических исследованиях использовались методы математического моделирования и численного решения уравнений, механики сплошных упругих сред, композиционных материалов, термодинамики, теории разрушения, представления о градиентных моделях разных порядков. При проведении экспериментальных исследований – методы экспериментальной механики.
Научная новизна работы.
-
Разработана математическая модель градиентной упругой среды, основанная на учете парного и тройного нелокального взаимодействия ее бесконечно малых частиц и построенном на базе этого учета выражении, определяющем свободную энергию изучаемой среды для нахождения характеристик упругого состояния материала без проведения дополнительных экспериментов, позволяющая описать упругое поведение материалов, находящихся в состоянии адгезии, и разработать на ее основе методы расчета поверхностной энергии, энергии и сил адгезии и когезии.
-
Установлены соотношения, связывающие свойства материалов упругих тел и потенциалы парного, тройного и т. д. взаимодействия их бесконечно малых частиц, позволяющие, без проведения дополнительных экспериментов, рассчитать характеристики упругих свойств.
-
Разработан метод расчета поверхностной энергии изотропных линейно упругих тел, распределенной вдоль произвольной гладкой граничной поверхности, позволяющий оценить значения поверхностной энергии с удовлетворительной степенью точности.
-
Установлены соотношения, связывающие на границе контакта характеристики упругого состояния материалов при их адгезии.
-
Разработан метод расчета энергии и сил адгезии и когезии изотропных линейно упругих тел, распределенных вдоль произвольной гладкой поверхности их контакта, позволяющий оценить значения характеристик прочности с удовлетворительной степенью точности.
6 Установлена зависимость характеристик прочности адгезионного соединения от времени активного протекания диффузионных процессов, характеризующая влияние механических и диффузионных свойств материалов на рост прочности соединения с течением времени, что позволяет разработать и дать рекомендации по выбору материалов, обеспечивающих наилучшую прочность соединения за кратчайшее время.
Достоверность полученных научных результатов обеспечивается корректностью постановки задач исследования, обоснованностью использования теоретических построений, допущений, применением апробированных математических методов, современной вычислительной техники и программного обеспечения, а также подтверждается качественным и количественным совпадением полученных результатов с известными результатами других авторов.
Теоретическая значимость работы заключается:
в расширении области применения градиентной теории упругости для количественной оценки характеристик прочности соединений упругих тел с помощью величин поверхностной энергии, энергии и сил адгезии и когезии;
в использовании для количественной оценки прочности адгезионных или когезионных соединений упругих тел их поверхностной энергии, энергии и сил адгезии и когезии;
в получении методики расчета характеристик прочности адгезионных и коге-зионных соединений упругих тел.
Практическая ценность работы подтверждается
использованием результатов работы при проектировании испытательного модуля жидкометаллического бланкета ИТЭР;
патентом Российской Федерации на изобретение № 2347823 "Состав защитно-технологического покрытия стеклокерамического типа";
патентом Российской Федерации на изобретение № 2470079 "Защитно-технологическое покрытие стеклокерамического типа для низколегированных легкоокисляющихся сталей";
- свидетельством о государственной регистрации программы для ЭВМ
№ 2012661417 "Программа определения формы тяжелой капли и ее краевого угла
смачивания".
При этом наибольшее значение имеют:
- методика расчета характеристик прочности адгезионных и когезионных со
единений упругих тел;
- рекомендации по выбору материалов, обеспечивающих наилучшую прочность соединения за кратчайшее время.
Использование результатов работы. Результаты работы используются: в ФГУП НИИЭФА им. Д. В. Ефремова, г. Санкт-Петербург, при получении методом диффузионной сварки многослойных участков проточного тракта испытательного модуля бланкета ИТЭР и бланкета ДЕМО-реактора; в учебном процессе Госуниверситета-УНПК для подготовки кадров при чтении лекций, проведении лабораторных и практических занятий по направлениям: 151600.62 – Прикладная механика; 150700.62 – Машиностроение, а также в научно-исследовательской работе студентов и аспирантов.
На защиту выносятся:
-
Математическая модель градиентной упругой среды, основанная на учете парного и тройного нелокального взаимодействия ее бесконечно малых частиц и построенном на базе этого учета выражении, определяющем свободную энергию изучаемой среды для нахождения характеристик упругого состояния материала без проведения дополнительных экспериментов.
-
Соотношения, связывающие свойства материалов упругих тел и потенциалы парного, тройного и т. д. взаимодействия их бесконечно малых частиц.
-
Метод расчета поверхностной энергии изотропных линейно упругих тел, распределенной вдоль произвольной гладкой граничной поверхности.
-
Алгоритм определения формы тяжелой капли и ее краевого угла смачивания.
-
Соотношения, связывающие на границе контакта характеристики упругого состояния материалов при их адгезии.
-
Метод расчета энергии и сил адгезии и когезии изотропных линейно упругих тел граничащих вдоль произвольной гладкой поверхности.
-
Зависимость характеристик прочности адгезионного соединения от времени активного протекания диффузионных процессов, характеризующая влияние механических и диффузионных свойств материалов на рост прочности соединения с течением времени.
Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на: 47 Международной конференции "Актуальные проблемы прочности" (г. Нижний Новгород, 2008 г.); XVIII, XIX, XX Петербургских чтениях по проблемам прочности и роста кристаллов (г. Санкт – Петербург, 2008 г., 2010 г., 2012 г.); Международной научной конференции "Совре-7
менные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, 2008 г., 2009 г.,
-
г., 2012 г.); XVI, XVII, XVIII Зимней школе по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий) (г. Пермь, 2009 г., 2011 г., 2013 г.); Colloquium –"EUROMECH-510" for Mechanics of Generalized Continua: A hundred years after the Cosserats, UPMC (Paris, France, 2009 г.); XVII Международной конференции "Физика прочности и пластичности материалов" (г. Самара, 2009 г.); Международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (г. Воронеж, 2009 г., 2010 г.); Первой Всероссийской конференции "Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой: НАНО-МЕХ-2009" (г. Нижний Новгород, 2009 г.); IX Всероссийской международной научно-технической конференции "Механики – XXI веку" (г. Братск, 2010 г.); VI Международной конференции "Фазовые превращения и прочность кристаллов" (г. Черноголовка, 2010 г.); Международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемого тела, посвященном 100-летию со дня рождения А. А. Ильюшина (г. Москва, 2011 г.); 4-ой Международной научно-технической конференции "Проблемы динамики и прочности в турбомашиностроении (Турбо-2011)" (г. Киев, Украина,
-
г.); Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы динамики и прочности: модели, методы, решения" (г. Самара, 2011 г.); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Нижний Новгород, 2011 г.); Всероссийской конференции "Механика нанострук-турированных материалов и систем" (г. Москва, 2011 г.); 51-й Международной конференции "Актуальные проблемы прочности" (г. Харьков, Украина, 2011 г.) IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010) (г. Алушта, Крым, 2012 г.); XV Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы техники и технологии – ТЕХНОЛОГИЯ – 2012" (г. Орел, 2012 г.); IХ Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем", им. Ю. И. Неймарка (г. Нижний Новгород, 2012 г.).
Кроме того, результаты апробировались на кафедре "Механика и процессы управления" СПбГПУ (рук. семинара Пальмов В. А., заслуженный деятель науки РФ, д.ф.-м.н., профессор); на Междисциплинарном семинаре с международным участием: "Методы многомасштабного моделирования и их приложения", ВЦ РАН (рук.: академик РАН Е. И. Моисеев, проф., д.т.н. С. А. Лурье, проф., д.ф.-м.н. С. Я. Степанов).
Публикации по теме исследования. По теме диссертационного исследования опубликовано 58 научных работ общим объемом 30,44 п. л., авторский вклад – 13,27 п. л., из них 2 монографии, 47 статей в научных изданиях, 2 патента Рос-8
сийской Федерации на изобретение, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, тезисы 6 докладов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 346 наименований, четырех приложений. Основной текст изложен на 300 страницах, включая 29 рисунков, 10 таблиц и список литературы из 346 наименований.
Оценка напряженно-деформированного состояния в пленках
Близкими по своей сути к предыдущему примеру являются работы о контактном взаимодействии упругих тел с учетом проявления при этом их адгезии [42 - 57]. Решение задач с учетом поверхностных свойств взаимодействующих тел, в частности, их поверхностной энергии, является важным направлением в механике контактных взаимодействий твердых тел. Все указанные работы объединяет предположение о том, что каждое тело, обладающее классическими механическими свойствами, имеет вблизи своей поверхности потенциальное поле сил притяжения, аналогичных силам сцепления в теории трещин. Это поле действует на другое тело не только в случае их контакта, но и на некотором расстоянии между ними. Распределение потенциала в поверхностном слое принимается в виде потенциала Ленарда-Джонса или каких-либо удобных для расчетов аппроксимаций с неизвестными параметрами. Величина интеграла от объемной плотности этих сил по поперечной координате приравнивается поверхностной энергии. Действие этих сил на частицы поверхностного слоя, сжимающих их, уравновешивается в статических условиях действием реакции на давление от другого тела. Взаимодействие тел осуществляется вдоль выпуклых гладких или шероховатых, стохастически фрактальных поверхностей.
Из анализа публикаций следует, что использование предложенных в них рассуждений и результатов, как в теоретических, так и в практических приложениях будет более результативным, если будет известна величина поверхностной энергии для взаимодействия одинаковых материалов и энергия адгезии для различных материалов. Весьма важно получить распределение потенциальных сил взаимодействия этих материалов, находящихся на определенном расстоянии друг от друга.
Для того, чтобы приступить к разработке модели среды, в рамках которой возможен расчет поверхностной энергии, энергии и сил адгезии и когезии необходимо, кроме представленного выше анализа, рассмотреть вопрос о том, в рамках каких моделей учтены отмеченные характеристики состояния и взаимодействия деформируемых твердых тел.
Прежде всего, необходимо обратить внимание на модель, используемую в работах [42 - 57]. Во-первых, в этих работах предполагается, что механические свойства материала описываются на основании классических теорий линейной или нелинейной упругости, вязкоупругости, упруго-пластичности и пластичности. Во-вторых, делается допущение о том, что помимо контактного воздействия посредством касательных и нормальных к поверхности контакта сил одно тело на другое действует еще с помощью объемно распределенных потенциальных сил. При этом силы, объемно распределенные в приповерхностном слое, оказывают сжимающее действие. Если такое взаимодействие допускается для разных тел, то оно должно допускаться и для разных частей одного тела. Иными словами, постулат классической механики сплошных сред о том, что действие одной части тела на другую, отделенную от первой мысленной гладкой поверхностью, осуществляется посредством поверхностно распределенных сил, обобщается введением еще и объемно распределенных сил действия одной части тела на другую. Однако специально этот вопрос и влияние его решения на описание напряженно-деформированного состояния тел ограниченных размеров в отсутствии внешних воздействий не рассматривается. Не решен вопрос и о характере распределения объемно распределенных сил и их потенциала вблизи поверхности тела. Поэтому такой вариант моделирования механического поведения деформируемого твердого тела при описании адгезии, расчете поверхностной энергии, энергии и сил адгезии и когезии далее не рассматривается.
Еще одной моделью деформируемого твердого тела, которую предлагалось использовать для указанных расчетов, является модель, предложенная в работах [58 - 61].
В качестве модели упругой среды предлагается использовать вариант градиентной упругой среды [62], обобщенный посредством гипотезы о том, что любое ограниченное тело В, в отсутствии внешних воздействий, обладает таким напряженно-деформированным состоянием, какое оно могло получить после, сначала мысленного, а затем мгновенного выделения из бесконечно протяженной среды Q из того же материала и последующего затухания вызванных этим переходных процессов. Используемая теория учитывает классические тензоры напряжений и деформаций второго ранга и неклассические тензоры напряжений и деформаций третьего ранга. Выражение для плотности потенциала внутренних сил имеет вид: w = цад, +-gkkgll+{2[i + X)b2ZljkZIjk + n08lJEkZljk, (1.12) где g - — \и +и ) и 2цк =и к - компоненты классического тензора деформаций и второго градиента перемещений; ц, X - коэффициенты Ламе; я0, Ъ — дополнительные постоянные; Ек - компоненты единичного вектора Ё, нормального к поверхностям, конгруэнтным к А (на А: Ё - Я). Из физики известно (аналогия с силами сцепления в устье трещины в теории Баренблатта, предыдущей модели), что любая частица твердого тела создает вокруг себя потенциальное силовое поле. Мысленное выделение в бесконечной среде Q изучаемого тела В поверхностью А означает определение внутри него дальнодействующего силового поля со стороны дополнения В в Q с определенной "сеткой" силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Дальнейшее реальное выделение ВизП сохраняет "геометрию" сетки. Она характеризуется распределением Ё = Ё(г), где г є V - радиус-вектор точки области V, занимаемой телом В в отсчетной конфигурации. Поверхность А является эквипотенциальной. На ней вектор Ё равен по величине и противоположен по направлению вектору п внешней единичной нормали к поверхности А. После выделения В из О. поле Ё - Ё(г) характеризует влияние границы А на внутреннее состояние.
Определение характеристик термоупругого состояния материала через его свободную энергию
В данном выражении потенциальная энергия U равна работе, которую необходимо затратить для разделения тела на элементарные частицы и удаления их друг от друга на расстояния, на которых взаимодействием между ними можно было пренебречь.
Под влиянием внешних воздействий свободная поверхность Аа изучаемого тела увеличивается на dAa, что приводит к изменению U на величину dU , так как вдоль dAa часть работы по разделению частиц уже совершена: dUp=WpdAa=dWA, (1.43) где dWA - изменение полной поверхностной энергии WА; Wр — полная поверхностная энергия, определенная в окрестности точки М є Аа, где произошло увеличение Аа, отнесенная к единице площади Аа. В физике эту энергию принято называть поверхностной энергией. При изменении Аа работа внешних сил тратится не только на изменение внутренней потенциальной энергии U , но и тепловой Ut на величину: dUt=TdS, (1.44) где Т— температура; S - энтропия; dS — изменение энтропии. Следовательно, изменение внутренней энергии изучаемого тела можно записать в виде: dU = dUp + dUt = WpdAa +TdS, (1.45) Если ввести в рассмотрение свободную энергию: F = US, (1.46) то уравнение (1.46) можно переписать, с учетом (1.45), в форме: dF = WpdAa-SdT. (1.47) При изотермическом процессе выражение (1.47) примет вид: dF = WpdAa=dWA. (1.48) Свободная энергия тела определяется работой, которую оно может произвести, изменяя свое состояние изотермически и обратимо [201]. Следовательно, изменение свободной энергии изучаемого тела при увеличении площади его границы на dAa за счет обрыва межатомных связей, для нашего случая, равно работе внешних сил по обрыву этих связей, взятой с противоположным знаком. Из выражения (1.48) видно, что изменение свободной энергии пропорционально dAa, это совпадает с результатом, полученным для жидких сред в [201].
В механике сплошных сред изменение свободной энергии всего тела равно сумме изменений в его элементарных частях, причем элементарные изменения энергии пропорциональны объемам этих частей. В случае упругих сред коэффициентом пропорциональности является плотность изменения потенциала внутренних напряжений. В данной работе полагается, что причинами появления и изменения этих напряжений являются возникновение новых участков свободной поверхности, вступление тел в адгезионный контакт, приводящими к изменению не только местных значений поверхностной энергии, но и ее суммарных значений по всей границе тела. То есть между изменением свободной энергии, вызванным изменением поверхностной энергии, и изменением свободной энергии, вызванным изменением внутреннего напряженного состояния, должна существовать связь. Допустим, что полная поверхностная энергия WА равна изменению свободной энергии тела tsF при изотермическом образовании Аа: WA= \WpdAa=AF. (1.49)
Плотность распределения величины WА по объему совпадает с потенциалом изменения внутреннего напряженного состояния w(M), М е V, который является функцией возникающих при этом деформаций. Данное допущение соответствует представлениям механики сплошных сред [178] и позволяет создавать модель тела, описывающую эффект появления в нем поверхностной энергии.
Допущение (1.49), с точки зрения теории, учитывающей атомарную дискретную структуру твердого тела, поясняется следующим образом. Процесс выделения В из Q происходит мгновенно, изотермически. В момент образования свободной поверхности dAa = dAa , ограничивающей область, занимаемую телом В, все связи между атомами, расположенными на dAa, обрываются. При этом внутренняя потенциальная энергия тела В изменяется на величину (1.43), которая полностью сосредоточена на dAa. В дальнейшем, разорванные связи, без влияния окружающей среды, частично замыкаясь между собой, образуют поверхностную структуру. Это приводит к тому, что межатомные расстояния, как на участке поверхности dAa, так и в прилегающем к нему слое материала, изменяются. В результате наблюдается изменение потенциала межатомного взаимодействия. Следовательно, в области тела В, прилегающей к dAa, потенциальная энергия оказывается отличной от потенциальной энергии, геометрически эквивалентной рассмотренной, но расположенной в глубине тела. То есть, энергия, полученная при образовании dAa, распространяется по объему тела В. Аналогичные рассуждения можно провести для областей, прилегающих к любым элементарным участкам свободной поверхности Аа. Изменение энергии вблизи каждого граничного участка характеризуется плотностью dw(f) ( г - радиус-вектор точки определения плотности). Накладываясь друг на друга, элементарные изменения потенциального поля приводят к суммарному изменению внутренней потенциальной энергии, характеризуемому потенциалом w(f). По мере удаления от границы Аа внутрь тела В влияние поверхностных изменений атомарной структуры на потенциал межатомного взаимодействия уменьшается. Допускается, что это уменьшение происходит непрерывно, гладко, что дает основание считать функцию w(r) непрерывной, дифференцируемой. Следовательно, можно предположить, что любой участок dAa оказывает влияние на состояние материала в любой окрестности dV произвольной точки г области V, занимаемой телом В. Именно на этом основании записано выражение (1.49).
Для тела, занимающего полубесконечное пространство, ограниченное плоскостью Аа, предполагается что Wp = \w(h)dh, (1.50) о VAWp=0, (1.51) где величина Wр — является физической постоянной. Допускается: Wp- 5. (1-52)
Выше была показана аналогия жидкого и твердого состояния вещества на основании молекулярно-кинетических представлений, при этом силы сцепления между атомами, молекулами при переходе из твердого состояния в жидкое почти не меняются. Эти силы обуславливаются потенциалом межатомного взаимодействия. В приповерхностном слое, как в жидких, так и в твердых средах, межатомные силы, потенциал отличаются от тех же величин в глубине тела, что объясняется наличием поверхностного натяжения и поверхностной энергии. Следовательно, можно предположить, что при переходе среды из жидкого состояния в твердое зависимости ст(г) и W (т) являются гладкими
Система дифференциальных уравнений и краевых условий для расчета распределений параметров, определяющих компоненты вектора перемещений
Физика поверхностных явлений свидетельствует о том, что реальные материалы в приграничных слоях имеют свойства, отличные от объемных [115, 126], и зависят от расстояния до границы. Важно знать, как это отличие отражается с помощью представленной модели среды, какими методами описывается и какие результаты получаются в результате этого описания. Данный раздел посвящен решению этих задач.
Поскольку раскол тела Q может произойти вдоль любой поверхности, проходящей через любую ее точку, считается, что, как и во внутренних областях тела Q, В , Ве, Bf — сплошные среды, моделирующие распределенные по любой части поверхностного слоя ионы, свободные электроны (если они есть), фононы (как отмечалось в подразделе 2.4). При этом для элементарных частиц dB , dBe, dBf этих сред характерно следующее: dV = dV = dVe = dV ; г = г = ге - г ; в отсчетном состоянии положительный и отрицательный заряды, сосредоточенные в объеме dV, по модулю равны между собой; для металлов и неметаллов частица dBr - dB1 U dBe электрически нейтральна и вместе с dBf, она образует dB = dBr U dBf [208, 209, 238, 239].
При расколе тела Q и образовании тела В со свободной поверхностью Аа в реальных материалах происходит деформация В1 и перераспределение материала и заряда Ве в объеме V [204, 221]. Тем не менее, по-прежнему считаем, что смещение центра инерции dBe относительно центра инерции dB отсутствует и справедливо равенство R = Re = R , относительные изменения объемов dB , dBe, dBf и tr(Vi/) равны между собой. При этом, достаточно рассматривать перемещения и деформации потенциально взаимодействующих, электрически нейтральных частиц dBr - dB \J dBe как для металла, так и для неметалла. С учетом сказанного остаются справедливыми выражения (2.42) - (2.46) и все последующие выражения, вытекающие из них, описывающие термодинамические свойства исследуемого материала.
Кроме сказанного предполагается, что потенциальное взаимодействие частиц среды в поверхностном слое и в среде dBl описывается одними и теми же потенциалами. Параметры, характеризующие эти потенциалы, а также давления ре и pf в обоих случаях одни и те же. Таким образом, характер качественного и количественного описания термодинамического состояния материала поверхностных слоев остается тем же, что и во внутренних областях тела Q. Иными словами, свойства материала как в поверхностном слое, так и в теле О. считаются одними и теми же. Это означает, что для описания свойств поверхностного слоя в его статическом состоянии, для которого предполагается рассчитывать как поверхностную энергию, так и энергию адгезии, необходимо использовать уравнение (2.87) при условии, что внешние объемно распределенные силы отсутствуют (/ = 0), а среда неподвижна, значит ее ускорение д u/dt2 = 0. В результате уравнение равновесия приобретает вид:
Несмотря на общность уравнений равновесия материала вдали от его границ и вблизи от них, особенности поверхностного слоя накладывают свой отпечаток на их решении.
Для решения уравнений равновесия и проведения на его основании расчетов поверхностной энергии и энергии адгезии это уравнение упрощено с помощью следующих допущений. 1 Любое тело В, для которого проводятся эти расчеты, считается занимающим область VB : 0 х = х, +оо, - оо х2, х3 +со. Оно ограничено по 103 верхностью А : х s х{ = 0. 2 В расчетах учитываются тензоры напряжений и градиенты переме щений ранга и порядка соответственно не выше второго. Это эквивалентно учету только следующих тензоров Р% Р 2\ Cf1 , С 2 , Q2 , Cf 2 (далее нижний индекс S для упрощения записи опускаем).
С учетом определений (2.51), (2.52) считается, что характеристики внутреннего начального напряженного состояния и упругих свойств зависят от координаты х = хи меняющейся на интервале 0 х = х, +оо. Поэтому считается, что /,0(і)=р0(і)(Х])5р0(2)=р0(2)(;Сі)? С = С \Х]),С = С(1 2\Х]), (3.2) d2 1) = c(2-1 (x1),c(2 2) = c(2 2)(x1). Это допущение отражает тот факт, что механические свойства материала в поверхностном слое являются функцией расстояния до внешней свободной границы тела. 3 Ввиду того, что изучаемое тело полубесконечно, ограничено плоской поверхностью, любая нормаль к ней является осью симметрии этого тела как в отсутствии деформаций, так и при их наличии, возникших после образова ния свободной поверхности. Поэтому считается, что = , и2 = v{x)x2 = v х2, иъ = v(x)x3 = v дг3, д х2 дх3 щ = f(x) + u(x)[x2 + х2 J= f + и\х2 + х2 ), (3.3)
Допущения (3.3) отражают представление о том, что после мгновенного образования граничной поверхности А рассматриваемого полубесконечного тела В, процессы перемещения частиц поверхностного слоя из-за деформации материала, вызванной этим отделением, происходят в направлении нормали к поверхности А и вдоль нее. При этом деформации, происходящие вдоль поверхности А, ввиду отсутствия преимущественных направлений в материале (за исключением нормали к поверхности А), распределены вдоль нее равномерно. Последнее обуславливает линейность зависимостей и = v(x)x2 = vx2, иъ = v(x)x3i = VJC3. Введение слагаемого и(х)\х2 +х3) обу словлено предположением о том, что плоская поверхность А, вдоль которой произведен раскол бесконечной среды, в процессе деформации материала поверхностного слоя может потерять свою форму и искривиться. Функции f{x), и(х), v(x) одни и те же при любых значениях х2, х3.
Поэтому уравнения для их определения не зависят от этих величин. Учитывая это, в качестве этих уравнений используются равенства нулю коэффициентов в выражениях, получаемых подстановкой в координатную форму выражения (3.1) допущений (3.3). Соответствующие координатные формы получаем проектированием уравнения (3.1) на направления базисных векторов ек, = 1, 2,3 ортонормированной координатной системы {хк).
С учетом сделанных допущений уравнение (3.1), при записи в координатной форме эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций f{x), и(х), v(x). Эта система имеет следующий вид:
Поверхностная энергия тела с однородными механическими свойствами
Поскольку слой материала сплошной среды, моделирующей реальное тело, имеющий свойства, существенно отличающиеся от объемных, очень тонок, есть основание использовать для описания его свойств двухмерную модель. В работах [69, 241] рассмотрена термодинамика твердого тела с учетом наличия у него распределенной по его поверхности энергии. Поверхностной энергией в этом случае считается плотность распределения этой энергии. В работе [69] предложена модель упругой среды, учитывающая наличие у тела поверхностной энергии.
Так как поверхностный слой является частью трехмерного тела, то при моделировании термоупругого поведения трехмерного тела необходимо учесть взаимодействие находящихся в трехмерном пространстве тел разной размерности - двухмерного и трехмерного. Эта проблема рассматривалась в работах [242, 243]. В работе [60] обращено внимание на необходимость использования для ее решения анализа аксиом, лежащих в основе механики сплошных сред [3, 74, 169, 178, 179, 244]. В данном подпункте представлена математическая модель взаимодействия поверхностного слоя тела с его внутренней частью при учете того, что они могут состоять из разных материалов или иметь различные свойства.
Проанализируем вопрос о принципиальной возможности рассмотрения в рамках механики сплошных сред взаимодействия тел разной размерности.
В соответствии с классическими представлениями [179], говорить о размерности того или иного тела В можно лишь тогда, когда указаны размерность п пространства Евклида Е", п = &\тЕп - его размерность, в котором оно расположено, и размерность к места V [к = dim К ), которое оно занимает в Е".
Для случая, когда между множеством рассматриваемых тел и множеством мест, занимаемых ими, в различные моменты времени t 0 существует взаимно однозначное соответствие (справедлива гипотеза непроницаемости тела), в [179] показано, что возможным вариантом места сплошного тела является замыкание внутренности всюду плотного точечного множества:
В этой записи верхний индекс ( ) означает внутренность точечного множества V, множества всех точек множества V за исключением его граничных точек, то есть тех точек, в любой окрестности которых имеются точки, как принадлежащие V, так и не принадлежащие ему. Верхняя черта в правой части о (3.115) означает замыкание внутренности V, то есть добавление к ней гранич о ных точек, делающее открытое множество V замкнутым. Необходимо отметить, что если даже какое-то произвольное множество М является замкнутым, о то замыкание его внутренности М необязательно совпадает с М. Например, если dim М = 3, а его двухмерная граница имеет одномерные "усы", то множе ство М этих усов уже не содержит. При этом предполагалось, что d]mB = d\mV = dimEn п. (3.116) Если же допустить наличие двумерных тел, места которых имеют структуру (3.115), то окажется, что в трехмерном пространстве внутренность двухмерного множества - нулевое множество. Поэтому его замыкание также является нулевым множеством [173, 245, 246]. В соответствии с [173, 179], такое место может соответствовать лишь нулевому телу. Поэтому оказывается, что в трехмерном пространстве тела могут быть только трехмерными.
В дальнейших рассуждениях сделан отказ от гипотезы (3.115). Допускается, что в пространстве Еп наряду с телами размерности п существуют тела размерности (п-1), (п-2),..., 2,1, 0. Допускается также, что в каждый момент времени t каждое тело В, находящееся в Е", занимает определенное место V. Это множество считается замкнутым. Но в отличие от структуры (3.115) оно имеет следующую структуру [173]: V = V\JA[)L\JM, (3.117) 130 о где V - внутренность множества V; о А - обозначение множества внутренностей гладких участков боковой поверхности тела; о L - обозначение множества внутренностей гладких участков ребер тела (если они имеются); М- множество изолированных точек, замыкающих границу.
В данной работе допускается, что в N - мерном пространстве наряду с N— мерными телами существуют еще (N- 1) - мерные тела, (N—2) — мерные тела, ..., О - мерные тела (см. рисунок 3.2). Как и в классическом случае, размерность тела определяется размерностью занимаемого им места. Местом 0 -мерных тел являются изолированные точки. Для каждого из остальных типов тел местами являются открытые множества. Перечисленные типы тел таковы, что существуют, по крайней мере, в объединенном состоянии, образуя такие тела, места которых имеют структуры. В конечном счете, объединенное тело и его место соответствуют классическим представлениям. Но введенные допущения позволяют использовать независимо друг от друга определяющие соотношения для материала внутренностей трехмерного тела, его граней и ребер, как это сделано в работах [173, 195, 243], записывать соответствующие законы сохранения. То, что они являются частями единого тела, учитывается условиями сопряжения их кинематических характеристик.
